Pieņemsim, ka Ahillejs skrien desmit reizes ātrāk nekā bruņurupucis un ir tūkstoš soļu aiz tā. Laikā, kas nepieciešams Ahillam, lai noskrietu šo distanci, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Kad Ahillejs noskrien simts soļus, bruņurupucis rāpo vēl desmit soļus utt. Process turpināsies bezgalīgi, Ahillejs nekad nepanāks bruņurupuci.
Šī argumentācija kļuva par loģisku šoku visām nākamajām paaudzēm. Aristotelis, Diogēns, Kants, Hēgelis, Hilberts... Visi vienā vai otrā veidā uzskatīja par Zenona aporiju. Šoks bija tik spēcīgs, ka " ... diskusijas turpinās līdz pat šai dienai zinātnieku aprindās vēl nav izdevies nonākt pie vienota viedokļa par paradoksu būtību ... jautājuma izpētē tika iesaistīta matemātiskā analīze, kopu teorija, jaunas fizikālās un filozofiskās pieejas; ; neviens no tiem nekļuva par vispārpieņemtu problēmas risinājumu..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Visi saprot, ka tiek muļķoti, bet neviens nesaprot, no kā sastāv maldināšana.
No matemātikas viedokļa Zenons savā aporijā skaidri demonstrēja pāreju no kvantitātes uz . Šī pāreja nozīmē piemērošanu, nevis pastāvīgus. Cik es saprotu, matemātiskais aparāts mainīgo mērvienību izmantošanai vai nu vēl nav izstrādāts, vai arī tas nav piemērots Zenona aporijai. Pielietojot mūsu ierasto loģiku, mēs nonākam slazdā. Mēs, pateicoties domāšanas inercei, abpusējai vērtībai piemērojam nemainīgas laika vienības. No fiziskā viedokļa tas izskatās pēc laika palēnināšanās, līdz tas pilnībā apstājas brīdī, kad Ahillejs panāk bruņurupuci. Ja laiks apstājas, Ahillejs vairs nevar apsteigt bruņurupuci.
Ja pagriežam savu ierasto loģiku otrādi, viss nostājas savās vietās. Ahillejs skrien ar nemainīgs ātrums. Katrs nākamais viņa ceļa posms ir desmit reizes īsāks nekā iepriekšējais. Attiecīgi tās pārvarēšanai pavadītais laiks ir desmit reizes mazāks nekā iepriekšējā. Ja šajā situācijā pielietojam jēdzienu “bezgalība”, tad būtu pareizi teikt: “Ahillejs bezgalīgi ātri panāks bruņurupuci”.
Kā izvairīties no šīs loģiskās lamatas? Palieciet nemainīgās laika vienībās un nesteidzieties abpusēji. Zenona valodā tas izskatās šādi:
Laikā, kas vajadzīgs Ahillam, lai noskrietu tūkstoš soļu, bruņurupucis rāpos simts soļus tajā pašā virzienā. Nākamajā laika intervālā, kas vienāds ar pirmo, Ahillejs noskrien vēl tūkstoš soļu, un bruņurupucis rāpos simts soļus. Tagad Ahillejs ir astoņsimt soļu priekšā bruņurupucim.
Šī pieeja adekvāti apraksta realitāti bez jebkādiem loģiskiem paradoksiem. Bet tas nav pilnīgs problēmas risinājums. Einšteina apgalvojums par gaismas ātruma neatvairāmību ir ļoti līdzīgs Zenona aporijai “Ahillejs un bruņurupucis”. Mums šī problēma vēl ir jāpēta, jāpārdomā un jāatrisina. Un risinājums jāmeklē nevis bezgala lielos skaitļos, bet mērvienībās.
Vēl viena interesanta Zenona aporija stāsta par lidojošu bultu:
Lidojoša bulta ir nekustīga, jo tā atrodas miera stāvoklī katrā laika brīdī, un, tā kā tā atrodas miera stāvoklī, tā vienmēr atrodas miera stāvoklī.
Šajā aporijā loģiskais paradokss to var pārvarēt ļoti vienkārši - pietiek precizēt, ka katrā laika momentā dažādos telpas punktos atrodas lidojoša bulta, kas patiesībā ir kustība. Šeit ir jāatzīmē vēl viens punkts. No vienas automašīnas fotogrāfijas uz ceļa nav iespējams noteikt ne tās kustības faktu, ne attālumu līdz tai. Lai noteiktu, vai automašīna pārvietojas, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas uzņemtas no viena un tā paša punkta dažādos laika punktos, taču jūs nevarat noteikt attālumu no tām. Lai noteiktu attālumu līdz automašīnai, ir nepieciešamas divas fotogrāfijas, kas uzņemtas no dažādi punkti telpa vienā brīdī, bet no tiem nav iespējams noteikt kustības faktu (protams, aprēķiniem joprojām ir nepieciešami papildu dati, jums palīdzēs trigonometrija). Uz ko vēlos norādīt īpašu uzmanību, ir tas, ka divi punkti laikā un divi punkti telpā ir dažādas lietas, kuras nevajadzētu sajaukt, jo tās nodrošina dažādas iespējas pētījumiem.
Trešdiena, 2018. gada 4. jūlijs
Atšķirības starp kopu un multikopu ir ļoti labi aprakstītas Vikipēdijā. Paskatīsimies.
Kā redzat, “kopā nevar būt divi identiski elementi”, bet, ja komplektā ir identiski elementi, šādu kopu sauc par “multisetu”. Saprātīgas būtnes nekad nesapratīs tik absurdu loģiku. Tas ir runājošu papagaiļu un apmācītu pērtiķu līmenis, kuriem nav saprāta no vārda “pilnīgi”. Matemātiķi darbojas kā parasti pasniedzēji, sludinot mums savas absurdās idejas.
Kādreiz tiltu būvējušie inženieri, testējot tiltu, atradās laivā zem tilta. Ja tilts sabruka, viduvējais inženieris nomira zem viņa radītajām drupām. Ja tilts varēja izturēt slodzi, talantīgais inženieris uzbūvēja citus tiltus.
Neatkarīgi no tā, kā matemātiķi slēpjas aiz frāzes "piedomājiet pie manis, es esmu mājā" vai, pareizāk sakot, "matemātika pēta abstraktus jēdzienus", ir viena nabassaite, kas tos nesaraujami saista ar realitāti. Šī nabassaite ir nauda. Pielietosim matemātisko kopu teoriju pašiem matemātiķiem.
Ļoti labi mācījāmies matemātiku un tagad sēžam pie kases, izsniedzam algas. Tātad matemātiķis nāk pie mums par savu naudu. Mēs viņam noskaitām visu summu un izklājam uz sava galda dažādās kaudzēs, kurās ievietojam viena un tā paša nomināla banknotes. Pēc tam mēs paņemam vienu rēķinu no katras kaudzes un dodam matemātiķim viņa "matemātisko algas kopu". Paskaidrosim matemātiķim, ka atlikušos rēķinus viņš saņems tikai tad, kad pierādīs, ka kopa bez identiskiem elementiem nav vienāda ar kopu ar identiskiem elementiem. Šeit sākas jautrība.
Pirmkārt, derēs deputātu loģika: “Uz citiem to var attiecināt, bet uz mani nē!” Tad viņi sāks mūs pārliecināt, ka viena un tā paša nomināla vekseļiem ir dažādi vekseļu numuri, kas nozīmē, ka tos nevar uzskatīt par vienādiem elementiem. Labi, skaitīsim algas monētās – uz monētām nav skaitļu. Šeit matemātiķis sāks izmisīgi atcerēties fiziku: dažādās monētās ir atšķirīgs netīrumu daudzums, kristāla struktūra un atomu izvietojums katrai monētai ir unikāls...
Un tagad man ir visvairāk interesants jautājums: kur ir līnija, aiz kuras multikopas elementi pārvēršas par kopas elementiem un otrādi? Tāda līnija neeksistē – visu izlemj šamaņi, zinātne te pat ne tuvu nemelo.
Paskaties šeit. Mēs izvēlamies futbola stadionus ar vienādu laukuma laukumu. Lauku platības ir vienādas – tas nozīmē, ka mums ir multikopa. Bet, ja paskatāmies uz šo pašu stadionu nosaukumiem, sanāk daudz, jo nosaukumi ir dažādi. Kā redzat, viena un tā pati elementu kopa ir gan kopa, gan multikopa. Kura ir pareiza? Un te matemātiķis-šamanis-sharpis izvelk no piedurknes trumpju dūzi un sāk mums stāstīt vai nu par setu, vai par multisetu. Jebkurā gadījumā viņš mūs pārliecinās, ka viņam ir taisnība.
Lai saprastu, kā mūsdienu šamaņi operēt ar kopu teoriju, saistot to ar realitāti, pietiek atbildēt uz vienu jautājumu: kā vienas kopas elementi atšķiras no citas kopas elementiem? Es jums parādīšu bez "iedomājams kā viens veselums" vai "nav iedomājams kā vienots veselums".
Svētdiena, 2018. gada 18. marts
Skaitļa ciparu summa ir šamaņu deja ar tamburīnu, kam nav nekāda sakara ar matemātiku. Jā, matemātikas stundās mums māca atrast skaitļa ciparu summu un to izmantot, bet tāpēc viņi ir šamaņi, lai mācītu saviem pēcnācējiem prasmes un gudrību, pretējā gadījumā šamaņi vienkārši izmirs.
Vai jums ir nepieciešams pierādījums? Atveriet Wikipedia un mēģiniet atrast lapu "Ciparu ciparu summa". Viņa neeksistē. Matemātikā nav formulas, ar kuru var atrast jebkura skaitļa ciparu summu. Galu galā skaitļi ir grafiski simboli, ar kuriem mēs rakstām skaitļus, un matemātikas valodā uzdevums izklausās šādi: "Atrodiet grafisko simbolu summu, kas attēlo jebkuru skaitli." Matemātiķi nevar atrisināt šo problēmu, bet šamaņi to var viegli izdarīt.
