Uzdevums B9 sniedz funkcijas vai atvasinājuma grafiku, no kura jums jānosaka viens no šādiem lielumiem:
- atvasinājuma vērtība kādā punktā x 0,
- Maksimālie vai minimālie punkti (ekstrēmākie punkti),
- Palielinošu un samazinošu funkciju intervāli (monotoniskuma intervāli).
Šajā uzdevumā parādītās funkcijas un atvasinājumi vienmēr ir nepārtraukti, padarot risinājumu daudz vienkāršāku. Neskatoties uz to, ka uzdevums pieder matemātiskās analīzes sadaļai, to var paveikt pat vājākie skolēni, jo šeit nav nepieciešamas dziļas teorētiskās zināšanas.
Lai atrastu atvasinājuma vērtību, ekstrēmuma punktus un monotonības intervālus, ir vienkārši un universāli algoritmi - tie visi tiks apspriesti tālāk.
Uzmanīgi izlasiet uzdevuma B9 nosacījumus, lai nepieļautu stulbas kļūdas: dažreiz jūs saskaraties ar diezgan gariem tekstiem, bet svarīgi nosacījumi, kas ietekmē lēmuma gaitu, ir maz.
Atvasinātās vērtības aprēķins. Divu punktu metode
Ja uzdevumam ir dots funkcijas f(x) grafiks, kas pieskaras šim grafikam kādā punktā x 0, un šajā punktā ir jāatrod atvasinājuma vērtība, tiek izmantots šāds algoritms:
- Atrodiet divus "adekvātus" punktus tangentes grafikā: to koordinātām jābūt veseliem skaitļiem. Apzīmēsim šos punktus kā A (x 1 ; y 1) un B (x 2 ; y 2). Pareizi pierakstiet koordinātas - tas ir galvenais risinājuma punkts, un jebkura kļūda šeit novedīs pie nepareizas atbildes.
- Zinot koordinātas, ir viegli aprēķināt argumenta Δx = x 2 − x 1 inkrementu un funkcijas Δy = y 2 − y 1 pieaugumu.
- Visbeidzot, mēs atrodam atvasinājuma D = Δy/Δx vērtību. Citiem vārdiem sakot, jums ir jāsadala funkcijas pieaugums ar argumenta pieaugumu - un tā būs atbilde.
Atzīmēsim vēlreiz: punkti A un B ir jāmeklē tieši pieskarei, nevis funkcijas f(x) grafikā, kā tas bieži notiek. Pieskares līnijā noteikti būs vismaz divi šādi punkti - pretējā gadījumā problēma netiks pareizi formulēta.
Apsveriet punktus A (-3; 2) un B (-1; 6) un atrodiet soli:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.
Atradīsim atvasinājuma vērtību: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.
Uzdevums. Attēlā parādīts funkcijas y = f(x) grafiks un tās pieskare punktā ar abscisu x 0. Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x 0 .
Apsveriet punktus A (0; 3) un B (3; 0), atrodiet soli:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.
Tagad mēs atrodam atvasinājuma vērtību: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.
Uzdevums. Attēlā parādīts funkcijas y = f(x) grafiks un tās pieskare punktā ar abscisu x 0. Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x 0 .
Apsveriet punktus A (0; 2) un B (5; 2) un atrodiet soli:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.
Atliek atrast atvasinājuma vērtību: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.
No pēdējā piemēra mēs varam formulēt noteikumu: ja pieskare ir paralēla OX asij, funkcijas atvasinājums pieskares punktā ir nulle. Šajā gadījumā jums pat nekas nav jāskaita - vienkārši skatieties grafiku.
Maksimālo un minimālo punktu aprēķins
Dažreiz funkcijas grafika vietā uzdevums B9 sniedz atvasinājuma grafiku un prasa atrast funkcijas maksimālo vai minimālo punktu. Šajā situācijā divu punktu metode ir bezjēdzīga, taču ir vēl viens, vēl vienkāršāks algoritms. Pirmkārt, definēsim terminoloģiju:
- Punktu x 0 sauc par funkcijas f(x) maksimālo punktu, ja kādā šī punkta apkārtnē pastāv šāda nevienādība: f(x 0) ≥ f(x).
- Punktu x 0 sauc par funkcijas f(x) minimālo punktu, ja kādā šī punkta apkārtnē pastāv šāda nevienādība: f(x 0) ≤ f(x).
