Тэгшитгэл параболбайна квадрат функц. Энэ тэгшитгэлийг бий болгох хэд хэдэн сонголт байдаг. Асуудлын мэдэгдэлд ямар параметрүүдийг тусгасан байгаагаас бүх зүйл хамаарна.

Заавар

Парабол нь нуман хэлбэртэй, график хэлбэртэй муруй юм эрчим хүчний функц. Параболагийн шинж чанараас үл хамааран энэ нь тэгш байдаг. Тодорхойлолтоос харахад аргументийн бүх утгуудын хувьд ийм функцийг тэгш гэж нэрлэдэг бөгөөд аргументийн тэмдэг өөрчлөгдөхөд утга өөрчлөгдөхгүй: f (-x) = f (x) Хамгийн энгийн функцээс эхэл: y; = x^2. Түүний гадаад төрх байдлаас харахад энэ нь эерэг ба сөрөг аль аль нь байна гэж дүгнэж болно сөрөг утгуударгумент x. x=0, үүнтэй зэрэгцэн y =0 байх цэгийг цэг гэж үзнэ.

Энэ функцийг бүтээх үндсэн сонголтууд болон түүний . Эхний жишээн дээр бид дараах хэлбэрийн функцийг авч үзье: f(x)=x^2+a, энд a нь бүхэл тоо бөгөөд энэ функцийн графикийг байгуулахын тулд түүний графикийг шилжүүлэх шаардлагатай f(x) функцийг нэгжээр илэрхийлнэ. Жишээ нь y=x^2+3 функц бөгөөд y тэнхлэгийн дагуу функц нь хоёр нэгжээр шилждэг. Хэрэв эсрэг тэмдэгтэй функц өгөгдсөн бол жишээ нь y=x^2-3 бол түүний график у тэнхлэгийн дагуу доош шилжинэ.

Параболыг өгч болох өөр төрлийн функц бол f(x)=(x +a)^2 юм. Ийм тохиолдолд график нь эсрэгээр абсцисса тэнхлэг (x тэнхлэг) дагуу нэгжээр шилждэг. Жишээлбэл, y=(x +4)^2 ба y=(x-4)^2 гэсэн функцуудыг авч үзэж болно. Эхний тохиолдолд нэмэх тэмдэгтэй функц байгаа тохиолдолд графикийг x тэнхлэгийн дагуу зүүн тийш, хоёр дахь тохиолдолд баруун тийш шилжүүлнэ. Эдгээр бүх тохиолдлуудыг зурагт үзүүлэв.

Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл энэ чиглэлд. Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл. Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг. Хоёр шулууны параллелизм ба перпендикуляр байдлын нөхцөл. Хоёр шугамын огтлолцлын цэгийг тодорхойлох

1. Өгөгдсөн цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл А(x 1 , y 1) налуугаар тодорхойлогдсон өгөгдсөн чиглэлд к,

y - y 1 = к(x - x 1). (1)

Энэ тэгшитгэл нь нэг цэгээр дамжин өнгөрөх шугамын харандааг тодорхойлдог А(x 1 , y 1), үүнийг цацрагийн төв гэж нэрлэдэг.

2. Хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэл: А(x 1 , y 1) ба Б(x 2 , y 2) дараах байдлаар бичсэн:

Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын өнцгийн коэффициентийг томъёогоор тодорхойлно

3. Шулуун шугамын хоорондох өнцөг АТэгээд Бэхний шулуун шугамыг эргүүлэх ёстой өнцөг юм Ахоёр дахь шугамтай давхцах хүртэл эдгээр шугамын огтлолцлын цэгийн эргэн тойронд цагийн зүүний эсрэг Б. Хэрэв хоёр шулууныг налуутай тэгшитгэлээр өгвөл

y = к 1 x + Б 1 ,

Хоёр оноо өгье М 1 (х 1, у 1)Тэгээд М 2 (х 2, у 2). Шугамын тэгшитгэлийг (5) хэлбэрээр бичье кОдоогоор тодорхойгүй коэффициент:

Гол цэгээс хойш М 2өгөгдсөн шулуунд хамаарах бол координат нь тэгшитгэлийг (5) хангана: . Эндээс илэрхийлж, (5) тэгшитгэлд орлуулснаар бид шаардлагатай тэгшитгэлийг олж авна.

Хэрэв Энэ тэгшитгэлийг цээжлэхэд илүү тохиромжтой хэлбэрээр дахин бичиж болно.

(6)

Жишээ. M 1 (1,2) ба M 2 (-2,3) цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл. . Пропорциональ шинж чанарыг ашиглаж, шаардлагатай хувиргалтыг хийснээр бид олж авна ерөнхий тэгшитгэлшууд:

Хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцөг

Хоёр шулуун шугамыг авч үзье л 1Тэгээд л 2:

л 1: , , Мөн

л 2: , ,

φ нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг (). 4-р зурагнаас тодорхой байна: .

Эндээс , эсвэл

Томъёо (7) ашиглан та шулуун шугамын хоорондох өнцгийн аль нэгийг тодорхойлж болно. Хоёр дахь өнцөг нь тэнцүү байна.

Жишээ. Хоёр шулуун шугамыг y=2x+3 ба y=-3x+2 тэгшитгэлээр өгөв. Эдгээр шугамын хоорондох өнцгийг ол.

Шийдэл. Тэгшитгэлээс k 1 =2, k 2 =-3 гэдэг нь тодорхой байна. Эдгээр утгыг томъёогоор (7) орлуулснаар бид олдог

. Тиймээс эдгээр шугамын хоорондох өнцөг нь тэнцүү байна.

Хоёр шулууны параллелизм ба перпендикуляр байх нөхцөл

Хэрэв шулуун бол л 1Тэгээд л 2зэрэгцээ байна φ=0 Тэгээд tgφ=0. (7) томъёоноос энэ нь , хаанаас k 2 =k 1. Тиймээс хоёр шугамын зэрэгцээ байх нөхцөл нь тэдгээрийн өнцгийн коэффициентүүдийн тэгш байдал юм.

