Vienkāršu trigonometrisko vienādojumu risināšana.
Jebkura sarežģītības līmeņa trigonometrisko vienādojumu atrisināšana galu galā ir vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu atrisināšana. Un šajā labākais palīgs atkal izrādās trigonometrisks aplis.
Atcerēsimies kosinusa un sinusa definīcijas.
Leņķa kosinuss ir punkta abscisa (tas ir, koordinātas gar asi). vienības aplis, kas atbilst rotācijai noteiktā leņķī.
Leņķa sinuss ir vienības apļa punkta ordināta (tas ir, koordinātas gar asi), kas atbilst rotācijai noteiktā leņķī.
Pozitīvs kustības virziens līdzi trigonometriskais aplis Tiek ņemta vērā kustība pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Pagriešana par 0 grādiem (vai 0 radiāniem) atbilst punktam ar koordinātām (1; 0)
Mēs izmantojam šīs definīcijas, lai atrisinātu vienkāršus trigonometriskos vienādojumus.
1. Atrisiniet vienādojumu
Šo vienādojumu apmierina visas rotācijas leņķa vērtības, kas atbilst punktiem uz apļa, kuru ordināta ir vienāda ar .
Atzīmēsim punktu ar ordinātām uz ordinātu ass:
Novelciet horizontālu līniju paralēli x asij, līdz tā krustojas ar apli. Mēs iegūstam divus punktus, kas atrodas uz apļa un kam ir ordināta. Šie punkti atbilst griešanās leņķiem un radiānos:
Ja mēs, atstājot punktu, kas atbilst griešanās leņķim uz radiānu, apejam pilnu apli, tad nonāksim punktā, kas atbilst griešanās leņķim uz radiānu un kuram ir tāda pati ordināta. Tas nozīmē, ka šis griešanās leņķis atbilst arī mūsu vienādojumam. Mēs varam veikt tik daudz “dīkstāves” apgriezienu, cik mums patīk, atgriežoties tajā pašā punktā, un visas šīs leņķa vērtības apmierinās mūsu vienādojumu. “Tukšgaitas” apgriezienu skaits tiks apzīmēts ar burtu (vai). Tā kā mēs varam veikt šos apgriezienus gan pozitīvā, gan negatīvā virzienā, (vai) varam iegūt jebkuras veselas vērtības.
Tas nozīmē, ka sākotnējā vienādojuma pirmajai risinājumu sērijai ir šāda forma:
, , - veselu skaitļu kopa (1)
Līdzīgi otrajai risinājumu sērijai ir šāda forma:
, Kur,. (2)
Kā jau varēja uzminēt, šīs risinājumu sērijas pamatā ir punkts uz apļa, kas atbilst griešanās leņķim par .
Šīs divas risinājumu sērijas var apvienot vienā ierakstā:
Ja ņemsim (tas ir, pat) šajā ierakstā, tad iegūsim pirmo risinājumu sēriju.
Ja šajā ierakstā ņemam (tas ir, nepāra), tad iegūstam otro risinājumu sēriju.
2. Tagad atrisināsim vienādojumu
Tā kā šī ir vienības apļa punkta abscisa, kas iegūta, pagriežot leņķi, mēs atzīmējam punktu ar abscisu uz ass:
Novelciet vertikālu līniju, kas ir paralēla asij, līdz tā krustojas ar apli. Mēs iegūsim divus punktus, kas atrodas uz apļa un kam ir abscisa. Šie punkti atbilst rotācijas leņķiem un radiānos. Atgādiniet, ka, pārvietojoties pulksteņrādītāja virzienā, mēs iegūstam negatīvu griešanās leņķi:
Pierakstīsim divas risinājumu sērijas:
,
,
(Mēs nokļūstam vēlamajā punktā, izejot no galvenā pilna apļa, tas ir.
Apvienosim šīs divas sērijas vienā ierakstā:
3. Atrisiniet vienādojumu
Pieskares līnija iet caur punktu ar koordinātām (1,0) vienības apļa paralēli OY asij
Atzīmēsim uz tā punktu ar ordinātu, kas vienāds ar 1 (mēs meklējam pieskares leņķiem, kas vienādi ar 1):
Savienosim šo punktu ar koordinātu sākumpunktu ar taisni un atzīmēsim taisnes krustpunktus ar vienības apli. Taisnes līnijas un apļa krustošanās punkti atbilst griešanās leņķiem uz un :
Tā kā punkti, kas atbilst griešanās leņķiem, kas atbilst mūsu vienādojumam, atrodas radiānu attālumā viens no otra, mēs varam uzrakstīt risinājumu šādi:
4. Atrisiniet vienādojumu
Kotangenšu līnija iet caur punktu ar vienības apļa koordinātām paralēli asij.
