Тойрог нь баганад квадрат үндсийг хэрхэн гаргаж авахыг харуулсан. Та язгуурыг дурын нарийвчлалтайгаар тооцоолж, аравтын бутархайн тэмдэглэгээнд ямар ч тооны цифрийг олох боломжтой, энэ нь иррациональ болсон ч гэсэн. Алгоритмыг санаж байсан ч асуултууд үлдсэн. Энэ арга нь хаанаас ирсэн, яагаад зөв үр дүнг өгсөн нь тодорхойгүй байв. Энэ нь номонд байгаагүй, эсвэл би зүгээр л буруу ном хайж байсан байж магадгүй юм. Эцэст нь, өнөөдөр миний мэддэг, хийж чадах ихэнх зүйлсийн нэгэн адил би үүнийг өөрөө бодож олсон. Би энд өөрийн мэдлэгээ хуваалцаж байна. Дашрамд хэлэхэд, би алгоритмын үндэслэлийг хаана өгснийг мэдэхгүй хэвээр байна)))
Тиймээс, эхлээд би "систем хэрхэн ажилладаг" талаар жишээгээр хэлж өгөөд дараа нь яагаад энэ нь үнэхээр ажилладаг талаар тайлбарлаж байна.
Тоогоо авч үзье (тоог "агааргүй" авсан, зүгээр л санаанд орж ирэв).
1. Бид түүний тоонуудыг хос болгон хуваадаг: аравтын бутархайн зүүн талд байгаа нь баруунаас зүүн тийш хоёр, баруун талд байгаа нь зүүнээс баруун тийш хоёр бүлэглэгддэг. Бид авдаг.
2. Бид зүүн талд байгаа эхний бүлгийн тооноос квадрат язгуурыг гаргаж авдаг - манай тохиолдолд энэ нь (яг язгуурыг гаргаж авахгүй байх нь ойлгомжтой, бид квадрат нь бидний үүсгэсэн тоонд аль болох ойр байгаа тоог авдаг. эхний бүлгийн тоо, гэхдээ түүнээс хэтрэхгүй). Манай тохиолдолд энэ нь тоо байх болно. Бид хариултыг бичдэг - энэ бол язгуурын хамгийн чухал цифр юм.
3. Бид хариултанд байгаа тоог квадрат болгож, зүүн талд байгаа эхний бүлгийн тооноос хасна. Манай тохиолдолд энэ нь хэвээр байна.
4. Бид баруун талд дараах хоёр тооны бүлгийг онооно: . Бид аль хэдийн хариултанд байгаа тоог үржүүлж, бид авна.
5. Одоо анхааралтай ажигла. Бид баруун талд байгаа тоонд нэг оронтой тоо оноож, тоог ижил оронтой тоогоор үржүүлэх хэрэгтэй. Үр дүн нь аль болох ойр байх ёстой, гэхдээ дахин энэ тооноос илүүгүй байна. Манай тохиолдолд энэ нь тоо байх болно, бид үүнийг хариултын хажуугийн баруун талд бичнэ. Энэ бол манай аравтын бутархайн дараагийн цифр юм квадрат язгуур.
6. Бүтээгдэхүүнийг хасвал бид .
7. Дараа нь бид танил үйлдлүүдийг давтан хийнэ: бид дараах бүлэг цифрүүдийг баруун талд нь оноож, үржүүлсэн тоогоор үржүүлнэ> бид баруун талд нэг цифрийг оноож, үржүүлснээр бид -ээс бага, гэхдээ хамгийн ойрхон тоог авна. түүнд - энэ нь аравтын язгуур тэмдэглэгээний дараагийн цифр юм.
Тооцооллыг дараах байдлаар бичнэ.
Тэгээд одоо амласан тайлбар. Алгоритм нь томьёо дээр суурилдаг
Сэтгэгдэл: 50
2 Антон:
Хэтэрхий эмх замбараагүй, будлиантай. Бүх зүйлийг цэг болгон цэгцэлж, дугаарлана. Дээрээс нь: үйлдэл болгондоо хаана орлуулахыг тайлбарла шаардлагатай утгууд. Би өмнө нь хэзээ ч root үндэс тооцоолж байгаагүй;
5 Жулиа:
6 :
Юлия, 23 настай Энэ мөчбаруун талд бичсэн, эдгээр нь хариултын эхийн эхний хоёр (зүүн талд) аль хэдийн авсан цифрүүд юм. Алгоритмын дагуу 2-оор үржүүлнэ. Бид 4-р зүйлд тайлбарласан алхмуудыг давтана.
7 zzz:
"6 дахь алдаа. 167-аас бид 43 * 3 = 123 (129 нада) үржвэрийг хасвал 38 болно."
Аравтын бутархайн дараа яаж 08 болсныг ойлгохгүй байна...9 Федотов Александр:
Тооцоологчийн өмнөх эрин үед ч гэсэн бид сургуульд зөвхөн дөрвөлжин төдийгүй бас сургадаг байсан шоо үндэсбаганад ханд, гэхдээ энэ нь илүү уйтгартай, шаргуу ажил юм. Бидний ахлах сургуульд сурч байсан Bradis хүснэгт эсвэл слайд дүрмийг ашиглах нь илүү хялбар байсан.
10 :
Александр, та зөв, та үүнийг багана, үндэс болгон задалж болно илүү өндөр зэрэгтэй. Би зөвхөн шоо язгуурыг хэрхэн олох талаар бичих болно.
12 Сергей Валентинович:
Эрхэм хүндэт Елизавета Александровна! 70-аад оны сүүлээр би квадратыг автоматаар (өөрөөр хэлбэл сонголтоор биш) тооцоолох схемийг боловсруулсан. Феликс нэмэх машин дээр root . Хэрэв та сонирхож байвал би танд тайлбарыг илгээж болно.
14 Влад болон Энгелсштадт:
(((Баганын язгуурыг задлах)))
Хэрэв та компьютерийн шинжлэх ухаанд суралцдаг боловч математикт хэрэгтэй 2-р тооны системийг ашигладаг бол алгоритмыг хялбаршуулсан болно. А.Н. Колмогоров энэ алгоритмыг сургуулийн сурагчдад зориулсан алдартай лекцүүдэд танилцуулсан. Түүний нийтлэлийг "Чебышевын цуглуулга" -аас олж болно (Математикийн сэтгүүл, Интернэтээс холбоосыг хайж олоорой)
Дашрамд хэлэхэд:
Г.Лейбниц анхлан суралцагчдад (бага ангийн сурагчид) хялбар, хүртээмжтэй байсан тул 10-р тооллын системээс хоёртын системд шилжих санааг нэгэн цагт тоглож байсан. Гэхдээ тогтсон уламжлалыг эвдэх нь цайзын хаалгыг духангаараа эвдэхтэй адил юм: боломжтой, гэхдээ энэ нь ашиггүй юм. Эрт дээр үед хамгийн их иш татсан сахалтай гүн ухаантны хэлснээр: нас барсан бүх үеийн уламжлал нь амьд хүмүүсийн ухамсарыг дарангуйлдаг.Дараагийн удаа хүртэл.
15 Влад болон Энгельсштадт:
))Сергей Валентинович, тийм ээ, би сонирхож байна...((
Энэ бол Вавилоны морь олборлох аргын "Феликс"-ийн өөрчлөлт гэдэгт би итгэлтэй байна квадрат аргадараалсан ойролцоо тоо. Энэ алгоритмыг Ньютоны арга (шүргэх арга)
Би таамаглалдаа буруу байсан болов уу?
18 :
2Влад болон Энгельсштадт
Тийм ээ, хоёртын систем дэх алгоритм нь илүү энгийн байх ёстой, энэ нь маш ойлгомжтой юм.
Ньютоны аргын тухай. Магадгүй энэ нь үнэн байх, гэхдээ энэ нь сонирхолтой хэвээр байна
20 Кирилл:
Маш их баярлалаа. Гэхдээ алгоритм байхгүй, хаанаас ирснийг хэн ч мэдэхгүй, гэхдээ үр дүн нь зөв юм. МАШ ИХ БАЯРЛАЛАА! Би үүнийг удаан хугацаанд хайж байсан)
21 Александр:
Зүүнээс баруун тийш хоёр дахь бүлэг нь маш бага тооноос үндсийг яаж гаргаж авах вэ? жишээ нь хүн бүрийн дуртай тоо 4,398,046,511,104. Эхний хасалтын дараа бүх зүйлийг алгоритмын дагуу үргэлжлүүлэх боломжгүй. Та тайлбарлаж өгнө үү.
22 Алексей:
Тийм ээ, би энэ аргыг мэднэ. Би үүнийг хуучин хэвлэгдсэн "Алгебр" номноос уншиж байснаа санаж байна. Дараа нь ижил төстэй байдлаар тэрээр шоо үндсийг багананд хэрхэн гаргаж авах талаар дүгнэлт хийсэн. Гэхдээ энд энэ нь аль хэдийн илүү төвөгтэй болсон: цифр бүрийг нэгээр биш (дөрвөлжингийн хувьд), харин хоёр хасалтаар тодорхойлдог бөгөөд тэнд ч гэсэн урт тоонуудыг үржүүлэх шаардлагатай болдог.
23 Артем:
56789.321-ийн квадрат язгуурыг задлах жишээнд үсгийн алдаа байна. 32 тоон бүлэг нь 145 ба 243 тоонуудад хоёр удаа оноогдсон бөгөөд 2388025 тоонд хоёр дахь 8-ыг 3-аар солих ёстой. Дараа нь сүүлийн хасахыг дараах байдлаар бичнэ: 2431000 – 2383025 = 47975.
Нэмж дурдахад, үлдэгдлийг хариултын хоёр дахин нэмэгдсэн утгад хуваахдаа (таслалыг харгалзахгүйгээр) бид нэмэлт тооны чухал цифрүүдийг (47975/(2*238305) = 0.100658819...) авна. хариулт (√56789.321 = 238.305... = 238.305100659).24 Сергей:
Алгоритм нь Исаак Ньютоны “Ерөнхий арифметик буюу арифметик синтез, анализын тухай ном” номноос гарсан бололтой. Үүнээс эшлэлийг энд оруулав.
ҮНДЭС ХАНДАХ ТУХАЙ
Тооны квадрат язгуурыг гаргаж авахын тулд эхлээд цифрүүдээс нь дээш цэг тавих ёстой. Дараа нь та квадрат нь эхний цэгийн өмнөх тоо эсвэл тоотой тэнцүү эсвэл хамгийн сул талтай тоог хуваах буюу радикал хэлбэрээр бичих хэрэгтэй. Энэ квадратыг хассаны дараа язгуурын үлдсэн цифрүүдийг язгуурын аль хэдийн задалсан хэсгийн утгыг хоёр дахин хувааж, квадратын үлдэгдэлээс хамгийн сүүлд олдсон цифр ба түүний арав дахин үржвэрийг хасах болгонд дараалан олно. нэрлэгдсэн хуваагч.
25 Сергей:
Мөн “Ерөнхий арифметик буюу арифметик синтез, анализын тухай ном” номын гарчгийг засна уу.
26 Александр:
Сонирхолтой материал өгсөнд баярлалаа. Гэхдээ энэ арга нь жишээлбэл, сургуулийн сурагчдад хэрэгтэй зүйлээс арай илүү төвөгтэй мэт санагдаж байна. Би задралд суурилсан энгийн аргыг хэрэглэдэг квадрат функцэхний хоёр деривативыг ашиглан. Түүний томъёо нь:
sqrt(x)= A1+A2-A3, энд
A1 нь квадрат нь x-тэй хамгийн ойр байгаа бүхэл тоо;
А2 нь бутархай, тоологч нь x-A1, хуваагч нь 2*A1.
Ихэнх тоонуудын хувьд сургуулийн курс, энэ нь үр дүнг зуу хүртэл нарийвчлалтай авахад хангалттай.
Хэрэв танд илүү нарийвчлалтай үр дүн хэрэгтэй бол аваарай
А3 нь бутархай, тоологч нь A2 квадрат, хуваагч нь 2*A1+1.
Мэдээж хэрэг, үүнийг ашиглахын тулд бүхэл тоон квадратуудын хүснэгт хэрэгтэй, гэхдээ энэ нь сургуульд асуудал биш юм. Энэ томъёог санах нь маш энгийн.
Гэсэн хэдий ч би хүснэгтийн туршилтын үр дүнд A3-ийг эмпирик байдлаар олж авсан нь намайг төөрөлдүүлж байгаа бөгөөд энэ гишүүн яагаад ийм дүр төрхтэй байгааг сайн ойлгохгүй байна. Магадгүй та надад зөвлөгөө өгөх үү?27 Александр:
Тийм ээ, би ч бас эдгээрийг анхаарч үзсэн, гэхдээ чөтгөр нарийн ширийн юм. Та бичих:
"Учир нь a2 ба b нь маш бага ялгаатай." Асуулт нь яг хэр бага вэ?
Энэ томъёо нь хоёр дахь арав дахь тоон дээр сайн ажилладаг ба эхний арав дахь тоон дээр илүү муу (зууны нэг хүртэл биш, зөвхөн аравны нэг хүртэл) ажилладаг. Яагаад ийм зүйл болж байгааг дериватив ашиглахгүйгээр ойлгоход хэцүү байдаг.28 Александр:
Миний санал болгож буй томьёоны давуу тал гэж юу гэж харж байгааг тодруулах болно. Энэ нь тоонуудыг хос цифр болгон хуваахыг шаарддаггүй бөгөөд үүнийг туршлагаас харахад ихэвчлэн алдаатай гүйцэтгэдэг. Үүний утга нь ойлгомжтой боловч дүн шинжилгээ хийх мэдлэгтэй хүний хувьд энэ нь өчүүхэн зүйл юм. Сургуульд хамгийн түгээмэл тохиолддог 100-аас 1000 хүртэлх тоон дээр сайн ажилладаг.
29 Александр:
Дашрамд хэлэхэд би хэсэг ухаж үзээд томъёоноос A3-ийн яг тодорхой илэрхийлэлийг олсон.
A3= A22 /2(A1+A2)30 васил стрыжак:
Бидний цаг үед компьютерийн технологийг өргөнөөр ашиглаж байгаа тул дөрвөлжин баатрыг тооноос гаргаж авах нь практик талаасаа үнэ цэнэтэй зүйл биш юм. Гэхдээ математикийн дурлагчдын хувьд тэд эргэлзээгүй сонирхолтой байдаг янз бүрийн сонголтуудэнэ асуудлын шийдлүүд. IN сургуулийн сургалтын хөтөлбөрнэмэлт хөрөнгө оруулахгүйгээр энэ тооцооны аргыг үржүүлэх, баганад хуваахтай ижил түвшинд хийх ёстой. Тооцооллын алгоритм нь зөвхөн цээжлэхээс гадна ойлгомжтой байх ёстой. Сонгодог аргыг дотор нь өгсөн энэ материалмөн чанарыг задруулсан хэлэлцүүлгийн хувьд дээрх шалгуурыг бүрэн хангасан.
Александрын санал болгосон аргын мэдэгдэхүйц сул тал бол бүхэл тоон квадратуудын хүснэгтийг ашиглах явдал юм. Зохиогч сургуулийн хичээл дээр тааралдсан ихэнх тоонуудын талаар чимээгүй байна. Томъёоны хувьд ерөнхийдөө тооцоолол нь харьцангуй өндөр нарийвчлалтай учраас надад таалагдаж байна.31 Александр:
30 vasil stryzhak нь
Би юу ч чимээгүй байсангүй. Дөрвөлжингийн хүснэгт нь 1000 хүртэл байх ёстой. Намайг сургуульд байхад тэд зүгээр л цээжээр сурдаг байсан, математикийн бүх сурах бичигт ч байсан. Би энэ интервалыг тодорхой нэрлэсэн.
Компьютерийн технологийн хувьд тооцоолуур ашиглах сэдвийг тусгайлан авч үзэхгүй бол математикийн хичээлд голчлон ашигладаггүй. Улсын нэгдсэн шалгалтанд ашиглахыг хориглосон төхөөрөмжүүдэд тооны машинууд суурилагдсан.32 васил стрыжак:
Александр, тодруулсанд баярлалаа! Санал болгож буй аргын хувьд 100-аас 10000 хүртэлх зайд ороогүй радикал тоонуудын хүснэгтийг ашиглах нь онолын хувьд шаардлагатай гэж би бодсон тэдгээрийг нэмэгдүүлэх, багасгах арга техник шаардлагатай хэмжээтаслал шилжүүлэх захиалга.
33 васил стрыжак:
39 АЛЕКСАНДР:
"ISKRA 555" ЗӨВЛӨТИЙН МАШИН ДЭЭР IAMB ХЭЛЭЭР ХИЙСЭН АНХНЫ ПРОГРАМЫГ БАГААН АВАХ АЛГОРИТМ АШИГЛАН ТООНЫ Квадрат үндсийг задлахаар бичсэн! одоо би үүнийг гараар яаж задлахаа мартчихаж!
Үндэс n-р зэрэг натурал тоо аэнэ дугаарыг дууддаг nр зэрэгтэй тэнцүү байна а. Үндэс нь дараах байдлаар тодорхойлогддог: . √ тэмдгийг дууддаг үндэс тэмдэгэсвэл радикал шинж тэмдэг, тоо а - радикал тоо, n - язгуур илтгэгч.
Өгөгдсөн зэрэглэлийн үндсийг олох үйлдлийг гэнэ үндэс олборлолт.
Учир нь язгуур ойлголтын тодорхойлолтын дагуу n-р зэрэг
Тэр үндэс олборлолт- өгөгдсөн зэрэг болон өгөгдсөн илтгэгчээс зэрэглэлийн суурь нь олддог хүч рүү урвуу үйлдэл.
Квадрат язгуур
Тооны квадрат язгуур аквадрат нь тэнцүү тоо юм а.
Квадрат язгуурыг тооцоолох үйлдлийг квадрат язгуур гэж нэрлэдэг.
Квадрат язгуур- квадратын эсрэг үйлдэл (эсвэл тоог хоёр дахь зэрэгт хүргэх). Тоог квадрат болгохдоо түүний квадратыг олох хэрэгтэй. Квадрат язгуурыг гаргаж авахдаа тооны квадрат нь мэдэгдэж байгаа тул та тоог өөрөө олохын тулд үүнийг ашиглах хэрэгтэй.
Тиймээс, үйлдлийн зөв эсэхийг шалгахын тулд та олсон үндсийг хоёр дахь зэрэгт шилжүүлж болох бөгөөд хэрэв зэрэг нь радикал тоотой тэнцүү бол үндсийг зөв олсон болно.
Квадрат язгуурыг гаргаж аваад, жишээ ашиглан шалгахыг харцгаая. Тооцоолж үзье, эсвэл (2 гэсэн утгатай язгуур илтгэгчийг ихэвчлэн бичдэггүй, учир нь 2 нь хамгийн бага илтгэгч бөгөөд хэрэв язгуур тэмдгээс дээш илтгэгч байхгүй бол 2-р илтгэгчийг илэрхийлнэ гэдгийг санах хэрэгтэй), үүний тулд бид тоог олох шаардлагатай бол хоёр дахь зэрэг нь 49 байх болно. Ийм тоо нь 7 байх нь ойлгомжтой.
7 7 = 7 2 = 49.
Квадрат язгуурыг тооцоолох
Хэрэв өгсөн дугаар 100 ба түүнээс бага бол түүний квадрат язгуурыг үржүүлэх хүснэгт ашиглан тооцоолж болно. Жишээлбэл, 25-ын квадрат язгуур нь 5, учир нь 5 5 = 25.
Одоо тооцоолуур ашиглахгүйгээр дурын тооны язгуурыг олох аргыг авч үзье. Жишээлбэл, 4489 тоог аваад алхам алхмаар тооцоолж эхэлье.
- Шаардлагатай үндэс нь аль цифрээс бүрдэх ёстойг тодорхойлъё. 10 2 = 10 · 10 = 100, 100 2 = 100 · 100 = 10000 тул хүссэн үндэс нь 10-аас их, 100-аас бага байх ёстой нь тодорхой болно, өөрөөр хэлбэл. арав, нэгжээс бүрдэнэ.
- язгуурын аравтын тоог ол. Арвыг үржүүлбэл хэдэн зуу гарах ба бидний тоонд 44 тоо байгаа тул үндэс нь маш олон арвыг агуулсан байх ёстой бөгөөд аравтын квадрат нь ойролцоогоор 44 зууг өгнө. Тиймээс үндэс нь 6 аравтай байх ёстой, учир нь 60 2 = 3600, 70 2 = 4900 (энэ нь хэтэрхий их юм). Тиймээс бидний үндэс нь 60-аас 70-ийн хооронд байдаг тул 6 арав, хэд хэдэн нэгжийг агуулдаг болохыг олж мэдсэн.
- Үржүүлэх хүснэгт нь үндэс дэх нэгжийн тоог тодорхойлоход тусална. 4489 тоог харахад түүний сүүлчийн орон нь 9 байгааг харж байна. Одоо бид үржүүлэх хүснэгтийг хараад зөвхөн 3 ба 7-ын тоог квадрат болгосноор 9 нэгжийг олж авах боломжтой гэдгийг харж байна. Энэ нь тооны язгуур болно гэсэн үг юм. 63 эсвэл 67-тай тэнцүү.
- Бид хүлээн авсан 63 ба 67 тоог квадратаар шалгана: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.
Бас чамд байна уу тооцоолуурын донтолт? Эсвэл тооцоолуур эсвэл квадрат хүснэгт ашиглахаас бусад тохиолдолд тооцоолоход маш хэцүү гэж та бодож байна уу.
Сургуулийн хүүхдүүдийг тооны машинд уяж, үнэт товчлуур дээр дарж 0.7-г 0.5-аар үржүүлдэг. Тэд хэлэхдээ, би яаж тооцоолохоо мэддэг хэвээр байна, гэхдээ одоо би цаг хэмнэх болно ... Шалгалт ирэхэд ... дараа нь би өөрийгөө ядраах болно ...
Тэгэхээр шалгалтын үеэр “стресстэй мөчүүд” хэдийнэ зөндөө л тохиолдох нь тодорхой... Ус чулууг элдэг гэдэг шиг. Тиймээс шалгалтанд өчүүхэн зүйл, хэрэв тэдгээр нь олон байвал таныг сүйрүүлж болно ...
Боломжит бэрхшээлүүдийн тоог багасгая.
Олон тооны квадрат язгуурыг авч байна
Одоо бид квадрат язгуурыг задлах үр дүн нь бүхэл тоо болох тохиолдлын талаар л ярих болно.
Тохиолдол 1.
Тиймээс, ямар ч үнээр хамаагүй (жишээлбэл, ялгаварлагчийг тооцоолохдоо) 86436-ийн квадрат язгуурыг тооцоолох хэрэгтэй.
Бид 86436 дугаарыг өргөтгөх болно үндсэн хүчин зүйлүүд. 2-т хуваахад бид 43218 болно; дахин 2-т хуваахад бид 21609 болно. Тоо 2-т хуваагдах боломжгүй. Гэхдээ цифрүүдийн нийлбэр нь 3-т хуваагддаг тул энэ тоо өөрөө 3-т хуваагддаг (ерөнхийдөө 9-д хуваагдах нь ойлгомжтой). . Дахин 3-т хуваахад бид 2401 болно. 2401 нь 3-т бүрэн хуваагддаггүй. Тавд хуваагддаггүй (0 эсвэл 5-аар төгсдөггүй).
Бид 7-д хуваагддаг гэж сэжиглэж байна. Үнэн хэрэгтээ, мөн ,
За, захиалгыг бүрэн гүйцэтгээрэй!
Тохиолдол 2.
Бид тооцоолох хэрэгтэй. Дээр дурдсантай адил үйлдэл хийх нь тохиромжгүй юм. Бид хүчин зүйл ангилахыг оролдож байна ...
1849 тоо нь 2-т хуваагддаггүй (тэгш биш) ...
Энэ нь 3-т бүрэн хуваагддаггүй (тоонуудын нийлбэр нь 3-ын үржвэр биш)...
Энэ нь 5-д бүрэн хуваагддаггүй (сүүлийн цифр нь 5 ч биш, 0 ч биш) ...
Энэ нь 7-д бүрэн хуваагддаггүй, 11-д хуваагддаггүй, 13-т хуваагддаггүй... За, бид бүх анхны тоог эрэмбэлэхэд хэр хугацаа шаардагдах вэ?
Жаахан өөрөөр сэтгэе.
Бид үүнийг ойлгож байна
Бид хайлтаа нарийсгасан. Одоо бид 41-ээс 49 хүртэлх тоонуудыг дамжуулж байна. Түүнээс гадна, энэ тооны сүүлчийн орон нь 9 байгаа тул 43 эсвэл 47 гэсэн сонголтууд дээр зогсох нь тодорхой байна - зөвхөн эдгээр тоонууд нь квадрат нь 9-ийн сүүлийн цифрийг өгөх болно. .
За, энд мэдээжийн хэрэг бид 43 дээр зогсоно.
P.S.Бид 0.7-г 0.5-аар яаж үржүүлэх вэ?
Та тэг, тэмдгийг үл тоомсорлож, 5-ыг 7-оор үржүүлж, баруунаас зүүн тийш хоёр аравтын бутархайг тусгаарлах хэрэгтэй. Бид 0.35 авдаг.
Математик нь хүн өөрийгөө ухамсарлаж, өөрийгөө ертөнцийн бие даасан нэгж гэж тодорхойлж эхэлснээр үүссэн. Таны эргэн тойронд байгаа зүйлийг хэмжих, харьцуулах, тоолох хүсэл эрмэлзэл бол үүний нэг үндэс суурь юм суурь шинжлэх ухаанбидний өдрүүд. Эхэндээ эдгээр нь тоонуудыг физик илэрхийлэлтэй холбох боломжийг олгодог анхан шатны математикийн бөөмс байсан бөгөөд хожим нь дүгнэлтийг зөвхөн онолын хувьд (хийсвэрлэлийн улмаас) гаргаж эхэлсэн боловч хэсэг хугацааны дараа нэгэн эрдэмтний хэлснээр " Математик бүх тооноос алга болоход нарийн төвөгтэй байдлын дээд хязгаарт хүрсэн." "Дөрвөлжин язгуур" гэсэн ойлголт нь тооцооллын хавтгайгаас давж, эмпирик мэдээллээр амархан батлагдах боломжтой үед гарч ирэв.
Энэ бүхэн хаанаас эхэлсэн
Одоогийн байдлаар √ гэж тэмдэглэгдсэн язгуурын тухай анхны дурдлагыг орчин үеийн арифметикийн үндэс суурийг тавьсан Вавилоны математикчдын бүтээлд тэмдэглэсэн байдаг. Мэдээжийн хэрэг, тэдгээр нь одоогийн хэлбэртэй бага зэрэг төстэй байсан - тэр үеийн эрдэмтэд анх удаа том хэмжээтэй шахмал хэрэглэж байсан. Харин МЭӨ II мянганы үед. д. Тэд квадрат язгуурыг хэрхэн гаргаж авахыг харуулсан ойролцоогоор тооцооллын томъёог гаргаж авсан. Доорх зурган дээр Вавилоны эрдэмтэд √2-ыг хасах үйл явцыг сийлсэн чулууг харуулсан бөгөөд хариултын зөрүүг аравны бутархайн бутархайн дотор л илрүүлсэн нь маш зөв болсон.
Үүнээс гадна гурвалжны талыг олох шаардлагатай бол нөгөө хоёрыг нь мэддэг байсан бол үндэсийг ашигласан. За тэгээд квадрат тэгшитгэлийг шийдэхэд үндсийг нь гаргаж авахаас зугтах арга байхгүй.
Вавилоны бүтээлүүдийн зэрэгцээ уг өгүүллийн объектыг Хятадын "Есөн ном дахь математик" бүтээлд мөн судалсан бөгөөд эртний Грекчүүд язгуурыг үлдэгдэлгүйгээр гаргаж авах боломжгүй тоо нь үндэслэлгүй үр дүнг өгдөг гэсэн дүгнэлтэд хүрчээ. .
Энэ нэр томъёоны гарал үүсэл нь араб хэл дээрх тооны төлөөлөлтэй холбоотой: эртний эрдэмтэд дурын тооны квадрат нь ургамал шиг үндэснээс ургадаг гэж үздэг. Латин хэлээр энэ үг нь радикс шиг сонсогддог (та хэв маягийг мөрдөж болно - улаан лууван эсвэл радикулит гэх мэт "үндэс" гэсэн утгатай бүх зүйл гийгүүлэгч байдаг).
Дараагийн үеийн эрдэмтэд энэ санааг авч, Rx гэж тодорхойлсон. Жишээлбэл, 15-р зуунд дурын a тооны квадрат язгуурыг авсан гэдгийг харуулахын тулд R 2 a гэж бичжээ. Орчин үеийн нүдэнд танил болсон "хачиг" зөвхөн 17-р зуунд Рене Декартын ачаар гарч ирэв.
Бидний өдрүүд
Математикийн хувьд y тооны квадрат язгуур нь квадрат нь у-тай тэнцүү z тоо юм. Өөрөөр хэлбэл z 2 =y нь √y=z-тэй тэнцүү байна. Гэсэн хэдий ч энэ тодорхойлолтЭнэ нь илэрхийллийн сөрөг бус утгыг илэрхийлдэг тул зөвхөн арифметик язгуурт хамааралтай. Өөрөөр хэлбэл, √y=z, энд z нь 0-ээс их буюу тэнцүү байна.
Ерөнхийдөө, алгебрийн язгуурыг тодорхойлоход хамаарах илэрхийллийн утга нь эерэг эсвэл сөрөг байж болно. Ийнхүү z 2 =y ба (-z) 2 =y байдгаас бид: √y=±z эсвэл √y=|z|.
Шинжлэх ухаан хөгжихийн хэрээр математикт дурлах нь улам бүр нэмэгдсээр байгаа тул түүнийг хайрлах хайрын янз бүрийн илрэлүүд хуурай тооцоогоор илэрхийлэгдэхгүй байна. Жишээлбэл, Пи өдөр гэх мэт сонирхолтой үзэгдлүүдийн зэрэгцээ квадрат язгуурын баярыг тэмдэглэдэг. Зуун жил тутамд есөн удаа тэмдэглэдэг бөгөөд дараах зарчмын дагуу тодорхойлогддог: өдөр, сарыг дарааллаар нь харуулсан тоонууд нь жилийн квадрат язгуур байх ёстой. Тиймээс бид дараагийн удаа энэ баярыг 2016 оны 4-р сарын 4-ний өдөр тэмдэглэх болно.
R талбар дээрх квадрат язгуурын шинж чанарууд
Бараг бүх математикийн илэрхийллүүд дээр суурилдаг геометрийн суурь, энэ хувь тавилан нь y талбайтай квадратын тал гэж тодорхойлогддог √y-ээс зугтсангүй.
Тооны үндсийг хэрхэн олох вэ?
Хэд хэдэн тооцооллын алгоритмууд байдаг. Хамгийн энгийн, гэхдээ нэгэн зэрэг нэлээд төвөгтэй нь ердийн арифметик тооцоолол бөгөөд дараах байдалтай байна.
1) язгуур нь бидэнд хэрэгтэй тооноос сондгой тоог ээлжлэн хасна - гаралтын үлдэгдэл нь хасагдсанаас бага эсвэл бүр тэгтэй тэнцэх хүртэл. Хөдөлгөөний тоо эцэст нь хүссэн тоо болно. Жишээлбэл, 25-ын квадрат язгуурыг тооцоолох:
Дагаж байна сондгой тоо- энэ нь 11, үлдсэн нь дараах байдалтай байна: 1<11. Количество ходов - 5, так что корень из 25 равен 5. Вроде все легко и просто, но представьте, что придется вычислять из 18769?
Ийм тохиолдлын хувьд Тейлорын цуврал өргөтгөл байдаг:
√(1+y)=∑((-1) n (2n)!/(1-2n)(n!) 2 (4 n))y n , энд n нь 0-ээс утгыг авна
+∞ ба |y|≤1.
z=√y функцийн график дүрслэл
y нь тэгээс их буюу тэнцүү байх R бодит тоонуудын талбар дээр z=√y элементар функцийг авч үзье. Түүний хуваарь дараах байдалтай байна.
Муруй нь гарал үүслээс ургаж, цэгийг (1; 1) огтлох нь зайлшгүй юм.
R бодит тоонуудын талбар дээрх z=√y функцийн шинж чанарууд
1. Үзэж буй функцийн тодорхойлолтын муж нь тэгээс нэмэх хязгаар хүртэлх интервал юм (тэг орсон).
2. Харгалзаж буй функцийн утгын хүрээ нь тэгээс нэмэх хязгаар хүртэлх интервал юм (тэг дахин орсон).
3. Функц хамгийн бага утгыг (0) зөвхөн (0; 0) цэг дээр авна. Хамгийн дээд утга байхгүй.
4. z=√y функц тэгш сондгой ч биш.
5. z=√y функц нь үечилсэн биш.
6. z=√y функцийн графикийн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох ганц цэг байна: (0; 0).
7. z=√y функцийн графикийн огтлолцох цэг нь мөн энэ функцийн тэг юм.
8. z=√y функц тасралтгүй өсөж байна.
9. z=√y функц нь зөвхөн эерэг утгыг авдаг тул график нь координатын эхний өнцгийг эзэлдэг.
z=√y функцийг харуулах сонголтууд
Математикийн хувьд нарийн төвөгтэй илэрхийллийн тооцоог хөнгөвчлөхийн тулд квадрат язгуур бичих хүчний хэлбэрийг заримдаа ашигладаг: √y=y 1/2. Энэ сонголт нь жишээлбэл, функцийг хүчирхэг болгоход тохиромжтой: (√y) 4 =(y 1/2) 4 =y 2. Энэ арга нь интегралаар ялгах сайн дүрслэл юм, учир нь үүний ачаар квадрат язгуур нь ердийн хүчний функцээр илэрхийлэгддэг.
Мөн програмчлалд √ тэмдгийг орлуулах нь sqrt үсгийн хослол юм.
Тооцоолоход шаардлагатай ихэнх геометрийн томъёоны нэг хэсэг учраас квадрат язгуур нь энэ хэсэгт маш их эрэлт хэрэгцээтэй байгааг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тоолох алгоритм нь өөрөө нэлээд төвөгтэй бөгөөд рекурс (өөрийгөө дууддаг функц) дээр суурилдаг.
Цогцолбор талбар дахь квадрат язгуур C
Математикчдыг сөрөг тооны тэгш язгуурыг олж авах тухай асууж байсан тул ерөнхийдөө энэ өгүүллийн сэдэв нь C комплекс тоонуудын талбарыг нээхэд түлхэц болсон юм. Маш сонирхолтой шинж чанараараа тодорхойлогддог төсөөллийн i нэгж ингэж гарч ирэв: квадрат нь -1. Үүний ачаар квадрат тэгшитгэлийг сөрөг дискриминанттай ч шийдсэн. C хэл дээр R-тэй ижил шинж чанарууд нь квадрат язгуурт хамааралтай бөгөөд цорын ганц зүйл бол радикал илэрхийлэлд тавьсан хязгаарлалтыг арилгах явдал юм.
Та математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд сайн орохыг хүсч байна уу? Дараа нь та хурдан, зөв, тооны машингүй тоолох чадвартай байх хэрэгтэй. Эцсийн эцэст, математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд оноо алдах гол шалтгаан нь тооцооллын алдаа юм.
Улсын нэгдсэн шалгалтын дүрмийн дагуу математикийн шалгалтын үеэр тооны машин ашиглахыг хориглоно. Үнэ нь хэтэрхий өндөр байж магадгүй - шалгалтаас хасах.
Үнэн хэрэгтээ танд математикийн улсын нэгдсэн шалгалтанд тооны машин хэрэггүй. Үүнгүйгээр бүх асуудал шийдэгддэг. Хамгийн гол нь анхаарал, нарийвчлал, зарим нууц арга техникийг бид танд хэлэх болно.
Гол дүрмээс эхэлцгээе. Хэрэв тооцооллыг хялбарчлах боломжтой бол хялбаршуулна уу.
Жишээлбэл, "чөтгөрийн тэгшитгэл" энд байна:
Төгсөгчдийн 70 хувь нь үүнийг шууд шийддэг. Тэд томъёог ашиглан ялгаварлагчийг тооцдог бөгөөд үүний дараа тооцоолуургүйгээр үндсийг гаргаж авах боломжгүй гэж хэлдэг. Гэхдээ та тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг хувааж болно. Энэ нь бүтэх болно
Аль арга нь илүү хялбар вэ? :-)
Олон сургуулийн сурагчид багана үржүүлэхэд дургүй байдаг. Дөрөвдүгээр ангид уйтгартай "жишээ" шийдвэрлэх нь хэнд ч таалагдаагүй. Гэсэн хэдий ч ихэнх тохиолдолд "багана"гүйгээр тоонуудыг дараалан үржүүлэх боломжтой байдаг. Энэ нь хамаагүй хурдан юм.
Бид жижиг цифрүүдээс эхэлдэггүй, харин том тоогоор эхэлдэг гэдгийг анхаарна уу. Энэ нь тухтай.
Одоо - хуваагдал. "Багананд" хуваах нь амаргүй. Гэхдээ хуваах тэмдэг: ба бутархай тэмдэг нь ижил зүйл гэдгийг санаарай. Үүнийг бутархай хэлбэрээр бичиж, бутархайг багасгая:
Өөр нэг жишээ.
Хоёр оронтой тоог хэрхэн хурдан, ямар ч баганагүйгээр квадрат болгох вэ? Бид үржүүлэх товчилсон томъёог ашигладаг:
Заримдаа өөр томъёог ашиглах нь тохиромжтой байдаг:
-ээр төгссөн тоонууд шууд квадрат болно.
Бид тооны квадратыг олох хэрэгтэй гэж бодъё ( - заавал тоо биш, ямар ч натурал тоо). Бид үржүүлж үр дүнд нь нэмнэ. Бүгд!
Жишээ нь: (болон хамааралтай).
(мөн холбоотой).
(мөн холбоотой).
Энэ арга нь зөвхөн квадрат болгоход төдийгүй -ээр төгссөн тоонуудын язгуурыг авахад тустай.
Хэрхэн тооцоолуургүйгээр квадрат язгуурыг гаргаж авах вэ? Бид танд хоёр арга зааж өгөх болно.
Эхний арга нь радикал илэрхийллийг хүчин зүйл болгон хуваах явдал юм.
Жишээлбэл, олъё
Тоо нь хуваагддаг (түүний цифрүүдийн нийлбэр нь -д хуваагддаг тул). Хүчин зүйлд тооцъё:
Олъё л доо. Энэ тоо нь -д хуваагддаг. Энэ нь бас хуваагддаг. Үүнийг ялгаж салгая.
Өөр нэг жишээ.
Хоёрдахь арга бий. Үндэсийг гаргаж авах шаардлагатай тоог хүчин зүйлээр тооцох боломжгүй бол тохиромжтой.
Жишээлбэл, та олох хэрэгтэй. Үндэс дор байгаа тоо нь сондгой, хуваагддаггүй, хуваагддаггүй, хуваагддаггүй... Та юунд хуваагддагийг үргэлжлүүлэн хайж болно, эсвэл үүнийг хялбархан хийж болно - энэ язгуурыг сонгох замаар олоорой. .
Мэдээжийн хэрэг, хоёр оронтой тоо квадрат байсан бөгөөд энэ нь тоонуудын хооронд, , оноос хойш, , тоо нь тэдгээрийн хооронд байна. Бид хариултын эхний цифрийг аль хэдийн мэддэг, энэ нь .
Тооны сүүлийн орон нь . Учир нь , , хариултын сүүлчийн орон нь аль эсвэл , эсвэл . Шалгацгаая:
. Боллоо!
Олъё л доо.
Энэ нь хариултын эхний орон нь тав гэсэн үг юм.
Тооны сүүлчийн орон нь ес юм. , . Энэ нь хариултын сүүлчийн орон нь аль эсвэл , эсвэл гэсэн үг юм.
Шалгацгаая:
Хэрэв язгуурыг гаргаж авах шаардлагатай тоо нь эсвэл -ээр төгссөн бол түүний квадрат язгуур нь иррационал тоо болно. Учир нь бүхэл тоон квадрат эсвэл -ээр төгсдөггүй. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын зарим асуудлын хариултыг бүхэл тоо эсвэл эцсийн аравтын бутархай хэлбэрээр бичих ёстой, өөрөөр хэлбэл оновчтой тоо байх ёстой гэдгийг санаарай.
Бид квадрат тэгшитгэлтэй Улсын нэгдсэн шалгалтын бодлого, хувилбарууд, түүнчлэн хэсэг хэсгүүдэд тулгардаг. Тэд ялгагчийг тоолж, дараа нь үндсийг нь гаргаж авах хэрэгтэй. Таван оронтой тооноос үндэс хайх шаардлагагүй. Ихэнх тохиолдолд ялгаварлагчийг хүчин зүйлээр ангилж болно.
Жишээлбэл, Eq.
Үндэс дор байгаа илэрхийллийг хүчин зүйлээр ангилж болох өөр нэг нөхцөл байдлыг асуудлаас авсан болно.
Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз нь тэнцүү, нэг хөл нь тэнцүү, хоёр дахь хөлийг ол.
Пифагорын теоремоор энэ нь тэнцүү байна. Та багананд удаан хугацаагаар тоолж болно, гэхдээ товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглах нь илүү хялбар байдаг.
Одоо бид танд хамгийн сонирхолтой зүйлийг хэлэх болно - яагаад төгсөгчид Улсын нэгдсэн шалгалтанд үнэ цэнэтэй оноогоо алддаг вэ? Эцсийн эцэст, тооцооллын алдаа зүгээр л тохиолддоггүй.
1 . Оноо алдах найдвартай арга бол ямар нэг зүйлийг засч залруулсан, зураастай эсвэл нэг тоог нөгөө дээр нь бичсэн болхи тооцоолол юм. Өөрийн ноорогуудыг хараарай. Магадгүй тэд адилхан харагдаж байна уу? :-)
Гаргацтай бичээрэй! Цаасан дээр битгий харамлаарай. Хэрэв ямар нэг зүйл буруу байвал нэг дугаарыг өөр тоогоор засаж болохгүй, дахин бичих нь дээр.
2. Зарим нэг шалтгааны улмаас олон сургуулийн сурагчид баганаар тоолохдоо 1) маш, маш хурдан, 2) маш цөөн тоогоор, дэвтэрийнхээ буланд, 3) харандаагаар хийхийг хичээдэг. Үр дүн нь:
Юуг ч салгах боломжгүй. Тэгэхээр Улсын нэгдсэн шалгалтын оноо төсөөлж байснаас доогуур гарсанд гайхах зүйл байна уу?
3. Олон сургуулийн сурагчид хэллэг дэх хашилтыг үл тоомсорлодог. Заримдаа ийм зүйл тохиолддог:
Тэнцүү тэмдгийг хаана ч биш, зөвхөн тэнцүү утгын хооронд байрлуулна гэдгийг санаарай. Ноорог хэлбэрээр ч гэсэн чадварлаг бичээрэй.
4 . Асар их тооны тооцооллын алдаа нь бутархайтай холбоотой байдаг. Хэрэв та бутархайг бутархайд хувааж байгаа бол юуг ашиглана уу
Энд "гамбургер", өөрөөр хэлбэл олон давхар бутархай зурсан байна. Энэ аргыг ашиглан зөв хариултыг олоход маш хэцүү байдаг.
Дүгнэж хэлье.
Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын профайлын эхний хэсгийн даалгаврыг шалгах нь автоматаар хийгддэг. Энд "бараг зөв" хариулт алга. Нэг бол түүний зөв эсвэл буруу. Тооцооллын нэг алдаа - сайн уу, даалгавар тооцохгүй. Тиймээс хурдан, зөв, тооны машингүйгээр тоолж сурах нь таны сонирхол юм.
Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын профайлын хоёрдугаар хэсгийн даалгаврыг шинжээч шалгана. Түүнийг халамжил! Түүнд таны гар бичмэл болон шийдвэрийн логикийг хоёуланг нь ойлгоорой.