Vienkāršāko trigonometrisko sinx vienādojumu atrisināšana. Vienkāršu trigonometrisko vienādojumu risināšana

16.10.2019

Piemēri:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus:

Jebkurš trigonometriskais vienādojums ir jāsamazina līdz vienam no šiem veidiem:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

kur \(t\) ir izteiksme ar x, \(a\) ir skaitlis. Tādus trigonometriskos vienādojumus sauc visvienkāršākā. Tos var viegli atrisināt, izmantojot () vai īpašas formulas:

Piemērs . Atrisiniet trigonometrisko vienādojumu \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Risinājums:

Atbilde: \(\left[ \begin(gathered)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(apkopots)\right.\) \(k,n∈Z\)

Ko nozīmē katrs simbols saknes formulā? trigonometriskie vienādojumi ieskaties iekšā.

Uzmanību! Vienādojumiem \(\sin⁡x=a\) un \(\cos⁡x=a\) nav atrisinājumu, ja \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Tā kā sinuss un kosinuss jebkuram x ir lielāks vai vienāds ar \(-1\) un mazāks vai vienāds ar \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Piemērs . Atrisiniet vienādojumu \(\cos⁡x=-1,1\).
Risinājums: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Atbilde : nav risinājumu.

Piemērs . Atrisiniet trigonometrisko vienādojumu tg\(⁡x=1\).
Risinājums:

Atrisināsim vienādojumu, izmantojot skaitļu apli. Lai to izdarītu:
1) Izveidojiet apli)
2) Konstruē asis \(x\) un \(y\) un pieskares asi (tā iet caur punktu \((0;1)\) paralēli asij \(y\)).
3) Uz pieskares ass atzīmējiet punktu \(1\).
4) Savienojiet šo punktu un koordinātu sākumpunktu - taisnu līniju.
5) Atzīmējiet šīs taisnes un skaitļa apļa krustošanās punktus.
6) Parakstīsim šo punktu vērtības: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\)
7) Pierakstīsim visas šo punktu vērtības. Tā kā tie atrodas precīzi \(π\) attālumā viens no otra, visas vērtības var uzrakstīt vienā formulā:

Atbilde: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Piemērs . Atrisiniet trigonometrisko vienādojumu \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Risinājums:

Atkal izmantosim skaitļu apli.
1) Izveidojiet apli, asis \(x\) un \(y\).
2) Uz kosinusa ass (\(x\) ass) atzīmējiet \(0\).
3) Caur šo punktu novelciet kosinusa asij perpendikulāru.
4) Atzīmējiet perpendikula un apļa krustošanās punktus.
5) Parakstīsim šo punktu vērtības: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\).
6) Mēs pierakstām visu šo punktu vērtību un pielīdzinām tos kosinusam (tam, kas atrodas kosinusa iekšpusē).

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)

8) Kā parasti, mēs izteiksim \(x\) vienādojumos.
Neaizmirstiet apstrādāt skaitļus ar \(π\), kā arī \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\) utt. Tie ir tādi paši skaitļi kā visi pārējie. Nekādas skaitliskās diskriminācijas!

\(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Atbilde: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Trigonometrisko vienādojumu samazināšana līdz vienkāršākajiem ir radošs uzdevums, lai vienādojumu risināšanai izmantotu gan speciālas metodes:
- Metode (vispopulārākā vienotajā valsts eksāmenā).
- Metode.
- palīgargumentu metode.

Apskatīsim kvadrātiskā trigonometriskā vienādojuma risināšanas piemēru

Piemērs . Atrisiniet trigonometrisko vienādojumu \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Risinājums:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Veiksim nomaiņu \(t=\cos⁡x\).

	Mūsu vienādojums ir kļuvis tipisks. To var atrisināt, izmantojot.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Mēs veicam apgrieztu nomaiņu.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Mēs atrisinām pirmo vienādojumu, izmantojot skaitļu apli. Otrajam vienādojumam nav atrisinājumu, jo \(\cos⁡x∈[-1;1]\) un nevar būt vienāds ar divi jebkuram x.
	Pierakstīsim visus skaitļus, kas atrodas šajos punktos.

