pat, ja visiem \(x\) no tā definīcijas domēna ir patiess: \(f(-x)=f(x)\) .
Pāra funkcijas grafiks ir simetrisks pret \(y\) asi:
Piemērs: funkcija \(f(x)=x^2+\cos x\) ir pāra, jo \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Tiek izsaukta funkcija \(f(x)\). nepāra, ja visiem \(x\) no tā definīcijas domēna ir patiess: \(f(-x)=-f(x)\) .
Nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā uz izcelsmi:
Piemērs: funkcija \(f(x)=x^3+x\) ir nepāra, jo \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) Funkcijas, kas nav ne pāra, ne nepāra, sauc par funkcijām vispārējs skats. Šādu funkciju vienmēr var unikāli attēlot kā pāra un nepāra funkcijas summu.
Piemēram, funkcija \(f(x)=x^2-x\) ir pāra funkcijas \(f_1=x^2\) un nepāra \(f_2=-x\) summa.
\(\melnais trijstūris tiesības\) Dažas īpašības:
1) divu vienas un tās pašas paritātes funkciju reizinājums un koeficients - vienmērīga funkcija.
2) Divu dažādu paritāšu funkciju reizinājums un koeficients ir nepāra funkcija.
3) Pāra funkciju summa un starpība - pāra funkcija.
4) Nepāra funkciju summa un starpība - nepāra funkcija.
5) Ja \(f(x)\) ir pāra funkcija, tad vienādojumam \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) ir unikāla sakne tad un tikai tad, kad \( x =0\) .
6) Ja \(f(x)\) ir pāra vai nepāra funkcija un vienādojumam \(f(x)=0\) ir sakne \(x=b\), tad šim vienādojumam noteikti būs sekunde. sakne \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) Funkciju \(f(x)\) sauc par periodisku \(X\), ja kādam skaitlim \(T\ne 0\) ir spēkā: \(f(x)=f( x+T) \) , kur \(x, x+T\in X\) . Mazāko \(T\), kuram šī vienādība ir izpildīta, sauc par funkcijas galveno (galveno) periodu.
Periodiskajai funkcijai ir jebkurš skaitlis formā \(nT\) , kur \(n\in \mathbb(Z)\) arī būs punkts.
Piemērs: jebkurš trigonometriskā funkcija ir periodisks;
funkcijām \(f(x)=\sin x\) un \(f(x)=\cos x\) galvenais periods ir vienāds ar \(2\pi\), funkcijām \(f(x) )=\mathrm( tg)\,x\) un \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) galvenais periods ir vienāds ar \(\pi\) .
Lai izveidotu periodiskas funkcijas grafiku, tās grafiku var attēlot uz jebkura garuma segmenta \(T\) (galvenais periods); tad visas funkcijas grafiku pabeidz, nobīdot konstruēto daļu par veselu periodu skaitu pa labi un pa kreisi:
\(\blacktriangleright\) Funkcijas \(f(x)\) domēns \(D(f)\) ir kopa, kas sastāv no visām argumenta \(x\) vērtībām, kurām funkcijai ir jēga (ir noteikts).
Piemērs: funkcijai \(f(x)=\sqrt x+1\) ir definīcijas domēns: \(x\in
1. uzdevums #6364
Uzdevuma līmenis: vienāds ar vienoto valsts eksāmenu
Pie kādām parametra \(a\) vērtībām tiek izpildīts vienādojums
ir viens risinājums?
Ņemiet vērā: tā kā \(x^2\) un \(\cos x\) ir pāra funkcijas, ja vienādojumam ir sakne \(x_0\) , tam būs arī sakne \(-x_0\) .
Patiešām, lai \(x_0\) ir sakne, tas ir, vienādība \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\) pareizi. Aizstāsim \(-x_0\): \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
Tādējādi, ja \(x_0\ne 0\) , tad vienādojumam jau būs vismaz divas saknes. Tāpēc \(x_0=0\) . Pēc tam:
Mēs saņēmām divas parametra \(a\) vērtības. Ņemiet vērā, ka mēs izmantojām faktu, ka \(x=0\) ir tieši sākotnējā vienādojuma sakne. Bet mēs nekad neizmantojām faktu, ka viņš ir vienīgais. Tāpēc jums ir jāaizstāj iegūtās parametra \(a\) vērtības sākotnējā vienādojumā un jāpārbauda, kuram konkrētajam \(a\) sakne \(x=0\) patiešām būs unikāla.
