Энгийн бутархайг хуваах дүрэм. Бутархайг натурал тоонд хуваах

26.09.2019

§ 87. Бутархай тоог нэмэх.

Бутархай тоог нэмэх нь бүхэл тоог нэмэхтэй төстэй олон талтай. Бутархай нэмэх гэдэг нь тухайн нэр томьёоны нэгжийн бүх нэгж, бутархай хэсгүүдийг агуулсан хэд хэдэн өгөгдсөн тоог (нэг томьёог) нэг тоо (нийлбэр) болгон нэгтгэх үйлдлийг хэлнэ.

Бид гурван хэргийг дараалан авч үзэх болно.

1. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх.
2. Янз бүрийн хуваагчтай бутархайг нэмэх.
3. Холимог тоог нэмэх.

1. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх.

Жишээ авч үзье: 1/5 + 2/5.

AB хэрчмийг авч үзье (Зураг 17), нэг гэж аваад 5 тэнцүү хэсэгт хуваавал энэ хэрчмийн АС хэсэг нь AB хэрчмийн 1/5, ижил CD сегментийн хэсэг нь тэнцүү байх болно. 2/5 AB.

Зургаас харахад AD сегментийг авбал энэ нь 3/5 AB-тай тэнцүү байх болно; гэхдээ AD сегмент нь яг AC ба CD сегментүүдийн нийлбэр юм. Тиймээс бид бичиж болно:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Эдгээр нөхцлүүд болон үүссэн нийлбэрийг авч үзвэл нийлбэрийн хүртэгч нь нөхцлийн тоологчдыг нэмснээр олж авсан бөгөөд хуваагч өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Эндээс бид дараах дүрмийг олж авна. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, ижил хуваагчийг үлдээх хэрэгтэй.

Нэг жишээг харцгаая:

2. Янз бүрийн хуваагчтай бутархайг нэмэх.

Бутархайг нэмье: 3/4 + 3/8 Эхлээд тэдгээрийг хамгийн бага болгон багасгах хэрэгтэй. Ерөнхий хуваарь:

6/8 + 3/8 завсрын холбоосыг бичих боломжгүй; Бид үүнийг тодорхой болгох үүднээс энд бичсэн.

Тиймээс өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд эхлээд хамгийн бага нийтлэг хуваагч хүртэл бууруулж, тэдгээрийн тоог нэмж, нийтлэг хуваагчийг тэмдэглэх хэрэгтэй.

Жишээ авч үзье (бид харгалзах бутархайн дээр нэмэлт хүчин зүйлийг бичих болно):

3. Холимог тоог нэмэх.

Тоонуудыг нэмье: 2 3/8 + 3 5/6.

Эхлээд тоонуудын бутархай хэсгүүдийг нийтлэг хуваагч руу авчирч, дахин бичье.

Одоо бид бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг дараалан нэмнэ:

§ 88. Бутархайг хасах.

Бутархайг хасах нь бүхэл тоог хасахтай адил тодорхойлогддог. Энэ бол хоёр гишүүний нэг, хоёр гишүүний нийлбэрийг өгвөл өөр нэг нэр томъёо олддог үйлдэл юм. Гурван тохиолдлыг дараалан авч үзье.

1. Ижил хуваагчтай бутархайг хасах.
2. Өөр өөр хуваарьтай бутархайг хасах.
3. Холимог тоог хасах.

1. Ижил хуваагчтай бутархайг хасах.

Нэг жишээг харцгаая:

13 / 15 - 4 / 15

AB сегментийг авч үзье (Зураг 18), үүнийг нэгж болгон авч, 15 тэнцүү хэсэгт хуваана; дараа нь энэ сегментийн АС хэсэг нь AB-ийн 1/15-ийг төлөөлөх ба ижил сегментийн AD хэсэг нь AB-ийн 13/15-тай тохирно. 4/15 AB-тай тэнцэх өөр ED сегментийг хойш тавьцгаая.

Бид 13/15-аас 4/15 бутархайг хасах хэрэгтэй. Зураг дээр энэ нь ED сегментийг AD сегментээс хасах ёстой гэсэн үг юм. Үүний үр дүнд AE сегмент хэвээр үлдэх бөгөөд энэ нь AB сегментийн 9/15 байна. Тиймээс бид бичиж болно:

Бидний хийсэн жишээнээс үзэхэд ялгааны хүртэгч нь тоологчийг хасаж, харин хуваагч нь хэвээрээ байсан.

Иймд ижил хуваарьтай бутархайг хасахын тулд хасахын хуваагчаас хасахын тоог хасч, ижил хуваагчийг үлдээх хэрэгтэй.

2. Өөр өөр хуваарьтай бутархайг хасах.

Жишээ. 3/4 - 5/8

Эхлээд эдгээр бутархайг хамгийн бага нийтлэг хуваагч хүртэл бууруулъя:

Завсрын холбоос 6 / 8 - 5 / 8 нь ойлгомжтой байх үүднээс энд бичигдсэн боловч одооноос эхлэн алгасаж болно.

Иймд бутархайгаас бутархайг хасахын тулд эхлээд хамгийн бага нийтлэг хуваагч хүртэл бууруулж, дараа нь хасахын хүртэгчийг хасч, тэдгээрийн ялгавар дор нийтлэг хуваагч дээр гарын үсэг зурна.

Нэг жишээг харцгаая:

3. Холимог тоог хасах.

Жишээ. 10 3/4 - 7 2/3.

Тасалтын бутархай хэсгүүдийг багасгаж, хамгийн бага нийтлэг хуваагч руу хасъя.

Бид бүхэлээс бүхэл, бутархайгаас бутархайг хассан. Харин хасалтын бутархай хэсэг нь хасахын бутархай хэсгээс их байх тохиолдол байдаг. Ийм тохиолдолд та минуэндийн бүх хэсгээс нэг нэгжийг авч, бутархай хэсгийг илэрхийлсэн хэсгүүдэд хувааж, хасахын бутархай хэсэгт нэмэх хэрэгтэй. Дараа нь хасах үйлдлийг өмнөх жишээтэй ижил аргаар гүйцэтгэнэ.

§ 89. Бутархай тоог үржүүлэх.

Бутархай үржүүлэхийг судлахдаа бид дараах асуултуудыг авч үзэх болно.

1. Бутархайг бүхэл тоогоор үржүүлэх.
2. Өгөгдсөн тооны бутархайг олох.
3. Бүхэл тоог бутархайгаар үржүүлэх.
4. Бутархайг бутархайгаар үржүүлэх.
5. Холимог тоог үржүүлэх.
6. Ашиг сонирхлын тухай ойлголт.
7. Өгөгдсөн тооны хувийг олох. Тэдгээрийг дарааллаар нь авч үзье.

1. Бутархайг бүхэл тоогоор үржүүлэх.

Бутархайг бүхэл тоогоор үржүүлэх нь бүхэл тоог бүхэл тоогоор үржүүлэхтэй ижил утгатай. Бутархайг (үржүүлэх) бүхэл тоогоор (хүчин зүйл) үржүүлэх гэдэг нь гишүүн бүр нь үржүүлэгчтэй, гишүүний тоо нь үржүүлэгчтэй тэнцүү байх ижил нөхцлүүдийн нийлбэрийг үүсгэхийг хэлнэ.

Энэ нь хэрэв та 1/9-ийг 7-оор үржүүлэх шаардлагатай бол үүнийг дараах байдлаар хийж болно гэсэн үг юм.

Үйлдэл нь ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхэд багассан тул бид үр дүнг хялбархан олж авсан. Тиймээс,

Энэ үйлдлийг авч үзвэл бутархайг бүхэл тоогоор үржүүлэх нь энэ бутархайг бүхэл тоонд нэгж байгаатай адил олон дахин өсгөхтэй тэнцэх болно. Нэгэнт бутархайг нэмэгдүүлэх нь түүний тоог нэмэгдүүлэх замаар хийгддэг

эсхүл түүний хуваагчийг багасгах замаар , тэгвэл бид хуваагчийг бүхэл тоогоор үржүүлэх эсвэл хуваах боломжтой бол хуваагчийг хувааж болно.