Atzīmēsim punktu ar abscisu -1 uz kotangentu līnijas:
Savienosim šo punktu ar taisnes izcelsmi un turpināsim to, līdz tas krustojas ar apli. Šī taisne krustos apli punktos, kas atbilst griešanās leņķiem iekšā un radiānos:
Tā kā šie punkti ir atdalīti viens no otra ar attālumu, kas vienāds ar , Tad vispārējs risinājums Mēs varam uzrakstīt šo vienādojumu šādi:
Dotajos piemēros, kas ilustrē vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risinājumu, tika izmantotas trigonometrisko funkciju tabulas vērtības.
Tomēr, ja vienādojuma labajā pusē ir vērtība, kas nav tabulas veidā, mēs to aizstājam ar vienādojuma vispārējo risinājumu:
ĪPAŠI RISINĀJUMI:
Atzīmēsim punktus uz apļa, kura ordināta ir 0:
Atzīmēsim vienu punktu uz apļa, kura ordināta ir 1:
Atzīmēsim vienu punktu uz apļa, kura ordināta ir vienāda ar -1:
Tā kā ir ierasts norādīt vērtības, kas ir vistuvāk nullei, mēs rakstām risinājumu šādi:
Atzīmēsim punktus uz apļa, kura abscisa ir vienāda ar 0:
5.
Atzīmēsim vienu punktu uz apļa, kura abscisa ir vienāda ar 1:
Atzīmēsim vienu punktu uz apļa, kura abscisa ir vienāda ar -1:
Un nedaudz sarežģītāki piemēri:
1.
Sinuss ir vienāds ar vienu, ja arguments ir vienāds ar
Mūsu sinusa arguments ir vienāds, tāpēc mēs iegūstam:
Sadaliet abas vienādības puses ar 3:
Atbilde:
2.
Kosinuss ir nulle, ja kosinusa arguments ir
Mūsu kosinusa arguments ir vienāds ar , tāpēc mēs iegūstam:
Izteiksim , lai to izdarītu, vispirms virzāmies pa labi ar pretēju zīmi:
Vienkāršosim labo pusi:
Sadaliet abas puses ar -2:
Ņemiet vērā, ka zīme vārda priekšā nemainās, jo k var iegūt jebkuru veselu skaitli.
Atbilde:
Un visbeidzot noskatieties video pamācību “Sakņu atlase trigonometriskā vienādojumā, izmantojot trigonometriskais aplis"
Tas noslēdz mūsu sarunu par vienkāršu trigonometrisko vienādojumu risināšanu. Nākamreiz runāsim par to, kā izlemt.
Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.
Personiskās informācijas vākšana un izmantošana
Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.
Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.
Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.
Kādu personas informāciju mēs apkopojam:
- Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.
Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:
- Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
- Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
- Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
- Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.
Informācijas izpaušana trešajām personām
Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.
Izņēmumi:
- Ja nepieciešams, saskaņā ar likumu, tiesas process, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai pieprasījumiem no valsts aģentūras Krievijas Federācijas teritorijā - atklājiet savu personīgo informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
- Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.
Personiskās informācijas aizsardzība
Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.
Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī
Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.
Vienkāršākie trigonometriskie vienādojumi parasti tiek atrisināti, izmantojot formulas. Atgādināšu, ka vienkāršākie trigonometriskie vienādojumi ir:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x ir atrodamais leņķis,
a ir jebkurš skaitlis.
Un šeit ir formulas, ar kurām jūs varat nekavējoties pierakstīt šo vienkāršāko vienādojumu risinājumus.
Sinusam:
Kosinusam:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Pieskarei:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Kotangensam:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Patiesībā šī ir vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu risināšanas teorētiskā daļa. Turklāt viss!) Nekas. Tomēr kļūdu skaits šajā tēmā vienkārši nav redzams. It īpaši, ja piemērs nedaudz atšķiras no veidnes. Kāpēc?
Jā, jo daudzi cilvēki pieraksta šīs vēstules, vispār nesaprotot to nozīmi! Viņš pieraksta piesardzīgi, lai kaut kas nenotiktu...) Tas ir jāsakārto. Galu galā trigonometrija cilvēkiem vai cilvēki trigonometrijai!?)
