Онлайнаар хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг хэрхэн олох вэ. Хамгийн бага нийтлэг олон тооны тоог хэрхэн олох вэ

"LCM - хамгийн бага нийтлэг үржвэр, тодорхойлолт, жишээнүүд" хэсгээс эхлүүлсэн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийн тухай яриагаа үргэлжлүүлье. Энэ сэдвээр бид гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олох аргуудыг авч үзэх бөгөөд сөрөг тооны LCM-ийг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултыг авч үзэх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

GCD-ээр дамжуулан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) тооцоолох

Бид аль хэдийн хамгийн бага нийтлэг үржвэр ба хамгийн их нийтлэг хуваагчийн хоорондын хамаарлыг тогтоосон. Одоо GCD-ээр дамжуулан LCM-ийг хэрхэн тодорхойлох талаар сурцгаая. Эхлээд эерэг тоонуудын хувьд үүнийг хэрхэн хийхийг олж мэдье.

Тодорхойлолт 1

Та LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) томъёог ашиглан хамгийн их нийтлэг хуваагчаар дамжуулан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох боломжтой.

Жишээ 1

Та 126 ба 70 тоонуудын LCM-ийг олох хэрэгтэй.

Шийдэл

a = 126, b = 70 гэж үзье. Хамгийн их нийтлэг хуваагч LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) -ээр дамжуулан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолох томъёонд утгуудыг орлуулж үзье.

70 ба 126 тоонуудын gcd-г олно. Үүний тулд бидэнд Евклидийн алгоритм хэрэгтэй: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, тиймээс GCD (126 , 70) = 14 .

LCM-ийг тооцоолъё: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Хариулт: LCM(126, 70) = 630.

Жишээ 2

68 ба 34 тоог ол.

Шийдэл

GCD-д энэ тохиолдолд 68 нь 34-т хуваагддаг тул энэ нь тийм ч хэцүү биш юм. Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг дараах томъёогоор тооцоолъё: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Хариулт: LCM(68, 34) = 68.

Энэ жишээнд бид эерэг бүхэл тоон a ба b-ийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох дүрмийг ашигласан: хэрэв эхний тоо хоёр дахь тоонд хуваагдаж байвал тэдгээр тоонуудын LCM нь эхний тоотой тэнцүү байх болно.

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар LCM-ийг олох

Одоо тоонуудыг анхдагч хүчин зүйл болгон задлахад үндэслэсэн LCM-ийг олох аргыг авч үзье.

Тодорхойлолт 2

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олохын тулд бид хэд хэдэн энгийн алхмуудыг хийх хэрэгтэй:

• бид LCM-ийг олох шаардлагатай тоонуудын бүх анхны хүчин зүйлийн үржвэрийг бүрдүүлдэг;
• бид үүссэн бүтээгдэхүүнээс бүх үндсэн хүчин зүйлийг хасдаг;
• нийтлэг анхны хүчин зүйлсийг арилгасны дараа олж авсан бүтээгдэхүүн нь өгөгдсөн тооны LCM-тэй тэнцүү байна.

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох энэ арга нь LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) тэгшитгэл дээр суурилдаг. Хэрэв та томьёог харвал тодорхой болно: a ба b тоонуудын үржвэр нь эдгээр хоёр тооны задралд оролцдог бүх хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд хоёр тооны gcd нь эдгээр хоёр тооны үржүүлэхэд нэгэн зэрэг байгаа бүх анхны хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Жишээ 3

Бидэнд 75 ба 210 гэсэн хоёр тоо бий. Бид тэдгээрийг дараах байдлаар тооцож болно. 75 = 3 5 5Тэгээд 210 = 2 3 5 7. Хэрэв та анхны хоёр тооны бүх хүчин зүйлийн үржвэрийг гаргавал дараахь зүйлийг авна. 2 3 3 5 5 5 7.

Хэрэв бид 3 ба 5 тоонуудын аль алинд нь нийтлэг хүчин зүйлсийг хасвал дараах хэлбэрийн үржвэрийг авна. 2 3 5 5 7 = 1050. Энэ бүтээгдэхүүн нь 75 ба 210 дугаарт зориулсан манай LCM байх болно.

Жишээ 4

Тоонуудын LCM-ийг ол 441 Тэгээд 700 , хоёр тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваах.

Шийдэл

Нөхцөлд өгөгдсөн тоонуудын бүх анхны хүчин зүйлсийг олцгооё.

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Бид 441 = 3 3 7 7 ба 700 = 2 2 5 5 7 гэсэн хоёр гинж тоо авдаг.

Эдгээр тоонуудыг задлахад оролцсон бүх хүчин зүйлийн үржвэр нь дараахь хэлбэртэй байна. 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Нийтлэг хүчин зүйлсийг олцгооё. Энэ бол 7 дугаар. Түүнийг хасъя нийт бүтээгдэхүүн: 2 2 3 3 5 5 7 7. Энэ нь ҮОХ болж байна (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Хариулт: LOC(441, 700) = 44,100.

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлах замаар LCM-ийг олох аргын өөр томьёоллыг өгье.

Тодорхойлолт 3

Өмнө нь бид хоёр тоонд нийтлэг хүчин зүйлсийн нийт тооноос хассан. Одоо бид үүнийг өөрөөр хийх болно:

• Хоёр тоог анхдагч хүчин зүйл болгон хуваая:
• эхний тооны анхны хүчин зүйлийн үржвэрт хоёр дахь тооны алга болсон хүчин зүйлийг нэмэх;
• Бид бүтээгдэхүүнийг авах бөгөөд энэ нь хоёр тооны хүссэн LCM байх болно.

Жишээ 5

Өмнөх жишээнүүдийн аль нэгэнд LCM-ийг хайж байсан 75 ба 210 тоонууд руу буцъя. Тэдгээрийг энгийн хүчин зүйл болгон хувааж үзье: 75 = 3 5 5Тэгээд 210 = 2 3 5 7. 3, 5 ба хүчин зүйлийн үржвэрт 5 75 тоо нь дутуу хүчин зүйлийг нэмнэ 2 Тэгээд 7 210 тоо. Бид авах: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 .Энэ бол 75 ба 210 тоонуудын LCM юм.

Жишээ 6

84 ба 648 тоонуудын LCM-ийг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

Нөхцөлөөс авсан тоонуудыг энгийн хүчин зүйл болгон авч үзье. 84 = 2 2 3 7Тэгээд 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Бүтээгдэхүүнд 2, 2, 3 ба хүчин зүйлсийг нэмье 7 тоо 84 дутуу хүчин зүйлүүд 2, 3, 3 болон
3 648 тоо. Бид бүтээгдэхүүнээ авдаг 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536.Энэ нь 84 ба 648-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм.