Эндээс бид дүрмийг олж авна:

Бутархайг бүхэл тоогоор үржүүлэхийн тулд хуваагчийг бүхэл тоогоор үржүүлж, хуваагчийг хэвээр үлдээх, эсвэл боломжтой бол хуваагчийг тухайн тоонд хувааж, хуваагчийг өөрчлөхгүй.

Үржүүлэх үед товчлол хийх боломжтой, жишээлбэл:

2. Өгөгдсөн тооны бутархайг олох.Өгөгдсөн тооны хэсгийг олох эсвэл тооцоолох олон асуудал байдаг. Эдгээр асуудлуудаас ялгаатай нь тэдгээр нь зарим объектын тоо эсвэл хэмжих нэгжийг өгдөг бөгөөд та энэ тооны нэг хэсгийг олох хэрэгтэй бөгөөд үүнийг энд бас тодорхой фракцаар зааж өгсөн болно. Ойлголтыг хөнгөвчлөхийн тулд бид эхлээд ийм асуудлын жишээг өгч, дараа нь тэдгээрийг шийдвэрлэх аргыг танилцуулах болно.

Даалгавар 1.Надад 60 рубль байсан; Би энэ мөнгөний 1/3-ийг ном худалдаж авахад зарцуулсан. Номууд ямар үнэтэй байсан бэ?

Даалгавар 2.Галт тэрэг А ба В хотуудын хооронд 300 км-тэй тэнцэх зайг туулах ёстой. Тэрээр энэ зайн 2/3-ыг туулсан байна. Энэ хэдэн километр вэ?

Даалгавар 3.Тосгонд 400 байшин байдаг бөгөөд тэдгээрийн 3/4 нь тоосго, үлдсэн нь модон байшин юм. Нийт хэдэн тоосгон байшин байдаг вэ?

Эдгээр нь өгөгдсөн тооны нэг хэсгийг олоход бидэнд тулгардаг олон асуудлуудын зарим нь юм. Тэдгээрийг ихэвчлэн өгөгдсөн тооны бутархайг олох бодлого гэж нэрлэдэг.

Асуудлын шийдэл 1. 60 рубльээс. Би номонд 1/3 зарцуулсан; Энэ нь номын үнийг олохын тулд 60 тоог 3-т хуваах шаардлагатай гэсэн үг юм.

Асуудлыг шийдвэрлэх 2.Асуудлын гол утга нь 300 км-ийн 2/3-ыг олох хэрэгтэй. Эхлээд 300-ийн 1/3-ийг тооцоолъё; Үүнийг 300 км-ийг 3-т хуваахад хүрнэ.

300: 3 = 100 (энэ нь 300-ийн 1/3 нь).

300-ийн гуравны хоёрыг олохын тулд үр дүнгийн коэффициентийг хоёр дахин нэмэгдүүлэх, өөрөөр хэлбэл 2-оор үржүүлэх хэрэгтэй.

100 x 2 = 200 (энэ нь 300-ийн 2/3).

Асуудлыг шийдвэрлэх 3.Энд та 400-ийн 3/4-ийг эзэлдэг тоосгон байшингийн тоог тодорхойлох хэрэгтэй. Эхлээд 400-ийн 1/4-ийг олъё.

400: 4 = 100 (энэ нь 400-ийн 1/4 нь).

400-ийн дөрөвний гурвыг тооцоолохын тулд үр дүнгийн коэффициентийг гурав дахин, өөрөөр хэлбэл 3-аар үржүүлэх шаардлагатай.

100 x 3 = 300 (энэ нь 400-ийн 3/4).

Эдгээр асуудлын шийдэлд үндэслэн бид дараах дүрмийг гаргаж болно.

Өгөгдсөн тооноос бутархайн утгыг олохын тулд та энэ тоог бутархайн хуваарьт хувааж, үр дүнгийн хэсгийг түүний хүртэгчээр үржүүлэх хэрэгтэй.

3. Бүхэл тоог бутархайгаар үржүүлэх.

Өмнө нь (§ 26) бүхэл тоог үржүүлэх нь ижил гишүүн (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20) нэмэх гэж ойлгох ёстой гэж тогтоосон. Энэ догол мөрөнд (1-р зүйл) бутархайг бүхэл тоогоор үржүүлэх нь энэ бутархайтай тэнцүү ижил гишүүдийн нийлбэрийг олох гэсэн үг болохыг тогтоосон.

Аль ч тохиолдолд үржүүлэх нь ижил нөхцлүүдийн нийлбэрийг олохоос бүрддэг.

Одоо бид бүхэл тоог бутархайгаар үржүүлэхэд шилжинэ. Энд бид жишээлбэл, үржүүлэхтэй тулгарах болно: 9 2/3. Энэ тохиолдолд үржүүлэхийн өмнөх тодорхойлолт хамаарахгүй нь тодорхой байна. Энэ нь бид ийм үржүүлгийг тэнцүү тоог нэмэх замаар орлуулах боломжгүй гэдгээс тодорхой харагдаж байна.

Үүнээс үүдэн бид үржүүлгийн шинэ тодорхойлолтыг өгөх шаардлагатай болно, өөрөөр хэлбэл, бутархайгаар үржүүлэхэд юуг ойлгох ёстой вэ, энэ үйлдлийг хэрхэн ойлгох ёстой вэ гэсэн асуултанд хариулах шаардлагатай болно.

Бүхэл тоог бутархайгаар үржүүлэхийн утга нь дараах тодорхойлолтоос тодорхой харагдаж байна. бүхэл тоог (үржүүлэх) бутархай (үржүүлэх) -ээр үржүүлэх нь үржүүлэгчийн энэ хэсгийг олно гэсэн үг юм.

Тодруулбал, 9-ийг 2/3-аар үржүүлбэл есөн нэгжийн 2/3-ыг олно гэсэн үг. Өмнөх догол мөрөнд ийм асуудлууд шийдэгдсэн; Тиймээс бид 6-тай болно гэдгийг ойлгоход амархан.

Харин одоо нэг сонирхолтой зүйл байна чухал асуулт: тэд яагаад анхны харцаар ийм байгаа юм бэ? янз бүрийн арга хэмжээнийлбэрийг хэрхэн олох вэ тэнцүү тоомөн тооны бутархайг олохыг арифметикт "үржүүлэх" гэсэн ижил үг гэж нэрлэдэг үү?

Энэ нь өмнөх үйлдэл (тоог нэр томьёотой хэд хэдэн удаа давтах) болон шинэ үйлдэл (тооны бутархайг олох) нь нэгэн төрлийн асуултуудад хариулт өгдөг тул ийм зүйл тохиолддог. Энэ нь бид нэгэн төрлийн асуултууд эсвэл даалгавруудыг ижил үйлдлээр шийддэг гэсэн дүгнэлтээс гарна гэсэн үг юм.

Үүнийг ойлгохын тулд дараах асуудлыг авч үзье: "1 м даавуу 50 рубль байна. Ийм даавууны 4 м хэр үнэтэй вэ?

Энэ асуудал нь рублийн тоог (50) тоолуурын тоогоор (4), өөрөөр хэлбэл 50 x 4 = 200 (рубль) үржүүлэх замаар шийдэгддэг.

Үүнтэй ижил асуудлыг авч үзье, гэхдээ дотор нь даавууны хэмжээг бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх болно: "1 м даавуу 50 рубль байна. Ийм даавууны 3/4 м нь ямар үнэтэй байх вэ?"

Энэ асуудлыг мөн рублийн тоог (50) тоолуурын тоогоор (3/4) үржүүлэх замаар шийдвэрлэх шаардлагатай.

Та асуудлын утгыг өөрчлөхгүйгээр доторх тоог хэд хэдэн удаа сольж болно, жишээлбэл, 9/10 м эсвэл 2 3/10 м гэх мэт.