Izdomāsim?
Viens leņķis būs vienāds ar Arccos a, otrais: -arccos a.
Un tas vienmēr izdosies šādi. Par jebkuru A.
Ja neticat man, novietojiet peles kursoru virs attēla vai pieskarieties attēlam planšetdatorā.) Es nomainīju numuru. A uz kaut ko negatīvu. Lai nu kā, mums ir viens stūris Arccos a, otrais: -arccos a.
Tāpēc atbildi vienmēr var uzrakstīt kā divas sakņu sērijas:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Apvienosim šīs divas sērijas vienā:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Un tas arī viss. Esam ieguvuši vispārīgu formulu vienkāršākā trigonometriskā vienādojuma risināšanai ar kosinusu.
Ja saproti, ka tā nav kaut kāda virszinātniska gudrība, bet tikai divu atbilžu sēriju saīsināta versija, Varēsi tikt galā arī ar uzdevumiem “C”. Ar nevienādībām, ar sakņu atlasi no dotā intervāla... Tur atbilde ar plus/mīnusu neder. Bet, ja jūs atbildēsiet uz atbildi lietišķi un sadalīsiet to divās atsevišķās atbildēs, viss tiks atrisināts.) Patiesībā mēs to izskatām. Kas, kā un kur.
Vienkāršākajā trigonometriskajā vienādojumā
sinx = a
mēs arī iegūstam divas sakņu sērijas. Vienmēr. Un šīs divas sērijas var arī ierakstīt vienā rindā. Tikai šī rinda būs sarežģītāka:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Bet būtība paliek nemainīga. Matemātiķi vienkārši izstrādāja formulu, lai veiktu vienu, nevis divus ierakstus sakņu sērijām. Tas arī viss!
Pārbaudīsim matemātiķus? Un nekad nevar zināt...)
Iepriekšējā nodarbībā tika detalizēti apspriests trigonometriskā vienādojuma ar sinusu risinājums (bez formulām):
Atbilde radīja divas sakņu sērijas:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Ja mēs atrisinām to pašu vienādojumu, izmantojot formulu, mēs saņemam atbildi:
x = (-1) n loksns 0,5 + π n, n ∈ Z
Patiesībā šī ir nepabeigta atbilde.) Studentam tas ir jāzina arcsin 0,5 = π /6. Pilnīga atbilde būtu:
x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z
Šeit tas rodas interesants jautājums. Atbildēt, izmantojot x 1; x 2 (šī ir pareizā atbilde!) un caur vientuļajiem X (un šī ir pareizā atbilde!) - vai tie ir viens un tas pats vai nē? Mēs to tagad uzzināsim.)
Mēs atbildē aizstājam ar x 1 vērtības n =0; 1; 2; utt., mēs saskaitām, mēs iegūstam virkni sakņu:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 un tā tālāk.
Ar tādu pašu aizstāšanu, atbildot ar x 2 , mēs iegūstam:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 un tā tālāk.
Tagad aizstāsim vērtības n (0; 1; 2; 3; 4...) vienkāršā vispārīgajā formulā X . Tas ir, mēs paaugstinām mīnus viens līdz nulles jaudai, pēc tam uz pirmo, otro utt. Nu, protams, otrajā vietā mēs aizstājam 0; 1; 2 3; 4 utt. Un mēs skaitām. Mēs iegūstam sēriju:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 un tā tālāk.
Tas ir viss, ko jūs varat redzēt.) Vispārējā formula sniedz mums tieši tādi paši rezultāti tāpat kā abas atbildes atsevišķi. Tikai viss uzreiz, kārtībā. Matemātiķi netika maldināti.)
Var pārbaudīt arī formulas trigonometrisko vienādojumu risināšanai ar tangensu un kotangensu. Bet mēs to nedarīsim.) Tie jau ir vienkārši.
Es speciāli izrakstīju visu šo aizstāšanu un pārbaudi. Šeit ir svarīgi saprast vienu lietu vienkārša lieta: ir formulas elementāru trigonometrisko vienādojumu risināšanai, tikai īss atbilžu kopsavilkums.Šim īsumam mums bija jāievieto plus/mīnus kosinusa šķīdumā un (-1) n sinusa šķīdumā.
Šie ieliktņi nekādā veidā neiejaucas uzdevumos, kur vienkārši jāpieraksta atbilde uz elementāru vienādojumu. Bet, ja jums ir jāatrisina nevienlīdzība vai pēc tam jums kaut kas jādara ar atbildi: atlasiet saknes intervālā, pārbaudiet ODZ utt., Šie ievietojumi var viegli satraukt cilvēku.
Tātad, kas man jādara? Jā, vai nu uzrakstiet atbildi divās sērijās, vai arī atrisiniet vienādojumu/nevienādību, izmantojot trigonometrisko apli. Tad šie iestarpinājumi pazūd un dzīve kļūst vieglāka.)
Mēs varam apkopot.
Lai atrisinātu vienkāršākos trigonometriskos vienādojumus, ir gatavas atbilžu formulas. Četri gabali. Tie ir piemēroti, lai uzreiz pierakstītu vienādojuma risinājumu. Piemēram, jums ir jāatrisina vienādojumi:
sinx = 0,3
Viegli: x = (-1) n loksns 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Nav problēmu: x = ± loka 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Viegli: x = arktāns 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Viens palicis: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Ja jūs, spīdot ar zināšanām, uzreiz uzrakstiet atbildi:
x= ± loki 1,8 + 2π n, n ∈ Z
tad jau tu spīdi, tas... tas... no peļķes.) Pareizā atbilde: risinājumu nav. Nesaprotu kāpēc? Izlasiet, kas ir loka kosinuss. Turklāt, ja sākotnējā vienādojuma labajā pusē ir sinusa, kosinusa, tangensa, kotangenta tabulas vērtības, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 utt. - atbilde caur arkām būs nepabeigta. Arkas jāpārvērš radiānos.
Un, ja jūs saskaraties ar nevienlīdzību, piemēram
tad atbilde ir:
x πn, n ∈ Z
ir retas muļķības, jā...) Šeit jums jāatrisina, izmantojot trigonometrisko apli. Ko mēs darīsim attiecīgajā tēmā.
Tiem, kas varonīgi izlasa šīs rindas. Es vienkārši nevaru nenovērtēt jūsu titāniskos centienus. Bonuss jums.)
Bonuss:
Rakstot formulas satraucošā kaujas situācijā, pat pieredzējuši nerdi bieži apjūk, kur πn, un kur 2π n. Šeit jums ir vienkāršs triks. In visiem formulas vērts πn. Izņemot vienīgo formulu ar loka kosinusu. Tas tur stāv 2πn. Divas peen. Atslēgvārds - divi.Šajā pašā formulā ir divi zīme sākumā. Pluss un mīnuss. Un tur, un tur - divi.
Tātad, ja jūs rakstījāt divi zīmi pirms loka kosinusa, ir vieglāk atcerēties, kas notiks beigās divi peen. Un tas notiek arī otrādi. Persona palaidīs garām zīmi ± , tiek līdz galam, raksta pareizi divi Pien, un viņš nāks pie prāta. Kaut kas ir priekšā divi paraksties! Cilvēks atgriezīsies sākumā un izlabos kļūdu! Tāpat kā šis.)
Ja jums patīk šī vietne...
Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)
Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)
Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.
Risinot daudzas matemātiskas problēmas , īpaši tiem, kas notiek pirms 10. klases, ir skaidri noteikta to darbību secība, kas novedīs pie mērķa sasniegšanas. Šādas problēmas ietver, piemēram, lineāro un kvadrātvienādojumi, lineāra un kvadrātiskās nevienādības, daļvienādojumi un vienādojumi, kas reducē līdz kvadrātiskām. Katras minētās problēmas sekmīgas risināšanas princips ir šāds: jākonstatē, kāda veida problēmu risina, jāatceras nepieciešamā darbību secība, kas novedīs pie vēlamā rezultāta, t.i. atbildiet un veiciet šīs darbības.
Ir skaidrs, ka veiksme vai neveiksme konkrētas problēmas risināšanā galvenokārt ir atkarīga no tā, cik pareizi tiek noteikts risināmā vienādojuma veids, cik pareizi tiek reproducēta visu tā risināšanas posmu secība. Protams, šajā gadījumā ir nepieciešamas prasmes veikt identiskus pārveidojumus un aprēķinus.
Situācija ir atšķirīga ar trigonometriskie vienādojumi. Nav grūti noteikt, ka vienādojums ir trigonometrisks. Grūtības rodas, nosakot darbību secību, kas novestu pie pareizas atbildes.
