Төрөл бүрийн соёл иргэншлийн төлөөлөгчид: Эртний Египет, Эртний Вавилон, Эртний Грек, Эртний Энэтхэг, Эртний Хятад, Дундад зууны Дорнод, Европ шийдвэрлэх арга барилыг эзэмшсэн квадрат тэгшитгэл.
Эртний Египетийн математикчид анх удаа квадрат тэгшитгэлийг шийдэж чаджээ. Математикийн папирусуудын нэг нь дараахь асуудлыг агуулна.
"Тэгш өнцөгт хэлбэртэй талбайн талбар нь 12, урт нь түүний өргөнтэй тэнцүү бол талуудыг ол." "Талбайн урт нь 4" гэж папирус бичжээ.
Мянган жил өнгөрч, сөрөг тоонууд алгебр руу орж ирэв. x²= 16 тэгшитгэлийг шийдэхэд бид 4, –4 гэсэн хоёр тоог авна.
Мэдээжийн хэрэг, Египетийн асуудалд бид X = 4-ийг авна, учир нь талбайн урт нь зөвхөн эерэг хэмжигдэхүүн байж болно.
Эртний эрдэмтэд үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнтэй асуудлыг шийдвэрлэх ерөнхий арга техниктэй байсныг бидэнд ирсэн эх сурвалжууд харуулж байна. Вавилоны бичвэрт дурдсан квадрат тэгшитгэлийг шийдэх дүрэм нь орчин үеийнхтэй үндсэндээ адилхан боловч вавилончууд хэрхэн "энэ хүртэл" хүрсэн нь тодорхойгүй байна. Гэхдээ олдсон бараг бүх папирус, дөрвөлжин бичвэрт зөвхөн шийдлийн асуудлуудыг өгдөг. Зохиогчид тоон тооцоололдоо "Хараач!", "Үүнийг хий!", "Чи зөвийг нь олсон!" гэх мэт бүдүүлэг тайлбаруудыг л хааяа гаргадаг байсан.
Грекийн математикч Диофант квадрат тэгшитгэл зохиож, шийджээ. Түүний Арифметик нь алгебрийн системчилсэн танилцуулгыг агуулаагүй боловч янз бүрийн түвшний тэгшитгэлийг бий болгох замаар шийдэгдсэн, тайлбар дагалддаг системчилсэн цуврал асуудлуудыг агуулдаг.
Квадрат тэгшитгэл зохиохтой холбоотой асуудлуудыг Энэтхэгийн математикч, одон орон судлаач Арьябхаттагийн 499 онд эмхэтгэсэн "Ариа-бхатиам" хэмээх одон орны зохиолд аль хэдийн олджээ.
Энэтхэгийн өөр нэг эрдэмтэн Брахмагупта (7-р зуун) тодорхойлсон ерөнхий дүрэм ax² + bx = c хэлбэрийн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.
Эртний Энэтхэгт хүнд хэцүү асуудлуудыг шийдвэрлэх олон нийтийн уралдаанууд түгээмэл байсан. Хуучин Энэтхэгийн номнуудын нэгэнд ийм тэмцээнүүдийн талаар дараахь зүйлийг бичсэн байдаг: "Нар оддыг гялалзуулж хиртдэг шиг. сурсан хүнАлгебрийн бодлого дэвшүүлж, шийдвэрлэснээр нийтийн чуулганд бусдын алдрыг хиртэх болно." Асуудлыг ихэвчлэн яруу найргийн хэлбэрээр танилцуулдаг байв.
Энэ бол 12-р зууны Энэтхэгийн нэрт математикчийн асуудлын нэг юм. Бхаскарууд:
Хурдан сармагчингийн сүрэг
Хоолоо ханатлаа идчихээд хөгжилдөв.
Наймдугаар хэсэг нь талбайн цэвэрлэгээнд тоглож байсан.
Усан үзмийн мод дээр арван хоёр ... үсэрч эхлэв, дүүжлэв...
Тэнд хэдэн сармагчин байсан бэ?
Надад хэлээч, энэ хайрцагт уу?
Бхаскарын шийдэл нь квадрат тэгшитгэлийн язгуур хоёр утгатай гэдгийг мэддэг байсныг харуулж байна.
Бидэнд хүрч ирсэн хамгийн эртний Хятадын математикийн бичвэрүүд нь 1-р зууны сүүлчээс эхэлдэг. МЭӨ. II зуунд. МЭӨ. Есөн номонд математик бичигдсэн. Хожим нь 7-р зуунд олон зууны турш судлагдсан "Арван сонгодог зохиол" цуглуулгад орсон. "Есөн ном дахь математик" зохиолд хэрхэн задлах талаар тайлбарласан болно Квадрат язгуурхоёр тооны нийлбэрийн квадратын томъёог ашиглан.
Энэ аргыг "тянь-юань" (шууд утгаараа "тэнгэрлэг элемент") гэж нэрлэдэг байсан бөгөөд Хятадууд үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнийг ингэж тодорхойлсон байдаг.
Асуудлыг шийдвэрлэх анхны гарын авлага бол 9-р зууны Багдадын эрдэмтний бүтээл юм. Мухаммед бин Муса аль-Хорезми. Цаг хугацаа өнгөрөхөд "ал-жабр" гэдэг үг нь "алгебр" гэсэн алдартай үг болж хувирсан бөгөөд аль-Хорезмигийн бүтээл өөрөө тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шинжлэх ухааны хөгжлийн эхлэл болсон юм. Аль-Хорезмийн алгебрийн зохиолд шугаман болон квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг өгдөг. Зохиогч зургаан төрлийн тэгшитгэлийг тоолж, дараах байдлаар илэрхийлэв.
-квадратууд нь тэнцүү үндэстэй, өөрөөр хэлбэл, аа ² = bх;
-квадратууд тэнцүү тоо, өөрөөр хэлбэл, аа ² = s;
-үндэс нь тоотой тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл сүх = c;
-квадрат ба тоо нь үндэстэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл, аа ²+ с = bх;
-квадрат ба үндэс нь тоотой тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл, аа ² + bх = с;
-үндэс ба тоо нь квадраттай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл bx + c = ax ²;
Квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг системтэйгээр гаргаж, тэдгээрийн шийдлийн томьёог өгсөн бидэн рүү хүрч ирсэн анхны ном бол Аль-Хорезмийн зохиол юм.
Европт аль-Хорезмигийн загварчилсан квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томьёог Италийн математикч Леонардо Фибоначчийн 1202 онд бичсэн Абакус номонд анх гаргажээ. Зохиогч бие даан зарим шинэ зүйлийг боловсруулсан алгебрийн жишээнүүдасуудлыг шийдэж, Европт хамгийн анхны сөрөг тоог нэвтрүүлсэн. Түүний ном нь зөвхөн Италид төдийгүй Герман, Франц болон Европын бусад орнуудад алгебрийн мэдлэгийг түгээхэд хувь нэмэр оруулсан. "Абакийн ном"-ын олон асуудлыг 16-17-р зууны бараг бүх Европын сурах бичигт оруулсан болно. ба 18-р зууны зарим хэсэг.
Нэг тэгшитгэл болгон бууруулсан квадрат тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий дүрэм каноник хэлбэр X ² + bх = с, b ба с коэффициентүүдийн шинж тэмдгүүдийн боломжит бүх хослолын хувьд Европт зөвхөн 1544 онд М.Штифел томъёолсон.
Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёоны гарал үүсэлтэй ерөнхий үзэлВьетнамд ийм байдаг, гэхдээ тэр зөвхөн эерэг үндсийг хүлээн зөвшөөрсөн. Италийн математикч Тартаглиа, Кардано, Бомбелли нар 16-р зууны анхны хүмүүсийн нэг байв. Эерэг ба сөрөг үндэсээс гадна тэдгээрийг харгалзан үздэг. Зөвхөн 17-р зуунд Жирард, Декарт, Ньютон болон бусад эрдэмтдийн бүтээлийн ачаар квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга орчин үеийн хэлбэрээ олж авсан.
ОХУ-ын Боловсролын яам
Хотын боловсролын байгууллага
"22-р дунд сургууль"
Квадрат ба дээд эрэмбийн тэгшитгэл
Дууссан:
8 "Б" ангийн сурагчид
Кузнецов Евгений, Руди Алексей нар
Удирдагч:
Зенина Алевтина Дмитриевна
математикийн багш
Оршил
1.1 Эртний Вавилон дахь тэгшитгэлүүд
1.2 Арабын тэгшитгэл
1.3 Энэтхэг дэх тэгшитгэлүүд
Бүлэг 2. Квадрат тэгшитгэл ба дээд эрэмбийн тэгшитгэлийн онол
2.1 Үндсэн ойлголтууд
2.2 x цэгийн тэгш коэффициентийн томъёо
2.3 Виетийн теорем
2.4 Тодорхой шинж чанартай квадрат тэгшитгэл
2.5 Олон гишүүнтийн Виетийн теорем (тэгшитгэл) илүү өндөр зэрэгтэй
2.6 Квадрат (биквадрат) болгон бууруулж болох тэгшитгэлүүд
2.7 Биквадрат тэгшитгэлийн судалгаа
2.8 Кордано томъёо
2.9 Гуравдугаар зэргийн тэгш хэмийн тэгшитгэл
2.10 Харилцан тэгшитгэл
2.11 Хорнер схем
Дүгнэлт
Ном зүй
Хавсралт 1
Хавсралт 2
Хавсралт 3
Оршил
Тэгшитгэлүүд сургуулийн курсалгебрууд эзэлдэг тэргүүлэх байр. Бусад сэдвээс илүү тэдний судалгаанд илүү их цаг зарцуулдаг. Үнэн хэрэгтээ тэгшитгэл нь онолын чухал ач холбогдолтой төдийгүй цэвэр практик зорилгоор үйлчилдэг. Орон зайн хэлбэр, тоон харилцааны талаархи асар олон тооны асуудал бодит ертөнцшийдвэрт хүрдэг янз бүрийн төрөлтэгшитгэл. Тэдгээрийг шийдвэрлэх арга замыг эзэмшсэнээр бид шинжлэх ухаан, технологийн янз бүрийн асуултын хариултыг олдог (тээвэр, Хөдөө аж ахуй, аж үйлдвэр, харилцаа холбоо гэх мэт).
Энэхүү хураангуй хэсэгт би томъёо, шийдвэрлэх аргуудыг харуулахыг хүсч байна өөр өөр тэгшитгэлүүд. Үүний тулд судлаагүй тэгшитгэлүүдийг өгсөн болно сургуулийн сургалтын хөтөлбөр. Эдгээр нь голчлон тодорхой шинж чанартай тэгшитгэлүүд ба илүү өндөр түвшний тэгшитгэлүүд юм. Энэ сэдвийг өргөжүүлэхийн тулд эдгээр томъёоны нотолгоог өгсөн болно.
Бидний эссений зорилго:
Тэгшитгэл шийдвэрлэх чадварыг сайжруулах
Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шинэ аргуудыг боловсруулах
Эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зарим шинэ арга, томъёог сур.
Судалгааны объект нь анхан шатны алгебр юм. Энэ сэдвийг сонгохдоо тэгшитгэлийг бага ангийн сургалтын хөтөлбөр болон дараагийн анги бүрт тусгаж өгсөнд үндэслэсэн. дунд сургуулиуд, лицей, коллеж. Геометрийн олон бодлого, физик, хими, биологийн асуудлыг тэгшитгэл ашиглан шийддэг. Тэгшитгэлийг хорин таван зууны өмнө шийдсэн. Тэдгээрийг боловсролын үйл явцад ашиглах, их дээд сургуулиудын өрсөлдөөнт шалгалт, хамгийн дээд түвшний олимпиадад ашиглах зорилгоор өнөөдөр бүтээсээр байна.
Бүлэг 1. Квадрат ба дээд эрэмбийн тэгшитгэлийн түүх
1.1 Эртний Вавилон дахь тэгшитгэлүүд
Алгебр нь тэгшитгэл ашиглан янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэхтэй холбоотой үүссэн. Ихэвчлэн асуудал нь хүссэн болон өгөгдсөн хэмжигдэхүүн дээр хийгдсэн зарим үйлдлийн үр дүнг мэдэхийн зэрэгцээ нэг буюу хэд хэдэн үл мэдэгдэх зүйлийг олохыг шаарддаг. Ийм асуудал нь нэг буюу хэд хэдэн тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх, өгөгдсөн хэмжигдэхүүн дээр алгебрийн үйлдлүүдийг ашиглан шаардлагатайг олоход хүргэдэг. Алгебр нь хэмжигдэхүүн дээрх үйлдлүүдийн ерөнхий шинж чанарыг судалдаг.
Шугаман ба квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зарим алгебрийн аргуудыг 4000 жилийн өмнө эртний Вавилонд мэддэг байсан. Зөвхөн эхний төдийгүй хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэрэгцээ нь эртний үед ч газар тариалангийн газар, цэргийн шинж чанартай газрын ажлын талбайг олохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй байв. одон орон судлал, математикийн хөгжил өөрөө. Өмнө дурьдсанчлан квадрат тэгшитгэлийг Вавилончууд МЭӨ 2000 онд шийдэж чадсан. Орчин үеийн алгебрийн тэмдэглэгээг ашиглан бид бүрэн бус ба бүрэн квадрат тэгшитгэлүүд хоёулаа дөрвөлжин бичвэрт гардаг гэж хэлж болно.
Вавилоны бичвэрт дурдсан эдгээр тэгшитгэлийг шийдэх дүрэм нь орчин үеийнхтэй үндсэндээ давхцаж байгаа боловч вавилончууд энэ дүрэмд хэрхэн хүрсэн нь тодорхойгүй байна. Өнөөг хүртэл олдсон бараг бүх дөрвөлжин бичвэрүүд нь зөвхөн жор хэлбэрээр гаргасан шийдлийн асуудлуудыг өгдөг бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн олсон тухай ямар ч заалт байхгүй.
Гэсэн хэдий ч өндөр түвшинВавилон дахь алгебрийн хөгжилд дөрвөлжин бичвэрт сөрөг тооны тухай ойлголт, квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий аргууд байдаггүй.
1.2 Арабын тэгшитгэл
Квадрат болон дээд эрэмбийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зарим аргыг Арабчууд боловсруулсан. Ийнхүү Арабын нэрт математикч Аль-Хорезми "Аль-Жабар" номондоо янз бүрийн тэгшитгэлийг шийдэх олон аргыг тодорхойлсон байдаг. Тэдний онцлог нь Аль-Хорезми ашигласан явдал байв нарийн төвөгтэй радикалуудтэгшитгэлийн үндэс (шийдвэр) олох. Өв залгамжлалыг хуваах тухай асуултуудад ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэрэгцээ шаардлагатай байв.
1.3 Энэтхэг дэх тэгшитгэлүүд
Энэтхэгт квадрат тэгшитгэлийг мөн шийдсэн. Квадрат тэгшитгэлийн асуудлуудыг Энэтхэгийн математикч, одон орон судлаач Арьябхаттагийн 499 онд эмхэтгэсэн "Арьябхаттиам" хэмээх одон орны зохиолд аль хэдийн олдсон байдаг. Энэтхэгийн өөр нэг эрдэмтэн Брахмагупта (7-р зуун) нэг конус хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий дүрмийг гаргажээ.
ah² + bx= c, энд a > 0
Энэ тэгшитгэлд а-аас бусад коэффициентүүд сөрөг байж болно. Брахмагуптагийн дүрэм үндсэндээ манайхтай адилхан.
Эртний Энэтхэгт хүнд хэцүү асуудлуудыг шийдвэрлэх олон нийтийн уралдаанууд түгээмэл байв. Энэтхэгийн хуучин номнуудын нэгэнд ийм уралдааны талаар: "Нар оддыг гялалзуулж, гялалзуулж байгаагийн хэрээр эрдэмт хүн олон нийтийн цуглаан дээр алгебрийн бодлого дэвшүүлж, шийдвэрлэх үед бусдын алдрыг гүйцэлдүүлэх болно" гэж бичсэн байдаг. Асуудлыг ихэвчлэн яруу найргийн хэлбэрээр танилцуулдаг байв.
Манай алс холын өвөг дээдэс янз бүрийн тэгшитгэл, квадрат болон өндөр зэрэглэлийн тэгшитгэлийг шийдэж байсан. Эдгээр тэгшитгэлийг маш өөр, алс холын орнуудад шийдсэн. Тэгшитгэлийн хэрэгцээ маш их байсан. Тэгшитгэлийг барилга байгууламж, цэргийн хэрэг, өдөр тутмын нөхцөл байдалд ашигласан.
Бүлэг 2. Квадрат тэгшитгэл ба дээд эрэмбийн тэгшитгэл
2.1 Үндсэн ойлголтууд
Квадрат тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм
a, b, c коэффициентүүд нь аливаа бодит тоо бөгөөд a ≠ 0 байна.
Тэргүүлэх коэффициент нь 1 бол квадрат тэгшитгэлийг бууруулсан гэж нэрлэдэг.
Жишээ :
x 2 + 2x + 6 = 0.
Тэргүүлэх коэффициент нь 1-ээс ялгаатай бол квадрат тэгшитгэлийг бууруулаагүй гэж нэрлэдэг.
Жишээ :
2х 2 + 8х + 3 = 0.
Бүрэн квадрат тэгшитгэл гэдэг нь гурван гишүүн бүгд байгаа квадрат тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл b ба c коэффициентүүд нь тэгээс ялгаатай тэгшитгэл юм.
Жишээ :
3x 2 + 4x + 2 = 0.
Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь ядаж нэг b, c коэффициент нь тэгтэй тэнцүү байх квадрат тэгшитгэл юм.
Ийнхүү гурван төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл байдаг.
1) ax² = 0 (хоёр давхцах үндэстэй x = 0).
2) ax² + bx = 0 (х 1 = 0 ба x 2 = - хоёр үндэстэй)
Жишээ :
x 1 = 0, x 2 = -5.
Хариулах: x 1 =0, x 2 = -5.
Хэрэв -<0 - уравнение не имеет корней.
Жишээ :
Хариулах: Тэгшитгэлд үндэс байхгүй.
Хэрэв –> 0 бол x 1,2 = ± байна
Жишээ :
Хариулах: x 1.2 =±
Дискриминант (b² - 4ac) ашиглан аливаа квадрат тэгшитгэлийг шийдэж болно. Ихэвчлэн b² - 4ac илэрхийлэлийг D үсгээр тэмдэглэж, ax² + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийн дискриминант (эсвэл ax² + bx + c квадрат гурван гишүүний дискриминант) гэж нэрлэдэг.
Жишээ :
x 2 +14x – 23 = 0
D = b 2 – 4ac = 144 + 92 = 256
x 2 = 
Хариулах: x 1 = 1, x 2 = - 15.
Дискриминантаас хамааран тэгшитгэл нь шийдэлтэй эсвэл үгүй байж болно.
1) Хэрэв D< 0, то не имеет решения.
2) Хэрэв D = 0 бол тэгшитгэл нь х 1,2 = давхцсан хоёр шийдтэй байна
3) Хэрэв D > 0 бол томъёоны дагуу хоёр шийдэл олно.
x 1.2 = 
2.2 x цэгийн тэгш коэффициентийн томъёо
Бид квадрат тэгшитгэлийн язгуурт дассан
ax² + bx + c = 0 томъёогоор олно
x 1.2 =
Гэхдээ математикчид тооцоогоо хөнгөвчлөх боломжийг хэзээ ч алдахгүй. Тэд b коэффициент b = 2k, ялангуяа b нь тэгш тоо бол энэ томьёог хялбаршуулж болохыг олж мэдэв.
Үнэн хэрэгтээ ax² + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийн b коэффициентийг b = 2k гэж үзье. Томъёонд b-ийн оронд 2k тоог орлуулснаар бид дараахийг олж авна.
Тэгэхээр ax² + 2kx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг дараах томъёогоор тооцоолж болно.
x 1.2 = 
Жишээ :
5х 2 - 2х + 1 = 0
Энэ томьёоны давуу тал нь энэ квадратаас b тоо биш, харин түүний тал нь 4ac биш, харин энгийн AC-ыг хасч, эцэст нь хуваагч нь 2a биш, харин зүгээр л a-г агуулдаг; .
Хэрэв квадрат тэгшитгэлийг багасгавал бидний томъёо дараах байдлаар харагдах болно.
Жишээ :
x 2 – 4x + 3 = 0
Хариулах: x 1 = 3, x 2 = 1.
2.3 Виетийн теорем
Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын маш сонирхолтой шинж чанарыг Францын математикч Франсуа Виет нээсэн. Энэ шинж чанарыг Вьетагийн теорем гэж нэрлэдэг:
x 1 ба x 2 тоонууд нь тэгшитгэлийн үндэс болно.
ax² + bx + c = 0
тэгш байдлыг хангахад шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм
x 1 + x 2 = -b/a ба x 1 x 2 = c/a
Виетийн теорем нь квадрат тэгшитгэлийн тэмдэг, үнэмлэхүй утгыг шүүх боломжийг бидэнд олгодог.
x² + bx + c = 0
1. b>0, c>0 бол хоёр үндэс нь сөрөг байна.
2. Хэрэв b<0, c>0 бол хоёр үндэс эерэг байна.
3. b>0 бол в<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.
4. Хэрэв b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.
2.4 Тодорхой шинж чанартай квадрат тэгшитгэл
1) Хэрэв ax² + bx + c = 0 тэгшитгэлд a + b + c = 0 байвал
x 1 = 1, мөн x 2 =.
Баталгаа :
ax² + bx + c = 0 тэгшитгэлд түүний үндэс
x 1.2 = (1).
a + b + c = 0 тэгшитгэлээс b-г төлөөлүүлье
Энэ илэрхийллийг томъёогоор (1) орлуулъя:
=
Хэрэв бид тэгшитгэлийн хоёр язгуурыг тусад нь авч үзвэл дараахь зүйлийг авна.
1) x 1 = 
2) x 2 = 
Энэ нь дараах байдалтай байна: x 1 = 1, болон x 2 =.
1. Жишээ :
2x² - 3x + 1 = 0
a = 2, b = -3, c = 1.
a + b + c = 0, тиймээс
2. Жишээ :
418x² - 1254x + 836 = 0
Энэ жишээг дискриминантын тусламжтайгаар шийдвэрлэхэд маш хэцүү боловч дээрх томьёог мэдсэнээр үүнийг амархан шийдэж болно.
a = 418, b = -1254, c = 836.
x 1 = 1 x 2 = 2
2) Хэрэв a - b + c = 0 бол ax² + bx + c = 0 тэгшитгэлд:
x 1 =-1, мөн x 2 =-.
Баталгаа :
ax² + bx + c = 0 тэгшитгэлийг авч үзвэл дараах байдалтай байна.
x 1.2 = (2).
a - b + c = 0 тэгшитгэлээс b-г төлөөлүүлье
b = a + c, томъёог (2) орлуулна:
=
Бид хоёр илэрхийлэл авдаг:
1) x 1 = 
2) x 2 = 
Энэ томьёо нь өмнөхтэй төстэй боловч бас чухал учир нь... Энэ төрлийн жишээнүүд нийтлэг байдаг.
1) Жишээ :
2x² + 3x + 1 = 0
a = 2, b = 3, c = 1.
a - b + c = 0, тиймээс
2)Жишээ :
Хариулах: x 1 = -1; x 2 = -
3) "Арга" шилжүүлэг ”
y² + by + ac = 0 ба ax² + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд дараах хамаарлаар холбогдоно.
x 1 = ба x 2 =
Баталгаа :
a) ax² + bx + c = 0 тэгшитгэлийг авч үзье
x 1.2 = = 
b) y² + by + ac = 0 тэгшитгэлийг авч үзье
y 1,2 =
Эдгээр хоёр шийдлийн ялгаварлагч нь тэнцүү гэдгийг анхаарна уу. Тэд бие биенээсээ тэргүүлэх хүчин зүйлээр ялгаатай бөгөөд эхний тэгшитгэлийн үндэс нь хоёр дахь язгуураас а-аар бага байна. Виетийн теорем болон дээрх дүрмийг ашиглан янз бүрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь тийм ч хэцүү биш юм.
Жишээ :
Бидэнд дурын квадрат тэгшитгэл бий
10x² - 11x + 3 = 0
Энэ тэгшитгэлийг өгөгдсөн дүрмийн дагуу хувиргацгаая
y² - 11y + 30 = 0
Бид Виетийн теоремыг ашиглан амархан шийдэж болох багасгасан квадрат тэгшитгэлийг олж авдаг.
y 1 ба y 2 нь y² - 11y + 30 = 0 тэгшитгэлийн үндэс байг.
y 1 y 2 = 30 y 1 = 6
y 1 + y 2 = 11 y 2 = 5
Эдгээр тэгшитгэлийн язгуурууд нь бие биенээсээ а-аар ялгаатай гэдгийг мэдвэл
x 1 = 6/10 = 0.6
x 2 = 5/10 = 0.5
Зарим тохиолдолд эхлээд хийхгүй байхаар шийдэх нь тохиромжтой байдаг өгөгдсөн тэгшитгэл ax² + bx + c = 0, мөн өгөгдсөн "шилжүүлэх" a коэффициентээс гаргаж авсан бууруулсан y² + -аар + ac = 0, дараа нь олсон язгууруудыг а-д хувааж анхны тэгшитгэлийг олно.
2.5 Өндөр зэрэгтэй олон гишүүнт (тэгшитгэл)-ийн Виета томъёо
Квадрат тэгшитгэлийн хувьд Виетийн гаргаж авсан томьёо нь өндөр зэрэгтэй олон гишүүнтэд мөн үнэн юм.
Олон гишүүнтийг үзье
P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n
x 1, x 2..., x n өөр n үндэстэй.
Энэ тохиолдолд энэ нь маягтын хүчин зүйлчлэлтэй байна:
a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)
Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг 0 ≠ 0-д хувааж, эхний хэсгийн хаалтуудыг нээцгээе. Бид тэгш байдлыг олж авдаг:
x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n
Гэхдээ ижил түвшний коэффициентүүд тэнцүү байх тохиолдолд хоёр олон гишүүнт ижил тэнцүү байна. Үүнээс үзэхэд тэгш байдал үүсдэг
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Жишээлбэл, гуравдугаар зэргийн олон гишүүнтийн хувьд
a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3
Бидэнд таних тэмдэг бий
x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
Квадрат тэгшитгэлийн нэгэн адил энэ томъёог Виетийн томъёо гэж нэрлэдэг. Эдгээр томьёоны зүүн тал нь энэ тэгшитгэлийн x 1, x 2 ..., x n язгуураас тэгш хэмтэй олон гишүүнтүүд бөгөөд баруун тал нь олон гишүүнтийн коэффициентээр илэрхийлэгдэнэ.
2.6 Квадрат (биквадрат) болгон бууруулж болох тэгшитгэлүүд
Дөрөвдүгээр зэргийн тэгшитгэлийг квадрат тэгшитгэл болгон бууруулна.