Хэрэв шулуун бол л 1Тэгээд л 2перпендикуляр байна φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Иймд хоёр шулууны перпендикуляр байх нөхцөл нь тэдгээрийн өнцгийн коэффициент нь хэмжээнээсээ урвуу, тэмдгээр эсрэг тэсрэг байх явдал юм.

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай

Теорем. Хэрэв M(x 0, y 0) цэг өгөгдсөн бол Ax + Bу + C = 0 шулуун хүртэлх зайг дараах байдлаар тодорхойлно.

Баталгаа. М цэгээс өгөгдсөн шулуун руу буулгасан перпендикулярын суурь нь M 1 (x 1, y 1) цэг байг. Дараа нь M ба M цэгүүдийн хоорондох зай 1:

x 1 ба y 1 координатуудыг тэгшитгэлийн системийг шийдэж болно.

Системийн хоёр дахь тэгшитгэл нь өгөгдсөн шугамд перпендикуляр M 0 цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл юм.

Хэрэв бид системийн эхний тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт шилжүүлбэл:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

Дараа нь шийдэж, бид дараахь зүйлийг авна.

Эдгээр илэрхийллийг (1) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олно.

Теорем нь батлагдсан.

Жишээ.Шугамын хоорондох өнцгийг тодорхойлно уу: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Жишээ. 3x – 5y + 7 = 0 ба 10x + 6y – 3 = 0 шулуунууд перпендикуляр болохыг харуул.

Бид олох болно: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, тиймээс шугамууд перпендикуляр байна.

Жишээ. A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) гурвалжны оройг өгөв. С оройноос татсан өндрийн тэгшитгэлийг ол.

Бид AB талын тэгшитгэлийг олно: ; 4x = 6y – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Шаардлагатай өндрийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: Ax + By + C = 0 эсвэл y = kx + b.

k=. Дараа нь y =. Учир нь өндөр нь С цэгээр дамжин өнгөрвөл координатууд нь энэ тэгшитгэлийг хангана: эндээс b = 17. Нийт: .

Хариулт: 3x + 2y – 34 = 0.

Нэг цэгээс шулуун хүртэлх зайг тухайн цэгээс шугам хүртэл татсан перпендикулярын уртаар тодорхойлно.

Хэрэв шугам нь проекцын хавтгайтай параллель байвал (h | | P 1), дараа нь цэгээс зайг тодорхойлохын тулд Ашулуун шугам руу hцэгээс перпендикулярыг буулгах шаардлагатай Ахэвтээ рүү h.

Илүү ихийг авч үзье нарийн төвөгтэй жишээ, шулуун шугам авах үед ерөнхий байр суурь. Нэг цэгээс зайг тодорхойлох шаардлагатай байг Мшулуун шугам руу Аерөнхий байр суурь.

Тодорхойлох даалгавар зэрэгцээ шугамуудын хоорондох зайөмнөхтэй адил шийдэгддэг. Нэг шулуун дээр цэг авч, түүнээс нөгөө шулуун руу перпендикуляр буулгана. Перпендикулярын урт нь параллель шугамуудын хоорондох зайтай тэнцүү байна.

Хоёр дахь эрэмбийн муруйнь одоогийн декарт координаттай харьцуулахад хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шугам юм. Ерөнхий тохиолдолд Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

Энд A, B, C, D, E, F нь бодит тоо бөгөөд A 2 + B 2 + C 2 ≠0 тоонуудын ядаж нэг нь юм.

Тойрог

Тойргийн төв– энэ нь C(a,b) хавтгай дээрх цэгээс ижил зайд орших хавтгайн цэгүүдийн геометрийн байрлал юм.

Тойрог дараах тэгшитгэлээр өгөгдөнө.

Энд x,y нь тойрог дээрх дурын цэгийн координат, R нь тойргийн радиус юм.

Тойргийн тэгшитгэлийн тэмдэг

1. x,y-тэй гишүүн байхгүй байна

2. x 2 ба y 2-ын коэффициентүүд тэнцүү байна

Зууван

ЗууванХавтгай дахь цэгүүдийн геометрийн байрлал гэж нэрлэгддэг бөгөөд энэ хавтгайн өгөгдсөн хоёр цэгээс тус бүрийн зайны нийлбэрийг фокус (тогтмол утга) гэж нэрлэдэг.

Эллипсийн каноник тэгшитгэл:

X ба y нь эллипсэд хамаарна.

a – эллипсийн хагас гол тэнхлэг

b – эллипсийн хагас бага тэнхлэг

Эллипс нь OX ба OU тэгш хэмийн 2 тэнхлэгтэй. Эллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүд нь түүний тэнхлэгүүд, тэдгээрийн огтлолцлын цэг нь эллипсийн төв юм. Голомтууд байрладаг тэнхлэгийг нэрлэдэг фокусын тэнхлэг. Эллипсийн тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэг нь эллипсийн орой юм.

Шахалтын (хүчдэл) харьцаа: ε = s/a– хазгай байдал (зууван хэлбэрийг тодорхойлдог), энэ нь жижиг байх тусам эллипс нь фокусын тэнхлэгийн дагуу бага сунадаг.

Хэрэв эллипсийн төвүүд C (α, β) төвд байхгүй бол

Гипербола

Гиперболнь хавтгай дахь цэгүүдийн геометрийн байрлал гэж нэрлэгддэг бөгөөд энэ хавтгайн өгөгдсөн хоёр цэгээс тус бүрийг фокус гэж нэрлэдэг зайны зөрүүний үнэмлэхүй утга нь тэгээс ялгаатай тогтмол утга юм.

Каноник гиперболын тэгшитгэл

Гипербол нь 2 тэгш хэмийн тэнхлэгтэй:

a – тэгш хэмийн бодит хагас тэнхлэг

b – симметрийн төсөөллийн хагас тэнхлэг

Гиперболын асимптотууд:

Парабола

Параболань фокус гэж нэрлэгддэг өгөгдсөн F цэг ба директрикс гэж нэрлэгддэг өгөгдсөн шулуунаас ижил зайд байгаа хавтгай дахь цэгүүдийн байрлал юм.