Эдгээр асуудлууд нь ижил агуулгатай бөгөөд зөвхөн тоогоор ялгаатай тул тэдгээрийг шийдвэрлэхэд ашигласан үйлдлүүдийг бид ижил үг - үржүүлэх гэж нэрлэдэг.

Бүхэл тоог бутархайгаар хэрхэн үржүүлэх вэ?

Сүүлийн асуудалд тохиолдсон тоонуудыг авч үзье.

Тодорхойлолтоор бид 50-ийн 3/4-ийг олох ёстой. Эхлээд 50-ийн 1/4, дараа нь 3/4-ийг олъё.

50-ийн 1/4 нь 50/4;

50 тооны 3/4 нь .

Тиймээс.

Өөр нэг жишээг авч үзье: 12 5/8 =?

12-ын 1/8 нь 12/8,

12-ын 5/8 нь .

Тиймээс,

Эндээс бид дүрмийг олж авна:

Бүхэл тоог бутархайгаар үржүүлэхийн тулд бүхэл тоог бутархайн хуваагчаар үржүүлж, энэ үржвэрийг тоологч болгож, энэ бутархайн хуваагчийг хуваагчаар тэмдэглэнэ.

Энэ дүрмийг үсгээр бичье:

Энэ дүрмийг бүрэн тодорхой болгохын тулд бутархайг категори гэж үзэж болно гэдгийг санах нь зүйтэй. Тиймээс олдсон дүрмийг § 38-д заасан тоог хуваалтаар үржүүлэх дүрэмтэй харьцуулах нь ашигтай юм.

Үржүүлэхийн өмнө (боломжтой бол) хийх ёстой гэдгийг санах нь чухал. бууралтууд, Жишээлбэл:

4. Бутархайг бутархайгаар үржүүлэх.Бутархайг бутархайгаар үржүүлэх нь бүхэл тоог бутархайгаар үржүүлэхтэй ижил утгатай, өөрөөр хэлбэл бутархайг бутархайгаар үржүүлэхдээ эхний бутархайгаас (үржүүлэх) хүчин зүйлд байгаа бутархайг олох хэрэгтэй.

Тухайлбал, 3/4-ийг 1/2 (хагас)-аар үржүүлэх нь 3/4-ийн талыг олох гэсэн үг юм.

Бутархайг бутархайгаар хэрхэн үржүүлэх вэ?

3/4-ийг 5/7-оор үржүүлсэн жишээг авч үзье. Энэ нь та 3/4-ийн 5/7-г олох хэрэгтэй гэсэн үг юм. Эхлээд 3/4-ийн 1/7, дараа нь 5/7-г олъё

3/4 тооны 1/7 нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

5/7 тоо 3/4 дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

Тиймээс,

Өөр нэг жишээ: 5/8-ийг 4/9-ээр үржүүлсэн.

5/8-ийн 1/9 нь ,

5/8 тооны 4/9 нь .

Тиймээс,

Эдгээр жишээнүүдээс дараахь дүрмийг гаргаж болно.

Бутархайг бутархайгаар үржүүлэхийн тулд хуваагчийг хуваагчаар, хуваагчийг хуваагчаар үржүүлж, эхний үржвэрийг хуваагч, хоёр дахь үржвэрийг үржвэрийн хуваарь болгох хэрэгтэй.

Энэ бол дүрэм юм ерөнхий үзэлингэж бичиж болно:

Үржүүлэх үед (боломжтой бол) бууралт хийх шаардлагатай. Жишээнүүдийг харцгаая:

5. Холимог тоог үржүүлэх.Холимог тоог буруу бутархайгаар хялбархан сольж болох тул холимог тоог үржүүлэхэд энэ нөхцөл байдлыг ихэвчлэн ашигладаг. Энэ нь үржүүлэгч, хүчин зүйл, эсвэл хоёуланг нь холимог тоогоор илэрхийлсэн тохиолдолд тэдгээрийг буруу бутархайгаар солино гэсэн үг юм. Жишээлбэл, холимог тоонуудыг үржүүлье: 2 1/2 ба 3 1/5. Тэдгээрийг тус бүрийг буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь бутархайг бутархайгаар үржүүлэх дүрмийн дагуу үүссэн бутархайг үржүүлье.

Дүрэм.Холимог тоог үржүүлэхийн тулд эхлээд буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь бутархайг бутархайгаар үржүүлэх дүрмийн дагуу үржүүлэх хэрэгтэй.

Анхаарна уу.Хэрэв хүчин зүйлсийн аль нэг нь бүхэл тоо байвал үржүүлэх үйлдлийг тархалтын хуульд үндэслэн дараах байдлаар хийж болно.

6. Ашиг сонирхлын тухай ойлголт.Асуудлыг шийдвэрлэх, янз бүрийн практик тооцоолол хийхдээ бид бүх төрлийн бутархайг ашигладаг. Гэхдээ олон тоо хэмжээ нь зөвхөн ямар ч биш, харин байгалийн хуваагдлыг зөвшөөрдөг гэдгийг санах нь зүйтэй. Жишээлбэл, та рублийн зуутын нэгийг (1/100) авч болно, энэ нь нэг копейк, хоёр зуутын нэг нь 2 копейк, гурван зуун хувь нь 3 копейк болно. Та рублийн 1/10-ийг авч болно, энэ нь "10 копейк, эсвэл арван копейк хэсэг болно. Та рублийн дөрөвний нэг, өөрөөр хэлбэл 25 копейк, хагас рубль, өөрөөр хэлбэл 50 копейк (тавин копейк) авч болно. Гэхдээ Тэд үүнийг бараг авдаггүй, жишээлбэл, рублийн 2/7, учир нь рубль нь долоод хуваагддаггүй.

Жингийн нэгж, өөрөөр хэлбэл килограмм нь үндсэндээ аравтын бутархай, жишээлбэл 1/10 кг, эсвэл 100 г-ыг зөвшөөрдөг бөгөөд 1/6, 1/11, 1/13 гэх мэт килограммуудын фракцууд нийтлэг байдаггүй.

Ерөнхийдөө бидний (хэмжих) хэмжүүрүүд аравтын бутархай бөгөөд аравтын бутархай хуваахыг зөвшөөрдөг.

Гэсэн хэдий ч хэмжигдэхүүнийг хуваах ижил (нэгдмэл) аргыг ашиглах нь маш ашигтай бөгөөд олон янзын тохиолдолд тохиромжтой гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Олон жилийн туршлагаас харахад ийм үндэслэлтэй хуваагдал бол “зуу дахь” хуваагдал юм. Хүн төрөлхтний үйл ажиллагааны өргөн хүрээний салбаруудаас цөөн хэдэн жишээ авч үзье.

1. Номын үнэ өмнөх үнээсээ 12/100 хувиар буурсан байна.

Жишээ. Номын өмнөх үнэ 10 рубль байсан. Энэ нь 1 рублиэр буурсан. 20 копейк

2. Хадгаламжийн банкууд хадгаламж эзэмшигчдэд тухайн жилийн хадгаламжийн мөнгөн дүнгийн 2/100 хувийг төлдөг.

Жишээ. Бэлэн мөнгөний бүртгэлд 500 рубль байршуулсан бөгөөд энэ дүнгээс жилийн орлого нь 10 рубль байна.

3. Нэг сургуулийг төгсөгчдийн тоо нийт сурагчдын 5/100 хувийг эзэлж байна.

ЖИШЭЭ Тус сургуульд ердөө 1200 сурагч байснаас 60 нь төгссөн.

Тооны зуу дахь хэсгийг хувь гэж нэрлэдэг.

"Хувь" гэдэг үг нь латин хэлнээс зээлсэн бөгөөд "цент" нь зуу гэсэн утгатай. Угтвар үгтэй (pro centum) хамт энэ үг нь "зуун" гэсэн утгатай. Ийм хэллэгийн утга нь анхнаасаа оршдог эртний Ромхүү нь зээлдэгчийн зээлдүүлэгчид "зуу тутамд" төлсөн мөнгө юм. "Цент" гэдэг үгийг ийм танил үгсээр сонсдог: центнер (нэг зуун килограмм), сантиметр (сантиметр гэж хэлэх).