Хариулт: LCM(84, 648) = 4,536.

Гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олох

Бид хэдэн тоотой харьцаж байгаагаас үл хамааран бидний үйлдлийн алгоритм үргэлж ижил байх болно: бид хоёр тооны LCM-ийг дараалан олох болно. Энэ тохиолдолд нэг теорем бий.

Теорем 1

Бидэнд бүхэл тоо байна гэж бодъё a 1 , a 2 , … , a k. ҮОХ м кэдгээр тоонуудыг m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k - 1, a k) -ийг дараалан тооцоолох замаар олно.

Одоо теоремыг тодорхой асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглаж болохыг харцгаая.

Жишээ 7

Та 140, 9, 54 гэсэн дөрвөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолох хэрэгтэй 250 .

Шийдэл

Тэмдэглэгээг танилцуулъя: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) -ийг тооцоолж эхэлье. 140 ба 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4 тоонуудын GCD-ийг тооцоолохын тулд Евклидийн алгоритмыг хэрэглэцгээе. Бид дараахийг авна: GCD (140, 9) = 1, GCD (140, 9) = 140 · 9: GCD (140, 9) = 140 · 9: 1 = 1,260. Тиймээс м 2 = 1,260 байна.

Одоо m 3 = LCM (m 2, a 3) = LCM (1 260, 54) алгоритмыг ашиглан тооцоолъё. Тооцооллын явцад бид m 3 = 3 780-ийг авна.

Бид зүгээр л m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250) -ийг тооцоолох хэрэгтэй. Бид ижил алгоритмыг дагаж мөрддөг. Бид m 4 = 94 500 болно.

Жишээ нөхцөл дэх дөрвөн тооны LCM нь 94500 байна.

Хариулт: NOC (140, 9, 54, 250) = 94,500.

Таны харж байгаагаар тооцоолол нь энгийн, гэхдээ нэлээд хөдөлмөр их шаарддаг. Цаг хэмнэхийн тулд та өөр замаар явж болно.

Тодорхойлолт 4

Бид танд дараах үйлдлийн алгоритмыг санал болгож байна.

• бид бүх тоог анхны хүчин зүйл болгон задалдаг;
• эхний тооны хүчин зүйлсийн үржвэрт бид хоёр дахь тооны үржвэрээс дутуу хүчин зүйлсийг нэмнэ;
• өмнөх үе шатанд олж авсан бүтээгдэхүүнд бид гурав дахь тооны дутуу хүчин зүйлсийг нэмнэ гэх мэт;
• үр дүн нь нөхцөлийн бүх тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр байх болно.

Жишээ 8

Та 84, 6, 48, 7, 143 гэсэн таван тооны LCM-ийг олох хэрэгтэй.

Шийдэл

84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13 гэсэн таван тоог бүгдийг нь анхны үржвэр болгон гаргая. Анхны тоо буюу 7-г анхны хүчин зүйлд тооцох боломжгүй. Ийм тоо нь анхны хүчин зүйл болгон задрахтай давхцдаг.

Одоо 84-ийн тооны 2, 2, 3, 7-ын анхны олон тооны үржвэрийг авч, хоёр дахь тооны дутуу үржвэрүүдийг нэмье. Бид 6 тоог 2 ба 3 болгон задалсан. Эдгээр хүчин зүйлүүд аль хэдийн эхний тооны үржвэрт байна. Тиймээс бид тэдгээрийг орхигдуулдаг.

Бид дутуу үржүүлэгчийг үргэлжлүүлэн нэмнэ. Анхны үржвэрүүдийн үржвэрээс 2 ба 2-ыг авдаг 48 тоо руу шилжье. Дараа нь дөрөв дэх тооноос 7-ын анхны хүчин зүйл, тав дахь тооноос 11, 13-ын хүчин зүйлсийг нэмнэ. Бид авна: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Энэ нь анхны таван тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм.

Хариулт: LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Сөрөг тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох

Сөрөг тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олохын тулд эдгээр тоог эхлээд эсрэг тэмдэгтэй тоогоор сольж, дараа нь дээрх алгоритмуудыг ашиглан тооцооллыг хийх ёстой.

Жишээ 9

LCM (54, − 34) = LCM (54, 34) ба LCM (− 622, − 46, − 54, − 888) = LCM (622, 46, 54, 888).

Хэрэв бид үүнийг хүлээн зөвшөөрч байгаа тул ийм үйлдлийг зөвшөөрч болно аТэгээд − a- эсрэг тоо,
дараа нь тооны үржвэрийн олонлог атооны үржвэрийн олонлогтой таарч байна − a.

Жишээ 10

Сөрөг тоонуудын LCM-ийг тооцоолох шаардлагатай − 145 Тэгээд − 45 .

Шийдэл

Тоонуудыг сольж үзье − 145 Тэгээд − 45 тэдний эсрэг тоо 145 Тэгээд 45 . Одоо алгоритмыг ашиглан бид өмнө нь Euclidean алгоритмыг ашиглан GCD-ийг тодорхойлсон LCM (145, 45) = 145 · 45: GCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1,305-ийг тооцоолно.

Бид тоонуудын LCM нь - 145 ба гэдгийг олж авна − 45 тэнцүү байна 1 305 .

Хариулт: LCM (− 145, − 45) = 1,305.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Хамгийн их нийтлэг хуваагч ба хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь танд хялбар ажиллах боломжийг олгодог арифметикийн үндсэн ойлголтууд юм. энгийн бутархай. LCM ба хэд хэдэн бутархайн нийтлэг хуваагчийг олоход ихэвчлэн ашиглагддаг.

Үндсэн ойлголтууд

Бүхэл тооны хуваагч нь X нь үлдэгдэл үлдээхгүйгээр хуваагддаг өөр бүхэл Y тоо юм. Жишээ нь: 4-ийн хуваагч нь 2, 36 нь 4, 6, 9. Бүхэл X-ийн үржвэр нь X-д үлдэгдэлгүй хуваагдах Y тоо юм. Жишээлбэл, 3 нь 15-ын үржвэр, 6 нь 12-ын үржвэр юм.

Аливаа хос тооны хувьд бид тэдгээрийн нийтлэг хуваагч ба үржвэрийг олох боломжтой. Жишээлбэл, 6 ба 9-ийн хувьд нийтлэг үржвэр нь 18, нийтлэг хуваагч нь 3. Хосууд нь хэд хэдэн хуваагч болон үржвэртэй байж болох тул тооцоололд хамгийн том хуваагч GCD ба хамгийн бага олон тооны LCM-ийг ашигладаг.