сүх 4 + bx 2 + c = 0,
biquadratic гэж нэрлэдэг ба a ≠ 0.
Энэ тэгшитгэлд x 2 = y-ийг тавихад хангалттай.
ay² + by + c = 0
үүссэн квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олъё
y 1,2 =
x 1, x 2, x 3, x 4 үндсийг нэн даруй олохын тулд у-г х-ээр сольж, авна.
x² =
x 1,2,3,4 = 
.
Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэлд x 1 байвал язгуур нь x 2 = -x 1,
Хэрэв x 3 байвал x 4 = - x 3 байна. Ийм тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь тэг байна.
Жишээ :
2х 4 - 9х² + 4 = 0
Биквадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёонд тэгшитгэлийг орлуулъя.
x 1,2,3,4 = 
,
x 1 = -x 2, x 3 = -x 4 гэдгийг мэдвэл:
x 3.4 = 
Хариулах: x 1.2 = ±2; x 1.2 =
2.7 Биквадрат тэгшитгэлийн судалгаа
Биквадрат тэгшитгэлийг авч үзье
сүх 4 + bx 2 + c = 0,
a, b, c нь бодит тоо, a > 0. Туслах үл мэдэгдэх y = x²-г оруулснаар бид энэ тэгшитгэлийн үндсийг судалж, үр дүнг хүснэгтэд оруулна (Хавсралт No1-ийг үзнэ үү).
2.8 Кардано томъёо
Хэрэв бид орчин үеийн бэлгэдлийг ашиглавал Кардано томъёоны гарал үүсэл нь дараах байдлаар харагдаж болно.
x = 
Энэ томъёо нь ерөнхий гуравдугаар зэргийн тэгшитгэлийн үндсийг тодорхойлно.
сүх 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Энэ томъёо нь маш төвөгтэй бөгөөд төвөгтэй (хэд хэдэн нарийн төвөгтэй радикалуудыг агуулдаг). Энэ нь үргэлж хэрэгжихгүй, учир нь... бөглөхөд маш хэцүү.
2.9 Гуравдугаар зэргийн тэгш хэмийн тэгшитгэл
Гурав дахь зэрэглэлийн тэгш хэмтэй тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм
ax³ + bx² +bx + a = 0 ( 1 )
ax³ + bx² - bx – a = 0 ( 2 )
Энд a ба b тоонууд нь a¹0-тэй өгөгдсөн.
Тэгшитгэл хэрхэн байгааг харуулъя ( 1 ).
ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax²) +(b – a)x + a).
тэгшитгэл ( 1 ) тэгшитгэлтэй тэнцүү байна
(x + 1) (ax² +(b – a)x + a) = 0.
Энэ нь түүний үндэс нь тэгшитгэлийн үндэс болно гэсэн үг юм
ax² +(b – a)x + a = 0
ба тоо x = -1
тэгшитгэл ( 2 )
ax³ + bx² - bx - a = a(x³ - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) (ax 2 + ax + a + bx) = (x - 1) (ax² +(b + a)x + a).
1) Жишээ :
2x³ + 3x² - 3x – 2 = 0
Энэ нь тодорхой байна x 1 = 1, ба
2x² + 5x + 2 = 0 тэгшитгэлийн x 2 ба x 3 үндэс,
Тэдгээрийг ялгаварлагчаар олъё:
x 1.2 = 
x 2 = -, x 3 = -2
2) Жишээ :
5x³ + 21x² + 21x + 5 = 0
Энэ нь тодорхой байна x 1 = -1, ба
5x² + 26x + 5 = 0 тэгшитгэлийн x 2 ба x 3 үндэс,
Тэдгээрийг ялгаварлагчаар олъё:
x 1.2 = 
x 2 = -5, x 3 = -0.2.
2.10 Харилцан тэгшитгэл
Reciprocal equation – алгебрийн тэгшитгэл
a 0 x n + a 1 x n – 1 + … + a n – 1 x + a n =0,
a k = a n – k, энд k = 0, 1, 2 …n, ба a ≠ 0 байна.
Харилцан тэгшитгэлийн язгуурыг олох асуудлыг доод түвшний алгебрийн тэгшитгэлийн шийдлийг олох асуудал болгон бууруулж байна. Харилцан тэгшитгэлийн нэр томъёог Л.Эйлер нэвтрүүлсэн.
Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэлийн хэлбэр:
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).
Энэ тэгшитгэлийг хэлбэр болгон бууруулж байна
a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0, мөн y = x + m/x ба y² - 2m = x² + m²/x²,
Эндээс тэгшитгэлийг квадрат болгон бууруулсан
ay² + by + (c-2am) = 0.
3х 4 + 5х 3 – 14х 2 – 10х + 12 = 0
Үүнийг x 2-т хуваавал тэнцүү тэгшитгэл гарна
3x 2 + 5x – 14 – 5 ×, эсвэл
Хаана ба 
3(y 2 - 4) + 5y – 14 = 0, эндээс
y 1 = y 2 = -2, тиймээс
Тэгээд хаана
Хариулт: x 1.2 = x 3.4 =.
Харилцан тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол бол тэгш хэмтэй тэгшитгэл юм. Гуравдугаар зэрэглэлийн тэгш хэмтэй тэгшитгэлийн талаар бид өмнө нь ярьсан боловч дөрөвдүгээр зэргийн тэгш хэмтэй тэгшитгэлүүд байдаг.
Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгш хэмийн тэгшитгэл.
1) Хэрэв m = 1 бол энэ нь эхний төрлийн тэгш хэмтэй тэгшитгэл юм.
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 ба шинэ орлуулалтаар шийдэгдэнэ.
2) Хэрэв m = -1 бол энэ нь хоёр дахь төрлийн тэгш хэмтэй тэгшитгэл юм.
ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 ба шинэ орлуулалтаар шийдэгдэнэ.
2.11 Хорнер схем
Олон гишүүнтийг хуваахын тулд "өнцөгөөр хуваах" дүрэм буюу Хорнерийн схемийг ашигладаг . Энэ зорилгоор олон гишүүнтүүдийг буурах градусаар байрлуулна Xмөн D(x) хуваагчийн тэргүүлэгч гишүүнээр үржүүлэхэд ногдол ашгийн P(x)-ын тэргүүн гишүүн гарна гэсэн нөхцөлөөс Q(x) хэсгийн тэргүүлэх гишүүнийг ол. Хэсгийн олдсон гишүүнийг хуваагчаар үржүүлж, ногдол ашгаас хасна. Хуваагчийн тэргүүлэгч гишүүнээр үржүүлбэл ялгаварын олон гишүүнтийн тэргүүлэгч гишүүнийг өгөх гэх мэт нөхцлөөс хамааран хуваагчийн тэргүүлэх гишүүнийг тодорхойлно. Ялгааны зэрэг нь хуваагчийн зэргээс бага болтол процесс үргэлжилнэ (Хавсралт No2-ыг үзнэ үү).
R = 0 тэгшитгэлийн хувьд энэ алгоритмыг Хорнерийн схемээр солино.
Жишээ :
x 3 + 4x 2 + x – 6 = 0
±1 чөлөөт гишүүний хуваагчийг ол; ± 2; ± 3; ± 6.
Тэгшитгэлийн зүүн талыг f(x) гэж тэмдэглэе. Мэдээжийн хэрэг, f(1) = 0, x1 = 1. f(x)-ийг х – 1-д хуваа. (Хавсралт No3-ыг үзнэ үү)
x 3 + 4x 2 + x – 6 = (x – 1) (x 2 + 5x + 6)
Бид сүүлчийн хүчин зүйлийг Q(x) гэж тэмдэглэнэ. Бид Q(x) = 0 тэгшитгэлийг шийднэ.
x 2.3 = 
Хариулах : 1; -2; -3.
Энэ бүлэгт бид янз бүрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зарим томъёог өгсөн. Хэсэгчилсэн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх эдгээр томъёоны ихэнх нь. Эдгээр шинж чанарууд нь маш тохиромжтой, учир нь ерөнхий зарчмыг ашиглахаас илүүтэйгээр энэ тэгшитгэлийн тусдаа томъёог ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь илүү хялбар байдаг. Бид арга тус бүрийн хувьд нотлох баримт, хэд хэдэн жишээг өгсөн.
Дүгнэлт
Эхний бүлэгт квадрат тэгшитгэл ба дээд эрэмбийн тэгшитгэл үүссэн түүхийг судалсан. Төрөл бүрийн тэгшитгэлийг 25 зуу гаруй жилийн өмнө шийдэж байжээ. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх олон аргыг Энэтхэгийн Вавилонд бүтээжээ. Тэгшитгэлийн хэрэгцээ байсан, цаашид ч байх болно.
Хоёрдахь бүлэгт квадрат тэгшитгэл болон дээд эрэмбийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх (үндэс олох) янз бүрийн аргуудыг өгдөг. Үндсэндээ эдгээр нь тодорхой шинж чанартай тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргууд юм, өөрөөр хэлбэл зарим нийтлэг шинж чанар эсвэл төрлөөр нэгдсэн тэгшитгэлийн бүлэг бүрийн хувьд зөвхөн энэ бүлгийн тэгшитгэлд хамаарах тусгай дүрмийг өгдөг. Энэ арга (тэгшитгэл бүрийн хувьд өөрийн томъёог сонгох) нь ялгаварлагчаар үндсийг олохоос хамаагүй хялбар юм.
Энэхүү хураангуйд бүх зорилгодоо хүрч, үндсэн ажлуудыг хийж гүйцэтгэсэн, урьд өмнө мэдэгдээгүй шинэ томъёог баталж, сурсан болно. Бид жишээнүүдийг хийсвэр хэлбэрээр оруулахаасаа өмнө олон жишээг судалж үзсэн тул зарим тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар аль хэдийн ойлголттой болсон. Шийдэл бүр нь цаашдын судалгаанд бидэнд хэрэгтэй болно. Энэхүү эссэ нь хуучин мэдлэгийг ангилж, шинийг сурахад тусалсан.
Ном зүй
1. Виленкин Н.Я. “8-р ангийн алгебр”, М., 1995 он.
2. Галицкий М.Л. “Алгебрийн бодлогын түүвэр”, М. 2002 он.
3. Даан-Далмедико Д.“Зам ба төөрдөг зам”, М., 1986.
4. Звавич Л.И. “Алгебр 8-р анги”, М., 2002 он.
5. Кушнир И.А. "Тэгшитгэл", Киев 1996.
6. Савин Ю.П. " нэвтэрхий толь бичигзалуу математикч”, М., 1985.
7. Мордкович А.Г. “Алгебр 8-р анги”, М., 2003 он.
8. Худобин А.И. “Алгебрийн асуудлын түүвэр”, М., 1973.
9. Шарыгин И.Ф. “Алгебрийн нэмэлт хичээл”, М., 1989.
Хавсралт 1
Биквадрат тэгшитгэлийн судалгаа
| C | б | дүгнэлт | ||
| Туслах тэгшитгэлийн үндэс дээр ay² +by+c=0 | Энэ тэгшитгэлийн язгуурын тухай a(x²)² +bx² +c=0 | |||
C< 0 |
b- дурын бодит тоо | y< 0 ; y > 01 2 |
x = ±Öy |
|
| C > 0 | б<0 | D > 0 | x = ±Öy |
|
| D=0 | y > 0 | x = ±Öy |
||
| Д< 0 | Үндэс байхгүй | Үндэс байхгүй | ||
| b ≥ 0 | Үндэс байхгүй | |||
| Үндэс байхгүй | Үндэс байхгүй | |||
y > 0 ; y< 01 2 |
x = ±Öy |
|||
| C=0 | b > 0 | y = 0 | x = 0 | |
| b = 0 | y = 0 | x = 0 | ||
| б< 0 | y = 0 | x = 0 | ||
Хавсралт 2
Булангийн тусламжтайгаар олон гишүүнт олон гишүүнт хуваагдах
| А 0 | a 1 | a 2 | ... | a n | в |
| + | |||||
| b 0 c | б 1 в | … | b n-1 c | ||
| B 0 | б 1 | б 2 | … | б н | = R (үлдэгдэл) |
Хавсралт 3
Хорнерын схем
| Үндэс | |||||
| 1 | 4 | 1 | -6 | 1 | |
| x 1 = 1 | |||||
| нураах | 5 | 6 | 0 | ||
| 1 | 1×1 +4 = 5 | 5×1 + 1 = 6 | 6×1 – 6 = 0 | ||
| үндэс | |||||
| x 1 = 1 |
Квадрат тэгшитгэлийн түүхээс Зохиогч: 9-р “А” ангийн сурагч Светлана Радченко Удирдагч: Алабугина И.А. математикийн багш MBOU "Гурьевскийн 5-р дунд сургууль" Кемерово мужийн Илтгэлийн сэдэв: математик Багшид туслах зорилгоор хийгдсэн Нийт 20 слайд Агуулга Оршил…………………………………………………… …………… ………………3 Эртний Вавилоны квадрат тэгшитгэл үүссэн түүхээс…………………………………….4 Энэтхэг дэх квадрат тэгшитгэл………………… ………………………………5 Аль-Хорезми дахь квадрат тэгшитгэл………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………. .... 7 Европ дахь квадрат тэгшитгэлүүд XII – XVIII зуун……………………………………………………………………………8 3. Өнөөгийн квадрат тэгшитгэл……………………………………… ………………………… .10 Квадрат тэгшитгэлийг судлах арга зүй……………………………………11 Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 10 арга………………………………. 12 Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм………… …………………13 Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм……………………………..14 Өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх…………………… ………………15 4. Хэрэглээний бодлого шийдвэрлэх квадрат тэгшитгэлийн практик хэрэглээ…………………………………………………………………………………………………… 16 5. Дүгнэлт. ……………………………………………………………………………………18 1. 2. 6. Ашигласан эх сурвалжийн жагсаалт………………… ………………… …………….19 2 Оршил Та шинэ зүйл сураагүй, боловсролдоо юу ч нэмээгүй тэр өдөр эсвэл тэр цагийг аз жаргалгүй гэж бод. Ян Амос Коменский 3 Квадрат тэгшитгэлүүд нь алгебрийн сүрлэг байгууламжийн үндэс суурь болдог. Эдгээр нь тригонометр, экспоненциал, логарифм, иррационал ба трансцендент тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд өргөн хэрэглэгддэг. Сургуулийн алгебрийн хичээлд квадрат тэгшитгэлүүд тэргүүлэх байр суурийг эзэлдэг. Сургуулийн математикийн хичээлд маш их цагийг тэдний судалгаанд зориулдаг. Үндсэндээ квадрат тэгшитгэл нь тодорхой практик зорилгоор үйлчилдэг. Бодит ертөнц дэх орон зайн хэлбэр, тоон харилцааны талаархи ихэнх асуудал нь янз бүрийн төрлийн тэгшитгэл, түүний дотор квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ирдэг. Тэдгээрийг шийдвэрлэх арга замыг эзэмшсэнээр хүмүүс шинжлэх ухаан, технологийн янз бүрийн асуултын хариултыг олдог. Квадрат тэгшитгэл үүссэн түүхээс Эртний Вавилон: МЭӨ 2000 жилийн тэртээ Вавилончууд квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ мэддэг байжээ. Бүрэн ба бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг мэддэг байсан. Жишээлбэл, Эртний Вавилонд дараах квадрат тэгшитгэлийг шийдсэн: 4 Энэтхэг Квадрат тэгшитгэлийг ашиглан шийдсэн асуудлуудыг Энэтхэгийн одон орон судлаач, математикч Арьябхаттагийн МЭ 499 онд бичсэн "Арьябхаттиам" хэмээх одон орон судлалын тухай өгүүлэлд олжээ. Энэтхэгийн өөр нэг эрдэмтэн Брахмагупта каноник хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх бүх нийтийн дүрмийг тодорхойлсон: ax2+bx=c; Түүнээс гадна "a"-аас бусад бүх коэффициентүүд сөрөг байж болно гэж үзсэн. Эрдэмтний боловсруулсан дүрэм нь орчин үеийнхтэй үндсэндээ давхцдаг. 5 Аль-Хорезми дахь квадрат тэгшитгэл: Аль-Хорезмигийн алгебрийн зохиолд шугаман болон квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг өгсөн. Зохиогч 6 төрлийн тэгшитгэлийг тоолж, тэдгээрийг дараах байдлаар илэрхийлэв: "Квадратууд нь үндэстэй тэнцүү", өөрөөр хэлбэл. ax2 = bx.; "Квадратууд нь тоонуудтай тэнцүү", өөрөөр хэлбэл ax2 = c; "Үндэс нь тоотой тэнцүү байна," өөрөөр хэлбэл сүх = c; "Квадрат ба тоонууд нь үндэстэй тэнцүү" гэх мэт. ax2 + c = bx; “Квадрат ба үндэс нь тоотой тэнцүү” өөрөөр хэлбэл ax2 + bx = c; “Үндэс ба тоо нь квадраттай тэнцүү”, өөрөөр хэлбэл bx + c = ax2. 6 Диофант квадрат тэгшитгэл зохиож, хэрхэн шийдсэн бэ: Эртний Грекийн хамгийн анхны математикчдын нэг бол Александрийн Диофант юм. Диофантийн төрсөн он, нас барсан он сар өдөр тодорхой болоогүй байна; Түүнийг 3-р зуунд амьдарч байсан гэж үздэг. МЭ Диофантийн бүтээлүүдээс хамгийн чухал нь Арифметик бөгөөд үүнээс 13 ном нь зөвхөн 6 нь өнөөг хүртэл хадгалагдан үлджээ. Диофантусын Арифметик нь алгебрийн системчилсэн танилцуулгыг агуулаагүй боловч янз бүрийн түвшний тэгшитгэл байгуулах замаар шийдэгдсэн олон тооны бодлогуудыг агуулдаг. Диофант тэгшитгэл зохиохдоо шийдлийг хялбарчлахын тулд үл мэдэгдэх зүйлийг чадварлаг сонгодог. 12-17-р зууны Европ дахь 7 квадрат тэгшитгэл: Италийн математикч Леонард Фибоначчи бие даан бодлого бодох шинэ алгебрийн жишээг боловсруулж, Европт сөрөг тоог анхлан нэвтрүүлсэн. b, c тэмдэг, коэффициентийн бүх боломжит хослолын хувьд x2 + bх = с нэг каноник хэлбэр болгон бууруулсан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий дүрмийг Европт 1544 онд Майкл Стифел боловсруулсан. 8 Франсуа Вьет Францын математикч Ф.Вьет (1540-1603) алгебрийн тэмдгийн системийг нэвтрүүлж, анхан шатны алгебрийн үндсийг боловсруулсан. Тэрээр тоонуудыг үсгээр тэмдэглэсэн анхны хүмүүсийн нэг байсан нь тэгшитгэлийн онолыг ихээхэн хөгжүүлсэн юм. Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр шийдэх томъёоны гарал үүслийг Виетээс авах боломжтой боловч Виет зөвхөн эерэг язгуурыг хүлээн зөвшөөрсөн. 9 Өнөөдөр квадрат тэгшитгэл Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадвар нь бусад тэгшитгэл, тэдгээрийн системийг шийдвэрлэх үндэс болдог. Тэгшитгэлийг шийдэж сурах нь тэдний хамгийн энгийн төрлөөс эхэлдэг бөгөөд програм нь тэдгээрийн төрлүүдийг аажмаар хуримтлуулах, ижил ба түүнтэй адилтгах хувиргалтын "сан" -ыг тодорхойлдог бөгөөд үүний тусламжтайгаар та дурын тэгшитгэлийг хамгийн энгийн болгон бууруулж болно. Сургуулийн алгебрийн хичээлд тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий арга техникийг боловсруулах үйл явцыг мөн энэ чиглэлд барих ёстой. Ахлах сургуулийн математикийн хичээлд оюутнууд тэгшитгэл, системүүдийн шинэ ангиудтай тулгардаг, эсвэл аль хэдийн мэдэгдэж байсан тэгшитгэлүүдийг гүнзгийрүүлэн судлах 10 Квадрат тэгшитгэлийг судлах арга Системчилсэн алгебрийн хичээлийг судалж эхлэхэд гол анхаарал хандуулдаг. судалгааны тусгай объект болсон квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудад төлсөн. Энэ сэдэв нь илтгэлийн гүн гүнзгий, заах явцад бий болсон холболтын баялаг, илтгэлийн логик үндэслэлээр тодорхойлогддог. Тиймээс энэ нь тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын шугамд онцгой байр суурь эзэлдэг. Квадрат тэгшитгэлийн судалгааны чухал цэг бол бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн язгуур ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарал байгааг харуулсан Виетийн теоремыг авч үзэх явдал юм. Вьетагийн теоремыг эзэмшихэд хүндрэлтэй байгаа нь хэд хэдэн нөхцөл байдлаас шалтгаална. Юуны өмнө шууд ба урвуу теоремуудын ялгааг анхаарч үзэх хэрэгтэй. 11 Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 10 арга: Тэгшитгэлийн зүүн талын хүчин зүйл. Бүрэн квадратыг сонгох арга. Томьёог ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Виетийн теоремыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. "Шидэх" аргыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдэх нь Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүдийн шинж чанар. Квадрат тэгшитгэлийн график шийдэл. Луужин ба захирагч ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. 12 Квадрат тэгшитгэлийг номограмм ашиглан шийдвэрлэх. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх геометрийн арга. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх алгоритм 1) тэгшитгэл нь ax2 = 0 хэлбэртэй бол нэг язгуур х = 0 байна; 2) хэрэв тэгшитгэл нь ax2 + bx = 0 хэлбэртэй байвал үржвэрлэх аргыг хэрэглэнэ: x (ax + b) = 0; энэ нь x = 0 эсвэл ax + b = 0 гэсэн үг юм. Үүний үр дүнд бид хоёр үндэсийг авна: x1 = 0; x2 = 3) хэрэв тэгшитгэл нь ax2 + c = 0 хэлбэртэй байвал ax2 = - c, дараа нь x2 хэлбэрт шилжинэ.= -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, өөрөөр хэлбэл. - = m, энд m>0, x2 = m тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй тул бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй, нэг үндэстэй эсвэл үндэсгүй байж болно. 13 Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх алгоритм. Эдгээр нь ax2 + bx + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлүүд бөгөөд a, b, c нь өгөгдсөн тоо бөгөөд ≠ 0, x нь үл мэдэгдэх тоо юм. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын тоог тодорхойлж, эдгээр язгуурыг олохын тулд аливаа бүрэн квадрат тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлж болно. Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх дараах тохиолдлуудыг авч үзнэ: D< 0, D = 0, D >0. 1. Хэрэв Д< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0 бол ax2 + bx + c = 0 квадрат тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй бөгөөд эдгээрийг дараах томъёогоор олно: ; 14 Буурсан квадрат тэгшитгэлийн шийдэл Ф.Вьетагийн теорем: Буурсан квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй, язгууруудын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, x1 ба x2 нь x2 +px + q = 0 тэгшитгэлийн үндэс бол x1 + x2 = - p, x1 x2 = q болно. (*) Виетийн теоремын урвуу теорем: Хэрэв (*) томьёо нь x1, x2, p, q тоонуудад хүчинтэй байвал x1 ба x2 нь x2 + px + q = 0 тэгшитгэлийн үндэс болно. 15 Практик хэрэглээ Хэрэглээний асуудлыг шийдвэрлэх квадрат тэгшитгэлийн тухай Бхаскар (1114-1185) - 12-р зууны Энэтхэгийн хамгийн том математикч, одон орон судлаач. Тэрээр Ужжайн дахь одон орон судлалын ажиглалтын газрыг удирдаж байсан. Бхаскара "Сиддханта-широмани" ("Сургалтын титэм") хэмээх дөрвөн хэсгээс бүрдсэн "Лилавати" нь арифметик, "Бижаганита" нь алгебр, "Голадхая" нь бөмбөрцөгт, "Гранхаганита" нь бөмбөрцөгт зориулагдсан гэсэн дөрвөн хэсгээс бүрдсэн зохиолоо бичжээ. гаригийн хөдөлгөөн. Бхаскара тэгшитгэлийн сөрөг язгуурыг олж авсан боловч тэдгээрийн ач холбогдлыг эргэлзэж байв. Тэрээр мөнхийн хөдөлгөөнт машины хамгийн эртний загваруудын нэгийг эзэмшдэг. 16 12-р зууны Энэтхэгийн алдарт математикчийн нэгэн бодлого. Бхаскара: Бхаскарагийн шийдэл нь зохиолч квадрат тэгшитгэлийн язгуур нь хоёр утгатай гэдгийг мэддэг байсныг харуулж байна. 17 Дүгнэлт Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шинжлэх ухааны хөгжил урт бөгөөд хүнд хэцүү замыг туулсан. Штифель, Вьета, Тарталиа, Кардано, Бомбелли, Жирард, Декарт, Ньютон нарын бүтээлийн дараа л квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх шинжлэх ухаан орчин үеийн хэлбэрээ олж авсан. Квадрат тэгшитгэлийн ач холбогдол нь зөвхөн асуудлыг шийдэх дэгжин, товчхон байдалд оршдоггүй, гэхдээ энэ нь маш чухал юм. Асуудлыг шийдвэрлэхдээ квадрат тэгшитгэлийг ашигласны үр дүнд шинэ нарийн ширийн зүйлийг ихэвчлэн олж илрүүлж, сонирхолтой ерөнхий дүгнэлт хийж, тодруулга хийх боломжтой болох нь ижил ач холбогдолтой юм. Квадрат тэгшитгэлийн хөгжлийн түүхтэй холбоотой уран зохиол, интернет эх сурвалжуудыг судалж байхдаа би өөрөөсөө: "Ийм хүнд хэцүү үед амьдарч байсан эрдэмтдийг үхлийн аюулын дор шинжлэх ухаанд оролцоход юу нөлөөлсөн бэ?" Шинжлэх ухааны хөгжлийн гол түлхүүр нь юуны түрүүнд хүний оюун санааны эрэл хайгуул юм болов уу. Ертөнцийн мөн чанар, хүн төрөлхтөний энэ ертөнцөд ямар байр суурь эзэлдэг тухай асуултууд үргэлж сэтгэлгээтэй, эрэл хайгуулч, ухаалаг хүмүүсийг зовоож байдаг. Хүмүүс өөрсдийгөө болон дэлхий дээрх байр сууриа ойлгохыг үргэлж хичээдэг. Дотроо хар, магадгүй та өдөр тутмын амьдрал, залхууралдаа бууж өгснөөс болж төрөлхийн сониуч зан чинь зовж байгаа болов уу? Олон эрдэмтдийн хувь тавилан бол дагах 18 жишээ юм. Бүх нэр алдартай, алдартай байдаггүй. Бодоод үз дээ: ойр дотны хүмүүсийн хувьд би ямар хүн бэ? Гэхдээ хамгийн гол нь би өөрийнхөө талаар ямар сэтгэгдэлтэй байна вэ, би хүндлэл хүлээх ёстой юу? Бодоод үз дээ... Ашигласан материал 1. Звавич Л.И. “Алгебр 8-р анги”, М., 2002. 2. Савин Ю.П. “Залуу математикчийн нэвтэрхий толь бичиг”, М., 1985. 3. Ю.Н.Макарычев “Алгебр 8-р анги”, М, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www. ido. rudn.ru/nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index- 2427. html 19 Анхаарал тавьсанд баярлалаа 20
Одоогоор ажлын HTML хувилбар байхгүй байна.
Үүнтэй төстэй баримт бичиг
Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёоны хөгжлийн түүх. Эртний Вавилон дахь квадрат тэгшитгэл. Диофантын квадрат тэгшитгэлийн шийдэл. 13-17-р зууны Энэтхэг, Хорезми, Европ дахь квадрат тэгшитгэл. Вьетагийн теорем, орчин үеийн алгебрийн тэмдэглэгээ.
туршилт, 2010 оны 11/27-нд нэмэгдсэн
Квадрат тэгшитгэлийн түүх: Эртний Вавилон ба Энэтхэг дэх тэгшитгэл. x-ийн тэгш коэффициентийн томъёо. Тодорхой шинж чанартай квадрат тэгшитгэл. Өндөр зэрэгтэй олон гишүүнтэд зориулсан Виетийн теорем. Биквадрат тэгшитгэлийн судалгаа. Кордано томъёоны мөн чанар.
хураангуй, 2009-09-05 нэмэгдсэн
Математикийн түүхэн дэх квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томьёоны гарал үүсэлтэй. Харьцуулсан шинжилгээтехнологи янз бүрийн аргаарХоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийн шийдэл, тэдгээрийн хэрэглээний жишээ. Товч онолквадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх, бодлогын ном бичих.
хураангуй, 2012/12/18 нэмэгдсэн
Бидний амьдрал дахь математикийн ач холбогдол. Бүртгэлийн түүх. Тооцооллын математикийн аргуудын өнөөгийн хөгжил. Бусад шинжлэх ухаанд математикийн хэрэглээ, математик загварчлалын үүрэг. Орос дахь математикийн боловсролын байдал.
нийтлэл, 2010 оны 01-р сарын 5-нд нэмэгдсэн
Грекийн математик. Дундад зууны үе ба сэргэн мандалт. Орчин үеийн математикийн эхлэл. Орчин үеийн математик. Математик нь логик дээр биш, харин зөв зөн совин дээр суурилдаг. Математикийн суурийн асуудлууд нь философийн шинж чанартай байдаг.
хураангуй, 2006-09-06 нэмсэн
6-14-р зууны Европ дахь математикийн шинжлэх ухааны хөгжлийн түүх, түүний төлөөлөгчид, ололт амжилт. Сэргэн мандалтын үеийн математикийн хөгжил. Цагаан толгойн тоололыг бий болгох, Франсуа Вьетагийн үйл ажиллагаа. 16-р зууны төгсгөл ба 16-р зууны эхэн үеийн тооцооллын сайжруулалт.
танилцуулга, 2015-09-20 нэмэгдсэн
17-18-р зууны Европын математикийн хөгжлийн тойм. Европын шинжлэх ухааны жигд бус хөгжил. Аналитик геометр. Математик анализыг бий болгох. Лейбницийн шинжлэх ухааны сургууль. ерөнхий шинж чанар 18-р зууны шинжлэх ухаан Математикийн хөгжлийн чиглэл.
танилцуулга, 2015-09-20 нэмэгдсэн
Математикийн төрсөн үе (МЭӨ 7-5-р зууны өмнөх үе). Тогтмол хэмжигдэхүүний математикийн цаг үе (МЭӨ VII-V зуун - МЭ XVII зуун). Хувьсагчийн математик (XVII-XIX зуун). Математикийн хөгжлийн орчин үеийн үе. Компьютерийн математикийн онцлог.
танилцуулга, 2015-09-20 нэмэгдсэн
МЭӨ 6-р зууны хооронд амьдарч байсан эртний Грекийн математикчдын ололт амжилт. болон МЭ 5-р зуун Математикийн хөгжлийн эхний үеийн онцлог. Математикийн хөгжилд Пифагорын сургуулийн үүрэг: Платон, Евдокс, Зенон, Демокрит, Евклид, Архимед, Аполлониус.
туршилт, 2010 оны 09-р сарын 17-нд нэмэгдсэн
Математикийн шинжлэх ухааны хөгжлийн түүх. Анхан шатны математикийн үе. Хувьсах хэмжигдэхүүний математикийг бий болгох үе. Аналитик геометр, дифференциал ба интеграл тооцоолол бий болгох. 18-19-р зууны Орос дахь математикийн хөгжил.
Копьевск хөдөөгийн дунд сургууль
Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх 10 арга
Дарга: Патрикеева Галина Анатольевна,
математикийн багш
Копево тосгон, 2007 он
1. Квадрат тэгшитгэлийн хөгжлийн түүх
1.1 Эртний Вавилоны квадрат тэгшитгэл
1.2 Диофант квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн зохиож, шийдсэн
1.3 Энэтхэг дэх квадрат тэгшитгэл
1.4 Аль-Хорезмигийн квадрат тэгшитгэл
1.5 Европ дахь квадрат тэгшитгэлүүд XIII - XVII зуун
1.6 Вьетагийн теоремын тухай
2. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга
Дүгнэлт
Уран зохиол
1. Квадрат тэгшитгэлийн хөгжлийн түүх
1.1 Эртний Вавилоны квадрат тэгшитгэл
Зөвхөн эхний төдийгүй хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэрэгцээ нь эртний үед ч газар тариалангийн талбай, цэргийн шинж чанартай газар шорооны ажилтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй байв. одон орон судлал, математикийн хөгжил өөрөө. Квадрат тэгшитгэлийг МЭӨ 2000 онд шийдэж болно. д. Вавилончууд.
Орчин үеийн алгебрийн тэмдэглэгээг ашиглан тэдгээрийн дөрвөлжин бичвэрт бүрэн бус бичвэрүүдээс гадна жишээлбэл, бүрэн квадрат тэгшитгэлүүд байдаг гэж хэлж болно.
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Вавилоны бичвэрт дурдсан эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх дүрэм нь орчин үеийнхтэй үндсэндээ давхцаж байгаа боловч вавилончууд энэ дүрэмд хэрхэн хүрсэн нь тодорхойгүй байна. Өнөөг хүртэл олдсон бараг бүх дөрвөлжин бичвэрүүд нь зөвхөн жор хэлбэрээр гаргасан шийдлийн асуудлуудыг өгдөг бөгөөд тэдгээрийг хэрхэн олсон тухай ямар ч заалт байхгүй.
Вавилонд алгебрийн хөгжил өндөр байсан ч дөрвөлжин тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий арга, сөрөг тооны тухай ойлголт дутмаг дөрвөлжин бичвэрт байдаг.
1.2 Диофант квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн зохиож, шийдвэрлэсэн.
Диофантусын Арифметик нь алгебрийн системчилсэн танилцуулгыг агуулаагүй боловч янз бүрийн зэрэглэлийн тэгшитгэл байгуулах замаар шийдэгдсэн, тайлбарын хамт системчилсэн цуврал асуудлуудыг агуулдаг.
Диофант тэгшитгэл зохиохдоо шийдлийг хялбарчлахын тулд үл мэдэгдэх зүйлийг чадварлаг сонгодог.
Жишээлбэл, энд түүний даалгаваруудын нэг юм.
Асуудал 11."Нийлбэр нь 20, үржвэр нь 96 гэдгийг мэдэж байгаа хоёр тоог ол"
Диофант дараах байдлаар тайлбарлав: асуудлын нөхцлөөс харахад шаардлагатай тоонууд нь тэнцүү биш, учир нь тэд тэнцүү байсан бол тэдгээрийн үржвэр нь 96 биш, харин 100-тай тэнцүү байх болно. Тиймээс тэдгээрийн нэг нь түүнээс их байх болно. тэдгээрийн нийлбэрийн тал хувь, өөрөөр хэлбэл. 10 + x, нөгөө нь бага, өөрөөр хэлбэл. 10-д. Тэдний хоорондын ялгаа 2x .
Тиймээс тэгшитгэл:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Эндээс x = 2. Шаардлагатай тоонуудын нэг нь тэнцүү байна 12 , бусад 8 . Шийдэл x = -2Учир нь Грекийн математик зөвхөн эерэг тоог мэддэг байсан тул Диофант байхгүй.
Хэрэв бид шаардлагатай тоонуудын аль нэгийг үл мэдэгдэх тоогоор сонгох замаар энэ асуудлыг шийдвэл тэгшитгэлийн шийдэлд хүрнэ.
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20y + 96 = 0. (2)
Шаардлагатай тоонуудын хагас зөрүүг үл мэдэгдэх байдлаар сонгосноор Диофант шийдлийг хялбарчлах нь тодорхой байна; тэрээр бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд асуудлыг багасгаж чадсан (1).
1.3 Энэтхэг дэх квадрат тэгшитгэл
Квадрат тэгшитгэлийн асуудлуудыг Энэтхэгийн математикч, одон орон судлаач Арьябхаттагийн 499 онд эмхэтгэсэн "Арьябхаттиам" хэмээх одон орны зохиолд аль хэдийн олдсон байдаг. Энэтхэгийн өөр нэг эрдэмтэн Брахмагупта (7-р зуун) квадрат тэгшитгэлийг дангаар нь буулгах ерөнхий дүрмийг тодорхойлсон. каноник хэлбэр:
аа 2 + б x = c, a > 0. (1)
(1) тэгшитгэлд коэффициентүүд, бусад А, мөн сөрөг байж болно. Брахмагуптагийн дүрэм үндсэндээ манайхтай адилхан.
Эртний Энэтхэгт хүнд хэцүү асуудлуудыг шийдвэрлэх олон нийтийн уралдаанууд түгээмэл байв. Энэтхэгийн хуучин номнуудын нэгэнд ийм уралдааны талаар: "Нар оддыг гялалзуулж, гялалзуулж байгаагийн хэрээр эрдэмт хүн олон нийтийн цуглаан дээр алгебрийн бодлого дэвшүүлж, шийдвэрлэх үед бусдын алдрыг гүйцэлдүүлэх болно" гэж бичсэн байдаг. Асуудлыг ихэвчлэн яруу найргийн хэлбэрээр танилцуулдаг байв.
Энэ бол 12-р зууны Энэтхэгийн нэрт математикчийн асуудлын нэг юм. Бхаскарууд.
Асуудал 13.
“Сүрлэг сармагчингууд, усан үзмийн мод дагуух арван хоёр...
Эрх баригчид хоол идээд хөгжилдөв. Тэд үсэрч, унжиж эхлэв ...
Тэд талбай дээр байна, наймдугаар хэсэг Тэнд хэдэн сармагчин байсан бэ?
Би цэвэрлэгээнд хөгжилдөж байсан. Надад хэлээч, энэ хайрцагт уу?
Бхаскарын шийдэл нь квадрат тэгшитгэлийн язгуурууд хоёр утгатай гэдгийг мэддэг байсныг харуулж байна (Зураг 3).
13-р асуудалд тохирох тэгшитгэл нь:
( x /8) 2 + 12 = x
Бхашкара нэрийн дор бичжээ.
x 2 - 64x = -768
мөн энэ тэгшитгэлийн зүүн талыг дөрвөлжин болгож дуусгахын тулд хоёр талд нэмнэ 32 2 , дараа нь авах:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Аль-Хорезми дахь квадрат тэгшитгэл
Аль-Хорезмигийн алгебрийн зохиолд шугаман ба квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг өгсөн. Зохиогч 6 төрлийн тэгшитгэлийг тоолж, дараах байдлаар илэрхийлэв.
1) "Квадратууд нь үндэстэй тэнцүү", өөрөөр хэлбэл. сүх 2 + c = б X.
2) "Квадрат нь тоонуудтай тэнцүү", i.e. сүх 2 = c.
3) "Үндэс нь тоотой тэнцүү байна," i.e. аа = с.
4) "Квадрат ба тоонууд нь язгууртай тэнцүү", i.e. сүх 2 + c = б X.
5) "Квадрат ба үндэс нь тоонуудтай тэнцүү", i.e. аа 2 + bx = s.
6) "Үндэс ба тоо нь квадраттай тэнцүү" гэх мэт. bx + c = сүх 2.
Сөрөг тоог ашиглахаас зайлсхийсэн аль-Хорезмигийн хувьд эдгээр тэгшитгэл бүрийн нөхцөл нь хасах биш харин нэмэх юм. Энэ тохиолдолд эерэг шийдэлгүй тэгшитгэлийг тооцохгүй нь ойлгомжтой. Зохиогч аль-жабр ба аль-мукабалагийн техникийг ашиглан эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг тодорхойлсон. Мэдээжийн хэрэг, түүний шийдвэр бидний шийдвэртэй бүрэн давхцахгүй. Энэ нь цэвэр риторик гэдгийг дурдахгүй, жишээлбэл, эхний хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ
Аль-Хорезми 17-р зууны өмнөх бүх математикчдын нэгэн адил тэг шийдлийг харгалздаггүй бөгөөд энэ нь тодорхой практик асуудлуудад энэ нь хамаагүй учраас магадгүй юм. Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ аль-Хорезми тодорхой тоон жишээнүүд, дараа нь геометрийн нотолгоог ашиглан тэдгээрийг шийдвэрлэх дүрмийг тодорхойлсон.
Асуудал 14.“Дөрвөлжин ба 21 тоо нь 10 язгууртай тэнцүү. Үндэс олох" (х 2 + 21 = 10x тэгшитгэлийн язгуурыг илэрхийлнэ).
Зохиогчийн шийдэл ийм байна: язгуурын тоог хоёр хуваавал 5-ыг авна, 5-ыг өөрөө үржүүл, үржвэрээс 21-ийг хасвал 4 үлдэнэ. 4-өөс үндсийг авбал 2-ыг авна. 5-аас 2-ыг хасна. , та 3-ыг авна, энэ нь хүссэн үндэс болно. Эсвэл 2-ыг 5-д нэмбэл 7 гарна, энэ нь бас үндэс юм.
Квадрат тэгшитгэлийн ангиллыг системтэйгээр гаргаж, тэдгээрийн шийдлийн томъёог өгсөн аль-Хорезмигийн товхимол бол бидэнд ирсэн анхны ном юм.
1.5 Европ дахь квадрат тэгшитгэл XIII - XVII bb
Европ дахь аль-Хорезмигийн шугамын дагуу квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томьёог Италийн математикч Леонардо Фибоначчийн 1202 онд бичсэн Абакус номонд анх гаргажээ. Исламын болон эртний Грекийн математикийн нөлөөг тусгасан энэхүү том бүтээл нь бүрэн дүүрэн, ойлгомжтой байдлаараа ялгагдана. Зохиогч нь асуудлыг шийдвэрлэх зарим шинэ алгебрийн жишээг бие даан боловсруулж, Европт анх удаа сөрөг тоог нэвтрүүлэхэд ойртжээ. Түүний ном нь зөвхөн Италид төдийгүй Герман, Франц болон Европын бусад орнуудад алгебрийн мэдлэгийг түгээхэд хувь нэмэр оруулсан. 16-17-р зууны бараг бүх Европын сурах бичигт Абакус номноос олон асуудлыг ашигласан. болон хэсэгчлэн XVIII.
Нэг каноник хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх ерөнхий дүрэм:
x 2 + bx = c,
коэффициент тэмдгийн бүх боломжит хослолын хувьд б , -тайЕвропт зөвхөн 1544 онд М.Штифель томъёолсон.
Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр шийдэх томъёоны гарал үүслийг Виетээс авах боломжтой боловч Виет зөвхөн эерэг язгуурыг хүлээн зөвшөөрсөн. Италийн математикч Тартаглиа, Кардано, Бомбелли нар 16-р зууны анхны хүмүүсийн нэг байв. Эерэг зүйлээс гадна сөрөг үндсийг харгалзан үздэг. Зөвхөн 17-р зуунд. Жирард, Декарт, Ньютон болон бусад эрдэмтдийн ажлын ачаар квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга орчин үеийн хэлбэрийг олж авдаг.
1.6 Вьетагийн теоремын тухай
Квадрат тэгшитгэлийн коэффициент ба түүний язгуур хоорондын хамаарлыг илэрхийлсэн теоремыг Вьетагийн нэрээр нэрлэсэн бөгөөд тэрээр 1591 онд анх удаа дараах байдлаар томъёолжээ. Б + Д, үржүүлсэн А - А 2 , тэнцүү байна Б.Д, Тэр Атэнцүү байна INба тэнцүү Д ».
Виетаг ойлгохын тулд бид үүнийг санах хэрэгтэй А, ямар ч эгшиг үсгийн нэгэн адил үл мэдэгдэх гэсэн утгатай (манай X), эгшиг IN, Д- үл мэдэгдэх коэффициентүүд. Орчин үеийн алгебрийн хэлээр дээрх Вьета томъёолол нь: хэрэв байгаа бол гэсэн утгатай
(а + б )x - x 2 = ab ,
x 2 - (a + б )x + a б = 0,
x 1 = a, x 2 = б .
Тэгшитгэлийн үндэс ба коэффициентүүдийн хоорондын хамаарлыг тэмдэгт ашиглан бичсэн ерөнхий томьёогоор илэрхийлэхдээ Виет тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын нэгдмэл байдлыг тогтоожээ. Гэсэн хэдий ч Вьетнамын бэлгэдэл хол хэвээр байна орчин үеийн дүр төрх. Тэрээр сөрөг тоог хүлээн зөвшөөрдөггүй байсан тул тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бүх үндэс эерэг байсан тохиолдлуудыг л авч үзсэн.
2. Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга
Квадрат тэгшитгэлүүд нь алгебрийн гайхамшигт байгууламжийн үндэс суурь болдог. Квадрат тэгшитгэлийг тригонометр, экспоненциал, логарифм, иррационал, трансцендентал тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг. Бид бүгд сургуулиас (8-р анги) төгсөх хүртлээ квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг мэддэг.