Lai atvasinātajā grafikā atrastu maksimālo un minimālo punktu, vienkārši veiciet šīs darbības:
- Pārzīmējiet atvasināto grafiku, noņemot visu nevajadzīgo informāciju. Kā liecina prakse, nevajadzīgi dati tikai traucē lēmuma pieņemšanai. Tāpēc mēs atzīmējam atvasinājuma nulles uz koordinātu ass - un viss.
- Noskaidrojiet atvasinājuma zīmes intervālos starp nullēm. Ja kādam punktam x 0 zināms, ka f'(x 0) ≠ 0, tad ir iespējami tikai divi varianti: f'(x 0) ≥ 0 vai f'(x 0) ≤ 0. Atvasinājuma zīme ir viegli noteikt pēc sākotnējā zīmējuma: ja atvasinātais grafiks atrodas virs OX ass, tad f'(x) ≥ 0. Un otrādi, ja atvasinātais grafiks atrodas zem OX ass, tad f'(x) ≤ 0.
- Mēs vēlreiz pārbaudām atvasinājuma nulles un zīmes. Ja zīme mainās no mīnusa uz plusu, ir minimālais punkts. Un otrādi, ja atvasinājuma zīme mainās no plusa uz mīnusu, tas ir maksimālais punkts. Skaitīšana vienmēr tiek veikta no kreisās puses uz labo.
Šī shēma darbojas tikai nepārtrauktām funkcijām - problēmu B9 nav citu.
Uzdevums. Attēlā parādīts intervālā [−5; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 5]. Atrodiet funkcijas f(x) minimālo punktu šajā segmentā.
Atbrīvosimies no nevajadzīgās informācijas un atstāsim tikai robežas [−5; 5] un atvasinājuma x = −3 un x = 2,5 nulles. Mēs arī atzīmējam zīmes:
Acīmredzot punktā x = −3 atvasinājuma zīme mainās no mīnusa uz plusu. Tas ir minimālais punkts.
Uzdevums. Attēlā parādīts intervālā [−3; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 7]. Atrodiet funkcijas f(x) maksimālo punktu šajā segmentā.
Pārzīmēsim grafiku, atstājot tikai robežas [−3; 7] un atvasinājuma x = −1.7 un x = 5 nulles. Atzīmēsim atvasinājuma zīmes iegūtajā grafikā. Mums ir:
Acīmredzot punktā x = 5 atvasinājuma zīme mainās no plusa uz mīnusu - tas ir maksimālais punkts.
Uzdevums. Attēlā parādīts intervālā [−6; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 4]. Atrodi segmentam [−4 piederošās funkcijas f(x) maksimālo punktu skaitu; 3].
No uzdevuma nosacījumiem izriet, ka pietiek aplūkot tikai to grafa daļu, ko ierobežo segments [−4; 3]. Tāpēc mēs veidojam jaunu grafiku, uz kura iezīmējam tikai robežas [−4; 3] un tajā esošā atvasinājuma nulles. Proti, punkti x = −3,5 un x = 2. Iegūstam:
Šajā grafikā ir tikai viens maksimālais punkts x = 2. Tieši šajā punktā atvasinājuma zīme mainās no plusa uz mīnusu.
Neliela piezīme par punktiem ar koordinātām, kas nav veseli skaitļi. Piemēram, pēdējā uzdevumā tika aplūkots punkts x = −3,5, bet ar tādu pašu panākumu mēs varam ņemt x = −3,4. Ja problēma ir pareizi apkopota, šādām izmaiņām nevajadzētu ietekmēt atbildi, jo punkti “bez noteiktas dzīvesvietas” tieši nepiedalās problēmas risināšanā. Protams, šis triks nedarbosies ar veseliem skaitļiem.
Palielinošu un samazinošu funkciju intervālu atrašana
Šādā uzdevumā, tāpat kā maksimālais un minimālais punkts, tiek piedāvāts izmantot atvasināto grafiku, lai atrastu apgabalus, kuros pati funkcija palielinās vai samazinās. Pirmkārt, definēsim, kas ir pieaugošais un samazinošais:
- Tiek uzskatīts, ka funkcija f(x) segmentā palielinās, ja jebkuriem diviem punktiem x 1 un x 2 no šī segmenta ir patiess šāds apgalvojums: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Citiem vārdiem sakot, jo lielāka ir argumenta vērtība, jo lielāka ir funkcijas vērtība.
