>

Онлайн тооцоолуур дээр гурван тооны зангилааг хэрхэн олох вэ. Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох: арга, LCM олох жишээ

Хамгийн том нийтлэг хуваагч

Тодорхойлолт 2

Хэрэв натурал тоо a нь $b$ натурал тоонд хуваагддаг бол $b$ нь $a$-ын хуваагч, $a$ тоог $b$-ын үржвэр гэж нэрлэдэг.

$a$ ба $b$ натурал тоо байг. $c$ тоог $a$ ба $b$ хоёрын нийтлэг хуваагч гэж нэрлэдэг.

Эдгээр хуваагчдын аль нь ч $a$-аас их байж болохгүй тул $a$ ба $b$ тоонуудын нийтлэг хуваагчдын олонлог хязгаарлагдмал байна. Энэ нь эдгээр хуваагчдын дунд хамгийн том нь байгаа гэсэн үг бөгөөд үүнийг $a$ ба $b$ тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч гэж нэрлэдэг бөгөөд дараах тэмдэглэгээгээр тэмдэглэнэ.

$GCD\(a;b)\ эсвэл \D\(a;b)$

Хоёр тооны хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олохын тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.

  1. 2-р алхамд олдсон тоонуудын үржвэрийг ол. Үр дүнд хүрсэн тоо нь хүссэн хамгийн их нийтлэг хуваагч болно.

Жишээ 1

$121$ ба $132.$ тоонуудын gcd-г ол

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Эдгээр тоонуудын өргөтгөлд багтсан тоог сонгоно уу

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    2-р алхамд олдсон тоонуудын үржвэрийг ол. Үр дүнд хүрсэн тоо нь хүссэн хамгийн их нийтлэг хуваагч болно.

    $GCD=2\cdot 11=22$

Жишээ 2

$63$ ба $81$ мономиалуудын gcd-ийг ол.

Бид танилцуулсан алгоритмын дагуу олох болно. Үүнийг хийхийн тулд:

    Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон авч үзье

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    81$=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Бид эдгээр тоонуудын өргөтгөлд багтсан тоонуудыг сонгоно

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    81$=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    2-р алхамд олдсон тоонуудын үржвэрийг олцгооё. Үр дүн нь хүссэн хамгийн их нийтлэг хуваагч болно.

    $GCD=3\cdot 3=9$

Та хоёр тооны gcd-ийг тоо хуваагчийн багцыг ашиглан өөр аргаар олох боломжтой.

Жишээ 3

$48$ ба $60$ тоонуудын gcd-г ол.

Шийдэл:

$48$ тооны хуваагчийн олонлогийг олцгооё: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Одоо $60$ тооны хуваагчийн олонлогийг олцгооё:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) доллар

Эдгээр олонлогуудын огтлолцлыг олцгооё: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - энэ олонлог нь $48$ ба $60 тоонуудын нийтлэг хуваагчдыг тодорхойлно. доллар. Энэ багцын хамгийн том элемент нь $12$ байх болно. Энэ нь $48$ ба $60$ тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч нь $12$ гэсэн үг юм.

Чанаргүй зээлийн тодорхойлолт

Тодорхойлолт 3

Натурал тоонуудын нийтлэг үржвэрүүд$a$ ба $b$ нь $a$ ба $b$ хоёрын үржвэр болох натурал тоо юм.

Тоонуудын нийтлэг үржвэрүүд нь анхны тоонуудад үлдэгдэлгүй хуваагддаг тоонууд юм. Жишээлбэл, $25$ ба $50$ тоонуудын хувьд нийтлэг үржвэр нь $50,100,150,200$ гэх мэт тоонууд байх болно.

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг хамгийн бага нийтлэг үр гэж нэрлэх ба LCM$(a;b)$ эсвэл K$(a;b)$ гэж тэмдэглэнэ.

Хоёр тооны LCM-ийг олохын тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

  1. Хүчин зүйлийн тоог анхны хүчин зүйл болгох
  2. Эхний тооны нэг хэсэг болох хүчин зүйлсийг бичээд, хоёр дахь тоонд багтахгүй, эхний тоонд хамаарахгүй хүчин зүйлсийг нэмж бич.

Жишээ 4

$99$ ба $77$ тоонуудын LCM-ийг ол.

