Элсэлтийн түвшин
Квадрат тэгшитгэл. Цогц гарын авлага (2019)
"Квадрат тэгшитгэл" гэсэн нэр томъёоны түлхүүр үг нь "квадрат" юм. Энэ нь тэгшитгэл нь заавал хувьсагч (ижил x) квадратыг агуулсан байх ёстой бөгөөд гурав дахь (эсвэл түүнээс дээш) зэрэглэлийн x байх ёсгүй гэсэн үг юм.
Олон тэгшитгэлийн шийдэл нь квадрат тэгшитгэлийг шийдэхэд хүргэдэг.
Энэ бол өөр тэгшитгэл биш харин квадрат тэгшитгэл гэдгийг тодорхойлж сурцгаая.
Жишээ 1.
Хуваагчаас салж, тэгшитгэлийн гишүүн бүрийг үржүүлье
Бүгдийг зүүн тал руу шилжүүлж, нөхцөлүүдийг X-ийн зэрэглэлийн буурах дарааллаар эрэмбэлье
Одоо бид үүнийг итгэлтэйгээр хэлж чадна өгөгдсөн тэгшитгэлдөрвөлжин байна!
Жишээ 2.
Зүүн ба баруун талыг дараах байдлаар үржүүлнэ.
Энэ тэгшитгэл нь анхнаасаа байсан ч квадрат биш юм!
Жишээ 3.
Бүгдийг дараах байдлаар үржүүлье.
Аймшигтай юу? Дөрөв, хоёрдугаар зэрэг... Гэсэн хэдий ч бид орлуулалт хийвэл бид энгийн квадрат тэгшитгэлтэй болохыг харах болно:
Жишээ 4.
Тэнд байгаа юм шиг байна, гэхдээ сайтар харцгаая. Бүгдийг зүүн тал руу шилжүүлье:
Хараач, энэ нь багассан - одоо энэ нь энгийн шугаман тэгшитгэл юм!
Одоо дараах тэгшитгэлүүдийн аль нь квадрат, аль нь биш болохыг өөрөө тодорхойлохыг хичээ.
Жишээ нь:
Хариултууд:
- дөрвөлжин;
- дөрвөлжин;
- дөрвөлжин биш;
- дөрвөлжин биш;
- дөрвөлжин биш;
- дөрвөлжин;
- дөрвөлжин биш;
- дөрвөлжин.
Математикчид болзолтойгоор бүгдийг хуваадаг квадрат тэгшитгэлгадаад төрхөөрөө:
- Бүрэн квадрат тэгшитгэл- коэффициент ба чөлөөт нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү биш тэгшитгэлүүд (жишээ дээрх шиг). Үүнээс гадна бүрэн квадрат тэгшитгэлүүд байдаг өгсөн- эдгээр нь коэффициент бүхий тэгшитгэлүүд юм (жишээ нь нэг дэх тэгшитгэл нь зөвхөн бүрэн биш, бас буурсан байна!)
- Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл- коэффициент ба чөлөөт гишүүн c нь тэгтэй тэнцүү байх тэгшитгэлүүд:
Зарим элемент дутуу байгаа тул тэдгээр нь бүрэн бус байна. Гэхдээ тэгшитгэлд үргэлж x квадрат байх ёстой!!! Үгүй бол энэ нь квадрат тэгшитгэл байхаа больсон, гэхдээ өөр тэгшитгэл байх болно.
Тэд яагаад ийм хуваагдал гаргав? X квадрат байгаа юм шиг санагдаж байна, зүгээр. Энэ хуваагдлыг шийдлийн аргуудаар тодорхойлно. Тэд тус бүрийг илүү нарийвчлан авч үзье.
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Нэгдүгээрт, бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд анхаарлаа хандуулцгаая - тэдгээр нь хамаагүй хялбар юм!
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн төрлүүд байдаг:
- , энэ тэгшитгэлд коэффициент тэнцүү байна.
- , энэ тэгшитгэлд чөлөөт гишүүн нь тэнцүү байна.
- , энэ тэгшитгэлд коэффициент ба чөлөөт гишүүн тэнцүү байна.
1. i. Бид квадрат язгуурыг хэрхэн авахаа мэддэг тул энэ тэгшитгэлээс илэрхийлье
Илэрхийлэл нь сөрөг эсвэл эерэг байж болно. Квадрат тоо нь сөрөг байж болохгүй, учир нь хоёр сөрөг эсвэл хоёр эерэг тоог үржүүлэхэд үр дүн нь үргэлж эерэг тоо байх тул: хэрэв, тэгвэл тэгшитгэлд шийдэл байхгүй болно.
Хэрэв тийм бол бид хоёр үндэстэй болно. Эдгээр томъёог цээжлэх шаардлагагүй. Хамгийн гол нь та үүнээс бага байж болохгүй гэдгийг мэдэж, үргэлж санаж байх ёстой.
Зарим жишээг шийдэхийг хичээцгээе.
Жишээ 5:
Тэгшитгэлийг шийд
Одоо зүүн, баруун талаас үндсийг нь гаргаж авах л үлдлээ. Эцсийн эцэст, та үндсийг хэрхэн гаргаж авахаа санаж байна уу?
Хариулт:
Сөрөг тэмдэгтэй үндсийг хэзээ ч бүү март!!!
Жишээ 6:
Тэгшитгэлийг шийд
Хариулт:
Жишээ 7:
Тэгшитгэлийг шийд
Өө! Тооны квадрат нь сөрөг байж болохгүй, энэ нь тэгшитгэл гэсэн үг
үндэс байхгүй!
Үндэсгүй ийм тэгшитгэлийн хувьд математикчид тусгай дүрсийг гаргаж ирэв - (хоосон багц). Мөн хариултыг дараах байдлаар бичиж болно.
Хариулт:
Тиймээс энэ квадрат тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. Бид үндсийг нь задлаагүй тул энд ямар ч хязгаарлалт байхгүй.
Жишээ 8:
Тэгшитгэлийг шийд
Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая:
Тиймээс,
Энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.
Хариулт:
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн хамгийн энгийн төрөл (хэдийгээр тэд бүгд энгийн, тийм үү?). Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэл үргэлж нэг үндэстэй байдаг:
Бид энд жишээнүүдээс татгалзах болно.
Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Бүрэн квадрат тэгшитгэл нь тэгшитгэлийн тэгшитгэл гэдгийг бид танд сануулж байна
Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх нь эдгээрээс арай илүү хэцүү (бага зэрэг) юм.
Санаж байна уу Аливаа квадрат тэгшитгэлийг дискриминант ашиглан шийдэж болно! Бүр бүрэн бус.
Бусад аргууд нь үүнийг хурдан хийхэд тусална, гэхдээ квадрат тэгшитгэлтэй холбоотой асуудал байвал эхлээд ялгаварлагч ашиглан шийдлийг эзэмш.
1. Квадрат тэгшитгэлийг дискриминант ашиглан шийдвэрлэх.
Энэ аргыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдэх нь маш энгийн бөгөөд гол зүйл бол үйлдлийн дараалал, хэд хэдэн томъёог санах явдал юм.
Хэрэв, тэгшитгэл нь үндэстэй байна. онцгой анхааралалхам хий. Дискриминант () нь тэгшитгэлийн язгуурын тоог хэлж өгдөг.