1) Ja \(a=0\) , tad vienādojums būs \(2x^2=0\) . Acīmredzot šim vienādojumam ir tikai viena sakne \(x=0\) . Tāpēc vērtība \(a=0\) mums ir piemērota.
2) Ja \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , tad vienādojums iegūs šādu formu \ Pārrakstīsim vienādojumu formā \ Jo \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), Tas \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). Līdz ar to vienādojuma labās puses vērtības (*) pieder segmentam \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
Tā kā \(x^2\geqslant 0\) , tad vienādojuma (*) kreisā puse ir lielāka vai vienāda ar \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .
Tādējādi vienādība (*) var būt patiesa tikai tad, ja abas vienādojuma puses ir vienādas ar \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Un tas nozīmē, ka \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftright arrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftright arrow\quad x=0\] Tāpēc vērtība \(a=-\mathrm(tg)\,1\) mums ir piemērota.
Atbilde:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
2. uzdevums #3923
Uzdevuma līmenis: vienāds ar vienoto valsts eksāmenu
Atrodiet visas parametra \(a\) vērtības, katrai no kurām funkcijas grafiks \
simetrisks attiecībā uz izcelsmi.
Ja funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi, tad šāda funkcija ir nepāra, tas ir, \(f(-x)=-f(x)\) attiecas uz jebkuru \(x\) no definīcijas domēna no funkcijas. Tādējādi ir jāatrod tās parametru vērtības, kurām \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(līdzināts) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(līdzināts)\]
Pēdējais vienādojums ir jāizpilda visiem \(x\) no domēna \(f(x)\), tāpēc \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
Atbilde:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
3. uzdevums #3069
Uzdevuma līmenis: vienāds ar vienoto valsts eksāmenu
Atrodiet visas parametra \(a\) vērtības, no kurām katram vienādojumam \ ir 4 risinājumi, kur \(f\) ir pāra periodiska funkcija ar periodu \(T=\dfrac(16)3\) definēts visā skaitļu rindā , un \(f(x)=ax^2\) for \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Abonentu uzdevums)
Tā kā \(f(x)\) ir pāra funkcija, tās grafiks ir simetrisks attiecībā pret ordinātu asi, tādēļ, kad \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Tādējādi, kad \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), un šis ir segments ar garumu \(\dfrac(16)3\) , funkcija \(f(x)=ax^2\) .
1) Ļaujiet \(a>0\) . Tad funkcijas \(f(x)\) grafiks izskatīsies šādi: 
Tad, lai vienādojumam būtu 4 risinājumi, ir nepieciešams, lai grafiks \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) iet caur punktu \(A\) : 
Tāpēc \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftright arrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(līdzināts) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\beigas(līdzināts)\beigas(savāktas)\pa labi. \quad\Leftright arrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(līdzināts) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(līdzināts) \end( savākts)\pa labi.\] Tā kā \(a>0\) , tad \(a=\dfrac(18)(23)\) ir piemērots.
2) Ļaujiet \(a<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Ir nepieciešams, lai grafiks \(g(x)\) iet caur punktu \(B\): \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftright arrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(līdzināts) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \beigas(līdzināts) \beigas(savākts)\pa labi.\] Kopš \(a<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) gadījums, kad \(a=0\) nav piemērots, kopš tā laika \(f(x)=0\) visiem \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) un vienādojumam būs tikai 1 sakne.
Atbilde:
\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)
4. uzdevums #3072
Uzdevuma līmenis: vienāds ar vienoto valsts eksāmenu
Atrodiet visas \(a\) vērtības, katrai no kurām vienādojums \
ir vismaz viena sakne.
(Abonentu uzdevums)
Pārrakstīsim vienādojumu formā \
un apsveriet divas funkcijas: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) un \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
Funkcija \(g(x)\) ir pāra, un tās minimālais punkts ir \(x=0\) (un \(g(0)=49\) ).
