Олон хүмүүс тийм биш учраас энэ сэдэв эхэндээ хэцүү мэт санагдаж магадгүй юм энгийн томъёонууд. Квадрат тэгшитгэлүүд өөрөө урт тэмдэглэгээтэй байхаас гадна язгуурууд нь ялгаварлагчаар дамжин олддог. Нийтдээ гурван шинэ томьёог олж авлаа. Санахад тийм ч амар биш. Ийм тэгшитгэлийг байнга шийдэж байж л энэ нь боломжтой юм. Дараа нь бүх томъёог өөрөө санах болно.
Квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий ойлголт
Энд бид тэдний ил тод бичлэгийг санал болгож байна, хамгийн их үед өндөр зэрэгтэйэхлээд, дараа нь буурах дарааллаар бичнэ. Нөхцөл байдал нь хоорондоо нийцэхгүй байх тохиолдол их байдаг. Дараа нь хувьсагчийн зэрэг буурах дарааллаар тэгшитгэлийг дахин бичих нь дээр.
Зарим тэмдэглэгээг танилцуулъя. Тэдгээрийг доорх хүснэгтэд үзүүлэв.
Хэрэв бид эдгээр тэмдэглэгээг хүлээн авбал бүх квадрат тэгшитгэлийг дараах тэмдэглэгээ болгон бууруулна.
Үүнээс гадна коэффициент нь a ≠ 0. Энэ томьёог нэгдүгээрт тэмдэглэе.
Тэгшитгэл өгөхөд хариултанд хэдэн үндэс байх нь тодорхойгүй. Учир нь гурван сонголтын аль нэг нь үргэлж боломжтой байдаг:
- шийдэл нь хоёр үндэстэй байх болно;
- хариулт нь нэг тоо байх болно;
- тэгшитгэл нь огт үндэсгүй болно.
Шийдвэр эцэслэн гарах хүртэл тодорхой тохиолдолд аль хувилбар гарч ирэхийг ойлгоход хэцүү байдаг.
Квадрат тэгшитгэлийн бичлэгийн төрлүүд
Даалгавруудад өөр өөр оруулгууд байж болно. Тэд үргэлж квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий томьёо шиг харагдахгүй. Заримдаа энэ нь зарим нэр томъёог орхигдуулдаг. Дээр бичсэн зүйл бол бүрэн тэгшитгэл юм. Хэрэв та хоёр, гурав дахь нэр томъёог хасвал өөр зүйл гарч ирнэ. Эдгээр бүртгэлийг квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг бөгөөд зөвхөн бүрэн бус байна.
Түүнээс гадна зөвхөн "b" ба "c" коэффициент бүхий нэр томъёо алга болно. "a" тоо ямар ч тохиолдолд тэгтэй тэнцүү байж болохгүй. Учир нь энэ тохиолдолд томъёо нь болдог шугаман тэгшитгэл. Бүрэн бус хэлбэрийн тэгшитгэлийн томъёо нь дараах байдалтай байна.
Тиймээс, зөвхөн хоёр төрөл байдаг бөгөөд бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүд байдаг. Эхний томьёо нь хоёр, хоёр дахь нь гурав байна.
Үндэсийн тоог ялгаварлан гадуурхах, түүний үнэ цэнээс хамаарал
Тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолохын тулд та энэ тоог мэдэх хэрэгтэй. Квадрат тэгшитгэлийн томьёо нь ямар ч байсан үүнийг үргэлж тооцоолж болно. Ялгаварлан гадуурхагчийг тооцоолохын тулд доор бичсэн тэгш байдлыг ашиглах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь дөрөв байх болно.
Энэ томъёонд коэффициентийн утгыг орлуулсны дараа та тоонуудыг авч болно өөр өөр шинж тэмдэг. Хэрэв хариулт нь тийм бол тэгшитгэлийн хариулт нь хоёр өөр үндэс болно. Хэрэв тоо сөрөг байвал квадрат тэгшитгэлийн үндэс байхгүй болно. Хэрэв тэгтэй тэнцүү бол зөвхөн нэг хариулт байх болно.
Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?
Уг нь энэ асуудлыг хэлэлцэж эхэлсэн. Учир нь эхлээд ялгагчийг олох хэрэгтэй. Квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа бөгөөд тэдгээрийн тоо тодорхой болсны дараа та хувьсагчийн томъёог ашиглах хэрэгтэй. Хэрэв хоёр үндэс байгаа бол та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй.
Энэ нь "±" тэмдэг агуулсан тул хоёр утга байх болно. Квадрат язгуур тэмдгийн доорх илэрхийлэл нь ялгаварлагч юм. Тиймээс томъёог өөрөөр дахин бичиж болно.
Тавдугаар томъёо. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгтэй тэнцүү бол хоёр үндэс нь ижил утгыг авах нь ижил бүртгэлээс тодорхой байна.
Хэрэв квадрат тэгшитгэлийг шийдэж амжаагүй бол ялгах болон хувьсах томъёог хэрэглэхээсээ өмнө бүх коэффициентүүдийн утгыг бичих нь дээр. Хожим нь энэ мөч нь хүндрэл учруулахгүй. Гэхдээ эхэндээ будлиантай байдаг.
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?
Энд бүх зүйл илүү хялбар болсон. Нэмэлт томъёолол ч хэрэггүй. Мөн ялгаварлагч болон үл мэдэгдэх хүмүүст аль хэдийн бичигдсэн зүйлүүд хэрэггүй болно.
Эхлээд авч үзье бүрэн бус тэгшитгэлхоёрдугаарт. Энэ тэгшитгэлд хаалтанд үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг гаргаж, шугаман тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай бөгөөд энэ нь хаалтанд үлдэх болно. Хариулт нь хоёр үндэстэй байх болно. Эхнийх нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой, учир нь хувьсагчаас бүрдэх үржүүлэгч байдаг. Хоёр дахь нь шугаман тэгшитгэлийг шийдэх замаар олж авна.
Гурав дахь бүрэн бус тэгшитгэлийг тэгшитгэлийн зүүн талаас баруун тийш шилжүүлснээр шийднэ. Дараа нь үл мэдэгдэх рүү чиглэсэн коэффициентээр хуваах хэрэгтэй. Үлдсэн зүйл бол квадрат язгуурыг гаргаж аваад эсрэг тэмдгээр хоёр удаа бичихээ мартуузай.
Квадрат тэгшитгэл болж хувирдаг бүх төрлийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурахад тань туслах зарим үйлдлүүдийг доор харуулав. Тэд сурагчийг анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж алдаа гаргахаас зайлсхийхэд тусална. Эдгээр дутагдал нь өргөн сэдвийг судлахад муу үнэлгээ авахад хүргэдэг." Квадрат тэгшитгэл(8-р анги). Дараа нь эдгээр үйлдлүүдийг байнга хийх шаардлагагүй болно. Учир нь тогтвортой ур чадвар гарч ирнэ.
- Эхлээд та тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр бичих хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, эхлээд хувьсагчийн хамгийн том зэрэгтэй нэр томъёо, дараа нь зэрэггүй, хамгийн сүүлд - зүгээр л тоо.
- Хэрэв "a" коэффициентийн өмнө хасах тэмдэг гарч ирвэл энэ нь квадрат тэгшитгэлийг судалж эхэлж буй хүмүүсийн ажлыг хүндрүүлж болзошгүй юм. Үүнээс салсан нь дээр. Үүний тулд бүх тэгш байдлыг "-1" -ээр үржүүлэх ёстой. Энэ нь бүх нэр томьёо эсрэгээрээ тэмдгийг өөрчилнө гэсэн үг юм.
- Үүнтэй адилаар фракцаас салах нь зүйтэй. Тэгшитгэлийг тохирох хүчин зүйлээр үржүүлснээр хуваагч хүчингүй болно.
Жишээ
Дараах квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шаардлагатай.
x 2 − 7x = 0;
15 − 2x − x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
Эхний тэгшитгэл: x 2 − 7x = 0. Энэ нь бүрэн бус тул хоёр дахь томьёоны дагуу шийдэгдэнэ.
Үүнийг хаалтнаас гаргасны дараа: x (x - 7) = 0 болно.
Эхний үндэс нь дараах утгыг авна: x 1 = 0. Хоёр дахь нь шугаман тэгшитгэлээс олно: x - 7 = 0. x 2 = 7 гэдгийг харахад хялбар байдаг.
Хоёр дахь тэгшитгэл: 5x 2 + 30 = 0. Дахин бүрэн бус. Гурав дахь томъёонд тайлбарласны дагуу зөвхөн үүнийг шийднэ.
30-ыг тэгшитгэлийн баруун тал руу шилжүүлсний дараа: 5х 2 = 30. Одоо та 5-д хуваах хэрэгтэй. Энэ нь: x 2 = 6. Хариултууд нь тоонууд байх болно: x 1 = √6, x 2 = - √6.
Гурав дахь тэгшитгэл: 15 − 2x − x 2 = 0. Энд ба цаашлаад квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр дахин бичиж эхлэх болно: − x 2 − 2x + 15 = 0. Одоо хоёр дахь тэгшитгэлийг ашиглах цаг болжээ. хэрэгтэй зөвлөгөөтэгээд бүгдийг хасах нэгээр үржүүлнэ. Энэ нь болж байна x 2 + 2x - 15 = 0. Дөрөв дэх томьёог ашиглан та ялгаварлагчийг тооцоолох хэрэгтэй: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Энэ нь эерэг тоо юм. Дээр дурдсанаас харахад тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болох нь харагдаж байна. Тэдгээрийг тав дахь томьёог ашиглан тооцоолох шаардлагатай. Эндээс харахад x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Дараа нь x 1 = 3, x 2 = - 5 болно.
Дөрөв дэх тэгшитгэл x 2 + 8 + 3x = 0 нь дараах байдлаар хувирав: x 2 + 3x + 8 = 0. Түүний ялгах утга нь энэ утгатай тэнцүү байна: -23. Энэ тоо сөрөг байгаа тул энэ даалгаврын хариулт нь "Ямар ч үндэс байхгүй" гэсэн оруулга байх болно.
Тав дахь тэгшитгэл 12x + x 2 + 36 = 0-ийг дараах байдлаар дахин бичих хэрэгтэй: x 2 + 12x + 36 = 0. Дискриминантийн томъёог хэрэглэсний дараа тэг тоо гарна. Энэ нь нэг үндэстэй болно гэсэн үг, тухайлбал: x = -12/ (2 * 1) = -6.
Зургаа дахь тэгшитгэл (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) нь хувиргалтыг шаарддаг бөгөөд энэ нь та ижил төстэй нэр томъёог авчирч, эхлээд хаалт нээх хэрэгтэй гэсэн үг юм. Эхнийх нь оронд дараах илэрхийлэл байх болно: x 2 + 2x + 1. Тэгш байдлын дараа энэ оруулга гарч ирнэ: x 2 + 3x + 2. Ижил нэр томъёог тоолсны дараа тэгшитгэл нь: x 2 хэлбэртэй болно. - x = 0. Энэ нь бүрэн бус болсон. Үүнтэй төстэй зүйлийг аль хэдийн арай дээр хэлэлцсэн. Үүний үндэс нь 0 ба 1 тоонууд байх болно.
Квадрат тэгшитгэл - шийдвэрлэхэд хялбар! *Цаашид “КУ” гэж нэрлэнэ.Найзууд аа, математикт ийм тэгшитгэлийг шийдэхээс илүү хялбар зүйл байхгүй юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ олон хүн түүнтэй холбоотой асуудалтай байгааг надад нэг зүйл хэлсэн. Яндекс сард хэдэн эрэлт хэрэгцээтэй сэтгэгдэл төрүүлж байгааг харахаар шийдсэн. Юу болсныг хараарай:
Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь сард 70,000 орчим хүн хайж байна гэсэн үг энэ мэдээлэл, энэ зун үүнд ямар хамаатай вэ, дунд нь юу болох вэ хичээлийн жил- хоёр дахин их хүсэлт байх болно. Энэ нь гайхах зүйл биш, учир нь эртнээс сургуулиа төгсөж, улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлдэж байгаа охид, залуус энэ мэдээллийг хайж байгаа бөгөөд сургуулийн сурагчид ч ой санамжаа сэргээхийг хичээдэг.
Энэ тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх талаар олон сайтууд байдаг ч би бас хувь нэмрээ оруулж, материалыг нийтлэхээр шийдсэн. Нэгдүгээрт, энэ хүсэлтийн дагуу зочдыг миний сайтад ирээсэй гэж хүсч байна; хоёрдугаарт, бусад нийтлэлүүдэд "KU" сэдэв гарч ирэхэд би энэ нийтлэлийн холбоосыг өгөх болно; Гуравдугаарт, би түүний шийдлийн талаар бусад сайтууд дээр бичсэнээс арай илүү зүйлийг хэлэх болно. Эхэлцгээе!Нийтлэлийн агуулга:
Квадрат тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм.
a коэффициентүүд,бба c нь дурын тоо, a≠0.
IN сургуулийн курсматериалыг дараахь хэлбэрээр өгсөн болно - тэгшитгэлийг гурван ангилалд хуваана.
1. Тэд хоёр үндэстэй.
2. *Ганц үндэстэй байх.
3. Тэд ямар ч үндэсгүй. Тэд жинхэнэ үндэсгүй гэдгийг энд тэмдэглэх нь зүйтэй
Үндэсийг хэрхэн тооцдог вэ? Зүгээр л!
Бид ялгаварлагчийг тооцдог. Энэхүү "аймшигтай" үгийн дор маш энгийн томъёо нуугдаж байна:
Үндсэн томъёо нь дараах байдалтай байна.
*Та эдгээр томъёог цээжээр мэддэг байх хэрэгтэй.
Та нэн даруй бичиж, шийдэж болно:
Жишээ:
1. Хэрэв D > 0 бол тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байна.
2. Хэрэв D = 0 бол тэгшитгэл нь нэг үндэстэй байна.
3. Хэрэв Д< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Тэгшитгэлийг харцгаая:
Үүнтэй холбоотойгоор ялгаварлан гадуурхагч нь 0-тэй тэнцүү байх үед сургуулийн курс нэг язгуурыг авсан гэж хэлдэг, энд есөнтэй тэнцүү байна. Бүх зүйл зөв, тийм, гэхдээ ...
Энэ санаа нь зарим талаараа буруу юм. Үнэн хэрэгтээ хоёр үндэс байдаг. Тийм ээ, тийм ээ, та гайхах хэрэггүй, та хоёр тэнцүү язгуурыг авах бөгөөд математикийн хувьд нарийвчлалтай бол хариулт нь хоёр үндэс бичих ёстой:
x 1 = 3 x 2 = 3
Гэхдээ энэ нь тийм юм - жижиг ухралт. Сургууль дээр үүнийг бичээд нэг үндэстэй гэж хэлж болно.
Одоо дараагийн жишээ:
Бидний мэдэж байгаагаар сөрөг тооны язгуурыг авч болохгүй, тиймээс шийдэл нь энэ тохиолдолдҮгүй
Энэ бол бүх шийдвэр гаргах үйл явц юм.
Квадрат функц.
Энэ шийдэл нь геометрийн хувьд ямар байгааг харуулж байна. Үүнийг ойлгох нь туйлын чухал юм (ирээдүйд бид нэг өгүүлэлд квадрат тэгш бус байдлын шийдлийг нарийвчлан шинжлэх болно).
Энэ нь маягтын функц юм:
Энд x ба y нь хувьсагч юм
a, b, c – ≠ 0-тэй өгөгдсөн тоонууд
График нь парабол юм:
Өөрөөр хэлбэл, тэгтэй тэнцүү "y" квадрат тэгшитгэлийг шийдснээр бид параболын х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг олдог. Эдгээр цэгүүдийн хоёр (ялгаварлагч нь эерэг), нэг нь (ялгаварлагч нь тэг), аль нь ч биш (ялгаварлагч нь сөрөг) байж болно. тухай дэлгэрэнгүй квадрат функц харж болноИнна Фельдманы нийтлэл.
Жишээнүүдийг харцгаая:
Жишээ 1: Шийдэх 2x 2 +8 x–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Хариулт: x 1 = 8 x 2 = –12
*Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг нэн даруй 2-т хуваах, өөрөөр хэлбэл хялбаршуулах боломжтой байсан. Тооцоолол нь илүү хялбар байх болно.
Жишээ 2: Шийдэх x 2–22 x+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Бид x 1 = 11 ба x 2 = 11 гэдгийг олж мэдсэн
Хариултанд x = 11 гэж бичихийг зөвшөөрнө.
Хариулт: x = 11
Жишээ 3: Шийдэх x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Ялгаварлагч нь сөрөг, бодит тоонд шийдэл байхгүй.
Хариулт: шийдэл байхгүй
Ялгаварлагч нь сөрөг байна. Шийдэл бий!
Сөрөг ялгаварлагчийг олж авсан тохиолдолд тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар энд ярих болно. Та комплекс тоонуудын талаар мэдэх үү? Тэд яагаад, хаанаас үүссэн, математик дахь тэдний үүрэг, хэрэгцээ юу болох талаар би энд дэлгэрэнгүй ярихгүй.
Комплекс тооны тухай ойлголт.
Бага зэрэг онол.
Комплекс тоо z нь хэлбэрийн тоо юм
z = a + bi
a ба b нь бодит тоо, i нь төсөөллийн нэгж гэж нэрлэгддэг.
a+bi – энэ бол нэмэлт биш ГАНЦ ДУГААР.
Төсөөллийн нэгж нь хасах нэгийн үндэстэй тэнцүү байна.
Одоо тэгшитгэлийг авч үзье:
Бид хоёр коньюгат үндэс авдаг.
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл.
Онцгой тохиолдлуудыг авч үзье, энэ нь "b" эсвэл "c" коэффициент нь тэгтэй тэнцүү (эсвэл хоёулаа тэгтэй тэнцүү). Тэдгээрийг ямар ч ялгаварлан гадуурхах асуудалгүйгээр амархан шийдэж болно.
Тохиолдол 1. Коэффицент b = 0.
Тэгшитгэл нь дараах байдалтай болно.
Өөрчлүүлье:
Жишээ:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Тохиолдол 2. Коэффицент c = 0.
Тэгшитгэл нь дараах байдалтай болно.
Хувиргаж, хүчин зүйл ангилъя:
*Хүчин зүйлийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү байх үед бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна.
Жишээ:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 эсвэл x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Тохиолдол 3. Коэффициент b = 0 ба c = 0.
Энд тэгшитгэлийн шийдэл үргэлж x = 0 байх нь тодорхой байна.
Ашигтай шинж чанарууд ба коэффициентүүдийн хэв маяг.
Том коэффициент бүхий тэгшитгэлийг шийдвэрлэх боломжийг олгодог шинж чанарууд байдаг.
Аx 2 + bx+ в=0 тэгш байдал хадгалагдана
а + б+ c = 0,Тэр
- хэрэв тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн хувьд Аx 2 + bx+ в=0 тэгш байдал хадгалагдана
а+ s =б, Тэр
Эдгээр шинж чанарууд нь шийдвэр гаргахад тусална тодорхой төрөлтэгшитгэл.
Жишээ 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
Боломжийн нийлбэр нь 5001+( – 4995)+(– 6) = 0 гэсэн үг
Жишээ 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0
Тэгш байдал хадгалагдана а+ s =б, гэсэн үг
Коэффициентуудын зүй тогтол.
1. Хэрэв ax 2 + bx + c = 0 тэгшитгэлд “b” коэффициент нь (a 2 +1), “c” коэффициент нь “a” коэффициенттэй тоон хувьд тэнцүү бол түүний язгуурууд тэнцүү байна.
сүх 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Жишээ. 6x 2 + 37x + 6 = 0 тэгшитгэлийг авч үзье.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Хэрэв ax 2 – bx + c = 0 тэгшитгэлд “b” коэффициент нь (a 2 +1), “c” коэффициент нь “a” коэффициенттэй тоон хувьд тэнцүү бол түүний язгуурууд тэнцүү байна.
сүх 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Жишээ. 15x 2 –226x +15 = 0 тэгшитгэлийг авч үзье.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Хэрэв тэгшитгэлд байгаа бол. ax 2 + bx – c = 0 коэффициент “b” тэнцүү байна (a 2 – 1) ба “c” коэффициент тоон хувьд “a” коэффициенттэй тэнцүү, тэгвэл түүний үндэс тэнцүү байна
сүх 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Жишээ. 17x 2 +288x – 17 = 0 тэгшитгэлийг авч үзье.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Хэрэв ax 2 – bx – c = 0 тэгшитгэлд “b” коэффициент нь (a 2 – 1), c коэффициент нь “a” коэффициенттэй тоон хувьд тэнцүү бол түүний язгуурууд тэнцүү байна.
сүх 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Жишээ. 10x 2 – 99x –10 = 0 тэгшитгэлийг авч үзье.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
Вьетагийн теорем.
Виетийн теорем нь Францын алдарт математикч Франсуа Витагийн нэрээр нэрлэгдсэн. Виетийн теоремыг ашиглан бид дурын KU-ийн язгууруудын нийлбэр ба үржвэрийг түүний коэффициентээр илэрхийлж болно.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Нийтдээ 14 тоо нь зөвхөн 5 ба 9-ийг өгдөг. Эдгээр нь үндэс юм. Тодорхой ур чадвараар танилцуулсан теоремыг ашиглан олон квадрат тэгшитгэлийг шууд амаар шийдэж чадна.
Үүнээс гадна Виетийн теорем. Энэ нь квадрат тэгшитгэлийг ердийн аргаар (дискриминантаар) шийдсэний дараа үүссэн үндсийг шалгаж болох тул тохиромжтой. Би үүнийг үргэлж хийхийг зөвлөж байна.
ТЭЭВЭРЛЭХ АРГА
Энэ аргын тусламжтайгаар "а" коэффициентийг "шидсэн" мэт чөлөөт нэр томъёогоор үржүүлдэг тул үүнийг нэрлэдэг. "шилжүүлэх" арга.Энэ аргыг Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийн язгуурыг хялбархан олох боломжтой, хамгийн чухал нь ялгаварлагч нь яг квадрат байх үед ашигладаг.
Хэрэв А± b+c≠ 0, дараа нь шилжүүлэх техникийг ашиглана, жишээ нь:
2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Виетийн теоремыг (2) тэгшитгэлд ашигласнаар x 1 = 10 x 2 = 1 гэдгийг тодорхойлоход хялбар байдаг.
Тэгшитгэлийн үр дүнд үүссэн үндсийг 2-т хуваах ёстой (хоёр нь x 2-оос "шидэгдсэн" тул) бид олж авна.
x 1 = 5 x 2 = 0.5.
Үндэслэл нь юу вэ? Юу болоод байгааг хар л даа.
(1) ба (2) тэгшитгэлийн ялгаварлагч нь тэнцүү байна:
Хэрэв та тэгшитгэлийн үндсийг харвал та зөвхөн өөр хуваагчийг авах бөгөөд үр дүн нь x 2 коэффициентээс яг хамаарна.
Хоёр дахь (өөрчлөгдсөн) нь 2 дахин том үндэстэй.
Тиймээс бид үр дүнг 2-т хуваана.
*Хэрэв бид гурвыг дахин оруулбал үр дүнг 3-т хуваана гэх мэт.
Хариулт: x 1 = 5 x 2 = 0.5
кв. ur-ie болон Улсын нэгдсэн шалгалт.
Үүний ач холбогдлын талаар би товчхон хэлье - ТА хурдан бөгөөд бодолгүйгээр ШИЙДВЭРЛЭХ ЧАДВАРТАЙ байх ёстой, та үндэс, ялгаварлагчийн томъёог цээжээр мэддэг байх ёстой. Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаварт багтсан олон асуудал нь квадрат тэгшитгэлийг (геометрийн) шийдвэрлэхэд хүргэдэг.
Анхаарах зүйл!
1. Тэгшитгэл бичих хэлбэр нь “далд” байж болно. Жишээлбэл, дараахь оруулга хийх боломжтой.
15+ 9x 2 - 45x = 0 эсвэл 15x+42+9x 2 - 45x=0 эсвэл 15 -5x+10x 2 = 0.
Чи түүнийг авчрах хэрэгтэй стандарт харагдах байдал(шийдвэр гаргахдаа төөрөлдөхгүйн тулд).
2. X нь үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн бөгөөд үүнийг өөр ямар ч үсгээр тэмдэглэж болно гэдгийг санаарай - t, q, p, h болон бусад.
", өөрөөр хэлбэл, нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлүүд. Энэ хичээл дээр бид үзэх болно үүнийг квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэгмөн үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар.
Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ?
Чухал!
Тэгшитгэлийн зэрэг нь үл мэдэгдэх зүйл байх хамгийн дээд зэргээр тодорхойлогддог.
Хэрэв үл мэдэгдэх хамгийн их хүч нь "2" бол квадрат тэгшитгэлтэй болно.
Квадрат тэгшитгэлийн жишээ
- 5x 2 − 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0.25x = 0
- x 2 − 8 = 0
Чухал! Квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэр нь дараах байдалтай байна.
A x 2 + b x + c = 0
"a", "b", "c" гэсэн тоонууд өгөгдсөн.- "a" нь эхний буюу хамгийн өндөр коэффициент;
- "b" нь хоёр дахь коэффициент;
- "c" нь чөлөөт гишүүн юм.
"a", "b", "c"-ийг олохын тулд та тэгшитгэлээ "ax 2 + bx + c = 0" квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэртэй харьцуулах хэрэгтэй.
Квадрат тэгшитгэлийн "a", "b", "c" коэффициентийг тодорхойлох дадлага хийцгээе.
| Тэгшитгэл | Магадлал | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a = −1
- b = 1
- c =
1 3
- a = 1
- b = 0.25
- c = 0
- a = 1
- b = 0
- c = -8
Квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ
Шугаман тэгшитгэлээс ялгаатай нь квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тусгай аргыг ашигладаг. үндсийг олох томъёо.
Санаж байна уу!
Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.
- квадрат тэгшитгэлийг бууруулна ерөнхий дүр төрх"сүх 2 + bx + c = 0".
- Энэ нь баруун талд зөвхөн "0" үлдэх ёстой;
үндэс нь томъёог ашиглах:
Квадрат тэгшитгэлийн үндсийг олохын тулд томъёог хэрхэн ашиглах жишээг харцгаая. Квадрат тэгшитгэлийг шийдье.
X 2 − 3x − 4 = 0 “x 2 − 3x − 4 = 0” тэгшитгэлийг “ax 2 + bx + c = 0” ерөнхий хэлбэрт аль хэдийн багасгасан бөгөөд нэмэлт хялбарчлах шаардлагагүй. Үүнийг шийдэхийн тулд бид өргөдөл гаргахад л хангалттай.
квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томьёо
Энэ тэгшитгэлийн “a”, “b”, “c” коэффициентүүдийг тодорхойлъё.
Энэ тэгшитгэлийн “a”, “b”, “c” коэффициентүүдийг тодорхойлъё.
Энэ тэгшитгэлийн “a”, “b”, “c” коэффициентүүдийг тодорхойлъё.
Энэ тэгшитгэлийн “a”, “b”, “c” коэффициентүүдийг тодорхойлъё.
x 1;2 =
Үүнийг ямар ч квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.
“x 1;2 =” томьёоны хувьд радикал илэрхийлэл нь ихэвчлэн солигддог
"D" үсгийн хувьд "b 2 - 4ac" бөгөөд ялгаварлагч гэж нэрлэдэг. Ялгаварлагчийн тухай ойлголтыг "Ялгаварлагч гэж юу вэ" хичээл дээр илүү дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.
Квадрат тэгшитгэлийн өөр нэг жишээг авч үзье.
x 2 + 9 + x = 7x
Энэ хэлбэрээр "a", "b" ба "c" коэффициентийг тодорхойлоход нэлээд хэцүү байдаг. Эхлээд тэгшитгэлийг “ax 2 + bx + c = 0” ерөнхий хэлбэрт оруулъя.
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
Одоо та үндэст зориулсан томъёог ашиглаж болно.
X 1;2 =
X 1;2 =
X 1;2 =
x 1;2 =
| 6 |
| 2 |
x =
x = 3
Хариулт: x = 3
Квадрат тэгшитгэл нь үндэсгүй байх тохиолдол байдаг. Томъёоны үндэс дор сөрөг тоо байгаа тохиолдолд ийм нөхцөл байдал үүсдэг.
"Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" сэдвийг үргэлжлүүлснээр энэ нийтлэл дэх материал нь квадрат тэгшитгэлтэй танилцах болно.
Бүгдийг нарийвчлан авч үзье: квадрат тэгшитгэлийн мөн чанар, тэмдэглэгээ, дагалдах нэр томъёог тодорхойлох, бүрэн бус ба бүрэн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх схемд дүн шинжилгээ хийх, язгуур ба ялгах томъёотой танилцах, язгуур ба коэффициентүүдийн хоорондын холбоог тогтоох, Мэдээжийн хэрэг бид практик жишээнүүдийн харааны шийдлийг өгөх болно.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Квадрат тэгшитгэл, түүний төрлүүдТодорхойлолт 1Квадрат тэгшитгэл гэж бичсэн тэгшитгэл юм, Хаана x– хувьсагч, a, b ба в- зарим тоо, харин атэг биш.
Ихэнхдээ квадрат тэгшитгэлийг хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг, учир нь үндсэндээ квадрат тэгшитгэл нь алгебрийн тэгшитгэлхоёрдугаар зэрэг.
Өгөгдсөн тодорхойлолтыг жишээ болгон тайлбарлая: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 гэх мэт. Эдгээр нь квадрат тэгшитгэл юм.
Тодорхойлолт 2
a, b ба тоонууд вквадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд юм гэж бичсэн тэгшитгэл юм, коэффициент байхад аэхний, эсвэл ахлах, эсвэл x 2 дахь коэффициент гэж нэрлэдэг, b - хоёр дахь коэффициент, эсвэл коэффициент x, А вчөлөөт гишүүн гэж нэрлэдэг.
Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлд 6 x 2 − 2 x − 11 = 0тэргүүлэх коэффициент нь 6, хоёр дахь коэффициент − 2 , мөн чөлөөт нэр томъёо нь тэнцүү байна − 11 . Коэффициентүүд байхад анхаарлаа хандуулцгаая бба/эсвэл c сөрөг байвал хэрэглэнэ богино хэлбэргэх мэт бичлэгүүд 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, үгүй 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.
Энэ талыг бас тодруулъя: хэрэв коэффициентүүд байвал аба/эсвэл бтэнцүү 1 эсвэл − 1 , дараа нь тэд квадрат тэгшитгэлийг бичихэд тодорхой оролцохгүй байж болох бөгөөд энэ нь заасан тоон коэффициентийг бичих онцлогтой холбоотой юм. Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлд y 2 − y + 7 = 0тэргүүлэх коэффициент нь 1, хоёр дахь коэффициент нь − 1 .
Буурагдсан ба бууруулаагүй квадрат тэгшитгэл
Эхний коэффициентийн утгыг үндэслэн квадрат тэгшитгэлийг багасгасан ба буураагүй гэж хуваана.
Тодорхойлолт 3
Багасгасан квадрат тэгшитгэлнь тэргүүлэх коэффициент нь 1 байх квадрат тэгшитгэл юм. Тэргүүлэх коэффициентийн бусад утгуудын хувьд квадрат тэгшитгэлийг бууруулаагүй болно.
Жишээ дурдъя: квадрат тэгшитгэлүүд x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, тэргүүлэгч коэффициент тус бүр нь 1 байна.
9 x 2 − x − 2 = 0- эхний коэффициент нь ялгаатай буураагүй квадрат тэгшитгэл 1 .
Аль ч буураагүй квадрат тэгшитгэлийг хоёр талыг эхний коэффициентээр (тэнцүү хувиргалт) хуваах замаар багасгасан тэгшитгэл болгон хувиргаж болно. Хувиргасан тэгшитгэл нь өгөгдсөн бууруулаагүй тэгшитгэлтэй ижил үндэстэй эсвэл огт үндэсгүй байх болно.
Анхаарах зүйл тодорхой жишээбуураагүй квадрат тэгшитгэлээс бууруулсан тэгшитгэл рүү шилжихийг тодорхой харуулах боломжийг бидэнд олгоно.
Жишээ 1
6 x 2 + 18 x − 7 = 0 тэгшитгэл өгөгдсөн . Анхны тэгшитгэлийг багасгасан хэлбэрт шилжүүлэх шаардлагатай.
Шийдэл
Дээрх схемийн дагуу бид анхны тэгшитгэлийн хоёр талыг тэргүүлэх коэффициент 6-д хуваана. Дараа нь бид: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, мөн энэ нь дараахтай ижил байна: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0ба цааш нь: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.Эндээс: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0. Тиймээс өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэлийг олж авна.
Хариулт: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0.
Бүрэн ба бүрэн бус квадрат тэгшитгэл
Квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт руу орцгооё. Үүнд бид үүнийг тодорхойлсон a ≠ 0. Тэгшитгэлийн хувьд ижил төстэй нөхцөл шаардлагатай гэж бичсэн тэгшитгэл юмцагаас хойш яг дөрвөлжин байсан a = 0энэ нь үндсэндээ шугаман тэгшитгэл болж хувирдаг b x + c = 0.
Коэффициент болсон тохиолдолд бТэгээд втэгтэй тэнцүү (энэ нь тус тусдаа болон хамтад нь боломжтой), квадрат тэгшитгэлийг бүрэн бус гэж нэрлэдэг.
Тодорхойлолт 4
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл- ийм квадрат тэгшитгэл a x 2 + b x + c = 0,коэффициентүүдийн дор хаяж нэг нь хаана байна бТэгээд в(эсвэл хоёулаа) тэг байна.
Бүрэн квадрат тэгшитгэл– бүх тоон коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш квадрат тэгшитгэл.
Квадрат тэгшитгэлийн төрлүүдийг яагаад яг ийм нэрээр нэрлэсэн талаар ярилцъя.
b = 0 үед квадрат тэгшитгэл хэлбэрийг авна a x 2 + 0 x + c = 0, энэ нь ижил байна a x 2 + c = 0. At c = 0квадрат тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ a x 2 + b x + 0 = 0, энэ нь тэнцүү байна a x 2 + b x = 0. At b = 0Тэгээд c = 0тэгшитгэл нь хэлбэртэй болно a x 2 = 0. Бидний олж авсан тэгшитгэлүүд нь бүрэн квадрат тэгшитгэлээс ялгаатай бөгөөд тэдгээрийн зүүн талд x хувьсагчтай гишүүн, чөлөөт гишүүн эсвэл хоёуланг нь агуулаагүй болно. Үнэн хэрэгтээ энэ баримт нь энэ төрлийн тэгшитгэлийн нэрийг өгсөн - бүрэн бус.
Жишээлбэл, x 2 + 3 x + 4 = 0 ба − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 нь бүрэн квадрат тэгшитгэл; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – бүрэн бус квадрат тэгшитгэл.
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Дээр өгөгдсөн тодорхойлолт нь дараах төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүдийг ялгах боломжийг олгодог.
- a x 2 = 0, энэ тэгшитгэл нь коэффициентуудтай тохирч байна b = 0ба c = 0;
- a · x 2 + c = 0 үед b = 0;
- a · x 2 + b · x = 0 үед c = 0.
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн төрөл бүрийн шийдлийг дараалан авч үзье.
a x 2 =0 тэгшитгэлийн шийдэл
Дээр дурдсанчлан энэ тэгшитгэл нь коэффициентуудтай тохирч байна бТэгээд в, тэгтэй тэнцүү. Тэгшитгэл a x 2 = 0эквивалент тэгшитгэл болгон хувиргаж болно x 2 = 0, бид анхны тэгшитгэлийн хоёр талыг тоонд хуваах замаар олж авна а, тэгтэй тэнцүү биш. Тодорхой баримт бол тэгшитгэлийн үндэс юм x 2 = 0учир нь энэ тэг байна 0 2 = 0 . Энэ тэгшитгэлд өөр үндэс байхгүй бөгөөд үүнийг зэрэглэлийн шинж чанараар тайлбарлаж болно: дурын тооны хувьд p,тэгтэй тэнцүү биш, тэгш бус байдал нь үнэн p 2 > 0, үүнээс энэ нь хэзээ гэсэн үг p ≠ 0тэгш байдал p 2 = 0хэзээ ч хүрэхгүй.
Тодорхойлолт 5
Ийнхүү a x 2 = 0 бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн хувьд өвөрмөц язгуур байна x = 0.
Жишээ 2
Жишээлбэл, бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдье − 3 x 2 = 0. Энэ нь тэгшитгэлтэй тэнцүү юм x 2 = 0, түүний цорын ганц үндэс x = 0, тэгвэл анхны тэгшитгэл нь нэг язгууртай - тэг.
Товчхондоо шийдлийг дараах байдлаар бичнэ.
− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.
a x 2 + c = 0 тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Дараагийн мөрөнд бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн шийдэл байна, энд b = 0, c ≠ 0, өөрөөр хэлбэл хэлбэрийн тэгшитгэлүүд байна. a x 2 + c = 0. Тэгшитгэлийн нэг талаас гишүүнийг нөгөө тал руу шилжүүлж, тэмдгийг эсрэг талд нь сольж, тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгтэй тэнцүү биш тоонд хуваах замаар энэ тэгшитгэлийг хувиргая.
- шилжүүлэх втэгшитгэлийг өгдөг баруун гар талд a x 2 = − c;
- тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваана а, бид x = - c a гэж төгсдөг.
Үүний дагуу бидний хувиргалт нь тэнцүү бөгөөд үр дүнд нь гарсан тэгшитгэл нь анхныхтай тэнцүү бөгөөд энэ нь тэгшитгэлийн язгуурын талаар дүгнэлт хийх боломжийг олгодог. Үнэт зүйлс нь юу вэ аТэгээд вилэрхийллийн утга - c a хамаарна: энэ нь хасах тэмдэгтэй байж болно (жишээлбэл, хэрэв a = 1Тэгээд c = 2, дараа нь - c a = - 2 1 = - 2) эсвэл нэмэх тэмдэг (жишээлбэл, хэрэв a = − 2Тэгээд c = 6, дараа нь - c a = - 6 - 2 = 3); тэг биш учраас c ≠ 0. Нөхцөл байдлын талаар илүү дэлгэрэнгүй авч үзье - c a< 0 и - c a > 0 .
тохиолдолд - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа х p 2 = - c a тэгш байдал үнэн байж болохгүй.
- c a > 0 үед бүх зүйл өөр байна: квадрат язгуурыг санаарай, тэгвэл x 2 = - c a тэгшитгэлийн үндэс нь - c a тоо байх нь тодорхой болно, учир нь - c a 2 = - c a. - - c a тоо нь мөн x 2 = - c a тэгшитгэлийн язгуур гэдгийг ойлгоход хэцүү биш: үнэхээр, - - c a 2 = - c a.
Тэгшитгэлд өөр үндэс байхгүй болно. Үүнийг бид зөрчилдөх аргыг ашиглан харуулж чадна. Эхлэхийн тулд дээр дурдсан язгууруудын тэмдэглэгээг тодорхойлъё x 1Тэгээд − x 1. x 2 = - c a тэгшитгэл мөн язгууртай гэж үзье x 2, энэ нь үндэснээс ялгаатай x 1Тэгээд − x 1. Үүнийг тэгшитгэлд орлуулах замаар бид мэднэ xҮүний үндэс нь бид тэгшитгэлийг шударга тоон тэгшитгэл болгон хувиргадаг.
Учир нь x 1Тэгээд − x 1бид бичнэ: x 1 2 = - c a , мөн төлөө x 2- x 2 2 = - c a . Тоон тэгш байдлын шинж чанарууд дээр үндэслэн бид нэг зөв тэгш байдлын нэр томъёог нөгөөгөөсөө хасах бөгөөд энэ нь бидэнд дараахь зүйлийг өгнө. x 1 2 − x 2 2 = 0. Бид сүүлийн тэгшитгэлийг дахин бичихийн тулд тоонуудтай үйлдлийн шинж чанарыг ашигладаг (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Эдгээр тоонуудын ядаж нэг нь тэг байхад л хоёр тооны үржвэр тэг болно гэдгийг мэддэг. Дээрхээс харахад ийм байна x 1 − x 2 = 0ба/эсвэл x 1 + x 2 = 0, энэ нь адилхан x 2 = x 1ба/эсвэл x 2 = − x 1. Эхэндээ тэгшитгэлийн үндэс гэж тохиролцсон тул илт зөрчилдөөн гарч ирэв x 2-аас ялгаатай x 1Тэгээд − x 1. Тэгэхээр тэгшитгэл нь x = - c a ба x = - - c a -аас өөр үндэсгүй гэдгийг бид нотолсон.
Дээрх бүх аргументуудыг нэгтгэн дүгнэж үзье.
Тодорхойлолт 6
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл a x 2 + c = 0 x 2 = - c a тэгшитгэлтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь:
- - c a -д үндэс байхгүй болно< 0 ;
- - c a > 0-ийн хувьд x = - c a ба x = - - c a гэсэн хоёр үндэстэй болно.
Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээг өгье a x 2 + c = 0.
Жишээ 3
Квадрат тэгшитгэл өгөгдсөн 9 x 2 + 7 = 0.Үүний шийдлийг олох шаардлагатай байна.
Шийдэл
Чөлөөт гишүүнийг тэгшитгэлийн баруун тал руу шилжүүлье, тэгвэл тэгшитгэл хэлбэрээ авна 9 x 2 = − 7.
Үүссэн тэгшитгэлийн хоёр талыг хувааж үзье 9
, бид x 2 = - 7 9-д хүрнэ. Баруун талд бид хасах тэмдэгтэй тоог харж байгаа бөгөөд энэ нь: y өгөгдсөн тэгшитгэлүндэс байхгүй. Дараа нь анхны бүрэн бус квадрат тэгшитгэл 9 x 2 + 7 = 0үндэсгүй болно.
Хариулт:тэгшитгэл 9 x 2 + 7 = 0үндэсгүй.
Жишээ 4
Тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй − x 2 + 36 = 0.
Шийдэл
36-г баруун тийш шилжүүлье: − x 2 = − 36.
Хоёр хэсгийг хоёуланг нь хувааж үзье − 1
, бид авдаг x 2 = 36. Баруун талд эерэг тоо байгаа бөгөөд үүнээс бид үүнийг дүгнэж болно
x = 36 эсвэл
x = - 36.
Үндэсийг гаргаж аваад эцсийн үр дүнг бичье: бүрэн бус квадрат тэгшитгэл − x 2 + 36 = 0хоёр үндэстэй x = 6эсвэл x = − 6.
Хариулт: x = 6эсвэл x = − 6.
a x 2 +b x=0 тэгшитгэлийн шийдэл
Гурав дахь төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийцгээе c = 0. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн шийдийг олох a x 2 + b x = 0, бид хүчин зүйлчлэлийн аргыг ашиглах болно. Тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа олон гишүүнтийг хаалтанд оруулан нийтлэг хүчин зүйлийг хасъя. x. Энэ алхам нь анхны бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг түүний эквивалент болгон хувиргах боломжийг олгоно x (a x + b) = 0. Мөн энэ тэгшитгэл нь эргээд тэгшитгэлийн багцтай тэнцүү юм x = 0Тэгээд a x + b = 0. Тэгшитгэл a x + b = 0шугаман ба түүний үндэс: x = − b a.
Тодорхойлолт 7
Ийнхүү бүрэн бус квадрат тэгшитгэл a x 2 + b x = 0хоёр үндэстэй болно x = 0Тэгээд x = − b a.
Материалыг жишээгээр бататгая.
Жишээ 5
2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 тэгшитгэлийн шийдийг олох шаардлагатай.
Шийдэл
Бид үүнийг гаргана xхаалтны гадна бид x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 тэгшитгэлийг авна. Энэ тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна x = 0ба 2 3 x - 2 2 7 = 0. Одоо та үүссэн шугаман тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.
Тэгшитгэлийн шийдлийг дараах байдлаар товч бичнэ үү.
2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 эсвэл 2 3 x - 2 2 7 = 0
x = 0 эсвэл x = 3 3 7
Хариулт: x = 0, x = 3 3 7.
Дискриминант, квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо
Квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг олохын тулд язгуур томъёо байдаг.
Тодорхойлолт 8
x = - b ± D 2 · a, энд D = b 2 − 4 a c– квадрат тэгшитгэлийн дискриминант гэж нэрлэгддэг.
x = - b ± D 2 · a гэж бичих нь үндсэндээ x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a гэсэн үг юм.
Энэ томъёог хэрхэн гаргаж авсан, хэрхэн хэрэглэхийг ойлгох нь ашигтай байх болно.
Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог гарган авах
Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх даалгавартай тулгарцгаая гэж бичсэн тэгшитгэл юм. Хэд хэдэн ижил төстэй хувиргалтыг хийцгээе:
- тэгшитгэлийн хоёр талыг тоонд хуваана а, тэгээс ялгаатай нь бид дараах квадрат тэгшитгэлийг олж авна: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
- онцолж хэлье төгс дөрвөлжинүүссэн тэгшитгэлийн зүүн талд:
x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + в а
Үүний дараа тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0; - Одоо сүүлийн хоёр нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлж, тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөх боломжтой бөгөөд үүний дараа бид дараахь зүйлийг авна: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
- Эцэст нь бид сүүлчийн тэгш байдлын баруун талд бичигдсэн илэрхийллийг хувиргана.
b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2.
Ингээд бид анхны тэгшитгэлтэй тэнцэх x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 тэгшитгэлд хүрнэ. гэж бичсэн тэгшитгэл юм.
Бид өмнөх догол мөрөнд ийм тэгшитгэлийн шийдлийг судалж үзсэн (бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх). Өмнө нь олж авсан туршлага нь x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 тэгшитгэлийн язгуурын талаар дүгнэлт хийх боломжтой болгодог.
- b 2 - 4 a c 4 a 2-тай< 0 уравнение не имеет действительных решений;
- b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0 үед тэгшитгэл нь x + b 2 · a 2 = 0, тэгвэл x + b 2 · a = 0 болно.
Эндээс цорын ганц язгуур х = - b 2 · a тодорхой байна;
- b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0-ийн хувьд дараах нь үнэн байх болно: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 эсвэл x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , энэ нь x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 эсвэл x = - b 2 · a - b 2 - 4 -тэй ижил байна · a · c 4 · a 2, i.e. тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.
x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (тиймээс анхны тэгшитгэл) тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсэх нь b илэрхийллийн тэмдгээс хамаарна гэж дүгнэж болно. 2 - 4 · a · c 4 · a 2 баруун талд бичигдсэн. Мөн энэ илэрхийллийн тэмдэг нь тоологчийн тэмдгээр өгөгдөнө, (хүлээн авагч 4 a 2үргэлж эерэг байх болно), өөрөөр хэлбэл илэрхийллийн тэмдэг b 2 − 4 a c. Энэ илэрхийлэл b 2 − 4 a cнэрийг өгсөн - квадрат тэгшитгэлийн ялгаварлагч ба D үсэг нь түүний тэмдэглэгээ гэж тодорхойлогддог. Энд та ялгаварлагчийн мөн чанарыг бичиж болно - түүний утга, тэмдэг дээр үндэслэн тэд квадрат тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэстэй байх эсэх, хэрэв тийм бол язгуурын тоо хэд вэ - нэг эсвэл хоёр байна.
x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 тэгшитгэл рүү буцъя. Үүнийг ялгах тэмдэглэгээг ашиглан дахин бичье: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .
Дахин дүгнэлтээ хийцгээе:
Тодорхойлолт 9
- цагт Д< 0 тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэсгүй;
- цагт D=0тэгшитгэл нь нэг язгууртай x = - b 2 · a ;
- цагт D > 0тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 эсвэл x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Радикалуудын шинж чанарт үндэслэн эдгээр үндэсийг дараах хэлбэрээр бичиж болно: x = - b 2 · a + D 2 · a эсвэл - b 2 · a - D 2 · a. Мөн бид модулиудыг өргөжүүлж, бутархайг багасгах үед нийтлэг хуваагч, бид авна: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.
Тиймээс бидний үндэслэлийн үр дүн нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог гаргаж авсан явдал юм.
x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, дискриминант Дтомъёогоор тооцоолно D = b 2 − 4 a c.
Эдгээр томьёо нь дискриминант тэгээс их байх үед жинхэнэ язгуурыг хоёуланг нь тодорхойлох боломжтой болгодог. Дискриминант нь тэг байх үед хоёр томьёог хэрэглэснээр квадрат тэгшитгэлийн цорын ганц шийдэлтэй ижил язгуур гарна. Дискриминант сөрөг байгаа тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглахыг оролдвол бид гаргаж авах хэрэгцээтэй тулгарах болно. квадрат язгуурсөрөг тооноос, энэ нь биднийг бодит тооноос давах болно. Сөрөг дискриминанттай бол квадрат тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэсгүй байх болно, гэхдээ бидний олж авсан ижил язгуур томъёогоор тодорхойлогддог хос цогц коньюгат язгуур боломжтой.
Үндэс томьёо ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм
Квадрат тэгшитгэлийг язгуур томьёо ашиглан шууд шийдэх боломжтой боловч ерөнхийдөө нийлмэл язгуурыг олох шаардлагатай үед үүнийг хийдэг.
Ихэнх тохиолдолд энэ нь нарийн төвөгтэй биш, харин квадрат тэгшитгэлийн бодит язгуурыг хайх гэсэн үг юм. Дараа нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог ашиглахын өмнө эхлээд дискриминантыг тодорхойлж, сөрөг биш эсэхийг шалгах нь оновчтой юм (эсвэл бид тэгшитгэл нь бодит язгуургүй гэж дүгнэх болно), дараа нь тооцооллыг үргэлжлүүлнэ. язгуурын үнэ цэнэ.
Дээрх үндэслэл нь квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритмыг боловсруулах боломжийг олгодог.
Тодорхойлолт 10
Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх гэж бичсэн тэгшитгэл юм, шаардлагатай:
- томъёоны дагуу D = b 2 − 4 a cялгах утгыг олох;
- дээр D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
- D = 0-ийн хувьд x = - b 2 · a томъёог ашиглан тэгшитгэлийн цорын ганц язгуурыг ол;
- D > 0 бол квадрат тэгшитгэлийн хоёр бодит язгуурыг x = - b ± D 2 · a томъёогоор тодорхойлно.
Дискриминант нь тэг байх үед та x = - b ± D 2 · a томъёог ашиглаж болно, энэ нь x = - b 2 · a томъёотой ижил үр дүнг өгөх болно гэдгийг анхаарна уу.
Жишээнүүдийг харцгаая.
Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ
Жишээнүүдийн шийдлийг өгье өөр өөр утгатайялгаварлагч.
Жишээ 6
Бид тэгшитгэлийн язгуурыг олох хэрэгтэй x 2 + 2 x − 6 = 0.
Шийдэл
Квадрат тэгшитгэлийн тоон коэффициентүүдийг бичье: a = 1, b = 2 ба c = − 6. Дараа нь бид алгоритмын дагуу үргэлжлүүлнэ, өөрөөр хэлбэл. a, b коэффициентүүдийг орлуулах ялгаварлагчийг тооцоолж эхэлцгээе. Тэгээд вялгах томъёонд: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28.
Тэгэхээр бид D > 0 гарна, энэ нь анхны тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай болно гэсэн үг юм.
Тэдгээрийг олохын тулд бид x = - b ± D 2 · a язгуур томъёог ашигладаг бөгөөд харгалзах утгуудыг орлуулснаар бид дараахийг авна: x = - 2 ± 28 2 · 1. Үүссэн илэрхийлэлийг язгуур тэмдэгээс хүчин зүйлийг хасч, дараа нь бутархайг багасгаж хялбаршуулъя.
x = - 2 ± 2 7 2
x = - 2 + 2 7 2 эсвэл x = - 2 - 2 7 2
x = - 1 + 7 эсвэл x = - 1 - 7
Хариулт: x = - 1 + 7, x = - 1 - 7.
Жишээ 7
Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.
Шийдэл
Ялгаварлагчийг тодорхойлъё: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. Дискриминантийн энэ утгаар анхны тэгшитгэл нь x = - b 2 · a томъёогоор тодорхойлогддог зөвхөн нэг язгууртай болно.
x = - 28 2 (- 4) x = 3.5
Хариулт: x = 3.5.
Жишээ 8
Тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй 5 у 2 + 6 у + 2 = 0
Шийдэл
Энэ тэгшитгэлийн тоон коэффициентүүд нь: a = 5, b = 6, c = 2 байна. Бид ялгагчийг олохын тулд эдгээр утгуудыг ашигладаг: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4. Тооцоолсон дискриминант нь сөрөг тул анхны квадрат тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй болно.
Хэрэв даалгавар нь нийлмэл үндэсийг зааж өгөх юм бол бид язгуур томъёог ашиглан цогцолбор тоогоор үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.
x = - 6 ± - 4 2 5,
x = - 6 + 2 i 10 эсвэл x = - 6 - 2 i 10,
x = - 3 5 + 1 5 · i эсвэл x = - 3 5 - 1 5 · i.