Бид танилцуулсан алгоритмын дагуу олох болно. Үүний төлөө

    Хүчин зүйлийн тоог анхны хүчин зүйл болгох

    $99=3\cdot 3\cdot 11$

    Эхний хэсэгт орсон хүчин зүйлсийг бич

    тэдэнд эхнийх биш харин хоёр дахь хэсэг болох үржүүлэгчийг нэмнэ

    2-р алхамд олдсон тоонуудын үржвэрийг ол. Үр дүнд нь хүссэн хамгийн бага нийтлэг үржвэр болно

    $NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

    Тоон хуваагчдын жагсаалтыг гаргах нь ихэвчлэн маш их хөдөлмөр шаарддаг ажил юм. Евклидийн алгоритм гэж нэрлэгддэг GCD-ийг олох арга бий.

    Евклидийн алгоритм дээр үндэслэсэн мэдэгдлүүд:

    Хэрэв $a$ ба $b$ нь натурал тоо бөгөөд $a\vdots b$ бол $D(a;b)=b$

    Хэрэв $a$ ба $b$ нь натурал тоонууд бол $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$-г ашигласнаар бид аль нэг нь нөгөөдөө хуваагдах хос тоонд хүрэх хүртэл авч үзэж буй тоонуудыг дараалан багасгаж болно. Дараа нь эдгээр тоонуудаас бага нь $a$ ба $b$ тоонуудын хүссэн хамгийн их нийтлэг хуваагч байх болно.

GCD болон LCM-ийн шинж чанарууд

  1. $a$ ба $b$-ын аливаа нийтлэг үржвэр нь K$(a;b)$-д хуваагдана
  2. Хэрэв $a\vdots b$ бол К$(a;b)=a$

    3. Хэрэв K$(a;b)=k$ ба $m$ нь натурал тоо бол K$(am;bm)=km$

    Хэрэв $d$ нь $a$ ба $b$-ийн нийтлэг хуваагч бол K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

    Хэрэв $a\vdots c$ болон $b\vdots c$ бол $\frac(ab)(c)$ нь $a$ ба $b$-н нийтлэг үржвэр болно.

    $a$ ба $b$ ямар ч натурал тоонуудын хувьд тэнцүү байна

    $D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

    $a$ ба $b$ тоонуудын нийтлэг хуваагч нь $D(a;b)$ тооны хуваагч юм.

Хоёр дахь тоо: b=

Мянган тусгаарлагчЗай тусгаарлагчгүй "´

Үр дүн:

Хамгийн их нийтлэг хуваагч GCD( а,б)=6

LCM-ийн хамгийн бага нийтлэг үржвэр( а,б)=468

a ба b тоонд үлдэгдэлгүйгээр хуваагдаж болох хамгийн том натурал тоог гэнэ хамгийн том нийтлэг хуваагчЭдгээр тоонуудын (GCD). gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) эсвэл hcf(a,b) гэж тэмдэглэнэ.

Хамгийн бага нийтлэг үржвэр a ба b бүхэл тоонуудын LCM нь а ба b-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг хамгийн бага натурал тоо юм. LCM(a,b) эсвэл lcm(a,b) гэж тэмдэглэсэн.

a ба b бүхэл тоонуудыг дуудна харилцан ашигтай, хэрэв тэдгээрт +1 ба −1-ээс өөр нийтлэг хуваагч байхгүй бол.

Хамгийн том нийтлэг хуваагч

Хоёр эерэг тоог өгье а 1 ба а 2 1). Эдгээр тоонуудын нийтлэг хуваагчийг олох шаардлагатай, жишээлбэл. ийм тоог олоорой λ , энэ нь тоонуудыг хуваадаг а 1 ба а 2 зэрэг. Алгоритмыг тайлбарлая.

1) Энэ өгүүлэлд дугаар гэдэг үгийг бүхэл тоо гэж ойлгох болно.

Болъё а 1 ≥ а 2 ба зөвшөөр

Хаана м 1 , а 3 нь бүхэл тоо, а 3 <а 2 (хуваалтын үлдэгдэл а 1 тутамд а 2 нь бага байх ёстой а 2).

Ингэж бодъё λ хуваадаг а 1 ба а 2 тэгвэл λ хуваадаг м 1 а 2 ба λ хуваадаг а 1 −м 1 а 2 =а 3 ("Тоон хуваагдах чадвар. Хуваагдах чадварыг шалгах" өгүүллийн 2-р мэдэгдэл). Үүнээс үзэхэд бүх нийтлэг хуваагч байдаг а 1 ба а 2 нь нийтлэг хуваагч юм а 2 ба а 3. Хэрэв урвуу нь бас үнэн юм λ нийтлэг хуваагч а 2 ба а 3 тэгвэл м 1 а 2 ба а 1 =м 1 а 2 +а 3 нь мөн хуваагдана λ . Тиймээс нийтлэг хуваагч а 2 ба а 3 нь мөн нийтлэг хуваагч юм а 1 ба а 2. Учир нь а 3 <а 2 ≤а 1, дараа нь бид тоонуудын нийтлэг хуваагчийг олох асуудлын шийдэл гэж хэлж болно а 1 ба а 2-ыг тоонуудын нийтлэг хуваагчийг олох энгийн бодлого болгон бууруулсан а 2 ба а 3 .

Хэрэв а 3 ≠0 бол бид хувааж болно а 2 дээр а 3. Дараа нь

,

Хаана м 1 ба а 4 нь бүхэл тоо, ( ахуваалтаас 4 үлдэгдэл а 2 дээр а 3 (а 4 <а 3)). Үүнтэй төстэй үндэслэлээр бид тооны нийтлэг хуваагч гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна а 3 ба а 4 нь тоонуудын нийтлэг хуваагчтай давхцдаг а 2 ба а 3, мөн нийтлэг хуваагчтай а 1 ба а 2. Учир нь а 1 , а 2 , а 3 , а 4, ... нь байнга буурч байгаа тоонууд бөгөөд тэдгээрийн хооронд хязгаарлагдмал тооны бүхэл тоо байдаг. а 2 ба 0, дараа нь зарим алхамаар n, хуваалтын үлдэгдэл а n дээр а n+1 нь тэгтэй тэнцүү байх болно ( а n+2 =0).

.

Нийтлэг хуваагч бүр λ тоо а 1 ба а 2 нь мөн тооны хуваагч юм а 2 ба а 3 , а 3 ба а 4 , .... а n ба а n+1. Эсрэг заалт нь бас үнэн, тоонуудын нийтлэг хуваагч юм а n ба а n+1 нь мөн тооны хуваагч юм а n−1 ба а n , .... , а 2 ба а 3 , а 1 ба а 2. Гэхдээ тоонуудын нийтлэг хуваагч а n ба а n+1 нь тоо юм а n+1, учир нь а n ба а n+1-д хуваагдана а n+1 (үүнийг санаарай а n+2 =0). Тиймээс а n+1 нь мөн тооны хуваагч юм а 1 ба а 2 .

тоо гэдгийг анхаарна уу а n+1 нь тоонуудын хамгийн том хуваагч юм а n ба а n+1 , хамгийн том хуваагчаас хойш а n+1 нь өөрөө юм а n+1. Хэрэв а n+1-ийг бүхэл тоонуудын үржвэрээр илэрхийлж болно, тэгвэл эдгээр тоонууд нь мөн тооны нийтлэг хуваагч болно. а 1 ба а 2. Тоо а n+1 гэж нэрлэдэг хамгийн том нийтлэг хуваагчтоо а 1 ба а 2 .

Тоонууд а 1 ба а 2 нь эерэг эсвэл сөрөг тоо байж болно. Хэрэв тоонуудын аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол эдгээр тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагч нь нөгөө тооны үнэмлэхүй утгатай тэнцүү байна. Тэг тооны хамгийн том нийтлэг хуваагч нь тодорхойгүй байна.

Дээрх алгоритмыг нэрлэдэг Евклидийн алгоритмхоёр бүхэл тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох.

Хоёр тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох жишээ

630 ба 434 гэсэн хоёр тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг ол.

  • Алхам 1. 630 тоог 434-т хуваа. Үлдэгдэл нь 196.
  • Алхам 2. 434 тоог 196-д хуваа. Үлдэгдэл нь 42.
  • Алхам 3. 196 тоог 42-т хуваа. Үлдэгдэл нь 28.
  • Алхам 4. 42-ын тоог 28-д хуваа.Үлдсэн нь 14.
  • Алхам 5. 28-ын тоог 14-т хуваа.Үлдсэн нь 0.

5-р алхамд хуваалтын үлдэгдэл нь 0 байна. Тиймээс 630 ба 434 тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагч нь 14. 2 ба 7 тоо нь 630 ба 434 тоонуудын хуваагч гэдгийг анхаарна уу.

Тоонуудыг харьцуулах

Тодорхойлолт 1. Тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг үзье а 1 ба а 2 нь нэгтэй тэнцүү. Дараа нь эдгээр дугаарууд дуудагдана харьцуулах тоо, нийтлэг хуваагчгүй.

Теорем 1. Хэрэв а 1 ба а 2 анхны тоо, ба λ зарим тоо, дараа нь тооны нийтлэг хуваагч λa 1 ба а 2 нь мөн тооны нийтлэг хуваагч юм λ Тэгээд а 2 .

Баталгаа. Тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох Евклидийн алгоритмыг авч үзье. а 1 ба а 2 (дээрхийг үзнэ үү).

.

Теоремын нөхцлөөс үзэхэд тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч байна а 1 ба а 2, тиймээс а n ба а n+1 нь 1. Энэ нь а n+1 =1.

Энэ бүх тэгш байдлыг үржүүлье λ , Дараа нь

.

Нийтлэг хуваагчийг үзье а 1 λ Тэгээд а 2 тийм δ . Дараа нь δ -д үржүүлэгч болгон оруулсан болно а 1 λ , м 1 а 2 λ болон дотор а 1 λ -м 1 а 2 λ =а 3 λ ("Тоон хуваагдах чадвар", Мэдэгдэл 2-г үзнэ үү). Дараа нь δ -д үржүүлэгч болгон оруулсан болно а 2 λ Тэгээд м 2 а 3 λ , мөн, тиймээс, хүчин зүйл болгон оруулсан байна а 2 λ -м 2 а 3 λ =а 4 λ .

Ийм үндэслэлээр бид үүнд итгэлтэй байна δ -д үржүүлэгч болгон оруулсан болно а n−1 λ Тэгээд м n−1 а n λ , тиймээс in а n−1 λ −м n−1 а n λ =а n+1 λ . Учир нь а n+1 =1, тэгвэл δ -д үржүүлэгч болгон оруулсан болно λ . Тиймээс тоо δ тоонуудын нийтлэг хуваагч юм λ Тэгээд а 2 .

Теорем 1-ийн онцгой тохиолдлуудыг авч үзье.

Үр дагавар 1. Болъё аТэгээд вАнхны тоо харьцангуй б. Дараа нь тэдний бүтээгдэхүүн ac-ын хувьд анхны тоо юм б.

Үнэхээр. Теорем 1-ээс acТэгээд бижил нийтлэг хуваагчтай байна вТэгээд б. Гэхдээ тоонууд вТэгээд бхарьцангуй энгийн, өөрөөр хэлбэл. нэг нийтлэг хуваагчтай 1. Дараа нь acТэгээд бмөн нэг нийтлэг хуваагчтай 1. Тиймээс acТэгээд бхарилцан энгийн.

Үр дагавар 2. Болъё аТэгээд бтоонуудыг харьцуулж, зөвшөөр бхуваадаг ак. Дараа нь бхуваах ба к.

Үнэхээр. Зөвшөөрлийн нөхцөлөөс акТэгээд бнийтлэг хуваагчтай б. Теорем 1-ийн дагуу, бнийтлэг хуваагч байх ёстой бТэгээд к. Тиймээс бхуваадаг к.

Дүгнэлт 1-ийг ерөнхийд нь хэлж болно.

Үр дагавар 3. 1. Тоонуудыг оруулъя а 1 , а 2 , а 3 , ..., а m нь тоотой харьцуулахад анхных юм б. Дараа нь а 1 а 2 , а 1 а 2 · а 3 , ..., а 1 а 2 а 3 ··· а m, эдгээр тоонуудын үржвэр нь тоотой харьцуулахад анхны байна б.

2. Хоёр эгнээ тоотой болцгооё

Эхний цувралын тоо бүр хоёр дахь цувралын тоо бүрийн харьцаанд анхных байна. Дараа нь бүтээгдэхүүн

Та эдгээр тоо бүрт хуваагдах тоог олох хэрэгтэй.