Izdomāsim, ko un kā mēs darām, lai atrastu dotā skaitļa ciparu summu. Tātad, pieņemsim skaitli 12345. Kas jādara, lai atrastu šī skaitļa ciparu summu? Apsvērsim visas darbības secībā.
1. Uzrakstiet numuru uz papīra lapas. Ko mēs esam izdarījuši? Mēs esam pārveidojuši skaitli grafiskā skaitļa simbolā. Šī nav matemātiska darbība.
2. Mēs izgriezām vienu iegūto attēlu vairākos attēlos, kas satur atsevišķus skaitļus. Attēla izgriešana nav matemātiska darbība.
3. Pārvērtiet atsevišķus grafiskos simbolus skaitļos. Šī nav matemātiska darbība.
4. Pievienojiet iegūtos skaitļus. Tagad tā ir matemātika.
Skaitļa 12345 ciparu summa ir 15. Tie ir “griešanas un šūšanas kursi”, kurus māca šamaņi un kurus izmanto matemātiķi. Bet tas vēl nav viss.
No matemātiskā viedokļa nav nozīmes, kurā skaitļu sistēmā rakstām skaitli. Tātad, iekšā dažādas sistēmas Aprēķinos viena un tā paša skaitļa ciparu summa būs atšķirīga. Matemātikā skaitļu sistēma tiek norādīta kā apakšindekss pa labi no skaitļa. AR liels skaits 12345 Negribu mānīt galvu, paskatīsimies uz ciparu 26 no raksta par . Rakstīsim šo skaitli binārā, oktālā, decimālā un heksadecimālā skaitļu sistēmā. Mēs neskatīsimies uz katru soli zem mikroskopa, mēs to jau esam izdarījuši. Apskatīsim rezultātu.
Kā redzat, dažādās skaitļu sistēmās viena un tā paša skaitļa ciparu summa ir atšķirīga. Šim rezultātam nav nekāda sakara ar matemātiku. Tas ir tāpat kā, ja jūs noteiktu taisnstūra laukumu metros un centimetros, jūs iegūtu pilnīgi atšķirīgus rezultātus.
Nulle visās skaitļu sistēmās izskatās vienādi, un tai nav ciparu summas. Tas ir vēl viens arguments par labu tam, ka. Jautājums matemātiķiem: kā matemātikā tiek apzīmēts kaut kas, kas nav skaitlis? Matemātiķiem nekas neeksistē, izņemot skaitļus? Es to varu atļauties šamaņiem, bet ne zinātniekiem. Realitāte nav tikai skaitļi.
Iegūtais rezultāts jāuzskata par pierādījumu tam, ka skaitļu sistēmas ir skaitļu mērvienības. Galu galā mēs nevaram salīdzināt skaitļus ar dažādām mērvienībām. Ja vienas un tās pašas darbības ar dažādām viena un tā paša lieluma mērvienībām noved pie dažādiem rezultātiem pēc to salīdzināšanas, tad tam nav nekāda sakara ar matemātiku.
Kas ir īstā matemātika? Tas ir tad, kad matemātiskas darbības rezultāts nav atkarīgs no skaitļa lieluma, izmantotās mērvienības un no tā, kurš šo darbību veic.
Ak! Vai šī nav sieviešu tualete?
- Jauna sieviete! Šī ir laboratorija dvēseļu indefiliskā svētuma izpētei to pacelšanās debesīs laikā! Halo virsū un bulta uz augšu. Kāda vēl tualete?
Sieviete... Oreols augšpusē un bultiņa uz leju ir vīriešu kārtas.
Ja šāds dizaina mākslas darbs jūsu acu priekšā pazib vairākas reizes dienā,
Tad nav pārsteidzoši, ka pēkšņi savā automašīnā atrodat dīvainu ikonu:
Es personīgi cenšos saskatīt mīnus četrus grādus kakājošā cilvēkā (viena bilde) (vairāku bilžu kompozīcija: mīnusa zīme, cipars ceturtais, grādu apzīmējums). Un es nedomāju, ka šī meitene ir muļķe, kas nezina fiziku. Viņai vienkārši ir spēcīgs stereotips par grafisko attēlu uztveri. Un matemātiķi mums to visu laiku māca. Šeit ir piemērs.
1A nav “mīnus četri grādi” vai “viens a”. Tas ir "kakājošs vīrietis" vai skaitlis "divdesmit seši" heksadecimālajā apzīmējumā. Tie cilvēki, kuri pastāvīgi strādā šajā ciparu sistēmā, automātiski uztver ciparu un burtu kā vienu grafisku simbolu.
Leņķu skaitīšana uz trigonometriskā apļa.
Uzmanību!
Ir papildu
materiāli speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas ir ļoti "ne ļoti..."
Un tiem, kas “ļoti…”)
Tas ir gandrīz tāds pats kā iepriekšējā nodarbībā. Ir asis, aplis, leņķis, viss kārtībā. Pievienoti ceturkšņa numuri (lielā kvadrāta stūros) - no pirmā līdz ceturtajam. Ko darīt, ja kāds nezina? Kā redzat, ceturkšņi (tos sauc arī skaists vārds"kvadranti") ir numurēti pretēji pulksteņrādītāja virzienam. Pievienotas leņķa vērtības uz asīm. Viss skaidrs, nekādu problēmu.
Un tiek pievienota zaļa bultiņa. Ar plusu. Ko tas nozīmē? Atgādināšu, ka leņķa fiksētā puse Vienmēr pienaglots pie pozitīvas pusass VĒRSIS. Tātad, ja mēs pagriežam leņķa kustīgo pusi gar bultiņu ar plusu, t.i. ceturkšņa skaitļu augošā secībā, leņķis tiks uzskatīts par pozitīvu. Piemēram, attēlā redzams +60° pozitīvs leņķis.
Ja noliekam malā stūrus pretējā virzienā, pulksteņrādītāja virzienā, leņķis tiks uzskatīts par negatīvu. Virziet kursoru virs attēla (vai pieskarieties attēlam planšetdatorā), jūs redzēsiet zilu bultiņu ar mīnusa zīmi. Tas ir negatīvā leņķa nolasīšanas virziens. Piemēram, tiek parādīts negatīvs leņķis (- 60°). Un redzēsiet arī, kā mainījušies skaitļi uz asīm... Es tos arī konvertēju uz negatīviem leņķiem. Kvadrantu numerācija nemainās.
Šeit parasti sākas pirmie pārpratumi. Kā tā!? Ko darīt, ja apļa negatīvais leņķis sakrīt ar pozitīvo!? Un vispār izrādās, ka vienu un to pašu kustīgās puses (vai punkta uz skaitļa apļa) pozīciju var saukt gan par negatīvu leņķi, gan pozitīvu!?
Jā. Pareizi. Pieņemsim, ka pozitīvs 90 grādu leņķis ieņem apli tieši tas pats pozīcija kā mīnus 270 grādu negatīvs leņķis. Pozitīvs leņķis, piemēram, ir +110° grādi tieši tas pats pozīcija kā negatīvs leņķis -250°.
Nav jautājumu. Viss ir pareizi.) Pozitīvā vai negatīvā leņķa aprēķina izvēle ir atkarīga no uzdevuma nosacījumiem. Ja nosacījums neko nesaka skaidrā tekstā par leņķa zīmi (piemēram, "nosakiet mazāko pozitīvs leņķis" utt.), tad strādājam ar vērtībām, kas mums ir ērtas.
Izņēmums (kā gan mēs bez tām varētu dzīvot?!) ir trigonometriskās nevienādības, bet tur mēs šo triku apgūsim.
Un tagad jautājums jums. Kā es zināju, ka 110° leņķa pozīcija ir tāda pati kā -250° leņķa pozīcija?
Ļaujiet man dot mājienu, ka tas ir saistīts ar pilnīgu revolūciju. 360°... Nav skaidrs? Tad mēs zīmējam apli. Uzzīmējam paši, uz papīra. Stūra marķēšana aptuveni 110°. UN mēs domājam, cik daudz laika atlicis līdz pilnai revolūcijai. Paliks tikai 250°...
Vai sapratāt? Un tagad - uzmanību! Ja leņķi 110° un -250° aizņem apli tas pats
situācija, ko tad? Jā, leņķi ir 110° un -250° tieši tas pats
sinuss, kosinuss, tangenss un kotangenss!
Tie. sin110° = sin(-250°), ctg110° = ctg(-250°) un tā tālāk. Tagad tas ir patiešām svarīgi! Un pats par sevi ir daudz uzdevumu, kur jums ir jāvienkāršo izteiksmes, kā arī par pamatu turpmākai redukcijas formulu un citu trigonometrijas sarežģījumu apguvei.
Protams, es nejauši paņēmu 110° un -250°, tīri kā piemēru. Visas šīs vienādības darbojas visiem leņķiem, kas ieņem tādu pašu pozīciju uz apļa. 60° un -300°, -75° un 285° un tā tālāk. Ļaujiet man uzreiz atzīmēt, ka leņķi šajos pāros ir dažādi. Bet tiem ir trigonometriskas funkcijas - identisks.
Es domāju, ka jūs saprotat, kas ir negatīvie leņķi. Tas ir pavisam vienkārši. Pretēji pulksteņrādītāja virzienam - pozitīva skaitīšana. Pa ceļam – negatīvi. Apsveriet leņķi pozitīvu vai negatīvu atkarīgs no mums. No mūsu vēlmes. Nu, un arī no uzdevuma, protams... Ceru, ka jūs saprotat, kā trigonometriskajās funkcijās pāriet no negatīviem leņķiem uz pozitīviem leņķiem un atpakaļ. Uzzīmējiet apli, aptuveno leņķi un redziet, cik daudz trūkst, lai pabeigtu pilnu apgriezienu, t.i. līdz 360°.
Leņķi, kas lielāki par 360°.
Tiksim galā ar leņķiem, kas ir lielāki par 360°. Vai ir tādas lietas? Ir, protams. Kā tos uzzīmēt uz apļa? Nav problēmu! Pieņemsim, ka mums ir jāsaprot, kurā ceturksnī iekritīs 1000° leņķis? Viegli! Mēs veicam vienu pilnu apgriezienu pretēji pulksteņrādītāja virzienam (leņķis, kas mums tika dots, ir pozitīvs!). Mēs pārtījām par 360°. Nu, ejam tālāk! Vēl viens pagrieziens - tas jau ir 720°. Cik ir palikuši? 280°. Ar to nepietiek ar pilnu pagriezienu... Bet leņķis ir vairāk nekā 270° - un tā ir robeža starp trešo un ceturto ceturksni. Tāpēc mūsu 1000° leņķis iekrīt ceturtajā ceturksnī. Visi.
Kā redzat, tas ir pavisam vienkārši. Atgādinu vēlreiz, ka 1000° leņķis un 280° leņķis, ko ieguvām, atmetot “papildus” pilnos apgriezienus, stingri runājot, ir dažādi stūriem. Bet šo leņķu trigonometriskās funkcijas tieši tas pats! Tie. sin1000° = sin280°, cos1000° = cos280° utt. Ja es būtu sinuss, es nepamanītu atšķirību starp šiem diviem leņķiem...
Kāpēc tas viss ir vajadzīgs? Kāpēc mums ir jāpārvērš leņķi no viena uz otru? Jā, visi par vienu un to pašu.) Lai vienkāršotu izteicienus. Faktiski izteicienu vienkāršošana galvenais uzdevums skolas matemātika. Nu, un pa ceļam galva ir apmācīta.)
Nu, trenēsimies?)
Mēs atbildam uz jautājumiem. Vispirms vienkāršie.
1. Kurā ceturksnī iekrīt -325° leņķis?
2. Kurā ceturksnī iekrīt 3000° leņķis?
3. Kurā ceturksnī iekrīt leņķis -3000°?
Vai ir kādas problēmas? Vai nenoteiktība? Dosimies uz 555. sadaļu Praktiskais darbs ar trigonometrisko apli. Tur, šīs pašas pirmajā nodarbībā Praktiskais darbs..." viss detalizēti... In tādi nenoteiktības jautājumi nevajadzētu!
4. Kāda zīme ir sin555°?
5. Kāda zīme ir tg555°?
Vai esi noteicis? Lieliski! Vai jums ir kādas šaubas? Jāiet uz 555. sadaļu... Starp citu, tur iemācīsies uzzīmēt pieskari un kotangensu uz trigonometriskā apļa. Ļoti noderīga lieta.
Un tagad jautājumi ir sarežģītāki.
6. Samaziniet izteiksmi sin777° līdz mazākā pozitīvā leņķa sinusam.
7. Samaziniet izteiksmi cos777° līdz lielākā negatīvā leņķa kosinusam.
8. Samaziniet izteiksmi cos(-777°) līdz mazākā pozitīvā leņķa kosinusam.
9. Samaziniet izteiksmi sin777° līdz lielākā negatīvā leņķa sinusam.
Kas, 6.–9. jautājums jūs mulsināja? Pierod, vienotajā valsts eksāmenā tādus formulējumus neatrod... Lai tā ir, es iztulkos. Tikai tev!
Vārdi "nest izteiksmi uz..." nozīmē pārveidot izteicienu tā, lai tā nozīme nav mainījies A izskats mainīts atbilstoši uzdevumam. Tātad 6. un 9. uzdevumā mums jāiegūst sinuss, kura iekšpusē ir mazākais pozitīvais leņķis. Visam pārējam nav nozīmes.
Es sniegšu atbildes secībā (pārkāpjot mūsu noteikumus). Bet ko darīt, ir tikai divas zīmes, un ir tikai četras ceturtdaļas... Jūs netiksiet lutināts ar izvēli.
6. sin57°.
7. cos(-57°).
8. cos57°.
9. -sin(-57°)
Pieņemu, ka atbildes uz 6.-9.jautājumu dažus cilvēkus mulsināja. It īpaši -sin (-57°), tiešām?) Patiešām, leņķu aprēķināšanas elementārajos noteikumos ir vieta kļūdām... Tāpēc man bija jāveic nodarbība: "Kā noteikt funkciju zīmes un dot leņķus uz trigonometriskā apļa?" 555. sadaļā. Tur ir apskatīti 4. - 9. uzdevumi. Labi sakārtots, ar visām nepilnībām. Un viņi ir šeit.)
Nākamajā nodarbībā tiksim galā ar noslēpumainajiem radiāniem un skaitli "Pi". Uzzināsim, kā viegli un pareizi pārvērst grādus radiānos un otrādi. Un mēs būsim pārsteigti, atklājot šo pamatinformāciju vietnē jau pietiek lai atrisinātu dažas pielāgotas trigonometrijas problēmas!
Ja jums patīk šī vietne...
Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)
Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)
Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.
Ļauj noteikt vairākus raksturīgus rezultātus - sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašības. Šajā rakstā mēs apskatīsim trīs galvenās īpašības. Pirmais no tiem norāda leņķa α sinusa, kosinusa, pieskares un kotangensa zīmes atkarībā no tā, kura koordinātu ceturkšņa leņķis ir α. Tālāk mēs aplūkosim periodiskuma īpašību, kas nosaka leņķa α sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtību nemainīgumu, kad šis leņķis mainās par veselu apgriezienu skaitu. Trešā īpašība izsaka attiecību starp pretējo leņķu α un −α sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtībām.
Ja jūs interesē funkciju sinusa, kosinuss, tangenss un kotangenss īpašības, varat tās izpētīt attiecīgajā raksta sadaļā.
Lapas navigācija.
Sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa zīmes pa ceturtdaļām
Zemāk šajā punktā parādīsies frāze “I, II, III un IV koordinātu ceturkšņa leņķis”. Paskaidrosim, kādi ir šie leņķi.
Ņemsim vienības apli, atzīmēsim uz tā sākumpunktu A(1, 0) un pagriežam ap punktu O par leņķi α, un pieņemsim, ka tiksim līdz punktam A 1 (x, y).
Viņi to saka leņķis α ir I, II, III, IV koordinātu kvadranta leņķis, ja punkts A 1 atrodas attiecīgi I, II, III, IV ceturksnī; ja leņķis α ir tāds, ka punkts A 1 atrodas uz jebkuras koordinātu taisnes Ox vai Oy, tad šis leņķis nepieder nevienai no četrām ceturtdaļām.
Skaidrības labad šeit ir grafiska ilustrācija. Zemāk esošie zīmējumi parāda griešanās leņķus 30, -210, 585 un -45 grādi, kas ir attiecīgi I, II, III un IV koordinātu ceturkšņu leņķi.
Leņķi 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … grādi nepieder nevienai no koordinātu ceturtdaļām.
Tagad izdomāsim, kurām zīmēm ir griešanās leņķa α sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības atkarībā no tā, kurš kvadranta leņķis ir α.
Sinususam un kosinusam tas ir viegli izdarāms.
Pēc definīcijas leņķa α sinuss ir punkta A 1 ordināta. Acīmredzot I un II koordinātu ceturksnī tas ir pozitīvs, bet III un IV ceturksnī tas ir negatīvs. Tādējādi leņķa α sinusa 1. un 2. ceturksnī ir pluszīme, bet 3. un 6. ceturksnī - mīnusa zīme.
Savukārt leņķa α kosinuss ir punkta A 1 abscisa. I un IV ceturksnī tas ir pozitīvs, bet II un III ceturksnī tas ir negatīvs. Līdz ar to leņķa α kosinusa vērtības I un IV ceturksnī ir pozitīvas, bet II un III ceturksnī tās ir negatīvas.
Lai noteiktu zīmes pēc pieskares un kotangensa ceturtdaļām, jums jāatceras to definīcijas: tangenss ir punkta A 1 ordinātu attiecība pret abscisu, un kotangente ir punkta A 1 abscisu attiecība pret ordinātu. Tad no skaitļu dalīšanas noteikumi ar vienādām un atšķirīgām zīmēm izriet, ka pieskarei un kotangensam ir plus zīme, ja punkta A 1 abscises un ordinātu zīmes ir vienādas, un mīnusa zīme, ja punkta A 1 abscisa un ordinātu zīmes ir atšķirīgas. Līdz ar to leņķa pieskarei un kotangensam I un III koordinātu ceturtdaļā ir + zīme, bet II un IV ceturtdaļā - mīnusa zīme.
Patiešām, piemēram, pirmajā ceturksnī gan punkta A 1 abscisa x, gan ordināta y ir pozitīvas, tad gan koeficients x/y, gan koeficients y/x ir pozitīvi, tāpēc pieskarei un kotangensei ir + zīmes. Un otrajā ceturksnī abscisa x ir negatīva, un ordināta y ir pozitīva, tāpēc gan x/y, gan y/x ir negatīvi, tāpēc pieskarei un kotangensei ir mīnusa zīme.
Pāriesim pie nākamās īpašības sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa.
Periodiskuma īpašība
Tagad mēs apskatīsim, iespējams, visredzamāko leņķa sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences īpašību. Tas ir šādi: kad leņķis mainās par veselu skaitu pilnu apgriezienu, šī leņķa sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības nemainās.
Tas ir saprotams: kad leņķis mainās par veselu apgriezienu skaitu, no sākuma punkta A mēs vienmēr nokļūsim punktā A 1 par vienības aplis tāpēc sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības paliek nemainīgas, jo punkta A 1 koordinātas nemainās.
Izmantojot formulas, apskatīto sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašību var uzrakstīt šādi: sin(α+2·π·z)=sinα, cos(α+2·π·z)=cosα, tan(α+) 2·π· z)=tgα, ctg(α+2·π·z)=ctgα, kur α ir griešanās leņķis radiānos, z ir jebkurš, kura absolūtā vērtība norāda pilno apgriezienu skaitu, par kādu mainās leņķis α, un skaitļa z zīme norāda pagrieziena virzienu.
Ja griešanās leņķis α ir norādīts grādos, tad norādītās formulas tiks pārrakstītas kā sin(α+360° z)=sinα , cos(α+360° z)=cosα , tg(α+360° z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .
Sniegsim šī īpašuma izmantošanas piemērus. Piemēram, 
, jo 
, A 
. Šeit ir vēl viens piemērs: vai .
Šo īpašību kopā ar samazināšanas formulām ļoti bieži izmanto, aprēķinot “lielo” leņķu sinusa, kosinusa, pieskares un kotangences vērtības.
Aplūkoto sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta īpašību dažreiz sauc par periodiskuma īpašību.
Pretējo leņķu sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu īpašības
Lai A 1 ir punkts, kas iegūts, pagriežot sākotnējo punktu A(1, 0) ap punktu O par leņķi α, un punkts A 2 ir rezultāts, pagriežot punktu A par leņķi −α pretēji leņķim α.
Pretēju leņķu sinusu, kosinusu, pieskares un kotangenšu īpašība ir balstīta uz diezgan acīmredzamu faktu: iepriekš minētie punkti A 1 un A 2 vai nu sakrīt (pie), vai atrodas simetriski attiecībā pret Ox asi. Tas ir, ja punktam A 1 ir koordinātes (x, y), tad punktam A 2 būs koordinātes (x, −y). No šejienes, izmantojot sinusa, kosinusa, tangensa un kotangenta definīcijas, mēs rakstām vienādības un .
Salīdzinot tos, mēs nonākam pie attiecībām starp formas pretējo leņķu α un −α sinusiem, kosinusiem, tangensiem un kotangensiem.
Šis ir rekvizīts, kas tiek izskatīts formulu veidā.
Sniegsim šī īpašuma izmantošanas piemērus. Piemēram, vienādības un 
.
Atliek tikai atzīmēt, ka pretējo leņķu sinusu, kosinusu, tangenšu un kotangenšu īpašība, tāpat kā iepriekšējā īpašība, bieži tiek izmantota, aprēķinot sinusa, kosinusa, tangensa un kotangensa vērtības, un tas ļauj pilnībā izvairīties no negatīvā. leņķi.
Atsauces.
- Algebra: Mācību grāmata 9. klasei. vid. skola/Jū. N. Makaričevs, N. G. Mindjuks, K. I. Neškovs, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Teljakovskis - M.: Izglītība, 1990. - 272 lpp.: ISBN 5-09-002727-7
- Algebra un analīzes sākums: Proc. 10-11 klasēm. vispārējā izglītība institūcijas / A. N. Kolmogorovs, A. M. Abramovs, Ju P. Dudņicins un citi; Ed. A. N. Kolmogorovs - 14. izd. - M.: Izglītība, 2004. - 384 lpp.: ISBN 5-09-013651-3.
- Bašmakovs M. I. Algebra un analīzes sākums: mācību grāmata. 10-11 klasēm. vid. skola - 3. izdevums. - M.: Izglītība, 1993. - 351 lpp.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusevs V.A., Mordkovičs A.G. Matemātika (rokasgrāmata tiem, kas iestājas tehniskajās skolās): Proc. pabalsts.- M.; Augstāks skola, 1984.-351 lpp., ill.
Sinus cipariem A sauc par punkta ordinātām, kas apzīmē šo skaitli uz skaitļu apļa. Leņķa sinuss collā A radiānu sauc par skaitļa sinusu A.
Sinus- skaitļu funkcija x. Viņa definīcijas joma
Sinusa diapazons- segments no -1 uz 1 , jo jebkurš šī segmenta skaitlis uz ordinātu ass ir jebkura riņķa punkta projekcija, bet neviens punkts ārpus šī segmenta nav neviena no šiem punktiem projekcija.
Sinus periods
Sinusa zīme:
1. sinuss ir vienāds ar nulli pie , Kur n- jebkurš vesels skaitlis;
2. sinuss ir pozitīvs pie , Kur n- jebkurš vesels skaitlis;
3. sinuss ir negatīvs, kad
Kur n- jebkurš vesels skaitlis.
Sinus- funkcija nepāra x Un -x, tad arī to ordinātas - sinusa - izrādīsies pretējas. Tas ir 
jebkuram x.
1. Sinuss palielinās segmentos 
, Kur n- jebkurš vesels skaitlis.
2. Segmentā sinuss samazinās 
, Kur n- jebkurš vesels skaitlis.
Plkst 
;
plkst 
.
Kosinuss
Kosinuss cipariem A Tiek izsaukta tā punkta abscisi, kas apzīmē šo skaitli uz skaitļu apļa. Leņķa kosinuss collā A radiānu sauc par skaitļa kosinusu A.
Kosinuss- skaitļa funkcija. Viņa definīcijas joma- visu skaitļu kopa, jo jebkuram skaitlim var atrast to attēlojošā punkta ordinātu.
Kosinusa diapazons- segments no -1 uz 1 , jo jebkurš šī segmenta skaits uz x ass ir jebkura apļa punkta projekcija, bet neviens punkts ārpus šī segmenta nav neviena no šiem punktiem projekcija.
Kosinusa periods vienāds ar . Galu galā katru reizi precīzi atkārtojas tā punkta pozīcija, kas attēlo skaitli.
Kosinusa zīme:
1. kosinuss ir vienāds ar nulli pie , Kur n- jebkurš vesels skaitlis;
2. kosinuss ir pozitīvs, kad 
, Kur n- jebkurš vesels skaitlis;
3. kosinuss ir negatīvs, kad 
, Kur n- jebkurš vesels skaitlis.
Kosinuss- funkcija pat. Pirmkārt, šīs funkcijas definīcijas apgabals ir visu skaitļu kopa, un tāpēc tā ir simetriska attiecībā pret izcelsmi. Un, otrkārt, ja mēs no sākuma atvēlam divus pretējus skaitļus: x Un -x, tad to abscises - kosinuss - būs vienādas. Tas ir
jebkuram x.
1. Segmentos palielinās kosinuss 
, Kur n- jebkurš vesels skaitlis.
2. Kosinuss samazinās segmentos 
, Kur n- jebkurš vesels skaitlis.
pie ;
plkst 
.
Pieskares
Pieskares skaitļa sauc par šī skaitļa sinusa attiecību pret šī skaitļa kosinusu: .
Pieskares leņķis iekšā A radiāns ir skaitļa tangenss A.
Pieskares- skaitļa funkcija. Viņa definīcijas joma- visu skaitļu kopa, kuru kosinuss nav vienāds ar nulli, jo tangenses noteikšanai nav citu ierobežojumu. Un tā kā kosinuss ir vienāds ar nulli pie , Tad 
, Kur.
Pieskares diapazons
Pieskares periods x(nav vienāds), kas atšķiras viens no otra ar , un novelciet caur tiem taisnu līniju, tad šī taisne iet caur koordinātu sākumpunktu un krustos ar pieskares līniju kādā punktā t. Tātad izrādās, ka , tas ir, skaitlis ir pieskares periods.
Pieskares zīme: tangenss ir sinusa attiecība pret kosinusu. Tātad viņš
1. ir vienāds ar nulli, kad sinusa ir nulle, tas ir, kad , kur n- jebkurš vesels skaitlis.
2. pozitīvs, ja sinusam un kosinusam ir vienādas zīmes. Tas notiek tikai pirmajā un trešajā ceturksnī, tas ir, kad 
, Kur A- jebkurš vesels skaitlis.
3. negatīvs, ja ir sinuss un kosinuss dažādas zīmes. Tas notiek tikai otrajā un ceturtajā ceturksnī, tas ir, kad 
, Kur A- jebkurš vesels skaitlis.
Pieskares- funkcija nepāra. Pirmkārt, šīs funkcijas definīcijas apgabals ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi. Un, otrkārt, 
. Sakarā ar sinusa nepāra un kosinusa vienmērīgumu, iegūtās daļas skaitītājs ir vienāds ar , un tā saucējs ir vienāds ar , kas nozīmē, ka šī daļa ir vienāda ar .
Tātad izrādījās, ka.
nozīmē, tangenss palielinās katrā tās definīcijas domēna sadaļā, tas ir, visos veidlapas intervālos 
, Kur A- jebkurš vesels skaitlis.
Kotangenss
Kotangenss skaitļa sauc par šī skaitļa kosinusa attiecību pret šī skaitļa sinusu: . Kotangenss leņķis iekšā A radiānu sauc par skaitļa kotangensu A. Kotangenss- skaitļa funkcija. Viņa definīcijas joma- visu skaitļu kopa, kuru sinuss nav vienāds ar nulli, jo kotangensa definīcijā nav citu ierobežojumu. Un tā kā sinusa ir vienāds ar nulli pie , tad kur
Kotangentes diapazons- visu reālo skaitļu kopa.
Kotangences periods vienāds ar . Galu galā, ja ņemam kādas divas derīgas vērtības x(nav vienāds), kas atšķiras viens no otra ar , un novelciet caur tiem taisnu līniju, tad šī taisne iet caur koordinātu sākumpunktu un kādā punktā krustos ar kotangentu līniju t. Tātad izrādās, ka , tas ir, ka skaitlis ir kotangences periods.