- Funkciju f(x) sauc par segmentā samazinošu, ja jebkuriem diviem punktiem x 1 un x 2 no šī segmenta ir patiess šāds apgalvojums: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Tie. augstāka vērtība arguments atbilst mazākajai funkcijas vērtībai.
Formulēsim pietiekamus nosacījumus pieaugumam un samazinājumam:
- Lai nepārtraukta funkcija f(x) palielinātos segmentā , pietiek ar to, ka tās atvasinājums segmentā ir pozitīvs, t.i. f’(x) ≥ 0.
- Lai nepārtraukta funkcija f(x) samazinātos segmentā , pietiek ar to, ka tās atvasinājums segmentā ir negatīvs, t.i. f’(x) ≤ 0.
Pieņemsim šos apgalvojumus bez pierādījumiem. Tādējādi mēs iegūstam pieauguma un samazināšanās intervālu atrašanas shēmu, kas daudzējādā ziņā ir līdzīga ekstremitāšu punktu aprēķināšanas algoritmam:
- Noņemiet visu nevajadzīgo informāciju. Sākotnējā atvasinājuma grafikā mūs galvenokārt interesē funkcijas nulles, tāpēc atstāsim tikai tās.
- Atzīmējiet atvasinājuma zīmes intervālos starp nullēm. Kur f’(x) ≥ 0, funkcija palielinās, un kur f’(x) ≤ 0, tā samazinās. Ja problēma nosaka ierobežojumus mainīgajam x, mēs tos papildus atzīmējam jaunā grafikā.
- Tagad, kad mēs zinām funkcijas darbību un ierobežojumus, atliek aprēķināt uzdevumā nepieciešamo daudzumu.
Uzdevums. Attēlā parādīts intervālā [−3; definētās funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks; 7.5]. Atrodiet funkcijas f(x) samazināšanās intervālus. Atbildē norādiet šajos intervālos iekļauto veselo skaitļu summu.
Kā parasti, pārzīmēsim grafiku un iezīmēsim robežas [−3; 7.5], kā arī atvasinājuma x = −1,5 un x = 5,3 nulles. Tad mēs atzīmējam atvasinājuma zīmes. Mums ir:
Tā kā atvasinājums ir negatīvs intervālā (− 1,5), tas ir dilstošās funkcijas intervāls. Atliek summēt visus veselos skaitļus, kas atrodas šajā intervālā:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.
Uzdevums. Attēlā parādīts funkcijas f(x) atvasinājuma grafiks, kas definēts intervālā [−10; 4]. Atrodiet funkcijas f(x) pieauguma intervālus. Atbildē norādiet lielākās no tām garumu.
Atbrīvosimies no nevajadzīgas informācijas. Atstāsim tikai robežas [−10; 4] un atvasinājuma nulles, kuru šoreiz bija četras: x = −8, x = −6, x = −3 un x = 2. Atzīmēsim atvasinājuma zīmes un iegūsim šādu attēlu:
Mūs interesē pieaugošās funkcijas intervāli, t.i. tādi kur f’(x) ≥ 0. Grafikā ir divi šādi intervāli: (−8; −6) un (−3; 2). Aprēķināsim to garumus:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.
Tā kā mums jāatrod lielākā no intervāliem garums, kā atbildi pierakstām vērtību l 2 = 5.
(1. att.)
1. attēls. Atvasinātais grafiks
Atvasināto grafu īpašības
- Ar pieaugošiem intervāliem atvasinājums ir pozitīvs. Ja atvasinājumam noteiktā punktā no noteikta intervāla ir pozitīva vērtība, tad funkcijas grafiks šajā intervālā palielinās.
- Ar intervāliem, kas samazinās, atvasinājums ir negatīvs (ar mīnusa zīmi). Ja atvasinājumam noteiktā punktā no noteikta intervāla ir negatīva vērtība, tad funkcijas grafiks šajā intervālā samazinās.
- Atvasinājums punktā x ir vienāds ar pieskares slīpumu, kas novilkta funkcijas grafikam tajā pašā punktā.
- Funkcijas maksimālajā un minimālajā punktā atvasinājums ir vienāds ar nulli. Funkcijas grafika pieskare šajā punktā ir paralēla OX asij.