Хэрэв тоо нь хуваагддаг бол а 1, дараа нь энэ хэлбэр байна са 1 хаана сзарим тоо. Хэрэв qтоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч юм а 1 ба а 2, тэгвэл

Хаана с 1 нь бүхэл тоо юм. Дараа нь

байна тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрүүд а 1 ба а 2 .

а 1 ба а 2 нь харьцангуй анхны бөгөөд дараа нь тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм а 1 ба а 2:

Бид эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох хэрэгтэй.

Дээрхээс үзэхэд дурын олон тооны тоо гарч ирнэ а 1 , а 2 , а 3 нь олон тооны тоо байх ёстой ε Тэгээд а 3 ба буцаж. Тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг үзье ε Тэгээд а 3 тийм ε 1. Дараа нь олон тооны тоонууд а 1 , а 2 , а 3 , а 4 нь олон тооны тоо байх ёстой ε 1 ба а 4. Тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг үзье ε 1 ба а 4 тийм ε 2. Тиймээс бид бүх тооны үржвэрийг олж мэдсэн а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m нь тодорхой тооны үржвэртэй давхцдаг ε n, үүнийг өгөгдсөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр гэж нэрлэдэг.

Онцгой тохиолдолд тоонууд а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m нь харьцангуй анхны, дараа нь тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм а 1 , а 2 нь дээр үзүүлсэн шиг (3) хэлбэртэй байна. Дараа нь, түүнээс хойш а 3 тоотой холбоотой анхны тоо а 1 , а 2 тэгвэл а 3 анхны тоо а 1 · а 2 (Үндэслэл 1). Тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг илэрхийлнэ а 1 ,а 2 ,а 3 бол тоо а 1 · а 2 · а 3. Үүнтэй адил үндэслэлээр бид дараах мэдэгдлүүдэд хүрч байна.

Мэдэгдэл 1. Харьцуулах тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m нь тэдний бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна а 1 · а 2 · а 3 ··· ам.

Мэдэгдэл 2. Хоёрдахь анхны тоо бүрт хуваагддаг аливаа тоо а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m нь мөн тэдгээрийн үржвэрт хуваагдана а 1 · а 2 · а 3 ··· ам.


Доор үзүүлсэн материал нь гарчигтай нийтлэлээс онолын логик үргэлжлэл юм LCM - хамгийн бага нийтлэг үржвэр, тодорхойлолт, жишээ, LCM ба GCD хоорондын хамаарал. Энд бид ярих болно хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох (LCM), мөн бид жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд онцгой анхаарал хандуулах болно. Эхлээд бид эдгээр тоонуудын GCD-г ашиглан хоёр тооны LCM-ийг хэрхэн тооцоолохыг харуулах болно. Дараа нь бид тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олохыг харна. Үүний дараа бид гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олоход анхаарлаа төвлөрүүлэхээс гадна сөрөг тоонуудын LCM-ийг тооцоолоход анхаарлаа хандуулах болно.

Хуудасны навигаци.

GCD-ээр дамжуулан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) тооцоолох

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох нэг арга нь дээр суурилдаг NOC болон GCD хоорондын холболт. LCM болон GCD хоёрын хоорондох одоо байгаа холболт нь мэдэгдэж буй хамгийн их нийтлэг хуваагчаар дамжуулан хоёр эерэг бүхэл тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолох боломжийг бидэнд олгодог. Холбогдох томъёо нь байна LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Өгөгдсөн томьёог ашиглан LCM-ийг олох жишээг авч үзье.

Жишээ.

126 ба 70 гэсэн хоёр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.

Шийдэл.

Энэ жишээнд a=126 , b=70 . Томъёогоор илэрхийлсэн LCM ба GCD хоёрын холболтыг ашиглацгаая LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Энэ нь эхлээд бид хийх ёстой хамгийн том нийтлэг хуваагчийг ол 70 ба 126 тоо, үүний дараа бид эдгээр тоонуудын LCM-ийг бичсэн томъёогоор тооцоолж болно.

GCD(126, 70)-г Евклидийн алгоритмаар олъё: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, тиймээс GCD(126, 70)=14.

Одоо бид шаардлагатай хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олно: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Хариулт:

LCM(126, 70)=630 .

Жишээ.

LCM(68, 34) нь юутай тэнцүү вэ?

Шийдэл.

Учир нь 68 нь 34-т хуваагддаг бол GCD(68, 34)=34. Одоо бид хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолно: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Хариулт:

LCM(68, 34)=68 .

Өмнөх жишээ нь эерэг бүхэл тоон a ба b-ийн LCM-ийг олох дараах дүрэмд нийцэж байгааг анхаарна уу: хэрэв a тоо b-д хуваагддаг бол эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь a байна.

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар LCM-ийг олох

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох өөр нэг арга нь дээр суурилдаг тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах. Хэрэв та өгөгдсөн тооны бүх анхны хүчин зүйлээс бүтээгдэхүүн зохиож, дараа нь өгөгдсөн тоонуудын өргөтгөлд байгаа бүх нийтлэг анхны хүчин зүйлсийг энэ бүтээгдэхүүнээс хасвал үр дүн нь өгөгдсөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү байх болно. .

LCM олох дүрэм нь тэгш байдлаас хамаарна LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Үнэн хэрэгтээ, a ба b тоонуудын үржвэр нь a ба b тоог тэлэх бүх хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна. Хариуд нь gcd(a, b) нь a ба b тоонуудын тэлэлтэд нэгэн зэрэг байгаа бүх анхны хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна (хэсэгт тайлбарласны дагуу). тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар gcd-ийг олох).

Нэг жишээ хэлье. 75=3·5·5 ба 210=2·3·5·7 гэдгийг бидэнд мэдэгдье. Эдгээр тэлэлтийн бүх хүчин зүйлээс үржвэрийг бүтээцгээе: 2·3·3·5·5·5·7 . Одоо энэ бүтээгдэхүүнээс бид 75 тооны тэлэлт ба 210 тооны тэлэлтийн аль алинд нь байгаа бүх хүчин зүйлийг хассан (ийм хүчин зүйлүүд нь 3 ба 5), дараа нь бүтээгдэхүүн 2·3·5·5·7 хэлбэрийг авна. . Энэ бүтээгдэхүүний утга нь 75 ба 210-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү байна. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

Жишээ.

441 ба 700 тоонуудыг анхны үржүүлэгч болгон үржүүлж эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.

Шийдэл.

441 ба 700 тоонуудыг анхны үржүүлэгч болгон авч үзье.

Бид 441=3·3·7·7 ба 700=2·2·5·5·7 болно.

Одоо 2·2·3·3·5·5·7·7·7 гэсэн тоонуудыг тэлэх бүх хүчин зүйлсийн үржвэрийг гаргая. Энэ бүтээгдэхүүнээс хоёр өргөтгөлд нэгэн зэрэг байгаа бүх хүчин зүйлийг хасъя (зөвхөн нэг ийм хүчин зүйл байдаг - энэ нь 7 тоо): 2·2·3·3·5·5·7·7. Тиймээс, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Хариулт:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар LCM-ийг олох дүрмийг арай өөрөөр томъёолж болно. Хэрэв b тооны тэлэлтээс дутуу байгаа хүчин зүйлсийг a тооны тэлэлтийн хүчин зүйлүүд дээр нэмбэл, үүссэн бүтээгдэхүүний утга нь a ба b тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү байх болно..

Жишээлбэл, ижил тооны 75 ба 210 тоонуудыг авч үзье, тэдгээрийн анхны үржүүлэгчид задрал нь дараах байдалтай байна: 75=3·5·5 ба 210=2·3·5·7. 75-ын тооны тэлэлтээс 3, 5, 5-р хүчин зүйлүүд дээр бид 210-ын тоог өргөтгөхөд дутуу байгаа 2, 7-г нэмээд 2·3·5·5·7 үржвэрийг олж авна. LCM(75, 210)-тай тэнцүү.

Жишээ.

84 ба 648-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.

Шийдэл.

Бид эхлээд 84 ба 648 тоонуудын задралыг анхны хүчин зүйл болгон авдаг. Тэдгээр нь 84=2·2·3·7 ба 648=2·2·2·3·3·3·3 шиг харагдаж байна. 84 тооны тэлэлтээс 2, 2, 3, 7-р хүчин зүйлүүд дээр бид 648 тооны тэлэлтээс дутуу байгаа 2, 3, 3, 3 хүчин зүйлийг нэмж, 2 2 2 3 3 3 3 7 үржвэрийг олж авна. Энэ нь 4 536-тай тэнцүү байна. Тиймээс 84 ба 648-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 4536 байна.

