Энэ нийтлэлийн тухай юм хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох (GCD)хоёр ба түүнээс дээш тоо. Эхлээд Евклидийн алгоритмыг харцгаая, энэ нь танд хоёр тооны gcd-ийг олох боломжийг олгодог. Үүний дараа бид тоонуудын gcd-ийг нийтлэг анхны хүчин зүйлийн үржвэр болгон тооцоолох аргад анхаарлаа хандуулах болно. Дараа нь бид гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох, мөн сөрөг тоонуудын gcd-ийг тооцоолох жишээг өгөх болно.
Хуудасны навигаци.
GCD олох Евклидийн алгоритм
Хэрэв бид анхнаасаа анхны тоонуудын хүснэгтэд хандсан бол 661 ба 113 тоонууд нь анхны тоонууд болохыг олж мэдэх байсан бөгөөд үүнээс бид тэдний хамгийн том нь гэдгийг шууд хэлж чадна гэдгийг анхаарна уу. нийтлэг хуваагч 1-тэй тэнцүү.
Хариулт:
GCD(661, 113)=1 .
Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар GCD-ийг олох
GCD олох өөр аргыг авч үзье. Хамгийн том нийтлэг хуваагчийг тоонуудыг анхны үржүүлэгч болгон хуваах замаар олж болно. Дүрмийг томъёолъё: a ба b тооны эерэг бүхэл тоонуудын gcd нь a ба b тоонуудын анхны үржүүлэхэд олдсон бүх нийтлэг анхны хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна..
GCD-ийг олох дүрмийг тайлбарлах жишээг өгье. 220 ба 600 тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлахыг бидэнд мэдэгдье, тэдгээр нь 220=2·2·5·11 ба 600=2·2·2·3·5·5 хэлбэртэй байна. 220 ба 600 тоонуудын хүчин зүйлүүдэд хамаарах нийтлэг анхны хүчин зүйлүүд нь 2, 2, 5 юм. Иймд GCD(220, 600)=2·2·5=20.
Тиймээс, хэрэв бид a, b тоог анхны хүчин зүйл болгон хувааж, тэдгээрийн бүх нийтлэг хүчин зүйлийн үржвэрийг олбол, энэ нь a, b тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох болно.
Заасан дүрмийн дагуу GCD-ийг олох жишээг авч үзье.
Жишээ.
72 ба 96 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг ол.
Шийдэл.
72 ба 96 тоонуудыг анхны үржүүлэгчид болгон авч үзье. 
Энэ нь 72=2·2·2·3·3 ба 96=2·2·2·2·2·3 гэсэн үг. Нийтлэг анхны хүчин зүйлүүд нь 2, 2, 2, 3 юм. Тиймээс gcd(72, 96)=2·2·2·3=24.
Хариулт:
GCD(72, 96)=24 .
Энэ хэсгийн төгсгөлд GCD-ийг олох дээрх дүрмийн хүчин төгөлдөр байдал нь хамгийн их нийтлэг хуваагчийн өмчөөс хамаарна гэдгийг бид тэмдэглэж байна. GCD(m a 1 , m b 1)=m GCD(a 1 , b 1), энд m нь эерэг бүхэл тоо юм.
Гурав ба түүнээс дээш тооны gcd-г олох
Гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох нь хоёр тооны gcd-ийг дараалан олох хүртэл бууруулж болно. GCD-ийн шинж чанарыг судлахдаа бид үүнийг дурдсан. Тэнд бид теоремыг томъёолж, нотолсон: a 1, a 2, …, a k гэсэн хэд хэдэн тооны хамгийн том нийтлэг хуваагч. тоотой тэнцүү байна d k , GCD(a 1 , a 2)=d 2 , GCD(d 2 , a 3)=d 3 , GCD(d 3 , a 4)=d 4 , …, GCD(d k)-ийг дараалан тооцоолох замаар олно. - 1 , a k)=d k .
Хэд хэдэн тооны gcd-г олох үйл явц ямар байхыг жишээний шийдлээс харцгаая.
Жишээ.
78, 294, 570, 36 гэсэн дөрвөн тооны хамгийн том нийтлэг хүчин зүйлийг ол.
Шийдэл.
Энэ жишээнд a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36 байна.
Эхлээд Евклидийн алгоритмыг ашиглан эхний хоёр тооны 78 ба 294-ийн хамгийн том нийтлэг хуваагч d 2-ыг тодорхойлно. Хуваахдаа бид 294 = 78 3 + 60 тэгшитгэлийг авна; 78=60·1+18 ; 60=18·3+6 ба 18=6·3. Тиймээс d 2 =GCD(78, 294)=6.
Одоо тооцоолъё d 3 =GCD(d 2, a 3)=GCD(6, 570). Евклидийн алгоритмыг дахин хэрэглэе: 570=6·95, тиймээс d 3 = GCD(6, 570)=6.
Тооцоолох л үлдлээ d 4 =GCD(d 3, a 4)=GCD(6, 36). 36 нь 6-д хуваагддаг тул d 4 = GCD(6, 36) = 6 болно.
Ийнхүү өгөгдсөн дөрвөн тооны хамгийн том нийтлэг хуваагч нь d 4 =6, өөрөөр хэлбэл gcd(78, 294, 570, 36)=6 байна.
Хариулт:
GCD(78, 294, 570, 36)=6 .
Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах нь гурав ба түүнээс дээш тооны gcd-ийг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Энэ тохиолдолд хамгийн их нийтлэг хуваагч нь өгөгдсөн тооны бүх нийтлэг анхны хүчин зүйлийн үржвэрээр олддог.
Жишээ.
Өмнөх жишээн дээрх тоонуудын gcd-ийг үндсэн хүчин зүйлчлэлийг ашиглан тооцоол.
Шийдэл.
78, 294, 570, 36 тоонуудыг анхны үржүүлэгчид болговол 78=2·3·13, 294=2·3·7·7, 570=2·3·5·19, 36=2·2 болно. ·3· 3. Эдгээр дөрвөн тооны нийтлэг анхны хүчин зүйлүүд нь 2 ба 3 тоо юм. Тиймээс, GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
Доор үзүүлсэн материал нь LCM - хамгийн бага нийтлэг үржвэр, тодорхойлолт, жишээ, LCM ба GCD хоорондын холболт гэсэн өгүүллийн онолын логик үргэлжлэл юм. Энд бид ярих болно хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох (LCM), Мөн Онцгой анхааралЖишээнүүдийг шийдвэрлэхэд анхаарлаа хандуулцгаая. Эхлээд бид эдгээр тоонуудын GCD-г ашиглан хоёр тооны LCM-ийг хэрхэн тооцоолохыг харуулах болно. Дараа нь бид тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олохыг харна. Үүний дараа бид гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олоход анхаарлаа төвлөрүүлэхээс гадна сөрөг тоонуудын LCM-ийг тооцоолоход анхаарлаа хандуулах болно.
Хуудасны навигаци.
GCD-ээр дамжуулан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) тооцоолох
Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох нэг арга нь LCM болон GCD хоорондын хамаарал дээр суурилдаг. Одоо байгаа холболт LCM болон GCD-ийн хоорондох хамгийн том нийтлэг хуваагчийг ашиглан хоёр эерэг бүхэл тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Холбогдох томъёо нь байна LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Өгөгдсөн томьёо ашиглан LCM-ийг олох жишээг авч үзье.
Жишээ.
126 ба 70 гэсэн хоёр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.
Шийдэл.
Энэ жишээнд a=126 , b=70 . Томъёогоор илэрхийлсэн LCM ба GCD хоёрын холболтыг ашиглацгаая LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Өөрөөр хэлбэл, эхлээд бид 70 ба 126 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох хэрэгтэй бөгөөд үүний дараа бид эдгээр тоонуудын LCM-ийг бичсэн томъёогоор тооцоолж болно.
GCD(126, 70)-г Евклидийн алгоритмаар олъё: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, тиймээс GCD(126, 70)=14.
Одоо бид шаардлагатай хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олно: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
Хариулт:
LCM(126, 70)=630 .
Жишээ.
LCM(68, 34) нь юутай тэнцүү вэ?
Шийдэл.
Учир нь 68 нь 34-т хуваагддаг бол GCD(68, 34)=34. Одоо бид хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолно: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Хариулт:
LCM(68, 34)=68 .
Өмнөх жишээ нь эерэг бүхэл тоон a ба b-ийн LCM-ийг олох дараах дүрэмд нийцэж байгааг анхаарна уу: хэрэв a тоо b-д хуваагддаг бол эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь a байна.
Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар LCM-ийг олох
Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох өөр нэг арга бол тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваах явдал юм. Хэрэв та өгөгдсөн тооны бүх анхны хүчин зүйлээс бүтээгдэхүүн зохиож, дараа нь өгөгдсөн тоонуудын өргөтгөлд байгаа бүх нийтлэг анхны хүчин зүйлсийг энэ бүтээгдэхүүнээс хасвал үр дүн нь өгөгдсөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү байх болно. .
LCM-ийг олох дүрэм нь тэгш байдлаас хамаарна LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Үнэн хэрэгтээ, a ба b тоонуудын үржвэр нь a ба b тоог тэлэх бүх хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна. Хариуд нь GCD(a, b) нь a ба b тоонуудын тэлэлтэд нэгэн зэрэг байгаа бүх анхны хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна (тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон өргөжүүлэх замаар GCD-ийг олох хэсэгт тайлбарласны дагуу).
Нэг жишээ хэлье. 75=3·5·5 ба 210=2·3·5·7 гэдгийг бидэнд мэдэгдье. Эдгээр тэлэлтийн бүх хүчин зүйлээс үржвэрийг бүтээцгээе: 2·3·3·5·5·5·7 . Одоо энэ бүтээгдэхүүнээс бид 75-ын тоо болон 210-ын тэлэлтийн аль алинд нь байгаа бүх хүчин зүйлийг хасч (ийм хүчин зүйлүүд нь 3 ба 5), дараа нь бүтээгдэхүүн 2·3·5·5·7 хэлбэрийг авна. . Энэ бүтээгдэхүүний утга нь 75 ба 210-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
Жишээ.
441 ба 700 тоонуудыг анхны үржүүлэгч болгон үржүүлж эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.
Шийдэл.
441 ба 700 тоонуудыг анхны үржүүлэгчид болгон авч үзье.
Бид 441=3·3·7·7 ба 700=2·2·5·5·7 болно.
Одоо 2·2·3·3·5·5·7·7·7 гэсэн тоонуудыг өргөжүүлэхэд оролцсон бүх хүчин зүйлсээс үржвэр зохиоё. Энэ бүтээгдэхүүнээс хоёр өргөтгөлд нэгэн зэрэг байгаа бүх хүчин зүйлийг хасъя (зөвхөн нэг ийм хүчин зүйл байдаг - энэ нь 7 тоо): 2·2·3·3·5·5·7·7. Тиймээс, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Хариулт:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар LCM-ийг олох дүрмийг арай өөрөөр томъёолж болно. Хэрэв b тооны тэлэлтээс дутуу байгаа хүчин зүйлсийг a тооны тэлэлтийн хүчин зүйлүүд дээр нэмбэл, үүссэн бүтээгдэхүүний утга нь a ба b тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү байх болно..
Жишээлбэл, ижил тооны 75 ба 210 тоонуудыг авч үзье, тэдгээрийн анхны үржүүлэгчид задрал нь дараах байдалтай байна: 75=3·5·5 ба 210=2·3·5·7. 75-ын тооны тэлэлтээс 3, 5, 5-р хүчин зүйлүүд дээр бид 210-ын тоог тэлэхээс дутуу байгаа 2, 7-г нэмбэл 2·3·5·5·7 үржвэрийг олж авна. LCM(75, 210)-тай тэнцүү.
Жишээ.
84 ба 648-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.
Шийдэл.
Бид эхлээд 84 ба 648 тоонуудын задралыг анхны хүчин зүйл болгон авдаг. Тэдгээр нь 84=2·2·3·7 ба 648=2·2·2·3·3·3·3 шиг харагдаж байна. 84 тооны тэлэлтээс 2, 2, 3, 7-р хүчин зүйлүүд дээр бид 648 тооны тэлэлтээс дутуу байгаа 2, 3, 3, 3 хүчин зүйлийг нэмж, 2 2 2 3 3 3 3 7 үржвэрийг олж авна. Энэ нь 4 536-тай тэнцүү байна. Тиймээс 84 ба 648-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 4536 байна.
Хариулт:
LCM(84, 648)=4,536 .
Гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олох
Гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг хоёр тооны LCM-ийг дараалан олох замаар олж болно. Гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олох боломжийг олгодог харгалзах теоремыг эргэн санацгаая.
Теорем.
a 1 , a 2 , …, a k эерэг бүхэл тоонуудыг өгье. m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) -ийг дараалан тооцож эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр m k-г олно. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Дөрвөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох жишээн дээр энэ теоремын хэрэглээг авч үзье.
Жишээ.
140, 9, 54, 250 гэсэн дөрвөн тооны LCM-ийг ол.
Шийдэл.
Энэ жишээнд a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250 байна.
Эхлээд бид олдог m 2 = LOC(a 1, a 2) = LOC(140, 9). Үүнийг хийхийн тулд Евклидийн алгоритмыг ашиглан бид GCD(140, 9)-ийг тодорхойлж, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, тиймээс GCD(140, 9)=1 , хаанаас GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Энэ нь m 2 =1 260 байна.
Одоо бид олдог m 3 = LOC (m 2, a 3) = LOC (1 260, 54). Үүнийг GCD(1 260, 54)-ээр тооцоолъё, үүнийг бид мөн Евклидийн алгоритмыг ашиглан тодорхойлно: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Дараа нь gcd(1,260, 54)=18, үүнээс gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780 болно. Энэ нь m 3 =3 780 гэсэн үг юм.
Зөвхөн олох л үлдлээ m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Үүний тулд бид GCD(3,780, 250)-ийг Евклидийн алгоритмаар олно: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Тиймээс GCM(3,780, 250)=10, үүнээс GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Энэ нь m 4 =94,500 гэсэн үг юм.
Тэгэхээр анхны дөрвөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 94,500 байна.
Хариулт:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
Ихэнх тохиолдолд өгөгдсөн тоонуудын анхны үржвэрүүдийг ашиглан гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох нь тохиромжтой байдаг. Энэ тохиолдолд та дараах дүрмийг баримтлах хэрэгтэй. Хэд хэдэн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь үржвэртэй тэнцүү бөгөөд энэ нь дараах байдлаар бүрдэнэ: хоёр дахь тооны тэлэлтээс дутуу хүчин зүйлүүд нь эхний тооны тэлэлтээс бүх хүчин зүйл дээр нэмэгдэнэ. Гурав дахь тоог үр дүнгийн хүчин зүйлс дээр нэмдэг гэх мэт.
Анхны үржвэрлэлтийн аргыг ашиглан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох жишээг авч үзье.
Жишээ.
84, 6, 48, 7, 143 гэсэн таван тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.
Шийдэл.
Эхлээд бид эдгээр тоонуудын задралыг анхны хүчин зүйл болгон авдаг: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 нь анхны тоо, давхцаж байна) анхны хүчин зүйлүүдэд задралын хамт) ба 143=11·13.
Эдгээр тоонуудын LCM-ийг олохын тулд эхний тооны 84-ийн хүчин зүйлүүд (тэдгээр нь 2, 2, 3, 7) дээр хоёр дахь 6-ын тэлэлтээс дутуу хүчин зүйлсийг нэмэх хэрэгтэй. Эхний тооны 84-ийн задралд 2 ба 3 хоёулаа аль хэдийн байгаа тул 6-ын тооны задралд дутуу хүчин зүйл агуулаагүй болно. Дараа нь 2, 2, 3, 7-р хүчин зүйлүүд дээр бид 48-р гурав дахь тооны тэлэлтээс дутуу байгаа 2, 2-р хүчин зүйлсийг нэмж, 2, 2, 2, 2, 3, 7 гэсэн хүчин зүйлсийн багцыг авна. Дараагийн алхамд энэ олонлогт үржүүлэгч нэмэх шаардлагагүй, учир нь 7 нь аль хэдийн агуулагдсан байна. Эцэст нь 2, 2, 2, 2, 3, 7-р хүчин зүйлүүд дээр бид 143-ын тэлэлтээс дутуу байгаа 11, 13-ыг нэмнэ. Бид 2·2·2·2·3·7·11·13 үржвэрийг авдаг бөгөөд энэ нь 48,048-тай тэнцүү байна.
Гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох нь хоёр тооны gcd-ийг дараалан олох хүртэл бууруулж болно. GCD-ийн шинж чанарыг судлахдаа бид үүнийг дурдсан. Тэнд бид хэд хэдэн тооны хамгийн том нийтлэг хуваагч гэсэн теоремыг томъёолж, нотолсон a 1 , a 2 , …, a kтоотой тэнцүү байна dk, дараалсан тооцоогоор олно GCD(a 1 , a 2)=d 2, GCD(d 2 , a 3)=d 3, GCD(d 3 , a 4)=d 4, …,GCD(d k-1 , a k)=d k.