- Хэрэв, дараа нь алхам дахь томъёо багасна. Тиймээс тэгшитгэл нь зөвхөн үндэстэй байх болно.
- Хэрэв тийм бол бид алхам дээр ялгаварлагчийн үндсийг гаргаж авах боломжгүй болно. Энэ нь тэгшитгэл нь үндэсгүй болохыг харуулж байна.
Тэгшитгэлүүд рүүгээ буцаж очоод зарим жишээг харцгаая.
Жишээ 9:
Тэгшитгэлийг шийд
Алхам 1бид алгасах.
Алхам 2.
Бид ялгагчийг олдог:
Энэ нь тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй гэсэн үг юм.
Алхам 3.
Хариулт:
Жишээ 10:
Тэгшитгэлийг шийд
Тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр үзүүлэв, тиймээс Алхам 1бид алгасах.
Алхам 2.
Бид ялгагчийг олдог:
Энэ нь тэгшитгэл нь нэг үндэстэй гэсэн үг юм.
Хариулт:
Жишээ 11:
Тэгшитгэлийг шийд
Тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрээр үзүүлэв, тиймээс Алхам 1бид алгасах.
Алхам 2.
Бид ялгагчийг олдог:
Энэ нь бид ялгаварлагчийн үндсийг гаргаж авах боломжгүй гэсэн үг юм. Тэгшитгэлийн үндэс байхгүй.
Одоо бид ийм хариултыг хэрхэн зөв бичихээ мэддэг болсон.
Хариулт:үндэс байхгүй
2. Квадрат тэгшитгэлийг Виетийн теоремоор шийдвэрлэх.
Хэрэв та санаж байгаа бол бууруулсан гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлийн төрөл байдаг (a коэффициент нь тэнцүү байх үед):
Ийм тэгшитгэлийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдвэрлэхэд маш хялбар байдаг.
Үндэс нийлбэр өгсөнквадрат тэгшитгэл тэнцүү, язгуурын үржвэр тэнцүү байна.
Жишээ 12:
Тэгшитгэлийг шийд
Энэ тэгшитгэлийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдэж болно, учир нь .
Тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь тэнцүү, i.e. Бид эхний тэгшитгэлийг авна:
Мөн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна:
Системийг зохиож, шийдье:
- Тэгээд. хэмжээ нь тэнцүү байна;
- Тэгээд. хэмжээ нь тэнцүү байна;
- Тэгээд. Хэмжээ нь тэнцүү байна.
системийн шийдэл нь:
Хариулт: ; .
Жишээ 13:
Тэгшитгэлийг шийд
Хариулт:
Жишээ 14:
Тэгшитгэлийг шийд
Тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд энэ нь:
Хариулт:
Квадрат тэгшитгэл. ДУНД ТҮВШИН
Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ?
Өөрөөр хэлбэл квадрат тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд энд - үл мэдэгдэх, - зарим тоо, ба.
Тоо нь хамгийн өндөр буюу эхний коэффициентквадрат тэгшитгэл, - хоёр дахь коэффициент, A - чөлөөт гишүүн.
Яагаад? Учир нь хэрэв тэгшитгэл шууд шугаман болж хувирвал, учир нь алга болно.
Энэ тохиолдолд, мөн тэгтэй тэнцүү байж болно. Энэ сандал дээрх тэгшитгэлийг бүрэн бус гэж нэрлэдэг. Хэрэв бүх нөхцөл байгаа бол тэгшитгэл бүрэн байна.
Төрөл бүрийн квадрат тэгшитгэлийн шийдлүүд
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд:
Нэгдүгээрт, бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзье - тэдгээр нь илүү хялбар байдаг.
Дараах төрлийн тэгшитгэлийг ялгаж салгаж болно.
I., энэ тэгшитгэлд коэффициент ба чөлөөт гишүүн тэнцүү байна.
II. , энэ тэгшитгэлд коэффициент тэнцүү байна.
III. , энэ тэгшитгэлд чөлөөт гишүүн нь тэнцүү байна.
Одоо эдгээр дэд төрөл бүрийн шийдлийг авч үзье.
Мэдээжийн хэрэг, энэ тэгшитгэл үргэлж нэг үндэстэй байдаг:
Квадрат тоо сөрөг байж болохгүй, учир нь та хоёр сөрөг эсвэл хоёр эерэг тоог үржүүлэхэд үр дүн нь үргэлж эерэг тоо байх болно. Тийм учраас:
хэрэв тэгшитгэлд шийдэл байхгүй;
хэрэв бид хоёр үндэстэй бол
Эдгээр томъёог цээжлэх шаардлагагүй. Санаж байх ёстой гол зүйл бол үүнээс бага байж болохгүй.
Жишээ нь:
Шийдэл:
Хариулт:
Сөрөг тэмдэг бүхий үндсийг хэзээ ч бүү март!
Тооны квадрат нь сөрөг байж болохгүй, энэ нь тэгшитгэл гэсэн үг
үндэс байхгүй.
Асуудлыг шийдэх арга байхгүй гэдгийг товч бичихийн тулд бид хоосон багц дүрсийг ашигладаг.
Хариулт:
Тэгэхээр энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй: ба.
Хариулт:
Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая:
Хэрэв хүчин зүйлийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү байвал бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна. Энэ нь тэгшитгэл нь дараах тохиолдолд шийдэлтэй байна гэсэн үг юм.
Тэгэхээр энэ квадрат тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй: ба.
Жишээ:
Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл:
Тэгшитгэлийн зүүн талыг хүчин зүйл болгож үндсийг нь олцгооё.
Хариулт:
Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд:
1. Ялгаварлан гадуурхагч
Квадрат тэгшитгэлийг ийм аргаар шийдэх нь амархан, гол зүйл бол үйлдлийн дараалал, хэд хэдэн томъёог санах явдал юм. Ямар ч квадрат тэгшитгэлийг дискриминантын тусламжтайгаар шийдэж болно гэдгийг санаарай! Бүр бүрэн бус.
Үндэсийн томъёонд ялгаварлагчаас үндсийг анзаарсан уу? Гэхдээ ялгаварлагч нь сөрөг байж болно. Юу хийх вэ? Бид 2-р алхамд онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй. Ялгаварлагч нь тэгшитгэлийн язгуурын тоог хэлж өгдөг.
- Хэрэв тэгшитгэл нь үндэстэй бол:
- Хэрэв тэгшитгэл байгаа бол ижил үндэс, гэхдээ үндсэндээ нэг үндэс:
Ийм үндэсийг давхар үндэс гэж нэрлэдэг.
- Хэрэв, дараа нь ялгаварлагчийн үндсийг гаргаж аваагүй болно. Энэ нь тэгшитгэл нь үндэсгүй болохыг харуулж байна.
Яагаад өөр өөр тооны үндэс байж болох вэ? -руу хандъя геометрийн мэдрэмжквадрат тэгшитгэл. Функцийн график нь парабол юм:
Квадрат тэгшитгэл болох онцгой тохиолдолд . Энэ нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд нь абсцисса тэнхлэгтэй (тэнхлэг) огтлолцох цэгүүд гэсэн үг юм. Парабол нь тэнхлэгтэй огт огтлолцохгүй, эсвэл нэг (параболын орой тэнхлэг дээр байрлах үед) эсвэл хоёр цэгээр огтлолцож болно.
Үүнээс гадна коэффициент нь параболын салбаруудын чиглэлийг хариуцдаг. Хэрэв параболын мөчрүүд дээш, харин доошоо чиглэнэ.
