Matemātikā viens no parametriem, kas raksturo taisnes pozīciju Dekarta koordinātu plaknē, ir šīs taisnes leņķiskais koeficients. Šis parametrs raksturo taisnās līnijas slīpumu pret abscisu asi. Lai saprastu, kā atrast slīpumu, vispirms atcerieties taisnās līnijas vienādojuma vispārējo formu XY koordinātu sistēmā.

Kopumā jebkuru taisni var attēlot ar izteiksmi ax+by=c, kur a, b un c ir patvaļīgi reāli skaitļi, bet a 2 + b 2 ≠ 0.

Izmantojot vienkāršas transformācijas, šādu vienādojumu var novest formā y=kx+d, kurā k un d ir reāli skaitļi. Skaitlis k ir slīpums, un šāda veida taisnes vienādojumu sauc par vienādojumu ar leņķa koeficientu. Izrādās, ka, lai atrastu slīpumu, jums vienkārši jāsamazina sākotnējais vienādojums līdz iepriekš norādītajai formai. Lai iegūtu pilnīgāku izpratni, apsveriet konkrētu piemēru:

Problēma: Atrodiet taisnes slīpumu, kas dots ar vienādojumu 36x - 18y = 108

Risinājums: pārveidosim sākotnējo vienādojumu.

Atbilde: šīs līnijas nepieciešamais slīpums ir 2.

Ja vienādojuma transformācijas laikā mēs saņēmām tādu izteiksmi kā x = const un rezultātā nevaram attēlot y kā funkciju no x, tad mums ir darīšana ar taisni, kas ir paralēla X asij Leņķiskais koeficients taisna līnija ir vienāda ar bezgalību.

Līnijām, kas izteiktas ar vienādojumu, piemēram, y = const, slīpums ir nulle. Tas ir raksturīgi taisnām līnijām, kas ir paralēlas abscisu asij. Piemēram:

Uzdevums: Atrodiet taisnes slīpumu, kas dots ar vienādojumu 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4

Risinājums: Samazināsim sākotnējo vienādojumu uz vispārējais izskats

24x + 12g - 12g + 28 = 4

No iegūtās izteiksmes nav iespējams izteikt y, tāpēc šīs taisnes leņķiskais koeficients ir vienāds ar bezgalību, un pati līnija būs paralēla Y asij.

Ģeometriskā nozīme

Priekš labāka izpratne Apskatīsim attēlu:

Attēlā redzams tādas funkcijas grafiks kā y = kx. Vienkāršošanas labad pieņemsim koeficientu c = 0. Trijstūrī OAB malas BA attiecība pret AO būs vienāda ar leņķa koeficientu k. Tajā pašā laikā attiecība VA/AO ir tangenss akūts leņķisα in taisnleņķa trīsstūris OAV. Izrādās, ka taisnes leņķiskais koeficients ir vienāds ar leņķa tangensu, ko šī taisne veido ar koordinātu režģa abscisu asi.

Atrisinot uzdevumu, kā atrast taisnes leņķa koeficientu, mēs atrodam leņķa pieskari starp to un koordinātu režģa X asi. Robežgadījumi, kad attiecīgā līnija ir paralēla koordinātu asīm, apstiprina iepriekš minēto. Patiešām, taisnei, kas aprakstīta ar vienādojumu y=const, leņķis starp to un abscisu asi ir nulle. Nulles leņķa tangenss arī ir nulle, un slīpums arī ir nulle.

Taisnēm, kas ir perpendikulāras abscisu asij un aprakstītas ar vienādojumu x=const, leņķis starp tām un X asi ir 90 grādi. Pieskares pareizā leņķī ir vienāds ar bezgalību, un līdzīgu taisnu līniju leņķiskais koeficients arī ir vienāds ar bezgalību, kas apstiprina iepriekš rakstīto.

Pieskares slīpums

Praksē bieži sastopams uzdevums ir arī atrast funkcijas grafika pieskares slīpumu noteiktā punktā. Pieskares ir taisne, tāpēc arī tai ir attiecināms slīpuma jēdziens.

Lai noskaidrotu, kā atrast pieskares slīpumu, mums būs jāatgādina atvasinājuma jēdziens. Jebkuras funkcijas atvasinājums noteiktā punktā ir konstante, kas skaitliski vienāda ar leņķa tangensu, kas veidojas starp šīs funkcijas grafika norādītā punkta pieskari un abscisu asi. Izrādās, ka, lai noteiktu pieskares leņķisko koeficientu punktā x 0, ir jāaprēķina sākotnējās funkcijas atvasinājuma vērtība šajā punktā k = f"(x 0). Apskatīsim piemēru:

Uzdevums: Atrodiet funkcijas y = 12x 2 + 2xe x pieskares slīpumu pie x = 0,1.

Risinājums: atrodiet sākotnējās funkcijas atvasinājumu vispārīgā formā

y"(0,1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Atbilde: Nepieciešamais slīpums punktā x = 0,1 ir 4,831

Iepriekšējā nodaļā tika parādīts, ka, izvēloties noteiktu koordinātu sistēmu plaknē, mēs varam ģeometriskās īpašības, kas raksturo aplūkojamās līnijas punktus, tiek analītiski izteikts ar vienādojumu starp pašreizējām koordinātām. Tādējādi mēs iegūstam līnijas vienādojumu. Šajā nodaļā tiks aplūkoti taisnu līniju vienādojumi.

Lai izveidotu taisnes vienādojumu Dekarta koordinātās, jums kaut kā jāiestata nosacījumi, kas nosaka tās pozīciju attiecībā pret koordinātu asīm.

Vispirms iepazīstināsim ar līnijas leņķiskā koeficienta jēdzienu, kas ir viens no lielumiem, kas raksturo taisnes stāvokli plaknē.

Par taisnes slīpuma leņķi pret Vērša asi sauksim leņķi, par kādu Vērša asi jāpagriež, lai tā sakristu ar doto taisni (vai izrādītos tai paralēla). Kā parasti, mēs apsvērsim leņķi, ņemot vērā zīmi (zīmi nosaka griešanās virziens: pretēji pulksteņrādītāja virzienam vai pulksteņrādītāja virzienam). Tā kā Vērša ass papildu pagriešana 180° leņķī to atkal izlīdzinās ar taisni, taisnes slīpuma leņķi pret asi nevar izvēlēties viennozīmīgi (līdz terminam, kas ir reizināts) .

Šī leņķa pieskare tiek noteikta unikāli (jo, mainot leņķi, tā pieskare nemainās).

Taisnes slīpuma leņķa pieskare pret Vērša asi tiek saukta par taisnes leņķa koeficientu.

Leņķiskais koeficients raksturo taisnes virzienu (šeit nenošķiram divus savstarpēji pretējus taisnes virzienus). Ja taisnes slīpums ir nulle, tad līnija ir paralēla x asij. Ar pozitīvu leņķa koeficientu taisnes slīpuma leņķis pret Vērša asi būs akūts (šeit tiek ņemta vērā slīpuma leņķa mazākā pozitīvā vērtība) (39. att.); Turklāt, jo lielāks ir leņķa koeficients, jo lielāks ir tā slīpuma leņķis pret Vērša asi. Ja leņķiskais koeficients ir negatīvs, tad taisnes slīpuma leņķis pret Ox asi būs neass (40. att.). Ņemiet vērā, ka taisnei, kas ir perpendikulāra Ox asij, nav leņķa koeficienta (leņķa tangensa neeksistē).

Tēmas turpinājums, taisnes vienādojums plaknē ir balstīts uz taisnes izpēti no algebras stundām. Šajā rakstā ir sniegta vispārīga informācija par taisnas līnijas un slīpuma vienādojumu tēmu. Apskatīsim definīcijas, iegūsim pašu vienādojumu un identificēsim saistību ar cita veida vienādojumiem. Viss tiks apspriests, izmantojot problēmu risināšanas piemērus.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pirms šāda vienādojuma rakstīšanas ir jādefinē taisnās līnijas slīpuma leņķis pret O x asi ar to leņķa koeficientu. Pieņemsim, ka plaknē ir dota Dekarta koordinātu sistēma O x.

1. definīcija

Taisnas līnijas slīpuma leņķis pret O x asi, kas atrodas Dekarta koordinātu sistēmā O x y uz plaknes, tas ir leņķis, ko mēra no pozitīvā virziena O x līdz taisnei pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Kad līnija ir paralēla O x vai tajā sakrīt, slīpuma leņķis ir 0. Tad uz intervāla [0, π) tiek noteikts dotās taisnes slīpuma leņķis α.

2. definīcija

Tiešs slīpums ir noteiktas taisnes slīpuma leņķa tangenss.

Standarta apzīmējums ir k. No definīcijas mēs atklājam, ka k = t g α . Kad līnija ir paralēla Vērsim, viņi saka, ka slīpums neeksistē, jo tas iet līdz bezgalībai.

Slīpums ir pozitīvs, kad funkcijas grafiks palielinās un otrādi. Attēlā parādītas dažādas pareizā leņķa atrašanās vietas variācijas attiecībā pret koordinātu sistēmu ar koeficienta vērtību.

Lai atrastu šo leņķi, jāpiemēro leņķa koeficienta definīcija un jāaprēķina slīpuma leņķa pieskare plaknē.

Risinājums

No nosacījuma mēs iegūstam, ka α = 120°. Pēc definīcijas ir jāaprēķina slīpums. Atradīsim to pēc formulas k = t g α = 120 = - 3.

Atbilde: k = - 3 .

Ja ir zināms leņķa koeficients un ir jāatrod slīpuma leņķis pret abscisu asi, tad jāņem vērā leņķa koeficienta vērtība. Ja k > 0, tad taisnais leņķis ir akūts un atrodams pēc formulas α = a r c t g k. Ja k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

2. piemērs

Nosakiet dotās taisnes slīpuma leņķi pret O x ar leņķa koeficientu 3.

Risinājums

No nosacījuma, ka leņķiskais koeficients ir pozitīvs, kas nozīmē, ka slīpuma leņķis pret O x ir mazāks par 90 grādiem. Aprēķini tiek veikti, izmantojot formulu α = a r c t g k = a r c t g 3.

Atbilde: α = a r c t g 3 .

3. piemērs

Atrodiet taisnes slīpuma leņķi pret O x asi, ja slīpums = - 1 3.

Risinājums

Ja par leņķa koeficienta apzīmējumu ņemam burtu k, tad α ir slīpuma leņķis pret doto taisni pozitīvā virzienā O x. Tādējādi k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

Atbilde: 5 π 6 .

Formas y = k x + b vienādojumu, kur k ir slīpums un b ir kāds reāls skaitlis, sauc par taisnes ar slīpumu vienādojumu. Vienādojums ir tipisks jebkurai taisnei, kas nav paralēla O y asij.

Ja detalizēti aplūkojam taisnu līniju plaknē fiksētā koordinātu sistēmā, kuru nosaka vienādojums ar leņķisko koeficientu, kam ir forma y = k x + b. IN šajā gadījumā nozīmē, ka vienādojums atbilst jebkura līnijas punkta koordinātām. Ja punkta M, M 1 (x 1, y 1) koordinātas aizstājam vienādojumā y = k x + b, tad šajā gadījumā taisne ies caur šo punktu, pretējā gadījumā punkts nepieder pie taisnes.

4. piemērs

Ir dota taisne ar slīpumu y = 1 3 x - 1. Aprēķināt, vai punkti M 1 (3, 0) un M 2 (2, - 2) pieder dotajai taisnei.

Risinājums

Dotajā vienādojumā ir jāievieto punkta M 1 (3, 0) koordinātas, tad iegūstam 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Vienādība ir patiesa, kas nozīmē, ka punkts pieder līnijai.

Ja aizvietojam punkta M 2 koordinātas (2, - 2), tad iegūstam nepareizu formas vienādību - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Varam secināt, ka punkts M 2 nepieder pie taisnes.

Atbilde: M 1 pieder līnijai, bet M 2 nepieder.

Ir zināms, ka taisne tiek definēta ar vienādojumu y = k · x + b, ejot cauri M 1 (0, b), aizvietojot mēs iegūstam vienādojumu formā b = k · 0 + b ⇔ b = b. No tā varam secināt, ka taisnes vienādojums ar leņķa koeficientu y = k x + b uz plaknes definē taisni, kas iet caur punktu 0, b. Tas veido leņķi α ar O x ass pozitīvo virzienu, kur k = t g α.

Kā piemēru aplūkosim taisni, kas definēta, izmantojot leņķa koeficientu, kas norādīts formā y = 3 x - 1. Iegūstam, ka taisne iet caur punktu ar koordinātu 0, - 1 ar slīpumu α = a r c t g 3 = π 3 radiāni O x ass pozitīvajā virzienā. Tas parāda, ka koeficients ir 3.

Taisnas līnijas vienādojums ar slīpumu, kas iet caur noteiktu punktu

Nepieciešams atrisināt uzdevumu, kur nepieciešams iegūt taisnes vienādojumu ar noteiktu slīpumu, kas iet caur punktu M 1 (x 1, y 1).

Vienādību y 1 = k · x + b var uzskatīt par derīgu, jo taisne iet caur punktu M 1 (x 1, y 1). Lai noņemtu skaitli b, jums ir jāatņem vienādojums ar slīpumu no kreisās un labās puses. No tā izriet, ka y - y 1 = k · (x - x 1) . Šo vienādību sauc par taisnes vienādojumu ar noteiktu slīpumu k, kas iet caur punkta M 1 (x 1, y 1) koordinātām.

5. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktu M 1 ar koordinātām (4, - 1), kuras leņķiskais koeficients ir vienāds ar - 2.

Risinājums

Pēc nosacījuma mums ir, ka x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. No šejienes līnijas vienādojums tiks uzrakstīts šādi: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Atbilde: y = - 2 x + 7 .

6. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu taisnei ar leņķa koeficientu, kas iet caur punktu M 1 ar koordinātām (3, 5), paralēli taisnei y = 2 x - 2.

Risinājums

Pēc nosacījuma mums ir tāds, ka paralēlām līnijām ir identiski slīpuma leņķi, kas nozīmē, ka leņķiskie koeficienti ir vienādi. Lai no šī vienādojuma atrastu slīpumu, jums jāatceras tā pamatformula y = 2 x - 2, no tā izriet, ka k = 2. Mēs sastādām vienādojumu ar slīpuma koeficientu un iegūstam:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Atbilde: y = 2 x - 1 .

Pāreja no taisnās līnijas vienādojuma ar slīpumu uz cita veida taisnās līnijas vienādojumiem un atpakaļ

Šis vienādojums ne vienmēr ir piemērojams problēmu risināšanai, jo tas nav gluži ērti rakstīt. Lai to izdarītu, jums tas ir jāiesniedz citā formā. Piemēram, vienādojums formā y = k · x + b neļauj pierakstīt taisnes virziena vektora koordinātas vai normālvektora koordinātas. Lai to izdarītu, jums jāiemācās attēlot ar cita veida vienādojumiem.

Mēs varam iegūt taisnes kanonisko vienādojumu plaknē, izmantojot taisnes vienādojumu ar leņķa koeficientu. Mēs iegūstam x - x 1 a x = y - y 1 a y . Nepieciešams pārvietot terminu b uz kreiso pusi un dalīt ar iegūtās nevienādības izteiksmi. Tad iegūstam vienādojumu formā y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.

Kļuva taisnas līnijas vienādojums ar leņķa koeficientu kanoniskais vienādojumsšī līnija.

7. piemērs

Iestatiet taisnas līnijas vienādojumu ar leņķa koeficientu y = - 3 x + 12 kanoniskā formā.

Risinājums

Aprēķināsim un uzrādīsim to taisnas līnijas kanoniskā vienādojuma veidā. Mēs iegūstam formas vienādojumu:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Atbilde: x 1 = y - 12 - 3.

Taisnes vispārīgo vienādojumu visvieglāk iegūt no y = k · x + b, bet tam nepieciešams veikt pārveidojumus: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Tiek veikta pāreja no vispārējā līnijas vienādojuma uz cita veida vienādojumiem.

8. piemērs

Dots taisnes vienādojums formā y = 1 7 x - 2 . Uzziniet, vai vektors ar koordinātām a → = (- 1, 7) ir normāls taisnes vektors?

Risinājums

Lai atrisinātu, ir jāpāriet uz citu šī vienādojuma formu, šim nolūkam mēs rakstām:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Koeficienti mainīgo lielumu priekšā ir taisnes normālā vektora koordinātas. Rakstīsim šādi: n → = 1 7, - 1, tātad 1 7 x - y - 2 = 0. Ir skaidrs, ka vektors a → = (- 1, 7) ir kolineārs vektoram n → = 1 7, - 1, jo mums ir godīga sakarība a → = - 7 · n →. No tā izriet, ka sākotnējais vektors a → = - 1, 7 ir taisnes 1 7 x - y - 2 = 0 normāls vektors, kas nozīmē, ka tas tiek uzskatīts par taisnes y = 1 7 x - 2 normālu vektoru.

Atbilde: Ir

Atrisināsim šīs problēmas apgriezto problēmu.