1. piemērs
Izmantojot atvasinājuma grafiku (2. att.), nosakiet, kurā posmā uz nogriežņa [-3; 5] funkcija ir maksimālā.
2. attēls. Atvasinātais grafiks
Risinājums: šajā segmentā atvasinājums ir negatīvs, kas nozīmē, ka funkcija samazinās no kreisās puses uz labo, un lielākā vērtība ir kreisajā pusē punktā -3.
2. piemērs
Izmantojot atvasinājuma grafiku (3. att.), nosakiet maksimālo punktu skaitu segmentā [-11; 3].
3. attēls. Atvasinātais grafiks
Risinājums: Maksimālie punkti atbilst punktiem, kuros atvasinājuma zīme mainās no pozitīvas uz negatīvu. Šajā intervālā funkcija maina zīmi no plus uz mīnusu divas reizes - punktā -10 un punktā -1. Tas nozīmē, ka maksimālais punktu skaits ir divi.
3. piemērs
Izmantojot atvasinājuma grafiku (3. att.), nosaka minimālo punktu skaitu segmentā [-11; -1].
Risinājums: Minimālie punkti atbilst punktiem, kuros atvasinājuma zīme mainās no negatīvas uz pozitīvu. Šajā segmentā šāds punkts ir tikai -7. Tas nozīmē, ka minimālais punktu skaits dotajā segmentā ir viens.
4. piemērs
Izmantojot atvasinājuma grafiku (3. att.), nosaka ekstrēma punktu skaitu.
Risinājums: galējie punkti ir gan minimālie, gan maksimālie punkti. Atradīsim punktu skaitu, kuros atvasinājums maina zīmi.
Pirmais atvasinājums Ja funkcijas atvasinājums ir pozitīvs (negatīvs) noteiktā intervālā, tad funkcija šajā intervālā monotoni palielinās (monotoni samazinās). Ja funkcijas atvasinājums ir pozitīvs (negatīvs) noteiktā intervālā, tad funkcija šajā intervālā monotoni palielinās (monotoni samazinās). Tālāk
Definīcija Līkni sauc par izliektu punktā, ja kādā šī punkta tuvumā tā atrodas zem tās pieskares punktā. Līkni sauc par izliektu punktā, ja kādā šī punkta apkārtnē tā atrodas zem tās pieskares punktā. Līkni sauc par ieliektu punktā, ja kādā šī punkta tuvumā tā atrodas virs tās pieskares punktā.
Ieliekuma un izliekuma zīme Ja funkcijas otrais atvasinājums dotajā intervālā ir pozitīvs, tad līkne šajā intervālā ir ieliekta, un, ja tā ir negatīva, tad šajā intervālā ir izliekta. Ja funkcijas otrais atvasinājums dotajā intervālā ir pozitīvs, tad līkne šajā intervālā ir ieliekta, un, ja tā ir negatīva, tā ir izliekta šajā intervālā. Definīcija
Funkcijas izpētes un grafa konstruēšanas plāns 1. Atrast funkcijas definīcijas apgabalu un noteikt pārtraukuma punktus, ja tādi ir 1. Atrast funkcijas definīcijas apgabalu un noteikt pārtraukuma punktus, ja tādi ir; noskaidro, vai funkcija ir pāra vai nepāra; pārbaudiet tās periodiskumu 2. Noskaidrojiet, vai funkcija ir pāra vai nepāra; pārbaudiet tā periodiskumu 3. Nosakiet funkcijas grafika krustošanās punktus ar koordinātu asis 3. Noteikt funkcijas grafika krustošanās punktus ar koordinātu asīm 4. Atrast 1. veida kritiskos punktus 4. Atrast 1. veida kritiskos punktus 5. Noteikt funkcijas monotonitātes un ekstrēmu intervālus 5. Noteikt. funkcijas monotonitātes un ekstrēmu intervālus 6. Noteikt izliekuma un ieliekuma intervālus un atrast lēciena punktus 6. Noteikt izliekuma un ieliekuma intervālus un atrast lēciena punktus 7. Izmantojot pētījuma rezultātus, savieno iegūtos a. gluda līkne 7. Izmantojot pētījuma rezultātus, savieno iegūtos gludās līknes punktus Exit
Parādot saikni starp atvasinājuma zīmi un funkcijas monotonitātes raksturu.
