Darba veids: 7
Stāvoklis
Taisne y=3x+2 ir pieskares funkcijas y=-12x^2+bx-10 grafikam. Atrodiet b, ņemot vērā, ka pieskares punkta abscisa ir mazāka par nulli.
Rādīt risinājumuRisinājums
Pieņemsim, ka x_0 ir funkcijas y=-12x^2+bx-10 grafika punkta abscisa, caur kuru iet šī grafika pieskare.
Atvasinājuma vērtība punktā x_0 ir vienāda ar pieskares slīpumu, tas ir, y"(x_0)=-24x_0+b=3. No otras puses, pieskares punkts vienlaikus pieder gan pieskares grafikam. funkcija un tangenss, tas ir, -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2. Iegūstam vienādojumu sistēmu \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(gadījumi)
Atrisinot šo sistēmu, mēs iegūstam x_0^2=1, kas nozīmē vai nu x_0=-1, vai x_0=1. Atbilstoši abscisu nosacījumam pieskares punkti ir mazāki par nulli, tātad x_0=-1, tad b=3+24x_0=-21.
Atbilde
Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājumu ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskare
Stāvoklis
Taisne y=-3x+4 ir paralēla funkcijas y=-x^2+5x-7 grafika pieskarei. Atrodiet pieskares punkta abscisu.
Rādīt risinājumuRisinājums
Funkcijas y=-x^2+5x-7 grafikas taisnes leņķiskais koeficients patvaļīgā punktā x_0 ir vienāds ar y"(x_0). Bet y"=-2x+5, kas nozīmē y" (x_0)=-2x_0+5 nosacījumā norādītais taisnes koeficients ir vienāds ar -3 -2x_0 +5=-3.
Mēs iegūstam: x_0 = 4.
Atbilde
Avots: “Matemātika. Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam 2017. Profila līmenis." Ed. F. F. Lisenko, S. Kulabukhova.
Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājumu ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskare
Stāvoklis
Rādīt risinājumuRisinājums
No attēla mēs nosakām, ka pieskare iet caur punktiem A(-6; 2) un B(-1; 1). Ar C(-6; 1) apzīmēsim taisnes x=-6 un y=1 krustpunktu, bet ar \alpha leņķi ABC (attēlā redzams, ka tas ir akūts). Tad taisne AB veido leņķi \pi -\alpha ar Ox ass pozitīvo virzienu, kas ir neass.
Kā zināms, tg(\pi -\alpha) būs funkcijas f(x) atvasinājuma vērtība punktā x_0. ievērojiet, tas tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. No šejienes, izmantojot samazināšanas formulas, mēs iegūstam: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.
Atbilde
Avots: “Matemātika. Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam 2017. Profila līmenis." Ed. F. F. Lisenko, S. Kulabukhova.
Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājumu ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskare
Stāvoklis
Taisne y=-2x-4 ir pieskares funkcijas y=16x^2+bx+12 grafikam. Atrodiet b, ņemot vērā, ka pieskares punkta abscisa ir lielāka par nulli.
Rādīt risinājumuRisinājums
Lai x_0 ir funkcijas y=16x^2+bx+12 diagrammas punkta abscisa, caur kuru
ir pieskares šim grafikam.
Atvasinājuma vērtība punktā x_0 ir vienāda ar pieskares slīpumu, tas ir, y"(x_0)=32x_0+b=-2. No otras puses, pieskares punkts vienlaikus pieder gan pieskares grafikam. funkciju un tangensu, tas ir, 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4. Iegūstam vienādojumu sistēmu \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(gadījumi)
Atrisinot sistēmu, mēs iegūstam x_0^2=1, kas nozīmē vai nu x_0=-1, vai x_0=1. Atbilstoši abscisu nosacījumam pieskares punkti ir lielāki par nulli, tātad x_0=1, tad b=-2-32x_0=-34.
Atbilde
Avots: “Matemātika. Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam 2017. Profila līmenis." Ed. F. F. Lisenko, S. Kulabukhova.
Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājumu ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskare
Stāvoklis
Attēlā parādīts funkcijas y=f(x) grafiks, kas definēts intervālā (-2; 8). Nosakiet punktu skaitu, kuros funkcijas grafika pieskare ir paralēla taisnei y=6.
Risinājums
Taisne y=6 ir paralēla Ox asij. Tāpēc mēs atrodam punktus, kuros funkcijas grafika pieskare ir paralēla Ox asij. Šajā diagrammā šādi punkti ir ekstremālie punkti (maksimālie vai minimālie punkti). Kā redzat, ir 4 galējie punkti.
Atbilde
Avots: “Matemātika. Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam 2017. Profila līmenis." Ed. F. F. Lisenko, S. Kulabukhova.
Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājumu ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskare
Stāvoklis
Taisne y=4x-6 ir paralēla funkcijas y=x^2-4x+9 grafika pieskarei. Atrodiet pieskares punkta abscisu.
Rādīt risinājumuRisinājums
Funkcijas y=x^2-4x+9 grafika pieskares slīpums patvaļīgā punktā x_0 ir vienāds ar y"(x_0). Bet y"=2x-4, kas nozīmē y"(x_0)= 2x_0-4 Pieskares y =4x-7 slīpums, kas norādīts nosacījumā, ir vienāds ar 4. Paralēlajām līnijām ir vienādi leņķiskie koeficienti.
Atbilde
Avots: “Matemātika. Gatavošanās vienotajam valsts eksāmenam 2017. Profila līmenis." Ed. F. F. Lisenko, S. Kulabukhova.
Darba veids: 7
Tēma: Atvasinājumu ģeometriskā nozīme. Funkcijas grafika pieskare
Stāvoklis
Attēlā parādīts funkcijas y=f(x) grafiks un tās pieskares punktā ar abscisu x_0. Atrodiet funkcijas f(x) atvasinājuma vērtību punktā x_0.
Risinājums
No attēla mēs nosakām, ka pieskare iet caur punktiem A(1; 1) un B(5; 4). Ar C(5; 1) apzīmēsim taisnes x=5 un y=1 krustpunktu, bet ar \alpha leņķi BAC (attēlā redzams, ka tas ir akūts). Tad taisne AB veido leņķi \alpha ar Ox ass pozitīvo virzienu.
Pieskares ir taisna līnija, kas iet caur kādu punktu uz līknes un sakrīt ar to šajā punktā līdz pirmajai secībai (1. att.).
Vēl viena definīcija: šī ir sekanta ierobežojošā pozīcija pie Δ x→0.
Paskaidrojums: paņemiet taisnu līniju, kas krusto līkni divos punktos: A Un b(skat. attēlu). Šis ir sekants. Mēs to pagriezīsim pulksteņrādītāja virzienā, līdz tas atradīs tikai vienu kopīgu punktu ar līkni. Tas mums dos tangensu.
Stingra pieskares definīcija:
Funkcijas grafika pieskare f, atšķiras punktā xO, ir taisna līnija, kas iet caur punktu ( xO; f(xO)) un kam slīpums f′( xO).
Slīpumam ir taisna formas līnija y =kx +b. Koeficients k un ir slīpumsšī taisnā līnija.
Slīpuma koeficients vienāds ar tangensu akūts leņķis, ko veido šī taisne ar abscisu asi:
|
Šeit leņķis α ir leņķis starp taisni y =kx +b un pozitīvais (tas ir, pretēji pulksteņrādītāja virzienam) x ass virziens. Tas tiek saukts taisnas līnijas slīpuma leņķis(1. un 2. att.). 
Ja slīpuma leņķis ir taisns y =kx +b akūts, tad slīpums ir pozitīvs skaitlis. Grafiks palielinās (1. att.).
Ja slīpuma leņķis ir taisns y =kx +b ir strups, tad slīpums ir negatīvs skaitlis. Grafiks samazinās (2. att.).
Ja taisne ir paralēla x asij, tad taisnes slīpuma leņķis ir nulle. Šajā gadījumā arī līnijas slīpums ir nulle (jo nulles pieskare ir nulle). Taisnes vienādojums izskatīsies šādi: y = b (3. att.).
Ja taisnes slīpuma leņķis ir 90º (π/2), tas ir, tas ir perpendikulārs abscisu asij, tad taisne tiek dota ar vienādību x =c, Kur c– kāds reāls skaitlis (4. att.).
Funkcijas grafika pieskares vienādojumsy = f(x) punktā xO:
Piemērs: atrodiet funkcijas grafika pieskares vienādojumu f(x) = x 3 – 2x 2 + 1 punktā ar abscisu 2.
Risinājums.
Mēs sekojam algoritmam.
1) Pieskāriena punkts xO ir vienāds ar 2. Aprēķināt f(xO):
f(xO) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Atrast f′( x). Lai to izdarītu, mēs izmantojam iepriekšējā sadaļā aprakstītās diferenciācijas formulas. Saskaņā ar šīm formulām, X 2 = 2X, A X 3 = 3X 2. Līdzekļi:
f′( x) = 3X 2 – 2 ∙ 2X = 3X 2 – 4X.
Tagad, izmantojot iegūto vērtību f′( x), aprēķiniet f′( xO):
f′( xO) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) Tātad mums ir visi nepieciešamie dati: xO = 2, f(xO) = 1, f ′( xO) = 4. Aizstāj šos skaitļus pieskares vienādojumā un atrodi gala risinājumu:
y = f(xO) + f′( xO) (x – x o) = 1 + 4 ∙ (x - 2) = 1 + 4x - 8 = -7 + 4x = 4x - 7.