Параболын каноник тэгшитгэл:

У 2 =2рх, энд р нь фокусаас директрикс хүртэлх зай (параболын параметр)

Хэрэв параболын орой нь C (α, β) бол параболын тэгшитгэл (y-β) 2 = 2р(x-α) болно.

Хэрэв фокусын тэнхлэгийг ординатын тэнхлэг болгон авбал параболын тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно: x 2 =2qу.

Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл.
Чиглэлийн вектор шулуун байна. Ердийн вектор

Хавтгай дээрх шулуун шугам бол хамгийн энгийн шугамуудын нэг юм геометрийн хэлбэрүүд, тэр цагаас хойш танд танил болсон бага ангиуд, мөн өнөөдөр бид аналитик геометрийн аргуудыг ашиглан үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно. Материалыг эзэмшихийн тулд та шулуун шугам барих чадвартай байх ёстой; Шулуун шугамыг, ялангуяа координатын эхийг дайран өнгөрөх шулуун ба координатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг ямар тэгшитгэлээр тодорхойлохыг мэдэх. Энэ мэдээлэлгарын авлагаас олж болно Энгийн функцүүдийн график ба шинж чанарууд, Би үүнийг Матанд зориулж бүтээсэн боловч шугаман функцийн тухай хэсэг нь маш амжилттай, дэлгэрэнгүй болсон. Иймд эрхэм цайны савнуудаа эхлээд тэндээ дулаацаарай. Үүнээс гадна, та үндсэн мэдлэгтэй байх ёстой векторууд, эс бөгөөс материалын талаарх ойлголт бүрэн бус байх болно.

Асаалттай энэ хичээлХавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлийг үүсгэх аргуудыг бид авч үзэх болно. Би практик жишээг үл тоомсорлохгүй байхыг зөвлөж байна (энэ нь маш энгийн мэт санагдаж байсан ч), учир нь би тэдэнд анхан шатны болон чухал баримтууд, техникийн аргууд, энэ нь ирээдүйд, түүний дотор дээд математикийн бусад хэсгүүдэд шаардагдах болно.

• Өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?
• Яаж ?
• Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг ашиглан чиглэлийн векторыг хэрхэн олох вэ?
• Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

мөн бид эхэлнэ:

Налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл

Шулуун шугамын тэгшитгэлийн алдартай "сургууль" хэлбэрийг нэрлэдэг налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл. Жишээлбэл, тэгшитгэлээр шулуун шугам өгөгдсөн бол энэ нь налуу: . Ингээд авч үзье геометрийн утгаЭнэ коэффициент ба түүний утга нь шугамын байршилд хэрхэн нөлөөлдөг вэ:

Энэ нь геометрийн хичээлээр батлагдсан шулуун шугамын налуу нь тэнцүү байна өнцгийн тангенсэерэг тэнхлэгийн чиглэлийн хоорондмөн энэ мөр: , ба өнцөг нь цагийн зүүний эсрэг "эрэг тайлна".

Зургийг эмх замбараагүй болгохгүйн тулд би зөвхөн хоёр шулуун шугамын өнцгийг зурсан. "Улаан" шугам ба түүний налууг авч үзье. Дээр дурдсанчлан: ("альфа" өнцгийг ногоон нумаар заана). Өнцгийн коэффициент бүхий "цэнхэр" шулуун шугамын хувьд тэгш байдал нь үнэн юм ("бета" өнцгийг хүрэн нумаар тэмдэглэсэн). Хэрэв өнцгийн тангенс мэдэгдэж байгаа бол шаардлагатай бол олоход хялбар болно мөн булан өөрөөашиглан урвуу функц- артангенс. Тэдний хэлснээр таны гарт тригонометрийн хүснэгт эсвэл микро тооцоолуур байдаг. Тиймээс, өнцгийн коэффициент нь абсцисса тэнхлэгт шулуун шугамын хазайлтын түвшинг тодорхойлдог..

Дараах тохиолдлууд боломжтой.

1) Хэрэв налуу нь сөрөг байвал: шугам нь дээрээс доошоо явна. Жишээ нь зураг дээрх "цэнхэр", "бөөрөлзгөнө" шулуун шугамууд юм.

2) Хэрэв налуу эерэг байвал: шугам нь доороос дээш гарна. Жишээ нь зураг дээрх "хар", "улаан" шулуун шугамууд.

3) Хэрэв налуу нь тэг бол: , тэгшитгэл нь хэлбэрийг авах ба харгалзах шулуун шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна. Жишээ нь "шар" шулуун шугам юм.

4) Тэнхлэгтэй параллель шугамын гэр бүлийн хувьд (зураг дээр тэнхлэгээс бусад жишээ байхгүй) өнцгийн коэффициент байхгүй (90 градусын тангенс тодорхойлогдоогүй).

Налуугийн коэффициент үнэмлэхүй утгаараа их байх тусам шулуун шугамын график илүү эгц болно..

Жишээлбэл, хоёр шулуун шугамыг авч үзье. Тиймээс энд шулуун шугам нь илүү эгц налуутай байна. Модуль нь тэмдгийг үл тоомсорлох боломжийг олгодог гэдгийг танд сануулъя, бид зөвхөн сонирхож байна үнэмлэхүй утгуудөнцгийн коэффициентүүд.

Хариуд нь шулуун шугам нь шулуун шугамаас илүү эгц байдаг .

Эсрэгээр нь: налуугийн коэффициент үнэмлэхүй утгын хувьд бага байх тусам шулуун шугам илүү тэгш болно.

Шулуун шугамын хувьд тэгш бус байдал үнэн тул шулуун шугам илүү тэгш байна. Өөртөө хөхөрсөн, овойлт өгөхгүйн тулд хүүхдийн слайд.