Ir jāpāriet no vienādojuma A x + B y + C = 0 vispārīgās formas, kur B ≠ 0, uz vienādojumu ar leņķa koeficientu. Lai to izdarītu, mēs atrisinām vienādojumu y. Iegūstam A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Rezultātā tiek iegūts vienādojums ar slīpumu, kas vienāds ar - A B .

9. piemērs

Ir dots taisnes vienādojums formā 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Iegūstiet dotās līnijas vienādojumu ar leņķa koeficientu.

Risinājums

Pamatojoties uz nosacījumu, ir jāatrisina y, tad iegūstam formas vienādojumu:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Atbilde: y = 1 6 x + 1 4 .

Līdzīgā veidā tiek atrisināts vienādojums ar formu x a + y b = 1, ko sauc par taisnes vienādojumu segmentos vai kanoniskais tips x - x 1 a x = y - y 1 a y . Mums tas jāatrisina y, tikai tad mēs iegūstam vienādojumu ar slīpumu:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

Kanonisko vienādojumu var reducēt līdz formai ar leņķa koeficientu. Priekš šī:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

10. piemērs

Ir taisna līnija, kas dota ar vienādojumu x 2 + y - 3 = 1. Reducēt līdz vienādojuma formai ar leņķisko koeficientu.

Risinājums.

Pamatojoties uz nosacījumu, ir nepieciešams pārveidot, tad iegūstam vienādojumu formā _formula_. Lai iegūtu vajadzīgo slīpuma vienādojumu, abas vienādojuma puses jāreizina ar -3. Pārveidojot, mēs iegūstam:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Atbilde: y = 3 2 x - 3 .

11. piemērs

Reducēt taisnās līnijas vienādojumu formā x - 2 2 = y + 1 5 līdz formai ar leņķa koeficientu.

Risinājums

Nepieciešams aprēķināt izteiksmi x - 2 2 = y + 1 5 kā proporciju. Mēs iegūstam, ka 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Tagad jums tas ir pilnībā jāiespējo, lai to izdarītu:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Atbilde: y = 5 2 x - 6 .

Lai atrisinātu šādas problēmas, taisnes formas parametriskie vienādojumi x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ jāreducē uz taisnes kanonisko vienādojumu, tikai pēc tam var pāriet uz vienādojumu ar slīpuma koeficients.

12. piemērs

Atrodiet taisnes slīpumu, ja to nosaka parametru vienādojumi x = λ y = - 1 + 2 · λ.

Risinājums

Ir nepieciešams pāriet no parametriskā skata uz slīpumu. Lai to izdarītu, no dotā parametriskā vienādojuma atrodam kanonisko vienādojumu:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Tagad ir jāatrisina šī vienādība attiecībā pret y, lai iegūtu taisnes vienādojumu ar leņķa koeficientu. Lai to izdarītu, rakstīsim šādi:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

No tā izriet, ka līnijas slīpums ir 2. Tas ir uzrakstīts kā k = 2.

Atbilde: k = 2.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter

Taisnes vienādojums plaknē.
Virziena vektors ir taisns. Normāls vektors

Taisna līnija plaknē ir viena no vienkāršākajām ģeometriskās formas, jums pazīstams kopš junioru klases, un šodien mēs uzzināsim, kā ar to tikt galā, izmantojot analītiskās ģeometrijas metodes. Lai apgūtu materiālu, jums jāspēj izveidot taisnu līniju; zināt, kāds vienādojums definē taisni, jo īpaši taisni, kas iet caur koordinātu sākumpunktu un taisnēm, kas ir paralēlas koordinātu asīm. Šī informācija var atrast rokasgrāmatā Elementāro funkciju grafiki un īpašības, izveidoju Matanam, bet sadaļa par lineāro funkciju izrādījās ļoti veiksmīga un detalizēta. Tāpēc, dārgie tējkannas, vispirms sasildieties tur. Turklāt jums ir jābūt pamatzināšanām par vektori, pretējā gadījumā materiāla izpratne būs nepilnīga.

Ieslēgts šī nodarbība Mēs apskatīsim veidus, kā jūs varat izveidot taisnas līnijas vienādojumu plaknē. Iesaku neatstāt novārtā praktiskos piemērus (pat ja tas šķiet ļoti vienkārši), jo sniegšu tiem elementārus un svarīgi fakti, tehniskās metodes, kas būs nepieciešamas arī turpmāk, arī citās augstākās matemātikas sadaļās.

• Kā uzrakstīt taisnas līnijas vienādojumu ar leņķa koeficientu?
• Kā ?
• Kā atrast virziena vektoru, izmantojot vispārējo taisnes vienādojumu?
• Kā uzrakstīt taisnas līnijas vienādojumu ar punktu un normālu vektoru?

un mēs sākam:

Taisnas līnijas ar slīpumu vienādojums

Tiek saukta labi zināmā taisnās līnijas vienādojuma “skolas” forma taisnas līnijas ar slīpumu vienādojums. Piemēram, ja taisne ir dota ar vienādojumu, tad tās slīpums ir: . Apsvērsim ģeometriskā nozīmešī koeficienta vērtību un to, kā tā vērtība ietekmē līnijas atrašanās vietu:

Ģeometrijas kursā tas ir pierādīts taisnes slīpums ir vienāds ar leņķa tangenss starp pozitīvās ass virzienuun šī līnija: , un leņķis “atskrūvē” pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Lai nepārblīvētu zīmējumu, zīmēju leņķus tikai divām taisnēm. Apskatīsim “sarkano” līniju un tās slīpumu. Saskaņā ar iepriekš minēto: (“alfa” leņķi norāda ar zaļu loku). “Zilai” taisnei ar leņķa koeficientu vienādība ir patiesa (“beta” leņķi norāda ar brūnu loku). Un, ja ir zināma leņķa tangensa, tad, ja nepieciešams, to ir viegli atrast un pats stūris izmantojot apgrieztā funkcija– arktangenss. Kā saka, trigonometriskā tabula vai mikrokalkulators rokās. Tādējādi leņķiskais koeficients raksturo taisnes slīpuma pakāpi pret abscisu asi.