Хариулт:жинхэнэ үндэс байхгүй; нийлмэл үндэс нь дараах байдалтай байна: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.
IN сургуулийн сургалтын хөтөлбөрНарийн төвөгтэй үндэс хайх стандарт шаардлага байхгүй тул хэрэв уусмалын явцад ялгаварлан гадуурхагч сөрөг гэж тогтоогдвол жинхэнэ үндэс байхгүй гэсэн хариултыг шууд бичнэ.
Тэгш хоёр дахь коэффициентийн үндэс томъёо
Үндсэн томьёо x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) нь илүү авсаархан өөр томьёог олж авах боломжийг олгодог бөгөөд энэ нь x-ийн тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг олох боломжийг олгодог. эсвэл 2 · n хэлбэрийн коэффициенттэй, жишээлбэл, 2 3 эсвэл 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Энэ томьёо хэрхэн гарсныг харуулъя.
a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 квадрат тэгшитгэлийн шийдийг олох даалгавартай тулгаръя. Бид алгоритмын дагуу ажиллана: бид D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 - a c) ялгагчийг тодорхойлж, үндсэн томъёог ашиглана:
x = - 2 · n ± D 2 · a , x = - 2 · n ± 4 · n 2 - a · c 2 · a , x = - 2 · n ± 2 n 2 - a · c 2 · a , x = - n ± n 2 - a · c a .
n 2 − a · c илэрхийллийг D 1 гэж тэмдэглэе (заримдаа үүнийг D " гэж тэмдэглэдэг). Дараа нь 2 · n хоёр дахь коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын томъёо дараах хэлбэртэй болно.
x = - n ± D 1 a, энд D 1 = n 2 - a · c.
D = 4 · D 1, эсвэл D 1 = D 4 гэдгийг харахад хялбар байдаг. Өөрөөр хэлбэл D 1 нь ялгаварлагчийн дөрөвний нэг юм. Мэдээжийн хэрэг, D 1 тэмдэг нь D тэмдэгтэй ижил бөгөөд энэ нь D 1 тэмдэг нь квадрат тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсвэл байхгүй байгааг илтгэх үзүүлэлт болж чадна гэсэн үг юм.
Тодорхойлолт 11
Тиймээс 2 n хоёр дахь коэффициент бүхий квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг олохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.
- олох D 1 = n 2 − a · c ;
- D 1 дээр< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
- D 1 = 0 үед x = - n a томъёог ашиглан тэгшитгэлийн цорын ганц язгуурыг тодорхойлно;
- D 1 > 0-ийн хувьд x = - n ± D 1 a томъёог ашиглан хоёр бодит язгуурыг тодорхойлно.
Жишээ 9
5 x 2 − 6 x − 32 = 0 квадрат тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагатай.
Шийдэл
Өгөгдсөн тэгшитгэлийн хоёр дахь коэффициентийг 2 · (− 3) гэж илэрхийлж болно. Дараа нь өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийг 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, a = 5, n = - 3 ба c = - 32 гэж дахин бичнэ.
Дириминантийн дөрөв дэх хэсгийг тооцоолъё: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Үр дүнгийн утга нь эерэг бөгөөд энэ нь тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай гэсэн үг юм. Харгалзах язгуур томъёог ашиглан тэдгээрийг тодорхойлно.
x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,
x = 3 + 13 5 эсвэл x = 3 - 13 5
x = 3 1 5 эсвэл x = - 2
Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын ердийн томъёог ашиглан тооцоо хийх боломжтой боловч энэ тохиолдолд шийдэл нь илүү төвөгтэй байх болно.
Хариулт: x = 3 1 5 эсвэл x = - 2.
Квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлах
Заримдаа анхны тэгшитгэлийн хэлбэрийг оновчтой болгох боломжтой бөгөөд энэ нь үндсийг тооцоолох үйл явцыг хялбаршуулах болно.
Жишээ нь: 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 квадрат тэгшитгэлийг 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0-ээс илүү хялбар шийдэх нь ойлгомжтой.
Ихэнхдээ квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хялбарчлах нь түүний хоёр талыг тодорхой тоогоор үржүүлэх эсвэл хуваах замаар хийгддэг. Жишээлбэл, дээр бид хоёр талыг 100-д хуваах замаар олж авсан 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0 тэгшитгэлийн хялбаршуулсан дүрслэлийг үзүүлэв.
Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд харилцан хамааралгүй тохиолдолд ийм хувиргалт хийх боломжтой анхны тоонууд. Дараа нь бид ихэвчлэн тэгшитгэлийн хоёр талыг хамгийн томд нь хуваадаг нийтлэг хуваагчтүүний коэффициентүүдийн үнэмлэхүй утгууд.
Жишээ болгон бид 12 x 2 − 42 x + 48 = 0 квадрат тэгшитгэлийг ашигладаг. Түүний коэффициентүүдийн үнэмлэхүй утгуудын GCD-ийг тодорхойлъё: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Анхны квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг 6-д хувааж, 2 x 2 − 7 x + 8 = 0 тэнцүү квадрат тэгшитгэлийг олъё.
Квадрат тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлснээр та ихэвчлэн бутархай коэффициентээс салдаг. Энэ тохиолдолд тэдгээр нь түүний коэффициентүүдийн хуваагчдын хамгийн бага нийтлэг үржвэрээр үржүүлнэ. Жишээлбэл, 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 квадрат тэгшитгэлийн хэсэг бүрийг LCM (6, 3, 1) = 6-аар үржүүлбэл энэ нь илүү их бичигдэх болно. энгийн хэлбэрээр x 2 + 4 x − 18 = 0.
Эцэст нь бид квадрат тэгшитгэлийн эхний коэффициент дэх хасахаас бараг үргэлж салдаг гэдгийг тэмдэглэж, тэгшитгэлийн гишүүн бүрийн тэмдгүүдийг өөрчлөх замаар хоёр талыг - 1-ээр үржүүлэх (эсвэл хуваах) үр дүнд хүрдэг. Жишээлбэл, − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 квадрат тэгшитгэлээс та түүний хялбаршуулсан хувилбар 2 x 2 + 3 x − 7 = 0 руу очиж болно.
Үндэс ба коэффициент хоорондын хамаарал
Бидэнд аль хэдийн мэдэгдэж байсан квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо x = - b ± D 2 · a нь тэгшитгэлийн язгуурыг тоон коэффициентээр нь илэрхийлдэг. Энэ томьёо дээр үндэслэн бид язгуур болон коэффициентийн хоорондох бусад хамаарлыг тодорхойлох боломжтой.
Хамгийн алдартай бөгөөд хэрэглэх боломжтой нь Вьетагийн теоремын томъёо юм.
x 1 + x 2 = - b a ба x 2 = c a.
Тодруулбал, өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийн хувьд язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициент бөгөөд язгууруудын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, 3 x 2 − 7 x + 22 = 0 квадрат тэгшитгэлийн хэлбэрийг хараад түүний язгууруудын нийлбэр 7 3, язгуурын үржвэр нь 22 3 болохыг шууд тодорхойлох боломжтой.
Та мөн квадрат тэгшитгэлийн язгуур болон коэффициентүүдийн хоорондох өөр хэд хэдэн холболтыг олж болно. Жишээлбэл, квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын квадратуудын нийлбэрийг коэффициентээр илэрхийлж болно.
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
Квадрат тэгшитгэлийн бодлогуудыг сургуулийн сургалтын хөтөлбөр болон их дээд сургуулиудад хоёуланг нь судалдаг. Эдгээр нь a*x^2 + b*x + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг илэрхийлдэг х-хувьсагч, a, b, c – тогтмолууд; а<>0 . Даалгавар бол тэгшитгэлийн үндсийг олох явдал юм.
Квадрат тэгшитгэлийн геометрийн утга
Квадрат тэгшитгэлээр дүрслэгдсэн функцийн график нь парабол юм. Квадрат тэгшитгэлийн шийд (язгуур) нь параболын абсцисса (х) тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд юм. Үүнээс үзэхэд гурван боломжит тохиолдол байдаг:
1) парабол нь абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэггүй. Энэ нь дээд хавтгайд мөчрүүд нь дээшээ эсвэл доод мөчрүүд нь доошоо байрладаг гэсэн үг юм. Ийм тохиолдолд квадрат тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй (хоёр нийлмэл язгууртай).
2) парабол нь Ox тэнхлэгтэй огтлолцох нэг цэгтэй байна. Ийм цэгийг параболын орой гэж нэрлэдэг бөгөөд үүн дээрх квадрат тэгшитгэл нь түүний хамгийн бага эсвэл хамгийн их утгыг олж авдаг. Энэ тохиолдолд квадрат тэгшитгэл нь нэг бодит язгууртай (эсвэл хоёр ижил язгууртай).
3) Сүүлийн тохиолдолпрактик дээр энэ нь илүү сонирхолтой байдаг - абсцисса тэнхлэгтэй параболын огтлолцох хоёр цэг байдаг. Энэ нь тэгшитгэлийн хоёр жинхэнэ язгуур байна гэсэн үг.
Хувьсагчдын чадлын коэффициентүүдийн дүн шинжилгээнд үндэслэн параболын байршлын талаар сонирхолтой дүгнэлт хийж болно.
1) Хэрэв коэффициент нь тэгээс их бол параболын мөчрүүд нь сөрөг байвал доош чиглэсэн байна.
2) Хэрэв b коэффициент тэгээс их бол параболын орой нь зүүн хагас хавтгайд байрлана. сөрөг утга- дараа нь баруун талд.
Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томьёоны гарган авах
Квадрат тэгшитгэлээс тогтмолыг шилжүүлье 
тэнцүү тэмдгийн хувьд бид илэрхийллийг авна
Хоёр талыг 4а-аар үржүүлнэ 
Зүүн талд бүрэн дөрвөлжин авахын тулд хоёр талдаа b^2 нэмээд хувиргалтыг хийнэ
Эндээс бид олдог
Квадрат тэгшитгэлийн дискриминант ба үндэсийн томъёо
Дискриминант нь радикал илэрхийллийн утга юм. Хэрэв энэ нь эерэг байвал томъёогоор тооцоолсон тэгшитгэл нь хоёр бодит үндэстэй байна 
Дискриминант нь тэг байх үед квадрат тэгшитгэл нь нэг шийдэлтэй (хоёр давхцах үндэстэй) бөгөөд үүнийг D=0-ийн хувьд дээрх томьёогоор хялбархан гаргаж авч болно. Гэсэн хэдий ч квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг цогцолбор хавтгайд олдог бөгөөд тэдгээрийн утгыг томъёогоор тооцоолно. 
Вьетагийн теорем
Квадрат тэгшитгэлийн хоёр язгуурыг авч үзье, тэдгээрийн үндсэн дээр квадрат тэгшитгэл байгуулъя. Виетийн теорем нь өөрөө тэмдэглэгээнээс амархан гардаг: хэрэв бид хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлтэй бол. 
тэгвэл түүний язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан p коэффициенттэй тэнцүү ба тэгшитгэлийн язгуурын үржвэр нь q чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна. Дээрх томъёоны дүрслэл нь сонгодог тэгшитгэлийн тогтмол а нь тэгээс өөр байвал тэгшитгэлийг бүхэлд нь хувааж, дараа нь Виетийн теоремыг ашиглах хэрэгтэй.
Квадрат тэгшитгэлийн хуваарь
Даалгаврыг өгье: квадрат тэгшитгэлийг хүчин зүйлээр тооц. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд тэгшитгэлийг шийднэ (үндсийг ол). Дараа нь бид олсон үндсийг квадрат тэгшитгэлийн өргөтгөлийн томъёонд орлуулж, асуудлыг шийднэ.
Квадрат тэгшитгэлийн бодлого
Даалгавар 1. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг ол
x^2-26x+120=0 .
Шийдэл: Коэффицентүүдийг бичиж, ялгах томьёонд орлуулна уу
-ийн үндэс өгөгдсөн үнэ цэнэЭнэ нь 14-тэй тэнцүү бол үүнийг тооцоолуур ашиглан олоход хялбар, эсвэл байнга хэрэглэхэд санахад хялбар байдаг, гэхдээ ая тухтай байлгах үүднээс өгүүллийн төгсгөлд би ийм асуудалд ихэвчлэн тулгарч болох тоонуудын квадратуудын жагсаалтыг өгөх болно.
Бид олсон утгыг үндсэн томъёонд орлуулна 
мөн бид авдаг 
Даалгавар 2. Тэгшитгэлийг шийд
2x 2 +x-3=0.
Шийдэл: Бид бүрэн квадрат тэгшитгэлтэй болж, коэффициентүүдийг бичиж, ялгагчийг ол 
Мэдэгдэж буй томьёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олно 
Даалгавар 3. Тэгшитгэлийг шийд
9х 2 -12х+4=0.
Шийдэл: Бидэнд бүрэн квадрат тэгшитгэл байна. Ялгаварлагчийг тодорхойлох
Бид үндэс нь давхцаж байгаа тохиолдол гарсан. Томъёог ашиглан үндэсийн утгыг ол 
Даалгавар 4. Тэгшитгэлийг шийд
x^2+x-6=0 .
Шийдэл: x-ийн коэффициент бага байгаа тохиолдолд Виетийн теоремыг ашиглахыг зөвлөж байна. Үүний нөхцлөөр бид хоёр тэгшитгэлийг олж авна
Хоёр дахь нөхцөлөөс бид бүтээгдэхүүн нь -6-тай тэнцүү байх ёстойг олж мэдэв. Энэ нь нэг үндэс нь сөрөг байна гэсэн үг юм. Бидэнд дараах боломжит хос шийдлүүд байна (-3;2), (3;-2) . Эхний нөхцлийг харгалзан бид хоёр дахь хос шийдлээс татгалздаг.
Тэгшитгэлийн үндэс нь тэнцүү байна
Бодлого 5. Тэгш өнцөгтийн периметр нь 18 см, талбай нь 77 см 2 бол талуудын уртыг ол.
Шийдэл: Тэгш өнцөгтийн периметрийн хагас нь түүний хажуугийн талуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. x-г том тал гэж тэмдэглэе, тэгвэл 18-x нь түүний жижиг тал болно. Тэгш өнцөгтийн талбай нь эдгээр уртын үржвэртэй тэнцүү байна.
x(18-x)=77;
эсвэл
x 2 -18x+77=0.
Тэгшитгэлийн дискриминантыг олъё
Тэгшитгэлийн язгуурыг тооцоолох 
Хэрэв x=11,Тэр 18 = 7 ,эсрэгээр нь бас үнэн (х=7 бол 21-ийн=9).
Бодлого 6. 10х 2 -11х+3=0 квадрат тэгшитгэлийг үржүүл.
Шийдэл: Тэгшитгэлийн язгуурыг тооцъё, үүний тулд бид ялгаварлагчийг олно 
Бид олсон утгыг үндсэн томъёонд орлуулж, тооцоолно 
Бид квадрат тэгшитгэлийг язгуураар задлах томъёог ашигладаг 
Хаалтуудыг нээснээр бид таних тэмдгийг олж авна.
Параметртэй квадрат тэгшитгэл
Жишээ 1. Ямар параметрийн утгууд дээр А,(a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 тэгшитгэл нэг үндэстэй юу?
Шийдэл: a=3 утгыг шууд орлуулснаар энэ нь шийдэлгүй болохыг харж байна. Дараа нь бид тэг дискриминанттай тэгшитгэл нь үржвэрийн 2-ын нэг язгууртай болохыг ашиглах болно. Ялгаварлагчийг бичье 
Үүнийг хялбарчилж, тэгтэй тэнцүү болгоё
Бид a параметртэй холбоотой квадрат тэгшитгэлийг олж авсан бөгөөд үүний шийдлийг Виетийн теоремыг ашиглан хялбархан олж авах боломжтой. Үндэсүүдийн нийлбэр нь 7, үржвэр нь 12 байна. Энгийн хайлтаар бид 3,4 тоонууд нь тэгшитгэлийн үндэс болно гэдгийг тогтооно. Тооцооллын эхэнд бид a=3 шийдлийг аль хэдийн татгалзсан тул цорын ганц зөв шийдэл нь - a=4.Тиймээс a=4-ийн хувьд тэгшитгэл нь нэг үндэстэй байна.
Жишээ 2. Ямар параметрийн утгууд дээр А,тэгшитгэл a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0нэгээс олон үндэстэй юу?
Шийдэл: Эхлээд ганц цэгүүдийг авч үзье, тэдгээр нь a=0 ба a=-3 утгууд болно. a=0 үед тэгшитгэлийг 6x-9=0 хэлбэрт хялбаршуулна; x=3/2 ба нэг үндэс байх болно. a= -3-ын хувьд бид 0=0 ижил төстэй байдлыг олж авна.
Дискриминантыг тооцоолъё 
эерэг байх а-ийн утгыг ол 
Эхний нөхцлөөс бид a>3 авна. Хоёрдугаарт бид тэгшитгэлийн ялгаварлагч ба язгуурыг олно 
Функц эерэг утгыг авах интервалуудыг тодорхойлъё. a=0 цэгийг орлуулснаар бид олж авна 3>0
.
Тэгэхээр (-3;1/3) интервалаас гадуур функц сөрөг байна. Гол санааг бүү мартаарай a=0,Анхны тэгшитгэл нь нэг язгууртай тул үүнийг хасах хэрэгтэй.
Үүний үр дүнд бид асуудлын нөхцөлийг хангасан хоёр интервалыг олж авдаг 
Практикт ижил төстэй олон даалгавар байх болно, даалгавруудыг өөрөө тодорхойлохыг хичээ, бие биенээ үгүйсгэдэг нөхцөлүүдийг анхаарч үзэхээ бүү мартаарай. Төрөл бүрийн асуудал, шинжлэх ухааны тооцоололд ихэвчлэн шаардлагатай байдаг квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёог сайтар судлах;