Энэ яагаад хэрэгтэй вэ?

Зовлон зүдгүүрээ уртасга. Дээрх баримтуудын талаархи мэдлэг нь таны алдаа, тухайлбал график байгуулах явцад гарсан алдааг шууд харах боломжийг олгодог - хэрэв зураг нь "мэдээж буруу" байвал. Үүнийг танд зөвлөж байна шууджишээ нь, шулуун шугам нь маш эгц бөгөөд доороос дээш явдаг, шулуун шугам нь маш хавтгай, тэнхлэгт ойрхон дарагдсан, дээрээс доошоо явдаг нь тодорхой байв.

Геометрийн асуудлуудад хэд хэдэн шулуун шугамууд ихэвчлэн гарч ирдэг тул тэдгээрийг ямар нэгэн байдлаар тодорхойлоход тохиромжтой.

Тэмдэглэлүүд: шулуун шугамыг жижиг латин үсгээр тэмдэглэнэ: . Түгээмэл сонголт бол тэдгээрийг байгалийн доод үсэгтэй ижил үсгээр тэмдэглэх явдал юм. Жишээлбэл, бидний саяхан үзсэн таван мөрийг дараах байдлаар тэмдэглэж болно .

Аливаа шулуун шугам нь хоёр цэгээр тодорхойлогддог тул дараахь цэгүүдээр тэмдэглэж болно. гэх мэт. Тэмдэглэгээ нь цэгүүд нь шугаманд хамаарахыг тодорхой харуулж байна.

Бага зэрэг дулаарах цаг боллоо:

Өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв тодорхой шугамд хамаарах цэг ба энэ шугамын өнцгийн коэффициент нь мэдэгдэж байгаа бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Жишээ 1

Тухайн цэг нь өгөгдсөн шулуунд хамаарах нь мэдэгдэж байгаа бол налуу шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл: Томъёог ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя . IN энэ тохиолдолд:

Хариулт:

Шалгалтэнгийн байдлаар хийгддэг. Эхлээд бид үүссэн тэгшитгэлийг хараад бидний налуу байгаа эсэхийг шалгаарай. Хоёрдугаарт, цэгийн координатууд энэ тэгшитгэлийг хангах ёстой. Тэдгээрийг тэгшитгэлд оруулъя:

Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд энэ нь цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байна гэсэн үг юм.

Дүгнэлт: Тэгшитгэл зөв олдсон.

Өөрөө шийдэх илүү төвөгтэй жишээ:

Жишээ 2

Шулуун шугамын тэнхлэгийн эерэг чиглэлд хазайх өнцөг нь , цэг нь энэ шулуунд хамаарах нь мэдэгдэж байвал түүний тэгшитгэлийг бич.

Хэрэв танд бэрхшээл тулгарвал онолын материалыг дахин уншина уу. Илүү нарийн, илүү практик, би маш олон нотлох баримтыг алгасдаг.

Дуугарлаа сүүлчийн дуудлага, төгсөлтийн үдэшлэг болж, манай төрөлх сургуулийн хаалганы гадна аналитик геометр биднийг хүлээж байна. онигоо дууслаа... Эсвэл тэд дөнгөж эхэлж байгаа байх =)

Бид танил тал руугаа үзгээ даллаж, шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэй танилцдаг. Учир нь аналитик геометрт үүнийг яг ашигладаг:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна: , зарим тоо хаана байна. Үүний зэрэгцээ коэффициентүүд нэгэн зэрэгтэгшитгэл утгаа алддаг тул тэгтэй тэнцүү биш байна.

Костюм өмсөж, тэгшитгэлийг налуугийн коэффициенттэй холбоно. Эхлээд бүх нэр томъёог зүүн тал руу шилжүүлье:

"X" бүхий нэр томъёог эхний ээлжинд оруулах ёстой.

Зарчмын хувьд тэгшитгэл нь аль хэдийн хэлбэртэй байна , гэхдээ математикийн ёс зүйн дүрмийн дагуу эхний нэр томъёоны коэффициент (энэ тохиолдолд) эерэг байх ёстой. Өөрчлөгдсөн тэмдгүүд:

Энэ техникийн шинж чанарыг санаарай!Бид эхний коэффициентийг (ихэнхдээ) эерэг болгодог!

Аналитик геометрийн хувьд шулуун шугамын тэгшитгэлийг бараг үргэлж өгдөг ерөнхий хэлбэр. За, шаардлагатай бол өнцгийн коэффициент бүхий "сургууль" хэлбэрт амархан буулгаж болно (ординатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамуудаас бусад).

Юу гэж өөрөөсөө асууцгаая хангалттайшулуун шугам барихыг мэдэх үү? Хоёр оноо. Гэхдээ энэ бага насны үйл явдлын талаар одоо сумны дүрмийг баримталж байна. Шулуун шугам бүр нь маш тодорхой налуутай байдаг бөгөөд үүнийг "дасан зохицоход" хялбар байдаг. вектор.

Шугамтай параллель байх векторыг тухайн шугамын чиглэлийн вектор гэнэ. Аливаа шулуун шугамд хязгааргүй тооны чиглэлийн векторууд байдаг бөгөөд тэдгээр нь бүгд хоорондоо уялдаатай байх нь ойлгомжтой (хоол чиглэлтэй эсэх нь хамаагүй).

Би чиглэлийн векторыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: .

Гэхдээ нэг вектор нь шулуун шугам барихад хангалтгүй бөгөөд вектор нь чөлөөтэй бөгөөд хавтгайн аль ч цэгтэй холбогддоггүй. Тиймээс шугамд хамаарах зарим цэгийг мэдэх шаардлагатай.

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв шугамд хамаарах тодорхой цэг ба энэ шугамын чиглэлийн векторыг мэддэг бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор эмхэтгэж болно.

Заримдаа үүнийг дууддаг шугамын каноник тэгшитгэл .

Хэзээ юу хийх вэ координатуудын нэгтэгтэй тэнцүү бол бид доорх практик жишээн дээр ойлгох болно. Дашрамд хэлэхэд, анхаарна уу - хоёулаа нэгэн зэрэгТэг вектор нь тодорхой чиглэлийг заагаагүй тул координатууд тэгтэй тэнцүү байж болохгүй.

Жишээ 3

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич

Шийдэл: Томъёог ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя. Энэ тохиолдолд:

Пропорцын шинж чанарыг ашиглан бид бутархай хэсгүүдээс сална.

Тэгээд бид тэгшитгэлийг авчирдаг ерөнхий дүр төрх:

Хариулт:

Дүрмээр бол ийм жишээн дээр зураг зурах шаардлагагүй, гэхдээ ойлгохын тулд:

Зураг дээр бид эхлэлийн цэг, анхны чиглэлийн вектор (үүнийг хавтгайн аль ч цэгээс зурж болно) болон баригдсан шулуун шугамыг харж байна. Дашрамд хэлэхэд, олон тохиолдолд өнцгийн коэффициент бүхий тэгшитгэлийг ашиглан шулуун шугам барих нь хамгийн тохиромжтой. Бидний тэгшитгэлийг хэлбэр болгон хувиргаж, шулуун шугам барих өөр цэгийг сонгоход хялбар байдаг.

Догол мөрний эхэнд дурьдсанчлан шулуун шугам нь хязгааргүй олон чиглэлийн векторуудтай бөгөөд тэдгээр нь бүгд коллинеар байдаг. Жишээлбэл, би ийм гурван вектор зурсан: . Ямар ч чиглэлийн векторыг сонгохоос үл хамааран үр дүн нь үргэлж ижил шулуун шугамын тэгшитгэл байх болно.

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя:

Пропорцийг шийдвэрлэх:

Хоёр талыг -2-т хувааж, танил тэгшитгэлийг ол.

Сонирхсон хүмүүс векторуудыг ижил аргаар шалгаж болно эсвэл бусад коллинеар вектор.

Одоо урвуу асуудлыг шийдье:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг ашиглан чиглэлийн векторыг хэрхэн олох вэ?

Маш энгийн:

Тэгш өнцөгт координатын системд шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр өгсөн бол вектор нь энэ шулууны чиглэлийн вектор болно.

Шулуун шугамын чиглэлийн векторуудыг олох жишээ:

Энэхүү мэдэгдэл нь бидэнд хязгааргүй тооноос зөвхөн нэг чиглэлийн векторыг олох боломжийг олгодог боловч бидэнд илүү их зүйл хэрэггүй. Хэдийгээр зарим тохиолдолд чиглэлийн векторуудын координатыг багасгахыг зөвлөж байна.

Тиймээс тэгшитгэл нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зааж өгсөн бөгөөд үүссэн чиглэлийн векторын координатыг -2-т хувааснаар яг үндсэн векторыг чиглэлийн вектор болгон авна. Логик.

Үүний нэгэн адил тэгшитгэл нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зааж өгөх ба векторын координатыг 5-д хуваах замаар бид нэгж векторыг чиглэлийн вектор болгон авна.

Одоо хийцгээе Жишээ 3-ыг шалгаж байна. Жишээ нь дээшилсэн тул бид цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг эмхэтгэсэн гэдгийг би танд сануулж байна.

Нэгдүгээрт, шулуун шугамын тэгшитгэлийг ашиглан бид түүний чиглэлийн векторыг сэргээнэ. – бүх зүйл хэвийн байна, бид анхны векторыг хүлээн авлаа (зарим тохиолдолд үр дүн нь анхныхтай коллинеар вектор байж болох бөгөөд үүнийг харгалзах координатын пропорциональ байдлаар анзаарахад хялбар байдаг).

Хоёрдугаарт, цэгийн координат нь тэгшитгэлийг хангах ёстой. Бид тэдгээрийг тэгшитгэлд орлуулна:

Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд үүнд бид маш их баяртай байна.

Дүгнэлт: Даалгаврыг зөв гүйцэтгэсэн.

Жишээ 4

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна. Саяхан ярилцсан алгоритмыг ашиглан шалгахыг зөвлөж байна. Ноорог үргэлж (боломжтой бол) шалгахыг хичээ. 100% зайлсхийх боломжтой алдаа гаргах нь тэнэг хэрэг.

Хэрэв чиглэлийн векторын координатуудын аль нэг нь тэг байвал маш энгийнээр ажиллана уу:

Жишээ 5

Шийдэл: Баруун талын хуваагч нь тэг учраас томьёо тохиромжгүй. Гарах гарц байна! Пропорцын шинж чанарыг ашиглан бид томъёог хэлбэрээр дахин бичиж, үлдсэн хэсэг нь гүн нүхний дагуу эргэлддэг.

Хариулт:

Шалгалт:

1) Шулуун шугамын чиглүүлэх векторыг сэргээнэ үү:
– үүссэн вектор нь анхны чиглэлийн вектортой конлинеар байна.

2) Тэгшитгэлд цэгийн координатыг орлуулна.

Зөв тэгш байдлыг олж авна

Дүгнэлт: даалгаврыг зөв гүйцэтгэсэн

Ямар ч тохиолдолд ажиллах бүх нийтийн хувилбар байгаа бол яагаад томьёог санаа зовох ёстой вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ. Хоёр шалтгаан бий. Нэгдүгээрт, томъёо нь бутархай хэлбэртэй байна илүү сайн санаж байна. Хоёрдугаарт, бүх нийтийн томъёоны сул тал нь төөрөлдөх эрсдэл ихээхэн нэмэгддэгкоординатыг орлуулах үед.

Жишээ 6

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.

Хаа сайгүй байдаг хоёр цэг рүү буцъя:

Хоёр цэгийг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв хоёр цэг мэдэгдэж байгаа бол эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор эмхэтгэж болно.

Үнэн хэрэгтээ энэ бол томъёоны нэг төрөл бөгөөд яагаад гэвэл: хэрэв хоёр цэг мэдэгдэж байгаа бол вектор нь өгөгдсөн шугамын чиглэлийн вектор байх болно. Ангид Дамми нарт зориулсан векторуудбид авч үзсэн хамгийн энгийн даалгавар– хоёр цэгээс векторын координатыг хэрхэн олох вэ. Энэ асуудлын дагуу чиглэлийн векторын координатууд нь:

Анхаарна уу : цэгүүдийг "солих" боломжтой бөгөөд томъёог ашиглаж болно . Ийм шийдэл нь тэнцүү байх болно.

Жишээ 7

Хоёр цэгийг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич .

Шийдэл: Бид томъёог ашигладаг:

Хуваарилагчдыг нэгтгэх нь:

Тэгээд тавцангаа холь:

Одоо бутархай тооноос салах цаг болжээ. Энэ тохиолдолд та хоёр талыг 6-аар үржүүлэх хэрэгтэй.

Хаалтуудыг нээгээд тэгшитгэлийг сана:

Хариулт:

Шалгалттодорхой байна - эхний цэгүүдийн координатууд нь үүссэн тэгшитгэлийг хангах ёстой.

1) Цэгийн координатыг орлуулна уу:

Жинхэнэ тэгш байдал.

2) Цэгийн координатыг орлуулна:

Жинхэнэ тэгш байдал.

Дүгнэлт: Шугамын тэгшитгэл зөв бичигдсэн байна.

Хэрэв ядаж нэгоноо нь тэгшитгэлийг хангахгүй бол алдааг хай.

Шулуун шугам барьж, цэгүүд нь түүнд хамаарах эсэхийг харах тул энэ тохиолдолд график баталгаажуулалт хийхэд хэцүү гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. , тийм ч энгийн биш.

Би шийдлийн хэд хэдэн техникийн талыг тэмдэглэх болно. Магадгүй энэ асуудалд толин тусгал томъёог ашиглах нь илүү ашигтай байж болох юм мөн ижил цэгүүдэд тэгшитгэл хийх:

Цөөн тооны бутархай. Хэрэв та хүсвэл шийдлийг эцэс хүртэл хийж болно, үр дүн нь ижил тэгшитгэлтэй байх ёстой.

Хоёрдахь зүйл бол эцсийн хариултыг харж, үүнийг илүү хялбарчилж болох эсэхийг олж мэдэх явдал юм. Жишээлбэл, хэрэв та тэгшитгэлийг олж авбал үүнийг хоёроор багасгахыг зөвлөж байна: - тэгшитгэл нь ижил шулуун шугамыг тодорхойлно. Гэсэн хэдий ч энэ бол аль хэдийн ярианы сэдэв юм шугамуудын харьцангуй байрлал.

Хариуг нь хүлээж авлаа Жишээ 7-д, би тэгшитгэлийн БҮХ коэффициентүүд 2, 3 эсвэл 7-д хуваагдах эсэхийг шалгасан. Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ ийм бууралтыг шийдлийн явцад хийдэг.

Жишээ 8

Цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич .

Энэ бол тооцооны техникийг илүү сайн ойлгож, дадлага хийх боломжийг танд олгох бие даасан шийдлийн жишээ юм.

Өмнөх догол мөртэй төстэй: хэрэв томъёонд байгаа бол хуваагчдын нэг нь (чиглэлийн векторын координат) тэг болж, бид үүнийг хэлбэрээр дахин бичнэ. Дахин хэлэхэд тэр ямар эвгүй, будлиантай харагдаж байгааг анзаараарай. Бид энэ асуудлыг аль хэдийн шийдчихсэн учраас практик жишээ өгөх нь утгагүй гэж би олж харахгүй байна (№ 5, 6-г үзнэ үү).

Шууд хэвийн вектор (хэвийн вектор)

Ердийн гэж юу вэ? Энгийн үгээр хэлбэл, хэвийн нь перпендикуляр байна. Өөрөөр хэлбэл, шугамын хэвийн вектор нь өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр байна. Мэдээжийн хэрэг, дурын шулуун шугамд хязгааргүй тооны (түүнчлэн чиглэлийн векторууд) байдаг бөгөөд шулуун шугамын бүх хэвийн векторууд нь коллинеар байх болно (хоорондын чиглэлтэй эсэх нь ялгаагүй).

Тэдэнтэй харьцах нь чиглүүлэгч векторуудтай харьцуулахад илүү хялбар байх болно:

Тэгш өнцөгт координатын системд шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр өгсөн бол вектор нь энэ шулууны хэвийн вектор болно.

Хэрэв чиглэлийн векторын координатыг тэгшитгэлээс болгоомжтой "сугалах" шаардлагатай бол хэвийн векторын координатыг зүгээр л "арилгаж" болно.

Хэвийн вектор нь шугамын чиглэлийн вектортой үргэлж ортогональ байна. Эдгээр векторуудын ортогональ байдлыг ашиглан шалгацгаая цэгийн бүтээгдэхүүн:

Би чиглэлийн вектортой ижил тэгшитгэл бүхий жишээг өгөх болно.

Нэг цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулах боломжтой юу? Би үүнийг гэдэс дотроо мэдэрч байна, энэ нь боломжтой. Хэрэв хэвийн вектор нь мэдэгдэж байгаа бол шулуун шугамын чиглэл өөрөө тодорхой тодорхойлогддог - энэ нь 90 градусын өнцөг бүхий "хатуу бүтэц" юм.

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв шугамд хамаарах тодорхой цэг ба энэ шугамын хэвийн векторыг мэддэг бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Энд бүх зүйл бутархай болон бусад гэнэтийн зүйлгүйгээр бүтсэн. Энэ бол бидний ердийн вектор юм. Түүнийг хайрла. Бас хүндэлдэг =)

Жишээ 9

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич. Шугамын чиглүүлэх векторыг ол.

Шийдэл: Бид томъёог ашигладаг:

Шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг олж авлаа, шалгацгаая.