Хариулт:

LCM(84, 648)=4,536 .

Гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олох

Гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрхоёр тооны LCM-ийг дараалан олох замаар олж болно. Гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олох боломжийг олгодог харгалзах теоремыг эргэн санацгаая.

Теорем.

a 1 , a 2 , …, a k эерэг бүхэл тоонуудыг өгье. m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) -ийг дараалан тооцож эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр m k-г олно. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Дөрвөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох жишээн дээр энэ теоремын хэрэглээг авч үзье.

Жишээ.

140, 9, 54, 250 гэсэн дөрвөн тооны LCM-ийг ол.

Шийдэл.

Энэ жишээнд a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250 байна.

Эхлээд бид олдог m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). Үүнийг хийхийн тулд Евклидийн алгоритмыг ашиглан бид GCD(140, 9)-ийг тодорхойлж, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, тиймээс GCD(140, 9)=1 , хаанаас GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Энэ нь m 2 =1 260 байна.

Одоо бид олдог m 3 = LOC (m 2, a 3) = LOC (1 260, 54). Үүнийг GCD(1 260, 54)-ээр тооцоолъё, үүнийг бид мөн Евклидийн алгоритмыг ашиглан тодорхойлно: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Дараа нь gcd(1,260, 54)=18, үүнээс gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780 болно. Энэ нь m 3 =3 780 гэсэн үг юм.

Зөвхөн олох л үлдлээ m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Үүний тулд бид GCD(3,780, 250)-ийг Евклидийн алгоритмаар олно: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Тиймээс GCM(3,780, 250)=10, үүнээс GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Энэ нь m 4 =94,500 гэсэн үг юм.

Тэгэхээр анхны дөрвөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 94,500 байна.

Хариулт:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

Ихэнх тохиолдолд өгөгдсөн тоонуудын анхны үржвэрүүдийг ашиглан гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох нь тохиромжтой байдаг. Энэ тохиолдолд та дараах дүрмийг баримтлах хэрэгтэй. Хэд хэдэн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь үржвэртэй тэнцүү бөгөөд энэ нь дараах байдлаар бүрдэнэ: хоёр дахь тооны тэлэлтээс дутуу хүчин зүйлүүд нь эхний тооны тэлэлтээс бүх хүчин зүйл дээр нэмэгдэнэ. Гурав дахь тоог үр дүнгийн хүчин зүйлс дээр нэмдэг гэх мэт.

Анхны үржвэрлэлтийн аргыг ашиглан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох жишээг авч үзье.

Жишээ.

84, 6, 48, 7, 143 гэсэн таван тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.

Шийдэл.

Эхлээд бид эдгээр тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлахыг олж авна: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 (7 –) анхны тоо, энэ нь анхны хүчин зүйлүүдэд задрахтай давхцдаг) ба 143=11·13.

Эдгээр тоонуудын LCM-ийг олохын тулд эхний тооны 84-ийн хүчин зүйлүүд (тэдгээр нь 2, 2, 3, 7) дээр хоёр дахь 6-ын тэлэлтээс дутуу хүчин зүйлсийг нэмэх хэрэгтэй. Эхний тооны 84-ийн задралд 2 ба 3 хоёулаа аль хэдийн байгаа тул 6-ын тооны задралд дутуу хүчин зүйл агуулаагүй болно. Дараа нь 2, 2, 3, 7-р хүчин зүйлүүд дээр бид 48-р гурав дахь тооны тэлэлтээс дутуу байгаа 2, 2-р хүчин зүйлсийг нэмж, 2, 2, 2, 2, 3, 7 гэсэн хүчин зүйлсийн багцыг авна. Дараагийн алхамд энэ олонлогт үржүүлэгч нэмэх шаардлагагүй, учир нь 7 нь аль хэдийн агуулагдсан байна. Эцэст нь 2, 2, 2, 2, 3, 7-р хүчин зүйлүүд дээр бид 143-ын тэлэлтээс дутуу байгаа 11, 13-ыг нэмнэ. Бид 2·2·2·2·3·7·11·13 үржвэрийг авдаг бөгөөд энэ нь 48,048-тай тэнцүү байна.