Хэд хэдэн тооны gcd-г олох үйл явц ямар байхыг жишээний шийдлээс харцгаая.
Жишээ.
Дөрвөн тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг ол 78 , 294 , 570 Тэгээд 36 .
Шийдэл.
Энэ жишээнд a 1 =78, a 2 =294, a 3 =570, a 4 =36.
Эхлээд Евклидийн алгоритмыг ашиглан бид хамгийн том нийтлэг хуваагчийг тодорхойлно г 2эхний хоёр тоо 78 Тэгээд 294 . Хуваахдаа бид тэгш байдлыг олж авдаг 294=78 3+60; 78=60 1+18;60=18·3+6Тэгээд 18=6·3. Тиймээс, d 2 =GCD(78, 294)=6.
Одоо тооцоолъё d 3 =GCD(d 2, a 3)=GCD(6, 570). Евклидийн алгоритмыг дахин ашиглая: 570=6·95, тиймээс, d 3 =GCD(6, 570)=6.
Тооцоолох л үлдлээ d 4 =GCD(d 3, a 4)=GCD(6, 36). Учир нь 36 хуваасан 6 , Тэр d 4 =GCD(6, 36)=6.
Тиймээс өгөгдсөн дөрвөн тооны хамгийн том нийтлэг хуваагч нь байна d 4 =6, тэр бол, GCD(78, 294, 570, 36)=6.
Хариулт:
GCD(78, 294, 570, 36)=6.
Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах нь гурав ба түүнээс дээш тооны gcd-ийг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Энэ тохиолдолд хамгийн их нийтлэг хуваагч нь өгөгдсөн тооны бүх нийтлэг анхны хүчин зүйлийн үржвэрээр олддог.
Жишээ.
Өмнөх жишээн дээрх тоонуудын gcd-ийг үндсэн хүчин зүйлчлэлийг ашиглан тооцоол.
Шийдэл.
Тоонуудыг задалж үзье 78 , 294 , 570 Тэгээд 36 үндсэн хүчин зүйлээр бид авдаг 78=2·3·13,294=2·3·7·7, 570=2 3 5 19, 36=2·2·3·3. Өгөгдсөн бүх дөрвөн тооны нийтлэг анхны хүчин зүйлүүд нь тоонууд юм 2 Тэгээд 3 . Тиймээс, GCD(78, 294, 570, 36)=2·3=6.
Хариулт:
GCD(78, 294, 570, 36)=6.
Хуудасны дээд талд
Сөрөг тооны gcd-г олох
Хэрэв хамгийн их хуваагчийг олох тоонуудын нэг, хэд хэдэн эсвэл бүх тоо нь сөрөг тоо байвал тэдгээрийн gcd нь эдгээр тоонуудын модулийн хамгийн их нийтлэг хуваагчтай тэнцүү байна. Энэ нь эсрэг талын тоотой холбоотой юм аТэгээд −aхуваагдах шинж чанарыг судлахдаа бидний ярилцсанчлан ижил хуваагчтай байна.
Жишээ.
Сөрөг бүхэл тоонуудын gcd-г ол −231 Тэгээд −140 .
Шийдэл.
Тооны үнэмлэхүй утга −231 тэнцүү байна 231 , мөн тооны модуль −140 тэнцүү байна 140 , Мөн GCD(−231, −140)=GCD(231, 140). Евклидийн алгоритм нь дараах тэгш байдлыг өгдөг. 231=140 1+91; 140=91 1+49; 91=49 1+42; 49=42 1+7Тэгээд 42=7 6. Тиймээс, GCD(231, 140)=7. Дараа нь сөрөг тоонуудын хүссэн хамгийн их нийтлэг хуваагч байна −231 Тэгээд −140 тэнцүү байна 7 .
Хариулт:
GCD(−231, −140)=7.
Жишээ.
Гурван тооны gcd-г тодорхойл −585 , 81 Тэгээд −189 .
Шийдэл.
Хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олохдоо сөрөг тоог тэдгээрийн үнэмлэхүй утгуудаар сольж болно, өөрөөр хэлбэл, GCD(−585, 81, −189)=GCD(585, 81, 189). Тооны өргөтгөлүүд 585 , 81 Тэгээд 189 үндсэн хүчин зүйл болгон хувиргах хэлбэртэй байна 585=3·3·5·13, 81=3·3·3·3Тэгээд 189=3·3·3·7. Эдгээр гурван тооны нийтлэг анхны хүчин зүйлүүд нь 3 Тэгээд 3 . Дараа нь GCD(585, 81, 189)=3·3=9, тиймээс, GCD(−585, 81, −189)=9.
Хариулт:
GCD(−585, 81, −189)=9.
35. Олон гишүүнтийн үндэс. Безутын теорем. (33 ба түүнээс дээш)
36. Олон үндэс, олон язгуурын шалгуур.
a ба b тоонуудыг үлдэгдэлгүйгээр хуваах хамгийн том натурал тоог гэнэ хамгийн том нийтлэг хуваагчэдгээр тоонууд. GCD(a, b) гэж тэмдэглэнэ.
Хоёрын жишээг ашиглан GCD-г олох талаар бодож үзье натурал тоонууд 18 ба 60:
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
18 = 2×3×3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
324 , 111 Тэгээд 432
Тоонуудыг анхдагч хүчин зүйл болгон авч үзье:
324 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 3
111 = 3×37
432 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
Хоёр, гурав дахь тоонд байхгүй хүчин зүйлүүд нь эхний тооноос хасаад бид дараахь зүйлийг авна.
2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = 3
Үүний үр дүнд GCD( 324 , 111 , 432 )=3
Евклидийн алгоритм ашиглан GCD олох
Хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох хоёр дахь арга бол ашиглах явдал юм Евклидийн алгоритм. Евклидийн алгоритм нь хамгийн их үр дүнтэй аргаолох GCD, үүнийг ашигласнаар та хуваах тоонуудын үлдэгдлийг байнга олж, хэрэглэх хэрэгтэй давтагдах томъёо.
Дахин давтагдах томъёо GCD-ийн хувьд, GCD(a, b)=GCD(b, a mod b), a mod b нь b-д хуваагдсан а-ын үлдэгдэл юм.
Евклидийн алгоритм
Жишээ Тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг ол 7920 Тэгээд 594
GCD-г олцгооё( 7920 , 594 ) Евклидийн алгоритмыг ашиглан бид тооны машин ашиглан хуваалтын үлдэгдлийг тооцоолох болно.
- 7920 мод 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 мод 198 = 594 – 3 × 198 = 0
Үүний үр дүнд бид GCD( 7920 , 594 ) = 198
Хамгийн бага нийтлэг үржвэр
олохын тулд Ерөнхий хуваарьбутархайг нэмэх, хасах үед өөр өөр хуваагчмэдэж, тооцоолох чадвартай байх хэрэгтэй хамгийн бага нийтлэг үржвэр(NOK).
“a” тооны үржвэр нь өөрөө “a” тоонд үлдэгдэлгүй хуваагддаг тоог хэлнэ.
8-ын үржвэртэй тоонууд (өөрөөр хэлбэл эдгээр тоонууд нь 8-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг): эдгээр нь 16, 24, 32...
9-ийн үржвэр: 18, 27, 36, 45...
Ижил тооны хуваагчаас ялгаатай нь өгөгдсөн a тооны хязгааргүй олон үржвэр байдаг. Хязгаарлагдмал тооны хуваагч байдаг.
Хоёр натурал тооны нийтлэг үржвэр нь эдгээр тоонуудын аль алинд нь хуваагдах тоог хэлнэ..
Хамгийн бага нийтлэг үржвэрХоёр ба түүнээс дээш натурал тооны (LCM)-ийг хамгийн бага натурал тоо гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ тоо нь өөрөө эдгээр тоо бүрт хуваагддаг.
NOC хэрхэн олох вэ
LCM-ийг хоёр аргаар олж бичиж болно.
LOC олох эхний арга
Энэ аргыг ихэвчлэн цөөн тоогоор ашигладаг.
- Бид хоёр тоонд ижил үржвэр олох хүртлээ тоо бүрийн үржвэрийг нэг мөрөнд бичнэ.
- “a” тооны олон тоог “K” том үсгээр тэмдэглэнэ.
Жишээ. LCM 6 ба 8-ыг ол.