Аль ч тооны хувьд энэ нь үргэлж нэг байдаг тул хамгийн бага хуваагч нь утгагүй юм. Үржвэрийн дараалал хязгааргүйд хүрдэг тул хамгийн их үржвэр нь бас утгагүй юм.

gcd хайж байна

Хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох олон арга байдаг бөгөөд эдгээрээс хамгийн алдартай нь:

• хуваагчдыг дараалан тоолох, нийтлэгийг нь хосоор нь сонгох, тэдгээрийн хамгийн томыг нь хайх;
• тоонуудыг хуваагдашгүй хүчин зүйл болгон задлах;
• Евклидийн алгоритм;
• хоёртын алгоритм.

Өнөөдөр боловсролын байгууллагуудХамгийн алдартай нь анхны хүчин зүйлчлэл ба Евклидийн алгоритм юм. Сүүлийнх нь эргээд диофантийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглагддаг: тэгшитгэлийг бүхэл тоогоор шийдвэрлэх боломжийг шалгахын тулд GCD хайх шаардлагатай.

ҮОХ-г хайж байна

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг мөн дараалсан тоолох эсвэл хуваагдашгүй хүчин зүйл болгон хуваах замаар тодорхойлно. Нэмж хэлэхэд, хамгийн их хуваагч аль хэдийн тодорхойлогдсон бол LCM-ийг олоход хялбар байдаг. X ба Y тоонуудын хувьд LCM болон GCD нь дараах хамаарлаар холбогдоно.

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Жишээлбэл, хэрэв GCM(15,18) = 3 бол LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCM ашиглах хамгийн тод жишээ бол нийтлэг хуваагчийг олох явдал бөгөөд энэ нь хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм. өгөгдсөн бутархай.

Тоонуудыг харьцуулах

Хэрэв хос тоо нь нийтлэг хуваагчгүй бол ийм хосыг хос тоо гэж нэрлэдэг. Ийм хосын gcd нь үргэлж нэгтэй тэнцүү байх ба хуваагч болон үржвэрийн хоорондын холболт дээр үндэслэн, хосын хосын gcd нь тэдгээрийн үржвэртэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, 25 ба 28 тоонууд нь нийтлэг хуваагчгүй тул харьцангуй анхны тоо бөгөөд LCM(25, 28) = 700 бөгөөд энэ нь тэдний үржвэртэй тохирч байна. Ямар ч хуваагдашгүй хоёр тоо үргэлж харьцангуй анхны байх болно.

Нийтлэг хуваагч ба олон тооны машин

Манай тооны машиныг ашиглан та GCD болон LCM-ийг дурын тооны тооноос сонгох боломжтой. Нийтлэг хуваагч болон үржвэрийг тооцоолох даалгаврууд нь 5, 6-р ангийн арифметикт байдаг боловч GCD болон LCM нь математикийн гол ойлголтууд бөгөөд тооны онол, планиметр, харилцааны алгебрт ашиглагддаг.

Бодит амьдралын жишээнүүд

Бутархайн нийтлэг хуваагч

Хэд хэдэн бутархайн нийтлэг хуваагчийг олохдоо хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ашиглана. Оруул арифметикийн асуудалТа 5 бутархайг нэгтгэх хэрэгтэй:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Бутархай тоог нэмэхийн тулд илэрхийллийг багасгах хэрэгтэй нийтлэг хуваагч, энэ нь LCM олох асуудлыг багасгадаг. Үүнийг хийхийн тулд тооцоолуур дээр 5 тоог сонгоод тохирох нүдэнд хуваагчийн утгыг оруулна уу. Хөтөлбөр нь LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Одоо та LCM-ийн хуваарийн харьцаагаар тодорхойлогддог бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг тооцоолох хэрэгтэй. Тиймээс нэмэлт үржүүлэгч нь дараах байдлаар харагдах болно.

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

Үүний дараа бид бүх бутархайг харгалзах нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлээд:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Бид ийм бутархайг хялбархан нэгтгэж, үр дүнг 159/360 болгож чадна. Бид бутархайг 3-аар багасгаж, эцсийн хариултыг харна уу - 53/120.

Шугаман диофантийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Шугаман диофантийн тэгшитгэл нь ax + by = d хэлбэрийн илэрхийлэл юм. Хэрэв d / gcd(a, b) харьцаа нь бүхэл тоо бол тэгшитгэлийг бүхэл тоогоор шийдвэрлэх боломжтой. Бүхэл тоон шийдэлтэй эсэхийг мэдэхийн тулд хэд хэдэн тэгшитгэлийг шалгацгаая. Эхлээд 150x + 8y = 37 тэгшитгэлийг шалгая. Тооцоологч ашиглан бид GCD (150.8) = 2. 37/2 = 18.5-ыг хуваана. Тоо нь бүхэл тоо биш тул тэгшитгэлд бүхэл язгуур байхгүй.

1320x + 1760y = 10120 тэгшитгэлийг шалгацгаая. Тооцоологч ашиглан GCD(1320, 1760) = 440-ийг ол. 10120/440 = 23-ыг хуваа. Үүний үр дүнд бид бүхэл тоог авна, тиймээс диофантийн коэффицентийн inefffektivequables байна. .

Дүгнэлт

GCD болон LCM нь тооны онолд ихээхэн үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд ойлголтууд нь математикийн өргөн хүрээний салбарт өргөн хэрэглэгддэг. Тооцоолохын тулд манай тооны машиныг ашиглана уу хамгийн том хуваагчаль ч тооны тооны хамгийн бага үржвэрүүд.

Доор үзүүлсэн материал нь LCM - хамгийн бага нийтлэг үржвэр, тодорхойлолт, жишээ, LCM ба GCD хоорондын холболт гэсэн өгүүллийн онолын логик үргэлжлэл юм. Энд бид ярих болно хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох (LCM), Мөн онцгой анхааралЖишээнүүдийг шийдвэрлэхэд анхаарлаа хандуулцгаая. Эхлээд бид эдгээр тоонуудын GCD-г ашиглан хоёр тооны LCM-ийг хэрхэн тооцоолохыг харуулах болно. Дараа нь бид тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олохыг харна. Үүний дараа бид гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олоход анхаарлаа төвлөрүүлэхээс гадна сөрөг тоонуудын LCM-ийг тооцоолоход анхаарлаа хандуулах болно.