Atbilde: y = 4x – 7.
Instrukcijas
Mēs nosakām līknes pieskares leņķisko koeficientu punktā M.
Līkne, kas attēlo funkcijas y = f(x) grafiku, ir nepārtraukta noteiktā punkta M apkārtnē (ieskaitot pašu punktu M).
Ja vērtība f‘(x0) neeksistē, tad vai nu nav pieskares, vai arī tā darbojas vertikāli. Ņemot to vērā, funkcijas atvasinājuma esamība punktā x0 ir saistīta ar nevertikālās pieskares pieskares esamību funkcijas grafikam punktā (x0, f(x0)). Šajā gadījumā pieskares leņķiskais koeficients būs vienāds ar f "(x0). Tādējādi kļūst skaidrs ģeometriskā nozīme atvasinājums – pieskares slīpuma aprēķins.
Atrodiet pieskares punkta abscisu vērtību, kas apzīmēta ar burtu “a”. Ja tas sakrīt ar doto pieskares punktu, tad "a" būs tā x-koordināta. Nosakiet vērtību funkcijas f(a), aizvietojot vienādojumā funkcijas abscisu vērtība.
Nosakiet vienādojuma pirmo atvasinājumu funkcijas f’(x) un aizstājiet tajā punkta “a” vērtību.
Ņem vispārējais vienādojums pieskares, kas definēta kā y = f(a) = f (a)(x – a), un aizstāj tajā atrastās vērtības a, f(a), f "(a). Rezultātā tiks atrasts grafa un pieskares risinājums.
Atrisiniet uzdevumu citādā veidā, ja dotais pieskares punkts nesakrīt ar pieskares punktu. Šajā gadījumā pieskares vienādojumā skaitļu vietā ir jāaizstāj ar “a”. Pēc tam burtu “x” un “y” vietā aizstājiet ar dotā punkta koordinātu vērtību. Atrisiniet iegūto vienādojumu, kurā “a” ir nezināmais. Pievienojiet iegūto vērtību pieskares vienādojumam.
Uzrakstiet vienādojumu pieskarei ar burtu “a”, ja problēmas formulējums norāda vienādojumu funkcijas un paralēlas taisnes vienādojums attiecībā pret vēlamo tangensu. Pēc tam mums ir nepieciešams atvasinājums funkcijas, uz koordinātu punktā “a”. Aizstājiet atbilstošo vērtību pieskares vienādojumā un atrisiniet funkciju.
Parādot saikni starp atvasinājuma zīmi un funkcijas monotonitātes raksturu.
Lūdzu, esiet īpaši uzmanīgs attiecībā uz tālāk norādīto. Paskaties, grafiks KAS tev ir dots! Funkcija vai tās atvasinājums
Ja dots atvasinājuma grafiks, tad mūs interesēs tikai funkciju zīmes un nulles. Mūs principā neinteresē nekādi “pakalni” vai “iedobumi”!
1. uzdevums.
Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas grafiks. Nosakiet veselu skaitļu punktu skaitu, kuros funkcijas atvasinājums ir negatīvs.
Risinājums:
Attēlā samazinošās funkcijas apgabali ir izcelti ar krāsu:
Šie funkcijas dilstošie apgabali satur 4 veselas vērtības.
2. uzdevums.
Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas grafiks. Atrodiet punktu skaitu, kuros funkcijas grafika pieskare ir paralēla taisnei vai sakrīt ar to.
Risinājums:
Ja funkcijas grafika pieskare ir paralēla (vai sakrīt) ar taisni (vai, kas ir tas pats), kam ir slīpums, vienāds ar nulli, tad pieskarei ir leņķa koeficients .
Tas savukārt nozīmē, ka pieskare ir paralēla asij, jo slīpums ir pieskares slīpuma leņķa pieskare pret asi.
Tāpēc grafikā atrodam ekstremālos punktus (maksimālos un minimālos punktus) - tieši šajos punktos grafikam pieskares funkcijas būs paralēlas asij.
Ir 4 šādi punkti.
3. uzdevums.
Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas atvasinājuma grafiks. Atrodiet punktu skaitu, kuros funkcijas grafika pieskare ir paralēla taisnei vai sakrīt ar to.
Risinājums:
Tā kā funkcijas grafika pieskare ir paralēla (vai sakrīt) ar taisni, kurai ir slīpums, tad pieskarei ir arī slīpums.
Tas savukārt nozīmē, ka pieskares punktos.
Tāpēc mēs aplūkojam, cik daudz punktu grafikā ir ordinātas, kas vienādas ar .
Kā redzat, šādi punkti ir četri.
4. uzdevums.
Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas grafiks. Atrodiet punktu skaitu, kuros funkcijas atvasinājums ir 0.
Risinājums:
Ekstrēmuma punktos atvasinājums ir vienāds ar nulli. Mums ir 4 no tiem:
5. uzdevums.
Attēlā parādīts funkcijas grafiks un vienpadsmit punkti uz x ass:. Cik no šiem punktiem funkcijas atvasinājums ir negatīvs?
Risinājums:
Funkciju samazināšanās intervālos ņem tās atvasinājumu negatīvas vērtības. Un funkcija punktos samazinās. Ir 4 šādi punkti.
6. uzdevums.
Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas grafiks. Atrodiet funkcijas galējo punktu summu.
Risinājums:
Ekstrēma punkti– tie ir maksimālie punkti (-3, -1, 1) un minimālie punkti (-2, 0, 3).
Ekstrēmu punktu summa: -3-1+1-2+0+3=-2.
7. uzdevums.
Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas atvasinājuma grafiks. Atrodiet funkcijas pieauguma intervālus. Atbildē norādiet šajos intervālos iekļauto veselo skaitļu punktu summu.
Risinājums:
Attēlā ir izcelti intervāli, kuros funkcijas atvasinājums nav negatīvs.
Mazajā pieaugošajā intervālā nav veselu skaitļu punktu, ir četras veselas vērtības: , , un .
Viņu summa:
8. uzdevums.
Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas atvasinājuma grafiks. Atrodiet funkcijas pieauguma intervālus. Atbildē norādiet lielākās no tām garumu.
Risinājums:
Attēlā visi intervāli, kuros atvasinājums ir pozitīvs, ir izcelti ar krāsu, kas nozīmē, ka pati funkcija šajos intervālos palielinās.
Lielākā no tām garums ir 6.
9. uzdevums.
Attēlā parādīts intervālā definētas funkcijas atvasinājuma grafiks. Kurā segmenta punktā tas iegūst vislielāko vērtību?
Risinājums:
Apskatīsim, kā grafiks darbojas segmentā, un tas ir tas, kas mūs interesē tikai atvasinājuma zīme .
Atvasinājuma zīme uz ir mīnus, jo grafiks uz šī segmenta atrodas zem ass.
Apsveriet šādu attēlu:
Tas attēlo noteiktu funkciju y = f(x), kas ir diferencējama punktā a. Atzīmēts punkts M ar koordinātām (a; f(a)). Caur patvaļīgu grafa punktu P(a + ∆x; f(a + ∆x)) tiek novilkta sekants MR.
Ja tagad punkts P tiek nobīdīts pa grafiku uz punktu M, tad taisne MR griezīsies ap punktu M. Šajā gadījumā ∆x ir tendence uz nulli. No šejienes mēs varam formulēt pieskares definīciju funkcijas grafikam.
Funkcijas grafika pieskare
Funkcijas grafika pieskare ir sekanta ierobežojošā pozīcija, jo argumenta pieaugumam ir tendence uz nulli. Jāsaprot, ka funkcijas f atvasinājuma esamība punktā x0 nozīmē, ka šajā grafika punktā ir pieskares viņam.
Šajā gadījumā pieskares leņķiskais koeficients būs vienāds ar šīs funkcijas atvasinājumu šajā punktā f’(x0). Šī ir atvasinājuma ģeometriskā nozīme. Punktā x0 diferencējamas funkcijas f grafika pieskare ir noteikta taisne, kas iet caur punktu (x0;f(x0)) un kurai ir leņķa koeficients f’(x0).
Pieskares vienādojums
Mēģināsim iegūt kādas funkcijas f grafika pieskares vienādojumu punktā A(x0; f(x0)). Taisnas līnijas vienādojumam ar slīpumu k ir šāda forma:
Tā kā mūsu slīpuma koeficients ir vienāds ar atvasinājumu f’(x0), tad vienādojumam būs šāda forma: y = f’(x0)*x + b.
Tagad aprēķināsim b vērtību. Lai to izdarītu, mēs izmantojam faktu, ka funkcija iet caur punktu A.
f(x0) = f’(x0)*x0 + b, no šejienes mēs izsakām b un iegūstam b = f(x0) - f’(x0)*x0.
Iegūto vērtību aizstājam pieskares vienādojumā:
y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).
Apsvērsim nākamais piemērs: atrodiet funkcijas f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 grafika pieskares vienādojumu punktā x = 2.
2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.
3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.
4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.
5. Aizvietojiet iegūtās vērtības tangensu formulā, iegūstam: y = 1 + 4*(x - 2). Atverot iekavas un ienesot līdzīgus terminus, mēs iegūstam: y = 4*x - 7.
Atbilde: y = 4*x - 7.
Pieskares vienādojuma sastādīšanas vispārīgā shēma uz funkcijas y = f(x) grafiku:
1. Nosakiet x0.
2. Aprēķināt f(x0).
3. Aprēķiniet f’(x)