Autors izskats vienādojums, dažreiz ir grūti noteikt tā veidu. Un, nezinot vienādojuma veidu, ir gandrīz neiespējami izvēlēties pareizo no vairākiem desmitiem trigonometrisko formulu.
Lai atrisinātu trigonometrisko vienādojumu, jums jāmēģina:
1. Novietojiet visas vienādojumā iekļautās funkcijas “vienādos leņķos”;
2. vienādojumu pielīdzināt “identiskām funkcijām”;
3. faktorēt vienādojuma kreiso pusi utt.
Apsvērsim trigonometrisko vienādojumu risināšanas pamatmetodes.
I. Reducēšana uz vienkāršākajiem trigonometriskajiem vienādojumiem
Risinājuma diagramma
1. darbība. Izteikt trigonometrisko funkciju zināmu komponentu izteiksmē.
2. darbība. Atrodiet funkcijas argumentu, izmantojot formulas:
cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.
sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.
iedegums x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.
ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.
3. darbība. Atrodiet nezināmo mainīgo.
Piemērs.
2 cos(3x – π/4) = -√2.
Risinājums.
1) cos(3x – π/4) = -√2/2.
2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;
3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.
3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;
x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;
x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
Atbilde: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.
II. Mainīga nomaiņa
Risinājuma diagramma
1. darbība. Samaziniet vienādojumu līdz algebriskajai formai attiecībā uz vienu no trigonometriskajām funkcijām.
2. darbība. Iegūto funkciju apzīmē ar mainīgo t (ja nepieciešams, ievieš t ierobežojumus).
3. darbība. Pierakstiet un atrisiniet iegūto algebrisko vienādojumu.
4. darbība. Veiciet apgrieztu nomaiņu.
5. darbība. Atrisiniet vienkāršāko trigonometrisko vienādojumu.
Piemērs.
2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.
Risinājums.
1) 2(1 – grēks 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;
2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.
2) Lai sin (x/2) = t, kur |t| ≤ 1.
3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;
t = 1 vai e = -3/2, neatbilst nosacījumam |t| ≤ 1.
4) sin(x/2) = 1.
5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;
x = π + 4πn, n Є Z.
Atbilde: x = π + 4πn, n Є Z.
III. Vienādojuma secības samazināšanas metode
Risinājuma diagramma
1. darbība. Aizstāt dots vienādojums lineāri, izmantojot pakāpes samazināšanas formulas:
sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);
cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);
tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).
2. darbība. Atrisiniet iegūto vienādojumu, izmantojot I un II metodi.
Piemērs.
cos 2x + cos 2 x = 5/4.
Risinājums.
1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.
2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;
3/2 cos 2x = 3/4;
2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;
x = ±π/6 + πn, n Є Z.
Atbilde: x = ±π/6 + πn, n Є Z.
IV. Homogēni vienādojumi
Risinājuma diagramma
1. darbība. Samaziniet šo vienādojumu līdz formai
a) a sin x + b cos x = 0 (pirmās pakāpes homogēns vienādojums)
vai uz skatu
b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (otrās pakāpes homogēns vienādojums).
2. darbība. Sadaliet abas vienādojuma puses ar
a) cos x ≠ 0;
b) cos 2 x ≠ 0;
un iegūstiet tan x vienādojumu:
a) iedegums x + b = 0;
b) a iedegums 2 x + b arctan x + c = 0.
3. darbība. Atrisiniet vienādojumu, izmantojot zināmas metodes.
Piemērs.
5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.
Risinājums.
1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;
5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;
sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.
2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.
3) Ļaujiet tg x = t, tad
t 2 + 3t – 4 = 0;
t = 1 vai t = -4, kas nozīmē
tg x = 1 vai tg x = -4.
No pirmā vienādojuma x = π/4 + πn, n Є Z; no otrā vienādojuma x = -arctg 4 + πk, kЄ Z.
Atbilde: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.
V. Vienādojuma pārveidošanas metode, izmantojot trigonometriskās formulas
Risinājuma diagramma
1. darbība. Izmantojot visu veidu trigonometriskās formulas, samaziniet šo vienādojumu līdz vienādojumam, kas atrisināts ar I, II, III, IV metodēm.
2. darbība. Atrisiniet iegūto vienādojumu, izmantojot zināmas metodes.
Piemērs.
grēks x + grēks 2x + grēks 3x = 0.
Risinājums.
1) (sin x + grēks 3x) + grēks 2x = 0;
2sin 2x cos x + sin 2x = 0.