Хуудасны навигаци.

GCD-ээр дамжуулан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) тооцоолох

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох нэг арга нь LCM болон GCD хоорондын хамаарал дээр суурилдаг. Одоо байгаа холболт LCM болон GCD-ийн хоорондох хамгийн том нийтлэг хуваагчийг ашиглан хоёр эерэг бүхэл тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Холбогдох томъёо нь байна LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Өгөгдсөн томъёогоор LCM-ийг олох жишээг авч үзье.

Жишээ.

126 ба 70 гэсэн хоёр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.

Шийдэл.

Энэ жишээнд a=126 , b=70 . Томъёогоор илэрхийлсэн LCM ба GCD хоёрын холболтыг ашиглацгаая LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Өөрөөр хэлбэл, эхлээд бид 70 ба 126 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох хэрэгтэй бөгөөд үүний дараа бид эдгээр тоонуудын LCM-ийг бичсэн томъёогоор тооцоолж болно.

GCD(126, 70)-г Евклидийн алгоритмаар олъё: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, тиймээс GCD(126, 70)=14.

Одоо бид шаардлагатай хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олно: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Хариулт:

LCM(126, 70)=630 .

Жишээ.

LCM(68, 34) нь юутай тэнцүү вэ?

Шийдэл.

Учир нь 68 нь 34-т хуваагддаг бол GCD(68, 34)=34. Одоо бид хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолно: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Хариулт:

LCM(68, 34)=68 .

Өмнөх жишээ нь эерэг бүхэл тоон a ба b-ийн LCM-ийг олох дараах дүрэмд нийцэж байгааг анхаарна уу: хэрэв a тоо b-д хуваагддаг бол эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь a байна.

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар LCM-ийг олох

Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох өөр нэг арга бол тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваах явдал юм. Хэрэв та өгөгдсөн тооны бүх анхны хүчин зүйлээс бүтээгдэхүүн зохиож, дараа нь өгөгдсөн тоонуудын өргөтгөлд байгаа бүх нийтлэг анхны хүчин зүйлсийг энэ бүтээгдэхүүнээс хасвал үр дүн нь өгөгдсөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү байх болно. .

LCM олох дүрэм нь тэгш байдлаас хамаарна LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Үнэн хэрэгтээ, a ба b тоонуудын үржвэр нь a ба b тоог тэлэх бүх хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна. Хариуд нь GCD(a, b) нь a ба b тоонуудын тэлэлтэд нэгэн зэрэг байгаа бүх анхны хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна (тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон өргөжүүлэх замаар GCD-ийг олох хэсэгт тайлбарласны дагуу).

Нэг жишээ хэлье. 75=3·5·5 ба 210=2·3·5·7 гэдгийг бидэнд мэдэгдээрэй. Эдгээр тэлэлтийн бүх хүчин зүйлээс үржвэрийг бүтээцгээе: 2·3·3·5·5·5·7 . Одоо энэ бүтээгдэхүүнээс бид 75 тоо болон 210 тоо тэлэх (эдгээр хүчин зүйлүүд нь 3 ба 5) хоёуланд нь байгаа бүх хүчин зүйлийг хасч, дараа нь бүтээгдэхүүн 2 · 3 · 5 · 5 · 7 хэлбэрийг авна. . Энэ бүтээгдэхүүний утга нь 75 ба 210-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

Жишээ.

441 ба 700 тоонуудыг анхны үржүүлэгч болгон үржүүлж эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.

Шийдэл.

441 ба 700 тоонуудыг анхны үржүүлэгчид болгон авч үзье.

Бид 441=3·3·7·7 ба 700=2·2·5·5·7 болно.

Одоо 2·2·3·3·5·5·7·7·7 гэсэн тоонуудыг тэлэх бүх хүчин зүйлсийн үржвэрийг гаргая. Энэ бүтээгдэхүүнээс хоёр өргөтгөлд нэгэн зэрэг байгаа бүх хүчин зүйлийг хасъя (зөвхөн нэг ийм хүчин зүйл байдаг - энэ нь 7 тоо): 2·2·3·3·5·5·7·7. Тиймээс, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Хариулт:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар LCM-ийг олох дүрмийг арай өөрөөр томъёолж болно. Хэрэв b тооны тэлэлтээс дутуу байгаа хүчин зүйлсийг a тооны тэлэлтийн хүчин зүйлүүд дээр нэмбэл, үүссэн бүтээгдэхүүний утга нь a ба b тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү байх болно..

Жишээлбэл, ижил тооны 75 ба 210 тоонуудыг авч үзье, тэдгээрийн анхны үржүүлэгчид задрал нь дараах байдалтай байна: 75=3·5·5 ба 210=2·3·5·7. 75-ын тооны тэлэлтээс 3, 5, 5-р хүчин зүйлүүд дээр бид 210-ын тоог өргөтгөхөд дутуу байгаа 2, 7-г нэмээд 2·3·5·5·7 үржвэрийг олж авна. LCM(75, 210)-тай тэнцүү.

Жишээ.

84 ба 648-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.

Шийдэл.

Бид эхлээд 84 ба 648 тоонуудын задралыг анхны хүчин зүйл болгон авдаг. Тэдгээр нь 84=2·2·3·7 ба 648=2·2·2·3·3·3·3 шиг харагдаж байна. 84 тооны тэлэлтээс 2, 2, 3, 7-р хүчин зүйлүүд дээр бид 648 тооны тэлэлтээс дутуу байгаа 2, 3, 3, 3 хүчин зүйлийг нэмж, 2 2 2 3 3 3 3 7 үржвэрийг олж авна. Энэ нь 4 536-тай тэнцүү байна. Тиймээс 84 ба 648-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 4536 байна.

Хариулт:

LCM(84, 648)=4,536 .

Гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олох

Гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг хоёр тооны LCM-ийг дараалан олох замаар олж болно. Гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олох боломжийг олгодог харгалзах теоремыг эргэн санацгаая.

Теорем.

a 1 , a 2 , …, a k эерэг бүхэл тоонуудыг өгье. m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) -ийг дараалан тооцож эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр m k-г олно. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Дөрвөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох жишээн дээр энэ теоремын хэрэглээг авч үзье.

Жишээ.

140, 9, 54, 250 гэсэн дөрвөн тооны LCM-ийг ол.

Шийдэл.

Энэ жишээнд a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250 байна.

Эхлээд бид олдог m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Үүнийг хийхийн тулд Евклидийн алгоритмыг ашиглан бид GCD(140, 9)-ийг тодорхойлж, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, тиймээс GCD(140, 9)=1 , хаанаас GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Энэ нь m 2 =1 260 байна.

Одоо бид олдог m 3 = LOC (m 2, a 3) = LOC (1 260, 54). Үүнийг GCD(1 260, 54)-ээр тооцоолъё, үүнийг бид мөн Евклидийн алгоритмыг ашиглан тодорхойлно: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Дараа нь gcd(1,260, 54)=18, үүнээс gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780 болно. Энэ нь m 3 =3 780 гэсэн үг юм.

Зөвхөн олох л үлдлээ m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Үүний тулд бид GCD(3,780, 250)-ийг Евклидийн алгоритмаар олно: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Тиймээс GCM(3,780, 250)=10, үүнээс GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Энэ нь m 4 =94,500 гэсэн үг юм.

Тэгэхээр анхны дөрвөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 94,500 байна.

Хариулт:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

Ихэнх тохиолдолд өгөгдсөн тоонуудын анхны үржвэрүүдийг ашиглан гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох нь тохиромжтой байдаг. Энэ тохиолдолд та дараах дүрмийг баримтлах хэрэгтэй. Хэд хэдэн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь үржвэртэй тэнцүү бөгөөд энэ нь дараах байдлаар бүрдэнэ: хоёр дахь тоог өргөтгөхөд дутагдаж буй хүчин зүйлүүд нь эхний тооны тэлэлтийн бүх хүчин зүйлүүд дээр нэмэгдэнэ. Гурав дахь тоог үр дүнгийн хүчин зүйлс дээр нэмдэг гэх мэт.

Анхны үржвэрлэлтийн аргыг ашиглан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох жишээг авч үзье.

Жишээ.

84, 6, 48, 7, 143 гэсэн таван тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.

Шийдэл.

Эхлээд бид эдгээр тоонуудын задралыг анхны хүчин зүйл болгон авдаг: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 нь анхны тоо, давхцаж байна) анхны хүчин зүйлүүдэд задралын хамт) ба 143=11·13.

Эдгээр тоонуудын LCM-ийг олохын тулд эхний тооны 84-ийн хүчин зүйлүүд (тэдгээр нь 2, 2, 3, 7) дээр хоёр дахь 6-ын тэлэлтээс дутуу хүчин зүйлсийг нэмэх хэрэгтэй. Эхний тооны 84-ийн задралд 2 ба 3 хоёулаа аль хэдийн байгаа тул 6-ын тооны задралд дутуу хүчин зүйл агуулаагүй болно. Дараа нь 2, 2, 3, 7-р хүчин зүйлүүд дээр бид 48-р гурав дахь тооны тэлэлтээс дутуу байгаа 2, 2-р хүчин зүйлсийг нэмж, 2, 2, 2, 2, 3, 7 гэсэн хүчин зүйлсийн багцыг авна. Дараагийн алхамд энэ олонлогт үржүүлэгч нэмэх шаардлагагүй, учир нь 7 нь аль хэдийн агуулагдсан байна. Эцэст нь 2, 2, 2, 2, 3, 7-р хүчин зүйлүүд дээр бид 143-ын тэлэлтээс дутуу байгаа 11, 13-ыг нэмнэ. Бид 2·2·2·2·3·7·11·13 үржвэрийг авдаг бөгөөд энэ нь 48,048-тай тэнцүү байна.

Үржвэр гэдэг нь хуваагддаг тоо юм өгсөн дугаарул мөргүй. Бүлэг тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM) нь бүлгийн тоо бүрт үлдэгдэл үлдээлгүй хуваагддаг хамгийн бага тоо юм. Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олохын тулд өгөгдсөн тооны анхны үржвэрүүдийг олох хэрэгтэй. LCM-ийг хоёр ба түүнээс дээш тооны бүлэгт хамаарах бусад хэд хэдэн аргыг ашиглан тооцоолж болно.

Алхам

Үржвэрийн цуврал

Эдгээр тоонуудыг хараарай.Энд тайлбарласан аргыг тус бүр нь 10-аас бага гэсэн хоёр тоо өгсөн тохиолдолд хамгийн тохиромжтой. Хэрэв өгсөн бол том тоо, өөр аргыг ашигла.

• Жишээлбэл, 5 ба 8-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол. Эдгээр нь жижиг тоо тул та энэ аргыг ашиглаж болно.

1. Үржвэр гэдэг нь өгөгдсөн тоонд үлдэгдэлгүй хуваагдах тоог хэлнэ. Үржүүлэх хүснэгтээс үржвэрийг олж болно.

   • Жишээлбэл, 5-ын үржвэр болох тоонууд нь: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Эхний тооны үржвэр болох хэд хэдэн тоог бич.Хоёр багц тоог харьцуулахын тулд эхний тооны үржвэрийн доор үүнийг хий.

   • Жишээлбэл, 8-ын үржвэр болох тоонууд нь: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64.

3. Хоёр үржвэрийн олонлогт байгаа хамгийн бага тоог ол.Нийт тоог олохын тулд үржвэрийн урт цуваа бичих хэрэгтэй болж магадгүй. Хоёр үржвэрийн олонлогт байгаа хамгийн бага тоо нь хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм.

   • Жишээлбэл, 5 ба 8-ын үржвэрийн цувралд гарч буй хамгийн бага тоо нь 40. Тиймээс 40 нь 5 ба 8-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм.

   Ерөнхий хүчин зүйлчлэл

   1. Эдгээр тоонуудыг хараарай.Энд тайлбарласан аргыг тус бүр нь 10-аас их гэсэн хоёр тоо өгөхөд хамгийн тохиромжтой. Хэрэв бага тоо өгөгдсөн бол өөр аргыг хэрэглэнэ.

      • Жишээлбэл, 20 ба 84 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол. Тоо бүр 10-аас их тул та энэ аргыг ашиглаж болно.

   2. Эхний тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваа.Өөрөөр хэлбэл, та ийм зүйлийг олох хэрэгтэй анхны тоонууд, үржүүлэхэд энэ тоо гарна. Үндсэн хүчин зүйлсийг олсны дараа тэдгээрийг тэнцүү гэж бич.

      • Жишээ нь, 2 × 10 = 20 (\ Displaystyle (\ mathbf (2) ) \ дахин 10 = 20)Тэгээд 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\удаа (\mathbf (5) )=10). Тиймээс, энгийн хүчин зүйлүүд 20 тоо нь 2, 2, 5 гэсэн тоонууд. Тэдгээрийг илэрхийлэл болгон бич: .

   3. Хоёр дахь тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваа.Үүнийг эхний тоог үржүүлсэнтэй ижил аргаар хий, өөрөөр хэлбэл үржүүлснээр өгөгдсөн тоог гаргах анхны тоог ол.

      • Жишээ нь, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\ дахин 42=84), 7 × 6 = 42 (\ Displaystyle (\ mathbf (7) ) \ дахин 6 = 42)Тэгээд 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\удаа (\mathbf (2) )=6). Иймд 84-ийн тооны анхдагч хүчин зүйлүүд нь 2, 7, 3, 2 тоонууд юм. Тэдгээрийг илэрхийлэл болгон бич: .

   4. Хоёр тоонд нийтлэг хүчин зүйлсийг бич.Үржүүлэх үйлдэл гэх мэт хүчин зүйлсийг бич. Хүчин зүйл бүрийг бичихдээ үүнийг хоёр илэрхийлэлд (тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваахыг тайлбарласан илэрхийлэл) зур.

      • Жишээлбэл, хоёр тоо нь 2-ын нийтлэг хүчин зүйлтэй тул бичээрэй 2 × (\displaystyle 2\ дахин)мөн хоёр илэрхийлэл дэх 2-ыг таслана.
      • Хоёр тооны нийтлэг зүйл бол 2-ын өөр хүчин зүйл тул бич 2 × 2 (\displaystyle 2\ дахин 2)мөн хоёр илэрхийлэлд хоёр дахь 2-ыг таслана.

   5. Үлдсэн хүчин зүйлсийг үржүүлэх үйл ажиллагаанд нэмнэ.Эдгээр нь хоёр илэрхийлэлд хасагдаагүй хүчин зүйлүүд, өөрөөр хэлбэл хоёр тоонд нийтлэг биш хүчин зүйлүүд юм.

      • Жишээлбэл, илэрхийлэлд 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\ 2\ дахин 5)Хоёр (2) хоёулаа нийтлэг хүчин зүйл учраас хасагдсан байна. 5-ын хүчин зүйлийг хасаагүй тул үржүүлэх үйлдлийг дараах байдлаар бичнэ үү. 2 × 2 × 5 (\ Displaystyle 2 \ дахин 2 \ дахин 5)
      • Илэрхийлэлээр 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ Displaystyle 84 = 2 \ дахин 7 \ 3 \ дахин 2)хоёулаа хоёуланг нь (2) зурсан байна. 7 ба 3-р хүчин зүйлсийг хасаагүй тул үржүүлэх үйлдлийг дараах байдлаар бичнэ үү. 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\ дахин 2\ дахин 5\ дахин 7\ дахин 3).

   6. Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоол.Үүнийг хийхийн тулд бичгээр үржүүлэх үйлдлээр тоонуудыг үржүүлнэ.

      • Жишээ нь, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ Displaystyle 2 \ дахин 2 \ 5 \ 7 \ дахин 3 = 420). Тэгэхээр 20 ба 84-ийн хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 420 байна.

   Нийтлэг хүчин зүйлсийг олох

   1. Тик-так-тое тоглоом шиг тор зур.Ийм тор нь өөр хоёр зэрэгцээ шугамтай огтлолцох (зөв өнцгөөр) хоёр зэрэгцээ шугамаас бүрдэнэ. Энэ нь танд гурван мөр, гурван багана өгөх болно (сүлжээ нь # дүрстэй маш төстэй харагдаж байна). Эхний мөр, хоёр дахь баганад эхний тоог бичнэ. Эхний мөр, гурав дахь баганад хоёр дахь тоог бичнэ үү.

      • Жишээ нь: 18 ба 30 гэсэн тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.18 гэсэн тоог эхний мөр, хоёр дахь баганад, эхний мөр, гуравдугаар баганад 30-ын тоог бич.

   2. Хоёр тооны нийтлэг хуваагчийг ол.Үүнийг эхний мөр, эхний баганад бичнэ үү. Үндсэн хүчин зүйлсийг хайх нь илүү дээр юм, гэхдээ энэ нь шаардлага биш юм.

      • Жишээлбэл, 18 ба 30 байна тэгш тоо, тиймээс тэдний нийтлэг хүчин зүйл нь 2 байх болно. Тиймээс эхний мөр, эхний баганад 2 гэж бичнэ.

   3. Тоо бүрийг эхний хуваагчаар хуваа.Хэмжилт бүрийг тохирох тооны доор бичнэ үү. Хоёр тоог хуваах үр дүн нь хуваалт юм.

      • Жишээ нь, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), тиймээс 18-аас доош 9 гэж бичнэ.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), тиймээс 30-аас доош 15-ыг бич.

   4. Аль аль хэсэгт нийтлэг хуваагчийг ол.Хэрэв ийм хуваагч байхгүй бол дараагийн хоёр алхамыг алгасах хэрэгтэй. Үгүй бол хоёр дахь мөр, эхний баганад хуваагчийг бичнэ.

      • Жишээлбэл, 9 ба 15 нь 3-т хуваагддаг тул хоёр дахь мөр, эхний баганад 3 гэж бичнэ.

   5. Хэсэг бүрийг хоёр дахь хуваагчаар нь хуваа.Хуваалтын үр дүн бүрийг харгалзах хуваалтын доор бичнэ үү.

      • Жишээ нь, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), тиймээс 9-ээс доош 3 гэж бичнэ.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), тиймээс 15-аас доош 5 гэж бичнэ.

   6. Шаардлагатай бол сүлжээнд нэмэлт нүд нэмнэ.Хэмжилтүүд нийтлэг хуваагчтай болтол тайлбарласан алхмуудыг давтана.

   7. Сүлжээний эхний багана ба сүүлчийн эгнээнд байгаа тоонуудыг дугуйл.Дараа нь сонгосон тоонуудыг үржүүлэх үйлдэл болгон бич.

      • Жишээлбэл, эхний баганад 2 ба 3 тоонууд, сүүлчийн мөрөнд 3 ба 5 тоонууд байгаа тул үржүүлэх үйлдлийг дараах байдлаар бичнэ үү. 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\ дахин 3\ дахин 3\ дахин 5).

   8. Тоонуудыг үржүүлсний үр дүнг ол.Энэ нь өгөгдсөн хоёр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолох болно.

      • Жишээ нь, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ Displaystyle 2 \ дахин 3 \ дахин 3 \ дахин 5 = 90). Тэгэхээр 18 ба 30-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 90 байна.

   Евклидийн алгоритм

   1. Хуваах үйл ажиллагаатай холбоотой нэр томъёог санаарай.Ногдол ашиг нь хуваагдаж байгаа тоо юм. Хуваагч нь хуваагдаж буй тоо юм. Хоёр тоог хуваах үр дүн нь хуваалт юм. Үлдэгдэл гэдэг нь хоёр тоог хуваахад үлдсэн тоо юм.

      • Жишээлбэл, илэрхийлэлд 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3:
        15 бол ногдол ашиг
        6 нь хуваагч юм
        2 нь коэффициент юм
        3 нь үлдсэн.

Хоёр дахь тоо: b=

Мянган тусгаарлагчЗай тусгаарлагчгүй "´

Үр дүн:

Хамгийн их нийтлэг хуваагч gcd( а,б)=6

LCM-ийн хамгийн бага нийтлэг үржвэр( а,б)=468

Хамгийн агуу натурал тоо, үүгээр a ба b тоог үлдэгдэлгүйгээр хуваахыг нэрлэдэг хамгийн том нийтлэг хуваагчЭдгээр тоонуудын (GCD). gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) эсвэл hcf(a,b) гэж тэмдэглэнэ.

Хамгийн бага нийтлэг үржвэр a ба b бүхэл тоонуудын LCM нь а ба b-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг хамгийн бага натурал тоо юм. LCM(a,b) эсвэл lcm(a,b) гэж тэмдэглэсэн.

a ба b бүхэл тоонуудыг дуудна харилцан ашигтай, хэрэв тэдгээрт +1 ба −1-ээс өөр нийтлэг хуваагч байхгүй бол.

Хамгийн том нийтлэг хуваагч

Хоёр эерэг тоог өгье а 1 ба а 2 1). Эдгээр тоонуудын нийтлэг хуваагчийг олох шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл. ийм тоог олоорой λ , энэ нь тоонуудыг хуваадаг а 1 ба а 2 зэрэг. Алгоритмыг тайлбарлая.

1) Энэ өгүүлэлд дугаар гэдэг үгийг бүхэл тоо гэж ойлгох болно.

Болъё а 1 ≥ а 2 ба зөвшөөр

Хаана м 1 , а 3 нь бүхэл тоо, а 3 <а 2 (хуваалтын үлдэгдэл а 1 тутамд а 2 нь бага байх ёстой а 2).

Ингэж бодъё λ хуваадаг а 1 ба а 2 тэгвэл λ хуваадаг м 1 а 2 ба λ хуваадаг а 1 −м 1 а 2 =а 3 ("Тоон хуваагдах чадвар. Хуваагдах чадварыг шалгах" өгүүллийн 2-р мэдэгдэл). Үүнээс үзэхэд бүх нийтлэг хуваагч байдаг а 1 ба а 2 нь нийтлэг хуваагч юм а 2 ба а 3. Хэрэв урвуу нь бас үнэн юм λ нийтлэг хуваагч а 2 ба а 3 тэгвэл м 1 а 2 ба а 1 =м 1 а 2 +а 3 нь мөн хуваагдана λ . Тиймээс нийтлэг хуваагч а 2 ба а 3 нь мөн нийтлэг хуваагч юм а 1 ба а 2. Учир нь а 3 <а 2 ≤а 1, дараа нь бид тоонуудын нийтлэг хуваагчийг олох асуудлын шийдэл гэж хэлж болно а 1 ба а 2-ыг тоонуудын нийтлэг хуваагчийг олох энгийн бодлого болгон бууруулсан а 2 ба а 3 .

Хэрэв а 3 ≠0 бол бид хувааж болно а 2 тутамд а 3. Дараа нь

,

Хаана м 1 ба а 4 нь бүхэл тоо, ( ахуваалтаас 4 үлдэгдэл а 2 тутамд а 3 (а 4 <а 3)). Үүнтэй төстэй үндэслэлээр бид тооны нийтлэг хуваагч гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна а 3 ба а 4 нь тоонуудын нийтлэг хуваагчтай давхцдаг а 2 ба а 3, мөн нийтлэг хуваагчтай а 1 ба а 2. Учир нь а 1 , а 2 , а 3 , а 4, ... нь байнга буурч байгаа тоонууд бөгөөд тэдгээрийн хооронд хязгаарлагдмал тооны бүхэл тоо байдаг. а 2 ба 0, дараа нь зарим алхамаар n, хуваалтын үлдэгдэл а n дээр а n+1 нь тэгтэй тэнцүү байх болно ( а n+2 =0).

.

Нийтлэг хуваагч бүр λ тоо а 1 ба а 2 нь мөн тооны хуваагч юм а 2 ба а 3 , а 3 ба а 4 , .... а n ба а n+1. Эсрэг заалт нь бас үнэн, тоонуудын нийтлэг хуваагч юм а n ба а n+1 нь мөн тооны хуваагч юм а n−1 ба а n , .... , а 2 ба а 3 , а 1 ба а 2. Гэхдээ тоонуудын нийтлэг хуваагч а n ба а n+1 нь тоо юм а n+1, учир нь а n ба а n+1-д хуваагдана а n+1 (үүнийг санаарай а n+2 =0). Тиймээс а n+1 нь мөн тооны хуваагч юм а 1 ба а 2 .

тоо гэдгийг анхаарна уу а n+1 нь тоонуудын хамгийн том хуваагч юм а n ба а n+1 , хамгийн том хуваагчаас хойш а n+1 нь өөрөө юм а n+1. Хэрэв а n+1-ийг бүхэл тоонуудын үржвэрээр илэрхийлж болно, тэгвэл эдгээр тоонууд нь мөн тооны нийтлэг хуваагч болно. а 1 ба а 2. Тоо а n+1 гэж нэрлэдэг хамгийн том нийтлэг хуваагчтоо а 1 ба а 2 .

Тоонууд а 1 ба а 2 нь эерэг эсвэл сөрөг тоо байж болно. Хэрэв тоонуудын аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол эдгээр тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагч нь нөгөө тооны үнэмлэхүй утгатай тэнцүү байна. Тэг тооны хамгийн том нийтлэг хуваагч нь тодорхойгүй байна.

Дээрх алгоритмыг нэрлэдэг Евклидийн алгоритмхоёр бүхэл тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох.

Хоёр тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох жишээ

630 ба 434 гэсэн хоёр тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг ол.

• Алхам 1. 630 тоог 434-т хуваа. Үлдэгдэл нь 196.
• Алхам 2. 434 тоог 196-д хуваа. Үлдэгдэл нь 42.
• Алхам 3. 196 тоог 42-т хуваа. Үлдэгдэл нь 28.
• Алхам 4. 42-ын тоог 28-д хуваа.Үлдсэн нь 14.
• Алхам 5. 28-ын тоог 14-т хуваа.Үлдсэн нь 0.

5-р алхамд хуваалтын үлдэгдэл нь 0 байна. Тиймээс 630 ба 434 тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагч нь 14. 2 ба 7 тоо нь 630 ба 434 тоонуудын хуваагч гэдгийг анхаарна уу.

Тоонуудыг харьцуулах

Тодорхойлолт 1. Тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг үзье а 1 ба а 2 нь нэгтэй тэнцүү. Дараа нь эдгээр дугаарууд дуудагдана харьцуулах тоо, нийтлэг хуваагчгүй.

Теорем 1. Хэрэв а 1 ба а 2 анхны тоо, ба λ зарим тоо, дараа нь тооны нийтлэг хуваагч λa 1 ба а 2 нь мөн тооны нийтлэг хуваагч юм λ Тэгээд а 2 .

Баталгаа. Тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох Евклидийн алгоритмыг авч үзье. а 1 ба а 2 (дээрхийг үзнэ үү).

.

Теоремын нөхцлөөс үзэхэд тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч байна а 1 ба а 2, тиймээс а n ба а n+1 нь 1. Энэ нь а n+1 =1.

Энэ бүх тэгш байдлыг үржүүлье λ , Дараа нь

.

Нийтлэг хуваагчийг үзье а 1 λ Тэгээд а 2 тийм δ . Дараа нь δ -д үржүүлэгч болгон оруулсан болно а 1 λ , м 1 а 2 λ болон дотор а 1 λ -м 1 а 2 λ =а 3 λ ("Тоон хуваагдах чадвар", Мэдэгдэл 2-г үзнэ үү). Дараа нь δ -д үржүүлэгч болгон оруулсан болно а 2 λ Тэгээд м 2 а 3 λ , мөн тиймээс хүчин зүйл болгон оруулсан болно а 2 λ -м 2 а 3 λ =а 4 λ .

Ийм үндэслэлээр бид үүнд итгэлтэй байна δ -д үржүүлэгч болгон оруулсан болно а n−1 λ Тэгээд м n−1 а n λ , тиймээс in а n−1 λ −м n−1 а n λ =а n+1 λ . Учир нь а n+1 =1, тэгвэл δ -д үржүүлэгч болгон оруулсан болно λ . Тиймээс тоо δ тоонуудын нийтлэг хуваагч юм λ Тэгээд а 2 .

Теорем 1-ийн онцгой тохиолдлуудыг авч үзье.

Үр дагавар 1. Болъё аТэгээд вАнхны тоо харьцангуй б. Дараа нь тэдний бүтээгдэхүүн ac-ын хувьд анхны тоо юм б.

Үнэхээр. Теорем 1-ээс acТэгээд бижил нийтлэг хуваагчтай байна вТэгээд б. Гэхдээ тоонууд вТэгээд бхарьцангуй энгийн, өөрөөр хэлбэл. нэг нийтлэг хуваагчтай 1. Дараа нь acТэгээд бмөн нэг нийтлэг хуваагчтай 1. Тиймээс acТэгээд бхарилцан энгийн.

Үр дагавар 2. Болъё аТэгээд бтоонуудыг харьцуулж, зөвшөөр бхуваадаг ак. Дараа нь бхуваах ба к.

Үнэхээр. Зөвшөөрөх нөхцөлөөс акТэгээд бнийтлэг хуваагчтай б. Теорем 1-ийн дагуу, бнийтлэг хуваагч байх ёстой бТэгээд к. Тиймээс бхуваадаг к.

Дүгнэлт 1-ийг ерөнхийд нь хэлж болно.

Үр дагавар 3. 1. Тоонуудыг оруулъя а 1 , а 2 , а 3 , ..., а m нь тоотой харьцуулахад анхных юм б. Дараа нь а 1 а 2 , а 1 а 2 · а 3 , ..., а 1 а 2 а 3 ··· а m, эдгээр тоонуудын үржвэр нь тооны хувьд анхных юм б.

2. Хоёр эгнээ тоотой болцгооё

Эхний цувралын тоо бүр хоёр дахь цувралын тоо бүрийн харьцаанд анхных байна. Дараа нь бүтээгдэхүүн

Та эдгээр тоо бүрт хуваагдах тоог олох хэрэгтэй.

Хэрэв тоо нь хуваагддаг бол а 1, дараа нь энэ хэлбэр байна са 1 хаана сзарим тоо. Хэрэв qтоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч юм а 1 ба а 2, тэгвэл

Хаана с 1 нь бүхэл тоо юм. Дараа нь

байна тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрүүд а 1 ба а 2 .

а 1 ба а 2 нь харьцангуй анхны бөгөөд дараа нь тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм а 1 ба а 2:

Бид эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох хэрэгтэй.

Дээрхээс үзэхэд дурын олон тооны тоо гарч ирнэ а 1 , а 2 , а 3 нь олон тооны тоо байх ёстой ε Тэгээд а 3 ба буцаж. Тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг үзье ε Тэгээд а 3 тийм ε 1. Дараа нь олон тооны тоонууд а 1 , а 2 , а 3 , а 4 нь олон тооны тоо байх ёстой ε 1 ба а 4. Тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг үзье ε 1 ба а 4 тийм ε 2. Тиймээс бид бүх тооны үржвэрийг олж мэдсэн а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m нь тодорхой тооны үржвэртэй давхцдаг ε n, үүнийг өгөгдсөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр гэж нэрлэдэг.

Онцгой тохиолдолд тоонууд а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m нь харьцангуй анхны, дараа нь тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм а 1 , а 2 нь дээр үзүүлсэн шиг (3) хэлбэртэй байна. Дараа нь, түүнээс хойш а 3 тоотой холбоотой анхны тоо а 1 , а 2 тэгвэл а 3 анхны тоо а 1 · а 2 (Үндэслэл 1). Тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг илэрхийлнэ а 1 ,а 2 ,а 3 бол тоо а 1 · а 2 · а 3. Үүнтэй адил үндэслэлээр бид дараах мэдэгдлүүдэд хүрч байна.

Мэдэгдэл 1. Харьцуулах тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m нь тэдний бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна а 1 · а 2 · а 3 ··· ам.

Мэдэгдэл 2. Хоёрдахь анхны тоо бүрт хуваагддаг аливаа тоо а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m нь мөн тэдгээрийн үржвэрт хуваагдана а 1 · а 2 · а 3 ··· ам.