Atbilde: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Trigonometriskā vienādojuma risināšanas piemērs ar ODZ izpēti:

Piemērs (USE) . Atrisiniet trigonometrisko vienādojumu \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Ir daļa un ir kotangenss - tas nozīmē, ka mums tas ir jāpieraksta. Atgādināšu, ka kotangenss patiesībā ir daļdaļa: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Tāpēc ctg\(x\) ODZ: \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Atzīmēsim “neatrisinājumus” uz skaitļu apļa.

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Atbrīvosimies no saucēja vienādojumā, reizinot to ar ctg\(x\). Mēs to varam izdarīt, jo iepriekš rakstījām ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Piemērosim sinusa dubultā leņķa formulu: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Ja jūsu rokas stiepjas, lai sadalītu ar kosinusu, velciet tās atpakaļ! Var dalīt ar izteiksmi ar mainīgo, ja tas noteikti nav vienāds ar nulli (piemēram, šie: \(x^2+1.5^x\)). Tā vietā izņemsim \(\cos⁡x\) no iekavām.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	“Sadalīsim” vienādojumu divās daļās.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Atrisināsim pirmo vienādojumu, izmantojot skaitļu apli. Sadalīsim otro vienādojumu ar \(2\) un pārvietosim \(\sin⁡x\) uz labo pusi.

\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Iegūtās saknes nav iekļautas ODZ. Tāpēc mēs tos nepierakstīsim atbildē. Otrais vienādojums ir tipisks. Sadalīsim to ar \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) nevar būt vienādojuma risinājums, jo šajā gadījumā \(\cos⁡x=1\) vai \(\cos⁡ x=-1\)).
	Mēs atkal izmantojam apli.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Šīs saknes ODZ neizslēdz, tāpēc varat tās ierakstīt atbildē.

Atbilde: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Trigonometriskie vienādojumi nav viegls temats. Tie ir pārāk dažādi.) Piemēram, šie:

sin 2 x + cos3x = ctg5x

grēks(5x+π /4) = bērnu gultiņa (2x-π /3)

sinx + cos2x + tg3x = ctg4x

Un tamlīdzīgi...

Taču šiem (un visiem pārējiem) trigonometriskajiem monstriem ir divas kopīgas un obligātas iezīmes. Pirmkārt - jūs neticēsiet - vienādojumos ir trigonometriskas funkcijas.) Otrkārt: tiek atrastas visas izteiksmes ar x šo pašu funkciju ietvaros. Un tikai tur! Ja kaut kur parādās X ārā, Piemēram, sin2x + 3x = 3, tas jau būs jaukta tipa vienādojums. Šādiem vienādojumiem ir nepieciešama individuāla pieeja. Mēs tos šeit neapskatīsim.

Šajā nodarbībā mēs arī neatrisināsim ļaunuma vienādojumus.) Šeit mēs aplūkosim vienkāršākie trigonometriskie vienādojumi. Kāpēc? Jā, jo risinājums jebkura trigonometriskie vienādojumi sastāv no diviem posmiem. Pirmajā posmā ļaunais vienādojums tiek reducēts uz vienkāršu, izmantojot dažādas transformācijas. Otrajā gadījumā šis vienkāršākais vienādojums ir atrisināts. Citādi nekādi.

Tātad, ja jums ir problēmas otrajā posmā, pirmajam posmam nav lielas jēgas.)

Kā izskatās elementārie trigonometriskie vienādojumi?

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

Šeit A apzīmē jebkuru skaitli. Jebkurš.

Starp citu, funkcijas iekšpusē var būt nevis tīrs X, bet gan sava veida izteiksme, piemēram:

cos(3x+π /3) = 1/2

un tamlīdzīgi. Tas sarežģī dzīvi, bet neietekmē trigonometriskā vienādojuma risināšanas metodi.

Kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus?

Trigonometriskos vienādojumus var atrisināt divos veidos. Pirmais veids: izmantojot loģiku un trigonometrisko apli. Mēs apskatīsim šo ceļu šeit. Otrs veids - izmantojot atmiņu un formulas - tiks apspriests nākamajā nodarbībā.

Pirmais veids ir skaidrs, uzticams un grūti aizmirstams.) Tas ir piemērots trigonometrisku vienādojumu, nevienādību un visu veidu viltīgu nestandarta piemēru risināšanai. Loģika ir spēcīgāka par atmiņu!)

Vienādojumu risināšana, izmantojot trigonometrisko apli.