Funkcija \(f(x)\) \(x>0\) samazinās un \(x)<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Patiešām, kad \(x>0\) otrais modulis tiks atvērts pozitīvi (\(|x|=x\) ), tāpēc neatkarīgi no tā, kā tiks atvērts pirmais modulis, \(f(x)\) būs vienāds uz \(kx+A\) , kur \(A\) ir \(a\) izteiksme un \(k\) ir vienāds ar \(-9\) vai \(-3\) . Kad \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Atradīsim \(f\) vērtību maksimālajā punktā: \ 
Lai vienādojumam būtu vismaz viens atrisinājums, ir nepieciešams, lai funkciju \(f\) un \(g\) grafikos būtu vismaz viens krustošanās punkts. Tāpēc jums ir nepieciešams: \ \\]
Atbilde:
\(a\in \(-7\)\cup\)
5. uzdevums #3912
Uzdevuma līmenis: vienāds ar vienoto valsts eksāmenu
Atrodiet visas parametra \(a\) vērtības, katrai no kurām vienādojums \
ir seši dažādi risinājumi.
Veiksim aizstāšanu \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Tad vienādojums iegūs formu \
Mēs pakāpeniski uzrakstīsim nosacījumus, saskaņā ar kuriem sākotnējam vienādojumam būs seši risinājumi.
Ņemiet vērā, ka kvadrātvienādojumam \((*)\) var būt ne vairāk kā divi risinājumi. Jebkuram kubiskā vienādojumam \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) var būt ne vairāk kā trīs atrisinājumi. Tāpēc, ja vienādojumam \((*)\) ir divi dažādi atrisinājumi (pozitīvi!, jo \(t\) ir jābūt lielākam par nulli) \(t_1\) un \(t_2\) , tad, veicot apgriezto vērtību aizstāšanu, mēs iegūstam: \[\left[\begin(gathered)\begin(līdzināts) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\beigas(līdzināts)\beigas(savāktas)\pa labi.\] Tā kā jebkuru pozitīvu skaitli zināmā mērā var attēlot kā \(\sqrt2\), piemēram, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), tad pirmais kopas vienādojums tiks pārrakstīts formā \
Kā jau teicām, jebkuram kubiskā vienādojumam ir ne vairāk kā trīs atrisinājumi, tāpēc katram kopas vienādojumam būs ne vairāk kā trīs atrisinājumi. Tas nozīmē, ka visā komplektā būs ne vairāk kā seši risinājumi.
Tas nozīmē, ka, lai sākotnējam vienādojumam būtu seši risinājumi, kvadrātvienādojumam \((*)\) ir jābūt diviem dažādiem atrisinājumiem, un katram iegūtajam kubiskā vienādojumam (no kopas) ir jābūt trim dažādiem atrisinājumiem (un nevis vienam vienam vienādojumam jāsakrīt ar jebkuru - pēc otrā lēmuma!)
Acīmredzot, ja kvadrātvienādojumam \((*)\) ir viens risinājums, tad mēs neiegūsim sešus sākotnējā vienādojuma atrisinājumus.
Tādējādi risinājuma plāns kļūst skaidrs. Punktu pa punktam pierakstīsim nosacījumus, kas jāizpilda.
1) Lai vienādojumam \((*)\) būtu divi dažādi risinājumi, tā diskriminantam ir jābūt pozitīvam: \
2) Ir arī nepieciešams, lai abas saknes būtu pozitīvas (kopš \(t>0\) ). Ja divu sakņu reizinājums ir pozitīvs un to summa ir pozitīva, tad pašas saknes būs pozitīvas. Tāpēc jums ir nepieciešams: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
Tādējādi mēs jau esam nodrošinājuši sev divas dažādas pozitīvas saknes \(t_1\) un \(t_2\) .