Жишээлбэл, өнгөрсөн сарын хугацаанд үйлдвэр нийт бүтээгдэхүүнийхээ 1/100-ийг гэмтэлтэй гэж хэлэхийн оронд сүүлийн нэг сарын хугацаанд үйлдвэр нэг хувийн доголдолтой үйлдвэрлэсэн гэж хэлэх болно. Завод тогтоосон планаас 4/100 илүү бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэсэн гэж хэлэхийн оронд: завод төлөвлөгөөг 4 хувь давуулан биелүүлсэн.

Дээрх жишээнүүдийг өөрөөр илэрхийлж болно.

1. Номын үнэ өмнөх үнээс 12 хувиар буурсан байна.

2. Хадгаламжийн банкууд хадгаламж эзэмшигчдэд хадгаламжид байршуулсан мөнгөн дүнгээс жилд 2 хувийн төлбөр төлдөг.

3. Нэг сургуулийг төгсөгчдийн тоо нийт сургуулийн сурагчдын 5 хувийг эзэлж байна.

Үсгийг товчлохын тулд "хувь" гэсэн үгийн оронд % тэмдэг бичдэг заншилтай.

Гэсэн хэдий ч, тооцоололд% тэмдэг нь ихэвчлэн бичдэггүй гэдгийг санах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь асуудлын мэдэгдэл болон эцсийн үр дүнд бичигдэж болно. Тооцоолол хийхдээ энэ тэмдэг бүхий бүхэл тооны оронд 100 хуваагчтай бутархай бичих хэрэгтэй.

Та заасан дүрс бүхий бүхэл тоог 100 хуваагчтай бутархайгаар солих чадвартай байх шаардлагатай.

Үүний эсрэгээр та 100 хуваагчтай бутархайн оронд заасан тэмдэг бүхий бүхэл тоо бичиж хэвших хэрэгтэй.

7. Өгөгдсөн тооны хувийг олох.

Даалгавар 1.Сургууль 200 шоо метр талбайг хүлээн авсан. м түлээ, хус түлээ 30%-ийг эзэлдэг. Хэр их хус түлээ байсан бэ?

Энэ асуудлын утга нь хус түлээ нь сургуульд хүргэгдсэн түлээний зөвхөн нэг хэсгийг бүрдүүлдэг бөгөөд энэ хэсгийг 30/100 фракцаар илэрхийлдэг. Энэ нь бид тооны бутархайг олох даалгавартай гэсэн үг юм. Үүнийг шийдэхийн тулд бид 200-ыг 30/100-аар үржүүлэх ёстой (тооны бутархайг олох асуудлыг тухайн тоог бутархайгаар үржүүлэх замаар шийддэг).

Энэ нь 200-ийн 30% нь 60-тай тэнцүү гэсэн үг юм.

Энэ асуудалд тулгарсан 30/100 бутархайг 10-аар бууруулж болно. Энэ бууралтыг эхнээс нь хийх боломжтой; асуудлын шийдэл өөрчлөгдөхгүй байх байсан.

Даалгавар 2.Зусланд янз бүрийн насны 300 хүүхэд байсан. 11 настай хүүхдүүд 21%, 12 настай хүүхдүүд 61%, эцэст нь 13 настай хүүхдүүд 18% байна. Зусланд насны ангиллаар хэдэн хүүхэд байсан бэ?

Энэ асуудалд та гурван тооцоолол хийх хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл 11 настай, дараа нь 12 настай, эцэст нь 13 настай хүүхдүүдийн тоог дарааллаар нь олох хэрэгтэй.

Энэ нь энд та гурван удаа тооны бутархайг олох хэрэгтэй болно гэсэн үг юм. Энийг хийцгээе:

1) Тэнд 11 настай хэдэн хүүхэд байсан бэ?

2) 12 настай хэдэн хүүхэд байсан бэ?

3) 13 настай хэдэн хүүхэд байсан бэ?

Асуудлыг шийдсэний дараа олсон тоонуудыг нэмэх нь ашигтай; Тэдний нийлбэр 300 байх ёстой:

63 + 183 + 54 = 300

Асуудлын мэдэгдэлд өгсөн хувь хэмжээний нийлбэр нь 100 байна гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

21% + 61% + 18% = 100%

Энэ нь үүнийг харуулж байна нийт тооЗуслангийн хүүхдүүдийг 100 хувь авсан.

3 a d a h a 3.Ажилчин сард 1200 рубль авдаг байсан. Үүний 65 хувийг хоол хүнсэндээ, 6 хувийг орон сууц, халаалтад, 4 хувийг хий, цахилгаан, радиод, 10 хувийг соёлын хэрэгцээнд зарцуулж, 15 хувийг хэмнэж байжээ. Даалгаварт заасан хэрэгцээнд хэр их мөнгө зарцуулсан бэ?

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд 1200-ын бутархайг 5 удаа олох хэрэгтэй.

1) Хоолонд хэр их мөнгө зарцуулсан бэ? Асуудал нь энэ зардал нь нийт орлогын 65%, өөрөөр хэлбэл 1200-ийн 65/100 нь гэсэн тооцоог хийцгээе.

2) Халаалттай орон сууцанд хэдэн төгрөг төлсөн бэ? Өмнөхтэй адил үндэслэлээр бид дараах тооцоонд хүрнэ.

3) Та хий, цахилгаан, радиод хэдэн төгрөг төлсөн бэ?

4) Соёлын хэрэгцээнд хэр их мөнгө зарцуулсан бэ?

5) Ажилчин хэр их мөнгө хэмнэсэн бэ?

Шалгахын тулд эдгээр 5 асуултанд байгаа тоонуудыг нэмэх нь ашигтай. Дүн нь 1200 рубль байх ёстой. Бүх орлогыг 100% гэж авдаг бөгөөд энэ нь асуудлын тайланд өгөгдсөн хувийн тоог нэмэх замаар шалгахад хялбар байдаг.

Бид гурван асуудлыг шийдсэн. Эдгээр ажлуудыг шийдвэрлэсэн хэдий ч янз бүрийн зүйл(Сургуулийн түлээ хүргэх, янз бүрийн насны хүүхдүүдийн тоо, ажилчдын зардал), тэдгээрийг ижил аргаар шийдсэн. Бүх асуудалд өгөгдсөн тооны хэдэн хувийг олох шаардлагатай байсан тул ийм зүйл тохиолдсон.

§ 90. Бутархайн хуваагдал.

Бутархай хуваагдлыг судлахдаа бид дараах асуултуудыг авч үзэх болно.

1. Бүхэл тоог бүхэл тоонд хуваа.
2. Бутархайг бүхэл тоонд хуваах
3. Бүхэл тоог бутархайд хуваах.
4. Бутархайг бутархайд хуваах.
5. Холимог тоог хуваах.
6. Өгөгдсөн бутархайгаас тоог олох.
7. Тоо хувийг хувиар нь олох.

Тэдгээрийг дарааллаар нь авч үзье.

1. Бүхэл тоог бүхэл тоонд хуваа.

Бүхэл тооны хэлтэст дурдсанчлан хуваах гэдэг нь хоёр хүчин зүйл (ногдол ашиг) ба эдгээр хүчин зүйлсийн аль нэг (хуваагч) үржвэрийг харгалзан өөр нэг хүчин зүйл олддог үйлдлийг хэлнэ.

Бид бүхэл тоонуудын тухай хэсэгт бүхэл тоог бүхэл тоонд хуваахыг үзсэн. Бид тэнд хуваагдах хоёр тохиолдолтой тулгарсан: үлдэгдэлгүй хуваах буюу "бүхэлдээ" (150: 10 = 15), үлдэгдэлтэй хуваах (100: 9 = 11 ба 1 үлдэгдэл). Тиймээс бид бүхэл тооны салбарт яг хуваах нь үргэлж боломжгүй байдаг, учир нь ногдол ашиг нь бүхэл тоонд хуваагчийн үржвэр биш юм. Бутархайгаар үржүүлэх аргыг оруулсны дараа бид бүхэл тоог хуваах боломжтой (зөвхөн тэг хуваахыг хассан) гэж үзэж болно.