Mēs iekļaujam elementāru loģiku un spēju izmantot trigonometrisko apli. Vai tu nezini kā? Tomēr... Jums būs grūti trigonometrijā...) Bet tas nav svarīgi. Ieskaties nodarbībās "Trigonometriskais aplis...... Kas tas ir?" un "Leņķu mērīšana uz trigonometriskā apļa". Tur viss ir vienkārši. Atšķirībā no mācību grāmatām...)

Ak, zini!? Un pat apguvis “Praktiskais darbs ar trigonometrisko apli”!? Apsveicu. Šī tēma jums būs tuva un saprotama.) Īpaši patīkami ir tas, ka trigonometriskajam aplim ir vienalga, kādu vienādojumu jūs atrisināsiet. Sinuss, kosinuss, tangenss, kotangenss - viņam viss ir vienāds. Ir tikai viens risinājuma princips.

Tātad mēs ņemam jebkuru elementāru trigonometrisko vienādojumu. Vismaz šis:

cosx = 0,5

Mums jāatrod X. Runājot cilvēku valodā, vajag atrodiet leņķi (x), kura kosinuss ir 0,5.

Kā mēs iepriekš izmantojām apli? Mēs uz tā uzzīmējām leņķi. Grādos vai radiānos. Un uzreiz redzēja šī leņķa trigonometriskās funkcijas. Tagad darīsim pretējo. Uzzīmēsim uz apļa kosinusu, kas vienāds ar 0,5 un uzreiz redzēsim stūrī. Atliek tikai pierakstīt atbildi.) Jā, jā!

Uzzīmējiet apli un atzīmējiet kosinusu, kas vienāds ar 0,5. Uz kosinusa ass, protams. kā šis:

Tagad uzzīmēsim leņķi, ko mums piešķir šis kosinuss. Novietojiet peles kursoru virs attēla (vai pieskarieties attēlam planšetdatorā) un tu redzēsi tieši šajā stūrī X.

Kura leņķa kosinuss ir 0,5?

x = π /3

cos 60°= cos( π /3) = 0,5

Daži skeptiski pasmaidīs, jā... Piemēram, vai bija vērts taisīt apli, kad viss jau ir skaidrs... Pasmīnēt var, protams...) Bet fakts ir tāds, ka šī ir kļūdaina atbilde. Pareizāk sakot, nepietiekami. Apļa pazinēji saprot, ka šeit ir vesela kaudze citu leņķu, kas arī dod kosinusu 0,5.

Ja pagriežat kustīgo pusi OA pilns pagrieziens, punkts A atgriezīsies sākotnējā pozīcijā. Ar to pašu kosinusu, kas vienāds ar 0,5. Tie. leņķis mainīsies par 360° vai 2π radiāniem un kosinuss - nē. Jaunais leņķis 60° + 360° = 420° būs arī mūsu vienādojuma risinājums, jo

Var veikt bezgalīgi daudz šādu pilnīgu apgriezienu... Un visi šie jaunie leņķi būs mūsu trigonometriskā vienādojuma risinājumi. Un tos visus vajag kaut kā pierakstīt kā atbildi. Visi. Citādi lēmums netiek ņemts vērā, jā...)

Matemātika to var izdarīt vienkārši un eleganti. Pierakstiet vienā īsā atbildē bezgalīgs komplekts lēmumus. Lūk, kā tas izskatās mūsu vienādojumam:

x = π /3 + 2π n, n ∈ Z

Es to atšifrēšu. Joprojām rakstiet jēgpilni Tas ir patīkamāk nekā muļķīgi zīmēt kādus noslēpumainus burtus, vai ne?)

π /3 - tas ir tas pats stūris, kas mēs redzēja uz apļa un noteikts saskaņā ar kosinusa tabulu.

2π ir viens pilnīgs radiānos apvērsums.

n - tas ir pabeigto skaits, t.i. vesels apgr./min Ir skaidrs, ka n var būt vienāds ar 0, ±1, ±2, ±3.... un tā tālāk. Kā norādīts īsajā ierakstā:

n∈Z

n pieder ( ∈ ) veselu skaitļu kopa ( Z ). Starp citu, vēstules vietā n burtus var izmantot k, m, t utt.