2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;
sin 2x = 0 vai 2cos x + 1 = 0;
No pirmā vienādojuma 2x = π/2 + πn, n Є Z; no otrā vienādojuma cos x = -1/2.
Mums ir x = π/4 + πn/2, n Є Z; no otrā vienādojuma x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.
Rezultātā x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Atbilde: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.
Spēja un prasme atrisināt trigonometriskos vienādojumus ir ļoti liela 
svarīgi, to izstrāde prasa ievērojamas pūles gan no skolēna, gan no skolotāja puses.
Daudzas stereometrijas, fizikas uc problēmas ir saistītas ar trigonometrisko vienādojumu risināšanu. Šādu uzdevumu risināšanas process ietver daudzas zināšanas un prasmes, kas tiek iegūtas, pētot trigonometrijas elementus.
Trigonometriskie vienādojumi ieņem nozīmīgu vietu matemātikas apguves procesā un personības attīstībā kopumā.
Vai joprojām ir jautājumi? Vai nezināt, kā atrisināt trigonometriskos vienādojumus?
Lai saņemtu palīdzību no pasniedzēja, reģistrējieties.
Pirmā nodarbība bez maksas!
tīmekļa vietni, kopējot materiālu pilnībā vai daļēji, ir nepieciešama saite uz oriģinālo avotu.
Atsauces informācija par trigonometriskajām funkcijām sinuss (sin x) un kosinuss (cos x). Ģeometriskā definīcija, īpašības, grafiki, formulas. Sinusu un kosinusu tabula, atvasinājumi, integrāļi, rindas paplašinājumi, sekants, kosekants. Izteiksmes, izmantojot sarežģītus mainīgos. Savienojums ar hiperboliskām funkcijām.
Sinusa un kosinusa ģeometriskā definīcija
|BD|- apļa loka garums, kura centrs atrodas punktā A.
α
- radiānos izteikts leņķis.
Definīcija
Sinuss (sin α) ir trigonometriska funkcija atkarībā no leņķa α starp hipotenūzu un kāju taisnleņķa trīsstūris, vienāds ar attiecību pretējās malas garums |BC| līdz hipotenūzas garumam |AC|.
Kosinuss (cos α) ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas vienāda ar blakus esošās kājas garuma attiecību |AB| līdz hipotenūzas garumam |AC|.
Pieņemtie apzīmējumi
;
;
.
;
;
.
Sinusa funkcijas grafiks, y = sin x
Kosinusa funkcijas grafiks, y = cos x
Sinusa un kosinusa īpašības
Periodiskums
Funkcijas y = grēks x un y = cos x periodisks ar periodu 2π.
Paritāte
Sinusa funkcija ir nepāra. Kosinusa funkcija ir vienmērīga.
Definīcijas joma un vērtības, galējības, pieaugums, samazinājums
Sinusa un kosinusa funkcijas ir nepārtrauktas savā definīcijas jomā, tas ir, visiem x (skatiet nepārtrauktības pierādījumu). To galvenās īpašības ir parādītas tabulā (n - vesels skaitlis).
| y = grēks x | y = cos x | |
| Darbības joma un nepārtrauktība | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Vērtību diapazons | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Pieaug | ||
| Dilstoša | ||
| Maxima, y = 1 | ||
| Minimums, y = - 1 | ||
| Nulles, y = 0 | ||
| Pārtveršanas punkti ar ordinātu asi, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Pamatformulas
Sinusa un kosinusa kvadrātu summa
Formulas sinususam un kosinusam no summas un starpības
;
;
Formulas sinusu un kosinusu reizinājumam
Summu un starpības formulas
Sinusu izsaka caur kosinusu
;
;
;
.
Kosinusa izteikšana caur sinusu
;
;
;
.
Izteiksme caur tangenti
; .
Kad mums ir:
;
.
Vietnē:
;
.
Sinusu un kosinusu, tangenšu un kotangenšu tabula
Šajā tabulā ir parādītas sinusu un kosinusu vērtības noteiktām argumenta vērtībām. 
Izteiksmes, izmantojot sarežģītus mainīgos
;
Eilera formula
{ -∞ < x < +∞ }
Sekants, kosekants
Apgrieztās funkcijas
Apgrieztās funkcijas uz sinususu un kosinusu ir attiecīgi arcsinuss un arkosinuss.
Arcsine, arcsin
Arkosīns, arkoss
Izmantotā literatūra:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un koledžas studentiem, “Lan”, 2009.