Жишээлбэл, 7-г 12-т хуваана гэдэг нь 12-оор үржвэр нь 7-той тэнцэх тоог олно гэсэн үг. Ийм тоо нь 7/12 12 = 7 учраас 7/12 бутархай юм. Өөр нэг жишээ: 14: 25 = 14/25, учир нь 14/25 25 = 14.

Тиймээс бүхэл тоог бүхэл тоонд хуваахын тулд хуваагч нь ногдол ашиг, хуваагч нь хуваагчтай тэнцүү бутархай үүсгэх хэрэгтэй.

2. Бутархайг бүхэл тоонд хуваах.

6/7-ийн бутархайг 3-т хуваана. Дээр өгөгдсөн хуваалтын тодорхойлолтын дагуу бид энд бүтээгдэхүүн (6/7) ба хүчин зүйлсийн аль нэг нь (3) байна; Та 3-аар үржүүлбэл өгөх хоёрдахь хүчин зүйлийг олох хэрэгтэй энэ ажил 6/7. Мэдээжийн хэрэг, энэ бүтээгдэхүүнээс гурав дахин бага байх ёстой. Энэ нь бидний өмнө тавьсан зорилт бол 6/7 бутархайг 3 дахин багасгах явдал байсан гэсэн үг.

Бутархайг багасгахын тулд түүний тоог багасгах эсвэл хуваагчийг нэмэгдүүлэх замаар хийж болно гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн. Тиймээс та бичиж болно:

IN энэ тохиолдолд 6-ын тоологч нь 3-т хуваагддаг тул тоог хоёр дахин багасгах хэрэгтэй.

Өөр нэг жишээ авъя: 5/8-ыг 2-т хуваана. Энд 5-ын тоологч нь 2-т хуваагдахгүй, энэ нь хуваагчийг энэ тоогоор үржүүлэх шаардлагатай болно гэсэн үг юм.

Үүний үндсэн дээр дараахь дүрмийг гаргаж болно. Бутархайг бүхэл тоонд хуваахын тулд бутархайн хуваагчийг бүхэл тоонд хуваах хэрэгтэй.(Хэрвээ боломжтой бол), ижил хуваагчийг үлдээх, эсвэл бутархайн хуваагчийг энэ тоогоор үржүүлж, ижил хуваагчийг үлдээнэ.

3. Бүхэл тоог бутархайд хуваах.

5-ыг 1/2-т хуваах шаардлагатай байг, өөрөөр хэлбэл 1/2-оор үржүүлсний дараа үржвэр 5 гарах тоог ол. 1/2 нь зөв бутархай тул энэ тоо 5-аас их байх нь ойлгомжтой. , мөн тоог үржүүлэхдээ зохих бутархайн үржвэр нь үржүүлж буй үржвэрээс бага байх ёстой. Үүнийг илүү ойлгомжтой болгохын тулд үйлдлээ дараах байдлаар бичье: 5: 1/2 = X , энэ нь x 1/2 = 5 гэсэн үг.

Бид ийм тоог олох ёстой X , хэрэв 1/2-оор үржүүлбэл 5 болно. Тодорхой тоог 1/2-оор үржүүлэх нь энэ тооны 1/2-ыг олох гэсэн үг тул үл мэдэгдэх тооны 1/2 болно. X 5, бүхэл тоотой тэнцүү байна X хоёр дахин их, өөрөөр хэлбэл 5 2 = 10.

Тэгэхээр 5: 1/2 = 5 2 = 10

Шалгацгаая:

Өөр нэг жишээг харцгаая. Та 6-г 2/3-т хуваахыг хүсч байна гэж бодъё. Эхлээд зургийг ашиглан хүссэн үр дүнг олохыг хичээцгээе (Зураг 19).

Зураг 19

6 нэгжтэй тэнцүү AB хэрчмийг зурж, нэгж бүрийг 3 тэнцүү хэсэгт хуваацгаая. Нэгж бүрт AB сегментийн гуравны гурав (3/3) нь 6 дахин их, өөрөөр хэлбэл. e. 18/3. Жижиг хаалт ашиглан бид 2-ын 18 сегментийг холбодог; Зөвхөн 9 хэсэг байх болно. Энэ нь 2/3 бутархай нь 6 нэгжид 9 удаа агуулагддаг, өөрөөр хэлбэл 2/3 хэсэг нь 6 бүхэл нэгжээс 9 дахин бага гэсэн үг юм. Тиймээс,

Зөвхөн тооцоолол ашиглан зураг зурахгүйгээр энэ үр дүнг хэрхэн гаргах вэ? Ингэж тайлбарлая: бид 6-г 2/3-т хуваах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл 6-д 2/3 нь хэдэн удаа агуулагддаг вэ гэсэн асуултанд хариулах хэрэгтэй. Эхлээд олж мэдье: 1/3 нь 6-д хэдэн удаа агуулагддаг вэ? Бүхэл бүтэн нэгжид гуравны 3, 6 нэгжид 6 дахин их, өөрөөр хэлбэл гуравны 18; Энэ тоог олохын тулд бид 6-г 3-аар үржүүлэх ёстой. Энэ нь 1/3 нь b нэгжид 18 удаа, 2/3 нь b нэгжид 18 удаа биш, харин хоёр дахин олон удаа, өөрөөр хэлбэл 18: 2 = 9 байна гэсэн үг юм. Тиймээс 6-г 2/3-т хуваахдаа бид дараах зүйлийг хийсэн.

Эндээс бид бүхэл тоог бутархайд хуваах дүрмийг олж авна. Бүхэл тоог бутархайд хуваахын тулд та энэ бүхэл тоог өгөгдсөн бутархайн хуваагчаар үржүүлж, энэ үржвэрийг тоологч болгож, өгөгдсөн бутархайн хүртэгчдэд хуваах хэрэгтэй.

Үсэг ашиглан дүрмийг бичье.

Энэ дүрмийг бүрэн тодорхой болгохын тулд бутархайг категори гэж үзэж болно гэдгийг санах нь зүйтэй. Тиймээс олдсон дүрмийг § 38-д заасан тоог хуваах дүрэмтэй харьцуулах нь ашигтай юм. Тэнд ижил томъёог олж авсныг анхаарна уу.

Хуваахдаа товчлол хийх боломжтой, жишээлбэл:

4. Бутархайг бутархайд хуваах.

3/4-ийг 3/8-д хуваах хэрэгтэй гэж бодъё. Хуваалтын үр дүнд гарах тоо юу гэсэн үг вэ? Энэ нь 3/8 бутархай 3/4-т хэдэн удаа агуулагдаж байна вэ гэсэн асуултанд хариулах болно. Энэ асуудлыг ойлгохын тулд зураг зуръя (Зураг 20).

AB хэрчмийг аваад нэг гэж аваад 4 тэнцүү хэсэгт хувааж, ийм 3 хэсгийг тэмдэглэе. AC сегмент нь AB сегментийн 3/4-тэй тэнцүү байх болно. Одоо дөрвөн анхны сегмент тус бүрийг хагасаар хуваавал AB сегмент нь 8 тэнцүү хэсэгт хуваагдах ба ийм хэсэг бүр нь AB сегментийн 1/8-тай тэнцүү байх болно. Ийм 3 сегментийг нуман хэлбэртэй холбоно, тэгвэл AD ба DC сегмент тус бүр нь AB сегментийн 3/8-тай тэнцэнэ. Зураг нь 3/8-тай тэнцүү сегментийг 3/4-тэй тэнцүү сегментэд яг 2 удаа агуулж байгааг харуулж байна; Энэ нь хуваалтын үр дүнг дараах байдлаар бичиж болно гэсэн үг юм.

3 / 4: 3 / 8 = 2

Өөр нэг жишээг харцгаая. 15/16-г 3/32-т хуваах хэрэгтэй гэж бодъё:

Бид ингэж хэлж болно: 3/32-оор үржүүлсний дараа 15/16-тай тэнцэх үржвэрийг өгөх тоог олох хэрэгтэй. Тооцооллыг дараах байдлаар бичье.

