Ижил үндэс нэмэх боломжтой юу? Квадрат үндэс. Цогц гарын авлага (2019)

28.09.2019

Үндэс нэмэх, хасах- ахлах сургуульд математикийн (алгебрийн) хичээлд сууж буй хүмүүсийн хамгийн түгээмэл "бүдрэх" нэг зүйл. Гэсэн хэдий ч тэдгээрийг зөв нэмэх, хасах сурах нь маш чухал бөгөөд учир нь "математик" хичээлийн улсын нэгдсэн шалгалтын хөтөлбөрт язгуурын нийлбэр эсвэл зөрүүний жишээг оруулсан болно.

Ийм жишээг шийдвэрлэхийн тулд танд хоёр зүйл хэрэгтэй - дүрмийг ойлгох, мөн дадлага хийх. Нэг юмуу хоёр арван ердийн жишээг шийдсэний дараа оюутан энэ ур чадварыг автоматжуулж, улмаар Улсын нэгдсэн шалгалтанд айх зүйлгүй болно. Арифметик үйлдлүүдийг нэмэх замаар эзэмшиж эхлэхийг зөвлөж байна, учир нь тэдгээрийг нэмэх нь хасахаас арай хялбар байдаг.

Үндэс гэж юу вэ

Үүнийг тайлбарлах хамгийн хялбар арга бол жишээ юм квадрат язгуур. Математикт "квадрат" гэсэн сайн ойлголт байдаг. "Квадрат" гэдэг нь тодорхой тоог өөрөө нэг удаа үржүүлэхийг хэлнэ.. Жишээлбэл, 2-ын квадрат бол 4, 7-ын квадрат бол 49. 9-ийн квадрат нь 81. Тэгэхээр 4-ийн квадрат язгуур 2, 49-ийн квадрат язгуур нь 7, 81-ийн язгуур нь 9 болно.

Дүрмээр бол математикийн энэ сэдвийг заах нь квадрат язгуураас эхэлдэг. Үүнийг нэн даруй тодорхойлохын тулд оюутан ахлах сургуульүржүүлэх хүснэгтийг цээжээр мэддэг байх ёстой. Энэ хүснэгтийг сайн мэдэхгүй хүмүүс зөвлөмжийг ашиглах хэрэгтэй. Ихэвчлэн тооноос язгуур квадратыг гаргаж авах үйл явцыг олон сургуулийн математикийн дэвтрийн нүүрэн дээр хүснэгт хэлбэрээр өгдөг.

Үндэс нь дараахь төрлүүдтэй.

дөрвөлжин;
куб (эсвэл гурав дахь зэрэг гэж нэрлэгддэг);
дөрөв дэх зэрэг;
тав дахь зэрэг.

Нэмэх дүрэм

Ердийн жишээг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд бүх язгуур тоо биш гэдгийг санах хэрэгтэй өөр хоорондоо давхарлаж болно. Тэдгээрийг нэгтгэхийн тулд тэдгээрийг нэг загварт оруулах ёстой. Хэрэв энэ боломжгүй бол асуудал шийдэгдэхгүй болно. Математикийн сурах бичигт оюутнуудын урхи хэлбэрээр ийм асуудлууд ихэвчлэн гардаг.

Радикал илэрхийлэл нь бие биенээсээ ялгаатай үед даалгаварт нэмэхийг хориглоно. Үүнийг тодорхой жишээгээр тайлбарлаж болно:

Оюутан даалгавартай тулгарна: 4 ба 9-ийн квадрат язгуурыг нэмэх;
туршлагагүй оюутан дүрмийн мэдлэгтэй, ихэвчлэн "4-ийн үндэс + 9-ийн үндэс = 13-ын үндэс" гэж бичдэг.
Энэ шийдэл буруу гэдгийг батлахад тун амархан. Үүнийг хийхийн тулд та 13-ын квадрат язгуурыг олж, жишээг зөв шийдсэн эсэхийг шалгах хэрэгтэй;
бичил тооцоолуур ашиглан энэ нь ойролцоогоор 3.6 гэдгийг тодорхойлж болно. Одоо зөвхөн шийдлийг шалгах л үлдлээ;
язгуур 4=2, язгуур 9=3;
"Хоёр" ба "гурав" гэсэн тоонуудын нийлбэр нь тавтай тэнцэнэ. Тиймээс энэ шийдлийн алгоритмыг буруу гэж үзэж болно.

Хэрэв үндэс нь ижил зэрэгтэй боловч ялгаатай тоон илэрхийллүүд, үүнийг хаалтнаас гаргаж аваад хаалтанд хийнэ хоёр радикал илэрхийллийн нийлбэр. Тиймээс энэ дүнгээс аль хэдийн олборлосон байна.

Нэмэх алгоритм

Зөв шийдвэр гаргахын тулд хамгийн энгийн даалгавар, шаардлагатай:

Яг юу нэмэх шаардлагатайг тодорхойл.
Математикийн одоо байгаа дүрмийн дагуу бие биедээ үнэ цэнийг нэмэх боломжтой эсэхийг олж мэдээрэй.
Хэрэв тэдгээр нь эвхэгддэггүй бол тэдгээрийг эвхэхийн тулд өөрчлөх хэрэгтэй.
Шаардлагатай бүх өөрчлөлтийг хийсний дараа та нэмэлтийг хийж, дууссан хариултаа бичих хэрэгтэй. Та жишээний нарийн төвөгтэй байдлаас шалтгаалан толгой дээрээ эсвэл микро тооцоолуур ашиглан нэмэлтийг хийж болно.

Ижил төстэй үндэс гэж юу вэ

Нэмэлт жишээг зөв шийдэхийн тулд эхлээд үүнийг хэрхэн хялбарчлах талаар бодох хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд та ижил төстэй байдал гэж юу болох талаар анхан шатны мэдлэгтэй байх хэрэгтэй.

Ижил төстэй зүйлсийг тодорхойлох чадвар нь ижил төстэй нэмэлт жишээг хурдан шийдвэрлэхэд тусалдаг бөгөөд тэдгээрийг хялбаршуулсан хэлбэрт оруулдаг. Ердийн нэмэлт жишээг хялбарчлахын тулд та дараах зүйлийг хийх хэрэгтэй.

Ижил төстэй хүмүүсийг олж, нэг бүлэгт (эсвэл хэд хэдэн бүлэгт) салга.
Одоо байгаа жишээг ижил үзүүлэлттэй язгуурууд бие биенээ тодорхой дагаж байхаар дахин бичнэ үү (үүнийг "бүлэглэх" гэж нэрлэдэг).
Дараа нь та ижил төстэй (ижил үзүүлэлттэй, ижил радикал дүрстэй) бие биенээ дагадаг байдлаар дахин илэрхийллийг дахин бичих хэрэгтэй.

Үүний дараа хялбаршуулсан жишээг ихэвчлэн шийдвэрлэхэд хялбар байдаг.

Аливаа нэмэх жишээг зөв шийдэхийн тулд та нэмэх үндсэн дүрмийг тодорхой ойлгохоос гадна үндэс гэж юу болох, энэ нь юу байж болохыг мэдэх хэрэгтэй.

Заримдаа иймэрхүү асуудлууд эхлээд харахад маш хэцүү мэт санагддаг, гэхдээ ихэвчлэн ижил төстэй асуудлуудыг бүлэглэх замаар амархан шийдэгддэг. Хамгийн чухал зүйл бол дадлага, дараа нь оюутан "самар шиг асуудлыг хагарах" болно. Үндэс нэмэх нь хамгийн их байдаг чухал хэсгүүдМатематик, тиймээс багш нар үүнийг судлахад хангалттай цаг гаргах ёстой.