Šis apzīmējums nozīmē, ka varat ņemt jebkuru veselu skaitli n . Vismaz -3, vismaz 0, vismaz +55. Ko vien vēlies. Ja atbildē aizstājat šo skaitli, jūs iegūsit noteiktu leņķi, kas noteikti būs mūsu skarbā vienādojuma risinājums.)

Vai, citiem vārdiem sakot, x = π /3 ir vienīgā bezgalīgas kopas sakne. Lai iegūtu visas pārējās saknes, pietiek ar π /3 pievienot jebkuru pilnu apgriezienu skaitu ( n ) radiānos. Tie. 2πn radiāns.

Visi? Nē. Es apzināti pagarinu prieku. Lai labāk atcerētos.) Mēs saņēmām tikai daļu no mūsu vienādojuma atbildēm. Es uzrakstīšu šo pirmo risinājuma daļu šādi:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 1 - ne tikai viena sakne, bet vesela virkne sakņu, kas pierakstītas īsā formā.

Bet ir arī leņķi, kas arī dod kosinusu 0,5!

Atgriezīsimies pie sava attēla, no kura pierakstījām atbildi. Šeit tas ir:

Novietojiet peles kursoru virs attēla un mēs redzam cits leņķis, kas dod arī kosinusu 0,5. Ar ko, jūsuprāt, tas ir līdzvērtīgs? Trijstūri ir vienādi... Jā! Tas ir vienāds ar leņķi X , tikai kavējas negatīvā virzienā. Šis ir stūris -X. Bet mēs jau esam aprēķinājuši x. π /3 vai 60°. Tāpēc mēs varam droši rakstīt:

x 2 = - π /3

Protams, mēs pievienojam visus leņķus, kas iegūti, veicot pilnus apgriezienus:

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Tagad tas arī viss.) Uz trigonometriskā apļa mēs redzēja(kas saprot, protams)) Visi leņķi, kas dod kosinusu 0,5. Un mēs pierakstījām šos leņķus īsā matemātiskā formā. Atbilde radīja divas bezgalīgas sakņu sērijas:

x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z

Šī ir pareizā atbilde.

ceru, vispārējs trigonometrisko vienādojumu risināšanas princips apļa lietošana ir skaidra. No dotā vienādojuma uz apļa atzīmējam kosinusu (sinusu, tangensu, kotangensu), uzzīmējam tam atbilstošos leņķus un pierakstām atbildi. Protams, mums ir jāizdomā, kādi stūri mēs esam redzēja uz apļa. Dažreiz tas nav tik acīmredzami. Nu, es teicu, ka šeit ir nepieciešama loģika.)

Piemēram, apskatīsim citu trigonometrisko vienādojumu:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka skaitlis 0,5 nav vienīgais iespējamais skaitlis vienādojumos!) Man vienkārši ir ērtāk to rakstīt nekā saknes un daļskaitļus.

Mēs strādājam pēc vispārējā principa. Uzzīmējam apli, atzīmējam (uz sinusa ass, protams!) 0,5. Uzzīmējam visus leņķus, kas atbilst šim sinusam uzreiz. Mēs iegūstam šo attēlu:

Vispirms tiksim galā ar leņķi X pirmajā ceturksnī. Mēs atgādinām sinusu tabulu un nosakām šī leņķa vērtību. Tā ir vienkārša lieta:

x = π /6

Mēs atceramies par pilniem pagriezieniem un ar tīru sirdsapziņu pierakstām pirmo atbilžu sēriju:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

Puse darba ir paveikta. Bet tagad mums ir jānosaka otrais stūris... Tas ir sarežģītāk nekā lietot kosinusus, jā... Bet loģika mūs glābs! Kā noteikt otro leņķi caur x? Tas ir viegli! Attēlā redzamie trīsstūri ir vienādi, un sarkanais stūris X vienāds ar leņķi X . Tikai tas tiek skaitīts no leņķa π negatīvā virzienā. Tāpēc tas ir sarkans.) Un atbildei mums ir nepieciešams leņķis, kas pareizi aprēķināts no pozitīvās pusass OX, t.i. no 0 grādu leņķa.

