Šajā rakstā mēs to aplūkosim vispusīgi. Pamata trigonometriskās identitātes ir vienādības, kas izveido saikni starp viena leņķa sinusu, kosinusu, tangensu un kotangensu un ļauj atrast jebkuru no šīm trigonometriskajām funkcijām, izmantojot zināmu citu.
Nekavējoties uzskaitīsim galvenās trigonometriskās identitātes, kuras mēs analizēsim šajā rakstā. Pierakstīsim tos tabulā, un tālāk mēs sniegsim šo formulu rezultātus un sniegsim nepieciešamos paskaidrojumus.
Lapas navigācija.
Attiecība starp viena leņķa sinusu un kosinusu
Dažreiz viņi nerunā par galvenajām trigonometriskajām identitātēm, kas uzskaitītas iepriekš tabulā, bet gan par vienu pamata trigonometriskā identitāte laipns 
. Izskaidrojums šim faktam ir pavisam vienkāršs: vienādības tiek iegūtas no galvenās trigonometriskās identitātes, sadalot abas tās daļas ar un attiecīgi, un vienādības 
Un 
izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijām. Par to sīkāk runāsim turpmākajos punktos.
Tas ir, īpaši interesē vienlīdzība, kurai tika piešķirts galvenās trigonometriskās identitātes nosaukums.
Pirms galvenās trigonometriskās identitātes pierādīšanas mēs sniedzam tās formulējumu: viena leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summa ir identiski vienāda ar vienu. Tagad pierādīsim to.
Pamata trigonometriskā identitāte ļoti bieži tiek izmantota, kad trigonometrisko izteiksmju konvertēšana. Tas ļauj viena leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summu aizstāt ar vienu. Ne retāk trigonometriskā pamatidentitāte tiek izmantota apgrieztā secībā: vienību aizstāj ar jebkura leņķa sinusa un kosinusa kvadrātu summu.
Pieskares un kotangenss caur sinusu un kosinusu
Identitātes, kas savieno tangensu un kotangensu ar viena skata leņķa sinusu un kosinusu un 
nekavējoties izriet no sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijām. Patiešām, pēc definīcijas sinuss ir y ordināta, kosinuss ir x abscisa, tangenss ir ordinātu attiecība pret abscisu, tas ir, 
, un kotangenss ir abscisu attiecība pret ordinātām, tas ir, 
.
Pateicoties šādai identitāšu acīmredzamībai un Tangensu un kotangensu bieži definē nevis ar abscisu un ordinātu attiecību, bet gan ar sinusa un kosinusa attiecību. Tātad leņķa pieskare ir sinusa attiecība pret šī leņķa kosinusu, bet kotangensa ir kosinusa attiecība pret sinusu.
Noslēdzot šo punktu, jāatzīmē, ka identitātes un notiek visiem leņķiem, kuros tajos ietvertajām trigonometriskajām funkcijām ir jēga. Tātad formula ir derīga jebkuram , izņemot (pretējā gadījumā saucējam būs nulle, un mēs nedefinējām dalījumu ar nulli), un formula - visiem , atšķiras no , kur z ir jebkurš .
Attiecības starp tangensu un kotangensu
Vēl acīmredzamāka trigonometriskā identitāte nekā iepriekšējās divas ir identitāte, kas savieno formas viena leņķa tangensu un kotangensu . Ir skaidrs, ka tas attiecas uz visiem leņķiem, izņemot , pretējā gadījumā nav definēta ne pieskare, ne kotangenss.
Formulas pierādījums ļoti vienkārši. Pēc definīcijas un no kurienes 
. Pierādīšanu varēja veikt nedaudz savādāk. Kopš , Tas 
.
Tātad tā paša leņķa tangenss un kotangenss, kurā tiem ir jēga, ir .
Turpinām sarunu par trigonometrijā visbiežāk izmantotajām formulām. Vissvarīgākās no tām ir saskaitīšanas formulas.
1. definīcija
Saskaitīšanas formulas ļauj izteikt divu leņķu starpības vai summas funkcijas, izmantojot šo leņķu trigonometriskās funkcijas.