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 үл мэдэгдэх тоо X 15/16 байна

Үл мэдэгдэх тооны 1/32 X нь,

32/32 тоо X бүрдүүлэх.

Тиймээс,

Тиймээс бутархайг бутархайд хуваахын тулд эхний бутархайг хоёр дахь хуваагчаар үржүүлж, эхний бутархайг хоёр дахь хуваагчаар үржүүлж, эхний үржвэрийг тоологч болгох хэрэгтэй. ба хоёр дахь нь хуваагч.

Үсэг ашиглан дүрмийг бичье.

Хуваахдаа товчлол хийх боломжтой, жишээлбэл:

5. Холимог тоог хуваах.

Холимог тоог хуваахдаа эхлээд буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь үүссэн бутархайг бутархай хуваах дүрмийн дагуу хуваах ёстой. Нэг жишээг харцгаая:

Холимог тоог буруу бутархай болгон хөрвүүлье:

Одоо хувааж үзье:

Тиймээс холимог тоонуудыг хуваахын тулд тэдгээрийг буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь бутархай хуваах дүрмийг ашиглан хуваах хэрэгтэй.

6. Өгөгдсөн бутархайгаас тоог олох.

Төрөл бүрийн бутархай бодлогуудын дунд заримдаа үл мэдэгдэх тооны зарим бутархайн утгыг өгдөг асуудлууд байдаг бөгөөд та энэ тоог олох хэрэгтэй. Энэ төрлийн бодлого нь өгөгдсөн тооны бутархайг олох бодлогын урвуу байх болно; тэнд тоо өгсөн бөгөөд энэ тооны зарим хэсгийг олох шаардлагатай байсан, энд тооны бутархай өгсөн бөгөөд энэ тоог өөрөө олох шаардлагатай байв. Хэрэв бид энэ төрлийн асуудлыг шийдэх юм бол энэ санаа улам тодорхой болно.

Даалгавар 1.Эхний өдөр шиллэгээчид 50 цонхны шиллэгээ хийсэн нь баригдсан байшингийн бүх цонхны 1/3 нь юм. Энэ байшинд хэдэн цонх байдаг вэ?

Шийдэл.Асуудал нь 50 бүрхүүлтэй цонх нь байшингийн бүх цонхны 1/3-ийг эзэлдэг бөгөөд энэ нь нийт цонхны хэмжээ 3 дахин их байна гэсэн үг юм.

Энэ байшин 150 цонхтой байв.

Даалгавар 2.Тус дэлгүүрт 1500 кг гурил борлуулсан нь тус дэлгүүрийн нийт гурилын нөөцийн 3/8 нь болж байна. Дэлгүүрийн гурилын нөөц ямар байсан бэ?

Шийдэл.Асуудлын нөхцлөөс харахад борлуулсан гурилын 1500 кг нь нийт нөөцийн 3/8 хувийг эзэлдэг; Энэ нь энэ нөөцийн 1/8 нь 3 дахин бага байх болно, өөрөөр хэлбэл үүнийг тооцоолохын тулд та 1500-г 3 дахин багасгах хэрэгтэй.

1500: 3 = 500 (энэ нь нөөцийн 1/8).

Мэдээжийн хэрэг, нийт нийлүүлэлт 8 дахин их байх болно. Тиймээс,

500 8 = 4000 (кг).

Дэлгүүрийн гурилын анхны нөөц 4000 кг байсан.

Энэ асуудлыг авч үзээд дараах дүрмийг гаргаж болно.

Түүний бутархайн өгөгдсөн утгаас тоог олохын тулд энэ утгыг бутархайн хуваагчаар хувааж, үр дүнг бутархайн хуваагчаар үржүүлэхэд хангалттай.

Бутархай өгөгдсөн тоог олох хоёр асуудлыг бид шийдсэн. Сүүлийнхээс харахад ийм асуудлуудыг хоёр үйлдлээр шийддэг: хуваах (нэг хэсэг олдох үед) ба үржүүлэх (бүхэл тоо олдох үед).

Гэсэн хэдий ч бид бутархайг хуваахыг сурсны дараа дээрх асуудлыг нэг үйлдлээр шийдэж болно, тухайлбал: бутархайд хуваах.

Жишээлбэл, сүүлчийн даалгаврыг дараах байдлаар нэг үйлдлээр шийдэж болно.

Ирээдүйд бид түүний бутархайгаас тоог олох асуудлыг нэг үйлдэл - хуваах замаар шийдэх болно.

7. Тоо хувийг хувиар нь олох.

Эдгээр асуудлуудад та энэ тооны хэдэн хувийг мэддэг тоог олох хэрэгтэй болно.

Даалгавар 1.Энэ оны эхээр би хадгаламжийн банкнаас 60 рубль авсан. жилийн өмнө миний хадгаламжинд хийсэн орлого. Би хадгаламжийн банкинд хэдэн төгрөг хийсэн бэ? (Кассууд нь хадгаламж эзэмшигчдэд жилд 2% өгөөж өгдөг.)

Асуудлын гол нь хадгаламжийн банкинд тодорхой хэмжээний мөнгө хийгээд нэг жил суусан. Жилийн дараа би түүнээс 60 рубль авсан. орлого, энэ нь миний байршуулсан мөнгөний 2/100 нь юм. Би хичнээн их мөнгө оруулсан бэ?

Тиймээс, энэ мөнгөний нэг хэсгийг хоёр янзаар (рубль ба фракцаар) илэрхийлсэн тул бид хараахан тодорхойгүй байгаа дүнг бүхэлд нь олох ёстой. Энэ бол бутархай тоог олох энгийн асуудал юм. Дараах асуудлуудыг хуваах замаар шийддэг.

Энэ нь хадгаламжийн банкинд 3000 рубль байршуулсан гэсэн үг юм.

Даалгавар 2.Загасчид хоёр долоо хоногт 512 тонн загас хураан авч, сарын төлөвлөгөөгөө 64 хувиар биелүүлжээ. Тэдний төлөвлөгөө юу байсан бэ?

Асуудлын нөхцлөөс харахад загасчид төлөвлөгөөний нэг хэсгийг биелүүлсэн нь мэдэгдэж байна. Энэ хэсэг нь 512 тонн буюу төлөвлөгөөний 64 хувьтай тэнцэж байна. Төлөвлөгөөний дагуу хэдэн тонн загас бэлтгэх ёстойг бид мэдэхгүй. Энэ тоог олох нь асуудлыг шийдэх гарц болно.

Ийм асуудлыг дараахь байдлаар шийддэг.

Төлөвлөгөөний дагуу 800 тонн загас бэлтгэх шаардлагатай гэсэн үг.

Даалгавар 3.Галт тэрэг Ригагаас Москва руу явсан. Түүнийг 276 дахь километрийн замыг туулахад зорчигчдын нэг нь хажуугаар өнгөрч буй кондуктороос хэдийг нь туулсан гэж асуув. Үүнд кондуктор: "Бид бүх аяллын 30 хувийг туулсан" гэж хариулав. Ригагаас Москва хүртэлх зай хэд вэ?

Асуудлын нөхцлөөс харахад Ригагаас Москва хүртэлх замын 30% нь 276 км байдаг. Бид эдгээр хотуудын хоорондох зайг бүхэлд нь олох хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл энэ хэсгийн хувьд бүхэлд нь олох хэрэгтэй.

§ 91. Харилцан тоо. Хуваалтыг үржүүлэх замаар орлуулах.

2/3-ын бутархайг авч, хуваарийн оронд хуваагчийг сольж, бид 3/2-ыг авна. Бид энэ бутархайн урвуу хэсгийг авсан.