Novietojam kursoru virs zīmējuma un redzam visu. Pirmo stūri noņēmu, lai nesarežģītu attēlu. Leņķis, kas mūs interesē (zīmēts zaļā krāsā), būs vienāds ar:

π - x

X mēs to zinām π /6 . Tāpēc otrais leņķis būs:

π - π /6 = 5π /6

Atkal atceramies par pilnu apgriezienu pievienošanu un pierakstām otro atbilžu sēriju:

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Tas arī viss. Pilnīga atbilde sastāv no divām sakņu sērijām:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Pieskares un kotangentes vienādojumus var viegli atrisināt, izmantojot to pašu vispārējo principu trigonometrisko vienādojumu risināšanai. Ja, protams, jūs zināt, kā uz trigonometriskā apļa uzzīmēt tangensu un kotangensu.

Iepriekš minētajos piemēros es izmantoju sinusa un kosinusa tabulas vērtību: 0,5. Tie. viena no tām nozīmēm, ko students zina pienākums. Tagad paplašināsim savas iespējas līdz visas pārējās vērtības. Izlemiet, tātad izlemiet!)

Tātad, pieņemsim, ka mums ir jāatrisina šis trigonometriskais vienādojums:

Īsajās tabulās šādas kosinusa vērtības nav. Mēs vēsi ignorējam šo briesmīgo faktu. Uzzīmējiet apli, atzīmējiet 2/3 uz kosinusa ass un uzzīmējiet atbilstošos leņķus. Mēs iegūstam šo attēlu.

Vispirms aplūkosim leņķi pirmajā ceturksnī. Ja vien mēs zinātu, ar ko x ir vienāds, mēs uzreiz pierakstītu atbildi! Mēs nezinām... Neveiksme!? Mierīgi! Matemātika nepamet savējos bēdās! Viņa šim gadījumam izdomāja loka kosinusus. Nezinu? Velti. Uzziniet, tas ir daudz vieglāk, nekā jūs domājat. Šajā saitē nav nevienas viltīgas burvestības par “apgrieztām trigonometriskām funkcijām”... Tas ir lieki šajā tēmā.

Ja jūs zināt, vienkārši sakiet sev: "X ir leņķis, kura kosinuss ir vienāds ar 2/3." Un uzreiz, tīri pēc loka kosinusa definīcijas, mēs varam rakstīt:

Mēs atceramies par papildu apgriezieniem un mierīgi pierakstām mūsu trigonometriskā vienādojuma pirmo sakņu sēriju:

x 1 = loka 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Otrā sakņu sērija otrajam leņķim tiek gandrīz automātiski pierakstīta. Viss ir pa vecam, tikai X (arccos 2/3) būs ar mīnusu:

x 2 = - loki 2/3 + 2π n, n ∈ Z

Un tas arī viss! Šī ir pareizā atbilde. Pat vieglāk nekā ar tabulas vērtībām. Nekas nav jāatceras.) Starp citu, vērīgākie pamanīs, ka šajā attēlā ir parādīts risinājums caur loka kosinusu. būtībā neatšķiras no attēla vienādojumam cosx = 0,5.

Pareizi! Vispārējais princips ir tieši tāds! Es apzināti uzzīmēju divus gandrīz identiskus attēlus. Aplis mums parāda leņķi X pēc tā kosinusa. Neatkarīgi no tā, vai tas ir tabulas kosinuss, nav zināms visiem. Kāds ir šis leņķis, π /3 vai kāds ir loka kosinuss - tas ir mūsu ziņā.

Tā pati dziesma ar sinusu. Piemēram:

Vēlreiz uzzīmējiet apli, atzīmējiet sinusu, kas vienāds ar 1/3, uzzīmējiet leņķus. Šis ir attēls, ko mēs iegūstam:

Un atkal attēls ir gandrīz tāds pats kā vienādojumam sinx = 0,5. Atkal sākam no stūra pirmajā ceturtdaļā. Ar ko X ir vienāds, ja tā sinuss ir 1/3? Nav jautājumu!

Tagad pirmais sakņu iepakojums ir gatavs:

x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Tiksim galā ar otro leņķi. Piemērā ar tabulas vērtību 0,5 tas bija vienāds ar:

π - x

Arī šeit būs tieši tāpat! Tikai x ir atšķirīgs, arcsin 1/3. Nu ko!? Jūs varat droši pierakstīt otro sakņu iepakojumu:

x 2 = π - loksns 1/3 + 2π n, n ∈ Z

Šī ir pilnīgi pareiza atbilde. Lai gan tas neizskatās īpaši pazīstami. Bet tas ir skaidrs, es ceru.)