Lūdzu, esiet īpaši uzmanīgs attiecībā uz tālāk norādīto. Paskaties, grafiks KAS tev ir dots! Funkcija vai tās atvasinājums
Ja dots atvasinājuma grafiks, tad mūs interesēs tikai funkciju zīmes un nulles. Mūs principā neinteresē nekādi “pakalni” vai “iedobumi”!
1. uzdevums.
Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas grafiks. Nosakiet veselu skaitļu punktu skaitu, kuros funkcijas atvasinājums ir negatīvs.
Risinājums:
Attēlā samazinošās funkcijas apgabali ir izcelti ar krāsu:
Šie funkcijas dilstošie apgabali satur 4 veselas vērtības.
2. uzdevums.
Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas grafiks. Atrodiet punktu skaitu, kuros funkcijas grafika pieskare ir paralēla taisnei vai sakrīt ar to.
Risinājums:
Ja funkcijas grafika pieskare ir paralēla (vai sakrīt) ar taisni (vai, kas ir tas pats), kam ir slīpums , vienāds ar nulli, tad pieskarei ir leņķa koeficients .
Tas savukārt nozīmē, ka pieskare ir paralēla asij, jo slīpums ir pieskares slīpuma leņķa pieskare pret asi.
Tāpēc grafikā atrodam ekstremālos punktus (maksimālos un minimālos punktus) - tieši šajos punktos grafikam pieskares funkcijas būs paralēlas asij.
Ir 4 šādi punkti.
3. uzdevums.
Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas atvasinājuma grafiks. Atrodiet punktu skaitu, kuros funkcijas grafika pieskare ir paralēla taisnei vai sakrīt ar to.
Risinājums:
Tā kā funkcijas grafika pieskare ir paralēla (vai sakrīt) ar taisni, kurai ir slīpums, tad pieskarei ir arī slīpums.
Tas savukārt nozīmē, ka pieskares punktos.
Tāpēc mēs aplūkojam, cik daudz punktu grafikā ir ordinātas, kas vienādas ar .
Kā redzat, šādi punkti ir četri.
4. uzdevums.
Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas grafiks. Atrodiet punktu skaitu, kuros funkcijas atvasinājums ir 0.
Risinājums:
Ekstrēmuma punktos atvasinājums ir vienāds ar nulli. Mums ir 4 no tiem:
5. uzdevums.
Attēlā parādīts funkcijas grafiks un vienpadsmit punkti uz x ass:. Cik no šiem punktiem funkcijas atvasinājums ir negatīvs?
Risinājums:
Samazinošas funkcijas intervālos ņem tās atvasinājumu negatīvas vērtības. Un funkcija punktos samazinās. Ir 4 šādi punkti.
6. uzdevums.
Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas grafiks. Atrodiet funkcijas galējo punktu summu.
Risinājums:
Ekstrēma punkti– tie ir maksimālie punkti (-3, -1, 1) un minimālie punkti (-2, 0, 3).
Ekstrēma punktu summa: -3-1+1-2+0+3=-2.
7. uzdevums.
Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas atvasinājuma grafiks. Atrodiet funkcijas pieauguma intervālus. Atbildē norādiet šajos intervālos iekļauto veselo skaitļu punktu summu.
Risinājums:
Attēlā ir izcelti intervāli, kuros funkcijas atvasinājums nav negatīvs.
Mazajā pieaugošajā intervālā nav veselu skaitļu punktu, pieaugošā intervālā ir četras veselas vērtības: , , un .
Viņu summa:
8. uzdevums.
Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas atvasinājuma grafiks. Atrodiet funkcijas pieauguma intervālus. Atbildē norādiet lielākās no tām garumu.
Risinājums:
Attēlā visi intervāli, kuros atvasinājums ir pozitīvs, ir izcelti ar krāsu, kas nozīmē, ka pati funkcija šajos intervālos palielinās.
Lielākā no tām garums ir 6.
9. uzdevums.
Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas atvasinājuma grafiks. Kurā segmenta punktā tas iegūst vislielāko vērtību?
Risinājums:
Apskatīsim, kā grafiks darbojas segmentā, un tas ir tas, kas mūs interesē tikai atvasinājuma zīme .
Atvasinājuma zīme uz ir mīnus, jo grafiks uz šī segmenta atrodas zem ass.