3)
Apskatīsim šo vienādojumu \
Kādam \(t\) tam būs trīs dažādi risinājumi? Tādējādi esam noteikuši, ka abām vienādojuma \((*)\) saknēm ir jāatrodas intervālā \((1;4)\) . Kā uzrakstīt šo nosacījumu? bija četras dažādas saknes, kas atšķiras no nulles un kopā ar \(x=0\) attēlo aritmētisko progresiju. Ņemiet vērā, ka funkcija \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) ir pāra, kas nozīmē, ka, ja \(x_0\) ir vienādojuma sakne \( (*)\ ) , tad \(-x_0\) arī būs tā sakne. Tad ir nepieciešams, lai šī vienādojuma saknes būtu skaitļi, kas sakārtoti augošā secībā: \(-2d, -d, d, 2d\) (tad \(d>0\)). Tad šie pieci skaitļi veidos aritmētisko progresiju (ar starpību \(d\)). Lai šīs saknes būtu skaitļi \(-2d, -d, d, 2d\) , skaitļiem \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) ir jābūt saknēm vienādojums \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Tad saskaņā ar Vietas teorēmu: Pārrakstīsim vienādojumu formā \
un apsveriet divas funkcijas: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) un \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . Lai vienādojumam būtu vismaz viens atrisinājums, ir nepieciešams, lai funkciju \(f\) un \(g\) grafikos būtu vismaz viens krustošanās punkts. Tāpēc jums ir nepieciešams: \
Atrisinot šo sistēmu kopu, mēs saņemam atbildi: \\]
Atbilde: \(a\in \(-2\)\cup\) Lai to izdarītu, izmantojiet grafisko papīru vai grafiku kalkulatoru. Atlasiet jebkuru neatkarīgu mainīgo vērtību skaitu x (\displaystyle x) un pievienojiet tos funkcijai, lai aprēķinātu atkarīgā mainīgā vērtības y (\displaystyle y). Atzīmējiet atrastās punktu koordinātas koordinātu plaknē un pēc tam savienojiet šos punktus, lai izveidotu funkcijas grafiku. Pārbaudiet, vai funkcijas grafiks ir simetrisks pret Y asi. Simetrija nozīmē diagrammas spoguļattēlu attiecībā pret ordinātām. Ja diagrammas daļa pa labi no Y ass (neatkarīgā mainīgā pozitīvās vērtības) ir tāda pati kā diagrammas daļa pa kreisi no Y ass (neatkarīgā mainīgā negatīvās vērtības ), grafiks ir simetrisks pret Y asi Ja funkcija ir simetriska pret y asi, funkcija ir pāra. Pārbaudiet, vai funkcijas grafiks ir simetrisks pret izcelsmi. Sākums ir punkts ar koordinātām (0,0). Simetrija par izcelsmi nozīmē pozitīvu vērtību y (\displaystyle y)(ar pozitīvu vērtību x (\displaystyle x)) atbilst negatīvai vērtībai y (\displaystyle y)(ar negatīvu vērtību x (\displaystyle x)), un otrādi. Nepāra funkcijām ir simetrija attiecībā uz izcelsmi. Pārbaudiet, vai funkcijas grafikam ir simetrija. Pēdējais funkcijas veids ir funkcija, kuras grafikam nav simetrijas, tas ir, nav spoguļattēla gan attiecībā pret ordinātu asi, gan attiecībā pret izcelsmi. Piemēram, ņemot vērā funkciju . Funkcijas nulles Nulles ir funkcijas grafika krustošanās punkti ar asi Ak.
Funkciju paritāte Nepāra paritātes funkcija Funkciju palielināšana Dilstoša funkcija Atrodiet monotonitātes intervālus, izmantojot pakalpojumu Palielinošās un samazinošās funkcijas intervāli Vietējais maksimums Vietējais minimums Funkcijas biežums Zīmes noturības intervāli Funkciju nepārtrauktība Pārtraukuma punkti Vispārīga shēma funkciju zīmēšanai 1. Atrodiet funkcijas D(y) definīcijas apgabalu. 2. Atrodiet funkciju grafika krustošanās punktus ar koordinātu asīm. 3. Pārbaudiet funkciju pāra vai nepāra. 4. Pārbaudiet funkcijas periodiskumu. 5. Atrast funkcijas monotonitātes intervālus un ekstrēma punktus. 6. Atrodiet funkcijas izliekuma intervālus un lēciena punktus. 7. Atrodiet funkcijas asimptotus. 