Šādi tiek atrisināti trigonometriskie vienādojumi, izmantojot apli. Šis ceļš ir skaidrs un saprotams. Tieši viņš ietaupa trigonometriskajos vienādojumos ar sakņu izvēli noteiktā intervālā, trigonometriskajās nevienādībās - tās parasti gandrīz vienmēr tiek atrisinātas aplī. Īsāk sakot, visos uzdevumos, kas ir nedaudz grūtāki par standarta.

Pielietosim zināšanas praksē?)

Atrisiniet trigonometriskos vienādojumus:

Pirmkārt, vienkāršāk, tieši no šīs nodarbības.

Tagad tas ir sarežģītāk.

Padoms: šeit jums būs jādomā par apli. Personīgi.)

Un tagad tie ir ārēji vienkārši... Tos sauc arī par īpašiem gadījumiem.

sinx = 0

sinx = 1

cosx = 0

cosx = -1

Padoms: šeit ir jāizdomā aplī, kur ir divas atbilžu sērijas un kur viena... Un kā divu atbilžu sēriju vietā uzrakstīt vienu. Jā, lai nezaudētu nevienu sakni no bezgalīga skaita!)

Nu, ļoti vienkārši):

sinx = 0,3

cosx = π

tgx = 1,2

ctgx = 3,7

Padoms: šeit jums jāzina, kas ir arcsīns un arkosīns? Kas ir arktangenss, arkotangents? Vienkāršākās definīcijas. Bet jums nav jāatceras nekādas tabulas vērtības!)

Atbildes, protams, ir haoss):

x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2

Vai viss neizdodas? Notiek. Izlasiet nodarbību vēlreiz. Tikai pārdomāti(ir tāds novecojis vārds...) Un seko linkiem. Galvenās saites ir par apli. Bez tā trigonometrija ir kā ceļa šķērsošana ar aizsietām acīm. Dažreiz tas darbojas.)

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.

Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.

Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.

Kādu personas informāciju mēs apkopojam:

Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.

Informācijas izpaušana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas procedūru, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valdības iestāžu lūgumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.

Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī

Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.

Risinot daudzas matemātiskas problēmas, īpaši tiem, kas notiek pirms 10. klases, ir skaidri noteikta to darbību secība, kas novedīs pie mērķa sasniegšanas. Šādas problēmas ietver, piemēram, lineāros un kvadrātvienādojumus, lineārās un kvadrātvienādības, daļvienādojumus un vienādojumus, kas reducējas uz kvadrātvienādojumu. Katras minētās problēmas sekmīgas risināšanas princips ir šāds: jākonstatē, kāda veida problēma tiek risināta, jāatceras nepieciešamā darbību secība, kas novedīs pie vēlamā rezultāta, t.i. atbildiet un veiciet šīs darbības.

Ir skaidrs, ka veiksme vai neveiksme konkrētas problēmas risināšanā galvenokārt ir atkarīga no tā, cik pareizi tiek noteikts risināmā vienādojuma veids, cik pareizi tiek reproducēta visu tā risināšanas posmu secība. Protams, šajā gadījumā ir nepieciešamas prasmes veikt identiskus pārveidojumus un aprēķinus.

Situācija ir atšķirīga ar trigonometriskie vienādojumi. Nav grūti noteikt, ka vienādojums ir trigonometrisks. Grūtības rodas, nosakot darbību secību, kas novestu pie pareizas atbildes.

Dažkārt ir grūti noteikt tā veidu, pamatojoties uz vienādojuma izskatu. Un, nezinot vienādojuma veidu, ir gandrīz neiespējami izvēlēties pareizo no vairākiem desmitiem trigonometrisko formulu.

Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, jums jāmēģina:

1. Novietojiet visas vienādojumā iekļautās funkcijas “vienādos leņķos”;
2. vienādojumu pielīdzina “identiskām funkcijām”;
3. faktorēt vienādojuma kreiso pusi utt.

Apsvērsim trigonometrisko vienādojumu risināšanas pamatmetodes.

I. Reducēšana uz vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem

Risinājuma diagramma

1. darbība. Izteikt trigonometrisko funkciju zināmu komponentu izteiksmē.

2. darbība. Atrodiet funkcijas argumentu, izmantojot formulas:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

iedegums x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

3. darbība. Atrodiet nezināmo mainīgo.

Piemērs.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Risinājums.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Atbilde: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Mainīga nomaiņa

Risinājuma diagramma

1. darbība. Samaziniet vienādojumu līdz algebriskajai formai attiecībā uz vienu no trigonometriskajām funkcijām.

2. darbība. Iegūto funkciju apzīmē ar mainīgo t (ja nepieciešams, ievieš t ierobežojumus).

3. darbība. Pierakstiet un atrisiniet iegūto algebrisko vienādojumu.

4. darbība. Veiciet apgrieztu nomaiņu.

5. darbība. Atrisiniet vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu.

Piemērs.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Risinājums.

1) 2(1 – grēks 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Lai sin (x/2) = t, kur |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 vai e = -3/2, neatbilst nosacījumam |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Atbilde: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Vienādojuma secības samazināšanas metode

Risinājuma diagramma

1. darbība. Aizstājiet šo vienādojumu ar lineāru, izmantojot pakāpes samazināšanas formulu:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

2. darbība. Atrisiniet iegūto vienādojumu, izmantojot I un II metodi.

Piemērs.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Risinājums.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Atbilde: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogēni vienādojumi

Risinājuma diagramma

1. darbība. Samaziniet šo vienādojumu līdz formai

a) a sin x + b cos x = 0 (pirmās pakāpes homogēns vienādojums)

vai uz skatu

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (otrās pakāpes homogēns vienādojums).

2. darbība. Sadaliet abas vienādojuma puses ar

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

un iegūstiet tan x vienādojumu:

a) iedegums x + b = 0;

b) a iedegums 2 x + b arctan x + c = 0.

3. darbība. Atrisiniet vienādojumu, izmantojot zināmas metodes.

Piemērs.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Risinājums.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Ļaujiet tg x = t, tad

t 2 + 3 t – 4 = 0;

t = 1 vai t = -4, kas nozīmē

tg x = 1 vai tg x = -4.

No pirmā vienādojuma x = π/4 + πn, n Є Z; no otrā vienādojuma x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.

Atbilde: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Vienādojuma pārveidošanas metode, izmantojot trigonometriskās formulas

Risinājuma diagramma

1. darbība. Izmantojot visas iespējamās trigonometriskās formulas, samaziniet šo vienādojumu līdz vienādojumam, kas atrisināts ar I, II, III, IV metodēm.

2. darbība. Atrisiniet iegūto vienādojumu, izmantojot zināmas metodes.

Piemērs.

grēks x + grēks 2x + grēks 3x = 0.

Risinājums.

1) (sin x + grēks 3x) + grēks 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 vai 2cos x + 1 = 0;

No pirmā vienādojuma 2x = π/2 + πn, n Є Z; no otrā vienādojuma cos x = -1/2.

Mums ir x = π/4 + πn/2, n Є Z; no otrā vienādojuma x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Rezultātā x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Atbilde: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Spēja un prasme atrisināt trigonometriskos vienādojumus ir ļoti liela svarīgi, to izstrāde prasa ievērojamas pūles gan no skolēna, gan no skolotāja puses.

Daudzas stereometrijas, fizikas uc problēmas ir saistītas ar trigonometrisko vienādojumu risināšanu. Šādu uzdevumu risināšanas process ietver daudzas zināšanas un prasmes, kas tiek iegūtas, pētot trigonometrijas elementus.

Trigonometriskie vienādojumi ieņem nozīmīgu vietu matemātikas apguves procesā un personības attīstībā kopumā.

Vai joprojām ir jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja, reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!

tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz avotu.

Vienkāršu trigonometrisko vienādojumu risināšana.

Jebkura sarežģītības līmeņa trigonometrisko vienādojumu atrisināšana galu galā ir vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu atrisināšana. Un šajā trigonometriskais aplis atkal izrādās labākais palīgs.

Atcerēsimies kosinusa un sinusa definīcijas.

Leņķa kosinuss ir vienības apļa punkta abscisa (tas ir, koordinātas gar asi), kas atbilst rotācijai noteiktā leņķī.

Leņķa sinuss ir vienības apļa punkta ordināta (tas ir, koordinātas gar asi), kas atbilst rotācijai noteiktā leņķī.