Өгөгдсөн бутархайн урвуу тоог гаргахын тулд хуваагчийн оронд хуваагчийг, хуваагчийг хувагчийн оронд тавих хэрэгтэй. Ийм байдлаар бид дурын бутархайн хариуг авч болно. Жишээлбэл:

3/4, урвуу 4/3; 5/6, урвуу 6/5

Эхнийхийн хуваагч нь хоёр дахь хуваагч, эхнийх нь хуваагч нь хоёр дахь хэсгийн хуваагч байх шинж чанартай хоёр бутархайг гэнэ. харилцан урвуу.

Одоо 1/2-ийн эсрэг ямар бутархай байх талаар бодож үзье. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь 2 / 1, эсвэл зүгээр л 2 байх болно. Өгөгдсөн нэгийн урвуу бутархайг хайснаар бид бүхэл тоо авсан. Мөн энэ хэрэг тусгаарлагдаагүй; эсрэгээр, 1 (нэг) тоологчтой бүх бутархайн хувьд эсрэг тал нь бүхэл тоо байх болно, жишээлбэл:

1/3, урвуу 3; 1/5, урвуу 5

Харилцан бутархайг олохдоо бид бүхэл тоотой тулгарсан тул дараа нь бид харилцан бутархайн тухай биш харин эсрэг тоонуудын тухай ярих болно.

Бүхэл тооны урвуу тоог хэрхэн бичихийг олж мэдье. Бутархайн хувьд үүнийг энгийнээр шийдэж болно: та хуваагчийг тоологчийн оронд тавих хэрэгтэй. Үүнтэй адилаар та бүхэл тооны урвуу утгыг авч болно, учир нь ямар ч бүхэл тоо нь 1-ийн хуваагчтай байж болно. Энэ нь 7-ийн урвуу нь 1/7 болно, учир нь 7 = 7/1; 10-ийн тооны хувьд урвуу нь 1/10 байх болно, учир нь 10 = 10/1

Энэ санааг өөрөөр илэрхийлж болно: өгөгдсөн тооны эсрэг тоог нэгээр хуваах замаар олно өгсөн дугаар . Энэ мэдэгдэл нь зөвхөн бүхэл тоонд төдийгүй бутархайн хувьд ч үнэн юм. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв бид 5/9 бутархайн урвууг бичих шаардлагатай бол 1-ийг аваад 5/9-д хувааж болно, өөрөөр хэлбэл.

Одоо нэг зүйлийг онцолж хэлье өмчхарилцан тоо, энэ нь бидэнд ашигтай байх болно: харилцан тоонуудын үржвэр нь нэгтэй тэнцүү байна.Үнэхээр:

Энэ шинж чанарыг ашиглан бид дараах байдлаар харилцан тоонуудыг олж болно. 8-ын урвуу тоог олох хэрэгтэй гэж бодъё.

Үүнийг үсгээр тэмдэглэе X , дараа нь 8 X = 1, тиймээс X = 1/8. 7/12-ын урвуу тоо болох өөр тоог олоод үсгээр тэмдэглэе X , дараа нь 7/12 X = 1, тиймээс X = 1: 7/12 эсвэл X = 12 / 7 .

Бутархай хуваах тухай мэдээллийг бага зэрэг нэмэхийн тулд бид харилцан тоонуудын тухай ойлголтыг энд оруулав.

6-ын тоог 3/5-д хуваахдаа бид дараахь зүйлийг хийнэ.

Та төлнө үү Онцгой анхааралилэрхийлэл рүү өгөгдсөнтэй харьцуулж: .

Хэрэв бид илэрхийллийг өмнөхтэй нь холбоогүйгээр тусад нь авч үзвэл энэ нь хаанаас ирсэн тухай асуултыг шийдэх боломжгүй юм: 6-г 3/5-аар хуваах эсвэл 6-г 5/3-аар үржүүлэх. Хоёр тохиолдолд ижил зүйл тохиолддог. Тиймээс бид хэлж чадна нэг тоог нөгөө тоонд хуваах нь ногдол ашгийг хуваагчийн урвуугаар үржүүлж сольж болно.

Бидний доор өгсөн жишээнүүд энэ дүгнэлтийг бүрэн баталж байна.

Хичээлийн агуулга

Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх

Бутархай нэмэх хоёр төрөл байдаг:

Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх
Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх

Эхлээд ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийг сурцгаая. Энд бүх зүйл энгийн. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй. Жишээлбэл, бутархай ба . Тоолуурыг нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй:

Хэрэв бид дөрвөн хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай санаж байвал энэ жишээг амархан ойлгож болно. Хэрэв та пицца дээр пицца нэмбэл та пицца авах болно:

Жишээ 2.Бутархай ба .

Хариулт нь буруу бутархай болж хувирав. Даалгаврын төгсгөл ирэхэд зохисгүй бутархай хэсгүүдээс салах нь заншилтай байдаг. Зохисгүй фракцаас салахын тулд та түүний бүх хэсгийг сонгох хэрэгтэй. Манай тохиолдолд бүхэл хэсэг нь амархан тусгаарлагддаг - хоёрыг хоёр хуваасан нь нэгтэй тэнцүү:

Хэрэв бид хоёр хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай санаж байвал энэ жишээг амархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццадаа нэмж пицца нэмбэл нэг бүтэн пицца авах болно:

Жишээ 3. Бутархай ба .

Дахин хэлэхэд бид тоологчдыг нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй орхино.

Гурван хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай санаж байвал энэ жишээг амархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццадаа нэмж пицца нэмбэл та пицца авах болно:

Жишээ 4.Илэрхийллийн утгыг ол

Энэ жишээг өмнөх жишээнүүдийн адилаар шийдсэн. Тоолуурыг нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй байх ёстой.

Зургийг ашиглан шийдлээ дүрслэхийг хичээцгээе. Хэрэв та пицца дээр пицца нэмээд нэмж пицца нэмбэл 1 бүхэл пицца, илүү олон пицца авах болно.

Таны харж байгаагаар ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхэд төвөгтэй зүйл байхгүй. Дараах дүрмийг ойлгоход хангалттай.

Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй;

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх

Одоо өөр өөр хуваагчтай бутархайг хэрхэн нэмэх талаар сурцгаая. Бутархайг нэмэхдээ бутархайн хуваагч ижил байх ёстой. Гэхдээ тэд үргэлж ижил байдаггүй.

Жишээлбэл, бутархай нь ижил хуваагчтай тул нэмж болно.

Гэхдээ бутархайг шууд нэмэх боломжгүй, учир нь эдгээр фракцууд өөр өөр хуваагч. Ийм тохиолдолд бутархайг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон бууруулах ёстой.

Бутархайг ижил хуваагч болгон бууруулах хэд хэдэн арга байдаг. Бусад аргууд нь эхлэгчдэд төвөгтэй мэт санагдаж болох тул өнөөдөр бид тэдгээрийн зөвхөн нэгийг нь авч үзэх болно.

Энэ аргын мөн чанар нь эхлээд хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг хайж олох явдал юм. Дараа нь LCM-ийг эхний нэмэлт хүчин зүйлийг олж авахын тулд эхний бутархайн хуваарьт хуваана. Тэд хоёр дахь фракцтай ижил зүйлийг хийдэг - LCM-ийг хоёр дахь фракцын хуваарьт хувааж, хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйлийг олж авна.

Дараа нь бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлнэ. Эдгээр үйлдлүүдийн үр дүнд өөр өөр хуваагчтай бутархайнууд ижил хуваарьтай бутархай болж хувирдаг. Ийм бутархайг хэрхэн нэмэхийг бид аль хэдийн мэддэг болсон.

Жишээ 1. ба бутархайг нэмье

Юуны өмнө бид хоёр бутархайн хуваагчийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олно. Эхний бутархайн хуваагч нь 3, хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 2. Эдгээр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 6 байна.

LCM (2 ба 3) = 6

Одоо бутархай ба . Эхлээд LCM-ийг эхний бутархайн хуваагчаар хувааж, эхний нэмэлт хүчин зүйлийг авна. LCM нь 6-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 6-г 3-т хуваавал бид 2-ыг авна.