Одоо цагт сургуулийн сургалтын хөтөлбөрбүрэн тодорхой бус зүйл болж байна. Нэг сайн зүйл бол математикт бүх зүйл өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. Үндэстэй ажиллах, тухайлбал нэмэх, хасах үйлдэл нь тийм ч хэцүү ажил биш юм. Гэхдээ зарим оюутнууд тодорхой бэрхшээлтэй тулгардаг.

Мөн энэ нийтлэлд бид квадрат үндсийг хэрхэн нэмэх, хасах дүрмийг авч үзэх болно.

Эдгээр язгуурууд ижил радикал илэрхийлэлтэй байх нөхцөл хангагдсан тохиолдолд та квадрат язгуурыг хасч, нэмж болно. Өөрөөр хэлбэл, бид 2√3 ба 4√3-тай үйлдлүүдийг хийж болохоос 2√3 ба 2√7-тэй үйлдэл хийх боломжгүй. Гэхдээ та радикал илэрхийллийг хялбарчлах үйлдлүүдийг хийж, тэдгээрийг ижил радикал илэрхийлэлтэй үндэс рүү хөтөлж болно. Үүний дараа л нэмэх, хасах ажлыг эхлүүлнэ.

Квадрат язгуур нэмэх, хасах онол

Энэ зарчим нь өөрөө маш энгийн. Мөн энэ нь гурван үйлдлээс бүрдэнэ. Бид радикал илэрхийллийг хялбарчлах хэрэгтэй. Үүссэн ижил радикал илэрхийллүүдийг олж, үндсийг нэмж эсвэл хас.

Радикал илэрхийллийг хэрхэн хялбарчлах вэ

Үүнийг хийхийн тулд та радикал тоог хоёр хүчин зүйлээс бүрдэхийн тулд өргөжүүлэх хэрэгтэй. Гол нөхцөл. Эдгээр тоонуудын нэг нь квадрат тоо байх ёстой (жишээ нь: 25 эсвэл 9). Энэ үйлдлийн дараа бид өгөгдсөн үндсийг гаргаж авдаг квадрат тоо. Мөн бид энэ тоог язгуурынхаа өмнө бичээд, язгуурын доор хоёр дахь хүчин зүйл үлдсэн байна.

Жишээлбэл, 6√50 – 2√8 + 5√12

6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Энд бид 50-ыг 25 ба 2 гэсэн хоёр хүчин зүйл болгон задалдаг. Дараа нь бид 25-ын квадрат язгуурыг (бид 5-ын тоог авна) авч, үндэс доороос нь гаргана. Дараа нь бид 5-ыг 6-аар үржүүлээд 30√2 авна

2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. IN жишээнүүд өгсөнБид 8-ыг 4 ба 2 гэсэн хоёр тоо болгон задалдаг. Бид 4-ээс үндсийг авч, үүссэн тоог үндэс болгон авч, язгуурын ард байсан тоогоор үржүүлнэ.

5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Энд өмнөх шигээ язгуур дор байгаа тоог 4 ба 3 гэсэн хоёр тоо болгон задалдаг.4-ээс үндсийг гаргаж авдаг. Бид үүссэн тоог үндэс болгон авч, язгуурын ард байгаа тоогоор үржүүлнэ.

Үүний үр дүнд бид 6√50 - 2√8 + 5√12 тэгшитгэлийг 30√2 - 4√2 + 10√3 хэлбэрт шилжүүлсэн.

Бид ижил радикал илэрхийлэлтэй үндсийг онцолдог

Бидний жишээн дээр 30√2 - 4√2 + 10√3, бид 30√2 ба 4√2-г онцлон тэмдэглэж, учир нь эдгээр тоонууд нь ижил радикал тоо 2-той байна.
Хэрэв таны жишээнд хэд хэдэн ижил радикал илэрхийлэл байгаа бол. Ижил мөрүүдийг өөр өөр шугамаар зур.

Бидний үндсийг нэмэх эсвэл хасах

Одоо бид ижил радикал илэрхийлэлтэй тоонуудыг нэмж эсвэл хасаж байна. Бидний үлдээсэн зүйл үндсэндээ өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. Гол нь өгөгдсөн тэгшитгэлд тодорхой радикал илэрхийлэлтэй хэдэн үндэс байгааг харуулах явдал юм.

Бидний жишээн дээр 30√2 - 4√2 + 10√3 30-аас 4-ийг хасаад 26√2 гарна.

Бидний жишээн дээрх хариулт ийм байх болно. 26√2 + 10√3

Сабибон - Интернет дэх хамгийн сонирхолтой зүйлс

Математикийн үндэс гэж юу вэ?

Энэ үйлдэл нь экспоненциацийн эсрэг үүссэн. Математик нь эсрэг тэсрэг хоёр үйлдлийг санал болгодог. Нэмэхэд хасах үйлдэл байдаг. Үржүүлэх нь хуваахын эсрэг байдаг. Зэрэглэлийн урвуу үйлдэл нь харгалзах үндсийг гаргаж авах явдал юм.

Хэрэв зэрэг нь хоёр бол үндэс нь дөрвөлжин болно. Энэ нь сургуулийн математикийн хамгийн түгээмэл зүйл юм. Энэ нь дөрвөлжин гэсэн заалт ч байхгүй, өөрөөр хэлбэл түүний хажууд 2-ын тоог өгөөгүй байна. Энэ операторын (радикал) математик тэмдэглэгээг зурагт үзүүлэв.

Түүний тодорхойлолт нь тайлбарласан үйлдлээс жигд урсдаг. Тооны квадрат язгуурыг гаргаж авахын тулд радикал илэрхийлэл өөрөө үржихэд юу өгөхийг олж мэдэх хэрэгтэй. Энэ тоо нь квадрат язгуур байх болно. Хэрэв бид үүнийг математикийн аргаар бичвэл бид дараахь зүйлийг авна: x*x=x 2 =y, энэ нь √y=x гэсэн үг.

Та тэдэнтэй ямар үйлдэл хийж чадах вэ?

Үндсэндээ язгуур нь тоологчд нэгтэй бутархай зэрэглэл юм. Мөн хуваагч нь юу ч байж болно. Жишээлбэл, квадрат язгуур нь хоёртой. Тиймээс эрх мэдлээр хийж болох бүх үйлдлүүд үндэст хүчинтэй байх болно.

Мөн эдгээр үйл ажиллагаанд тавигдах шаардлага нь адилхан. Хэрэв үржүүлэх, хуваах, нэмэгдүүлэх нь оюутнуудад хүндрэл учруулахгүй бол үндсийг нэмэх, хасах нь заримдаа төөрөгдөлд хүргэдэг. Мөн би эдгээр үйлдлүүдийг язгуурын тэмдгийг харгалзахгүйгээр хийхийг хүсч байгаа болохоор л тэр. Эндээс л алдаанууд эхэлдэг.

Нэмэх, хасах ямар дүрэм журам байдаг вэ?

Эхлээд та хоёр "болж болохгүй" зүйлийг санах хэрэгтэй.

гэх мэт язгуур нэмэх, хасах үйлдлийг хийж чадахгүй анхны тоонууд, өөрөөр хэлбэл, нэг тэмдгийн дор нийлбэрийн радикал илэрхийлэл бичиж, тэдгээртэй математикийн үйлдлүүдийг хийх боломжгүй;
Үндэс нэмэх, хасах боломжгүй янз бүрийн үзүүлэлтүүддөрвөлжин ба куб гэх мэт.

Эхний хоригийн тод жишээ: √6 + √10 ≠ √16, гэхдээ √(6 + 10) = √16.

Хоёр дахь тохиолдолд, үндсийг нь хялбарчлахын тулд өөрсдийгөө хязгаарлах нь дээр. Мөн тэдний дүнг хариултанд үлдээнэ үү.

Одоо дүрэм рүү

Ижил төстэй язгууруудыг олж бүлэг. Өөрөөр хэлбэл, радикал дор ижил тоотой хүмүүс төдийгүй өөрсдөө ижил үзүүлэлттэй байдаг.
Эхний үйлдэлд нэг бүлэгт нэгтгэсэн үндсийг нэмэх ажлыг гүйцэтгэнэ. Үүнийг хэрэгжүүлэхэд хялбар, учир нь та зөвхөн радикалуудын өмнө гарч ирэх утгыг нэмэх хэрэгтэй.
Радикал илэрхийлэл нь бүхэл бүтэн дөрвөлжин хэлбэртэй байгаа нэр томъёоны үндсийг гарга. Өөрөөр хэлбэл, радикал шинж тэмдгийн дор юу ч үлдээж болохгүй.
Радикал илэрхийллийг хялбарчлах. Үүнийг хийхийн тулд та тэдгээрийг задлах хэрэгтэй үндсэн хүчин зүйлүүдмөн тэд дурын тооны квадратыг өгч байгаа эсэхийг хараарай. Квадрат язгуурын тухай ярихад энэ нь үнэн болох нь тодорхой байна. Экспонент нь гурав эсвэл дөрөв байх үед анхны хүчин зүйлүүд нь шоо буюу тооны дөрөв дэх хүчийг өгөх ёстой.
Радикалын тэмдгийн дор бүх хүчийг өгдөг хүчин зүйлийг арилгана.
Үүнтэй төстэй нэр томъёо дахин гарч ирэх эсэхийг харна уу. Хэрэв тийм бол хоёр дахь алхамыг дахин хийнэ үү.

Даалгавар шаарддаггүй нөхцөлд яг үнэ цэнэ root, үүнийг тооны машин дээр тооцоолж болно. Цонхонд харагдах төгсгөлгүй аравтын бутархайг дугуйр. Ихэнхдээ үүнийг зуутын нэг хүртэл хийдэг. Дараа нь аравтын бутархайн бүх үйлдлийг гүйцэтгэнэ.

Энэ бол үндэс хэрхэн нэмэх талаархи бүх мэдээлэл юм. Доорх жишээнүүд дээр дурдсан зүйлийг харуулах болно.

Эхний даалгавар

Илэрхийллийн утгыг тооцоолох:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 – 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

в) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Хэрэв та дээрх алгоритмыг дагаж мөрдвөл энэ жишээн дээрх эхний хоёр үйлдэлд юу ч байхгүй болохыг харж болно. Гэхдээ та зарим нэг радикал илэрхийллийг хялбарчилж болно.

Жишээлбэл, 32-ыг 2 ба 16 гэсэн хоёр хүчин зүйл болгон задлах; 18 нь 9 ба 2-ын үржвэртэй тэнцүү байх болно; 128 нь 2-оос 64. Үүнийг өгөгдсөн тохиолдолд илэрхийлэл дараах байдлаар бичигдэнэ.

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Одоо та тооны квадратыг өгөх хүчин зүйлсийг радикал тэмдгийн доороос хасах хэрэгтэй. Энэ нь 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. Илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй байна.

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 – 6 * 3√2.

Бид бичлэгийг бага зэрэг хялбарчлах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд үндсэн тэмдгүүдийн өмнө коэффициентийг үржүүлнэ.

√2 + 12√2 + 4 √2 — 12√2.

Энэ илэрхийлэлд бүх нэр томъёо ижил төстэй болсон. Тиймээс та зүгээр л нугалах хэрэгтэй. Хариулт нь: 5√2 байх болно.

б) Өмнөх жишээтэй адил үндэс нэмэх нь тэдгээрийг хялбарчлахаас эхэлдэг. 75, 147, 48 ба 300 гэсэн радикал илэрхийллүүдийг дараах хосоор илэрхийлнэ: 5 ба 25, 3 ба 49, 3 ба 16, 3 ба 100. Тэд тус бүр нь язгуур тэмдгийн доороос гаргаж авч болох тоог агуулна. :

5√5 — 7√3 + 4√3 — 1/5 * 10√3.

Хялбаршуулсаны дараа хариулт нь: 5√5 - 5√3. Үүнийг энэ хэлбэрээр үлдээж болно, гэхдээ хаалтанд нийтлэг хүчин зүйл 5-ыг авах нь дээр: 5 (√5 - √3).

в) Дахин хүчин зүйлчлэл: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Үндэс тэмдгийн доор байгаа хүчин зүйлсийг хассаны дараа бид:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Ижил төстэй нэр томъёог авчирсны дараа бид үр дүнг авна: 7√11.

Бутархай илэрхийлэл бүхий жишээ

√(45/4) — √20 — 5√(1/18) — 1/6 √245 + √(49/2).

Та дараах тоонуудыг хүчин зүйлд тооцох шаардлагатай: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Өмнө нь хэлэлцсэнтэй адил та язгуур тэмдгийн доор байгаа хүчин зүйлсийг хасах хэрэгтэй. мөн илэрхийллийг хялбарчлах:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7) ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Энэ илэрхийлэл нь хуваагч дахь үндэслэлгүй байдлаас ангижрахыг шаарддаг. Үүнийг хийхийн тулд та хоёр дахь гишүүнийг √2/√2-аар үржүүлэх хэрэгтэй.

— 5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = — 5/3 √5 + 8/3 √2.

Үйлдлүүдийг дуусгахын тулд та үндэсийн өмнө хүчин зүйлсийн бүх хэсгийг сонгох хэрэгтэй. Эхнийх нь 1, хоёр дахь нь 2 байна.

Сайн байцгаана уу, муурнууд! Хамгийн сүүлд бид үндэс гэж юу болохыг нарийвчлан авч үзсэн (хэрэв та санахгүй байгаа бол уншихыг зөвлөж байна). Гол дүгнэлтТэр сургамж: Үндэс гэдэг бүх нийтийн нэг л тодорхойлолт байдаг бөгөөд энэ нь таны мэдэх ёстой зүйл юм. Үлдсэн нь дэмий хоосон, дэмий цаг хугацаа.

Өнөөдөр бид цаашаа явж байна. Бид үндсийг үржүүлж сурах болно, үржүүлэхтэй холбоотой зарим асуудлыг судалж үзэх болно (хэрэв эдгээр асуудлыг шийдэхгүй бол шалгалтанд үхэлд хүргэж болзошгүй), бид зөв дадлага хийх болно. Тиймээс попкорноо нөөцөлж, тухтай байгаарай, тэгээд эхэлцгээе. :)

Та ч бас тамхи татаагүй байгаа биз дээ?

Хичээл нэлээд урт болсон тул би үүнийг хоёр хэсэгт хуваасан.

Эхлээд бид үржүүлэх дүрмийг авч үзэх болно. Cap зааж байгаа юм шиг байна: энэ нь хоёр үндэс байх үед, тэдгээрийн хооронд "үржүүлэх" тэмдэг байдаг - бид үүнтэй ямар нэгэн зүйл хийхийг хүсч байна.
Дараа нь эсрэг нөхцөл байдлыг харцгаая: нэг байна том үндэс, гэхдээ бид үүнийг хоёр үндэсийн энгийн бүтээгдэхүүн хэлбэрээр танилцуулахыг хүссэн. Энэ яагаад хэрэгтэй вэ, энэ бол тусдаа асуулт юм. Бид зөвхөн алгоритмд дүн шинжилгээ хийх болно.

Хоёрдахь хэсэгт нэн даруй шилжихийг тэсэн ядан хүлээж буй хүмүүст тавтай морилно уу. Үлдсэнийг нь дарааллаар нь эхэлцгээе.

Үржүүлэх үндсэн дүрэм

Хамгийн энгийн зүйлээс эхэлцгээе - сонгодог квадрат үндэс. $\sqrt(a)$ ба $\sqrt(b)$ гэж тэмдэглэгдсэн ижил хүмүүс. Тэдэнд бүх зүйл тодорхой байна:

Үржүүлэх дүрэм. Нэг квадрат язгуурыг нөгөө язгуураар үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн радикал илэрхийллүүдийг үржүүлээд үр дүнг нийтлэг радикал дор бичнэ.

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Баруун эсвэл зүүн талд байгаа тоонуудад нэмэлт хязгаарлалт тавьдаггүй: хэрэв үндсэн хүчин зүйлүүд байгаа бол бүтээгдэхүүн нь бас байдаг.

Жишээ. Тоотой дөрвөн жишээг нэг дор харцгаая.

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Таны харж байгаагаар энэ дүрмийн гол утга нь үндэслэлгүй илэрхийллийг хялбарчлах явдал юм. Хэрэв эхний жишээн дээр бид өөрсдөө 25 ба 4-ийн үндсийг ямар ч шинэ дүрэмгүйгээр задлах байсан бол бүх зүйл хэцүү болно: $\sqrt(32)$ ба $\sqrt(2)$-ыг өөрсдөө авч үзэхгүй, гэхдээ Тэдний үржвэр нь төгс дөрвөлжин болж хувирдаг тул түүний үндэс нь оновчтой тоотой тэнцүү байна.

Би ялангуяа сүүлчийн мөрийг онцлон тэмдэглэхийг хүсч байна. Тэнд радикал илэрхийлэл хоёулаа бутархай байна. Бүтээгдэхүүний ачаар олон хүчин зүйл хүчингүй болж, бүх илэрхийлэл нь хангалттай тоо болж хувирдаг.

Мэдээжийн хэрэг, бүх зүйл үргэлж ийм сайхан байдаггүй. Заримдаа үндэс дор бүрэн эмх замбараагүй байдал үүсэх болно - үүнийг юу хийх, үржүүлсний дараа хэрхэн өөрчлөх нь тодорхойгүй байна. Хэсэг хугацааны дараа иррационал тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг судалж эхлэхэд бүх төрлийн хувьсагч, функцүүд гарч ирнэ. Ихэнх тохиолдолд асуудал зохиогчид таныг цуцлах нөхцөл, хүчин зүйлийг олж мэдэх болно гэдэгт найдаж байгаа бөгөөд үүний дараа асуудал олон дахин хялбарчлах болно.

Үүнээс гадна, яг хоёр үндсийг үржүүлэх нь огт шаардлагагүй юм. Та нэг дор гурав, дөрөв, бүр арав үржүүлж болно! Энэ нь дүрмийг өөрчлөхгүй. Хараад үзээрэй:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хоёр дахь жишээн дээр дахин жижиг тэмдэглэл. Таны харж байгаагаар гурав дахь хүчин зүйлд үндэс дор аравтын бутархай байдаг - тооцооллын явцад бид үүнийг ердийн нэгээр сольж, дараа нь бүх зүйл амархан буурдаг. Тиймээс: Би аравтын бутархайн бутархайг аль ч хэсэгт арилгахыг зөвлөж байна үндэслэлгүй илэрхийлэл(жишээ нь дор хаяж нэг радикал тэмдэг агуулсан). Энэ нь ирээдүйд маш их цаг хугацаа, мэдрэлийг хэмнэх болно.

Гэхдээ тийм байсан хазайлт. Одоо илүү ерөнхий тохиолдлыг авч үзье - язгуур экспонент нь зөвхөн "сонгодог" хоёр биш, дурын тооны $n$ агуулсан байх үед.

Дурын индикаторын тохиолдол

Тиймээс бид квадрат язгуурыг ангилсан. Кубыг юу хийх вэ? Эсвэл бүр $n$ дурын зэрэгтэй үндэстэй ч юм уу? Тийм ээ, бүх зүйл адилхан. Дүрэм ижил хэвээр байна:

$n$ зэрэгтэй хоёр язгуурыг үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн радикал илэрхийллүүдийг үржүүлээд үр дүнг нэг радикал дор бичихэд хангалттай.

Ерөнхийдөө ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Үүнээс бусад тохиолдолд тооцооллын хэмжээ илүү их байж болно. Хэд хэдэн жишээг харцгаая:

Жишээ. Бүтээгдэхүүнийг тооцоолох:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)(((25)^(3 )) ))=\sqrt((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин хэлэхэд хоёр дахь илэрхийлэлд анхаарлаа хандуулаарай. Бид үрждэг шоо үндэс, зайлуул аравтынҮүний үр дүнд бид хуваагч дахь 625 ба 25 тоонуудын үржвэрийг авна их тоо-Би хувьдаа энэ нь юутай тэнцэж байгааг шууд тооцоолж чадахгүй.

Тиймээс бид яг кубыг тоологч ба хуваарьт тусгаарлаж, дараа нь $n$th язгуурын үндсэн шинж чанаруудын аль нэгийг (эсвэл та хүсвэл тодорхойлолтыг) ашигласан:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\right|. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Ийм "зохион байгуулалт" нь шалгалтанд ороход ихээхэн цаг хэмнэх болно туршилтын ажил, тиймээс санаарай:

Радикал илэрхийлэл ашиглан тоог үржүүлэх гэж бүү яар. Нэгдүгээрт, шалгана уу: хэрэв ямар нэгэн илэрхийллийн яг зэрэг нь "шифрлэгдсэн" байвал яах вэ?

Энэ тайлбар тодорхой байгаа хэдий ч ихэнх бэлтгэлгүй оюутнууд тодорхой зэрэглэлийг хоосон зайд олж хардаггүй гэдгийг би хүлээн зөвшөөрөх ёстой. Үүний оронд тэд бүгдийг үржүүлж, дараа нь гайхаж байна: яагаад ийм харгис хэрцгий тоо авсан бэ? :)

Гэсэн хэдий ч энэ бүхэн бидний одоо судлах зүйлтэй харьцуулахад хүүхдийн яриа юм.

Янз бүрийн илтгэгчтэй үндсийг үржүүлэх

За, одоо бид ижил үзүүлэлтээр үндсийг үржүүлж болно. Үзүүлэлтүүд өөр байвал яах вэ? Энгийн $\sqrt(2)$-г $\sqrt(23)$ гэх мэт тэнэглэлээр хэрхэн үржүүлэх вэ гэж бодъё? Бүр үүнийг хийх боломжтой юу?

Тийм ээ, мэдээжийн хэрэг та чадна. Бүх зүйл энэ томъёоны дагуу хийгддэг:

Үндэс үржүүлэх дүрэм. $\sqrt[n](a)$-г $\sqrt[p](b)$-оор үржүүлэхийн тулд дараах хувиргалтыг хийхэд хангалттай.

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Гэсэн хэдий ч, энэ томъёо нь зөвхөн тохиолдолд л ажиллана радикал илэрхийлэл нь сөрөг биш юм. Энэ бол бид хэсэг хугацааны дараа эргэж очих маш чухал цэг юм.

Одоохондоо хэд хэдэн жишээг харцгаая:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Таны харж байгаагаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Одоо сөрөг бус шаардлага хаанаас ирсэн бэ, хэрэв бид үүнийг зөрчвөл юу болохыг олж мэдье.

Үндэсийг үржүүлэхэд хялбар байдаг

Радикал илэрхийллүүд яагаад сөрөг биш байх ёстой вэ?

Мэдээжийн хэрэг та ийм байж болно сургуулийн багш нарсурах бичгээс ухаалаг иш татаарай:

Сөрөг бус байдлын шаардлага нь тэгш ба сондгой зэрэглэлийн язгуурын янз бүрийн тодорхойлолттой холбоотой байдаг (үүний дагуу тэдгээрийн тодорхойлолтын хүрээ өөр өөр байдаг).

За, илүү тодорхой болсон уу? Би хувьдаа 8-р ангид байхдаа энэ утгагүй зүйлийг уншаад "Сөрөг биш байх шаардлага нь *#&^@(*#@^#)~% -тай холбоотой" - товчхондоо би ийм зүйлийг ойлгосон. тэр үед хараал идсэн юм ойлгосонгүй :)

Тиймээс одоо би бүх зүйлийг энгийн байдлаар тайлбарлах болно.

Эхлээд дээрх үржүүлэх томъёо хаанаас гарсныг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд язгуурын нэг чухал шинж чанарыг танд сануулъя.

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Өөрөөр хэлбэл, бид радикал илэрхийлэлийг ямар ч байгалийн хүчинд хялбархан өсгөж чадна $k$ - энэ тохиолдолд язгуурын илтгэгчийг ижил хүчээр үржүүлэх шаардлагатай болно. Тиймээс бид аливаа үндэсийг энгийн илтгэгч болгон хялбархан багасгаж, дараа нь үржүүлж чадна. Үржүүлэх томъёо эндээс гардаг:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n))))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Гэхдээ эдгээр бүх томъёоны хэрэглээг эрс хязгаарласан нэг асуудал бий. Энэ тоог анхаарч үзээрэй:

Сая өгсөн томъёоны дагуу бид ямар ч зэрэг нэмж болно. $k=2$-г нэмж үзье:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\зүүн(-5 \баруун))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Квадрат нь хасахыг (бусад тэгш хэмтэй адил) шатаадаг тул бид хасахыг нарийн арилгасан. Одоо урвуу хувиргалтыг хийцгээе: экспонент ба хүч хоёрыг "багасгах". Эцсийн эцэст аливаа тэгш байдлыг зүүнээс баруун тийш, баруунаас зүүн тийш уншиж болно.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Баруун сум \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Баруун сум \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэхдээ дараа нь энэ нь ямар нэгэн тэнэг зүйл болж хувирав:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Энэ нь болохгүй, учир нь $\sqrt(-5) \lt 0$, болон $\sqrt(5) \gt 0$. Энэ нь тэгш ба сөрөг тоонуудын хувьд бидний томъёо ажиллахаа больсон гэсэн үг юм. Үүний дараа бидэнд хоёр сонголт байна:

Математик бол "зарим дүрмүүд байдаг, гэхдээ тэдгээр нь тодорхой бус" гэсэн тэнэг шинжлэх ухаан гэж хана мөргөх;
Томъёо 100% ажиллах боломжтой нэмэлт хязгаарлалтуудыг нэвтрүүлэх.

Эхний хувилбарт бид "ажиллахгүй" тохиолдлуудыг байнга барьж байх ёстой - энэ нь хэцүү, цаг хугацаа их шаарддаг бөгөөд ерөнхийдөө хэцүү юм. Тиймээс математикчид хоёр дахь сонголтыг илүүд үздэг.

Гэхдээ санаа зовох хэрэггүй! Практикт энэ хязгаарлалт нь тооцоололд ямар ч байдлаар нөлөөлдөггүй, учир нь тайлбарласан бүх асуудал нь зөвхөн сондгой зэрэглэлийн үндэстэй холбоотой бөгөөд тэдгээрээс хасах зүйлийг авч болно.

Тиймээс, үндэстэй бүх үйлдэлд ерөнхийдөө хамаарах өөр нэг дүрмийг томъёолъё.

Үндэсийг үржүүлэхийн өмнө радикал илэрхийллүүд нь сөрөг биш эсэхийг шалгаарай.

Жишээ. $\sqrt(-5)$ тоон дээр та үндсэн тэмдгийн доор байгаа хасахыг хасаж болно - тэгвэл бүх зүйл хэвийн болно:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Баруун сум \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2))))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(зохицуулах)\]

Та ялгааг мэдэрч байна уу? Хэрэв та язгуурын доор хасах тэмдэг үлдээвэл радикал илэрхийлэл нь дөрвөлжин хэлбэртэй байвал энэ нь алга болж, новш эхэлнэ. Хэрэв та эхлээд хасахыг гаргавал нүүрээ хөхрөх хүртэл дөрвөлжин/ хасаж болно - тоо сөрөг хэвээр байх болно.

Тиймээс хамгийн зөв, хамгийн их найдвартай аргаүндсийг үржүүлэх нь дараах байдалтай байна.

Радикалуудаас бүх сөрөг талыг арилгана. Хасах зүйл нь зөвхөн сондгой үржвэрийн үндэст байдаг - тэдгээрийг үндэсний урд байрлуулж, шаардлагатай бол багасгаж болно (жишээлбэл, эдгээр хасах хоёр нь байвал).
Өнөөдрийн хичээл дээр дээр дурдсан дүрмийн дагуу үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэнэ. Хэрэв үндэсийн үзүүлэлтүүд ижил байвал бид радикал илэрхийллийг үржүүлнэ. Хэрэв тэдгээр нь өөр бол бид \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)) муу томьёог ашигладаг. ^(n) ))\].
3. Үр дүн, сайн үнэлгээг сайхан өнгөрүүлээрэй. :)

За? Бид бэлтгэл хийх үү?

Жишээ 1: Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \баруун)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ бол хамгийн энгийн сонголт юм: үндэс нь ижил, сондгой, цорын ганц асуудал бол хоёр дахь хүчин зүйл нь сөрөг байдаг. Бид энэ хасалтыг зургаас гаргаж аваад дараа нь бүх зүйлийг хялбархан тооцоолно.

Жишээ 2: Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))) \sqrt(((\left(((2)^(5)) \баруун))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \баруун))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( тэгшлэх)\]

Энд гаралт нь иррационал тоо болж хувирсан тул олон хүн төөрөлдөх болно. Тийм ээ, ийм зүйл тохиолддог: бид үндсийг нь бүрмөсөн арилгаж чадаагүй ч ядаж илэрхийлэлийг ихээхэн хялбаршуулсан.

Жишээ 3: Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \баруун))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Би энэ даалгаварт анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна. Энд хоёр цэг байна:

Үндэс нь тодорхой тоо эсвэл хүч биш, харин $a$ хувьсагч юм. Эхлээд харахад энэ нь бага зэрэг ер бусын, гэхдээ бодит байдал дээр шийдвэрлэх үед математикийн асуудлуудИхэнх тохиолдолд та хувьсагчтай харьцах хэрэгтэй болно.
Эцэст нь бид радикал үзүүлэлт болон радикал илэрхийллийн зэрэглэлийг "бууруулж" чадсан. Энэ нь нэлээд олон удаа тохиолддог. Хэрэв та үндсэн томъёог ашиглаагүй бол тооцооллыг ихээхэн хялбарчлах боломжтой байсан гэсэн үг юм.

Жишээлбэл, та үүнийг хийж болно:

\[\begin(a) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^() 4)) \баруун))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\төгсгөл(зохицуулах)\]

Үнэн хэрэгтээ бүх өөрчлөлтийг зөвхөн хоёр дахь радикалаар хийсэн. Хэрэв та бүх завсрын алхамуудыг нарийвчлан тайлбарлаагүй бол эцэст нь тооцооллын хэмжээ мэдэгдэхүйц буурах болно.

Үнэн хэрэгтээ, бид $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ жишээг шийдэхдээ дээрхтэй ижил төстэй даалгавартай тулгарсан. Одоо үүнийг илүү хялбар бичиж болно:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \баруун))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \баруун))^(2))) =\sqrt(75). \төгсгөл(зохицуулах)\]

За, бид язгуурын үржүүлгийг цэгцлэв. Одоо урвуу үйлдлийг авч үзье: үндэс дор бүтээгдэхүүн байгаа тохиолдолд юу хийх вэ?

Үүнийг тайлбарлах хамгийн хялбар арга бол квадрат язгуурыг жишээ болгон ашиглах явдал юм. Математикт "квадрат" гэсэн сайн ойлголт байдаг. "Квадрат" гэдэг нь тодорхой тоог өөрөө нэг удаа үржүүлэхийг хэлнэ.. Жишээлбэл, 2-ын квадрат бол 4, 7-ын квадрат бол 49. 9-ийн квадрат нь 81. Тэгэхээр 4-ийн квадрат язгуур 2, 49-ийн квадрат язгуур нь 7, 81-ийн язгуур нь 9 болно.

Дүрмээр бол математикийн энэ сэдвийг заах нь квадрат язгуураас эхэлдэг. Үүнийг нэн даруй тодорхойлохын тулд ахлах сургуулийн сурагч үржүүлэх хүснэгтийг цээжээр мэддэг байх ёстой. Энэ хүснэгтийг сайн мэдэхгүй хүмүүс зөвлөмжийг ашиглах хэрэгтэй. Ихэвчлэн тооноос язгуур квадратыг гаргаж авах үйл явцыг олон сургуулийн математикийн дэвтрийн нүүрэн дээр хүснэгт хэлбэрээр өгдөг.

Үндэс нь дараахь төрлүүдтэй.

дөрвөлжин;
куб (эсвэл гурав дахь зэрэг гэж нэрлэгддэг);
дөрөв дэх зэрэг;
тав дахь зэрэг.

Нэмэх дүрэм

Оюутан даалгавартай тулгарна: 4 ба 9-ийн квадрат язгуурыг нэмэх;
Дүрмийг мэддэггүй туршлагагүй оюутан ихэвчлэн "4-ийн үндэс + 9-ийн үндэс = 13-ын үндэс" гэж бичдэг.
Энэ шийдэл буруу гэдгийг батлахад тун амархан. Үүнийг хийхийн тулд та 13-ын квадрат язгуурыг олж, жишээг зөв шийдсэн эсэхийг шалгах хэрэгтэй;
бичил тооцоолуур ашиглан энэ нь ойролцоогоор 3.6 гэдгийг тодорхойлж болно. Одоо зөвхөн шийдлийг шалгах л үлдлээ;
язгуур 4=2, язгуур 9=3;
"Хоёр" ба "гурав" гэсэн тоонуудын нийлбэр нь тавтай тэнцэнэ. Тиймээс энэ шийдлийн алгоритмыг буруу гэж үзэж болно.

Хэрэв үндэс нь ижил зэрэгтэй боловч өөр өөр тоон илэрхийлэлтэй бол түүнийг хаалтнаас гаргаж, хаалтанд хийнэ. хоёр радикал илэрхийллийн нийлбэр. Тиймээс энэ дүнгээс аль хэдийн олборлосон байна.

Нэмэх алгоритм

Хамгийн энгийн асуудлыг зөв шийдэхийн тулд та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

Яг юу нэмэх шаардлагатайг тодорхойл.
Математикийн одоо байгаа дүрмийн дагуу бие биедээ үнэ цэнийг нэмэх боломжтой эсэхийг олж мэдээрэй.
Хэрэв тэдгээр нь эвхэгддэггүй бол тэдгээрийг эвхэхийн тулд өөрчлөх хэрэгтэй.
Шаардлагатай бүх өөрчлөлтийг хийсний дараа та нэмэлтийг хийж, дууссан хариултаа бичих хэрэгтэй. Та жишээний нарийн төвөгтэй байдлаас шалтгаалан толгой дээрээ эсвэл микро тооцоолуур ашиглан нэмэлтийг хийж болно.

Ижил төстэй үндэс гэж юу вэ

Ижил төстэй хүмүүсийг олж, нэг бүлэгт (эсвэл хэд хэдэн бүлэгт) салга.
Одоо байгаа жишээг ижил үзүүлэлттэй язгуурууд бие биенээ тодорхой дагаж байхаар дахин бичнэ үү (үүнийг "бүлэглэх" гэж нэрлэдэг).
Дараа нь та ижил төстэй (ижил үзүүлэлттэй, ижил радикал дүрстэй) бие биенээ дагадаг байдлаар дахин илэрхийллийг дахин бичих хэрэгтэй.

Үүний дараа хялбаршуулсан жишээг ихэвчлэн шийдвэрлэхэд хялбар байдаг.

Заримдаа иймэрхүү асуудлууд эхлээд харахад маш хэцүү мэт санагддаг, гэхдээ ихэвчлэн ижил төстэй асуудлуудыг бүлэглэх замаар амархан шийдэгддэг. Хамгийн чухал зүйл бол дадлага, дараа нь оюутан "самар шиг асуудлыг хагарах" болно. Үндэс нэмэх нь математикийн хамгийн чухал хэсгүүдийн нэг тул багш нар үүнийг судлахад хангалттай цаг зарцуулах хэрэгтэй.

Видео

Энэ видео нь квадрат язгууртай тэгшитгэлийг ойлгоход тусална.

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээдэг.
Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

Шаардлагатай гэж үзвэл хуулийн дагуу шүүхийн журам, хуулийн процесст болон/эсвэл олон нийтийн лавлагаа эсвэл хүсэлтийн үндсэн дээр төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Баримт 1.
$\сум$ Сөрөг бус тоо $a$ (өөрөөр хэлбэл $a\geqslant 0$ ) авч үзье. Дараа нь (арифметик) квадрат язгуур$a$ тооноос ийм сөрөг бус тоо гэж нэрлэгддэг $b$ , квадрат нь бид $a$ тоог авна: \[\sqrt a=b\quad \text(тай ижил)\quad a=b^2\]Тодорхойлолтоос харахад ийм байна $a\geqslant 0, b\geqslant 0$. Эдгээр хязгаарлалтууд нь чухал нөхцөлдөрвөлжин язгуур байдаг бөгөөд тэдгээрийг санаж байх ёстой!
Аль ч тоог квадрат болгоход сөрөг үр дүн гарна гэдгийг санаарай. Энэ нь $100^2=10000\geqslant 0$ ба $(-100)^2=10000\geqslant 0$ гэсэн үг юм.
$\сум$ $\sqrt(25)$ хэдтэй тэнцүү вэ? $5^2=25$ ба $(-5)^2=25$ гэдгийг бид мэднэ. Тодорхойлолтоор бид сөрөг бус тоог олох ёстой тул $-5$ тохиромжгүй тул $\sqrt(25)=5$ ($25=5^2$ учир).
$\sqrt a$-ийн утгыг олохыг $a$ тооны язгуур, $a$ тоог радикал илэрхийлэл гэж нэрлэдэг.
$\сум$ Тодорхойлолт дээр үндэслэн $\sqrt(-25)$, $\sqrt(-4)$ гэх мэт илэрхийлэл. утгагүй.

Баримт 2.
Шуурхай тооцоолохын тулд квадратуудын хүснэгтийг сурах нь ашигтай байх болно натурал тоонууд$1$-ээс $20$ хүртэл: \[\begin(array)(|ll|) \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13 ^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^ 2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2= 400\\ \hline \end(массив)\]

Баримт 3.
Та квадрат язгуураар ямар үйлдлүүдийг хийж болох вэ?
$\сум$ Квадрат язгуурын нийлбэр эсвэл зөрүү нь нийлбэр эсвэл зөрүүний квадрат язгууртай ТЭНЦҮҮ БИШ \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt(a\pm b)\]Тиймээс, хэрэв та жишээ нь $\sqrt(25)+\sqrt(49)$ тооцоолох шаардлагатай бол эхлээд $\sqrt(25)$ ба  утгуудыг олох хэрэгтэй. sqrt(49)\ ) дараа нь нугалав. Тиймээс, \[\sqrt(25)+\sqrt(49)=5+7=12\] Хэрэв $\sqrt a+\sqrt b$ нэмэх үед $\sqrt a$ эсвэл $\sqrt b$ утгууд олдохгүй байвал ийм илэрхийлэл цаашид өөрчлөгдөхгүй бөгөөд байгаагаараа л үлдэнэ. Жишээлбэл, $\sqrt 2+ \sqrt (49)$ нийлбэрээс бид $\sqrt(49)$ нь $7$-г олох боловч $\sqrt 2$-г өөрчлөх боломжгүй. ямар ч байсан, ийм учраас $\sqrt 2+\sqrt(49)=\sqrt 2+7$. Харамсалтай нь энэ илэрхийллийг цаашид хялбарчлах боломжгүй юм$\сум$ Квадрат язгуурын үржвэр/хэсэг нь үржвэр/хувийн квадрат язгууртай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt(ab)\quad \text(s)\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt(a:b)\] (тэгш байдлын хоёр тал утга учиртай байх нөхцөлд)
Жишээ: $\sqrt(32)\cdot \sqrt 2=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8$; $\sqrt(768):\sqrt3=\sqrt(768:3)=\sqrt(256)=16$; $\sqrt((-25)\cdot (-64))=\sqrt(25\cdot 64)=\sqrt(25)\cdot \sqrt(64)= 5\cdot 8=40$. $\сум$ Эдгээр шинж чанаруудыг ашиглан квадрат язгуурыг олоход тохиромжтойих тоо
Нэг жишээ авч үзье. $\sqrt(44100)$ -г олцгооё. $44100:100=441$ тул $44100=100\cdot 441$ . Хуваагдах шалгуурын дагуу $441$ тоо нь $9$-д хуваагддаг (түүний цифрүүдийн нийлбэр нь 9 бөгөөд 9-д хуваагддаг тул) $441:9=49$, өөрөөр хэлбэл, $441=9\ cdot 49$ .
Тиймээс бид дараахь зүйлийг авсан. \[\sqrt(44100)=\sqrt(9\cdot 49\cdot 100)= \sqrt9\cdot \sqrt(49)\cdot \sqrt(100)=3\cdot 7\cdot 10=210\]Өөр нэг жишээг харцгаая: \[\sqrt(\dfrac(32\cdot 294)(27))= \sqrt(\dfrac(16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2)(9\cdot 3))= \sqrt( \ dfrac(16\cdot4\cdot49)(9))=\dfrac(\sqrt(16)\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt(49))(\sqrt9)=\dfrac(4\cdot 2\cdot 7)3 =\dfrac(56)3\]
$\сум$ $5\sqrt2$ ($5\cdot \sqrt2$ илэрхийллийн товч тэмдэглэгээ) илэрхийллийн жишээн дээр язгуур тэмдгийн доор тоо хэрхэн оруулахыг үзүүлье. $5=\sqrt(25)$ тул \ Жишээлбэл,
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$,
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
3) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$ .

Яагаад ийм байна вэ? Жишээ 1) ашиглан тайлбарлая. Таны ойлгосноор бид $\sqrt2$ тоог ямар нэгэн байдлаар хувиргаж чадахгүй. $\sqrt2$ нь $a$ тоо гэж төсөөлье. Үүний дагуу $\sqrt2+3\sqrt2$ илэрхийлэл нь $a+3a$-аас өөр юу ч биш (нэг тоо $a$ дээр нэмэх нь ижил тооны гурван $a$). Энэ нь ийм дөрвөн тоотой тэнцүү гэдгийг бид мэднэ $a$ , өөрөөр хэлбэл $4\sqrt2$ .

Баримт 4.
$\сум$ Тооны утгыг олоход язгуурын $\sqrt () \ $ тэмдгийг арилгахгүй бол "үндэсийг гаргаж чадахгүй" гэж ихэвчлэн хэлдэг. . Жишээлбэл, та $16$ тооны үндсийг авч болно, учир нь $16=4^2$ , тиймээс $\sqrt(16)=4$ . Гэхдээ $3$ тооны үндсийг задлах, өөрөөр хэлбэл $\sqrt3$ олох боломжгүй, учир нь квадрат нь $3$ өгөх тоо байхгүй.
Ийм тоо (эсвэл ийм тоо бүхий илэрхийлэл) нь үндэслэлгүй юм. Жишээлбэл, тоонууд $\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt(15)$гэх мэт. үндэслэлгүй юм.
Түүнчлэн $\pi$ тоонууд ("пи", ойролцоогоор $3.14$-тэй тэнцүү), $e$ (энэ тоог Эйлерийн тоо гэж нэрлэдэг, энэ нь ойролцоогоор $2.7)-тай тэнцүү байна. $) гэх мэт.
$\сум$ Аливаа тоо оновчтой эсвэл иррациональ байх болно гэдгийг анхаарна уу. Бүх рационал ба бүх иррационал тоонууд хамтдаа нэртэй олонлогийг бүрдүүлдэг бодит тоонуудын багц.Энэ олонлогийг $\mathbb(R)$ үсгээр тэмдэглэнэ.
Энэ нь бүх тоонууд дээр байна гэсэн үг юм одоогоорбодит тоо гэж бид мэднэ.

Баримт 5.
$\сум$ Бодит тооны $a$ модуль нь $a$ цэгээс $0$ хүртэлх зайтай тэнцэх $|a|$ сөрөг бус тоо юм. бодит шугам. Жишээлбэл, $|3|$ ба $|-3|$ нь 3-тай тэнцүү, учир нь $3$ ба $-3$ цэгээс $0$ хүртэлх зай нь ижил ба тэнцүү $3 $ .
$\сум$ Хэрэв $a$ нь сөрөг бус тоо бол $|a|=a$ .
Жишээ: $|5|=5$ ; $\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$ .
$\сум$ Хэрэв $a$ сөрөг тоо бол $|a|=-a$ . Жишээ: $|-5|=-(-5)=5$ ;.
$\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$
Тэд сөрөг тоонуудын хувьд модуль нь хасахыг "иддэг" гэж хэлдэг бол эерэг тоо, мөн $0$ тоо нь модулиар өөрчлөгдөөгүй хэвээр үлддэг.ГЭХДЭЭ Энэ дүрэм зөвхөн тоонд хамаарна. Хэрэв таны модулийн тэмдгийн доор үл мэдэгдэх $x$ (эсвэл өөр ямар нэгэн үл мэдэгдэх) байвал эерэг, тэг эсвэл сөрөг аль нь болохыг бид мэдэхгүй $|x|$ жишээлбэл, үүнийг арилга. модулийн талаар бид чадахгүй. Энэ тохиолдолд энэ илэрхийлэл хэвээр байна: $|x|$ .$\сум$ Дараах томьёо агуулна: \[(\large(\sqrt(a^2)=|a|))\]
\[(\том((\sqrt(a))^2=a)), \text(өгөгдсөн ) a\geqslant 0\]Маш олон удаа дараах алдаа гардаг: тэд $\sqrt(a^2)$ ба $(\sqrt a)^2$ нь нэг бөгөөд адилхан гэж хэлдэг. Энэ нь зөвхөн $a$ эерэг тоо эсвэл тэг байвал үнэн болно. Гэхдээ хэрэв $a$ сөрөг тоо бол энэ нь худал байна. Энэ жишээг авч үзэхэд хангалттай. $a$-ын оронд $-1$ тоог авъя. Дараа нь $\sqrt((-1)^2)=\sqrt(1)=1$ , гэхдээ $(\sqrt (-1))^2$ илэрхийлэл огт байхгүй (эцсийн эцэст, Сөрөг тоог тавих үндэс тэмдгийг ашиглах боломжгүй!). Тиймээс, $\sqrt(a^2)$ нь $(\sqrt a)^2$ -тай тэнцүү биш гэдгийг бид анхаарлаа хандуулж байна!Жишээ: 1)<0\) ;

$\sqrt(\зүүн(-\sqrt2\баруун)^2)=|-\sqrt2|=\sqrt2$ , учир нь $-\sqrt2
\(\phantom(00000)$ 2) $(\sqrt(2))^2=2$ .
$\сум$ $\sqrt(a^2)=|a|$ тул \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
($2n$ илэрхийлэл нь тэгш тоог илэрхийлдэг)
Өөрөөр хэлбэл, тодорхой хэмжээгээр байгаа тооны үндсийг задлахад энэ зэрэг нь хоёр дахин багасдаг.
Жишээ:

1) $\sqrt(4^6)=|4^3|=4^3=64$
2) $\sqrt((-25)^2)=|-25|=25$ (хэрэв модулийг өгөөгүй бол тооны үндэс нь $-25\-тай тэнцүү болохыг анхаарна уу. ) гэхдээ язгуурын тодорхойлолтоор энэ нь тохиолдохгүй гэдгийг бид санаж байна: үндсийг задлахдаа бид үргэлж эерэг тоо эсвэл тэг авах ёстой)
3) \(\sqrt(x^(16))=|x^8|=x^8$ (ямар ч тэгш тоо сөрөг биш тул)<\sqrt b\) , то $a\(\сум$ $\sqrt(a^2)=|a|$ тул \[\sqrt(a^(2n))=|a^n|\]
1) $\sqrt(50)$ болон $6\sqrt2$ . Эхлээд хоёр дахь илэрхийллийг хувиргацгаая $\sqrt(36)\cdot \sqrt2=\sqrt(36\cdot 2)=\sqrt(72)$. Тиймээс $50<72$ , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
2) $\sqrt(50)$ ямар бүхэл тоонуудын хооронд байрлах вэ?
Учир нь $\sqrt(49)=7$ , $\sqrt(64)=8$ болон $49)<50<64$ , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
3) $\sqrt 2-1$ ба $0.5$ -ийг харьцуулж үзье. $\sqrt2-1>0.5$ гэж үзье: \[\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) &\sqrt 2-1>0.5 \ \том| +1\quad \text((хоёр талд нэгийг нэмнэ))\\ &\sqrt2>0.5+1 \\том| \ ^2 \дөрвөлжин\текст((хоёр талыг дөрвөлжин))\\ &2>1.5^2\\ &2>2.25 \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\]Бид буруу тэгш бус байдлыг олж авснаа харж байна. Тиймээс бидний таамаг буруу байсан бөгөөд $\sqrt 2-1<0,5$ .
Тэгш бус байдлын хоёр талд тодорхой тоог нэмэх нь түүний тэмдэгт нөлөөлөхгүй гэдгийг анхаарна уу. Тэгш бус байдлын хоёр талыг эерэг тоогоор үржүүлэх/хуваах нь мөн түүний тэмдэгт нөлөөлөхгүй, харин сөрөг тоогоор үржүүлэх/хуваах нь тэгш бус байдлын тэмдгийг урвуу болгоно!
Та тэгшитгэл/тэгш бус байдлын хоёр талыг ЗӨВХӨН хоёр тал нь сөрөг биш байвал квадрат болгож болно. Жишээлбэл, өмнөх жишээний тэгш бус байдалд та хоёр талыг квадрат болгож болно, тэгш бус байдалд $-3)<\sqrt2$ нельзя (убедитесь в этом сами)! $\сум$ Үүнийг санах хэрэгтэй \[\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) &\sqrt 2\ойролцоогоор 1.4\\ &\sqrt 3\ойролцоогоор 1.7 \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\]Эдгээр тоонуудын ойролцоо утгыг мэдэх нь тоонуудыг харьцуулахдаа танд тусална!
$\сум$ Дөрвөлжингийн хүснэгтэд байхгүй зарим нэг их тооноос үндсийг (хэрэв гаргаж авах боломжтой бол) гаргаж авахын тулд эхлээд аль “зуут”-ын хооронд, дараа нь аль “зууны хооронд байрлаж байгааг тодорхойлох хэрэгтэй. хэдэн арван", дараа нь энэ тооны сүүлийн цифрийг тодорхойлно. Энэ нь хэрхэн ажилладагийг жишээгээр харуулъя.
$\sqrt(28224)$ -г авч үзье. $100^2=10\,000$, $200^2=40\,000$ гэх мэтийг бид мэднэ. $28224$ нь $10\,000$ болон $40\,000$ хооронд байгааг анхаарна уу. Тиймээс $\sqrt(28224)$ нь $100$ болон $200$ хооронд байна.
Сүүлийн цифрийг тодорхойлохыг хичээцгээе. Ямар нэг оронтой тоонуудын квадрат нь төгсгөлд нь $4$ өгдөг гэдгийг санацгаая? Эдгээр нь $2^2$ ба $8^2$ юм. Тиймээс $\sqrt(28224)$ нь 2 эсвэл 8-аар төгсөх болно. Үүнийг шалгая. $162^2$ ба $168^2$-г олъё:
$162^2=162\cdot 162=26224$
$168^2=168\cdot 168=28224$ .
Тиймээс $\sqrt(28224)=168$ . Voila!

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг зохих ёсоор шийдвэрлэхийн тулд та эхлээд олон тооны теорем, томъёо, алгоритм гэх мэт онолын материалыг судлах хэрэгтэй. Өнгөц харахад энэ нь маш энгийн мэт санагдаж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын онолыг ямар ч түвшний сургалттай оюутнуудад хялбар, ойлгомжтой байдлаар харуулсан эх сурвалжийг олох нь үнэндээ нэлээд хэцүү ажил юм. Сургуулийн сурах бичгийг үргэлж гартаа байлгаж болохгүй. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын үндсэн томъёог олох нь интернетээс ч хэцүү байж болно.

Математикийн чиглэлээр онолыг судлах нь яагаад зөвхөн Улсын нэгдсэн шалгалт өгдөг хүмүүст тийм чухал байдаг вэ?

Учир нь энэ нь таны алсын харааг тэлж өгдөг. Математикийн онолын материалыг судлах нь хүрээлэн буй ертөнцийн талаарх мэдлэгтэй холбоотой өргөн хүрээний асуултын хариултыг авахыг хүссэн хэн бүхэнд хэрэгтэй. Байгаль дээрх бүх зүйл эмх цэгцтэй, тодорхой логиктой байдаг. Энэ нь шинжлэх ухаанд яг тодорхой тусгагдсан зүйл бөгөөд үүгээр дамжуулан ертөнцийг ойлгох боломжтой юм.
Учир нь энэ нь оюун ухааныг хөгжүүлдэг. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын лавлах материалыг судалж, янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх замаар хүн логикоор сэтгэж, сэтгэж, бодлоо чадварлаг, тодорхой боловсруулж сурдаг. Тэрээр дүн шинжилгээ хийх, нэгтгэх, дүгнэлт гаргах чадварыг хөгжүүлдэг.

Боловсролын материалыг системчлэх, танилцуулах арга барилын бүх давуу талыг биечлэн үнэлэхийг бид урьж байна.