Жишээ нь:
Шийдэл:
Хариулт:
Хариулт: .
Хариулт:
Энэ нь ямар ч шийдэл байхгүй гэсэн үг юм.
Хариулт: .
2. Вьетагийн теорем
Виетийн теоремыг ашиглахад маш хялбар: та зөвхөн үржвэр нь тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү хос тоог сонгох хэрэгтэй бөгөөд нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байна.
Виетийн теоремыг зөвхөн ашиглах боломжтой гэдгийг санах нь чухал юм багасгасан квадрат тэгшитгэл ().
Хэд хэдэн жишээг харцгаая:
Жишээ №1:
Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл:
Энэ тэгшитгэлийг Виетийн теоремыг ашиглан шийдэж болно, учир нь . Бусад коэффициентүүд: ; .
Тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь:
Мөн бүтээгдэхүүн нь тэнцүү байна:
Үржвэр нь тэнцүү хос тоонуудыг сонгоод нийлбэр нь тэнцүү эсэхийг шалгацгаая.
- Тэгээд. хэмжээ нь тэнцүү байна;
- Тэгээд. хэмжээ нь тэнцүү байна;
- Тэгээд. Хэмжээ нь тэнцүү байна.
системийн шийдэл нь:
Тиймээс, мөн бидний тэгшитгэлийн үндэс юм.
Хариулт: ; .
Жишээ №2:
Шийдэл:
Бүтээгдэхүүнд өгөгдсөн хос тоонуудыг сонгоод, тэдгээрийн нийлбэр тэнцүү эсэхийг шалгацгаая.
ба: тэд нийтдээ өгдөг.
ба: тэд нийтдээ өгдөг. Хүлээн авахын тулд зүгээр л бодож буй үндэсийн шинж тэмдгийг өөрчлөхөд хангалттай: мөн эцсийн эцэст, бүтээгдэхүүн.
Хариулт:
Жишээ №3:
Шийдэл:
Тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн нь сөрөг тул язгуурын үржвэр нь сөрөг тоо юм. Энэ нь зөвхөн нэг үндэс нь сөрөг, нөгөө нь эерэг байвал л боломжтой. Тиймээс үндэсийн нийлбэр нь тэнцүү байна тэдгээрийн модулиудын ялгаа.
Бүтээгдэхүүнд өгөгдсөн, ялгаа нь дараахтай тэнцүү байх ийм хос тоог сонгоцгооё.
ба: тэдгээрийн ялгаа тэнцүү - тохирохгүй байна;
ба: - тохиромжгүй;
ба: - тохиромжгүй;
ба: - тохиромжтой. Үлдсэн зүйл бол нэг үндэс нь сөрөг гэдгийг санах явдал юм. Тэдний нийлбэр тэнцүү байх ёстой тул бага модультай үндэс нь сөрөг байх ёстой: . Бид шалгаж байна:
Хариулт:
Жишээ №4:
Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл:
Тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд энэ нь:
Чөлөөт нэр томъёо нь сөрөг, тиймээс үндэсийн бүтээгдэхүүн нь сөрөг байна. Энэ нь тэгшитгэлийн нэг үндэс сөрөг, нөгөө нь эерэг байх үед л боломжтой юм.
Үржвэр нь тэнцүү хос тоонуудыг сонгоод аль үндэс нь сөрөг тэмдэгтэй байх ёстойг тодорхойлъё.
Мэдээжийн хэрэг, зөвхөн үндэс нь эхний нөхцөлд тохиромжтой:
Хариулт:
Жишээ №5:
Тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл:
Тэгшитгэл өгөгдсөн бөгөөд энэ нь:
Үндэсний нийлбэр нь сөрөг, энэ нь ядаж нэг үндэс нь сөрөг байна гэсэн үг юм. Гэхдээ тэдний бүтээгдэхүүн эерэг учраас энэ нь хоёр үндэс нь хасах тэмдэгтэй гэсэн үг юм.
Үржвэр нь дараахтай тэнцүү хос тоонуудыг сонгоцгооё.
Мэдээжийн хэрэг, үндэс нь тоонууд ба.
Хариулт:
Зөвшөөрч байна, энэ муухай ялгаварлан гадуурхагчийг тоолохын оронд амаар үндсийг гаргах нь маш тохиромжтой. Виетийн теоремыг аль болох олон удаа ашиглахыг хичээ.
Гэхдээ үндсийг нь олоход хялбар, хурдасгахын тулд Виетийн теорем хэрэгтэй. Үүнийг ашиглахын тулд та үйлдлүүдийг автоматжуулах хэрэгтэй. Үүний тулд дахиад таван жишээг шийд. Гэхдээ хууран мэхлэх хэрэггүй: та ялгаварлагчийг ашиглаж болохгүй! Зөвхөн Виетийн теорем:
Бие даасан ажлын даалгаврын шийдэл:
Даалгавар 1. ((x)^(2))-8x+12=0
Виетийн теоремын дагуу:
Ердийнх шигээ бид сонголтоо дараах хэсгээс эхэлдэг.
Хэмжээ нь тохиромжгүй;
: хэмжээ нь танд хэрэгтэй зүйл юм.
Хариулт: ; .
Даалгавар 2.
Мөн бидний дуртай Виетийн теорем: нийлбэр нь тэнцүү байх ёстой бөгөөд үржвэр нь тэнцүү байх ёстой.
Гэхдээ энэ нь тийм биш байх ёстой тул, гэхдээ бид үндэсийн шинж тэмдгийг өөрчилдөг: ба (нийт).
Хариулт: ; .
Даалгавар 3.
Хмм... Тэр хаана байна?
Та бүх нэр томъёог нэг хэсэгт шилжүүлэх хэрэгтэй:
Үндэсний нийлбэр нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.
За, зогсоо! Тэгшитгэлийг өгөөгүй байна. Гэхдээ Виетийн теорем нь зөвхөн өгөгдсөн тэгшитгэлд хамаарна. Тиймээс эхлээд тэгшитгэл өгөх хэрэгтэй. Хэрэв та удирдаж чадахгүй бол энэ санаагаа орхиж, өөр аргаар (жишээлбэл, ялгаварлагчаар дамжуулан) шийдээрэй. Квадрат тэгшитгэл өгөх нь тэргүүлэх коэффициентийг тэнцүү болгоно гэдгийг сануулъя.
Гайхалтай. Дараа нь үндэсийн нийлбэр нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.
Энд лийрийг няцлахтай адил хялбархан сонгох боломжтой: эцсийн эцэст энэ бол анхны тоо (тавтологийг уучлаарай).
Хариулт: ; .
Даалгавар 4.
Чөлөөт гишүүн сөрөг байна. Энэ юугаараа онцлог вэ? Үнэн хэрэгтээ үндэс нь өөр өөр шинж тэмдэгтэй байх болно. Одоо сонгохдоо бид үндэсийн нийлбэрийг биш, харин тэдгээрийн модулиудын ялгааг шалгадаг: энэ ялгаа нь тэнцүү, гэхдээ бүтээгдэхүүн юм.
Тэгэхээр, үндэс нь ба-тай тэнцүү боловч тэдгээрийн нэг нь хасах юм. Виетийн теорем нь язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдэгтэй хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. Энэ нь жижиг үндэс нь хасах: ба, оноос хойш гэсэн үг юм.