1) Тэгшитгэлээс хэвийн векторын координатыг "хасах": – тийм ээ, үнэхээр анхны векторыг нөхцөлөөс авсан (эсвэл коллинеар векторыг авах ёстой).

2) Цэг нь тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгацгаая.

Жинхэнэ тэгш байдал.

Тэгшитгэл зөв зохиогдсон гэдэгт итгэлтэй болсны дараа бид даалгаврын хоёр дахь, хялбар хэсгийг дуусгах болно. Бид шулуун шугамын чиглүүлэгч векторыг гаргаж авдаг.

Хариулт:

Зураг дээр нөхцөл байдал дараах байдалтай байна.

Сургалтын зорилгоор бие даан шийдвэрлэх ижил төстэй даалгавар:

Жишээ 10

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич. Шугамын чиглүүлэх векторыг ол.

Хичээлийн эцсийн хэсэг нь бага нийтлэг зүйлд зориулагдсан болно, гэхдээ бас чухал төрөлхавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.
Параметр хэлбэрийн шугамын тэгшитгэл

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл нь тэгээс ялгаатай тогтмолууд гэсэн хэлбэртэй байна. Зарим төрлийн тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй, жишээлбэл, шууд пропорциональ (чөлөөт нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд баруун талд нь нэгийг авах арга байхгүй).

Энэ нь дүрслэлээр хэлбэл "техникийн" төрлийн тэгшитгэл юм. Нийтлэг даалгавар бол шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг сегмент дэх шугамын тэгшитгэл болгон дүрслэх явдал юм. Энэ нь хэр тохиромжтой вэ? Сегмент дэх шугамын тэгшитгэл нь шугамын огтлолцох цэгүүдийг хурдан олох боломжийг олгодог координатын тэнхлэгүүд, энэ нь дээд математикийн зарим асуудалд маш чухал байж болох юм.

Шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олъё. Бид "y"-ийг тэг болгож, тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна. Хүссэн цэгийг автоматаар авна: .

Тэнхлэгтэй адилхан – шулуун шугамын ордны тэнхлэгтэй огтлолцох цэг.

Энэ нийтлэл нь хоёрыг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн олж авахыг харуулж байна оноо өгсөнхавтгай дээр байрлах тэгш өнцөгт координатын системд. Тэгш өнцөгт координатын системийн өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг гаргая. Бид хамрагдсан материалтай холбоотой хэд хэдэн жишээг тодорхой харуулж, шийдвэрлэх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг олж авахын өмнө зарим баримтыг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Хавтгай дээрх хоёр зөрөөтэй цэгээр дамжуулан зөвхөн нэг шулуун шугам татах боломжтой гэсэн аксиом байдаг. Өөрөөр хэлбэл, хавтгай дээрх хоёр өгөгдсөн цэгийг эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамаар тодорхойлно.

Хэрэв хавтгай нь тэгш өнцөгт координатын Oxy системээр тодорхойлогддог бол түүн дээр дүрслэгдсэн аливаа шулуун шугам нь хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлтэй тохирно. Шулуун шугамын чиглүүлэгч вектортой холболт бас бий. Энэ өгөгдөл нь өгөгдсөн хоёр цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бүрдүүлэхэд хангалттай.

Үүнтэй төстэй асуудлыг шийдэх жишээг авч үзье. Декартын координатын системд байрлах M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) хоёр салангид цэгээр дамжин өнгөрөх a шулууны тэгшитгэлийг бий болгох шаардлагатай.

Хавтгай дээрх x - x 1 a x = y - y 1 a y хэлбэртэй шулууны каноник тэгшитгэлд тэгш өнцөгт координатын систем O x y нь координат M 1 (x) цэгт түүнтэй огтлолцох шугамаар тодорхойлогддог. 1, y 1) чиглүүлэгч вектортой a → = (a x , a y) .

Үүнийг зурах шаардлагатай байна каноник тэгшитгэл M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун а.

Шулуун а нь M 1 ба M 2 цэгүүдийг огтолж байгаа тул координаттай (x 2 - x 1, y 2 - y 1) M 1 M 2 → чиглэлийн вектортой байна. M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) чиглэлийн векторын координат ба тэдгээр дээр байрлах M 1 цэгүүдийн координат бүхий каноник тэгшитгэлийг хувиргахын тулд бид шаардлагатай өгөгдлийг олж авсан. (x 1, y 1) ба M 2 (x 2 , y 2) . Бид x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 эсвэл x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авна.

Доорх зургийг анхаарч үзээрэй.

Тооцооллын дараа бид M 1 (x 1, y 1) ба M 2 (x 2, y 2) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх хавтгай дээрх шугамын параметрийн тэгшитгэлийг бичнэ. Бид x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ эсвэл x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авна. y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Хэд хэдэн жишээг шийдвэрлэх талаар нарийвчлан авч үзье.

Жишээ 1

М 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6 координаттай өгөгдсөн 2 цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

x 1, y 1 ба x 2, y 2 координаттай хоёр цэгт огтлолцох шулууны каноник тэгшитгэл нь x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 хэлбэртэй байна. Бодлогын нөхцлийн дагуу бид x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6 байна. Тоон утгыг x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 тэгшитгэлд орлуулах шаардлагатай. Эндээс бид каноник тэгшитгэл нь x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 хэлбэртэй болохыг олж мэднэ.

Хариулт: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Хэрэв та өөр төрлийн тэгшитгэлтэй асуудлыг шийдэх шаардлагатай бол эхлээд каноник руу очиж болно, учир нь үүнээс өөр тэгшитгэл рүү шилжих нь илүү хялбар байдаг.

Жишээ 2

O xy координатын системийн M 1 (1, 1) ба M 2 (4, 2) координаттай цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг зохио.

Шийдэл

Эхлээд та өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх өгөгдсөн шугамын каноник тэгшитгэлийг бичих хэрэгтэй. Бид x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 хэлбэрийн тэгшитгэлийг авна.

Каноник тэгшитгэлийг хүссэн хэлбэрт аваачъя, тэгвэл бид дараахь зүйлийг авна.

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 у - 1 ⇔ x - 3 у + 2 = 0

Хариулт: x - 3 y + 2 = 0.

Ийм даалгаврын жишээг алгебрийн хичээлийн үеэр сургуулийн сурах бичигт авч үзсэн. Сургуулийн асуудлууд нь y = k x + b хэлбэртэй өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг мэддэг байснаараа ялгаатай байв. Хэрэв та y = k x + b тэгшитгэл нь M 1 (x 1, y 1) ба M 2 цэгүүдийг дайран өнгөрөх O x y системийн шугамыг тодорхойлдог k налуу ба b тоог олох шаардлагатай бол. (x 2, y 2) , энд x 1 ≠ x 2. x 1 = x 2 үед , дараа нь өнцгийн коэффициент нь хязгааргүй утгыг авч, шулуун шугам M 1 M 2 нь ерөнхий тодорхойлсон байна. бүрэн бус тэгшитгэл x - x 1 = 0 хэлбэрийн .

Учир нь оноо М 1Тэгээд М 2шулуун шугам дээр байгаа бол тэдгээрийн координатууд нь y 1 = k x 1 + b ба y 2 = k x 2 + b тэгшитгэлийг хангана. k ба b-ийн хувьд y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b тэгшитгэлийн системийг шийдэх шаардлагатай.

Үүнийг хийхийн тулд бид k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 эсвэл k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = -г олно. y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

k ба b-ийн эдгээр утгуудын хувьд өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэл нь у = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x болно. 1 эсвэл y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Үүнийг даруй санаарай асар их хэмжээтомъёо ажиллахгүй. Үүнийг хийхийн тулд асуудлыг шийдвэрлэхэд давталтын тоог нэмэгдүүлэх шаардлагатай.

Жишээ 3

M 2 (2, 1) ба у = k x + b координаттай цэгүүдийг дайран өнгөрөх өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Асуудлыг шийдэхийн тулд бид y = k x + b хэлбэрийн өнцгийн коэффициент бүхий томъёог ашигладаг. k ба b коэффициентүүд ийм утгыг авах ёстой өгөгдсөн тэгшитгэл M 1 (- 7, - 5) ба M 2 (2, 1) координаттай хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамтай тохирч байна.

Оноо М 1Тэгээд М 2шулуун шугам дээр байрладаг бол тэдгээрийн координатууд нь y = k x + b тэгшитгэлийг жинхэнэ тэгшитгэл болгох ёстой. Эндээс бид үүнийг олж авна - 5 = k · (- 7) + b ба 1 = k · 2 + b. - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b системд тэгшитгэлийг нэгтгэж шийдье.

Орлуулах үед бид үүнийг олж авдаг

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Одоо k = 2 3 ба b = - 1 3 утгуудыг y = k x + b тэгшитгэлд орлуулж байна. Өгөгдсөн цэгүүдийг дайран өнгөрөх шаардлагатай тэгшитгэл нь y = 2 3 x - 1 3 хэлбэрийн тэгшитгэл байх болно гэдгийг бид олж мэдэв.

Энэхүү шийдлийн арга нь зарцуулалтыг урьдчилан тодорхойлдог их хэмжээнийцаг. Даалгаврыг шууд утгаараа хоёр үе шаттайгаар шийддэг арга байдаг.

X - (- 7) 2 - (- 7) = у - (- 5) хэлбэртэй M 2 (2, 1) ба M 1 (- 7, - 5) -ийг дайран өнгөрөх шулууны каноник тэгшитгэлийг бичье. ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Одоо налуугийн тэгшитгэл рүү шилжье. Бид үүнийг олж авна: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Хариулт: y = 2 3 x - 1 3 .

Гурван хэмжээст орон зайд M 1 (x 1, y 1, z 1) ба M 2 (x 2, y 2, z 2) координатуудтай давхцахгүй өгөгдсөн хоёр цэг бүхий тэгш өнцөгт координатын систем O x y z байвал M шулуун шугамыг тэдгээрийн дундуур 1 M 2-ээр дамжуулж, энэ шугамын тэгшитгэлийг олж авах шаардлагатай.

Бидэнд x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z хэлбэрийн каноник тэгшитгэлүүд ба x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z хэлбэрийн параметрт тэгшитгэлүүд байна. 1 + a z · λ нь a → = (a x, a y, a z) чиглэлийн вектор бүхий координаттай (x 1, y 1, z 1) цэгүүдээр дамжин өнгөрөх O x y z координатын систем дэх шугамыг тодорхойлох боломжтой.

Шулуун М 1 М 2 нь M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1) хэлбэрийн чиглэлийн вектортой бөгөөд шулуун шугам нь M 1 (x 1, y 1,) цэгээр дамждаг. z 1) ба M 2 (x 2 , y 2 , z 2), иймээс каноник тэгшитгэл нь x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 хэлбэртэй байж болно. z 2 - z 1 эсвэл x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, эргээд параметрийн x = x 1 + (x 2 - x 1) ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ эсвэл x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2) - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Орон зайд өгөгдсөн 2 цэг болон шулуун шугамын тэгшитгэлийг харуулсан зургийг авч үзье.

Жишээ 4

М 1 (2, - 3, 0) ба M 2 (1, - 3, - 5) координаттай өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран гурван хэмжээст орон зайн тэгш өнцөгт координатын O x y z системд тодорхойлсон шулууны тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Энэ нь каноник тэгшитгэлийг олох шаардлагатай. Нэгэнт гурван хэмжээст орон зайн тухай ярьж байгаа тул өгөгдсөн цэгүүдийг дайран өнгөрөх үед хүссэн каноник тэгшитгэл нь x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z хэлбэртэй болно гэсэн үг юм. - z 1 z 2 - z 1.

Нөхцөлөөр бид x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5 байна. Үүнээс үзэхэд шаардлагатай тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ.

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Хариулт: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу