Математик нь хүн өөрийгөө ухамсарлаж, өөрийгөө ертөнцийн бие даасан нэгж гэж тодорхойлж эхэлснээр үүссэн. Таны эргэн тойронд байгаа зүйлийг хэмжих, харьцуулах, тоолох хүсэл эрмэлзэл бол үүний нэг үндэс суурь юм суурь шинжлэх ухаанбидний өдрүүд. Эхэндээ эдгээр нь тоонуудыг физик илэрхийлэлтэй холбох боломжийг олгодог анхан шатны математикийн бөөмс байсан бөгөөд хожим нь дүгнэлтийг зөвхөн онолын хувьд (хийсвэрлэлийн улмаас) гаргаж эхэлсэн боловч хэсэг хугацааны дараа нэгэн эрдэмтний хэлснээр " Математик бүх тооноос алга болоход нарийн төвөгтэй байдлын дээд хязгаарт хүрсэн." "Дөрвөлжин язгуур" гэсэн ойлголт нь тооцооллын хавтгайгаас давж, эмпирик мэдээллээр амархан дэмжигдэх боломжтой үед гарч ирсэн.
Энэ бүхэн хаанаас эхэлсэн
Үндэс, язгуурын тухай анхны дурдагдсан зүйл Энэ мөч√ гэж тэмдэглэсэн нь орчин үеийн арифметикийн үндэс суурийг тавьсан Вавилоны математикчдын бүтээлд тэмдэглэгдсэн байдаг. Мэдээжийн хэрэг, тэдгээр нь одоогийн хэлбэртэй бага зэрэг төстэй байсан - тэр үеийн эрдэмтэд анх удаа том хэмжээтэй шахмал хэрэглэж байсан. Харин МЭӨ II мянганы үед. д. Тэд квадрат язгуурыг хэрхэн гаргаж авахыг харуулсан ойролцоогоор тооцооллын томъёог гаргаж авсан. Доорх зурган дээр Вавилоны эрдэмтэд √2-ыг хасах үйл явцыг сийлсэн чулууг харуулсан бөгөөд хариултын зөрүүг аравны бутархайн бутархайн дотор л илрүүлсэн нь маш зөв болсон.
Үүнээс гадна гурвалжны талыг олох шаардлагатай бол нөгөө хоёрыг нь мэддэг байсан бол язгуурыг ашигласан. За тэгээд квадрат тэгшитгэлийг шийдэхэд үндсийг нь гаргаж авахаас зугтах арга байхгүй.
Вавилоны бүтээлүүдийн зэрэгцээ уг өгүүллийн объектыг Хятадын "Есөн ном дахь математик" бүтээлд мөн судалсан бөгөөд эртний Грекчүүд язгуурыг үлдэгдэлгүйгээр гаргаж авах боломжгүй тоо нь үндэслэлгүй үр дүнг өгдөг гэсэн дүгнэлтэд хүрчээ. .
Энэ нэр томъёоны гарал үүсэл нь араб хэл дээрх тооны төлөөлөлтэй холбоотой: эртний эрдэмтэд дурын тооны квадрат нь ургамал шиг үндэснээс ургадаг гэж үздэг. Латин хэлээр энэ үг нь радикс шиг сонсогддог (та хэв маягийг мөрдөж болно - улаан лууван эсвэл радикулит гэх мэт "үндэс" гэсэн утгатай бүх зүйл гийгүүлэгч байдаг).
Дараагийн үеийн эрдэмтэд энэ санааг авч, Rx гэж тодорхойлсон. Жишээлбэл, 15-р зуунд дурын a тооны квадрат язгуурыг авсан гэдгийг харуулахын тулд R 2 a гэж бичжээ. Орчин үеийн нүдэнд танил болсон "хачиг" зөвхөн 17-р зуунд Рене Декартын ачаар гарч ирэв.
Бидний өдрүүд
Математикийн хэллэгээр бол y тооны квадрат язгуур нь квадрат нь у-тай тэнцүү z тоо юм. Өөрөөр хэлбэл z 2 =y нь √y=z-тэй тэнцүү байна. Гэсэн хэдий ч энэ тодорхойлолтЭнэ нь илэрхийллийн сөрөг бус утгыг илэрхийлдэг тул зөвхөн арифметик язгуурт хамааралтай. Өөрөөр хэлбэл, √y=z, энд z нь 0-ээс их буюу тэнцүү байна.
Ерөнхийдөө, алгебрийн язгуурыг тодорхойлоход хамаарах илэрхийллийн утга нь эерэг эсвэл сөрөг байж болно. Ийнхүү z 2 =y ба (-z) 2 =y байдгаас үүдэн бидэнд: √y=±z эсвэл √y=|z| байна.
Шинжлэх ухаан хөгжихийн хэрээр математикт дурлах нь улам бүр нэмэгдсээр байгаа тул түүнийг хайрлах хайрын янз бүрийн илрэлүүд хуурай тооцоогоор илэрхийлэгдэхгүй байна. Жишээлбэл, Пи өдөр гэх мэт сонирхолтой үзэгдлүүдийн зэрэгцээ квадрат язгуурын баярыг тэмдэглэдэг. Зуун жил тутамд есөн удаа тэмдэглэдэг бөгөөд дараах зарчмын дагуу тодорхойлогддог: өдөр, сарыг дарааллаар нь харуулсан тоонууд нь жилийн квадрат язгуур байх ёстой. Тиймээс бид дараагийн удаа энэ баярыг 2016 оны 4-р сарын 4-ний өдөр тэмдэглэх болно.
R талбар дээрх квадрат язгуурын шинж чанарууд
Бараг бүх математикийн илэрхийллүүд дээр суурилдаг геометрийн суурь, энэ хувь тавилан нь y талбайтай квадратын тал гэж тодорхойлогддог √y-ээс зугтсангүй.
Тооны үндсийг хэрхэн олох вэ?
Хэд хэдэн тооцооллын алгоритмууд байдаг. Хамгийн энгийн, гэхдээ нэгэн зэрэг нэлээд төвөгтэй нь ердийн арифметик тооцоолол бөгөөд дараах байдалтай байна.
1) язгуур нь бидэнд хэрэгтэй тооноос сондгой тоог ээлжлэн хасна - гаралтын үлдэгдэл нь хасагдсанаас бага эсвэл бүр тэгтэй тэнцэх хүртэл. Хөдөлгөөний тоо эцэст нь хүссэн тоо болно. Жишээлбэл, тооцоолох квадрат язгуур 25-аас:
Дагаж байна сондгой тоо- энэ нь 11, үлдсэн нь дараах байдалтай байна: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
Ийм тохиолдлын хувьд Тейлорын цуврал өргөтгөл байдаг:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , энд n нь 0-ээс утгыг авна
+∞ ба |y|≤1.
z=√y функцийн график дүрслэл
y нь тэгээс их буюу тэнцүү байх R бодит тоонуудын талбар дээр z=√y элементар функцийг авч үзье. Түүний хуваарь дараах байдалтай байна.
Муруй нь гарал үүслээс ургаж, цэгийг (1; 1) огтлох нь зайлшгүй юм.
R бодит тоонуудын талбар дээрх z=√y функцийн шинж чанарууд
1. Харж байгаа функцийн тодорхойлолтын муж нь тэгээс нэмэх хязгаар хүртэлх интервал (тэг орсон) юм.
2. Харгалзаж буй функцийн утгын хүрээ нь тэгээс нэмэх хязгаар хүртэлх интервал юм (тэг дахин орсон).
3. Функц хамгийн бага утгыг (0) зөвхөн (0; 0) цэг дээр авна. Хамгийн дээд утга байхгүй.
4. z=√y функц тэгш сондгой ч биш.
5. z=√y функц нь үечилсэн биш.
6. z=√y функцийн графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох ганц цэг байна: (0; 0).
7. z=√y функцийн графикийн огтлолцох цэг нь мөн энэ функцийн тэг юм.
8. z=√y функц тасралтгүй өсөж байна.
9. z=√y функц нь зөвхөн эерэг утгыг авдаг тул график нь координатын эхний өнцгийг эзэлдэг.
z=√y функцийг харуулах сонголтууд
Математикийн хувьд нарийн төвөгтэй илэрхийллийн тооцоог хөнгөвчлөхийн тулд квадрат язгуур бичих хүчний хэлбэрийг заримдаа ашигладаг: √y=y 1/2. Энэ сонголт нь жишээлбэл, функцийг хүчирхэг болгоход тохиромжтой: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Энэ арга нь интегралаар ялгах сайн дүрслэл юм, учир нь үүний ачаар квадрат язгуур нь ердийн хүчний функцээр илэрхийлэгддэг.
Мөн програмчлалд √ тэмдгийг орлуулах нь sqrt үсгийн хослол юм.
Тооцоолоход шаардлагатай ихэнх геометрийн томъёоны нэг хэсэг учраас квадрат язгуур нь энэ хэсэгт маш их эрэлт хэрэгцээтэй байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тоолох алгоритм нь өөрөө нэлээд төвөгтэй бөгөөд рекурс (өөрийгөө дууддаг функц) дээр суурилдаг.
Цогцолбор талбар дахь квадрат язгуур C
Математикчдыг сөрөг тооны тэгш язгуурыг олж авах тухай асууж байсан тул ерөнхийдөө энэ өгүүллийн сэдэв нь C комплекс тоонуудын талбарыг нээхэд түлхэц болсон юм. Маш сонирхолтой шинж чанараараа тодорхойлогддог төсөөллийн i нэгж ингэж гарч ирэв: квадрат нь -1. Үүний ачаар квадрат тэгшитгэлийг сөрөг дискриминанттай ч шийдсэн. C хэл дээр R-тэй ижил шинж чанарууд нь квадрат язгуурт хамааралтай бөгөөд цорын ганц зүйл бол радикал илэрхийлэлд тавьсан хязгаарлалтыг арилгах явдал юм.
Зааварчилгаа
Радикал тоонд үржүүлэгчийг сонго, доороос нь хасна үндэсүнэхээр илэрхийлэл юм - эс бөгөөс үйл ажиллагаа алдана. Жишээлбэл, хэрэв тэмдгийн доор байвал үндэсгурав (шоо язгуур)-тай тэнцүү экспоненттэй бол энэ нь үнэтэй тоо 128, дараа нь та тэмдгийн доороос гаргаж авч болно, жишээлбэл, тоо 5. Үүний зэрэгцээ радикал тоо 128-ыг 5 куб-д хуваах шаардлагатай: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Хэрэв тэмдгийн доор бутархай тоо байгаа бол үндэсасуудлын нөхцөлтэй зөрчилдөхгүй бол энэ хэлбэрээр боломжтой. Хэрэв танд илүү энгийн сонголт хэрэгтэй бол эхлээд радикал илэрхийлэлийг бүхэл тоо болгон хуваа, тэдгээрийн аль нэгнийх нь шоо язгуур нь бүхэл тоо байх болно. тоо m. Жишээ нь: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.
Хэрэв таны толгойд тооны хүчийг тооцоолох боломжгүй бол радикал тооны хүчин зүйлийг сонгохдоо ашиглана уу. Энэ нь ялангуяа үнэн юм үндэс m хоёроос их илтгэгчтэй. Хэрэв та интернетэд холбогдох боломжтой бол Google болон Nigma хайлтын системд суурилуулсан тооцоолуур ашиглан тооцоо хийх боломжтой. Жишээлбэл, хэрэв та куб тэмдгийн доороос гаргаж болох хамгийн том бүхэл тооны хүчин зүйлийг олох шаардлагатай бол үндэс 250 дугаарын хувьд, дараа нь Google-ийн вэб сайт руу орж "6^3" гэсэн асуултыг оруулаад тэмдгийн доороос үүнийг арилгах боломжтой эсэхийг шалгана уу. үндэсзургаа. Хайлтын систем 216-тай тэнцэх үр дүнг харуулах болно. Харамсалтай нь 250-г үлдэгдэлгүйгээр хувааж болохгүй. тоо. Дараа нь 5^3 гэсэн асуултыг оруулна уу. Үр дүн нь 125 байх бөгөөд энэ нь 250-ийг 125 ба 2-ын хүчин зүйл болгон хуваах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь үүнийг тэмдгээс хасна гэсэн үг юм. үндэс тоо 5, тэндээс явах тоо 2.
Эх сурвалжууд:
- үндсээс нь яаж гаргах вэ
- Бүтээгдэхүүний квадрат үндэс
Үүнийг доороос нь гарга үндэсхүчин зүйлүүдийн нэг нь математик илэрхийллийг хялбарчлах шаардлагатай нөхцөл байдалд зайлшгүй шаардлагатай. Тооцоологч ашиглан шаардлагатай тооцооллыг хийх боломжгүй үе байдаг. Жишээлбэл, тоонуудын оронд хувьсагчийн үсгийн тэмдэглэгээг ашигладаг бол.
Зааварчилгаа
Радикал илэрхийлэлийг энгийн хүчин зүйл болгон хуваа. Шалгуур үзүүлэлтүүдэд заасан хүчин зүйлсийн аль нь ижил тооны давтагдаж байгааг харна уу үндэс, болон түүнээс дээш. Жишээлбэл, та a-ийн дөрөв дэх үндсийг авах хэрэгтэй. Энэ тохиолдолд тоог a*a*a*a = a*(a*a*a)=a*a3 хэлбэрээр илэрхийлж болно. Үзүүлэлт үндэсэнэ тохиолдолд энэ нь тохирох болно хүчин зүйла3. Үүнийг тэмдэгээс гаргах хэрэгтэй.
Боломжтой бол үүссэн радикалуудын үндсийг тусад нь гаргаж авна. Олборлолт үндэсАлгебрийн үйлдэл нь экспонентацийн эсрэг байна. Олборлолт үндэсдурын хүчинтэй бол тухайн тооноос энэ дурын зэрэглэлд өсгөхөд өгөгдсөн тоог олох тоог ол. Хэрэв олборлолт үндэсүүсгэх боломжгүй бол радикал илэрхийлэлийг тэмдгийн доор үлдээнэ үү үндэсяг байгаагаараа. Дээрх үйлдлүүдийн үр дүнд та доороосоо хасагдах болно тэмдэг үндэс.
Сэдвийн талаархи видео
тэмдэглэл
Хүчин зүйлийн хэлбэрээр радикал илэрхийлэл бичихдээ болгоомжтой байгаарай - энэ үе шатанд гарсан алдаа нь буруу үр дүнд хүргэнэ.
Хэрэгтэй зөвлөгөө
Үндэсийг гаргаж авахдаа тусгай хүснэгт эсвэл логарифмын язгуур хүснэгтийг ашиглах нь тохиромжтой байдаг - энэ нь зөв шийдлийг олоход шаардагдах хугацааг эрс багасгах болно.
Эх сурвалжууд:
- 2019 онд үндэс олборлох тэмдэг
Дээд эрэмбийн тэгшитгэл, дифференциал, интеграл зэрэг математикийн олон салбарт алгебр илэрхийллийг хялбарчлах шаардлагатай байдаг. Хүчин зүйлчлэлийг оруулаад хэд хэдэн аргыг ашигладаг. Энэ аргыг хэрэглэхийн тулд та ерөнхий зүйлийг олж, хийх хэрэгтэй хүчин зүйлард хаалт.
Зааварчилгаа
Нийт үржүүлэгчийг хийж байна хаалт- задралын хамгийн түгээмэл аргуудын нэг. Энэ техникийг урт алгебр илэрхийллийн бүтцийг хялбарчлахад ашигладаг, i.e. олон гишүүнт. Ерөнхий тоо нь тоо, мономиал эсвэл хоёр тоо байж болох ба түүнийг олохын тулд үржүүлэхийн тархалтын шинж чанарыг ашиглана.
Тоо нь ижил тоогоор хуваагдах эсэхийг мэдэхийн тулд олон гишүүнт бүрийн коэффициентүүдийг анхааралтай ажигла. Жишээлбэл, 12 z³ + 16 z² – 4 илэрхийлэлд энэ нь тодорхой байна хүчин зүйл 4. Өөрчлөлтийн дараа та 4 (3 z³ + 4 z² - 1) авна. Өөрөөр хэлбэл, энэ тоо нь бүх коэффициентүүдийн хамгийн бага нийтлэг бүхэл хуваагч юм.
Олон гишүүнтийн гишүүн бүрд ижил хувьсагч байгаа эсэхийг тодорхойлно. Ийм байна гэж үзвэл одоо өмнөх тохиолдлын адил коэффициентүүдийг хар. Жишээ: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.
Энэ олон гишүүнтийн элемент бүр z хувьсагчтай. Үүнээс гадна бүх коэффициентүүд нь 3-ын үржвэртэй тоонууд юм. Тиймээс нийтлэг хүчин зүйл нь мономиал 3 z: 3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1) байх болно.
бином.For хаалтерөнхий хүчин зүйлхоёр, хувьсагч ба тоо нь нийтлэг олон гишүүнт юм. Тиймээс, хэрэв хүчин зүйл-биномиаль нь тодорхой биш бол та ядаж нэг үндэс олох хэрэгтэй. Олон гишүүнтийн чөлөөт гишүүнийг сонгох; энэ нь хувьсагчгүй коэффициент юм. Одоо чөлөөт гишүүний бүх бүхэл хуваагчдыг ерөнхий илэрхийлэлд орлуулах аргыг хэрэглээрэй.
z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. 4-ийн бүхэл тоон хүчин зүйлүүдийн аль нэг нь z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0 эсэхийг шалгана уу. Энгийн орлуулалтаар z1 = 1-ийг ол. болон z2 = 2 гэсэн утгатай хаалтбид (z - 1) болон (z - 2) биномуудыг устгаж болно. Үлдсэн илэрхийллийг олохын тулд дараалсан урт хуваалтыг ашиглана.
Математик, физикийн хичээлээс янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ сурагчид, оюутнууд ихэвчлэн хоёр, гурав, n-р зэргийн үндсийг гаргаж авах хэрэгцээтэй тулгардаг. Мэдээллийн технологийн эрин зуунд ийм асуудлыг тооцоолуур ашиглан шийдвэрлэхэд хэцүү биш нь мэдээж. Гэсэн хэдий ч цахим туслахыг ашиглах боломжгүй нөхцөл байдал үүсдэг.
Жишээлбэл, олон шалгалтанд электрон бараа авчрахыг зөвшөөрдөггүй. Үүнээс гадна таны гарт тооны машин байхгүй байж магадгүй юм. Ийм тохиолдолд радикалуудыг гараар тооцоолох ядаж хэдэн аргыг мэдэх нь ашигтай байдаг.
Үндэсийг тооцоолох хамгийн энгийн аргуудын нэг бол тусгай хүснэгт ашиглан. Энэ юу вэ, үүнийг хэрхэн зөв ашиглах вэ?
Хүснэгтийг ашигласнаар та 10-аас 99 хүртэлх тооны квадратыг олох боломжтой. Хүснэгтийн мөрүүд нь аравтын утгыг, багана нь нэгжийн утгыг агуулна. Мөр ба баганын огтлолцол дахь нүд нь хоёр оронтой тооны квадратыг агуулна. 63-ын квадратыг тооцоолохын тулд та 6-ийн утгатай мөр, 3-ын утгатай баганыг олох хэрэгтэй. Уулзвар дээр бид 3969 тоотой нүдийг олох болно.
Үндэсийг задлах нь квадратын урвуу үйлдэл тул энэ үйлдлийг гүйцэтгэхийн тулд та эсрэгээр нь хийх ёстой: эхлээд радикалыг нь тооцоолохыг хүссэн тоо бүхий нүдийг олоод хариултыг тодорхойлохын тулд багана, мөрийн утгыг ашиглана уу. . Жишээлбэл, 169-ийн квадрат язгуурыг тооцоолохыг бодоорой.
Хүснэгтээс бид ийм тоо бүхий нүдийг олж, хэвтээ байдлаар бид аравыг тодорхойлдог - 1, босоо байдлаар бид нэгжийг олдог - 3. Хариулт: √169 = 13.
Үүний нэгэн адил та тохирох хүснэгтүүдийг ашиглан шоо ба n-р үндэсийг тооцоолж болно.
Аргын давуу тал нь түүний энгийн байдал, нэмэлт тооцоо байхгүй байх явдал юм. Сул талууд нь тодорхой байна: энэ аргыг зөвхөн хязгаарлагдмал тооны тоонд ашиглах боломжтой (үндэс олдсон тоо нь 100-аас 9801 хооронд байх ёстой). Үүнээс гадна, өгөгдсөн тоо хүснэгтэд байхгүй бол ажиллахгүй.
Ерөнхий хүчин зүйлчлэл
Хэрэв квадратуудын хүснэгт байхгүй эсвэл түүний тусламжтайгаар үндсийг нь олох боломжгүй бол та оролдож болно. язгуурын доорх тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваана. Үндсэн хүчин зүйл нь зөвхөн өөртөө эсвэл нэгээр бүрэн (үлдэгдэлгүй) хуваагдах боломжтой хүчин зүйлүүд юм. Жишээ нь 2, 3, 5, 7, 11, 13 гэх мэт байж болно.
√576-г жишээ болгон ашиглан язгуурыг тооцоолох аргыг авч үзье. Үүнийг үндсэн хүчин зүйл болгон задалъя. Бид дараах үр дүнг авна: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Үндэс √a² = a үндсэн шинж чанарыг ашигласнаар бид үндэс, квадратаас салж, хариултыг тооцоолно: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.
Үржүүлэгчдийн аль нэг нь өөрийн хосгүй бол яах вэ? Жишээлбэл, √54-ийн тооцоог авч үзье. Үржүүлгийн дараа бид үр дүнг дараах хэлбэрээр олж авна: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Зөөврийн бус хэсгийг үндэс дор үлдээж болно. Ихэнх геометрийн болон алгебрийн асуудлын хувьд энэ хариултыг эцсийн хариулт гэж тооцно. Гэхдээ ойролцоо утгыг тооцоолох шаардлагатай бол доор хэлэлцэх аргуудыг ашиглаж болно.
Хероны арга
Та гаргаж авсан үндэс нь юутай тэнцүү болохыг дор хаяж ойролцоогоор мэдэх шаардлагатай үед (хэрэв бүхэл тоо авах боломжгүй бол) юу хийх вэ? Хероны аргыг ашиглан хурдан бөгөөд үнэн зөв үр дүнд хүрнэ. Үүний мөн чанар нь ойролцоогоор томъёог ашиглах явдал юм.
√R = √a + (R - a) / 2√a,
Энд R нь язгуурыг нь тооцоолох шаардлагатай тоо, a нь язгуур утга нь мэдэгдэж байгаа хамгийн ойрын тоо юм.
Энэ арга практикт хэрхэн хэрэгжиж байгааг харцгаая, энэ нь хэр үнэн зөв болохыг үнэлье. √111 нь хэдтэй тэнцүү болохыг тооцоолъё. Үндэс нь мэдэгдэж байгаа 111-тэй хамгийн ойр байгаа тоо нь 121. Тиймээс R = 111, a = 121. Томьёонд утгуудыг орлуулна уу:
√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.
Одоо аргын үнэн зөвийг шалгая:
10.55² = 111.3025.
Аргын алдаа нь ойролцоогоор 0.3 байсан. Хэрэв аргын нарийвчлалыг сайжруулах шаардлагатай бол та өмнө нь тайлбарласан алхмуудыг давтаж болно.
√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.
Тооцооллын үнэн зөвийг шалгая:
10.536² = 111.0073.
Томьёог дахин хэрэглэсний дараа алдаа нь огт ач холбогдолгүй болсон.
Урт хуваах замаар үндсийг тооцоолох
Квадрат язгуур утгыг олох энэ арга нь өмнөх аргуудаас арай илүү төвөгтэй юм. Гэсэн хэдий ч энэ нь тооцоолуургүйгээр тооцоолох бусад аргуудаас хамгийн зөв юм.
Та 4 аравтын орон хүртэлх квадрат язгуурыг зөв олох хэрэгтэй гэж бодъё. 1308.1912 дурын тооны жишээн дээр тооцооллын алгоритмыг шинжилье.
- Цаасан хуудсыг босоо шугамаар 2 хэсэгт хувааж, дээд ирмэгээс бага зэрэг доош баруун тийш өөр шугам зур. 2 оронтой бүлэгт хувааж, аравтын бутархайн баруун, зүүн тал руу шилжсэн тоог зүүн талд бичье. Зүүн талд байгаа хамгийн эхний цифр нь хосгүй байж болно. Хэрэв тооны баруун талд тэмдэг байхгүй бол та 0-ийг нэмэх хэрэгтэй. Манай тохиолдолд үр дүн нь 13 08.19 12 болно.
- Квадрат нь эхний бүлгийн цифрүүдээс бага буюу тэнцүү байх хамгийн том тоог сонгоцгооё. Манай тохиолдолд энэ нь 3. Баруун дээд талд бичье; 3 бол үр дүнгийн эхний цифр юм. Баруун доод талд бид 3 × 3 = 9 гэж заана; Энэ нь дараагийн тооцоололд шаардлагатай болно. Баганын 13-аас бид 9-ийг хасвал 4-ийн үлдэгдэл гарна.
- Дараагийн хос тоог 4-т үлдэгдэл тоогоор хуваарилъя; Бид 408 авдаг.
- Баруун дээд талд байгаа тоог 2-оор үржүүлээд баруун доод талд бичээд _ x _ = нэмнэ. Бид 6_ x _ = авна.
- Зураасны оронд 408-аас бага буюу тэнцүү тоог орлуулах хэрэгтэй. Бид 66 × 6 = 396 авна. Баруун дээд талаас 6 гэж бичнэ, учир нь энэ нь үр дүнгийн хоёр дахь цифр юм. 408-аас 396-г хасвал 12 болно.
- 3-6-р алхамуудыг давтъя. Доош шилжүүлсэн цифрүүд нь тооны бутархай хэсэгт байгаа тул 6-аас хойш баруун дээд буланд аравтын бутархай тавих шаардлагатай. Давхар үр дүнг зураасаар бичье: 72_ x _ =. Тохиромжтой тоо нь 1 байх болно: 721×1 = 721. Үүнийг хариулт болгон бичье. 1219 - 721 = 498-ыг хасъя.