Ir iespējami šādi gadījumi:

1) Ja slīpums ir negatīvs: tad līnija, rupji runājot, iet no augšas uz leju. Piemēri ir "zilās" un "aveņu" taisnās līnijas zīmējumā.

2) Ja slīpums ir pozitīvs: , tad līnija iet no apakšas uz augšu. Piemēri - “melnas” un “sarkanas” taisnas līnijas zīmējumā.

3) Ja slīpums ir nulle: , tad vienādojums iegūst formu , un atbilstošā taisne ir paralēla asij. Piemērs ir “dzeltenā” taisnā līnija.

4) Līniju saimei, kas ir paralēla asij (zīmējumā nav neviena piemēra, izņemot pašu asi), leņķa koeficients neeksistē (90 grādu tangensa nav definēta).

Jo lielāks ir slīpuma koeficients absolūtā vērtībā, jo stāvāks ir taisnās līnijas grafiks..

Piemēram, apsveriet divas taisnas līnijas. Tāpēc šeit taisnei ir stāvāks slīpums. Atgādināšu, ka modulis ļauj ignorēt zīmi, mūs tikai interesē absolūtās vērtības leņķiskie koeficienti.

Savukārt taisne ir stāvāka par taisnēm .

Un otrādi: jo mazāks ir slīpuma koeficients absolūtā vērtībā, jo plakanāka ir taisne.

Taisnām līnijām nevienlīdzība ir patiesa, līdz ar to taisne ir plakanāka. Bērnu slidkalniņš, lai nedotu sev zilumus un pumpas.

Kāpēc tas ir vajadzīgs?

Pagariniet mokas Zināšanas par iepriekšminētajiem faktiem ļauj nekavējoties redzēt jūsu kļūdas, jo īpaši kļūdas, veidojot grafikus - ja zīmējums izrādās "acīmredzami kaut kas nepareizs". Vēlams, lai jūs uzreiz bija skaidrs, ka, piemēram, taisne ir ļoti stāva un iet no apakšas uz augšu, un taisne ir ļoti plakana, piespiesta tuvu asij un iet no augšas uz leju.

Ģeometriskajos uzdevumos bieži parādās vairākas taisnas līnijas, tāpēc ir ērti tās kaut kā apzīmēt.

Apzīmējumi: taisnas līnijas ir apzīmētas ar maziem latīņu burtiem: . Populāra iespēja ir tos apzīmēt, izmantojot vienu un to pašu burtu ar dabiskajiem apakšindeksiem. Piemēram, piecas līnijas, kuras tikko apskatījām, var apzīmēt ar .

Tā kā jebkuru taisni unikāli nosaka divi punkti, to var apzīmēt ar šādiem punktiem: utt. Apzīmējums skaidri norāda, ka punkti pieder līnijai.

Ir pienācis laiks nedaudz iesildīties:

Kā uzrakstīt taisnas līnijas vienādojumu ar leņķa koeficientu?

Ja ir zināms punkts, kas pieder noteiktai taisnei, un šīs taisnes leņķiskais koeficients, tad šīs taisnes vienādojumu izsaka ar formulu:

1. piemērs

Uzrakstiet taisnes vienādojumu ar leņķa koeficientu, ja ir zināms, ka punkts pieder šai taisnei.

Risinājums: Sastādīsim taisnes vienādojumu, izmantojot formulu . Šajā gadījumā:

Atbilde:

Pārbaude tiek darīts vienkārši. Pirmkārt, mēs aplūkojam iegūto vienādojumu un pārliecināmies, ka mūsu slīpums ir vietā. Otrkārt, punkta koordinātām ir jāapmierina šis vienādojums. Pievienojiet tos vienādojumam:

Tiek iegūta pareizā vienādība, kas nozīmē, ka punkts apmierina iegūto vienādojumu.

Secinājums: vienādojums tika atrasts pareizi.

Sarežģītāks piemērs, ko atrisināt patstāvīgi:

2. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu taisnei, ja ir zināms, ka tās slīpuma leņķis pret ass pozitīvo virzienu ir , un punkts pieder šai taisnei.

Ja rodas grūtības, atkārtoti izlasiet teorētisko materiālu. Precīzāk, praktiskāk, es izlaižu daudz pierādījumu.

Tas zvanīja Pēdējais zvans, izlaiduma balle ir aizvadīta, un aiz mūsu dzimtās skolas vārtiem mūs sagaida pati analītiskā ģeometrija. Joki beigušies... Vai varbūt viņi tikai sāk =)

Nostalģiski vicinām pildspalvu pazīstamajam un iepazīstamies ar vispārējo taisnes vienādojumu. Tā kā analītiskajā ģeometrijā tiek izmantots tieši tas:

Taisnas līnijas vispārīgajam vienādojumam ir forma: , kur daži skaitļi. Tajā pašā laikā koeficienti vienlaikus nav vienādi ar nulli, jo vienādojums zaudē savu nozīmi.

Ģērbsimies uzvalkā un sasienam vienādojumu ar slīpuma koeficientu. Vispirms pārvietosim visus terminus uz kreiso pusi:

Termins ar “X” ir jāievieto pirmajā vietā:

Principā vienādojumam jau ir forma , bet saskaņā ar matemātiskās etiķetes noteikumiem pirmā vārda koeficientam (šajā gadījumā) jābūt pozitīvam. Pazīmju maiņa:

Atcerieties šo tehnisko funkciju! Pirmo koeficientu (visbiežāk) veidojam pozitīvu!

Analītiskajā ģeometrijā taisnas līnijas vienādojums gandrīz vienmēr tiks dots vispārējā forma. Nu, ja nepieciešams, to var viegli reducēt līdz “skolas” formai ar leņķa koeficientu (izņemot taisnes, kas ir paralēlas ordinātu asij).

Pajautāsim sev, ko pietiekami protat izveidot taisnu līniju? Divi punkti. Bet vairāk par šo bērnības atgadījumu, tagad paliek ar bultām. Katrai taisnei ir ļoti specifisks slīpums, kam ir viegli “pielāgoties”. vektors.

Vektoru, kas ir paralēls taisnei, sauc par šīs līnijas virziena vektoru. Ir skaidrs, ka jebkurai taisnei ir bezgalīgi daudz virziena vektoru, un tie visi būs kolineāri (līdzvirziena vai ne - tas nav svarīgi).

Virziena vektoru apzīmēšu šādi: .

Bet ar vienu vektoru nepietiek, lai izveidotu taisnu līniju, vektors ir brīvs un nav piesaistīts nevienam plaknes punktam. Tāpēc papildus ir jāzina kāds punkts, kas pieder pie līnijas.

Kā uzrakstīt taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot punktu un virziena vektoru?

Ja ir zināms noteikts līnijai piederošs punkts un šīs līnijas virziena vektors, tad šīs līnijas vienādojumu var sastādīt, izmantojot formulu:

Dažreiz to sauc taisnes kanoniskais vienādojums .

Ko darīt, kad viena no koordinātām ir vienāds ar nulli, mēs sapratīsim tālāk sniegtajos praktiskos piemēros. Starp citu, lūdzu, ņemiet vērā - abi reizē koordinātas nevar būt vienādas ar nulli, jo nulles vektors nenorāda konkrētu virzienu.

3. piemērs

Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot punktu un virziena vektoru

Risinājums: Sastādīsim taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot formulu. Šajā gadījumā:

Izmantojot proporcijas īpašības, mēs atbrīvojamies no frakcijām:

Un mēs nodrošinām vienādojumu tā vispārējā formā:

Atbilde:

Parasti šādos piemēros nav jāzīmē zīmējums, bet izpratnes labad:

Zīmējumā redzam sākumpunktu, sākotnējo virziena vektoru (to var uzzīmēt no jebkura plaknes punkta) un konstruēto taisni. Starp citu, daudzos gadījumos visērtāk ir izveidot taisnu līniju, izmantojot vienādojumu ar leņķa koeficientu. Mūsu vienādojumu ir viegli pārveidot formā un viegli izvēlēties citu punktu, lai izveidotu taisnu līniju.

Kā minēts rindkopas sākumā, taisnei ir bezgalīgi daudz virziena vektoru, un tie visi ir kolineāri. Piemēram, es uzzīmēju trīs šādus vektorus: . Neatkarīgi no tā, kādu virziena vektoru mēs izvēlētos, rezultāts vienmēr būs viens un tas pats taisnes vienādojums.

Izveidosim taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot punktu un virziena vektoru:

Proporcijas atrisināšana:

Sadaliet abas puses ar –2 un iegūstiet pazīstamo vienādojumu:

Interesenti var pārbaudīt vektorus tādā pašā veidā vai jebkurš cits kolineārs vektors.

Tagad atrisināsim apgriezto problēmu:

Kā atrast virziena vektoru, izmantojot vispārējo taisnes vienādojumu?

Ļoti vienkārši:

Ja taisne ir dota ar vispārīgu vienādojumu taisnstūra koordinātu sistēmā, tad vektors ir šīs taisnes virziena vektors.

Piemēri taisnu līniju virziena vektoru atrašanai:

Šis paziņojums ļauj mums atrast tikai vienu virziena vektoru no bezgalīga skaitļa, bet mums nevajag vairāk. Lai gan dažos gadījumos ir ieteicams samazināt virziena vektoru koordinātas:

Tādējādi vienādojumā ir norādīta taisne, kas ir paralēla asij un iegūtā virziena vektora koordinātas tiek ērti dalītas ar –2, par virziena vektoru iegūstot tieši bāzes vektoru. Loģiski.

Līdzīgi vienādojumā ir norādīta taisne, kas ir paralēla asij, un, dalot vektora koordinātas ar 5, mēs iegūstam vienības vektoru kā virziena vektoru.

Tagad darīsim to 3. piemēra pārbaude. Piemērs gāja uz augšu, tāpēc atgādinu, ka tajā mēs sastādījām taisnes vienādojumu, izmantojot punktu un virziena vektoru

Pirmkārt, izmantojot taisnes vienādojumu, mēs atjaunojam tās virziena vektoru: – viss ir kārtībā, esam saņēmuši sākotnējo vektoru (dažos gadījumos rezultāts var būt kolineārs vektors sākotnējam, un to parasti ir viegli pamanīt pēc atbilstošo koordinātu proporcionalitātes).

Otrkārt, punkta koordinātām jāatbilst vienādojumam. Mēs tos aizstājam vienādojumā:

Tika iegūta pareizā vienlīdzība, par ko esam ļoti priecīgi.

Secinājums: Uzdevums tika izpildīts pareizi.

4. piemērs

Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot punktu un virziena vektoru

Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem. Risinājums un atbilde ir stundas beigās. Ir ļoti ieteicams pārbaudīt, izmantojot tikko apspriesto algoritmu. Centieties vienmēr (ja iespējams) pārbaudīt melnrakstu. Ir stulbi kļūdīties, ja no tām var 100% izvairīties.

Gadījumā, ja viena no virziena vektora koordinātām ir nulle, rīkojieties ļoti vienkārši:

5. piemērs

Risinājums: formula nav piemērota, jo saucējs labajā pusē ir nulle. Ir izeja! Izmantojot proporcijas īpašības, formulu pārrakstām formā, bet pārējo velmējam pa dziļu riestu:

Atbilde:

Pārbaude:

1) Atjaunojiet līnijas virzošo vektoru:
– iegūtais vektors ir kolineārs sākotnējam virziena vektoram.

2) Aizvietojiet punkta koordinātas vienādojumā:

Tiek iegūta pareizā vienlīdzība

Secinājums: uzdevums izpildīts pareizi

Rodas jautājums, kāpēc uztraukties ar formulu, ja ir universāla versija, kas darbosies jebkurā gadījumā? Ir divi iemesli. Pirmkārt, formula ir daļskaitļa formā daudz labāk atcerējās. Un, otrkārt, universālās formulas trūkums ir tāds ievērojami palielinās risks apjukt aizvietojot koordinātas.

6. piemērs

Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot punktu un virziena vektoru.

Šis ir piemērs, kas jārisina pašiem.

Atgriezīsimies pie diviem visuresošajiem punktiem:

Kā uzrakstīt taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot divus punktus?

Ja ir zināmi divi punkti, tad taisnes vienādojumu, kas iet caur šiem punktiem, var sastādīt, izmantojot formulu:

Faktiski tas ir formulas veids, un lūk, kāpēc: ja ir zināmi divi punkti, tad vektors būs dotās līnijas virziena vektors. Nodarbībā Manekenu vektori mēs apsvērām vienkāršākais uzdevums– kā atrast vektora koordinātas no diviem punktiem. Saskaņā ar šo uzdevumu virziena vektora koordinātas ir:

Piezīme : punktus var “samainīt” un izmantot formulu . Šāds risinājums būs līdzvērtīgs.

7. piemērs

Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu, izmantojot divus punktus .

Risinājums: Mēs izmantojam formulu:

Apvienojot saucējus:

Un sajauciet klāju:

Tagad ir pienācis laiks atbrīvoties no daļskaitļiem. Šajā gadījumā abas puses jāreizina ar 6:

Atveriet iekavas un atcerieties vienādojumu:

Atbilde:

Pārbaude ir acīmredzams - sākotnējo punktu koordinātām jāatbilst iegūtajam vienādojumam:

1) Nomainiet punkta koordinātas:

Patiesa vienlīdzība.

2) Nomainiet punkta koordinātas:

Patiesa vienlīdzība.

Secinājums: līnijas vienādojums ir uzrakstīts pareizi.

Ja vismaz viens punktu neapmierina vienādojums, meklējiet kļūdu.

Ir vērts atzīmēt, ka grafiskā pārbaude šajā gadījumā ir sarežģīta, jo izveidojiet taisnu līniju un pārbaudiet, vai punkti tai pieder , nav tik vienkārši.

Es atzīmēšu vēl dažus risinājuma tehniskos aspektus. Varbūt šajā problēmā ir izdevīgāk izmantot spoguļa formulu un tajos pašos punktos izveido vienādojumu:

Mazāk frakciju. Ja vēlaties, varat veikt risinājumu līdz galam, rezultātam jābūt tādam pašam vienādojumam.

Otrais punkts ir aplūkot galīgo atbildi un noskaidrot, vai to var vēl vairāk vienkāršot? Piemēram, ja iegūstat vienādojumu , tad ieteicams to samazināt par diviem: – vienādojums definēs to pašu taisni. Tomēr tas jau ir sarunu temats līniju relatīvais novietojums.

Saņēmusi atbildi 7. piemērā katram gadījumam pārbaudīju, vai VISI vienādojuma koeficienti dalās ar 2, 3 vai 7. Lai gan visbiežāk šādi samazinājumi tiek veikti risinājuma laikā.

8. piemērs

Uzrakstiet vienādojumu taisnei, kas iet caur punktiem .

Šis ir piemērs neatkarīgam risinājumam, kas ļaus labāk izprast un praktizēt aprēķinu metodes.

Līdzīgi kā iepriekšējā rindkopā: ja formulā viens no saucējiem (virziena vektora koordināte) kļūst par nulli, tad mēs to pārrakstām formā . Atkal ievērojiet, cik viņa izskatās neveikla un apmulsusi. Es neredzu lielu jēgu sniegt praktiskus piemērus, jo mēs jau esam faktiski atrisinājuši šo problēmu (sk. Nr. 5, 6).

Tiešais normāls vektors (normāls vektors)

Kas ir normāli? Vienkāršiem vārdiem sakot, normāls ir perpendikulārs. Tas ir, taisnes normālais vektors ir perpendikulārs noteiktai taisnei. Acīmredzot jebkurai taisnei ir bezgalīgs skaits to (kā arī virziena vektoru), un visi taisnes parastie vektori būs kolineāri (kopvirziena vai nē, tam nav nozīmes).

Darbs ar tiem būs pat vienkāršāks nekā ar virzošajiem vektoriem:

Ja taisnstūra koordinātu sistēmā taisne ir dota ar vispārīgu vienādojumu, tad vektors ir šīs taisnes normālvektors.

Ja virziena vektora koordinātas ir rūpīgi “jāizvelk” no vienādojuma, tad normālā vektora koordinātas var vienkārši “noņemt”.

Normālais vektors vienmēr ir ortogonāls līnijas virziena vektoram. Pārbaudīsim šo vektoru ortogonalitāti, izmantojot punktu produkts:

Es sniegšu piemērus ar tādiem pašiem vienādojumiem kā virziena vektoram:

Vai ir iespējams izveidot taisnes vienādojumu ar vienu punktu un normālu vektoru? Es to jūtu savās zarnās, tas ir iespējams. Ja ir zināms parastais vektors, tad pašas taisnes virziens ir skaidri noteikts - tā ir “stingra struktūra” ar 90 grādu leņķi.

Kā uzrakstīt taisnas līnijas vienādojumu ar punktu un normālu vektoru?

Ja ir zināms noteikts līnijai piederošs punkts un šīs taisnes normālvektors, tad šīs taisnes vienādojumu izsaka ar formulu:

Šeit viss izdevās bez frakcijām un citiem pārsteigumiem. Tas ir mūsu parastais vektors. Mīlu viņu. Un cieņa =)

9. piemērs

Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu ar punktu un normālu vektoru. Atrodiet līnijas virziena vektoru.

Risinājums: Mēs izmantojam formulu:

Ir iegūts vispārējais taisnes vienādojums, pārbaudīsim:

1) “Noņemiet” no vienādojuma normālā vektora koordinātas: – jā, patiešām sākotnējais vektors tika iegūts no nosacījuma (vai arī jāiegūst kolineārs vektors).

2) Pārbaudīsim, vai punkts apmierina vienādojumu:

Patiesa vienlīdzība.

Kad esam pārliecināti, ka vienādojums ir sastādīts pareizi, mēs izpildīsim otro, vieglāko uzdevuma daļu. Mēs izņemam taisnās līnijas virzošo vektoru:

Atbilde:

Zīmējumā situācija izskatās šādi:

Apmācības nolūkos līdzīgs uzdevums patstāvīgai risināšanai:

10. piemērs

Uzrakstiet taisnas līnijas vienādojumu ar punktu un normālu vektoru. Atrodiet līnijas virziena vektoru.

Nodarbības pēdējā daļa tiks veltīta retāk sastopamajām, bet arī svarīgas sugas taisnas līnijas vienādojumi plaknē

Taisnas līnijas vienādojums segmentos.
Taisnes vienādojums parametriskā formā

Taisnas līnijas vienādojumam segmentos ir forma , kur ir konstantes, kas nav nulles. Dažus vienādojumu veidus nevar attēlot šādā formā, piemēram, tiešo proporcionalitāti (jo brīvais loceklis ir vienāds ar nulli un nav iespējams dabūt vienu labajā pusē).

Šis ir, tēlaini izsakoties, “tehniska” vienādojuma veids. Kopīgs uzdevums ir vispārējais vienādojums attēlo līniju līnijas vienādojuma veidā segmentos. Kā tas ir ērti? Līnijas vienādojums segmentos ļauj ātri atrast līnijas krustošanās punktus ar koordinātu asis, kas var būt ļoti svarīgi dažās augstākās matemātikas problēmās.

Atradīsim taisnes krustpunktu ar asi. Mēs atiestatām “y”, un vienādojums iegūst formu . Vēlamais punkts tiek iegūts automātiski: .

Tas pats ar asi – punkts, kurā taisne krustojas ar ordinātu asi.

Iemācieties ņemt funkciju atvasinājumus. Atvasinājums raksturo funkcijas izmaiņu ātrumu noteiktā punktā, kas atrodas šīs funkcijas grafikā. Šajā gadījumā grafiks var būt taisna vai izliekta līnija. Tas ir, atvasinājums raksturo funkcijas izmaiņu ātrumu noteiktā laika brīdī. Atcerieties vispārīgie noteikumi, ar kuru tiek ņemti atvasinājumi, un tikai pēc tam pāriet uz nākamo soli.

• Izlasi rakstu.
• Kā ņemt vienkāršākos atvasinājumus, piemēram, atvasinājumu eksponenciālais vienādojums, aprakstīts. Turpmākajās darbībās sniegtie aprēķini tiks balstīti uz tajās aprakstītajām metodēm.

Iemācieties atšķirt problēmas, kurās slīpums jāaprēķina, izmantojot funkcijas atvasinājumu. Problēmas ne vienmēr liek jums atrast funkcijas slīpumu vai atvasinājumu. Piemēram, jums var lūgt atrast funkcijas izmaiņu ātrumu punktā A(x,y). Jums var arī lūgt atrast pieskares slīpumu punktā A(x,y). Abos gadījumos ir jāņem funkcijas atvasinājums.

Ņemiet jums dotās funkcijas atvasinājumu.Šeit nav jāveido grafiks - jums ir nepieciešams tikai funkcijas vienādojums. Mūsu piemērā ņemam funkcijas atvasinājumu. Paņemiet atvasinājumu saskaņā ar metodēm, kas aprakstītas iepriekš minētajā rakstā:

• Atvasinājums:

Lai aprēķinātu slīpumu, aizstājiet jums dotā punkta koordinātas atrastajā atvasinājumā. Funkcijas atvasinājums ir vienāds ar slīpumu noteiktā punktā. Citiem vārdiem sakot, f"(x) ir funkcijas slīpums jebkurā punktā (x, f(x)). Mūsu piemērā:

• Atrodiet funkcijas slīpumu f(x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) punktā A(4,2).
• Funkcijas atvasinājums:
  • f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x) = 4x+6)
• Aizstājiet šī punkta “x” koordinātas vērtību:
  • f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x) = 4 (4) + 6)
• Atrodiet slīpumu:
• Slīpuma funkcija f(x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) punktā A(4,2) ir vienāds ar 22.

Ja iespējams, pārbaudiet savu atbildi grafikā. Atcerieties, ka slīpumu nevar aprēķināt katrā punktā. Diferenciālrēķini pārbauda sarežģītas funkcijas un sarežģīti grafiki, kur slīpumu nevar aprēķināt katrā punktā, un dažos gadījumos punkti uz grafikiem nemaz neatrodas. Ja iespējams, izmantojiet grafisko kalkulatoru, lai pārbaudītu, vai norādītās funkcijas slīpums ir pareizs. Pretējā gadījumā uzzīmējiet diagrammas tangensu norādītajā punktā un padomājiet, vai atrastā slīpuma vērtība atbilst grafikā redzamajam.

• Pieskarei noteiktā punktā būs tāds pats slīpums kā funkcijas grafikam. Lai noteiktā punktā uzzīmētu pieskari, pārvietojiet pa kreisi/pa labi pa X asi (mūsu piemērā 22 vērtības pa labi) un pēc tam vienu uz augšu uz Y ass atzīmējiet punktu un pēc tam pievienojiet to jums piešķirts punkts. Mūsu piemērā savienojiet punktus ar koordinātām (4,2) un (26,3).