LOC олох хоёр дахь арга
Гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олохын тулд энэ аргыг ашиглахад тохиромжтой.
Тоонуудыг задлахад ижил хүчин зүйлсийн тоо өөр байж болно.
LCM(24, 60) = 2 2 3 5 2
Хариулт: LCM (24, 60) = 120
Та мөн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) олохыг дараах байдлаар албан ёсоор болгож болно. LOC (12, 16, 24) -ийг олъё.
24 = 2 2 2 3
Тоонуудын задралаас харахад 12-ын бүх хүчин зүйлүүд 24-ийн задралд (тоонуудын хамгийн том нь) багтдаг тул 16-ын задралаас зөвхөн нэг 2-ыг LCM-д нэмнэ.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Хариулт: LCM (12, 16, 24) = 48
ҮОХ олох онцгой тохиолдлууд
Жишээлбэл, LCM (60, 15) = 60
Нэгэнт л харилцан холбоотой анхны тоонууднийтлэг анхны хүчин зүйл байхгүй бол тэдгээрийн хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь эдгээр тоонуудын үржвэртэй тэнцүү байна.
Манай вэбсайтаас та тусгай тооны машин ашиглан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг онлайнаар олох боломжтой бөгөөд тооцоогоо шалгах боломжтой.
Хэрэв натурал тоо зөвхөн 1 болон өөртөө хуваагддаг бол түүнийг анхны тоо гэнэ.
Аливаа натурал тоо үргэлж 1 болон өөртөө хуваагддаг.
2 тоо нь хамгийн жижиг анхны тоо юм. Энэ бол цорын ганц тэгш анхны тоо, бусад анхны тоо нь сондгой байна.
Олон тооны анхны тоо байдаг бөгөөд тэдгээрийн эхнийх нь 2 тоо юм. Гэхдээ сүүлийн анхны тоо байхгүй. "Судлах" хэсэгт та 997 хүртэлх анхны тооны хүснэгтийг татаж авах боломжтой.
Гэхдээ олон натурал тоонууд бусад натурал тоонд хуваагддаг.
- 12-ын тоо нь 1, 2, 3, 4, 6, 12-т хуваагддаг;
- 36 тоо нь 1-д, 2-т, 3-т, 4-т, 6-д, 12-т, 18-д, 36-д хуваагдана.
- тооны хуваагчдыг анхны хүчин зүйл болгон задлах;
Тоо бүхэлд хуваагддаг тоонуудыг (12-ын хувьд эдгээр нь 1, 2, 3, 4, 6, 12) тоог хуваагч гэж нэрлэдэг.
Натурал тооны хуваагч нь а натурал тоог хуваадаг өгсөн дугаар"a" үлдэгдэлгүй.
Хоёроос дээш хуваагчтай натурал тоог нийлмэл тоо гэнэ.
12 ба 36 тоо нь нийтлэг хүчин зүйлтэй болохыг анхаарна уу. Эдгээр тоонууд нь: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Эдгээр тоонуудын хамгийн том хуваагч нь 12 байна.
Өгөгдсөн "a" ба "b" хоёр тооны нийтлэг хуваагч нь өгөгдсөн "a" болон "b" тоонуудыг хоёуланг нь үлдэгдэлгүйгээр хуваах тоо юм.
Хамгийн том нийтлэг хуваагч(GCD) өгөгдсөн хоёр тооны “a” ба “b” байна хамгийн их тоо, үүгээр “a” болон “b” тоо хоёулаа үлдэгдэлгүйгээр хуваагдана.
Товчхондоо “a” ба “b” тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг дараах байдлаар бичнэ.:
Жишээ нь: gcd (12; 36) = 12.
Шийдлийн бичлэг дэх тоо хуваагчдыг том "D" үсгээр тэмдэглэнэ.
7 ба 9 тоонууд нь зөвхөн нэг нийтлэг хуваагчтай байдаг - 1 тоо. Ийм тоонуудыг дууддаг харьцуулах тоо.
Тоонуудыг харьцуулах- эдгээр нь зөвхөн нэг нийтлэг хуваагчтай натурал тоонууд юм - 1 тоо. Тэдний gcd нь 1 байна.
Хамгийн том нийтлэг хуваагчийг хэрхэн олох вэ
Хоёр ба түүнээс дээш натурал тооны gcd-г олохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:
Босоо баар ашиглан тооцоо бичих нь тохиромжтой. Мөрийн зүүн талд бид эхлээд ногдол ашгийг, баруун талд - хуваагчийг бичнэ. Дараа нь зүүн баганад бид координатуудын утгыг бичнэ.
Үүнийг нэн даруй жишээгээр тайлбарлая. 28 ба 64-ийн тоог анхны үржүүлэгч болгон авч үзье.
- Бид хоёр тоон дээр ижил үндсэн хүчин зүйлийг онцолж байна.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Ижил анхдагч хүчин зүйлсийн үржвэрийг олж, хариултыг бичнэ үү;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Хариулт: GCD (28; 64) = 4
Та GCD-ийн байршлыг хоёр аргаар албан ёсоор гаргаж болно: баганад (дээр дурдсанчлан) эсвэл "эгнэн".
GCD бичих эхний арга
gcd 48 ба 36-г олоорой.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
gcd бичих хоёр дахь арга
Одоо GCD хайлтын шийдлийг мөрөнд бичье. gcd 10 ба 15-ыг олоорой.
Манай мэдээллийн сайт дээр та тооцоогоо шалгахын тулд хамгийн том нийтлэг хуваагч онлайн туслахыг ашиглаж болно.
Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох арга, LCM олох жишээ.
Доор үзүүлсэн материал нь LCM - хамгийн бага нийтлэг үржвэр, тодорхойлолт, жишээ, LCM ба GCD хоорондын холболт гэсэн өгүүллийн онолын логик үргэлжлэл юм. Энд бид ярих болно хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох (LCM), мөн бид жишээнүүдийг шийдвэрлэхэд онцгой анхаарал хандуулах болно. Эхлээд бид эдгээр тоонуудын GCD-г ашиглан хоёр тооны LCM-ийг хэрхэн тооцоолохыг харуулах болно. Дараа нь бид тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олохыг харна. Үүний дараа бид гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олоход анхаарлаа төвлөрүүлэхээс гадна сөрөг тоонуудын LCM-ийг тооцоолоход анхаарлаа хандуулах болно.
Хуудасны навигаци.
GCD-ээр дамжуулан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) тооцоолох
Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох нэг арга нь LCM болон GCD хоорондын хамаарал дээр суурилдаг. LCM болон GCD хоёрын хоорондох одоо байгаа холболт нь мэдэгдэж буй хамгийн их нийтлэг хуваагчаар дамжуулан хоёр эерэг бүхэл тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолох боломжийг бидэнд олгодог. Холбогдох томъёо нь байна LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Өгөгдсөн томьёо ашиглан LCM-ийг олох жишээг авч үзье.
126 ба 70 гэсэн хоёр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.
Энэ жишээнд a=126 , b=70 . LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) томъёогоор илэрхийлсэн LCM болон GCD хоорондын холболтыг ашиглая. Өөрөөр хэлбэл, эхлээд бид 70 ба 126 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох хэрэгтэй бөгөөд үүний дараа бид эдгээр тоонуудын LCM-ийг бичсэн томъёогоор тооцоолж болно.
GCD(126, 70)-г Евклидийн алгоритмаар олъё: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, тиймээс GCD(126, 70)=14.
Одоо бид шаардлагатай хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг оллоо: LCM(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
LCM(68, 34) нь юутай тэнцүү вэ?
68 нь 34-т хуваагддаг тул GCD(68, 34)=34 болно. Одоо бид хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолно: LCM(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Өмнөх жишээ нь эерэг бүхэл тоо a болон b-ийн LCM-ийг олох дараах дүрэмд нийцэж байгааг анхаарна уу: хэрэв a нь b-д хуваагддаг бол эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь a байна.
Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар LCM-ийг олох
Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох өөр нэг арга бол тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваах явдал юм. Хэрэв та өгөгдсөн тооны бүх анхны хүчин зүйлээс бүтээгдэхүүн зохиож, дараа нь өгөгдсөн тоонуудын өргөтгөлд байгаа бүх нийтлэг анхны хүчин зүйлсийг энэ бүтээгдэхүүнээс хасвал үр дүн нь өгөгдсөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү байх болно. .
LCM-ийг олох дүрэм нь LCM(a, b)=a·b:GCD(a, b) тэгшитгэлээс хамаарна. Үнэн хэрэгтээ, a ба b тоонуудын үржвэр нь a ба b тоог тэлэх бүх хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна. Хариуд нь GCD(a, b) нь a ба b тоонуудын тэлэлтэд нэгэн зэрэг байгаа бүх анхны хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна (тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон өргөжүүлэх замаар GCD-ийг олох хэсэгт тайлбарласны дагуу).
Нэг жишээ хэлье. 75=3·5·5 ба 210=2·3·5·7 гэдгийг бидэнд мэдэгдье. Эдгээр тэлэлтийн бүх хүчин зүйлээс үржвэрийг бүтээцгээе: 2·3·3·5·5·5·7 . Одоо энэ бүтээгдэхүүнээс бид 75 тоо болон 210 тоо тэлэх (эдгээр хүчин зүйлүүд нь 3 ба 5) хоёуланд нь байгаа бүх хүчин зүйлийг хасч, дараа нь бүтээгдэхүүн 2 · 3 · 5 · 5 · 7 хэлбэрийг авна. . Энэ бүтээгдэхүүний утга нь 75 ба 210 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү буюу LCM(75, 210)= 2·3·5·5·7=1050 байна.
441 ба 700 тоонуудыг анхны үржүүлэгч болгон үржүүлж эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.
441 ба 700 тоонуудыг анхны үржүүлэгчид болгон авч үзье. 
Бид 441=3·3·7·7 ба 700=2·2·5·5·7 болно.
Одоо 2·2·3·3·5·5·7·7·7 гэсэн тоонуудыг өргөжүүлэхэд оролцсон бүх хүчин зүйлсээс үржвэр зохиоё. Энэ бүтээгдэхүүнээс хоёр өргөтгөлд нэгэн зэрэг байгаа бүх хүчин зүйлийг хасъя (зөвхөн нэг ийм хүчин зүйл байдаг - энэ нь 7 тоо): 2·2·3·3·5·5·7·7. Ийнхүү LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100 .
NOC(441, 700)= 44 100 .
Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар LCM-ийг олох дүрмийг арай өөрөөр томъёолж болно. Хэрэв b тооны тэлэлтийн үр дүнд алга болсон хүчин зүйлсийг a тооны тэлэлтийн хүчин зүйлүүд дээр нэмбэл, үүссэн бүтээгдэхүүний утга нь a ба b тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү байна.
Жишээлбэл, ижил тооны 75 ба 210 тоонуудыг авч үзье, тэдгээрийн анхны үржүүлэгчид задрал нь дараах байдалтай байна: 75=3·5·5 ба 210=2·3·5·7. 75-ын тооны тэлэлтээс 3, 5, 5-р хүчин зүйлүүд дээр бид 210-ын тоог тэлэхээс дутуу байгаа 2, 7-г нэмбэл 2·3·5·5·7 үржвэрийг олж авна. LCM(75, 210)-тай тэнцүү.
84 ба 648-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.
Бид эхлээд 84 ба 648 тоонуудын задралыг анхны хүчин зүйл болгон авдаг. Тэдгээр нь 84=2·2·3·7 ба 648=2·2·2·3·3·3·3 шиг харагдаж байна. 84 тооны тэлэлтээс 2, 2, 3, 7-р хүчин зүйлүүд дээр бид 648 тооны тэлэлтээс дутуу байгаа 2, 3, 3, 3 хүчин зүйлийг нэмж, 2 2 2 3 3 3 3 7 үржвэрийг олж авна. Энэ нь 4 536-тай тэнцүү байна. Тиймээс 84 ба 648-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 4536 байна.
Гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олох
Гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг хоёр тооны LCM-ийг дараалан олох замаар олж болно. Гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олох боломжийг олгодог харгалзах теоремыг эргэн санацгаая.
a 1 , a 2 , …, a k эерэг бүхэл тоонуудыг өгье. m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) -ийг дараалан тооцож эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр m k-г олно. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Дөрвөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох жишээн дээр энэ теоремын хэрэглээг авч үзье.
140, 9, 54, 250 гэсэн дөрвөн тооны LCM-ийг ол.
Эхлээд бид m 2 = LCM(a 1 , a 2) = LCM(140, 9) -ийг олно. Үүнийг хийхийн тулд Евклидийн алгоритмыг ашиглан бид GCD(140, 9)-ийг тодорхойлж, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, тиймээс GCD(140, 9)=1, үүнээс LCM(140, 9)=140·9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Энэ нь m 2 =1 260 байна.
Одоо бид m 3 = LCM(m 2, a 3) = LCM(1 260, 54)-ийг оллоо. Үүнийг GCD(1 260, 54)-ээр тооцоолъё, үүнийг бид мөн Евклидийн алгоритмыг ашиглан тодорхойлно: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Дараа нь gcd(1,260, 54)=18, үүнээс gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780 болно. Энэ нь m 3 =3 780 гэсэн үг юм.
m 4 = LCM(m 3, a 4) = LCM(3 780, 250) -ийг олоход л үлддэг. Үүний тулд бид GCD(3,780, 250)-ийг Евклидийн алгоритмаар олно: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Тиймээс GCD(3,780, 250)=10, үүнээс GCD(3,780, 250)= 3,780·250:GCD(3,780, 250)= 3,780·250:10=94,500 байна. Энэ нь m 4 =94,500 гэсэн үг юм.
Тэгэхээр анхны дөрвөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 94,500 байна.
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500 .
Ихэнх тохиолдолд өгөгдсөн тоонуудын анхны үржвэрүүдийг ашиглан гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох нь тохиромжтой байдаг. Энэ тохиолдолд та дараах дүрмийг баримтлах хэрэгтэй. Хэд хэдэн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь үржвэртэй тэнцүү бөгөөд энэ нь дараах байдлаар бүрдэнэ: хоёр дахь тооны тэлэлтээс дутуу хүчин зүйлүүд нь эхний тооны тэлэлтээс бүх хүчин зүйл дээр нэмэгдэнэ. Гурав дахь тоог үр дүнгийн хүчин зүйлс дээр нэмдэг гэх мэт.
Анхны үржвэрлэлтийн аргыг ашиглан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох жишээг авч үзье.
84, 6, 48, 7, 143 гэсэн таван тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.
Эхлээд бид эдгээр тоонуудын задралыг анхны хүчин зүйл болгон авдаг: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 нь анхны тоо, давхцаж байна) анхны хүчин зүйлүүдэд задралын хамт) ба 143=11·13.
Эдгээр тоонуудын LCM-ийг олохын тулд эхний тооны 84-ийн хүчин зүйлүүд (тэдгээр нь 2, 2, 3, 7) дээр хоёр дахь 6-ын тэлэлтээс дутуу хүчин зүйлсийг нэмэх хэрэгтэй. Эхний тооны 84-ийн задралд 2 ба 3 хоёулаа аль хэдийн байгаа тул 6-ын тооны задралд дутуу хүчин зүйл агуулаагүй болно. Дараа нь 2, 2, 3, 7-р хүчин зүйлүүд дээр бид 48-р гурав дахь тооны тэлэлтээс дутуу байгаа 2, 2-р хүчин зүйлсийг нэмж, 2, 2, 2, 2, 3, 7 гэсэн хүчин зүйлсийн багцыг авна. Дараагийн алхамд энэ олонлогт үржүүлэгч нэмэх шаардлагагүй, учир нь 7 нь аль хэдийн агуулагдсан байна. Эцэст нь 2, 2, 2, 2, 3, 7-р хүчин зүйлүүд дээр бид 143-ын тэлэлтээс дутуу байгаа 11, 13-ыг нэмнэ. Бид 2·2·2·2·3·7·11·13 үржвэрийг авдаг бөгөөд энэ нь 48,048-тай тэнцүү байна.
Тиймээс LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048.
LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48,048 .
Сөрөг тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох
Заримдаа нэг, хэд хэдэн эсвэл бүх тоо сөрөг байдаг тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох шаардлагатай даалгавар байдаг. Эдгээр тохиолдолд бүх сөрөг тоог эсрэг тоогоор нь сольж, эерэг тоонуудын LCM-ийг олох шаардлагатай. Энэ бол сөрөг тоонуудын LCM-ийг олох арга юм. Жишээ нь, LCM(54, −34) = LCM(54, 34) ба LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .
a-ийн үржвэрийн олонлог нь −a-ийн үржвэрийн олонлогтой ижил (a ба −a нь эсрэг тоонууд) учраас бид үүнийг хийж чадна. Үнэхээр b нь a-ийн зарим үржвэр байг, тэгвэл b нь а-д хуваагддаг ба хуваагдах тухай ойлголт нь b=a·q байх бүхэл q тоо байгааг илэрхийлдэг. Гэхдээ b=(−a)·(−q) тэгшитгэл нь бас үнэн байх бөгөөд энэ нь хуваагдах ижил ойлголтын улмаас b нь −a-д хуваагддаг, өөрөөр хэлбэл b нь −a-ийн үржвэр юм. Мөн эсрэгээр нь үнэн: хэрэв b нь −a-ын зарим үржвэр бол b нь мөн a-ийн үржвэр болно.
−145 ба −45 сөрөг тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.
−145 ба −45 сөрөг тоог 145 ба 45 гэсэн эсрэг тоогоор сольъё. Бидэнд LCM(−145, −45) = LCM(145, 45) байна. GCD(145, 45)=5 (жишээ нь, Евклидийн алгоритмыг ашиглан) гэж тодорхойлсны дараа бид GCM(145, 45)=145·45:GCD(145, 45)= 145·45:5=1 305-ыг тооцоолно. Тиймээс −145 ба −45 сөрөг бүхэл тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 1305 байна.
www.cleverstudents.ru
Бид хэлтэст үргэлжлүүлэн суралцаж байна. IN энэ хичээлгэх мэт ойлголтуудыг авч үзэх болно GCDТэгээд ҮОХ.
GCDнь хамгийн том нийтлэг хуваагч юм.
ҮОХхамгийн бага нийтлэг үржвэр юм.
Энэ сэдэв нэлээд уйтгартай, гэхдээ та үүнийг ойлгох хэрэгтэй. Энэ сэдвийг ойлгохгүйгээр та математикийн бодит саад болох бутархайтай үр дүнтэй ажиллах боломжгүй болно.
Хамгийн том нийтлэг хуваагч
Тодорхойлолт. Тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч аТэгээд б аТэгээд бүлдэгдэлгүйгээр хуваагдана.
Энэ тодорхойлолтыг сайн ойлгохын тулд хувьсагчдыг орлуулж үзье аТэгээд бхувьсагчийн оронд дурын хоёр тоо, жишээ нь аХувьсагчийн оронд 12-ын тоог орлуулъя бдугаар 9. Одоо энэ тодорхойлолтыг уншихыг хичээцгээе.
Тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч 12 Тэгээд 9 хамгийн их тоо юм 12 Тэгээд 9 үлдэгдэлгүйгээр хуваагдана.
Тодорхойлолтоос харахад бид 12 ба 9 тоонуудын нийтлэг хуваагчийн тухай ярьж байгаа бөгөөд энэ хуваагч нь одоо байгаа бүх хуваагчдаас хамгийн том нь юм. Энэ хамгийн том нийтлэг хуваагчийг (GCD) олох шаардлагатай.
Хоёр тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олохын тулд гурван аргыг ашигладаг. Эхний арга нь нэлээд хөдөлмөр их шаарддаг боловч энэ нь сэдвийн мөн чанарыг тодорхой ойлгож, бүрэн утгыг нь мэдрэх боломжийг олгодог.
Хоёр ба гурав дахь аргууд нь маш энгийн бөгөөд GCD-ийг хурдан олох боломжтой болгодог. Бид бүх гурван аргыг авч үзэх болно. Мөн алийг нь практикт ашиглах нь таны сонголтоос хамаарна.
Эхний арга нь хоёр тооны бүх боломжит хуваагчийг олж, хамгийн томыг нь сонгох явдал юм. Энэ аргыг авч үзье дараах жишээ: 12 ба 9 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг ол.
Эхлээд бид 12-ын бүх хуваагчдыг олох болно. Үүнийг хийхийн тулд бид 12-ыг 1-ээс 12 хүртэлх бүх хуваагчдад хуваана. Хэрэв хуваагч нь 12-ыг үлдэгдэлгүйгээр хуваахыг зөвшөөрвөл бид үүнийг дараах хэсэгт тодруулна. хөх ба хаалтанд тохирох тайлбарыг хийнэ үү.
12: 1 = 12
(12-ыг 1-д үлдэгдэлгүй хуваах нь 1 нь 12-ын хуваагч гэсэн үг)
12: 2 = 6
(12 нь үлдэгдэлгүйгээр 2-т хуваагдана, энэ нь 2 нь 12-ын тоог хуваагч гэсэн үг)
12: 3 = 4
(12 нь 3-т үлдэгдэлгүй хуваагдана. Энэ нь 3 нь 12-ын хуваагч гэсэн үг)
12: 4 = 3
(12 нь 4-т үлдэгдэлгүй хуваагдана. Энэ нь 4 нь 12-ын хуваагч гэсэн үг)
12: 5 = 2 (2 үлдсэн)
(12 нь үлдэгдэлгүйгээр 5-д хуваагддаггүй, энэ нь 5 нь 12-ын тоог хуваагч биш гэсэн үг)
12: 6 = 2
(12 нь 6-д үлдэгдэлгүй хуваагдана, энэ нь 6 нь 12-ын хуваагч гэсэн үг)
12: 7 = 1 (5 үлдэгдэл)
(12 нь үлдэгдэлгүйгээр 7-д хуваагддаггүй, энэ нь 7 нь 12-ын тоог хуваагч биш гэсэн үг)
12: 8 = 1 (4 үлдэгдэл)
(12 нь үлдэгдэлгүйгээр 8-д хуваагддаггүй, энэ нь 8 нь 12-ын хуваагч биш гэсэн үг)
12: 9 = 1 (3 үлдэгдэл)
(12 нь үлдэгдэлгүйгээр 9-д хуваагддаггүй, энэ нь 9 нь 12-ын тоог хуваагч биш гэсэн үг)
12: 10 = 1 (2 үлдэгдэл)
(12 нь үлдэгдэлгүйгээр 10-д хуваагддаггүй, энэ нь 10 нь 12-ын тоог хуваагч биш гэсэн үг)
12: 11 = 1 (1 үлдэгдэл)
(12 нь үлдэгдэлгүйгээр 11-д хуваагддаггүй, энэ нь 11 нь 12-ын хуваагч биш гэсэн үг)
12: 12 = 1
(12 нь үлдэгдэлгүйгээр 12-т хуваагдана, энэ нь 12 нь 12-ын тоог хуваагч гэсэн үг)
Одоо 9 тооны хуваагчдыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд 1-ээс 9 хүртэлх бүх хуваагчийг шалгана уу.
9: 1 = 9
(9-ийг 1-д үлдэгдэлгүй хуваана. Энэ нь 1 нь 9-ийн хуваагч гэсэн үг)
9: 2 = 4 (1 үлдэгдэл)
(9 нь үлдэгдэлгүйгээр 2-т хуваагддаггүй, энэ нь 2 нь 9-ийн хуваагч биш гэсэн үг)
9: 3 = 3
(9 нь 3-т үлдэгдэлгүй хуваагдана, энэ нь 3 нь 9-ийн хуваагч гэсэн үг)
9: 4 = 2 (1 үлдэгдэл)
(9 нь үлдэгдэлгүйгээр 4-т хуваагддаггүй, энэ нь 4 нь 9-ийн хуваагч биш гэсэн үг)
9: 5 = 1 (4 үлдэгдэл)
(9 нь 5-д үлдэгдэлгүй хуваагдахгүй, энэ нь 5 нь 9-ийн хуваагч биш гэсэн үг)
9: 6 = 1 (3 үлдэгдэл)
(9 нь 6-д үлдэгдэлгүй хуваагдахгүй, энэ нь 6 нь 9-ийн хуваагч биш гэсэн үг)
9: 7 = 1 (2 үлдэгдэл)
(9 нь үлдэгдэлгүйгээр 7-д хуваагддаггүй, энэ нь 7 нь 9-ийн хуваагч биш гэсэн үг)
9: 8 = 1 (1 үлдэгдэл)
(9 нь үлдэгдэлгүйгээр 8-д хуваагддаггүй, энэ нь 8 нь 9-ийн хуваагч биш гэсэн үг юм)
9: 9 = 1
(9 нь 9-д үлдэгдэлгүй хуваагдана. Энэ нь 9 нь 9-ийн хуваагч гэсэн үг)
Одоо хоёр тооны хуваагчийг бичье. Цэнхэрээр тодруулсан тоонууд нь хуваагч юм. Тэднийг бичье:
Хуваагчдыг бичээд аль нь хамгийн том, хамгийн түгээмэл болохыг шууд тодорхойлох боломжтой.
Тодорхойлолтоор бол 12 ба 9 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч нь 12 ба 9-ийг үлдэгдэлгүйгээр хуваадаг тоо юм. 12 ба 9 тоонуудын хамгийн том бөгөөд нийтлэг хуваагч нь 3 тоо юм
12 ба 9 тоо хоёулаа 3-т үлдэгдэлгүй хуваагдана:
Тиймээс gcd (12 ба 9) = 3
GCD олох хоёр дахь арга
Одоо хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох хоёр дахь аргыг авч үзье. Мөн чанар энэ аргаЭнэ нь хоёр тоог анхны хүчин зүйл болгон хувааж, нийтлэгийг үржүүлэх явдал юм.
Жишээ 1. 24 ба 18 тоонуудын gcd-г ол
Эхлээд хоёр тоог хоёуланг нь анхны хүчин зүйл болгон авч үзье.
Одоо тэдний нийтлэг хүчин зүйлсийг үржүүлье. Төөрөгдөлөөс зайлсхийхийн тулд нийтлэг хүчин зүйлсийг онцолж болно.
Бид 24-ийн тооны тэлэлтийг хардаг. Түүний эхний хүчин зүйл нь 2. Бид 18-ын тоог тэлэхэд мөн адил хүчин зүйлийг хайж, тэнд бас байгааг хардаг. Бид хоёрыг хоёуланг нь онцолж байна:
Бид 24-ийн тооны тэлэлтийг дахин харлаа. Түүний хоёр дахь хүчин зүйл нь мөн 2. Бид 18-ын тоог өргөтгөхөд ижил хүчин зүйлийг хайж, хоёр дахь удаагаа энэ нь байхгүй болохыг харж байна. Дараа нь бид юу ч онцолдоггүй.
24-ийн тоог өргөтгөхөд дараагийн хоёр нь 18-ын тоог өргөтгөхөд бас байхгүй.
24-ийн тоог тэлэхэд хамгийн сүүлийн хүчин зүйл рүү шилжье.Энэ бол 3-р хүчин зүйл. 18-ын тоог тэлэхдээ мөн адил хүчин зүйлийг хайж олоход энэ нь бас байгааг хардаг. Бид гурвыг хоёуланг нь онцолж байна:
Тиймээс 24 ба 18 тоонуудын нийтлэг хүчин зүйлүүд нь 2 ба 3-р хүчин зүйлүүд юм. GCD-ийг авахын тулд эдгээр хүчин зүйлсийг үржүүлэх шаардлагатай:
Тиймээс gcd (24 ба 18) = 6
GCD олох гурав дахь арга
Одоо хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох гурав дахь аргыг харцгаая. Энэ аргын мөн чанар нь хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох тоог анхны хүчин зүйл болгон задалдагт оршино. Дараа нь эхний тооны өргөтгөлөөс хоёр дахь тооны өргөтгөлд ороогүй хүчин зүйлсийг хасна. Эхний өргөтгөлийн үлдсэн тоонуудыг үржүүлж, GCD-ийг олж авна.
Жишээлбэл, энэ аргыг ашиглан 28 ба 16 тоонуудын GCD-г олъё. Юуны өмнө бид эдгээр тоонуудыг үндсэн хүчин зүйл болгон задалдаг.
Бид хоёр өргөтгөлийг олж авсан: ба
Одоо эхний тооны задралаас бид хоёр дахь тооны задралд ороогүй хүчин зүйлсийг устгах болно. Хоёрдахь тооны өргөтгөлд долоог оруулаагүй болно. Үүнийг эхний өргөтгөлөөс хасъя:
Одоо бид үлдсэн хүчин зүйлсийг үржүүлж, GCD-г авна.
4 тоо нь 28 ба 16 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч юм. Эдгээр тоо хоёулаа 4-т үлдэгдэлгүй хуваагдана:
Жишээ 2. 100 ба 40 тоонуудын gcd-г ол
100-ын тоог хүчинжүүлэх
40-ийн тоог нэмэх
Бид хоёр өргөтгөлтэй болсон:
Одоо эхний тооны задралаас бид хоёр дахь тооны задралд ороогүй хүчин зүйлсийг устгах болно. Хоёрдахь тооны өргөтгөл нь нэг тавыг оруулаагүй (зөвхөн нэг тав байна). Үүнийг эхний өргөтгөлөөс хасъя
Үлдсэн тоог үржүүлье:
Бид 20 гэсэн хариултыг хүлээн авлаа. Энэ нь 20 тоо нь 100 ба 40 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч гэсэн үг. Эдгээр хоёр тоо 20-д үлдэгдэлгүй хуваагдана:
GCD (100 ба 40) = 20.
Жишээ 3. 72 ба 128 тоонуудын gcd-г ол
72 тоог хүчин зүйлээр тооцно
128 тоог хүчин зүйлээр тооцно
2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Одоо эхний тооны задралаас бид хоёр дахь тооны задралд ороогүй хүчин зүйлсийг устгах болно. Хоёрдахь тооны өргөтгөл нь хоёр гурвыг агуулдаггүй (тэдгээр нь огт байхгүй). Эхний өргөтгөлөөс тэдгээрийг хасъя:
Бид 8 гэсэн хариултыг авсан. Энэ нь 8 тоо нь 72 ба 128 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч гэсэн үг юм. Эдгээр хоёр тоо 8-д үлдэгдэлгүй хуваагдана:
GCD (72 ба 128) = 8
Хэд хэдэн тоогоор GCD хайж байна
Хамгийн их нийтлэг хуваагчийг зөвхөн хоёр биш хэд хэдэн тоогоор олж болно. Үүний тулд хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох тоонуудыг анхны үржүүлэгчид болгон задалж, дараа нь эдгээр тоонуудын нийтлэг анхны үржвэрийн үржвэрийг олно.
Жишээлбэл, 18, 24, 36 тоонуудын GCD-г олъё
18-ын тоог үржвэрлэе
24-ийн тоог үржвэрлэе
36 тоог үржвэрлэе
Бид гурван өргөтгөлтэй болсон:
Одоо эдгээр тоон дахь нийтлэг хүчин зүйлсийг онцолж, доогуур зурцгаая. Нийтлэг хүчин зүйл нь бүх гурван тоонд харагдах ёстой:
18, 24, 36 тоонуудын нийтлэг хүчин зүйлүүд нь 2 ба 3 гэсэн хүчин зүйлүүд болохыг бид харж байна. Эдгээр хүчин зүйлсийг үржүүлснээр бид хайж буй gcd-г авна.
Бид 6 гэсэн хариултыг хүлээн авлаа. Энэ нь 6 тоо нь 18, 24, 36 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч гэсэн үг. Эдгээр гурван тоо 6-д үлдэгдэлгүй хуваагдана:
GCD (18, 24 ба 36) = 6
Жишээ 2. 12, 24, 36, 42 тоонуудын GCD-г ол
Тоо бүрийг анхдагч хүчин зүйл болгон авч үзье. Дараа нь бид эдгээр тоонуудын нийтлэг хүчин зүйлийн үржвэрийг олно.
12-ын тоог үржвэрлэе
42-ын тоог үржвэрлэе
Бид дөрвөн өргөтгөлтэй болсон:
Одоо эдгээр тоон дахь нийтлэг хүчин зүйлсийг онцолж, онцлон тэмдэглэе. Нийтлэг хүчин зүйлүүд нь бүх дөрвөн тоонд харагдах ёстой:
12, 24, 36, 42 тоонуудын нийтлэг хүчин зүйлүүд нь 2 ба 3-ын хүчин зүйлүүд болохыг бид харж байна. Эдгээр хүчин зүйлсийг хамтад нь үржүүлснээр бидний хайж буй gcd гарч ирнэ:
Бид 6 гэсэн хариултыг хүлээн авлаа. Энэ нь 6 тоо нь 12, 24, 36, 42 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч гэсэн үг юм. Эдгээр тоонууд нь 6-д үлдэгдэлгүй хуваагдана:
GCD (12, 24, 36 ба 42) = 6
Өмнөх хичээлээс бид хэрэв тоог нөгөө тоонд үлдэгдэлгүй хуваавал энэ тооны үржвэр гэж нэрлэдэг болохыг бид мэднэ.
Эндээс харахад хэд хэдэн тоо нийтлэг үржвэртэй байж болно. Одоо бид хоёр тооны үржвэрийг сонирхож байгаа бөгөөд энэ нь аль болох бага байх ёстой.
Тодорхойлолт. Хамгийн бага нийтлэг олон тоо (LCM). аТэгээд б- аТэгээд б аболон тоо б.
Тодорхойлолт нь хоёр хувьсагчийг агуулна аТэгээд б. Эдгээр хувьсагчийн оронд дурын хоёр тоог орлуулъя. Жишээлбэл, хувьсагчийн оронд аХувьсагчийн оронд 9-ийн тоог орлуулъя б 12-ын тоог орлуулъя. Одоо тодорхойлолтыг уншихыг оролдъё:
Хамгийн бага нийтлэг олон тоо (LCM). 9 Тэгээд 12 - Энэ хамгийн бага тоо, энэ нь олон тоо юм 9 Тэгээд 12 . Өөрөөр хэлбэл, энэ нь тоонд үлдэгдэлгүй хуваагдах ийм бага тоо юм 9 болон тоогоор 12 .
Тодорхойлолтоос LCM нь 9 ба 12-т үлдэгдэлгүй хуваагддаг хамгийн бага тоо болох нь тодорхой байна.
Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) олохын тулд та хоёр аргыг ашиглаж болно. Эхний арга бол та хоёр тооны эхний үржвэрийг бичиж, дараа нь эдгээр үржвэрүүдийн дундаас жижиг болон нийтлэг тоонд тохирох тоог сонгох явдал юм. Энэ аргыг хэрэглээд үзье.
Юуны өмнө 9-ийн эхний үржвэрийг олъё. 9-ийн үржвэрийг олохын тулд энэ есийг 1-ээс 9 хүртэлх тоогоор нэг нэгээр нь үржүүлэх хэрэгтэй. Үр дүнд нь 9-ийн үржвэрүүд гарна. Тэгэхээр, эхэлцгээе. Бид улаан өнгөөр олон тоог тодруулах болно:
Одоо бид 12-ын үржвэрийг олно.Үүний тулд 12-ыг 1-ээс 12 хүртэлх бүх тоогоор нэг нэгээр нь үржүүлнэ.
Гэхдээ олон натурал тоонууд бусад натурал тоонд хуваагддаг.
Жишээлбэл:
12-ын тоо нь 1, 2, 3, 4, 6, 12-т хуваагддаг;
36 тоо нь 1-д, 2-т, 3-т, 4-т, 6-д, 12-т, 18-д, 36-д хуваагдана.
Тоо нь бүхэлд хуваагддаг тоонуудыг (12-ын хувьд эдгээр нь 1, 2, 3, 4, 6, 12) гэж нэрлэдэг. тоо хуваагч. Натурал тооны хуваагч а- өгөгдсөн тоог хуваах натурал тоо юм аул мөргүй. Хоёроос илүү хуваагчтай натурал тоог дуудна нийлмэл. 12 ба 36 тоо нь нийтлэг хүчин зүйлтэй болохыг анхаарна уу. Эдгээр тоонууд нь: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Эдгээр тоонуудын хамгийн том хуваагч нь 12 байна.
Өгөгдсөн хоёр тооны нийтлэг хуваагч аТэгээд б- энэ нь өгөгдсөн тоог хоёуланг нь үлдэгдэлгүйгээр хуваах тоо юм аТэгээд б. Хэд хэдэн тооны нийтлэг хуваагч (GCD)нь тус бүрийн хувьд хуваагч болдог тоо юм.
Тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч аТэгээд бингэж бичнэ үү:
Жишээ: GCD (12; 36) = 12.
Шийдлийн бичлэг дэх тоо хуваагчдыг том "D" үсгээр тэмдэглэнэ.
Жишээ:
GCD (7; 9) = 1
7 ба 9 тоонууд нь зөвхөн нэг нийтлэг хуваагчтай байдаг - тоо 1. Ийм тоонуудыг дууддаг харилцан ашигтайчи слами.
Тоонуудыг харьцуулах- эдгээр нь зөвхөн нэг нийтлэг хуваагчтай натурал тоонууд - тоо 1. Тэдний gcd нь 1 байна.
Хамгийн их нийтлэг хуваагч (GCD), шинж чанарууд.
- Үндсэн өмч: хамгийн том нийтлэг хуваагч мТэгээд nЭдгээр тоонуудын аль ч нийтлэг хуваагчд хуваагдана. Жишээ: 12 ба 18 тоонуудын хувьд хамгийн их нийтлэг хуваагч нь 6; Энэ нь эдгээр тоонуудын бүх нийтлэг хуваагчдад хуваагдана: 1, 2, 3, 6.
- Үр дүн 1: нийтлэг хуваагчдын багц мТэгээд n GCD хуваагчийн багцтай давхцаж байна( м, n).
- Үр дүн 2: нийтлэг үржвэрийн олонлог мТэгээд nолон LCM-ийн багцтай давхцаж байна ( м, n).
Энэ нь ялангуяа бутархайг бууруулж болшгүй хэлбэрт оруулахын тулд түүний тоо болон хуваагчийг gcd-д нь хуваах хэрэгтэй гэсэн үг юм.
- Тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч мТэгээд nбүх шугаман хослолуудын багцын хамгийн бага эерэг элемент гэж тодорхойлж болно.
тиймээс үүнийг тоонуудын шугаман хослолоор илэрхийлнэ мТэгээд n:
Энэ харьцааг нэрлэдэг Безутын харилцаа, ба коэффициентүүд уТэгээд v — Безоутын коэффициентүүд. Bezout коэффициентийг өргөтгөсөн Евклидийн алгоритмаар үр ашигтайгаар тооцдог. Энэхүү мэдэгдэл нь натурал тооны олонлогийг ерөнхийд нь илэрхийлдэг - түүний утга нь олонлогоос үүсгэгдсэн бүлгийн дэд бүлэг нь цикл бөгөөд нэг элементээр үүсгэгддэг: GCD ( а 1 , а 2 , … , a n).
Хамгийн их нийтлэг хуваагчийг (GCD) тооцоол.
Хоёр тооны gcd-ийг тооцоолох үр дүнтэй арга Евклидийн алгоритмТэгээд хоёртыналгоритм. Үүнээс гадна gcd-ийн утга ( м,n) тоонуудын каноник тэлэлт мэдэгдэж байгаа бол амархан тооцоолж болно мТэгээд nүндсэн хүчин зүйлүүдэд:
хаана нь ялгаатай анхны тоо, мөн сөрөг бус бүхэл тоо (харгалзах анхны тоо өргөтгөлд байхгүй бол тэг байж болно). Дараа нь GCD ( м,n) болон NOC ( м,n) дараах томъёогоор илэрхийлэгдэнэ.
Хэрэв хоёроос олон тоо байвал: , тэдгээрийн gcd-ийг дараах алгоритмыг ашиглан олно.
- энэ бол хүссэн GCD юм.
Мөн олохын тулд хамгийн том нийтлэг хуваагч, та өгөгдсөн тоо тус бүрийг анхны хүчин зүйл болгон хувааж болно. Дараа нь зөвхөн өгөгдсөн бүх тоонд багтсан хүчин зүйлсийг тусад нь бичнэ үү. Дараа нь бид бичсэн тоонуудыг хамтад нь үржүүлдэг - үржүүлгийн үр дүн нь хамгийн том нийтлэг хуваагч юм. .
Хамгийн их нийтлэг хуваагчийн тооцоог алхам алхмаар авч үзье.
1. Тооны хуваагчийг анхны үржүүлэгчид задлаарай.
Босоо баар ашиглан тооцоо бичих нь тохиромжтой. Мөрийн зүүн талд бид эхлээд ногдол ашгийг, баруун талд - хуваагчийг бичнэ. Дараа нь зүүн баганад бид координатуудын утгыг бичнэ. Үүнийг нэн даруй жишээгээр тайлбарлая. 28 ба 64-ийн тоог анхны үржүүлэгч болгон авч үзье.
2. Бид хоёр тоонд ижил анхны хүчин зүйлийг онцлон тэмдэглэв.
28 = 2 . 2 . 7
64 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2
3. Ижил анхны хүчин зүйлийн үржвэрийг олоод хариултыг бич.
gcd (28; 64) = 2. 2 = 4
Хариулт: GCD (28; 64) = 4
Та GCD-ийн байршлыг хоёр аргаар албан ёсоор гаргаж болно: баганад (дээр дурдсанчлан) эсвэл "эгнэн".
GCD бичих эхний арга:
gcd 48 ба 36-г олоорой.
GCD (48; 36) = 2. 2. 3 = 12
GCD бичих хоёр дахь арга:
Одоо GCD хайлтын шийдлийг мөрөнд бичье. gcd 10 ба 15-ыг олоорой.
D (10) = (1, 2, 5, 10)
D (15) = (1, 3, 5, 15)
D (10, 15) = (1, 5)