- Шаардлагатай тооны аравтын бутархайг авахын тулд өмнөх догол мөрөнд өгөгдсөн үйлдлийн дарааллыг дахин гурван удаа хийцгээе. Хэрэв цаашдын тооцоололд хангалттай тэмдэгт байхгүй бол зүүн талд байгаа одоогийн тоонд хоёр тэг нэмэх шаардлагатай.
Үүний үр дүнд бид хариултыг авна: √1308.1912 ≈ 36.1689. Хэрэв та тооцоолуур ашиглан үйлдлийг шалгавал бүх шинж тэмдгүүдийг зөв тодорхойлсон эсэхийг шалгах боломжтой.
Битийн квадрат язгуурын тооцоо
Энэ арга нь өндөр нарийвчлалтай. Нэмж дурдахад энэ нь ойлгомжтой бөгөөд томъёо цээжлэх эсвэл үйлдлийн нарийн төвөгтэй алгоритм шаарддаггүй, учир нь аргын мөн чанар нь зөв үр дүнг сонгох явдал юм.
781 тооны үндсийг задалцгаая. Үйлдлийн дарааллыг нарийвчлан авч үзье.
- Квадрат язгуур утгын аль цифр нь хамгийн чухал болохыг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд 0, 10, 100, 1000 гэх мэтийг квадрат болгож, тэдгээрийн альнийх нь дунд радикал тоо байрлаж байгааг олж мэдье. Бид 10²-г авна< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
- Аравтын утгыг сонгоцгооё. Үүнийг хийхийн тулд бид 781-ээс их тоо гарах хүртлээ 10, 20, ..., 90-ын зэрэглэлийг ээлжлэн нэмэгдүүлнэ. Бидний хувьд 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900 болно. үр дүнгийн утга n нь 20 дотор байна< n <30.
- Өмнөх алхамтай адил нэгжийн цифрийн утгыг сонгоно. 21.22, ..., 29-ийг нэг нэгээр нь квадрат болгоцгооё: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² Бид = 7 82 гарна.< n < 28.
- Дараагийн цифр бүрийг (аравны нэг, зуутын нэг гэх мэт) дээр үзүүлсэнтэй ижил аргаар тооцоолно. Тооцооллыг шаардлагатай нарийвчлалд хүрэх хүртэл гүйцэтгэнэ.
Тооцоологчгүйгээр квадрат язгуурыг тооцоолох хэд хэдэн арга байдаг.
Тооны үндсийг хэрхэн олох вэ - 1 арга
- Нэг арга бол язгуур дор байгаа тоог хүчинжүүлэх явдал юм. Эдгээр бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг үржүүлснээр радикал утгыг бүрдүүлдэг. Үр дүнгийн нарийвчлал нь үндэс дор байгаа тооноос хамаарна.
- Жишээлбэл, хэрэв та 1,600 тоог авч, түүнийг хүчин зүйлээр ялгаж эхэлбэл үндэслэл нь дараах бүтэцтэй болно: энэ тоо нь 100-ын үржвэр бөгөөд энэ нь 25-д хуваагдах боломжтой гэсэн үг юм; 25-ын язгуурыг авсан тул тоо нь квадрат бөгөөд цаашдын тооцоололд тохиромжтой; хуваах үед бид өөр тоо авдаг - 64. Энэ тоо нь мөн дөрвөлжин, тиймээс үндсийг сайн гаргаж авах боломжтой; Эдгээр тооцооны дараа язгуур дор 1600 тоог 25 ба 64-ийн үржвэр болгон бичиж болно.
- Үндэс гаргаж авах дүрмийн нэг нь хүчин зүйлийн үржвэрийн язгуур нь хүчин зүйл бүрийн үндсийг үржүүлснээр олж авсан тоотой тэнцүү байна. Энэ нь: √(25*64) = √25 * √64 гэсэн үг. Хэрэв бид 25 ба 64-ийн үндсийг авбал дараах илэрхийллийг авна: 5 * 8 = 40. Өөрөөр хэлбэл 1600 тооны квадрат язгуур нь 40 байна.
- Гэхдээ үндэс дор байгаа тоог хоёр хүчин зүйл болгон задлах боломжгүй бөгөөд үүнээс үндсийг бүхэлд нь гаргаж авдаг. Дүрмээр бол үүнийг зөвхөн үржүүлэгчийн аль нэгэнд хийж болно. Тиймээс ихэнхдээ ийм тэгшитгэлд яг тодорхой хариулт олох боломжгүй байдаг.
- Энэ тохиолдолд зөвхөн ойролцоо утгыг тооцоолж болно. Тиймээс үржүүлэгчийн үндсийг авах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь квадрат тоо юм. Дараа нь энэ утгыг тэгшитгэлийн квадрат гишүүн биш хоёр дахь тооны язгуураар үржүүлнэ.
- Жишээлбэл, 320 гэсэн тоог авч үзье. Үүнийг 64 ба 5 болгон задалж болно. Та 64-өөс бүх үндсийг гаргаж болно, гэхдээ 5-аас биш. Тиймээс илэрхийлэл нь иймэрхүү харагдах болно: √320 = √(64*5) = √64*√5 = 8√5.
- Шаардлагатай бол та тооцоолсноор энэ үр дүнгийн ойролцоо утгыг олох боломжтой
√5 ≈ 2.236, тиймээс √320 = 8 * 2.236 = 17.88 ≈ 18. - Мөн язгуурын доорх тоог хэд хэдэн анхны хүчин зүйл болгон задалж, доороос нь ижил тоог гаргаж авч болно. Жишээ: √75 = √(5*5*3) = 5√3 ≈ 8.66 ≈ 9.
Тооны үндсийг хэрхэн олох вэ - 2-р арга
- Өөр нэг арга бол урт хуваах явдал юм. Хуваах нь ижил төстэй байдлаар явагддаг, гэхдээ та зүгээр л дөрвөлжин тоонуудыг хайх хэрэгтэй бөгөөд үүнээс та үндсийг гаргаж авах боломжтой.
- Энэ тохиолдолд бид дөрвөлжин тоог дээр нь бичиж, зүүн талд нь, доороос нь гаргаж авсан үндсийг хасна.
- Одоо хоёр дахь утгыг хоёр дахин нэмэгдүүлж, баруун доод талаас дараах хэлбэрээр бичих шаардлагатай: number_x_=. Цоорхойг зүүн талд шаардлагатай утгаас бага буюу тэнцүү тоогоор бөглөх ёстой - ердийн хуваалттай адил.
- Шаардлагатай бол энэ үр дүнг зүүн талаас дахин хасна. Ийм тооцоолол нь үр дүнд хүрэх хүртэл үргэлжилнэ. Та мөн аравтын бутархайн тоонд хүрэх хүртэл тэг нэмж болно.
Та математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд сайн орохыг хүсч байна уу? Дараа нь та хурдан, зөв, тооны машингүй тоолох чадвартай байх хэрэгтэй. Эцсийн эцэст, математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд оноо алдах гол шалтгаан нь тооцооллын алдаа юм.
Улсын нэгдсэн шалгалтын дүрмийн дагуу математикийн шалгалтын үеэр тооны машин ашиглахыг хориглоно. Үнэ нь хэтэрхий өндөр байж магадгүй - шалгалтаас хасах.
Үнэн хэрэгтээ танд математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд тооны машин хэрэггүй. Үүнгүйгээр бүх асуудал шийдэгддэг. Хамгийн гол нь анхаарал, нарийвчлал, зарим нууц арга техникийг бид танд хэлэх болно.
Гол дүрмээс эхэлцгээе. Хэрэв тооцооллыг хялбарчлах боломжтой бол хялбаршуулна уу.
Жишээлбэл, "чөтгөрийн тэгшитгэл" энд байна:
Төгсөгчдийн 70 хувь нь үүнийг шууд шийддэг. Тэд томъёог ашиглан ялгаварлагчийг тооцдог бөгөөд үүний дараа тооцоолуургүйгээр үндсийг гаргаж авах боломжгүй гэж хэлдэг. Гэхдээ та тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг хувааж болно. Энэ нь бүтэх болно
Аль арга нь илүү хялбар вэ? :-)
Олон сургуулийн сурагчид багана үржүүлэхэд дургүй байдаг. Дөрөвдүгээр ангид уйтгартай "жишээ" шийдвэрлэх нь хэнд ч таалагдаагүй. Гэсэн хэдий ч ихэнх тохиолдолд "багана"гүйгээр тоонуудыг дараалан үржүүлэх боломжтой байдаг. Энэ нь хамаагүй хурдан юм.
Бид жижиг цифрүүдээс эхэлдэггүй, харин том тоогоор эхэлдэг гэдгийг анхаарна уу. Энэ нь тухтай.
Одоо - хэлтэс. "Багананд" хуваах нь амаргүй. Гэхдээ хуваах тэмдэг: ба бутархай тэмдэг нь ижил зүйл гэдгийг санаарай. Үүнийг бутархай болгон бичээд бутархайг багасгая:
Өөр нэг жишээ.
Хоёр оронтой тоог хэрхэн хурдан, ямар ч баганагүйгээр квадрат болгох вэ? Бид үржүүлэх товчилсон томъёог ашигладаг:
Заримдаа өөр томъёог ашиглах нь тохиромжтой байдаг:
-ээр төгссөн тоонууд шууд квадрат болно.
Бид тооны квадратыг олох хэрэгтэй гэж бодъё ( - заавал тоо биш, ямар ч натурал тоо). Бид үржүүлж үр дүнд нь нэмнэ. Бүгд!
Жишээ нь: (болон хамааралтай).
(мөн холбоотой).
(мөн холбоотой).
Энэ арга нь зөвхөн квадрат болгоход төдийгүй -ээр төгссөн тоонуудын язгуурыг авахад тустай.
Хэрхэн тооцоолуургүйгээр квадрат язгуурыг гаргаж авах вэ? Бид танд хоёр аргыг зааж өгөх болно.
Эхний арга нь радикал илэрхийллийг хүчин зүйл болгон хуваах явдал юм.
Жишээлбэл, олъё
Тоо нь хуваагддаг (түүний цифрүүдийн нийлбэр нь -д хуваагддаг тул). Хүчин зүйлд тооцъё:
Олъё л доо. Энэ тоо нь -д хуваагддаг. Энэ нь бас хуваагддаг. Үүнийг ялгаж салгая.
Өөр нэг жишээ.
Хоёрдахь арга бий. Үндэсийг гаргаж авах шаардлагатай тоог хүчин зүйлээр тооцох боломжгүй бол тохиромжтой.
Жишээлбэл, та олох хэрэгтэй. Үндэс дор байгаа тоо нь сондгой, хуваагддаггүй, хуваагддаггүй, хуваагддаггүй... Та юунд хуваагддагийг үргэлжлүүлэн хайж болно, эсвэл үүнийг хялбархан хийж болно - энэ язгуурыг сонгох замаар олоорой. .
Мэдээжийн хэрэг, хоёр оронтой тоо квадрат байсан бөгөөд энэ нь тоонуудын хооронд, , оноос хойш, , тоо нь тэдгээрийн хооронд байна. Бид хариултын эхний цифрийг аль хэдийн мэддэг, энэ нь .
Тооны сүүлийн орон нь . Учир нь , , хариултын сүүлчийн орон нь аль эсвэл , эсвэл . Шалгацгаая:
. Боллоо!
Олъё л доо.
Энэ нь хариултын эхний орон нь тав гэсэн үг юм.
Тооны сүүлчийн орон нь ес юм. , . Энэ нь хариултын сүүлчийн орон нь аль эсвэл , эсвэл гэсэн үг юм.
Шалгацгаая:
Хэрэв язгуурыг гаргаж авах шаардлагатай тоо нь эсвэл -ээр төгссөн бол түүний квадрат язгуур нь иррационал тоо болно. Учир нь бүхэл тоон квадрат эсвэл -ээр төгсдөггүй. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын зарим асуудлын хариултыг бүхэл тоо эсвэл эцсийн аравтын бутархай хэлбэрээр бичих ёстой, өөрөөр хэлбэл оновчтой тоо байх ёстой гэдгийг санаарай.
Бид квадрат тэгшитгэлийг Улсын нэгдсэн шалгалтын асуудал, хувилбарууд, түүнчлэн хэсэг хэсгүүдэд тулгардаг. Тэд ялгагчийг тоолж, дараа нь үндсийг нь гаргаж авах хэрэгтэй. Таван оронтой тооноос үндэс хайх шаардлагагүй. Ихэнх тохиолдолд ялгаварлагчийг хүчин зүйлээр ангилж болно.
Жишээлбэл, Eq.
Үндэс дор байгаа илэрхийллийг хүчин зүйлээр ангилж болох өөр нэг нөхцөл байдлыг асуудлаас авсан болно.
Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз нь тэнцүү, нэг хөл нь тэнцүү, хоёр дахь хөлийг ол.
Пифагорын теоремоор энэ нь тэнцүү байна. Та багананд удаан хугацаагаар тоолж болно, гэхдээ товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглах нь илүү хялбар байдаг.
Одоо бид танд хамгийн сонирхолтой зүйлийг хэлэх болно - яагаад төгсөгчид Улсын нэгдсэн шалгалтанд үнэ цэнэтэй оноогоо алддаг вэ? Эцсийн эцэст, тооцооллын алдаа зүгээр л тохиолддоггүй.
1 . Оноо алдах найдвартай арга бол ямар нэг зүйлийг засч залруулж, зураастай эсвэл нэг тоог нөгөө дээр нь бичсэн болхи тооцоолол юм. Өөрийн ноорогуудыг хараарай. Магадгүй тэд адилхан харагдаж байна уу? :-)
Гаргацтай бичээрэй! Цаасан дээр битгий харамлаарай. Хэрэв ямар нэг зүйл буруу байвал нэг дугаарыг өөр тоогоор засах хэрэггүй, дахин бичих нь дээр.
2. Зарим нэг шалтгааны улмаас олон сургуулийн сурагчид баганаар тоолохдоо 1) маш, маш хурдан, 2) маш цөөн тоогоор, дэвтэрийнхээ буланд, 3) харандаагаар хийхийг хичээдэг. Үр дүн нь:
Юу ч гаргаж ирэх боломжгүй. Тэгэхээр Улсын нэгдсэн шалгалтын оноо төсөөлж байснаас доогуур гарсанд гайхах зүйл байна уу?
3. Олон сургуулийн сурагчид хэллэг дэх хашилтыг үл тоомсорлодог. Заримдаа ийм зүйл тохиолддог:
Тэнцүү тэмдгийг хаана ч биш, зөвхөн тэнцүү утгын хооронд байрлуулна гэдгийг санаарай. Ноорог хэлбэрээр ч гэсэн зөв бичээрэй.
4 . Асар их тооны тооцооллын алдаа нь бутархайтай холбоотой байдаг. Хэрэв та бутархайг бутархайд хувааж байгаа бол юуг ашиглана уу
Энд "гамбургер", өөрөөр хэлбэл олон давхар бутархай зурсан байна. Энэ аргыг ашиглан зөв хариултыг олоход маш хэцүү байдаг.
Дүгнэж хэлье.
Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын профайлын эхний хэсгийн даалгаврыг шалгах нь автоматаар хийгддэг. Энд "бараг зөв" хариулт алга. Нэг бол түүний зөв эсвэл буруу. Тооцооллын нэг алдаа - сайн уу, даалгавар тооцохгүй. Тиймээс хурдан, зөв, тооны машингүйгээр тоолж сурах нь таны сонирхол юм.
Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын профайлын хоёрдугаар хэсгийн даалгаврыг шинжээч шалгана. Түүнийг халамжил! Түүнд таны гар бичмэл болон шийдвэрийн логикийг хоёуланг нь ойлгоорой.