Lai to izdarītu, izmantojiet grafisko papīru vai grafiku kalkulatoru. Atlasiet jebkuru skaitlisko vērtību neatkarīgajam mainīgajam x (\displaystyle x) un pievienojiet to funkcijai, lai aprēķinātu atkarīgā mainīgā y (\displaystyle y) vērtības. Atzīmējiet atrastās punktu koordinātas koordinātu plakne, un pēc tam savienojiet šos punktus, lai attēlotu funkcijas grafiku.
- Aizstājiet funkcijā pozitīvās skaitliskās vērtības x (\displaystyle x) un atbilstošās negatīvās skaitliskās vērtības. Piemēram, ņemot vērā funkciju . Nomainiet to sekojošām vērtībām x (\displaystyle x) :
- f (1) = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displeja stils f(1)=2(1)^(2)+1=2+1=3) (1, 3) (\ displeja stils (1,3)) .
- f (2) = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(2)=2(2)^(2)+1=2(4)+1 =8+1=9) . Mēs saņēmām punktu ar koordinātām (2, 9) (\displaystyle (2,9)).
- f (− 1) = 2 (− 1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3 (\displaystyle f(-1)=2(-1)^(2)+1=2+1=3) . Mēs saņēmām punktu ar koordinātām (− 1, 3) (\displaystyle (-1,3)) .
- f (− 2) = 2 (− 2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9 (\displaystyle f(-2)=2(-2)^(2)+1=2( 4)+1=8+1=9) . Mēs saņēmām punktu ar koordinātām (− 2, 9) (\displaystyle (-2,9)) .
Pārbaudiet, vai funkcijas grafiks ir simetrisks pret Y asi Ar simetriju saprotam grafikas spoguļattēlu ap y asi. Ja diagrammas daļa pa labi no Y ass (neatkarīgā mainīgā pozitīvās vērtības) ir tāda pati kā diagrammas daļa pa kreisi no Y ass (neatkarīgā mainīgā negatīvās vērtības ), grafiks ir simetrisks pret Y asi Ja funkcija ir simetriska pret y asi, funkcija ir pāra.
- Diagrammas simetriju var pārbaudīt, izmantojot atsevišķus punktus. Ja y (\displaystyle y) x (\displaystyle x) vērtība atbilst y (\displaystyle y) vērtībai, kas atbilst − x (\displaystyle -x) vērtībai, funkcija ir pāra. Mūsu piemērā ar funkciju f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1) mēs ieguvām šādas punktu koordinātas:
- (1.3) un (-1.3)
- (2,9) un (-2,9)
- Ņemiet vērā, ka x=1 un x=-1 atkarīgais mainīgais ir y=3, bet x=2 un x=-2 atkarīgais mainīgais ir y=9. Tādējādi funkcija ir vienmērīga. Faktiski, lai precīzi noteiktu funkcijas formu, jāņem vērā vairāk nekā divi punkti, taču aprakstītā metode ir laba tuvinājuma metode.
Pārbaudiet, vai funkcijas grafiks ir simetrisks pret izcelsmi.
- Sākums ir punkts ar koordinātām (0,0). Izcelsmes simetrija nozīmē, ka pozitīva y vērtība (pozitīvai x vērtībai) atbilst negatīvai y vērtībai (negatīvai x vērtībai) un otrādi. Nepāra funkcijām ir simetrija attiecībā uz izcelsmi. Ja mēs aizstājam vairākus pozitīvus un atbilstošus negatīvas vērtības
- x (\displaystyle x) , y (\displaystyle y) vērtības atšķirsies pēc zīmes. Piemēram, dota funkcija f (x) = x 3 + x (\displaystyle f(x)=x^(3)+x) . Aizstājiet tajā vairākas x vērtības (\displaystyle x):
- f (1) = 1 3 + 1 = 1 + 1 = 2 (\displaystyle f(1)=1^(3)+1=1+1=2) . Saņēmām punktu ar koordinātām (1,2).
- f (− 1) = (− 1) 3 + (− 1) = − 1 − 1 = − 2 (\displeja stils f(-1)=(-1)^(3)+(-1)=-1- 1=-2)
- f (2) = 2 3 + 2 = 8 + 2 = 10 (\displaystyle f(2) = 2^ (3) + 2 = 8 + 2 = 10)
- f (− 2) = (− 2) 3 + (− 2) = − 8 − 2 = − 10 (\displaystyle f(-2)=(-2)^(3)+(-2)=-8- 2=-10) . Saņēmām punktu ar koordinātēm (-2,-10).
Tādējādi f(x) = -f(-x), tas ir, funkcija ir nepāra.
- Pārbaudiet, vai funkcijas grafikam ir simetrija.
- Pēdējais funkcijas veids ir funkcija, kuras grafikam nav simetrijas, tas ir, nav spoguļattēla gan attiecībā pret ordinātu asi, gan attiecībā pret izcelsmi. Piemēram, ņemot vērā funkciju .
- Funkcijā aizstājiet vairākas pozitīvas un atbilstošās negatīvās x vērtības (\displaystyle x):
- f (1) = 1 2 + 2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4 (\displaystyle f(1)=1^(2)+2(1)+1=1+2+1=4 ) . Saņēmām punktu ar koordinātām (1,4).
- f (− 1) = (− 1) 2 + 2 (− 1) + (− 1) = 1 − 2 − 1 = − 2 (\displaystyle f(-1)=(-1)^(2)+2 (-1)+(-1)=1-2-1=-2) . Saņēmām punktu ar koordinātēm (-1,-2).
- f (2) = 2 2 + 2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10 (\displaystyle f(2)=2^(2)+2(2)+2=4+4+2=10 ) . Saņēmām punktu ar koordinātēm (2,10).
- Lūdzu, ņemiet vērā, ka funkciju f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) var uzrakstīt šādi: f (x) = (x + 1) ) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)) . Rakstot šajā formā, funkcija parādās pat tāpēc, ka ir vienmērīgs eksponents. Bet šis piemērs pierāda, ka funkcijas veidu nevar ātri noteikt, ja neatkarīgais mainīgais ir ievietots iekavās. Šajā gadījumā jums ir jāatver iekavas un jāanalizē iegūtie eksponenti.
Funkcijas vienmērīgums un dīvainība ir viena no tās galvenajām īpašībām, un paritāte aizņem iespaidīgu daļu skolas kurss matemātikā. Tas lielā mērā nosaka funkcijas uzvedību un ievērojami atvieglo atbilstošā grafika izveidošanu.
Noteiksim funkcijas paritāti. Vispārīgi runājot, pētāmā funkcija tiek uzskatīta pat tad, ja neatkarīgā mainīgā (x) pretējām vērtībām, kas atrodas tās definīcijas jomā, atbilstošās y (funkcijas) vērtības izrādās vienādas.
Sniegsim stingrāku definīciju. Apsveriet kādu funkciju f (x), kas ir definēta domēnā D. Tā būs pat tad, ja jebkuram punktam x, kas atrodas definīcijas domēnā:
- -x (pretējais punkts) ir arī šajā jomā,
- f(-x) = f(x).
No iepriekš minētās definīcijas izriet nosacījums, kas nepieciešams šādas funkcijas definīcijas apgabalam, proti, simetrija attiecībā pret punktu O, kas ir koordinātu sākumpunkts, jo, ja kāds punkts b ir ietverts pāra definīcijas apgabalā. funkciju, tad šajā jomā atrodas arī atbilstošais punkts b. No iepriekš minētā izriet secinājums: pāra funkcijai ir simetriska forma attiecībā pret ordinātu asi (Oy).
Kā praksē noteikt funkcijas paritāti?
Ļaujiet to norādīt, izmantojot formulu h(x)=11^x+11^(-x). Sekojot algoritmam, kas tieši izriet no definīcijas, mēs vispirms pārbaudām tā definīcijas jomu. Acīmredzot tas ir definēts visām argumenta vērtībām, tas ir, pirmais nosacījums ir izpildīts.
Nākamais solis ir aizstāt argumentu (x) ar pretējo vērtību (-x).
Mēs iegūstam:
h(-x) = 11^(-x) + 11^x.
Tā kā saskaitīšana apmierina komutatīvo (komutatīvo) likumu, ir acīmredzams, ka h(-x) = h(x) un dotā funkcionālā atkarība ir pāra.
Pārbaudīsim funkcijas h(x)=11^x-11^(-x) paritāti. Ievērojot to pašu algoritmu, mēs iegūstam, ka h(-x) = 11^(-x) -11^x. Izņemot mīnusu, galu galā mums ir
h(-x)=-(11^x-11^(-x))=- h(x). Tāpēc h(x) ir nepāra.
Starp citu, jāatgādina, ka ir funkcijas, kuras nevar klasificēt pēc šiem kritērijiem, tās nesauc ne par pāra, ne par nepāra.
Pat funkcijām ir vairākas interesantas īpašības:
- līdzīgu funkciju pievienošanas rezultātā tās iegūst vienmērīgu;
- šādu funkciju atņemšanas rezultātā iegūst pāra;
- pat, arī pat;
- divu šādu funkciju reizināšanas rezultātā tiek iegūta pāra viena;
- pāra un nepāra funkciju reizināšanas rezultātā iegūst nepāra;
- pāra un nepāra funkciju dalīšanas rezultātā iegūst nepāra;
- šādas funkcijas atvasinājums ir nepāra;
- Ja izvēlaties nepāra funkciju kvadrātā, jūs iegūstat pāra funkciju.
Funkcijas paritāti var izmantot, lai atrisinātu vienādojumus.
Lai atrisinātu vienādojumu, piemēram, g(x) = 0, kur vienādojuma kreisā puse ir pāra funkcija, būs pilnīgi pietiekami, lai atrastu tā risinājumus mainīgā nenegatīvām vērtībām. Iegūtās vienādojuma saknes jāapvieno ar pretējiem skaitļiem. Viens no tiem ir pakļauts pārbaudei.
To veiksmīgi izmanto arī, lai atrisinātu nestandarta problēmas ar parametru.
Piemēram, vai ir kāda parametra a vērtība, kurai vienādojumam 2x^6-x^4-ax^2=1 būs trīs saknes?
Ja ņemam vērā, ka mainīgais vienādojumā ieiet pāra pakāpēs, tad ir skaidrs, ka x aizstājot ar - x dots vienādojums nemainīsies. No tā izriet, ka, ja noteikts skaitlis ir tā sakne, tad pretējais skaitlis ir arī sakne. Secinājums ir acīmredzams: vienādojuma saknes, kas atšķiras no nulles, ir iekļautas tā atrisinājumu kopā “pa pāriem”.
Ir skaidrs, ka pats skaitlis nav 0, tas ir, šāda vienādojuma sakņu skaits var būt tikai pāra un, protams, jebkurai parametra vērtībai tam nevar būt trīs saknes.
Taču vienādojuma 2^x+ 2^(-x)=ax^4+2x^2+2 sakņu skaits var būt nepāra un jebkurai parametra vērtībai. Patiešām, ir viegli pārbaudīt, vai sakņu komplekts dots vienādojums satur risinājumus pa pāriem. Pārbaudīsim, vai 0 ir sakne. Kad mēs to aizstājam vienādojumā, mēs iegūstam 2 = 2. Tādējādi papildus “pārī savienotajiem” 0 ir arī sakne, kas pierāda to nepāra skaitli.
Funkciju sauc par pāra (nepāra), ja jebkurai un vienādībai 
.
Pāra funkcijas grafiks ir simetrisks pret asi 
.
Nepāra funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret izcelsmi.
Piemērs 6.2.
1)
;
2)
;
3)
.
Pārbaudiet, vai funkcija ir pāra vai nepāra.
Risinājums 
1) Funkcija tiek definēta, kad 
.
. Mēs atradīsim 
Tie. . nozīmē,šī funkcija
ir pat. 
. Mēs atradīsim 
2) Funkcija tiek definēta, kad
. Tādējādi šī funkcija ir nepāra.
,
. Tāpēc funkcija nav ne pāra, ne nepāra. Sauksim to par vispārējās formas funkciju.
Funkcija 
sauc par palielināšanos (samazināšanos) noteiktā intervālā, ja šajā intervālā katrs augstāka vērtība arguments atbilst lielākai (mazākai) funkcijas vērtībai.
Funkcijas, kas palielinās (samazinās) noteiktā intervālā, sauc par monotoniskām.
Ja funkcija 
Atšķiras pēc intervāla 
un tam ir pozitīvs (negatīvs) atvasinājums 
, tad funkcija 
palielinās (samazinās) šajā intervālā.
Piemērs 6.3. Atrast funkciju monotonitātes intervālus
1)
;
3)
.
Pārbaudiet, vai funkcija ir pāra vai nepāra.
1) Šī funkcija ir definēta visā skaitļu rindā. Atradīsim atvasinājumu.
Atvasinājums ir vienāds ar nulli, ja 
Un 
. Definīcijas domēns ir skaitļu ass, kas dalīta ar punktiem 
,
ar intervāliem. Noteiksim atvasinājuma zīmi katrā intervālā.
Intervālā 
atvasinājums ir negatīvs, funkcija samazinās šajā intervālā.
Intervālā 
atvasinājums ir pozitīvs, tāpēc funkcija šajā intervālā palielinās.
2) Šī funkcija ir definēta, ja 
vai
.
Mēs nosakām kvadrātiskā trinoma zīmi katrā intervālā.
Tādējādi funkcijas definīcijas joma
Atradīsim atvasinājumu 
,
, Ja 
, t.i. 
, Bet 
. Noteiksim atvasinājuma zīmi intervālos 
.
Intervālā 
atvasinājums ir negatīvs, tāpēc funkcija intervālā samazinās 
. Intervālā 
atvasinājums ir pozitīvs, funkcija palielinās pa intervālu 
.
Punkts 
sauc par funkcijas maksimālo (minimālo) punktu 
, ja ir tāda punkta apkārtne 
tas ir visiem 
no šīs apkārtnes pastāv nevienlīdzība 
.
Funkcijas maksimālo un minimālo punktu sauc par ekstrēma punktiem.
Ja funkcija 
punktā 
ir ekstrēmums, tad funkcijas atvasinājums šajā punktā ir vienāds ar nulli vai neeksistē (nepieciešams nosacījums ekstrēmuma pastāvēšanai).
Punktus, kuros atvasinājums ir nulle vai tā nav, sauc par kritiskiem.
5. Pietiekami nosacījumi ekstrēma pastāvēšanai.1. noteikums. Ja pārejas laikā (no kreisās uz labo) caur kritisko punktu 
atvasinājums 
maina zīmi no “+” uz “–”, pēc tam punktā 
funkciju 
ir maksimums; ja no “–” līdz “+”, tad minimums; Ja 
nemaina zīmi, tad nav ekstrēma.
2. noteikums. Ļaujiet pie punkta 
pirmais funkcijas atvasinājums 
vienāds ar nulli 
, un otrais atvasinājums pastāv un atšķiras no nulles. Ja 
, Tas 
– maksimālais punkts, ja 
, Tas 
– funkcijas minimālais punkts.
Piemērs 6.4. Izpētiet maksimālās un minimālās funkcijas:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Risinājums.
1) Funkcija ir noteikta un nepārtraukta intervālā 
.
Atradīsim atvasinājumu 
un atrisiniet vienādojumu 
, t.i. 
.No šejienes 
- kritiskie punkti.
Noteiksim atvasinājuma zīmi intervālos , 
.
Izejot cauri punktiem 
Un 
atvasinājums maina zīmi no “–” uz “+”, tāpēc saskaņā ar 1. noteikumu 
– punktu minimums.
Izejot caur punktu 
atvasinājums maina zīmi no “+” uz “–”, tātad 
- maksimālais punkts.
,
.
2) Funkcija ir definēta un nepārtraukta intervālā 
. Atradīsim atvasinājumu 
.
Atrisinot vienādojumu 
, mēs atradīsim 
Un 
- kritiskie punkti. Ja saucējs 
, t.i. 
, tad atvasinājums neeksistē. Tātad, 
– trešais kritiskais punkts. Noteiksim atvasinājuma zīmi intervālos.
Tāpēc funkcijai punktā ir minimums 
, maksimums punktos 
Un 
.
3) Funkcija ir definēta un nepārtraukta, ja 
, t.i. plkst 
.
Atradīsim atvasinājumu 
.
Atradīsim kritiskos punktus: 
Punktu apkaimes 
neietilpst definīcijas jomā, tāpēc tie nav ekstrēmi. Tātad, apskatīsim kritiskos punktus 
Un 
.
4) Funkcija ir noteikta un nepārtraukta intervālā 
. Izmantosim noteikumu 2. Atrodiet atvasinājumu 
.
Atradīsim kritiskos punktus:
Atradīsim otro atvasinājumu 
un noteikt tās zīmi punktos 
Punktos 
funkcijai ir minimums.
Punktos 
funkcijai ir maksimums.
Kā vietnē ievietot matemātiskās formulas?
Ja jums kādreiz ir jāpievieno viena vai divas matemātiskas formulas tīmekļa lapai, vienkāršākais veids, kā to izdarīt, ir aprakstīts rakstā: matemātiskās formulas ir viegli ievietojamas vietnē attēlu veidā, ko automātiski ģenerē Wolfram Alpha. . Papildus vienkāršībai šī universālā metode palīdzēs uzlabot vietnes redzamību meklētājprogrammās. Tas darbojas jau ilgu laiku (un, domāju, darbosies mūžīgi), bet jau ir morāli novecojis.
Ja savā vietnē regulāri lietojat matemātiskās formulas, tad iesaku izmantot MathJax – īpašu JavaScript bibliotēku, kas tīmekļa pārlūkprogrammās parāda matemātiskos apzīmējumus, izmantojot MathML, LaTeX vai ASCIIMathML marķējumu.
Ir divi veidi, kā sākt lietot MathJax: (1) izmantojot vienkāršs kods Jūs varat ātri pieslēgt savai vietnei MathJax skriptu, kas īstajā laikā tiks automātiski ielādēts no attālā servera (serveru saraksts); (2) lejupielādējiet MathJax skriptu no attālā servera savā serverī un pievienojiet to visām vietnes lapām. Otrā metode — sarežģītāka un laikietilpīgāka — paātrinās jūsu vietnes lapu ielādi, un, ja MathJax vecākais serveris kādu iemeslu dēļ uz laiku kļūst nepieejams, tas nekādā veidā neietekmēs jūsu vietni. Neskatoties uz šīm priekšrocībām, es izvēlējos pirmo metodi, jo tā ir vienkāršāka, ātrāka un neprasa tehniskas iemaņas. Sekojiet manam piemēram, un jau pēc 5 minūtēm jūs savā vietnē varēsiet izmantot visas MathJax funkcijas.
MathJax bibliotēkas skriptu var savienot no attālā servera, izmantojot divas koda opcijas, kas iegūtas no galvenās MathJax vietnes vai dokumentācijas lapas:
Viena no šīm koda opcijām ir jākopē un jāielīmē jūsu tīmekļa lapas kodā, vēlams starp tagiem un vai tūlīt aiz taga. Saskaņā ar pirmo opciju MathJax tiek ielādēts ātrāk un mazāk palēnina lapu. Bet otrā opcija automātiski uzrauga un ielādē jaunākās MathJax versijas. Ja ievietojat pirmo kodu, tas būs periodiski jāatjaunina. Ja ievietosiet otro kodu, lapas tiks ielādētas lēnāk, taču jums nebūs pastāvīgi jāuzrauga MathJax atjauninājumi.
Vienkāršākais veids, kā savienot MathJax, ir pakalpojumā Blogger vai WordPress: vietnes vadības panelī pievienojiet logrīku, kas paredzēts trešās puses JavaScript koda ievietošanai, kopējiet tajā pirmo vai otro lejupielādes koda versiju un novietojiet logrīku tuvāk. līdz veidnes sākumam (starp citu, tas nemaz nav nepieciešams, jo MathJax skripts tiek ielādēts asinhroni). Tas arī viss. Tagad apgūstiet MathML, LaTeX un ASCIIMathML iezīmēšanas sintaksi, un esat gatavs ievietot matemātiskās formulas savas vietnes tīmekļa lapās.
Jebkurš fraktāls tiek konstruēts saskaņā ar noteiktu noteikumu, kas tiek konsekventi piemērots neierobežotu skaitu reižu. Katru šādu laiku sauc par iterāciju.
Mengera sūkļa konstruēšanas iteratīvais algoritms ir pavisam vienkāršs: sākotnējais kubs ar 1. malu tiek sadalīts ar plaknēm, kas ir paralēlas tā virsmām, 27 vienādos kubos. No tā tiek noņemts viens centrālais kubs un 6 tam blakus esošie kubi gar virsmām. Rezultāts ir komplekts, kas sastāv no atlikušajiem 20 mazākiem kubiņiem. Izdarot to pašu ar katru no šiem kubiem, mēs iegūstam komplektu, kas sastāv no 400 mazākiem kubiņiem. Turpinot šo procesu bezgalīgi, mēs iegūstam Menger sūkli.