Pozitīvais kustības virziens uz trigonometriskā apļa ir pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Pagriešana par 0 grādiem (vai 0 radiāniem) atbilst punktam ar koordinātām (1; 0)

Mēs izmantojam šīs definīcijas, lai atrisinātu vienkāršus trigonometriskos vienādojumus.

1. Atrisiniet vienādojumu

Šo vienādojumu apmierina visas rotācijas leņķa vērtības, kas atbilst punktiem uz apļa, kuru ordināta ir vienāda ar .

Atzīmēsim punktu ar ordinātām uz ordinātu ass:

Novelciet horizontālu līniju paralēli x asij, līdz tā krustojas ar apli. Mēs iegūstam divus punktus, kas atrodas uz apļa un kam ir ordināta. Šie punkti atbilst griešanās leņķiem un radiānos:

Ja mēs, atstājot punktu, kas atbilst griešanās leņķim uz radiānu, apejam pilnu apli, tad nonāksim punktā, kas atbilst griešanās leņķim uz radiānu un kuram ir tāda pati ordināta. Tas nozīmē, ka šis griešanās leņķis apmierina arī mūsu vienādojumu. Mēs varam veikt tik daudz “dīkstāves” apgriezienu, cik mums patīk, atgriežoties tajā pašā punktā, un visas šīs leņķa vērtības apmierinās mūsu vienādojumu. “Tukšgaitas” apgriezienu skaits tiks apzīmēts ar burtu (vai). Tā kā mēs varam veikt šos apgriezienus gan pozitīvā, gan negatīvā virzienā, (vai) varam iegūt jebkuras veselas vērtības.

Tas nozīmē, ka sākotnējā vienādojuma pirmajai risinājumu sērijai ir šāda forma:

, , - veselu skaitļu kopa (1)

Līdzīgi otrajai risinājumu sērijai ir šāda forma:

, Kur,. (2)

Kā jau varēja uzminēt, šīs risinājumu sērijas pamatā ir punkts uz apļa, kas atbilst griešanās leņķim par .

Šīs divas risinājumu sērijas var apvienot vienā ierakstā:

Ja ņemsim (tas ir, pat) šajā ierakstā, tad iegūsim pirmo risinājumu sēriju.

Ja šajā ierakstā ņemam (tas ir, nepāra), tad iegūstam otro risinājumu sēriju.

2. Tagad atrisināsim vienādojumu

Tā kā šī ir vienības apļa punkta abscisa, kas iegūta, pagriežot leņķi, mēs atzīmējam punktu ar abscisu uz ass:

Novelciet vertikālu līniju, kas ir paralēla asij, līdz tā krustojas ar apli. Mēs iegūsim divus punktus, kas atrodas uz apļa un kam ir abscisa. Šie punkti atbilst rotācijas leņķiem un radiānos. Atcerieties, ka, pārvietojoties pulksteņrādītāja virzienā, mēs iegūstam negatīvu griešanās leņķi:

Pierakstīsim divas risinājumu sērijas:

(Mēs nokļūstam vēlamajā punktā, izejot no galvenā pilna apļa, tas ir.

Apvienosim šīs divas sērijas vienā ierakstā:

3. Atrisiniet vienādojumu

Pieskares līnija iet caur punktu ar koordinātām (1,0) vienības riņķī paralēli OY asij

Atzīmēsim uz tā punktu ar ordinātu, kas vienāds ar 1 (mēs meklējam pieskares leņķiem, kas ir vienādi ar 1):

Savienosim šo punktu ar koordinātu sākumpunktu ar taisni un atzīmēsim taisnes krustošanās punktus ar vienības apli. Taisnes līnijas un apļa krustošanās punkti atbilst griešanās leņķiem uz un:

Tā kā punkti, kas atbilst griešanās leņķiem, kas atbilst mūsu vienādojumam, atrodas radiānu attālumā viens no otra, mēs varam uzrakstīt risinājumu šādi:

4. Atrisiniet vienādojumu

Kotangenšu līnija iet caur punktu ar vienības apļa koordinātām, kas ir paralēlas asij.

Atzīmēsim punktu ar abscisu -1 uz kotangenses līnijas:

Savienosim šo punktu ar taisnes izcelsmi un turpināsim to, līdz tas krustojas ar apli. Šī taisne krustos apli punktos, kas atbilst griešanās leņķiem iekšā un radiānos: