Visu notikumu varbūtību summa izlases telpā ir vienāda ar 1. Piemēram, ja eksperimentā tiek mētāta monēta ar notikuma A = galvas un notikuma B = astes, tad A un B apzīmē visu parauga telpu. nozīmē, P(A) + P(B) = 0,5 + 0,5 = 1.
Piemērs.Iepriekš piedāvātajā piemērā sarkanās pildspalvas izņemšanas varbūtības aprēķināšanai no halāta kabatas (tas ir notikums A), kurā ir divas zilas un viena sarkana pildspalva, P(A) = 1/3 ≈ 0,33, pretēja varbūtība pasākums - zilas pildspalvas zīmēšana - būs
Pirms pāriet pie galvenajām teorēmām, mēs ieviešam divus sarežģītākus jēdzienus - notikumu summu un reizinājumu. Šie jēdzieni atšķiras no parastajiem summas un reizinājuma jēdzieniem aritmētikā. Saskaitīšana un reizināšana varbūtības teorijā - simboliskas operācijas, ievērojot noteiktus noteikumus un atvieglojot zinātnisku secinājumu loģisku uzbūvi.
Summa vairāki notikumi ir notikums, kas sastāv no vismaz viena no tiem iestāšanās. Tas ir, divu notikumu A un B summu sauc par notikumu C, kas sastāv no notikuma A vai notikuma B, vai notikuma A un B kopā.
Piemēram, ja pasažieris gaida tramvaja pieturā kādā no diviem maršrutiem, tad viņam nepieciešamais notikums ir pirmā maršruta tramvaja parādīšanās (A notikums) vai otrā maršruta tramvaja parādīšanās (B pasākums), vai pirmā un otrā maršruta tramvaju kopīga parādīšanās (pasākums AR). Varbūtību teorijas valodā tas nozīmē, ka pasažiera pieprasītais notikums D sastāv no notikuma A, vai notikuma B, vai notikuma C, kas tiks simboliski uzrakstīts šādā formā:
D=A+B+C
Divu notikumu rezultātsA Un IN ir notikums, kas sastāv no notikumu kopīgas rašanās A Un IN. Vairāku notikumu rezultāts visu šo notikumu kopīgu rašanos sauc.
Iepriekš minētajā piemērā ar pasažieri, notikums AR(kopīga tramvaju parādīšanās divos maršrutos) ir divu notikumu rezultāts A Un IN, kas simboliski rakstīts šādi:
Pieņemsim, ka divi ārsti atsevišķi izmeklē pacientu, lai noteiktu konkrētu slimību. Pārbaužu laikā var rasties šādi notikumi:
Slimību atklāj pirmais ārsts ( A);
Pirmā ārsta nespēja atklāt slimību ();
Slimību atklāj otrs ārsts ( IN);
Nespēja atklāt slimību otrajam ārstam ().
Apsveriet gadījumu, kad slimība tiks atklāta izmeklējumu laikā tieši vienu reizi. Šo pasākumu var realizēt divos veidos:
Slimību atklās pirmais ārsts ( A) un neatklās otro ();
Slimības neatklās pirmais ārsts () un tās atklās otrais ( B).
Apzīmēsim aplūkojamo notikumu un uzrakstīsim to simboliski:
Apsveriet gadījumu, kad slimība tiks atklāta izmeklējumu laikā divas reizes (gan pirmais, gan otrais ārsts). Apzīmēsim šo notikumu ar un rakstīsim: .
Mēs apzīmējam notikumu, ka ne pirmais, ne otrais ārsts neatklāj slimību, un pierakstām: .
Kopīgi un nekopīgi pasākumi.
Abi notikumi tiek saukti locītavu dotajā eksperimentā, ja viena no tām izskats neizslēdz otra parādīšanos. Piemēri : trāpīt neiznīcināmam mērķim ar divām dažādām bultām un iegūt vienādu punktu skaitu uz abiem kauliņiem.
Abi notikumi tiek saukti nesaderīgi(nesaderīgi) konkrētajā eksperimentā, ja tie nevar notikt kopā vienā izmēģinājumā. Vairāki notikumi tiek saukti par nesaderīgiem, ja tie ir nesaderīgi pa pāriem. Nesaderīgu notikumu piemēri: a) sitiens un garām ar vienu metienu; b) no kastes ar detaļām nejauši tiek izņemta daļa - notikumi "izņem standarta detaļu" un "izņem nestandarta detaļu" c) uzņēmuma un tā peļņas sagraušana.
Citiem vārdiem sakot, notikumi A Un IN ir saderīgi, ja atbilstošās kopas A Un IN ir kopīgi elementi, un tie ir nekonsekventi, ja atbilstošās kopas A Un IN nav kopīgu elementu.
Nosakot notikumu varbūtības, bieži tiek izmantots jēdziens vienlīdz iespējams notikumiem. Vairāki notikumi konkrētajā eksperimentā tiek saukti par vienlīdz iespējamiem, ja saskaņā ar simetrijas nosacījumiem ir pamats uzskatīt, ka neviens no tiem nav objektīvi iespējams par citiem (galvu un astes zaudēšana, jebkuras kārts parādīšanās). uzvalks, bumbas izvēle no urnas utt.)
Katrs izmēģinājums ir saistīts ar vairākiem notikumiem, kas, vispārīgi runājot, var notikt vienlaikus. Piemēram, metot kauliņu, notikums ir divnieka metiens, un notikums ir pāra skaitļa metiens. Acīmredzot šie notikumi viens otru neizslēdz.
Ļaujiet visiem iespējamiem testa rezultātiem tikt realizētiem vairākos unikāli iespējamos īpašos gadījumos, kas viens otru izslēdz. Tad
ü katrs pārbaudes rezultāts ir attēlots ar vienu un tikai vienu elementāru notikumu;
ü katrs ar šo testu saistītais notikums ir ierobežota vai bezgalīga elementāru notikumu kopa;
ü notikums notiek tad un tikai tad, ja tiek realizēts kāds no šajā kopā iekļautajiem elementārajiem notikumiem.
Patvaļīgu, bet fiksētu elementāru notikumu telpu var attēlot kā noteiktu platību plaknē. Šajā gadījumā elementārie notikumi ir plaknes punkti, kas atrodas iekšpusē. Tā kā notikums tiek identificēts ar kopu, visas darbības, ko var veikt kopās, var veikt ar notikumiem. Pēc analoģijas ar kopu teoriju mēs konstruējam notikumu algebra. Šajā gadījumā var definēt šādas darbības un attiecības starp notikumiem:
AÌ B(kopas iekļaušanas attiecība: kopa A ir kopas apakškopa IN) – notikums A ietver notikumu B. Citiem vārdiem sakot, pasākums IN notiek ikreiz, kad notiek kāds notikums A. Piemērs - metot divnieku, tiek ripināts pāra punktu skaits.
(iestatīt ekvivalences attiecību) – notikumu identiski vai ekvivalents notikumu. Tas ir iespējams tad un tikai tad un vienlaicīgi, t.i. katrs notiek ikreiz, kad notiek otrs. Piemērs – notikums A – ierīces bojājums, notikums B – vismaz viena ierīces bloka (detaļas) bojājums.
() – notikumu summa. Šis ir notikums, kas sastāv no tā, ka ir noticis vismaz viens no diviem notikumiem vai (loģiski "vai"). Kopumā vairāku notikumu summa tiek saprasta kā notikums, kas sastāv no vismaz viena no šiem notikumiem. Piemērs – mērķim trāpa pirmais ierocis, otrais vai abi vienlaicīgi.
() – notikumu produkts. Šis ir notikums, kas sastāv no notikumu kopīgas rašanās un (loģiski “un”). Kopumā vairāku notikumu radīšana tiek saprasta kā notikums, kas sastāv no visu šo notikumu vienlaicīgas iestāšanās. Tādējādi notikumi nav savienojami, ja to iestudējums ir neiespējams notikums, t.i. . Piemērs – notikums A ir dimanta tērpa kārts izņemšana no klāja, notikums B – dūža noņemšana, tad dimantu dūža parādīšanās nav notikusi.
Bieži vien ir noderīga notikumu operāciju ģeometriskā interpretācija. Operāciju grafiskās ilustrācijas sauc par Venna diagrammām.
Definīcija 1. Viņi saka, ka daži piedzīvo notikumu A ietver kam seko notikuma iestāšanās IN, ja, iestājoties notikumam A pasākums nāk IN. Apzīmējums šai definīcijai A Ì IN. Runājot par elementārajiem notikumiem, tas nozīmē, ka katrs elementārs notikums iekļauts A, ir iekļauts arī IN.
Definīcija 2. Notikumi A Un IN tiek saukti par vienādiem vai līdzvērtīgiem (apzīmēti A= IN), Ja A Ì IN Un INÌ A, t.i. A Un IN sastāv no vieniem un tiem pašiem elementāriem notikumiem.
Uzticams pasākums ir attēlots ar aptverošo kopu Ω, un neiespējamais notikums tiek attēlots ar tukšu apakškopu Æ tajā. Notikumu nesaderība A Un IN nozīmē, ka atbilstošās apakškopas A Un IN nekrustojas: A∩IN = Æ.
3. definīcija. Divu notikumu summa A Un IN(apzīmēts AR= A + IN) sauc par notikumu AR, kas sastāv no nāk vismaz viens no notikumiem A vai IN(saiklis "vai" summai ir atslēgvārds), t.i. nāk vai A, vai IN, vai A Un IN kopā.
Piemērs. Ļaujiet diviem šāvējiem vienlaikus šaut mērķī, un notikums A sastāv no tā, ka 1. šāvējs trāpa mērķī, un notikums B– ka 2. šāvējs trāpa mērķī. Pasākums A+ B nozīmē, ka mērķī ir trāpīts vai, citiem vārdiem sakot, vismaz viens no šāvējiem (1. šāvējs vai 2. šāvējs, vai abi šāvēji) trāpa mērķī.
Tāpat arī ierobežota notikumu skaita summa A 1 , A 2 , …, A n (apzīmēts A= A 1 + A 2 + … + A n) pasākums tiek izsaukts A, kas sastāv no vismaz viena rašanās no notikumiem A es ( i = 1, … , n), vai patvaļīga kolekcija A es ( i = 1, 2, … , n).
Piemērs. Notikumu summa A, B, C ir notikums, kas sastāv no viena no šādiem notikumiem: A, B, C, A Un IN, A Un AR, IN Un AR, A Un IN Un AR, A vai IN, A vai AR, IN vai AR,A vai IN vai AR.
4. definīcija. Divu notikumu rezultāts A Un IN sauc par notikumu AR(apzīmēts AR = A∙ B), kas sastāv no tā, ka pārbaudes rezultātā notika arī notikums A, un pasākums IN vienlaikus. (Atslēgas vārds ir savienojums “un” notikumu radīšanai).
Līdzīgi noteikta skaita notikumu reizinājumam A 1 , A 2 , …, A n (apzīmēts A = A 1 ∙A 2 ∙…∙ A n) pasākums tiek izsaukts A, kas sastāv no tā, ka testa rezultātā notika visi norādītie notikumi.
Piemērs. Ja notikumi A, IN, AR ir “ģerboņa” parādīšanās attiecīgi pirmajā, otrajā un trešajā izmēģinājumā, tad notikums A× IN× AR Visos trijos izmēģinājumos ir piliens no “ģerboņa”.
Piezīme 1. Par nesaderīgiem notikumiem A Un IN vienlīdzība ir taisnība A∙ B= Æ, kur Æ ir neiespējams notikums.
2. piezīme. Notikumi A 1 , A 2, … , A n veido pilnīgu pāru nesaderīgu notikumu grupu, ja .
5. definīcija. Pretēji notikumi tiek saukti divi unikāli iespējami nesaderīgi notikumi, kas veido pilnīgu grupu. Notikums pretējs notikumam A, apzīmē ar . Notikums pretējs notikumam A, ir pasākuma papildinājums A uz kopu Ω.
Pretējiem notikumiem vienlaikus ir izpildīti divi nosacījumi A∙= Æ un A+= Ω.
6. definīcija. Pēc atšķirības notikumiem A Un IN(apzīmēts A– IN) sauc par notikumu, kas sastāv no tā, ka notikums A nāks, un pasākums IN - nē un tas ir vienāds A– IN= A× .
Ņemiet vērā, ka notikumi A + B, A ∙ B, , A-B ir ērti interpretēt grafiski, izmantojot Eilera–Vena diagrammas (1.1. att.).
|
Rīsi. 1.1. Operācijas ar notikumiem: noliegums, summa, reizinājums un starpība |
Formulēsim piemēru šādi: ļaujiet pieredzēt G sastāv no nejaušas šaušanas apgabalā Ω, kura punkti ir elementārie notikumi ω. Lai iekļūšana reģionā Ω ir uzticams notikums Ω, un iekļūšana reģionā A Un IN– attiecīgi notikumi A Un IN. Tad notikumi A+B(vai AÈ IN-gaisma apgabals attēlā), A∙ B(vai AÇ IN - zona centrā), A-B(vai A\IN - gaišie apakšreģioni) atbilst četriem attēliem attēlā. 1.1. Iepriekšējā piemēra apstākļos ar diviem šāvējiem, kas šauj mērķī, notikumu produkts A Un IN būs pasākums C = AÇ IN, kas sastāv no sitiena mērķī ar abām bultām.
3. piezīme. Ja darbības ar notikumiem tiek attēlotas kā darbības ar kopām un notikumi tiek attēloti kā kādas kopas Ω apakškopas, tad notikumu summa A+B atbilst savienībai AÈ INšīs apakškopas un notikumu produkts A∙ B- krustojums A∩INšīs apakškopas.
Tādējādi darbības ar notikumiem var saistīt ar darbībām ar kopām. Šī atbilstība ir parādīta tabulā. 1.1
1.1. tabula
|
Apzīmējumi |
Varbūtības valoda |
Kopu teorijas valoda |
|
Kosmosa elements. notikumiem |
Universāls komplekts |
|
|
Elementārs pasākums |
Elements no universālā komplekta |
|
|
Nejaušs notikums |
Elementu apakškopa ω no Ω |
|
|
Uzticams pasākums |
Visu ω kopa |
|
|
Neiespējams pasākums |
Tukšs komplekts |
|
|
AМ В |
A ietver IN |
A– apakškopa IN |
|
A+B(AÈ IN) |
Notikumu summa A Un IN |
Komplektu savienība A Un IN |
|
A× V(AÇ IN) |
Pasākumu veidošana A Un IN |
Kopu krustpunkts A Un IN |
|
A-B(A\IN) |
Notikuma atšķirība |
Iestatiet atšķirību |
Darbībām ar notikumiem ir šādas īpašības:
A + B = B + A, A ∙ B = B ∙ A(komutatīvs);
(A + B) ∙ C = A× C + B× C, A ∙ B + C =(A+C) × ( B + C) (izplatīšana);
(A + B) + AR = A + (B + C), (A∙ B) ∙ AR= A ∙ (B∙C) (asociatīvs);
A + A = A, A ∙ A = A;
A + Ω = Ω, A∙ Ω = A;
Papildināšanas noteikums- ja elementu A var izvēlēties n veidos, bet elementu B var izvēlēties m veidos, tad A vai B var izvēlēties n + m veidos.
^ Reizināšanas noteikums - ja elementu A var izvēlēties n veidos un jebkurai A izvēlei elementu B var izvēlēties m veidos, tad pāri (A, B) var izvēlēties n·m veidos.
Pārkārtošanās. Elementu kopas permutācija ir elementu izkārtojums noteiktā secībā. Tādējādi visas trīs elementu kopas dažādās permutācijas ir
Visu elementu permutāciju skaits tiek apzīmēts ar . Tāpēc visu dažādo permutāciju skaits tiek aprēķināts pēc formulas
Izmitināšana. Elementu kopas izvietojumu skaits pa elementiem ir vienāds ar
^ Izvietojums ar atkārtojumu. Ja ir n veidu elementu kopa un katrā no m vietām ir jāievieto kāda veida elements (elementu veidi var sakrist dažādās vietās), tad iespēju skaits tam būs n m .
^ Kombinācija. Definīcija. Kombinācijas no dažādi elementi atbilstošielementus sauc par kombinācijām, kuras veido dati elementi no elementi un atšķiras vismaz vienā elementā (citiem vārdiem,-elementu apakškopas no dotās kopas elementi). butback="" onclick="goback(684168)">^
" ALIGN=APAKSAS PLATUMS=230 AUGSTUMS=26 ROMA=0>
jebkura eksperimenta savstarpēji izslēdzošu rezultātu kopa, lai katru mūs interesējošo rezultātu varētu nepārprotami aprakstīt, izmantojot šīs kopas elementus. Tas var būt ierobežots un bezgalīgs (skaitāms un neskaitāms) Nejaušs notikums -
^ jebkura elementāru notikumu telpas apakškopa. Uzticams pasākums -
noteikti notiks eksperimenta rezultātā. Neiespējams notikums -
nenotiks eksperimenta rezultātā. Darbības uz notikumiem: notikumu summa, reizinājums un starpība. Pretējs pasākums. Kopīgi un nekopīgi pasākumi. Pilna grupa
^ ja eksperimenta rezultātā tās var rasties vienlaikus. Nesaderīgi notikumi - ja eksperimenta rezultātā tie nevar rasties vienlaicīgi. Viņi saka, ka veidojas vairāki nesavienojami notikumi pilna pasākumu grupa
, ja eksperimenta rezultātā parādās kāds no tiem. Ja pirmais notikums sastāv no visiem elementārajiem rezultātiem, izņemot tos, kas iekļauti otrajā notikumā, tad šādus notikumus sauc
pretī. Divu notikumu A un B summa ir ^ notikums, kas sastāv no elementāriem notikumiem, kas pieder vismaz vienam no notikumiem A vai B. Divu notikumu A un B reizinājums – notikums, kas sastāv no elementāriem notikumiem, kas vienlaikus pieder pie A un B. Atšķirība A un B -
notikums, kas sastāv no A elementiem, kas nepieder notikumam B. Klasiskās, statistikas unģeometriskās definīcijas
P(A)= ^ , g – G attēla daļa. 1) 0≤P(A)≤1, 2) ticama notikuma varbūtība ir 1, 3) neiespējama notikuma varbūtība ir 0.
Teorēma nesavienojamu notikumu un to seku varbūtību saskaitīšanai.
Nosacītā varbūtība. Neatkarīgi pasākumi. Atkarīgo un neatkarīgo notikumu varbūtību reizināšana.
^ Varbūtību reizināšana: narkomāniem. Teorēma. P(A∙B) = P(A)∙P A (B). komentēt. P(A∙B) = P(A)∙P A (B) = P(B)∙P B (A). Sekas. P(A 1 ∙…∙A k) = P(A 1)∙P A1 (A 2)∙…∙P A1-Ak-1 (A k). Neatkarīgajiem. P(A∙B) = P(A)∙P(B).
^Tteorēma kopīgu notikumu varbūtību saskaitīšanai. Teorēma . Vismaz viena no divu kopīgu notikumu iestāšanās varbūtība ir vienāda ar šo notikumu varbūtību summu bez to kopīgas iestāšanās iespējamības
Kopējās varbūtības formula. Bayes formulas.
H 1, H 2 ...H n - veido pilnīgu grupu - hipotēzes.
Notikums A var notikt tikai tad, ja parādās H 1, H 2 ...H n,
Tad P(A)=P(N 1)*P n1 (A)+P(N 2)*P n2 (A)+…P(N n)*P n n (A)
^ Beijesa formula
Lai N 1, N 2 ...H n ir hipotēzes, notikums A var notikt saskaņā ar kādu no hipotēzēm
P(A)= P(N 1)* P n1 (A)+P(N 2)*P n2 (A)+…P(N n)*P n n (A)
Pieņemsim, ka ir noticis notikums A.
Kā mainījās varbūtība H 1 sakarā ar to, ka notika A? Tie. RA (H 1)
P(A* N 1)=P(A)* P A (N 1)= P(N 1)* P n1 (A) => P A (N 1)= (P(N 1)* P n1 ( A) )/ P(A)
H 2, H 3 ...H n nosaka līdzīgi
Vispārējs skats:
P A (N i)= (P (N i)* P n i (A))/ P (A) , kur i=1,2,3…n.
Formulas ļauj pārvērtēt hipotēžu varbūtības, jo kļūst zināms testu rezultāts, kas izraisīja notikuma A iestāšanos.
“Pirms” testēšanas – a priori varbūtības – P(N 1), P(N 2)…P(N n)
“Pēc” testa - aizmugures varbūtības - P A (N 1), P A (N 2) ... P A (N n)
Aizmugurējās varbūtības, kā arī iepriekšējās, veido 1.
9.Bernuli un Puasona formulas.
Bernulli formula
Jāveic n izmēģinājumi, kuros katrā notikumā A var parādīties un var nebūt. Ja notikuma A varbūtība katrā no šiem izmēģinājumiem ir nemainīga, tad šie izmēģinājumi ir neatkarīgi no A.
Apsveriet n neatkarīgus izmēģinājumus, katrā no tiem A var notikt ar varbūtību p. Šo testu secību sauc par Bernulli ķēdi.
Teorēma: varbūtība, ka n izmēģinājumos notikums A notiks tieši m reizes, ir vienāda ar: P n (m)=C n m *p m *q n - m
Skaitlis m 0 - notikuma A iestāšanos sauc par visticamāko, ja atbilstošā varbūtība P n (m 0) nav mazāka par citu P n (m)
P n (m 0)≥ P n (m), m 0 ≠ m
Lai atrastu m 0, izmantojiet:
np-q≤ m 0 ≤np+q
^ Puasona formula
Apsveriet Bernulli testu:
n ir testu skaits, p ir veiksmes varbūtība
Lai p ir mazs (p→0) un n ir liels (n→∞)
vidējais veiksmes gadījumu skaits n izmēģinājumos
Mēs pievienojam Bernulli formulā λ=n*p → p= λ:
P n (m) = C n m * p m * (1-q) n-m ; C n m = n!/((m!*(n-m)!) →
→ P n (m)≈ (λ m /m!)*e - λ (Puasona)
Ja p≤0,1 un λ=n*p≤10, tad formula dod labus rezultātus.
10. Moivre-Laplasa lokālās un integrālās teorēmas.
Pieņemsim, ka n ir testu skaits, p ir veiksmes varbūtība, n ir liels un tiecas uz bezgalību. (n->∞)
^ Lokālā teorēma
Рn (m)≈(f(x)/(npg)^ 1/2, kur f(x)= (e - x ^2/2)/(2Pi)^ 1/2
Ja npq≥ 20 – dod labus rezultātus, x=(m-np)/(npg)^ 1/2
^ Integrālā teorēma
P n (a≤m≤b)≈ȹ(x 2)-ȹ(x 1),
kur ȹ(x)=1/(2Pi)^ 1/2 * 0 ʃ x e (Pi ^2)/2 dt — Laplasa funkcija
x 1 =(a-np)/(npq)^ 1/2, x 2 =(b-np)/(npq)^ 1/2
Laplasa funkcijas īpašības
ȹ(x) – nepāra funkcija: ȹ(-x)=- ȹ(x)
ȹ(x) – monotoni palielinās
vērtības ȹ(x) (-0,5;0,5) un lim x →∞ ȹ(x)=0,5; lim x →-∞ ȹ(x)=-0,5
P n (│m-np│≤Ɛ) ≈ 2 ȹ (Ɛ/(npq) 1/2)
P n (ɑ≤m/n≤ƥ) ≈ ȹ(z 2)- ȹ(z 1), kur z 1=(ɑ-p)/(pq/n)^ 1/2 z 2=(ƥ -p )/(pq/n)^ 1/2
P n (│(m/n) - p│≈ ∆) ≈ 2 ȹ(∆n 1/2 /(pq)^ 1/2)
11. Nejaušs mainīgais. Nejaušo mainīgo veidi. Gadījuma lieluma noteikšanas metodes.
SV ir funkcija, kas definēta elementāru notikumu kopai.
X,Y,Z – NE, un tā vērtība ir x,y,z
Nejauši Viņi sauc par lielumu, kas pārbaudes rezultātā ņems vienu un tikai vienu iespējamo vērtību, kas nav zināma iepriekš un ir atkarīga no nejaušiem iemesliem, kurus nevar iepriekš ņemt vērā.
ZA diskrēts, ja tā vērtību kopa ir ierobežota vai saskaitāma (tās var numurēt). Tas uzņemas atsevišķas, izolētas iespējamās vērtības ar noteiktām varbūtībām. Diskrētā SV iespējamo vērtību skaits var būt ierobežots vai bezgalīgs.
ZA nepārtraukts, ja tas ņem visas iespējamās vērtības no noteikta intervāla (uz visas ass). Tā nozīme var nedaudz atšķirties.
^ Diskrētā SV sadalījuma likums M.B. sniedza:
1.tabula
| X | x 1 | x 2 | … | x n |
| P(X) | 1. lpp | 2. lpp | … | p n |
(izplatīšanas sērija)
X=x 1) ir nekonsekventi
р 1 + р 2 +… p n =1= ∑p i
2.grafika
Varbūtību sadalījuma daudzstūris
3.analītiskais
P=P(X)
12. Gadījuma lieluma sadalījuma funkcija. Sadales funkcijas pamatīpašības.
SV X sadalījuma funkcija ir funkcija F(X), kas nosaka varbūtību, ka SV X pieņems vērtību, kas mazāka par x, t.i.
x x = kumulatīvā sadalījuma funkcija
Nepārtrauktam SV ir nepārtraukta, pa daļām diferencējama funkcija.