Хариулт: ; .
Даалгавар 5.
Та эхлээд юу хийх ёстой вэ? Зөв, тэгшитгэлийг өг:
Дахин хэлэхэд: бид тооны хүчин зүйлсийг сонгох бөгөөд тэдгээрийн ялгаа нь дараахтай тэнцүү байх ёстой.
Үндэс нь ба-тай тэнцүү боловч тэдгээрийн нэг нь хасах юм. Аль нь? Тэдний нийлбэр тэнцүү байх ёстой бөгөөд энэ нь хасах нь илүү том үндэстэй болно гэсэн үг юм.
Хариулт: ; .
Товчхондоо:
- Виетийн теоремыг зөвхөн өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлд ашигладаг.
- Виетийн теоремыг ашиглан үндсийг сонгон, амаар олж болно.
- Хэрэв тэгшитгэл өгөгдөөгүй эсвэл тэгшитгэл олдохгүй бол тохиромжтой хосчөлөөт нэр томъёоны хүчин зүйлүүд, энэ нь бүхэл бүтэн үндэс байхгүй гэсэн үг бөгөөд та өөр аргаар (жишээлбэл, ялгаварлагчаар дамжуулан) шийдэх хэрэгтэй.
3. Бүрэн квадратыг сонгох арга
Хэрэв үл мэдэгдэх зүйлийг агуулсан бүх нэр томьёо нь үржүүлэх товчилсон томъёоны нэр томъёо хэлбэрээр илэрхийлэгдсэн бол - нийлбэрийн квадрат эсвэл зөрүү - хувьсагчдыг орлуулсны дараа тэгшитгэлийг бүрэн бус квадрат тэгшитгэл хэлбэрээр гаргаж болно.
Жишээ нь:
Жишээ 1:
Тэгшитгэлийг шийд: .
Шийдэл:
Хариулт:
Жишээ 2:
Тэгшитгэлийг шийд: .
Шийдэл:
Хариулт:
IN ерөнхий үзэлөөрчлөлт дараах байдлаар харагдах болно.
Үүнд: .
Танд юу ч сануулахгүй байна уу? Энэ бол ялгаварлан гадуурхах зүйл! Яг ийм байдлаар бид ялгах томъёог олж авсан.
Квадрат тэгшитгэл. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН
Квадрат тэгшитгэл- энэ нь хэлбэрийн тэгшитгэл бөгөөд энд - үл мэдэгдэх, - квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд, - чөлөөт гишүүн.
Бүрэн квадрат тэгшитгэл- коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү биш тэгшитгэл.
Багасгасан квадрат тэгшитгэл- коэффициент байх тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл: .
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл- коэффициент ба чөлөөт гишүүн c нь тэгтэй тэнцүү байх тэгшитгэл:
- Хэрэв коэффициент бол тэгшитгэл нь дараах байдлаар харагдана.
- Хэрэв чөлөөт гишүүн бол тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна:
- хэрэв ба бол тэгшитгэл нь: .
1. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм
1.1. Хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл, энд, :
1) Үл мэдэгдэхийг илэрхийлье: ,
2) Илэрхийллийн тэмдгийг шалгана уу:
- Хэрэв тэгшитгэлд шийдэл байхгүй бол,
- Хэрэв тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй.
1.2. Хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл, энд, :
1) Нийтлэг хүчин зүйлийг хаалтнаас гаргая: ,
2) Хэрэв хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү бол бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй:
1.3. Маягтын бүрэн бус квадрат тэгшитгэл, үүнд:
Энэ тэгшитгэл нь үргэлж нэг үндэстэй байдаг: .
2. Хэлбэрийн бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм хаана
2.1. Дискриминант ашиглан шийдэл
1) Тэгшитгэлийг багасгая стандарт харагдах байдал: ,
2) Дискриминантыг томъёогоор тооцоолъё: , энэ нь тэгшитгэлийн язгуурын тоог заана.
3) Тэгшитгэлийн язгуурыг ол:
- Хэрэв тэгшитгэл нь язгууртай бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор олно.
- Хэрэв тэгшитгэл нь язгууртай бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор олно.
- Хэрэв тэгшитгэл нь үндэсгүй болно.
2.2. Виетийн теоремыг ашиглан шийдэл
Буурсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр (хэлбэрийн тэгшитгэл) тэнцүү, язгуурын үржвэр нь тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. , А.
2.3. Бүрэн квадратыг сонгох аргын шийдэл
Фарафонова Наталья Игоревна
Сэдэв:Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл.
Хичээлийн зорилго:- Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн тухай ойлголтыг танилцуулах;
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэж сур.
Хичээлийн зорилго:- Квадрат тэгшитгэлийн төрлийг тодорхойлох чадвартай байх;
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийд.
Вэб ном:Алгебр: Сурах бичиг. 8-р ангийн хувьд. ерөнхий боловсрол байгууллагууд / Ш.А.Алимов, Ю.Колягин, В.Сидоров, гэх мэт.
Хичээлийн явц.
1. Аливаа квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн өмнө стандарт хэлбэрт оруулах шаардлагатайг сурагчдад сануул. Тодорхойлолтыг санаарай Бүрэн квадрат тэгшитгэл:сүх 2 +bx +c = 0,a ≠ 0.
Эдгээр квадрат тэгшитгэлд a, b, c коэффициентүүдийг нэрлэнэ үү.
a) 2х 2 - x + 3 = 0; b) x 2 + 4x - 1 = 0; в) x 2 - 4 = 0; d) 5х 2 + 3х = 0.
2. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг тодорхойл:
ax 2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийг нэрлэнэ бүрэн бус, хэрэв b эсвэл c гэсэн коэффициентүүдийн ядаж нэг нь 0-тэй тэнцүү бол коэффициент a ≠ 0 гэдгийг анхаарна уу. Дээр үзүүлсэн тэгшитгэлүүдээс бүрэн бус квадрат тэгшитгэлүүдийг сонго.
3. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн төрлийг шийдлийн жишээн дээр хүснэгт хэлбэрээр үзүүлэх нь илүү тохиромжтой.
- Шийдэлгүйгээр бүрэн бус квадрат тэгшитгэл бүрийн язгуурын тоог тодорхойл.
a) 2х 2 - 3 = 0; б) 3х 2 + 4 = 0; в) 5х 2 - x = 0; d) 0.6x 2 = 0; e) -8х 2 - 4 = 0.
- Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэх (тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, самбар дээр шалгах, 2 сонголт):
в) 2х 2 + 15 = 0
г) 3х 2 + 2х = 0
e) 2х 2 - 16 = 0
e) 5(x 2 + 2) = 2(x 2 + 5)
g) (x + 1) 2 - 4 = 0
в) 2х 2 + 7 = 0
d) x 2 + 9x = 0
e) 81x 2 - 64 = 0
f) 2(x 2 + 4) = 4(x 2 + 2)
g) (x - 2) 2 - 8 = 0.
6. Сонголтуудын дагуу бие даасан ажил:
1 сонголт
a) 3х 2 - 12 = 0
б) 2х 2 + 6х = 0
e) 7х 2 - 14 = 0
Сонголт 2
б) 6х 2 + 24 = 0
в) 9y 2 - 4 = 0
d) -y 2 + 5 = 0
e) 1 - 4y 2 = 0
д) 8у 2 + у = 0
Сонголт 3
a) 6y - y 2 = 0
b) 0.1y 2 - 0.5y = 0
в) (x + 1)(x -2) = 0
d) x(x + 0.5) = 0
e) x 2 - 2x = 0
e) x 2 - 16 = 0
Сонголт 4
a) 9х 2 - 1 = 0
б) 3х - 2х 2 = 0
d) x 2 + 2x - 3 = 2x + 6
д) 3х 2 + 7 = 12х+ 7
Сонголт 5
a) 2х 2 - 18 = 0
б) 3х 2 - 12х = 0
d) x 2 + 16 = 0
e) 6х 2 - 18 = 0
e) x 2 - 5x = 0
Сонголт 6
б) 4х 2 + 36 = 0
в) 25y 2 - 1 = 0
d) -y 2 + 2 = 0
e) 9 - 16y 2 = 0
д) 7у 2 + у = 0
Сонголт 7
a) 4y - y 2 = 0
b) 0.2y 2 - y = 0
в) (x + 2)(x - 1) = 0
d) (x - 0.3)x = 0
e) x 2 + 4x = 0
e) x 2 - 36 = 0
Сонголт 8
a) 16х 2 - 1 = 0
б) 4х - 5х 2 = 0
d) x 2 - 3x - 5 = 11 - 3x
д) 5х 2 - 6 = 15х - 6
Хариултууд бие даасан ажил:
Сонголт 1: a)2, b)0;-3; в) 0; г) үндэс байхгүй; d);
Сонголт 2 a)0; б) үндэс; V); G); d); e)0;- ;
Сонголт 3 a)0;6; б)0;5; в)-1;2; г)0;-0,5; г)0;2; e)4
4 сонголт a); б)0;1.5; в)0;3; г)3; d)0;4 f)5
5 сонголт a)3; б)0;4; в) 0; г) үндэс байхгүй; e) f)0;5
6 сонголт a)0; б) үндэс байхгүй; c) d) e)f)0;-
7 сонголт a)0;4; б)0;5; в)-2;1; г)0;0.03; г)0;-4; e) 6
8 сонголт a) b)0; в)0;7; d)4; г)0;3; д)
Хичээлийн хураангуй:"Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл" гэсэн ойлголтыг томъёолсон; шийдлүүдийг үзүүлэв янз бүрийн төрөлбүрэн бус квадрат тэгшитгэл. Ажиллаж байна янз бүрийн даалгаварбүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ур чадвар бий болсон.
7. Гэрийн даалгавар: №№ 421(2), 422(2), 423(2,4), 425.
Нэмэлт даалгавар:
a-ийн ямар утгуудын хувьд тэгшитгэл нь бүрэн бус квадрат тэгшитгэл болох вэ? Хүлээн авсан утгуудын тэгшитгэлийг шийднэ үү:
a) x 2 + 3ax + a - 1 = 0
б) (a - 2)x 2 + ax = 4 - a 2 = 0
Квадрат тэгшитгэл. Ялгаварлан гадуурхагч. Шийдэл, жишээ.
Анхаар!
Нэмэлт байдаг
555-р тусгай хэсгийн материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)
Квадрат тэгшитгэлийн төрлүүд
Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ? Энэ нь ямар харагдаж байна вэ? Хугацааны хувьд квадрат тэгшитгэлтүлхүүр үг нь "дөрвөлжин".Энэ нь тэгшитгэлд гэсэн үг юм Заавал x квадрат байх ёстой. Үүнээс гадна тэгшитгэл нь зөвхөн X (эхний зэрэглэлд) ба зөвхөн тоог агуулж болно (эсвэл үгүй ч байж болно!) (чөлөөт гишүүн).Мөн хоёроос их хүчин чадалд X байх ёсгүй.
Математикийн хувьд квадрат тэгшитгэл нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэл юм.
Энд a, b ба c- зарим тоо. б ба в- туйлын ямар ч, гэхдээ А- тэгээс бусад бүх зүйл. Жишээ нь:
Энд А =1; б = 3; в = -4
Энд А =2; б = -0,5; в = 2,2
Энд А =-3; б = 6; в = -18
За ойлголоо...
Эдгээр квадрат тэгшитгэлд зүүн талд байна бүрэн багцгишүүд. X коэффициент бүхий квадрат А, x-ийг коэффициенттэй эхний зэрэглэлд шилжүүлнэ бТэгээд чөлөөт гишүүн С.
Ийм квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэг дүүрэн.
Яах юм бол б= 0, бид юу авах вэ? Бидэнд байна X нь эхний хүчийг алдах болно.Энэ нь тэгээр үржихэд тохиолддог.) Энэ нь жишээлбэл:
5х 2 -25 = 0,
2х 2 -6х=0,
-x 2 +4x=0
гэх мэт. Хэрэв хоёулаа коэффициент байвал бТэгээд втэгтэй тэнцүү бол энэ нь бүр ч хялбар болно:
2х 2 =0,
-0.3x 2 =0
Ямар нэг зүйл дутуу байгаа ийм тэгшитгэлийг нэрлэдэг бүрэн бус квадрат тэгшитгэл.Энэ нь нэлээд логик юм.) Бүх тэгшитгэлд x квадрат байгааг анхаарна уу.
Дашрамд хэлэхэд яагаад Атэгтэй тэнцүү байж болохгүй гэж үү? Та оронд нь орлоно Атэг.) Манай X квадрат алга болно! Тэгшитгэл нь шугаман болно. Мөн шийдэл нь огт өөр ...
Энэ бол квадрат тэгшитгэлийн бүх үндсэн төрлүүд юм. Бүрэн ба бүрэн бус.
Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хялбар байдаг. Томъёоны дагуу, тодорхой энгийн дүрэм. Эхний шатанд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай өгөгдсөн тэгшитгэлстандарт хэлбэрт хүргэх, i.e. маягт руу:
Хэрэв тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр аль хэдийн өгсөн бол та эхний шатыг хийх шаардлагагүй.) Хамгийн гол нь бүх коэффициентийг зөв тодорхойлох, А, бТэгээд в.
Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томъёо дараах байдалтай байна.
Үндэс тэмдгийн доорх илэрхийллийг дуудна ялгаварлагч. Гэхдээ түүний тухай доор дэлгэрэнгүй. Таны харж байгаагаар бид X-г олохын тулд ашигладаг зөвхөн a, b, c. Тэдгээр. квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд. Зүгээр л утгыг болгоомжтой орлуулах хэрэгтэй a, b ба cБид энэ томъёогоор тооцоолно. Орлуулж үзье өөрийн шинж тэмдгээр! Жишээлбэл, тэгшитгэлд:
А =1; б = 3; в= -4. Энд бид үүнийг бичнэ:
Жишээ нь бараг шийдэгдсэн:
Энэ бол хариулт юм.
Энэ нь маш энгийн. Юу вэ, та алдаа гаргах боломжгүй гэж бодож байна уу? За, тийм ээ, яаж ...
Хамгийн түгээмэл алдаа бол тэмдгийн утгыг төөрөгдүүлэх явдал юм a, b ба c. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийн шинж тэмдгээр биш (хаана андуурч байна вэ?), Харин сөрөг утгыг үндсийг тооцоолох томъёонд орлуулах замаар. Энд туслах зүйл бол тодорхой тоогоор томъёоны нарийвчилсан бичлэг юм. Хэрэв тооцоололд асуудал гарвал үүнийг хий!
Бид дараах жишээг шийдэх хэрэгтэй гэж бодъё.
Энд а = -6; б = -5; в = -1
Та анх удаа хариулт авах нь ховор гэдгийг мэддэг гэж бодъё.
За, битгий залхуу бай. Нэмэлт мөр бичихэд 30 секунд зарцуулагдана. Мөн алдааны тоо огцом буурах болно. Тиймээс бид бүх хаалт, тэмдгүүдийн хамт дэлгэрэнгүй бичнэ.
Ийм анхааралтай бичих нь үнэхээр хэцүү юм шиг санагддаг. Гэхдээ энэ нь зөвхөн тийм юм шиг санагддаг. Та туршаад үзээрэй. За, эсвэл сонго. Аль нь дээр вэ, хурдан эсвэл зөв үү?
Түүнээс гадна би чамайг баярлуулах болно. Хэсэг хугацааны дараа бүх зүйлийг маш болгоомжтой бичих шаардлагагүй болно. Энэ нь өөрөө бие даан ажиллах болно. Ялангуяа та доор тайлбарласан практик техникийг ашигладаг бол. Олон тооны хасах зүйлтэй энэ муу жишээг амархан, алдаагүйгээр шийдэж болно!
Гэхдээ ихэнхдээ квадрат тэгшитгэлүүд арай өөр харагддаг. Жишээлбэл, иймэрхүү: Та үүнийг таньсан уу?) Тийм ээ! Энэ.
бүрэн бус квадрат тэгшитгэл
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. a, b ба c.
Тэдгээрийг мөн ерөнхий томъёогоор шийдэж болно. Энд тэд юутай тэнцүү болохыг та зүгээр л зөв ойлгох хэрэгтэй. Та үүнийг олж мэдсэн үү? Эхний жишээнд a = 1; b = -4; вА ? Энэ нь огт байхгүй! За, тийм ээ, зөв. Математикийн хувьд энэ нь тийм гэсэн үг юм c = 0 ! Ингээд л болоо. Томъёоны оронд тэгийг орлуулаарайв, тэгээд бид амжилтанд хүрнэ. Хоёрдахь жишээтэй адилхан. Зөвхөн энд тэг байхгүй-тай б !
, А
Гэхдээ бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг илүү энгийнээр шийдэж болно. Ямар ч томьёогүйгээр. Эхний бүрэн бус тэгшитгэлийг авч үзье. Та зүүн талд юу хийж чадах вэ? Та X-г хаалтнаас гаргаж болно! Үүнийг гаргаж авцгаая.
Тэгэхээр энэ юу вэ? Аль нэг хүчин зүйл нь тэгтэй тэнцэх тохиолдолд л бүтээгдэхүүн тэгтэй тэнцүү байна гэсэн баримт! Надад итгэхгүй байна уу? За тэгвэл үржүүлбэл тэгийг өгөх тэгээс өөр хоёр тоог гар!
Ажиллахгүй байна уу? Ингээд л болоо... Тиймээс бид итгэлтэйгээр бичиж болно:, x 1 = 0.
x 2 = 4 Бүгд. Эдгээр нь бидний тэгшитгэлийн үндэс байх болно. Аль аль нь тохиромжтой. Тэдгээрийн аль нэгийг нь анхны тэгшитгэлд орлуулахад бид 0 = 0 зөв таних тэмдгийг олж авна. Таны харж байгаагаар шийдэл нь ерөнхий томъёог ашиглахаас хамаагүй хялбар юм. Дашрамд хэлэхэд, аль X нь эхнийх, аль нь хоёрдугаарт орохыг огт хайхрамжгүй болгоё. Энэ нь дарааллаар бичихэд тохиромжтой, x 1 - юу нь бага ба x 2
- энэ нь илүү агуу юм.
Хоёр дахь тэгшитгэлийг бас энгийнээр шийдэж болно. 9-ийг баруун тийш шилжүүлнэ үү. Бид авах:
9-ээс үндсийг нь гаргаж авахад л үлдлээ, тэгээд л болоо. Энэ нь гарах болно: . Мөн хоёр үндэс, x 1 = -3.
x 2 = 3
Бүрэн бус бүх квадрат тэгшитгэлийг ингэж шийддэг. Хаалтанд X-г оруулах, эсвэл зүгээр л тоог баруун тийш шилжүүлж, үндсийг нь гаргаж авна.
Эдгээр техникийг төөрөлдүүлэх нь туйлын хэцүү байдаг. Зүгээр л учир нь эхний тохиолдолд та ямар нэгэн байдлаар ойлгомжгүй X-ийн үндсийг задлах хэрэгтэй болно, хоёр дахь тохиолдолд хаалтнаас гаргах зүйл байхгүй ...
Ялгаварлан гадуурхагч. Ялгаварлах томъёо. ялгаварлагч ! Энэ үгийг сонсоогүй ахлах сургуулийн сурагч ховор байх! "Бид ялгаварлан гадуурхах замаар шийддэг" гэсэн хэллэг нь өөртөө итгэх итгэл, итгэлийг төрүүлдэг. Яагаад гэвэл ялгаварлагчаас заль мэхийг хүлээх шаардлагагүй! Ашиглахад хялбар бөгөөд асуудалгүй.) Шийдвэрлэх хамгийн ерөнхий томъёог танд сануулж байна ямар чквадрат тэгшитгэл:
Үндэс тэмдгийн доорх илэрхийлэлийг ялгаварлагч гэж нэрлэдэг. Ихэвчлэн ялгаварлагчийг үсгээр тэмдэглэдэг Д. Ялгаварлах томъёо:
D = b 2 - 4ac
Мөн энэ илэрхийлэл нь юугаараа гайхалтай вэ? Яагаад тусгай нэр авах ёстой байсан бэ? Юу ялгаварлагчийн утга нь юу вэ?Эцсийн эцэст -б,эсвэл 2аэнэ томъёонд тэд тусгайлан юу ч гэж нэрлэдэггүй ... Үсэг, үсэг.
Энэ нь энд байна. Энэ томъёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд боломжтой ердөө гурван тохиолдол.
1. Ялгаварлагч эерэг байна.Энэ нь үндсийг нь гаргаж авах боломжтой гэсэн үг юм. Үндэс нь сайн олборлосон уу, муу уу гэдэг нь өөр асуудал. Зарчмын хувьд юу олборлож байгаа нь чухал. Тэгвэл таны квадрат тэгшитгэл хоёр үндэстэй. Хоёр өөр шийдэл.
2. Дискриминант нь тэг байна.Дараа нь танд нэг шийдэл байх болно. Учир нь тоологч дээр тэг нэмэх, хасах нь юу ч өөрчлөгдөхгүй. Хатуухан хэлэхэд энэ нь нэг үндэс биш, гэхдээ хоёр ижил. Гэхдээ хялбаршуулсан хувилбараар ярих нь заншилтай байдаг нэг шийдэл.
3. Ялгаварлагч сөрөг байна.Сөрөг тооны квадрат язгуурыг авах боломжгүй. Өө сайн. Энэ нь ямар ч шийдэл байхгүй гэсэн үг юм.