Sākumā mēs dosim pilns saraksts saskaitīšanas formulas, tad mēs tās pierādīsim un analizēsim vairākus ilustratīvus piemērus.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pamatformulas trigonometrijā
Ir astoņas pamatformulas: summas sinuss un divu leņķu starpības sinuss, summas un starpības kosinuss, summas un starpības attiecīgi pieskares un kotangences. Zemāk ir to standarta formulējumi un aprēķini.
1. Divu leņķu summas sinusu var iegūt šādi:
Mēs aprēķinām pirmā leņķa sinusa un otrā kosinusa reizinājumu;
Reiziniet pirmā leņķa kosinusu ar pirmā leņķa sinusu;
Saskaitiet iegūtās vērtības.
Formulas grafiskais raksts izskatās šādi: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. Starpības sinusu aprēķina gandrīz tādā pašā veidā, tikai iegūtie produkti nav jāsaskaita, bet jāatņem viens no otra. Tādējādi mēs aprēķinām pirmā leņķa sinusa reizinājumus ar otrā kosinusu un pirmā leņķa kosinusu ar otrā sinusu un atrodam to starpību. Formulu raksta šādi: sin (α - β) = grēks α · cos β + grēks α · sin β
3. Summas kosinuss. Tam mēs atrodam pirmā leņķa kosinusa reizinājumus attiecīgi ar otrā kosinusu un pirmā leņķa sinusa reizinājumu ar otrā leņķa sinusu, un atrodam to atšķirību: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
4. Starpības kosinuss: aprēķina šo leņķu sinusu un kosinusu reizinājumus, kā iepriekš, un saskaita. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Summas tangenss. Šo formulu izsaka kā daļu, kuras skaitītājs ir vajadzīgo leņķu pieskares summa, bet saucējs ir vienība, no kuras tiek atņemta vēlamo leņķu pieskares reizinājums. Viss ir skaidrs no tā grafiskā apzīmējuma: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Starpības tangenss. Mēs aprēķinām šo leņķu pieskares starpības un reizinājuma vērtības un turpinām ar tām līdzīgā veidā. Saucējā mēs pievienojam vienam, nevis otrādi: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Summas kotangenss. Lai aprēķinātu, izmantojot šo formulu, mums būs nepieciešams šo leņķu reizinājums un kotangentu summa, ko mēs rīkojamies šādi: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Starpības kotangenss . Formula ir līdzīga iepriekšējai, bet skaitītājs un saucējs ir mīnuss, nevis plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β.
Jūs droši vien pamanījāt, ka šīs formulas ir līdzīgas pa pāriem. Izmantojot zīmes ± (plus-mīnuss) un ∓ (mīnus-pluss), mēs varam tās grupēt, lai atvieglotu ierakstīšanu:
sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± 1 t g β t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Attiecīgi mums ir viena ierakstīšanas formula katras vērtības summai un starpībai, tikai vienā gadījumā pievēršam uzmanību augšējai zīmei, otrā – zemākajai.
2. definīcija
Mēs varam ņemt jebkurus leņķus α un β, un tiem derēs kosinusa un sinusa saskaitīšanas formulas. Ja mēs varam pareizi noteikt šo leņķu pieskares un kotangenšu vērtības, tad tiem derēs arī pieskares un kotangentes saskaitīšanas formulas.
Tāpat kā lielākā daļa algebras jēdzienu, saskaitīšanas formulas var pierādīt. Pirmā formula, ko mēs pierādīsim, ir atšķirības kosinusa formula. Pēc tam no tā var viegli secināt pārējos pierādījumus.
Noskaidrosim pamatjēdzienus. Mums vajadzēs vienības aplis. Tas izdosies, ja paņemsim noteiktu punktu A un pagriežam leņķus α un β ap centru (punktu O). Tad leņķis starp vektoriem O A 1 → un O A → 2 būs vienāds ar (α - β) + 2 π · z vai 2 π - (α - β) + 2 π · z (z ir jebkurš vesels skaitlis). Iegūtie vektori veido leņķi, kas ir vienāds ar α - β vai 2 π - (α - β), vai arī tas var atšķirties no šīm vērtībām par veselu pilnu apgriezienu skaitu. Apskatiet attēlu:
Mēs izmantojām samazināšanas formulas un ieguvām šādus rezultātus:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Rezultāts: leņķa kosinuss starp vektoriem O A 1 → un O A 2 → ir vienāds ar leņķa α - β kosinusu, tāpēc cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Atcerēsimies sinusa un kosinusa definīcijas: sinuss ir leņķa funkcija, vienāds ar attiecību hipotenūzai pretējā leņķa kāja, kosinuss ir komplementārā leņķa sinuss. Tāpēc punkti A 1 Un A 2 ir koordinātas (cos α, sin α) un (cos β, sin β).
Mēs iegūstam sekojošo:
O A 1 → = (cos α, sin α) un O A 2 → = (cos β, sin β)
Ja nav skaidrs, apskatiet vektoru sākumā un beigās izvietoto punktu koordinātas.
Vektoru garumi ir vienādi ar 1, jo Mums ir vienības aplis.
Apskatīsim to tagad punktu produkts vektori O A 1 → un O A 2 → . Koordinātās tas izskatās šādi:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β
No tā mēs varam iegūt vienlīdzību:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Tādējādi ir pierādīta atšķirības kosinusa formula.
Tagad mēs pierādīsim šādu formulu - summas kosinusu. Tas ir vieglāk, jo mēs varam izmantot iepriekšējos aprēķinus. Ņemsim attēlojumu α + β = α - (- β) . Mums ir:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Šis ir kosinusa summas formulas pierādījums. Pēdējā rindā tiek izmantota pretējo leņķu sinusa un kosinusa īpašība.
Summas sinusa formulu var atvasināt no starpības kosinusa formulas. Ņemsim šī samazināšanas formulu:
no formas sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)). Tātad
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
Un šeit ir atšķirības sinusa formulas pierādījums:
grēks (α - β) = grēks (α + (- β)) = grēks α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Ņemiet vērā pretējo leņķu sinusa un kosinusa īpašību izmantošanu pēdējā aprēķinā.
Tālāk mums ir nepieciešami tangensa un kotangensa saskaitīšanas formulu pierādījumi. Atcerēsimies pamatdefinīcijas (tangenss ir sinusa un kosinusa attiecība, un kotangenss ir otrādi) un ņemsim jau iepriekš atvasinātās formulas. Mēs saņēmām:
t g (α + β) = grēks (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Mums ir sarežģīta daļa. Tālāk mums ir jāsadala tā skaitītājs un saucējs ar cos α · cos β, ņemot vērā, ka cos α ≠ 0 un cos β ≠ 0, mēs iegūstam:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β
Tagad mēs samazinām daļskaitļus un iegūstam šādu formulu: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
Mēs saņēmām t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β. Tas ir pieskares pievienošanas formulas pierādījums.
Nākamā formula, ko mēs pierādīsim, ir atšķirības formulas tangenss. Aprēķinos viss ir skaidri parādīts:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Kotangensa formulas tiek pierādītas līdzīgā veidā:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Nākamais:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β - c t g α
Divu leņķu summas un starpības kosinuss
Šajā sadaļā tiks pierādītas šādas divas formulas:
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)
Divu leņķu summas (starpības) kosinuss ir vienāds ar šo leņķu kosinusu reizinājumu mīnus (plus) šo leņķu sinusu reizinājumu.
Mums būs ērtāk sākt ar formulas (2) pierādījumu. Prezentācijas vienkāršības labad vispirms pieņemsim, ka leņķi α Un β atbilst šādiem nosacījumiem:
1) katrs no šiem leņķiem nav negatīvs un mazāks 2π:
0 < α <2π, 0< β < 2π;
2) α > β .
Lai 0x ass pozitīvā daļa ir leņķu kopējā sākuma puse α Un β .
Šo leņķu gala malas apzīmējam attiecīgi ar 0A un 0B. Acīmredzot leņķis α - β var uzskatīt par leņķi, par kādu staru kūli 0B nepieciešams pagriezt ap punktu 0 pretēji pulksteņrādītāja virzienam, lai tā virziens sakristu ar stara 0A virzienu.
Uz stariem 0A un 0B atzīmējam punktus M un N, kas atrodas 1 attālumā no koordinātu 0 sākuma, lai 0M = 0N = 1.
x0y koordinātu sistēmā punktam M ir koordinātes ( cos α, sin α), un punkts N ir koordinātas ( cos β, sin β). Tāpēc attāluma kvadrāts starp tiem ir:
d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +
+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .
Savos aprēķinos mēs izmantojām identitāti
sin 2 φ + cos 2 φ = 1.
Tagad apsveriet citu koordinātu sistēmu B0C, ko iegūst, pagriežot 0x un 0y asis ap punktu 0 pretēji pulksteņrādītāja virzienam par leņķi. β .
Šajā koordinātu sistēmā punktam M ir koordinātes (cos ( α - β ), grēks ( α - β )), un punkts ir N-koordināta (1,0). Tāpēc attāluma kvadrāts starp tiem ir:
d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +
+ sin 2 (α - β) = 2 .
Bet attālums starp punktiem M un N nav atkarīgs no tā, pret kuru koordinātu sistēmu mēs šos punktus aplūkojam. Tieši tāpēc
d 1 2 = d 2 2
2 (1 — cos α cos β — sin α sin β) = 2 .
Šeit seko formula (2).
Tagad mums vajadzētu atcerēties šos divus ierobežojumus, ko mēs noteicām, lai vienkāršotu leņķu prezentāciju α Un β .
Prasība, ka katrs no stūriem α Un β nebija negatīvs, nav īsti nozīmīgs. Galu galā jebkuram no šiem leņķiem varat pievienot leņķi, kas ir reizināts ar 2, kas neietekmēs formulas (2) derīgumu. Tādā pašā veidā no katra no šiem leņķiem varat atņemt leņķi, kas ir vairākkārtējs 2π. Tāpēc mēs varam pieņemt, ka 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.
Arī stāvoklis izrādās nenozīmīgs α > β . Patiešām, ja α < β , Tas β >α ; tāpēc, ņemot vērā funkcijas paritāti cos X , mēs iegūstam:
cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,
kas būtībā sakrīt ar formulu (2). Tātad formula
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
attiecas uz visiem leņķiem α Un β . Jo īpaši, aizstājot tajā β ieslēgts - β un ņemot vērā to funkciju cosX ir pat, un funkcija grēksX dīvaini, mēs iegūstam:
cos (α + β) = cos [α - (- β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =
= cos α cos β - sin α sin β,
kas pierāda formulu (1).
Tātad, formulas (1) un (2) ir pierādītas.
Piemēri.
1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =
2) cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
Vingrinājumi
1 . Aprēķiniet, neizmantojot trigonometriskās tabulas:
a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;
b) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;
c) cos 29° cos 74° + sin 29° sin 74°;
d) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;
e) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8 ;
e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .
2.Vienkāršojiet izteiksmes:
a). cos( α + π/3 ) + cos(π/3 - α ) .
b). cos (36°+ α ) cos (24° - α ) + grēks (36° + α ) grēks ( α -24°).
V). sin(π/4 - α ) grēks (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )
d) cos 2 α + tg α grēks 2 α .
3 . Aprēķināt :
a) cos(α–β), Ja
cos α = - 2 / 5 , grēks β = - 5 / 13 ;
90°< α < 180°, 180° < β < 270°;
b) cos ( α + π / 6), ja cos α = 0,6;
3π/2< α < 2π.
4 . Atrast cos(α + β) un cos (α - β) ,ja zināms, ka grēks α = 7/25, cos β = - 5/13 un abi leņķi ( α Un β ) beidzas tajā pašā ceturksnī.
5 .Aprēķināt:
A). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]
b). cos [ arcsin 1/3 - arccos (- 2/3)] .
V). cos [ arctan 1/2 + arccos (- 2)]
Formulas sinusu un kosinusu summai un starpībai diviem leņķiem α un β ļauj pāriet no šo leņķu summas uz leņķu α + β 2 un α - β 2 reizinājumu. Nekavējoties atzīmēsim, ka nevajag jaukt sinusu un kosinusu summas un starpības formulas ar summas un starpības sinusu un kosinusu formulām. Zemāk mēs uzskaitām šīs formulas, sniedzam to atvasinājumus un parādām pielietojuma piemērus konkrētiem uzdevumiem.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Formulas sinusu un kosinusu summai un starpībai
Pierakstīsim, kā izskatās summas un starpības formulas sinusiem un kosinusiem
Sinusu summas un starpības formulas
sin α + grēks β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Summu un starpības formulas kosinusiem
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2, cos α - cos β · = 2 sin α + β - α 2
Šīs formulas ir derīgas visiem leņķiem α un β. Leņķus α + β 2 un α - β 2 sauc attiecīgi par alfa un beta leņķu pussummu un pusstarpību. Sniegsim katras formulas formulējumu.
Sinusu un kosinusu summu un starpību formulu definīcijas
Divu leņķu sinusu summa ir vienāds ar šo leņķu pussummas sinusa un pusatšķirības kosinusa reizinājumu.
Divu leņķu sinusu atšķirība ir vienāds ar šo leņķu pusstarpības sinusa un pussummas kosinusa reizinājumu.
Divu leņķu kosinusu summa ir vienāds ar šo leņķu pussummas kosinusa un pussummas kosinusa reizinājumu.
Divu leņķu kosinusu atšķirība ir vienāds ar šo leņķu pussummas sinusa un pussummas sinusa reizinājumu, kas ņemts ar negatīvu zīmi.
Sinusu un kosinusu summas un starpības atvasināšanas formulas
Lai iegūtu formulas divu leņķu sinusa un kosinusa summai un starpībai, tiek izmantotas saskaitīšanas formulas. Uzskaitīsim tos zemāk
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Iedomāsimies arī pašus leņķus kā pussummu un pusstarpību summu.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Mēs turpinām tieši pie sin un cos summas un starpības formulu atvasināšanas.
Sinusu summas formulas atvasināšana
Summā sin α + sin β mēs aizstājam α un β ar šo leņķu izteiksmēm, kas norādītas iepriekš. Mēs saņemam
sin α + grēks β = grēks α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2
Tagad pirmajai izteiksmei mēs izmantojam saskaitīšanas formulu, bet otrajai - leņķu atšķirību sinusa formulu (skatiet formulas iepriekš)
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Atveriet iekavas, pievienojiet līdzīgus terminus un iegūstiet nepieciešamo formulu
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 = 2 sin α + 2 cos α - β 2
Atlikušo formulu iegūšanas darbības ir līdzīgas.
Sinusu starpības formulas atvasināšana
grēks α - grēks β = grēks α + β 2 + α - β 2 - grēks α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - grēks α + β 2 - α - β 2 = grēks α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin β 2 cos α + β 2
Kosinusu summas formulas atvasināšana
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos β 2 cos α - β 2
Kosinusu starpības formulas atvasināšana
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - cos β α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2
Praktisku problēmu risināšanas piemēri
Vispirms pārbaudīsim vienu no formulām, aizstājot tajā noteiktas leņķa vērtības. Pieņemsim, ka α = π 2, β = π 6. Aprēķināsim šo leņķu sinusu summas vērtību. Pirmkārt, mēs izmantosim trigonometrisko funkciju pamatvērtību tabulu, un pēc tam izmantosim sinusu summas formulu.
Piemērs 1. Formulas pārbaude divu leņķu sinusu summai
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Tagad aplūkosim gadījumu, kad leņķa vērtības atšķiras no tabulā norādītajām pamatvērtībām. Pieņemsim, ka α = 165°, β = 75°. Aprēķināsim starpību starp šo leņķu sinusiem.
Piemērs 2. Sinusu starpības formulas pielietojums
α = 165 °, β = 75 ° grēks α - grēks β = grēks 165 ° - grēks 75 ° grēks 165 - grēks 75 = 2 grēks 165 ° - grēks 75 ° 2 cos 165 ° + grēks 75 ° 2 = 2 grēks 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Izmantojot sinusu un kosinusu summas un starpības formulas, varat pāriet no summas vai starpības uz trigonometrisko funkciju reizinājumu. Bieži vien šīs formulas sauc par formulām pārejai no summas uz reizinājumu. Risināšanā plaši tiek izmantotas sinusu un kosinusu summas un starpības formulas trigonometriskie vienādojumi un pārveidojot trigonometriskās izteiksmes.
Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter
Atsauces dati par tangensu (tg x) un kotangensu (ctg x). Ģeometriskā definīcija, īpašības, grafiki, formulas. Pieskares un kotangenšu tabula, atvasinājumi, integrāļi, sērijas paplašinājumi. Izteiksmes, izmantojot sarežģītus mainīgos. Savienojums ar hiperboliskām funkcijām.
Ģeometriskā definīcija
|BD|
- apļa loka garums, kura centrs atrodas punktā A.
α ir radiānos izteikts leņķis. Pieskares () iedegums α -Šo trigonometriskā funkcija , atkarībā no leņķa α starp hipotenūzu un kāju taisnleņķa trīsstūris
, vienāds ar pretējās malas garuma attiecību |BC| līdz blakus esošās kājas garumam |AB| .) Kotangenss (
ctg α
ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas vienāda ar blakus esošās kājas garuma attiecību |AB| uz pretējās kājas garumu |BC| . Pieskares
Kur
.
;
;
.
n
- vesels.
ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas vienāda ar blakus esošās kājas garuma attiecību |AB| uz pretējās kājas garumu |BC| . Pieskares
Rietumu literatūrā tangenss tiek apzīmēts šādi:
.
Pieskares funkcijas grafiks, y = tan x
;
;
.
Kotangenss
Rietumu literatūrā kotangenss tiek apzīmēts šādi:
Tiek pieņemti arī šādi apzīmējumi:
Kotangences funkcijas grafiks, y = ctg x Pieskares un kotangences īpašības Periodiskums Funkcijas y = tg x
un y =
ctg x
ir periodiski ar periodu π.
Paritāte uz pretējās kājas garumu |BC| . Pieskares un kotangences funkcijas ir nepāra.
| Definīcijas un vērtību jomas, pieaug, samazinās Pieskares un kotangences īpašības | Definīcijas un vērtību jomas, pieaug, samazinās Funkcijas y = | |
| Pieskares un kotangentes funkcijas ir nepārtrauktas savā definīcijas jomā (skatiet nepārtrauktības pierādījumu). Galvenās tangensas un kotangensas īpašības ir parādītas tabulā ( | ||
| - vesels). | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| y= | - | |
| Darbības joma un nepārtrauktība | - | |
| Vērtību diapazons | - | - |
| Pieaug 0 | ||
| Dilstoša 0 | Definīcijas un vērtību jomas, pieaug, samazinās 0 | - |
Ekstrēmi
Nulles, y =
;
;
;
;
;
Pārtveršanas punkti ar ordinātu asi, x =
Formulas
Izteiksmes, izmantojot sinusu un kosinusu
Pieskares un kotangences formulas no summas un starpības
Piemēram, pārējās formulas ir viegli iegūt 
Pieskares reizinājums
Pieskares summas un starpības formula
;
;
Šajā tabulā ir parādītas pieskares un kotangenšu vērtības noteiktām argumenta vērtībām.
; .
.
Izteiksmes, izmantojot kompleksos skaitļus
.
Izteiksmes, izmantojot hiperboliskās funkcijas
Atvasinājumi
N-tās kārtas atvasinājums attiecībā uz funkcijas mainīgo x:
Lai iegūtu pieskares paplašinājumu x pakāpēs, ir jāņem vairāki izplešanās nosacījumi jaudas sērijas funkcijām grēks x Un cos x un sadaliet šos polinomus savā starpā, .
Tādējādi tiek iegūtas šādas formulas.
plkst.
plkst. Kur Bn
;
;
- Bernulli skaitļi. Tos nosaka vai nu no atkārtošanās attiecības:
Kur . 
Vai saskaņā ar Laplasa formulu:
Apgrieztās funkcijas Apgrieztās funkcijas
pieskarei un kotangensam ir attiecīgi arktangenss un arkotangenss.
Arktangents, arktg uz pretējās kājas garumu |BC| . Pieskares
, Kur
Arktangents, arktg uz pretējās kājas garumu |BC| . Pieskares
Arccotangent, arcctg
Izmantotā literatūra:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un koledžas studentiem, “Lan”, 2009.