Trigonometriskais aplis. Visaptverošais ceļvedis (2019). Trigonometriskais aplis. Trigonometrisko funkciju pamatnozīmes

Ja jau esat iepazinies ar trigonometriskais aplis , un jūs vienkārši vēlaties atsvaidzināt atmiņu par noteiktiem elementiem vai esat pilnīgi nepacietīgs, tad šeit tas ir:

Šeit mēs visu detalizēti analizēsim soli pa solim.

Trigonometriskais aplis nav greznība, bet gan nepieciešamība

Trigonometrija Daudzi cilvēki to saista ar necaurlaidīgu biezokni. Pēkšņi ir tik daudz nozīmju trigonometriskās funkcijas, tik daudz formulu... Bet sākumā neizdevās, un... izslēdzas un atkal... pilnīgs pārpratums...

Ir ļoti svarīgi nepadoties trigonometrisko funkciju vērtības, - saka, uz spuru vienmēr var paskatīties ar vērtību tabulu.

Ja pastāvīgi skatāties uz tabulu ar vērtībām trigonometriskās formulas, atbrīvojamies no šī ieraduma!

Viņš mums palīdzēs! Jūs strādāsit ar to vairākas reizes, un tad tas parādīsies jūsu galvā. Ar ko tas ir labāks par galdu? Jā, tabulā atradīsi ierobežotu skaitu vērtību, bet uz apļa - VISS!

Piemēram, sakiet, skatoties trigonometrisko formulu vērtību standarta tabula , kāpēc vienāds ar sinusu, teiksim, 300 grādi vai -45.

Nekādā gadījumā?.. var, protams, pieslēgties samazināšanas formulas... Un, skatoties uz trigonometrisko apli, jūs varat viegli atbildēt uz šādiem jautājumiem. Un jūs drīz uzzināsiet, kā!

Un lemjot trigonometriskie vienādojumi un nevienādības bez trigonometriskā apļa - nekur.

Ievads trigonometriskajā aplī

Ejam kārtībā.

Vispirms uzrakstīsim šo skaitļu sēriju:

Un tagad šis:

Un visbeidzot šis:

Protams, ir skaidrs, ka patiesībā pirmajā vietā ir , otrajā vietā ir , bet pēdējā vietā ir . Tas ir, mēs vairāk interesēsimies par ķēdi.

Bet cik skaisti tas izrādījās! Ja kaut kas notiks, mēs atjaunosim šīs "brīnuma kāpnes".

Un kāpēc mums tas ir vajadzīgs?

Šī ķēde ir galvenās sinusa un kosinusa vērtības pirmajā ceturksnī.

Uzzīmēsim apli ar vienības rādiusu taisnstūra koordinātu sistēmā (tas ir, ņemam jebkuru rādiusu garumā un pasludināsim tā garumu par vienību).

No “0-Start” sijas mēs izliekam stūrus bultiņas virzienā (skatiet attēlu).

Mēs iegūstam atbilstošos punktus uz apļa. Tātad, ja mēs projicējam punktus uz katras ass, mēs iegūsim tieši vērtības no iepriekš minētās ķēdes.

Kāpēc tas tā ir, jūs jautājat?

Neanalizēsim visu. Apsvērsim principu, kas ļaus tikt galā ar citām, līdzīgām situācijām.

Trijstūris AOB ir taisnstūrveida un satur . Un mēs zinām, ka pretī leņķim b atrodas kāja, kas ir uz pusi mazāka par hipotenūzu (mums ir hipotenūza = apļa rādiuss, tas ir, 1).

Tas nozīmē AB= (un līdz ar to OM=). Un saskaņā ar Pitagora teorēmu

Ceru, ka kaut kas jau kļūst skaidrs?

Tātad punkts B atbildīs vērtībai, un punkts M atbilst vērtībai

Tas pats ar citām pirmā ceturkšņa vērtībām.

Kā jūs saprotat, pazīstamā ass (vērsis) būs kosinusa ass, un ass (oy) – sinusu ass . Vēlāk.

Pa kreisi no nulles pa kosinusa asi (zem nulles pa sinusa asi), protams, būs negatīvas vērtības.

Tātad, lūk, VISVARENAIS, bez kura trigonometrijā nav nekur.

Bet mēs runāsim par to, kā izmantot trigonometrisko apli.

Leņķu skaitīšana uz trigonometriskā apļa.

Uzmanību!
Ir papildu
materiāli speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas ir ļoti "ne ļoti..."
Un tiem, kas “ļoti…”)

Tas ir gandrīz tāds pats kā iepriekšējā nodarbībā. Ir asis, aplis, leņķis, viss kārtībā. Pievienoti ceturkšņa skaitļi (lielā kvadrāta stūros) - no pirmā līdz ceturtajam. Ko darīt, ja kāds nezina? Kā redzat, ceturkšņi (tos sauc arī skaists vārds"kvadranti") ir numurēti pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Pievienotas leņķa vērtības uz asīm. Viss skaidrs, nekādu problēmu.

Un tiek pievienota zaļa bultiņa. Ar plusu. Ko tas nozīmē? Atgādināšu, ka leņķa fiksētā puse Vienmēr pienaglots pie pozitīvas pusass VĒRSIS. Tātad, ja mēs pagriežam leņķa kustīgo pusi gar bultiņu ar plusu, t.i. ceturkšņa skaitļu augošā secībā, leņķis tiks uzskatīts par pozitīvu. Piemēram, attēlā redzams +60° pozitīvs leņķis.

Ja noliekam malā stūrus pretējā virzienā, pulksteņrādītāja virzienā, leņķis tiks uzskatīts par negatīvu. Virziet kursoru virs attēla (vai pieskarieties attēlam planšetdatorā), jūs redzēsit zilu bultiņu ar mīnusa zīmi. Tas ir negatīvā leņķa nolasīšanas virziens. Piemēram, tiek parādīts negatīvs leņķis (- 60°). Un redzēsiet arī, kā mainījušies skaitļi uz asīm... Es tos arī konvertēju uz negatīviem leņķiem. Kvadrantu numerācija nemainās.

Šeit parasti sākas pirmie pārpratumi. Kā tā!? Ko darīt, ja apļa negatīvais leņķis sakrīt ar pozitīvo!? Un vispār izrādās, ka vienu un to pašu kustīgās puses (vai punkta uz skaitļa apļa) pozīciju var saukt gan par negatīvu leņķi, gan pozitīvu!?

Jā. Pareizi. Pieņemsim, ka pozitīvs 90 grādu leņķis ieņem apli tieši tas pats pozīcija kā mīnus 270 grādu negatīvs leņķis. Pozitīvs leņķis, piemēram, ir +110° grādi tieši tas pats pozīcija kā negatīvs leņķis -250°.

Nav jautājumu. Viss ir pareizi.) Pozitīvā vai negatīvā leņķa aprēķina izvēle ir atkarīga no uzdevuma nosacījumiem. Ja nosacījums neko nesaka skaidrā tekstā par leņķa zīmi (piemēram, "nosakiet mazāko pozitīvs leņķis" utt.), tad strādājam ar vērtībām, kas mums ir ērtas.

Izņēmums (kā gan mēs bez tām varētu dzīvot?!) ir trigonometriskās nevienādības, bet tur mēs šo triku apgūsim.

Un tagad jautājums jums. Kā es zināju, ka 110° leņķa pozīcija ir tāda pati kā -250° leņķa pozīcija?
Ļaujiet man dot mājienu, ka tas ir saistīts ar pilnīgu revolūciju. 360°... Nav skaidrs? Tad mēs zīmējam apli. Uzzīmējam paši, uz papīra. Stūra marķēšana aptuveni 110°. UN mēs domājam, cik daudz laika atlicis līdz pilnai revolūcijai. Paliks tikai 250°...

Vai sapratāt? Un tagad - uzmanību! Ja leņķi 110° un -250° aizņem apli tā pati lieta situācija, ko tad? Jā, leņķi ir 110° un -250° tieši tas pats sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss!
Tie. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) un tā tālāk. Tagad tas ir patiešām svarīgi! Un pats par sevi ir daudz uzdevumu, kur jums ir jāvienkāršo izteiksmes, kā arī par pamatu turpmākai redukcijas formulu un citu trigonometrijas sarežģījumu apguvei.

Protams, es nejauši paņēmu 110° un -250°, tīri kā piemēru. Visas šīs vienādības darbojas visiem leņķiem, kas ieņem tādu pašu pozīciju uz apļa. 60° un -300°, -75° un 285° un tā tālāk. Ļaujiet man uzreiz atzīmēt, ka leņķi šajos pāros ir dažādi. Bet tiem ir trigonometriskas funkcijas - identisks.

Es domāju, ka jūs saprotat, kas ir negatīvie leņķi. Tas ir pavisam vienkārši. Pretēji pulksteņrādītāja virzienam - pozitīva skaitīšana. Pa ceļam – negatīvi. Apsveriet leņķi pozitīvu vai negatīvu atkarīgs no mums. No mūsu vēlmes. Nu, un arī no uzdevuma, protams... Ceru, ka jūs saprotat, kā trigonometriskajās funkcijās pārvietoties no negatīviem leņķiem uz pozitīvajiem un atpakaļ. Uzzīmējiet apli, aptuveno leņķi un redziet, cik daudz trūkst, lai pabeigtu pilnu apgriezienu, t.i. līdz 360°.

Leņķi, kas lielāki par 360°.

Tiksim galā ar leņķiem, kas ir lielāki par 360°. Vai ir tādas lietas? Ir, protams. Kā tos uzzīmēt uz apļa? Nav problēmu! Pieņemsim, ka mums ir jāsaprot, kurā ceturksnī iekritīs 1000° leņķis? Viegli! Mēs veicam vienu pilnu apgriezienu pretēji pulksteņrādītāja virzienam (leņķis, kas mums tika dots, ir pozitīvs!). Mēs pārtījām par 360°. Nu, ejam tālāk! Vēl viens pagrieziens - tas jau ir 720°. Cik ir palikuši? 280°. Ar to nepietiek ar pilnu pagriezienu... Bet leņķis ir vairāk nekā 270° - un tā ir robeža starp trešo un ceturto ceturksni. Tāpēc mūsu 1000° leņķis iekrīt ceturtajā ceturksnī. Visi.

Kā redzat, tas ir pavisam vienkārši. Atgādinu vēlreiz, ka 1000° leņķis un 280° leņķis, ko ieguvām, atmetot “papildus” pilnos apgriezienus, stingri runājot, ir dažādi stūriem. Bet šo leņķu trigonometriskās funkcijas tieši tas pats! Tie. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° utt. Ja es būtu sinuss, es nepamanītu atšķirību starp šiem diviem leņķiem...

Kāpēc tas viss ir vajadzīgs? Kāpēc mums ir jāpārvērš leņķi no viena uz otru? Jā, visi par vienu un to pašu.) Lai vienkāršotu izteicienus. Faktiski izteicienu vienkāršošana galvenais uzdevums skolas matemātika. Nu, un pa ceļam galva ir apmācīta.)

Nu, trenēsimies?)

Mēs atbildam uz jautājumiem. Vispirms vienkāršie.

1. Kurā ceturksnī iekrīt -325° leņķis?

2. Kurā ceturksnī iekrīt 3000° leņķis?

3. Kurā ceturksnī iekrīt leņķis -3000°?

Vai ir kādas problēmas? Vai nenoteiktība? Dosimies uz 555. sadaļu Praktiskais darbs ar trigonometrisko apli. Tur, šīs pašas pirmajā nodarbībā Praktiskais darbs..." viss detalizēti... In tādi nenoteiktības jautājumi nevajadzētu!

4. Kāda zīme ir sin555°?

5. Kāda zīme ir tg555°?

Vai esi noteicis? Lieliski! Vai jums ir kādas šaubas? Jāiet uz 555. sadaļu... Starp citu, tur iemācīsies uzzīmēt pieskari un kotangensu uz trigonometriskā apļa. Ļoti noderīga lieta.

Un tagad jautājumi ir sarežģītāki.

6. Samaziniet izteiksmi sin777° līdz mazākā pozitīvā leņķa sinusam.

7. Samaziniet izteiksmi cos777° līdz lielākā negatīvā leņķa kosinusam.

8. Samaziniet izteiksmi cos(-777°) līdz mazākā pozitīvā leņķa kosinusam.

9. Samaziniet izteiksmi sin777° līdz lielākā negatīvā leņķa sinusam.

Kas, 6.–9. jautājums jūs mulsināja? Pierod, vienotajā valsts eksāmenā tādus formulējumus neatrod... Lai tā ir, es iztulkos. Tikai tev!

Vārdi "nest izteiksmi uz..." nozīmē pārveidot izteiksmi tā, lai tā vērtība nav mainījies A izskats mainīts atbilstoši uzdevumam. Tātad 6. un 9. uzdevumā mums jāiegūst sinuss, kura iekšpusē ir mazākais pozitīvais leņķis. Visam pārējam nav nozīmes.

Es sniegšu atbildes secībā (pārkāpjot mūsu noteikumus). Ko darīt, ir tikai divas zīmes, un ir tikai četras ceturtdaļas... Jūs netiksiet lutināts ar izvēli.

6. sin57°.

7. cos(-57°).

8. cos57°.

9. -sin(-57°)

Pieņemu, ka atbildes uz 6.-9.jautājumu dažus cilvēkus mulsināja. It īpaši -sin (-57°), tiešām?) Patiešām, leņķu aprēķināšanas elementārajos noteikumos ir vieta kļūdām... Tāpēc man bija jāveic nodarbība: "Kā noteikt funkciju zīmes un dot leņķus uz trigonometriskā apļa?" 555. sadaļā. Tur ir apskatīti 4. - 9. uzdevumi. Labi sakārtots, ar visām nepilnībām. Un viņi ir šeit.)

Nākamajā nodarbībā tiksim galā ar noslēpumainajiem radiāniem un skaitli "Pi". Uzzināsim, kā viegli un pareizi pārvērst grādus radiānos un otrādi. Un mēs būsim pārsteigti, atklājot šo pamatinformāciju vietnē jau pietiek lai atrisinātu dažas pielāgotas trigonometrijas problēmas!

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Trigonometriskās funkcijas zīme ir atkarīga tikai no koordinātu kvadranta, kurā atrodas skaitliskais arguments. Iepriekšējā reizē mēs iemācījāmies pārvērst argumentus no radiāna mēra uz grādu mēru (skatiet nodarbību “ Radiāns un leņķa pakāpes mērs”) un pēc tam noteikt šo pašu koordinātu ceturksni. Tagad faktiski noteiksim sinusa, kosinusa un pieskares zīmi.

Leņķa α sinuss ir punkta ordināta (y koordināte). trigonometriskais aplis, kas rodas, kad rādiusu pagriež par leņķi α.

Leņķa α kosinuss ir trigonometriskā apļa punkta abscisa (x koordināte), kas rodas, rādiusu pagriežot par leņķi α.

Leņķa α tangenss ir sinusa un kosinusa attiecība. Vai arī, kas ir tas pats, y koordinātas attiecība pret x koordinātu.

Apzīmējums: sin α = y ; cos α = x ; tg α = y : x .

Visas šīs definīcijas jums ir pazīstamas no vidusskolas algebras. Tomēr mūs neinteresē pašas definīcijas, bet gan sekas, kas rodas uz trigonometriskā apļa. Paskaties:

Zilā krāsa norāda OY ass (ordinātu ass) pozitīvo virzienu, sarkanā norāda OX ass (abscisu ass) pozitīvo virzienu. Uz šī "radara" kļūst acīmredzamas trigonometrisko funkciju pazīmes. Jo īpaši:

1. sin α > 0, ja leņķis α atrodas I vai II koordinātu kvadrantā. Tas ir tāpēc, ka pēc definīcijas sinuss ir ordināta (y koordināte). Un y koordināta būs pozitīva tieši I un II koordinātu ceturtdaļās;
2. cos α > 0, ja leņķis α atrodas 1. vai 4. koordinātu kvadrantā. Jo tikai tur x koordināta (aka abscisa) būs lielāka par nulli;
3. tan α > 0, ja leņķis α atrodas I vai III koordinātu kvadrantā. Tas izriet no definīcijas: galu galā tan α = y : x, tāpēc tas ir pozitīvs tikai tad, ja x un y zīmes sakrīt. Tas notiek pirmajā koordinātu ceturksnī (šeit x > 0, y > 0) un trešajā koordinātu ceturksnī (x< 0, y < 0).

Skaidrības labad atsevišķos “radaros” atzīmēsim katras trigonometriskās funkcijas – sinusa, kosinusa un tangences – zīmes. Mēs iegūstam šādu attēlu:

Piezīme: savās diskusijās es nekad nerunāju par ceturto trigonometrisko funkciju - kotangentu. Fakts ir tāds, ka kotangentes zīmes sakrīt ar pieskares zīmēm - tur nav īpašu noteikumu.

Tagad es ierosinu apsvērt piemērus, kas līdzīgi uzdevumiem B11 no pārbaudes vienotā valsts eksāmena matemātikā, kas notika 2011. gada 27. septembrī. Galu galā, labākais veids teorijas izpratne ir prakse. Ir vēlams daudz prakses. Protams, uzdevumu nosacījumi tika nedaudz mainīti.

Uzdevums. Nosakiet trigonometrisko funkciju un izteiksmju zīmes (pašu funkciju vērtības nav jāaprēķina):

1. grēks(3π/4);
2. cos(7π/6);
3. tg(5π/3);
4. sin (3π/4) cos (5π/6);
5. cos (2π/3) tg (π/4);
6. sin (5π/6) cos (7π/4);
7. iedegums (3π/4) cos (5π/3);
8. ctg (4π/3) tg (π/6).

Rīcības plāns ir šāds: vispirms visus leņķus no radiāniem pārvēršam grādos (π → 180°), un tad skatāmies, kurā koordinātu ceturksnī atrodas iegūtais skaitlis. Zinot kvartālus, mēs varam viegli atrast zīmes - saskaņā ar tikko aprakstītajiem noteikumiem. Mums ir:

1. sin (3π/4) = grēks (3 · 180°/4) = grēks 135°. Tā kā 135° ∈ , tas ir leņķis no II koordinātu kvadranta. Bet sinuss otrajā ceturksnī ir pozitīvs, tātad grēks (3π/4) > 0;
2. cos (7π/6) = cos (7 · 180°/6) = cos 210°. Jo 210° ∈ , tas ir leņķis no III koordinātu kvadranta, kurā visi kosinusi ir negatīvi. Tāpēc cos(7π/6)< 0;
3. tg (5π/3) = tg (5 · 180°/3) = tg 300°. Kopš 300° ∈ esam IV ceturksnī, kur tangensam ir negatīvas vērtības. Tāpēc iedegums (5π/3)< 0;
4. sin (3π/4) cos (5π/6) = grēks (3 180°/4) cos (5 180°/6) = grēks 135° cos 150°. Tiksim galā ar sinusu: jo 135° ∈ , šis ir otrais ceturksnis, kurā sinusi ir pozitīvi, t.i. sin (3π/4) > 0. Tagad strādājam ar kosinusu: 150° ∈ - atkal otrais ceturksnis, tur kosinusi ir negatīvi. Tāpēc cos(5π/6)< 0. Наконец, следуя правилу «плюс на минус дает знак минус», получаем: sin (3π/4) · cos (5π/6) < 0;
5. cos (2π/3) tg (π/4) = cos (2 180°/3) tg (180°/4) = cos 120° tg 45°. Mēs skatāmies uz kosinusu: 120° ∈ ir II koordinātu ceturtdaļa, tātad cos (2π/3)< 0. Смотрим на тангенс: 45° ∈ — это I четверть (самый regulārs leņķis trigonometrijā). Tur esošā tangensa ir pozitīva, tātad iedegums (π/4) > 0. Atkal iegūstam reizinājumu, kurā faktoriem ir dažādas zīmes. Tā kā “mīnus ar plus dod mīnusu”, mums ir: cos (2π/3) tg (π/4)< 0;
6. sin (5π/6) cos (7π/4) = sin (5 180°/6) cos (7 180°/4) = sin 150° cos 315°. Strādājam ar sinusu: tā kā 150° ∈ , runa ir par II koordinātu ceturksni, kur sinusi ir pozitīvi. Tāpēc sin (5π/6) > 0. Tāpat 315° ∈ ir IV koordinātu ceturtdaļa, tur esošie kosinusi ir pozitīvi. Tāpēc cos (7π/4) > 0. Esam ieguvuši divu pozitīvu skaitļu reizinājumu - šāda izteiksme vienmēr ir pozitīva. Secinām: sin (5π/6) · cos (7π/4) > 0;
7. tg (3π/4) cos (5π/3) = tg (3 180°/4) cos (5 180°/3) = tg 135° cos 300°. Bet leņķis 135° ∈ ir otrais ceturksnis, t.i. tg(3π/4)< 0. Аналогично, угол 300° ∈ — это IV четверть, т.е. cos (5π/3) >0. Tā kā “mīnus ar plusu dod mīnusa zīmi”, mums ir: tg (3π/4) cos (5π/3)< 0;
8. ctg (4π/3) tg (π/6) = ctg (4 180°/3) tg (180°/6) = ctg 240° tg 30°. Apskatām kotangences argumentu: 240° ∈ ir III koordinātu ceturtdaļa, tātad ctg (4π/3) > 0. Tāpat arī pieskarei mums ir: 30° ∈ ir I koordinātu ceturtdaļa, t.i. vienkāršākais leņķis. Tāpēc iedegums (π/6) > 0. Atkal mums ir divas pozitīvas izteiksmes - arī to produkts būs pozitīvs. Tāpēc bērnu gultiņa (4π/3) tg (π/6) > 0.

Noslēgumā apskatīsim vēl dažus sarežģīti uzdevumi. Papildus trigonometriskās funkcijas zīmes noskaidrošanai, jums šeit būs jāveic neliela matemātika - tieši tā, kā tas tiek darīts reālos uzdevumos B11. Principā tās ir gandrīz reālas problēmas, kas faktiski parādās vienotajā valsts eksāmenā matemātikā.

Uzdevums. Atrast sin α, ja sin 2 α = 0,64 un α ∈ [π/2; π].

Tā kā sin 2 α = 0,64, mums ir: sin α = ±0,8. Atliek tikai izlemt: plus vai mīnus? Pēc nosacījuma leņķis α ∈ [π/2; π] ir II koordinātu ceturtdaļa, kur visi sinusi ir pozitīvi. Tāpēc grēks α = 0,8 - nenoteiktība ar zīmēm tiek novērsta.

Uzdevums. Atrast cos α, ja cos 2 α = 0,04 un α ∈ [π; 3π/2].

Mēs rīkojamies līdzīgi, t.i. ekstrakts kvadrātsakne: cos 2 α = 0,04 ⇒ cos α = ±0,2. Pēc nosacījuma leņķis α ∈ [π; 3π/2], t.i. Runa ir par trešo koordinātu ceturksni. Visi tur esošie kosinusi ir negatīvi, tāpēc cos α = −0,2.

Uzdevums. Atrodiet sin α, ja sin 2 α = 0,25 un α ∈ .

Mums ir: sin 2 α = 0,25 ⇒ sin α = ±0,5. Vēlreiz skatāmies uz leņķi: α ∈ ir IV koordinātu ceturtdaļa, kurā, kā zināms, sinuss būs negatīvs. Tādējādi secinām: sin α = −0,5.

Uzdevums. Atrodiet tan α, ja tan 2 α = 9 un α ∈ .

Viss ir vienāds, tikai pieskarei. Izvelciet kvadrātsakni: tan 2 α = 9 ⇒ tan α = ±3. Bet saskaņā ar nosacījumu leņķis α ∈ ir I koordinātu ceturtdaļa. Visas trigonometriskās funkcijas, t.sk. pieskares, ir pozitīvi, tāpēc iedegums α = 3. Tas arī viss!

Atsauces dati par tangensu (tg x) un kotangensu (ctg x). Ģeometriskā definīcija, īpašības, grafiki, formulas. Pieskares un kotangenšu tabula, atvasinājumi, integrāļi, sērijas paplašinājumi. Izteiksmes, izmantojot sarežģītus mainīgos. Savienojums ar hiperboliskām funkcijām.

Ģeometriskā definīcija

|BD|
- apļa loka garums, kura centrs atrodas punktā A.

α ir radiānos izteikts leņķis. Pieskares () iedegums α ir trigonometriska funkcija atkarībā no leņķa α starp hipotenūzu un kāju taisnleņķa trīsstūris

, vienāds ar pretējās malas garuma attiecību |BC| līdz blakus esošās kājas garumam |AB| .) Kotangenss (

ctg α

ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas vienāda ar blakus esošās kājas garuma attiecību |AB| uz pretējās kājas garumu |BC| . Pieskares

Kur
.
;
;
.

n

- vesels.

ir trigonometriska funkcija, kas ir atkarīga no leņķa α starp hipotenūzu un taisnleņķa trijstūra kāju, kas vienāda ar blakus esošās kājas garuma attiecību |AB| uz pretējās kājas garumu |BC| . Pieskares

Rietumu literatūrā tangenss tiek apzīmēts šādi:
.
Pieskares funkcijas grafiks, y = tan x
;
;
.

Kotangenss

Rietumu literatūrā kotangenss tiek apzīmēts šādi:

Tiek pieņemti arī šādi apzīmējumi:

Kotangences funkcijas grafiks, y = ctg x Pieskares un kotangensa īpašības Periodiskums Funkcijas y = tg x

un y =

ctg x

ir periodiski ar periodu π.

Paritāte uz pretējās kājas garumu |BC| . Pieskares un kotangences funkcijas ir nepāra.

	Definīcijas un vērtību jomas, pieaug, samazinās Pieskares un kotangensa īpašības	Definīcijas un vērtību jomas, pieaug, samazinās Funkcijas y =
Pieskares un kotangentes funkcijas ir nepārtrauktas savā definīcijas jomā (skatiet nepārtrauktības pierādījumu). Galvenās tangensas un kotangensas īpašības ir parādītas tabulā (
- vesels).	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
y =		-
Darbības joma un nepārtrauktība	-
Vērtību diapazons	-	-
Pieaug 0
Dilstoša 0	Definīcijas un vērtību jomas, pieaug, samazinās 0	-

Ekstrēmi

Nulles, y =

; ;
; ;
;

Pārtveršanas punkti ar ordinātu asi, x =

Formulas

Izteiksmes, izmantojot sinusu un kosinusu

Pieskares un kotangences formulas no summas un starpības

Šajā tabulā ir parādītas pieskares un kotangenšu vērtības noteiktām argumenta vērtībām.

Izteiksmes, izmantojot kompleksos skaitļus

Izteiksmes, izmantojot hiperboliskās funkcijas

;
;

Atvasinājumi

; .

.
N-tās kārtas atvasinājums attiecībā uz funkcijas mainīgo x:
.
Pieskares atvasināšanas formulas > > > ; kotangensam >>>

Integrāļi

Sērijas paplašinājumi

Lai iegūtu pieskares paplašinājumu x pakāpēs, ir jāņem vairāki izplešanās nosacījumi jaudas sērijas funkcijām grēks x Un cos x un sadaliet šos polinomus savā starpā, .

Tādējādi tiek iegūtas šādas formulas.

plkst.
plkst. Kur Bn
;
;
- Bernulli skaitļi. Tos nosaka vai nu no atkārtošanās attiecības:
Kur .

Vai saskaņā ar Laplasa formulu:

Apgrieztās funkcijas Apgrieztās funkcijas

pieskarei un kotangensam ir attiecīgi arktangenss un arkotangenss.

Arktangents, arktg uz pretējās kājas garumu |BC| . Pieskares

, Kur

Arktangents, arktg uz pretējās kājas garumu |BC| . Pieskares

Arccotangent, arcctg
Izmantotā literatūra:
I.N. Bronšteins, K.A. Semendjajevs, Matemātikas rokasgrāmata inženieriem un koledžas studentiem, “Lan”, 2009.

G. Korns, Matemātikas rokasgrāmata zinātniekiem un inženieriem, 2012. gads. Ļauj noteikt vairākus raksturīgus rezultātus - sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašības

. Šajā rakstā mēs apskatīsim trīs galvenās īpašības. Pirmais no tiem norāda leņķa α sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa zīmes atkarībā no tā, kura koordinātu ceturkšņa leņķis ir α. Tālāk mēs apskatīsim periodiskuma īpašību, kas nosaka leņķa α sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtību nemainīgumu, kad šis leņķis mainās par veselu apgriezienu skaitu. Trešā īpašība izsaka attiecību starp pretējo leņķu α un −α sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtībām.

Ja jūs interesē funkciju sinusa, kosinuss, tangenss un kotangenss īpašības, varat tās izpētīt attiecīgajā raksta sadaļā.

Lapas navigācija.

Sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa zīmes pa ceturtdaļām

Zem šīs rindkopas parādīsies frāze “I, II, III un IV koordinātu ceturkšņa leņķis”. Paskaidrosim, kādi ir šie leņķi.

Ņemsim vienības apli, atzīmēsim uz tā sākumpunktu A(1, 0) un pagriežam ap punktu O par leņķi α, un pieņemsim, ka tiksim līdz punktam A 1 (x, y). Viņi tā saka leņķis α ir I, II, III, IV koordinātu kvadranta leņķis

Skaidrības labad šeit ir grafiska ilustrācija. Zemāk esošie zīmējumi parāda griešanās leņķus 30, -210, 585 un -45 grādi, kas ir attiecīgi I, II, III un IV koordinātu ceturkšņu leņķi.

Leņķi 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … grādi nepieder nevienai no koordinātu ceturtdaļām.

Tagad izdomāsim, kurām zīmēm ir griešanās leņķa α sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības atkarībā no tā, kurš ceturkšņa leņķis ir α.

Sinususam un kosinusam to ir viegli izdarīt.

Pēc definīcijas leņķa α sinuss ir punkta A 1 ordināta. Acīmredzot I un II koordinātu ceturksnī tas ir pozitīvs, bet III un IV ceturksnī tas ir negatīvs. Tādējādi leņķa α sinusam 1. un 2. ceturksnī ir pluszīme, bet 3. un 6. ceturksnī - mīnusa zīme.

Savukārt leņķa α kosinuss ir punkta A 1 abscisa. I un IV ceturksnī tas ir pozitīvs, bet II un III ceturksnī tas ir negatīvs. Līdz ar to leņķa α kosinusa vērtības I un IV ceturksnī ir pozitīvas, bet II un III ceturksnī tās ir negatīvas.

Lai noteiktu zīmes pēc pieskares un kotangensa ceturtdaļām, jums jāatceras to definīcijas: tangenss ir punkta A 1 ordinātu attiecība pret abscisu, un kotangente ir punkta A 1 abscisu attiecība pret ordinātu. Tad no skaitļu dalīšanas noteikumi ar to pašu un dažādas zīmes no tā izriet, ka pieskarei un kotangensam ir pluszīme, ja punkta A 1 abscisu un ordinātu zīmes ir vienādas, un mīnusa zīme, ja punkta A 1 abscises un ordinātu zīmes ir atšķirīgas. Līdz ar to leņķa pieskarei un kotangensam I un III koordinātu ceturtdaļā ir + zīme, bet II un IV ceturtdaļā - mīnusa zīme.

Patiešām, piemēram, pirmajā ceturksnī gan punkta A 1 abscisa x, gan ordināta y ir pozitīvas, tad gan koeficients x/y, gan koeficients y/x ir pozitīvi, tāpēc pieskarei un kotangensei ir + zīmes. Un otrajā ceturksnī abscisa x ir negatīva, un ordināta y ir pozitīva, tāpēc gan x/y, gan y/x ir negatīvi, tāpēc pieskarei un kotangensei ir mīnusa zīme.

Pāriesim pie nākamās īpašības sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa.

Periodiskuma īpašība

Tagad mēs apskatīsim, iespējams, visredzamāko leņķa sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences īpašību. Tas ir šādi: kad leņķis mainās par veselu skaitu pilnu apgriezienu, šī leņķa sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības nemainās.

Tas ir saprotams: kad leņķis mainās par veselu apgriezienu skaitu, mēs vienmēr nokļūsim no sākuma punkta A līdz punktam A 1 uz vienības apļa, tāpēc sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības paliek nemainīgas, jo punkta A 1 koordinātas ir nemainīgas.

Izmantojot formulas, apskatīto sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašību var uzrakstīt šādi: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+) 2·π· z)=tgα, ctg(α+2·π·z)=ctgα, kur α ir griešanās leņķis radiānos, z ir jebkurš, kura absolūtā vērtība norāda pilno apgriezienu skaitu, par kādu leņķis α mainās, un skaitļa zīme z norāda pagrieziena virzienu.

Ja griešanās leņķis α ir norādīts grādos, tad norādītās formulas tiks pārrakstītas kā sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .

Sniegsim šī īpašuma izmantošanas piemērus. Piemēram, , jo , A . Šeit ir vēl viens piemērs: vai .

Šo īpašību kopā ar samazināšanas formulām ļoti bieži izmanto, aprēķinot “lielo” leņķu sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības.

Aplūkoto sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašību dažreiz sauc par periodiskuma īpašību.

Pretējo leņķu sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu īpašības

Lai A 1 ir punkts, kas iegūts, pagriežot sākotnējo punktu A(1, 0) ap punktu O par leņķi α, un punkts A 2 ir rezultāts, pagriežot punktu A par leņķi −α pretēji leņķim α.

Pretēju leņķu sinusu, kosinusu, pieskares un kotangenšu īpašība ir balstīta uz diezgan acīmredzamu faktu: iepriekš minētie punkti A 1 un A 2 vai nu sakrīt (pie), vai atrodas simetriski attiecībā pret Ox asi. Tas ir, ja punktam A 1 ir koordinātes (x, y), tad punktam A 2 būs koordinātes (x, −y). No šejienes, izmantojot sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijas, mēs rakstām vienādības un .
Salīdzinot tos, mēs nonākam pie attiecībām starp formas pretējo leņķu α un −α sinusiem, kosinusiem, tangensiem un kotangensiem.
Šis ir rekvizīts, kas tiek izskatīts formulu veidā.

Sniegsim šī īpašuma izmantošanas piemērus. Piemēram, vienādības un .

Atliek tikai atzīmēt, ka pretējo leņķu sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu īpašība, tāpat kā iepriekšējā īpašība, bieži tiek izmantota, aprēķinot sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības, un tas ļauj pilnībā izvairīties no negatīvā. leņķi.

Atsauces.

• Algebra: Mācību grāmata 9. klasei. vid. skola/Jū. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovskis - M.: Izglītība, 1990. - 272 lpp.: ISBN 5-09-002727-7
• Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 klasēm. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorovs - 14. izd. - M.: Izglītība, 2004. - 384 lpp.: ISBN 5-09-013651-3.
• Bašmakovs M. I. Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata. 10-11 klasēm. vid. skola - 3. izdevums. - M.: Izglītība, 1993. - 351 lpp.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tiem, kas iestājas tehniskajās skolās): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.