Үнэнийг хэлэхэд, хэзээ энгийн шийдэлКвадрат тэгшитгэлийн хувьд дискриминантын тухай ойлголт онцгой шаардлагагүй. Бид коэффициентийн утгыг томъёонд орлуулж, тоолно. Тэнд бүх зүйл өөрөө тохиолддог, хоёр үндэс, нэг, аль нь ч байхгүй. Гэсэн хэдий ч мэдлэггүйгээр илүү төвөгтэй ажлуудыг шийдвэрлэхэд ялгаварлагчийн утга ба томъёодавж чадахгүй. Ялангуяа параметр бүхий тэгшитгэлд. Ийм тэгшитгэлүүд нь Улсын шалгалт ба Улсын нэгдсэн шалгалтанд зориулсан нисэх онгоц юм!)
Тэгэхээр, квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэхТаны санаж байсан ялгаварлагчаар дамжуулан. Эсвэл та сурсан, энэ нь бас муу биш юм.) Та хэрхэн зөв тодорхойлохоо мэддэг a, b ба c. Та яаж мэдэх вэ? анхааралтайтэдгээрийг үндсэн томъёонд орлуулах ба анхааралтайүр дүнг тоол. Та үүнийг ойлгосон уу түлхүүр үгЭнд - анхааралтай уу?
Одоо алдааны тоог эрс багасгадаг практик аргуудыг анхаарч үзээрэй. Анхаарал болгоомжгүйгээс болж үүсдэг тэр л зүйлүүд... Үүний төлөө сүүлдээ өвдөж, гомдоодог...
Эхний уулзалт
. Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхээсээ өмнө залхуу байж, стандарт хэлбэрт оруулах хэрэггүй. Энэ юу гэсэн үг вэ?
Бүх хувиргалтын дараа та дараах тэгшитгэлийг авна гэж бодъё.
Үндэс томъёог бичих гэж бүү яар! Та магадлалыг бараг л хольж хутгана a, b ба c.Жишээг зөв зохио. Эхлээд X квадрат, дараа нь квадратгүй, дараа нь чөлөөт гишүүн. Үүнтэй адил:
Мөн дахин, бүү яар! X квадратын өмнөх хасах нь таныг үнэхээр бухимдуулж чадна. Мартах амархан... Хасах зүйлээ хая. Яаж? Тиймээ, өмнөх сэдвээр заасны дагуу! Бид бүхэл тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлэх хэрэгтэй. Бид авах:
Харин одоо та үндэсийн томъёог аюулгүй бичиж, ялгаварлагчийг тооцоолж, жишээг шийдэж дуусгах боломжтой. Өөрийнхөө төлөө шийд.
Та одоо 2 ба -1 үндэстэй байх ёстой. Хоёр дахь хүлээн авалт. Үндэсийг шалгана уу! Вьетагийн теоремын дагуу. Битгий ай, би бүгдийг тайлбарлах болно! Шалгаж байнасүүлчийн тэгшитгэл. Тэдгээр. бидний язгуур томьёог бичдэг байсан. Хэрэв (энэ жишээн дээрх шиг) коэффициент a = 1 , үндсийг нь шалгах нь амархан. Тэднийг үржүүлэхэд хангалттай. Үр дүн нь чөлөөт гишүүн байх ёстой, i.e. манай тохиолдолд -2. Анхаарна уу, 2 биш, харин -2! Чөлөөт гишүүн таны тэмдгээр
. Хэрэв энэ нь болохгүй бол тэд аль хэдийн хаа нэгтээ залхаасан гэсэн үг. Алдааг хай. бХэрэв энэ нь ажиллаж байгаа бол та үндсийг нэмэх хэрэгтэй. Сүүлийн ба эцсийн шалгалт. Коэффицент нь байх ёстой -тай
эсрэг бтанил. Манай тохиолдолд -1+2 = +1. Коэффицент
X-ийн өмнө байгаа нь -1-тэй тэнцүү байна. Тиймээс, бүх зүйл зөв байна! Зөвхөн х квадрат нь цэвэр, коэффициенттэй жишээнүүдэд энэ нь маш энгийн байдаг нь харамсалтай a = 1.
Гэхдээ ядаж ийм тэгшитгэлийг шалгаарай! Алдаа багасах болно. Гурав дахь хүлээн авалт . Хэрэв таны тэгшитгэл бутархай коэффициенттэй бол бутархайг зайлуул! Тэгшитгэлийг үржүүлнэнийтлэг хуваагч
, "Тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ? Ижил хувиргалт" хичээлд тайлбарласны дагуу. Бутархайтай ажиллахад яагаад ч юм алдаа гарсаар л байдаг...
Дашрамд хэлэхэд би муу жишээг олон тооны хасах зүйлээр хялбарчлахаа амласан. Гуйя! Тэр энд байна.
Хасах тал дээр төөрөлдөхгүйн тулд бид тэгшитгэлийг -1-ээр үржүүлнэ. Бид авах:
Ингээд л болоо! Шийдэх нь таашаал юм!
Ингээд сэдвийг тоймлон хүргэе.:
Практик зөвлөгөө 1. Шийдвэрлэхийн өмнө квадрат тэгшитгэлийг стандарт хэлбэрт оруулж, байгуулна.
Зөв
2. Хэрвээ X квадратын өмнө сөрөг коэффициент байвал тэгшитгэлийг бүхэлд нь -1-ээр үржүүлж арилгана.
3. Хэрэв коэффициентүүд нь бутархай бол бид бүхэл тэгшитгэлийг харгалзах хүчин зүйлээр үржүүлж бутархайг арилгана. 4. Хэрэв x квадрат нь цэвэр бол түүний коэффициент нь нэгтэй тэнцүү бол шийдлийг Виетийн теоремоор хялбархан шалгаж болно.
Үүнийг хий!
Одоо бид шийдэж чадна.)
Тэгшитгэлийг шийдэх:
8х 2 - 6х + 1 = 0
x 2 + 3x + 8 = 0
x 2 - 4x + 4 = 0
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)
Тиймээс бид итгэлтэйгээр бичиж болно:
Хариултууд (эмх замбараагүй):
x 2 = 52
x 1.2 =
x 1 = 2
x 2 = -0.5
Мөн хоёр үндэс
x 1 = -3
x - дурын тоо
шийдэл байхгүй
x 1 = 0.25
Бүх зүйл таарч байна уу? Гайхалтай! Квадрат тэгшитгэл нь таны толгойны өвчин биш юм. Эхний гурав нь ажилласан, харин бусад нь ажилласангүй? Тэгвэл асуудал нь квадрат тэгшитгэлд биш юм. Асуудал нь тэгшитгэлийн ижил хувиргалтуудад байна. Холбоосыг хараарай, энэ нь тустай.
Бүтэхгүй байна уу? Эсвэл огт болохгүй байна уу? Дараа нь 555-р бүлэгт эдгээр бүх жишээг задалсан болно. Үзүүлсэн голшийдэл дэх алдаа. Мэдээжийн хэрэг, бид шийдэлд ижил төстэй хувиргалтыг ашиглах талаар бас ярьдаг өөр өөр тэгшитгэлүүд. Маш их тусалдаг!
Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...
Дашрамд хэлэхэд, би танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)
Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)
Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.
Квадрат тэгшитгэл. Ерөнхий мэдээлэл.
IN квадрат тэгшитгэл x квадрат байх ёстой (ийм учраас үүнийг нэрлэдэг
"дөрвөлжин") Үүнээс гадна тэгшитгэл нь зүгээр л X (эхний зэрэглэлд) болон агуулж болно (эсвэл үгүй ч байж болно!).
зүгээр л тоо (чөлөөт гишүүн). Мөн хоёроос их хүчин чадалд X байх ёсгүй.
Алгебрийн тэгшитгэлерөнхий дүр төрх.
Хаана x- чөлөөт хувьсагч, а, б, в- коэффициент, ба а≠0 .
Жишээ нь: 
Илэрхийлэл 
дуудсан квадрат гурвалжин.
Квадрат тэгшитгэлийн элементүүд байна зохих нэрс:
эхний буюу хамгийн өндөр коэффициент гэж нэрлэдэг
· хоёр дахь буюу коэффициент гэж нэрлэдэг,
· чөлөөт гишүүн гэж нэрлэдэг.
Бүрэн квадрат тэгшитгэл.
Эдгээр квадрат тэгшитгэлүүдийн зүүн талд бүрэн нэр томъёо байна. X квадрат c
коэффициент А, x-ийг коэффициенттэй эхний зэрэглэлд шилжүүлнэ бТэгээд үнэгүй гишүүн-тай. INбүх коэффициентүүд
тэгээс ялгаатай байх ёстой.
Бүрэн бусэс тооцвол ядаж нэг коэффициентийг агуулсан квадрат тэгшитгэл юм
тэргүүлэх нэр томъёо (хоёр дахь коэффициент эсвэл чөлөөт гишүүний аль нэг нь) тэгтэй тэнцүү байна.
Ингэж бодъё б= 0, - Эхний хүч хүртэл X алга болно. Энэ нь жишээлбэл:
2х 2 -6х=0,
гэх мэт. Хэрэв хоёулаа коэффициент байвал бТэгээд втэгтэй тэнцүү бол бүх зүйл илүү хялбар болно, Жишээ нь:
2х 2 =0,
Бүх тэгшитгэлд x квадрат гарч ирнэ гэдгийг анхаарна уу.
Яагаад Атэгтэй тэнцүү байж болохгүй гэж үү? Дараа нь x квадрат алга болж, тэгшитгэл болно шугаман .
Мөн шийдэл нь огт өөр ...
Илүү энгийн аргаар. Үүнийг хийхийн тулд z-г хаалтнаас гарга. Та дараахийг авна: z(аz + b) = 0. Хүчин зүйлүүдийг бичиж болно: z=0 ба аz + b = 0, учир нь хоёулангийнх нь үр дүн тэг байж болно. az + b = 0 тэмдэглэгээнд бид хоёр дахь нь баруун тийш өөр тэмдгээр шилжинэ. Эндээс бид z1 = 0 ба z2 = -b/a болно. Эдгээр нь эхийн үндэс юм.
Хэрэв аz² + с = 0 хэлбэрийн бүрэн бус тэгшитгэл байгаа бол in энэ тохиолдолдЧөлөөт гишүүнийг тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлснээр олно. Мөн тэмдгийг өөрчил. Үр дүн нь az² = -с болно. z² = -c/a илэрхийлнэ. Үндэсийг нь аваад эерэг ба хоёр шийдлийг бичнэ үү сөрөг утгаквадрат язгуур.
Анхаарна уу
Хэрэв тэгшитгэлд бутархай коэффициент байгаа бол бутархайг арилгахын тулд тэгшитгэлийг бүхэлд нь тохирох хүчин зүйлээр үржүүлнэ.
Квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаархи мэдлэг нь сургуулийн сурагчид болон оюутнуудад зайлшгүй шаардлагатай байдаг энгийн амьдрал. Хэд хэдэн тодорхой шийдлийн аргууд байдаг.
Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
a*x^2+b*x+c=0 хэлбэрийн квадрат тэгшитгэл. Х коэффициент нь хүссэн хувьсагч, a, b, c нь тоон коэффициент юм. "+" тэмдэг нь "-" тэмдэг болж өөрчлөгдөж болно гэдгийг санаарай.Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд Виетийн теоремыг ашиглах эсвэл дискриминантыг олох шаардлагатай. Хамгийн түгээмэл арга бол ялгагчийг олох явдал юм, учир нь a, b, c-ийн зарим утгуудын хувьд Виетийн теоремыг ашиглах боломжгүй байдаг.
Дискриминантыг (D) олохын тулд D=b^2 - 4*a*c томъёог бичих хэрэгтэй. D утга нь тэгээс их, бага эсвэл тэгтэй тэнцүү байж болно. Хэрэв D нь тэгээс их эсвэл бага бол D = 0 бол зөвхөн нэг үндэс үлдэх болно, энэ тохиолдолд D нь хоёр ижил үндэстэй гэж хэлж болно; Томъёонд мэдэгдэж буй a, b, c коэффициентүүдийг орлуулж утгыг тооцоол.
Дискриминантыг олсны дараа томьёог ашиглан х-г ол: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a энд sqrt нь задлах гэсэн утгатай функц юм квадрат язгуур-аас өгсөн дугаар. Эдгээр илэрхийлэлийг тооцоолсны дараа та тэгшитгэлийнхээ хоёр язгуурыг олох бөгөөд үүний дараа тэгшитгэлийг шийдсэн гэж үзнэ.
Хэрэв D тэгээс бага бол үндэстэй хэвээр байна. Энэ хэсгийг сургуульд бараг судлаагүй. Үндэс дор сөрөг тоо гарч байгааг их сургуулийн оюутнууд мэдэж байх ёстой. Тэд төсөөллийн хэсгийг тодруулснаар үүнээс ангижрах болно, өөрөөр хэлбэл язгуур дор -1 нь үргэлж ижил эерэг тоогоор язгуураар үржүүлсэн төсөөллийн "i" элементтэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, D=sqrt(-20) бол хувиргасны дараа D=sqrt(20)*i болж хувирна. Энэ хувиргалтын дараа тэгшитгэлийг шийдэх нь дээр дурдсантай ижил язгуурыг олох хүртэл буурна.
Виетийн теорем нь x(1) ба x(2) утгуудыг сонгохоос бүрдэнэ. Хоёр ижил тэгшитгэлийг ашигласан: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Бас маш чухал цэгнь b коэффициентийн урд талын тэмдэг бөгөөд энэ тэмдэг нь тэгшитгэл дэх тэмдэгтийн эсрэг байна гэдгийг санаарай. Өнгөц харахад x(1) ба x(2)-ыг тооцоолох нь маш энгийн мэт боловч шийдвэрлэхдээ та тоонуудыг сонгох хэрэгтэй болно.
Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх элементүүд
Математикийн дүрмийн дагуу заримыг нь хүчин зүйлээр ангилж болно: (a+x(1))*(b-x(2))=0, хэрэв та энэ квадрат тэгшитгэлийг математикийн томьёо ашиглан ижил төстэй байдлаар хувиргаж чадсан бол эргэлзэхгүй байна. хариултыг бичнэ үү. x(1) ба x(2) нь хаалтанд байгаа зэргэлдээх коэффициентүүдтэй тэнцүү байх боловч эсрэг тэмдэгтэй байна.Мөн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийн талаар бүү мартаарай. Та зарим нэр томъёог алдаж магадгүй бол түүний бүх коэффициентүүд зүгээр л тэгтэй тэнцүү байна. Хэрэв x^2 эсвэл x-ийн өмнө юу ч байхгүй бол a ба b коэффициентүүд 1-тэй тэнцүү байна.