8. Pamatojoties uz pētījuma rezultātiem, konstruē grafiku. Piemērs: Izpētiet funkciju un uzzīmējiet to: y = x 3 – 3x 1) Funkcija ir definēta uz visas skaitliskās ass, t.i., tās definīcijas apgabals ir D(y) = (-∞; +∞). 2) Atrodiet krustošanās punktus ar koordinātu asīm: ar OX asi: atrisiniet vienādojumu x 3 – 3x = 0 ar OY asi: y(0) = 0 3 – 3*0 = 0 3) Uzziniet, vai funkcija ir pāra vai nepāra: y(-x) = (-x) 3 – 3 (-x) = -x 3 + 3x = - (x 3 – 3x) = -y(x) No tā izriet, ka funkcija ir nepāra. 4) Funkcija ir neperiodiska. 5) Atradīsim funkcijas monotonitātes intervālus un ekstrēmu punktus: y’ = 3x 2 - 3. Kritiskie punkti: 3x 2 – 3 = 0, x 2 =1, x= ±1. y(-1) = (-1) 3 – 3 (-1) = 2 y(1) = 1 3 – 3*1 = -2 6) Atrodiet funkcijas izliekuma intervālus un lēciena punktus: y’’ = 6x Kritiskie punkti: 6x = 0, x = 0. y(0) = 0 3 – 3*0 = 0 7) Funkcija ir nepārtraukta, tai nav asimptotu. 8) Pamatojoties uz pētījuma rezultātiem, konstruēsim funkcijas grafiku. Mainīgā y atkarību no mainīgā x, kurā katra x vērtība atbilst vienai y vērtībai, sauc par funkciju. Apzīmēšanai izmantojiet apzīmējumu y=f(x). Katrai funkcijai ir vairākas pamatīpašības, piemēram, monotoniskums, paritāte, periodiskums un citas. Sīkāk apskatiet paritātes īpašumu. Funkcija y=f(x) tiek izsaukta pat tad, ja tā atbilst šādiem diviem nosacījumiem: 2. Funkcijas vērtībai punktā x, kas ietilpst funkcijas definīcijas jomā, jābūt vienādai ar funkcijas vērtību punktā -x. Tas ir, jebkuram punktam x no funkcijas definīcijas apgabala ir jāizpilda šāda vienādība: f(x) = f(-x). Ja uzzīmējat pāra funkcijas grafiku, tas būs simetrisks attiecībā pret Oy asi. Piemēram, funkcija y=x^2 ir pāra. Pārbaudīsim to. Definīcijas apgabals ir visa skaitliskā ass, kas nozīmē, ka tā ir simetriska attiecībā pret punktu O. Ņemsim patvaļīgu x=3. f(x)=3^2=9. f(-x)=(-3)^2=9. Tāpēc f(x) = f(-x). Tādējādi abi nosacījumi ir izpildīti, kas nozīmē, ka funkcija ir vienmērīga. Zemāk ir funkcijas y=x^2 grafiks. Attēlā redzams, ka grafiks ir simetrisks pret Oy asi. Funkciju y=f(x) sauc par nepāra, ja tā atbilst šādiem diviem nosacījumiem: 1. Dotās funkcijas definīcijas apgabalam ir jābūt simetriskam attiecībā pret punktu O. Tas ir, ja kāds punkts a pieder funkcijas definīcijas apgabalam, tad arī atbilstošajam punktam -a ir jāiekļaujas definīcijas jomā. no dotās funkcijas. 2. Jebkuram punktam x no funkcijas definīcijas apgabala jāizpilda šāda vienādība: f(x) = -f(x). Nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret punktu O - koordinātu sākumpunktu. Piemēram, funkcija y=x^3 ir nepāra. Pārbaudīsim to. Definīcijas apgabals ir visa skaitliskā ass, kas nozīmē, ka tā ir simetriska attiecībā pret punktu O. Ņemsim patvaļīgu x=2. f(x)=2^3=8. f(-x)=(-2)^3=-8. Tāpēc f(x) = -f(x). Tādējādi abi nosacījumi ir izpildīti, kas nozīmē, ka funkcija ir nepāra. Zemāk ir funkcijas y=x^3 grafiks. Attēlā skaidri redzams, ka nepāra funkcija y=x^3 ir simetriska attiecībā pret izcelsmi.
Apsveriet funkciju \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Var faktorizēt: \
Tāpēc tā nulles ir: \(x=-1;2\) .
Ja atrodam atvasinājumu \(f"(x)=3x^2-6x\) , tad iegūstam divus ekstrēma punktus \(x_(max)=0, x_(min)=2\) .
Tāpēc grafiks izskatās šādi: 
Mēs redzam, ka jebkura horizontāla līnija \(y=k\) , kur \(0
Tādējādi jums ir nepieciešams: \[\begin(cases) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Uzreiz atzīmēsim arī to, ka, ja skaitļi \(t_1\) un \(t_2\) ir atšķirīgi, tad skaitļi \(\log_(\sqrt2)t_1\) un \(\log_(\sqrt2)t_2\) būs atšķirīgs, kas nozīmē vienādojumus \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) Un \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) būs dažādas saknes.
Sistēmu \((**)\) var pārrakstīt šādi: \[\begin(cases) 1
Mēs nepārprotami neizrakstīsim saknes.
Apsveriet funkciju \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Tās grafiks ir parabola ar augšupvērstiem zariem, kam ir divi krustošanās punkti ar x asi (šo nosacījumu mēs pierakstījām 1. punktā). Kādam vajadzētu izskatīties tā grafikam, lai krustošanās punkti ar x asi atrastos intervālā \((1;4)\)? Tātad: 
Pirmkārt, funkcijas vērtībām \(g(1)\) un \(g(4)\) punktos \(1\) un \(4\) jābūt pozitīvām, un, otrkārt, funkcijas virsotnei. parabolai \(t_0\ ) ir jābūt arī intervālā \((1;4)\) . Tāpēc mēs varam uzrakstīt sistēmu: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
Funkcijai \(g(x)\) ir maksimālais punkts \(x=0\) (un \(g_(\teksts(augšā))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Nulles atvasinājums: \(x=0\) . Kad \(x<0\)
имеем: \(g">0\) , \(x>0\) : \(g"<0\)
.
Funkcija \(f(x)\) \(x>0\) palielinās un \(x)<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
Patiešām, kad \(x>0\) pirmais modulis tiks atvērts pozitīvi (\(|x|=x\)), tāpēc neatkarīgi no tā, kā tiks atvērts otrais modulis, \(f(x)\) būs vienāds uz \(kx+A\) , kur \(A\) ir \(a\) izteiksme un \(k\) ir vienāds ar \(13-10=3\) vai \(13+10 =23\) . Kad \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
Atradīsim \(f\) vērtību minimālajā punktā: \
Funkcijas nulle ir vērtība X, pie kura funkcija pārvēršas par 0, tas ir, f(x)=0.
Funkcija tiek izsaukta pat tad, ja jebkurai X no definīcijas apgabala ir spēkā vienādība f(-x) = f(x). 
Vienmērīga funkcija ir simetriska pret asi Ak
Funkciju sauc par nepāra, ja tāda ir X no definīcijas apgabala ir spēkā vienādība f(-x) = -f(x). 
Nepāra funkcija ir simetriska attiecībā pret izcelsmi.
Funkciju, kas nav ne pāra, ne nepāra, sauc par vispārīgo funkciju. 
Tiek uzskatīts, ka funkcija f(x) pieaug, ja lielāka argumenta vērtība atbilst lielākai funkcijas vērtībai, t.i. 
Funkciju f(x) sauc par samazinošu, ja lielāka argumenta vērtība atbilst mazākai funkcijas vērtībai, t.i. 
Tiek izsaukti intervāli, kuros funkcija vai nu tikai samazinās, vai tikai palielinās monotonijas intervāli. Funkcijai f(x) ir 3 monotonības intervāli: 
Punkts x 0 tiek saukts par vietējo maksimālo punktu, ja tāds ir X no punkta tuvumā x 0 nevienādība ir spēkā: f(x 0) > f(x) 
Punkts x 0 tiek saukts par vietējo minimālo punktu, ja tāds ir X no punkta tuvumā x 0 spēkā ir nevienādība: f(x 0)< f(x).
Vietējos maksimālos punktus un vietējos minimālos punktus sauc par lokālajiem ekstrēma punktiem. 
vietējie ekstrēma punkti.
Funkciju f(x) sauc par periodisku, ar punktu T, ja par kādu X spēkā ir vienādība f(x+T) = f(x). 
Intervālus, kuros funkcija ir vai nu tikai pozitīva, vai tikai negatīva, sauc par nemainīgas zīmes intervāliem. 
Funkciju f(x) sauc par nepārtrauktu punktā x 0, ja funkcijas kā x → x 0 robeža ir vienāda ar funkcijas vērtību šajā punktā, t.i. 
.
Punktus, kuros tiek pārkāpts nepārtrauktības nosacījums, sauc par funkcijas pārtraukuma punktiem. 
x 0- pārtraukuma punkts.
Pāra funkcijas grafiks
Nepāra funkcijas grafiks