Үр дүнгийн тоо 2 нь эхний нэмэлт үржүүлэгч юм. Бид үүнийг эхний бутархай хүртэл бичдэг. Үүнийг хийхийн тулд бутархай дээр жижиг ташуу зураас хийж, дээр нь олдсон нэмэлт хүчин зүйлийг бичнэ үү.

Бид хоёр дахь бутархайтай ижил зүйлийг хийдэг. Бид LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хувааж, хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйлийг авна. LCM нь 6-ын тоо, хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 2. 6-г 2-т хуваавал бид 3-ыг авна.

Үр дүнгийн тоо 3 нь хоёр дахь нэмэлт үржүүлэгч юм. Бид үүнийг хоёр дахь бутархай хүртэл бичдэг. Дахин хэлэхэд, бид хоёр дахь бутархай дээр жижиг ташуу зураас хийж, дээр нь олдсон нэмэлт хүчин зүйлийг бичнэ.

Одоо бид нэмэлт зүйл хийхэд бэлэн байна. Бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлэхэд л үлддэг.

Бидний юунд хүрснийг анхааралтай ажигла. Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил хуваарьтай бутархай болж хувирдаг гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Ийм бутархайг хэрхэн нэмэхийг бид аль хэдийн мэддэг болсон. Энэ жишээг эцэс хүртэл авч үзье:

Энэ нь жишээг гүйцээнэ. Энэ нь нэмэх болж байна.

Зургийг ашиглан шийдлээ дүрслэхийг хичээцгээе. Хэрэв та пиццанд пицца нэмбэл нэг бүтэн пицца, зургааны нэг пицца авна.

Бутархайг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон багасгахыг мөн зураг ашиглан дүрсэлж болно. Бутархай болон нийтлэг хуваагчийг багасгаснаар бид бутархай ба . Эдгээр хоёр фракцыг ижил пиццаны хэсгүүдээр төлөөлөх болно. Цорын ганц ялгаа нь энэ удаад тэд тэнцүү хувьцаанд хуваагдана (ижил хуваарьт хүртэл бууруулна).

Эхний зураг нь бутархайг (зургаагаас дөрөв), хоёр дахь зураг нь бутархайг (зургаагаас гурав) илэрхийлнэ. Эдгээр хэсгүүдийг нэмснээр бид (зургаагаас долоон ширхэг) авна. Энэ хэсэг нь зохисгүй тул бид түүний бүх хэсгийг онцолсон. Үүний үр дүнд бид (нэг бүтэн пицца, өөр зургаа дахь пицца) авсан.

Бид тайлбарласан гэдгийг анхаарна уу энэ жишээхэтэрхий нарийвчилсан. IN боловсролын байгууллагуудИйм дэлгэрэнгүй бичих нь заншил биш юм. Та хуваагч болон тэдгээрийн нэмэлт хүчин зүйлийн LCM-ийг хурдан олох, түүнчлэн олсон нэмэлт хүчин зүйлийг өөрийн тоо болон хуваагчаар хурдан үржүүлэх чадвартай байх хэрэгтэй. Хэрэв бид сургуульд байсан бол энэ жишээг дараах байдлаар бичих хэрэгтэй болно.

Гэхдээ зоосны бас нэг тал бий. Хэрэв та математикийн хичээлийн эхний шатанд нарийвчилсан тэмдэглэл хөтлөөгүй бол ийм төрлийн асуулт гарч ирж эхэлдэг. "Энэ тоо хаанаас гардаг вэ?", "Яагаад бутархайнууд гэнэт тэс өөр бутархай болж хувирдаг вэ? «.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэхэд хялбар болгохын тулд та дараах алхам алхмаар зааварчилгааг ашиглаж болно.

Бутархай бутархайн хуваагчийн LCM-ийг олох;
LCM-ийг бутархай бүрийн хуваарьт хувааж, бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг олж авах;
Бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлэх;
Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх;
Хэрэв хариулт нь буруу бутархай болж хувирвал түүний бүх хэсгийг сонгоно уу;

Жишээ 2.Илэрхийллийн утгыг ол .

Дээр өгөгдсөн зааврыг ашиглацгаая.

Алхам 1. Бутархай бутархайн хуваагчдыг ол

Хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг ол. Бутархайн хуваагч нь 2, 3, 4 гэсэн тоонууд юм

Алхам 2. LCM-ийг бутархай бүрийн хуваарьт хувааж, бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг ол.

LCM-ийг эхний бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 2-ын тоо юм. 12-ыг 2-оор хуваавал бид 6-г авна. Бид эхний нэмэлт хүчин зүйл 6-г авсан. Бид үүнийг эхний бутархайн дээр бичнэ.

Одоо бид LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хуваана. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 12-ыг 3-т хуваавал бид 4-ийг авна. Бид хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйл 4-ийг авна. Бид үүнийг хоёр дахь бутархайн дээр бичнэ.

Одоо бид LCM-ийг гурав дахь бутархайн хуваагчаар хуваана. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд гурав дахь бутархайн хуваагч нь 4-ийн тоо юм. 12-ыг 4-т хуваавал бид 3-ыг авна. Гурав дахь нэмэлт хүчин зүйл 3. Гурав дахь бутархайн дээр бид үүнийг бичнэ.

Алхам 3. Бутархайн тоо ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүл

Бид тоологч ба хуваагчийг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлдэг.

Алхам 4. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмнэ

Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил (нийтлэг) хуваагчтай бутархай болж хувирсан гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Эдгээр бутархайг нэмэх л үлдлээ. Үүнийг нэмнэ үү:

Нэмэлт нь нэг мөрөнд тохирохгүй байсан тул бид үлдсэн илэрхийлэлийг дараагийн мөрөнд шилжүүлсэн. Үүнийг математикт зөвшөөрдөг. Илэрхийлэл нэг мөрөнд багтахгүй бол дараагийн мөрөнд шилжих ба эхний мөрийн төгсгөл болон эхэнд тэнцүү тэмдэг (=) тавих шаардлагатай. шинэ шугам. Хоёр дахь мөрөнд байгаа тэнцүү тэмдэг нь эхний мөрөнд байсан илэрхийллийн үргэлжлэл гэдгийг харуулж байна.

Алхам 5. Хэрэв хариулт нь буруу бутархай гэж үзвэл түүний бүх хэсгийг тодруулна уу

Бидний хариулт буруу бутархай болж хувирав. Бид бүхэл бүтэн хэсгийг нь тодруулах ёстой. Бид онцолж байна:

Бид хариулт авсан

Ижил хуваагчтай бутархайг хасах

Бутархайг хасах хоёр төрөл байдаг:

Ижил хуваагчтай бутархайг хасах
Өөр өөр хуваагчтай бутархайг хасах

Эхлээд ижил хуваарьтай бутархайг хэрхэн хасах талаар сурцгаая. Энд бүх зүйл энгийн. Нэг бутархайгаас өөр нэгийг хасахын тулд эхний бутархайгаас хоёр дахь бутархайг хасах хэрэгтэй, харин хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй.

Жишээлбэл, илэрхийллийн утгыг олъё. Энэ жишээг шийдэхийн тулд эхний бутархайн хуваагчаас хоёр дахь бутархайн тоог хасч, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй. Үүнийг хийцгээе:

Хэрэв бид дөрвөн хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай санаж байвал энэ жишээг амархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццанаас пицца хайчилж авбал та пицца авах болно:

Жишээ 2.Илэрхийллийн утгыг ол.

Дахин хэлэхэд, эхний бутархайн хуваагчаас хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг өөрчлөгдөөгүй хэвээр үлдээнэ үү.

Гурван хэсэгт хуваагдсан пиццаны тухай санаж байвал энэ жишээг амархан ойлгож болно. Хэрэв та пиццанаас пицца хайчилж авбал та пицца авах болно:

Жишээ 3.Илэрхийллийн утгыг ол

Энэ жишээг өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил шийддэг. Эхний бутархайн тоологчоос үлдсэн бутархайн тоог хасах хэрэгтэй.

Таны харж байгаагаар ижил хуваагчтай бутархайг хасахад төвөгтэй зүйл байхгүй. Дараах дүрмийг ойлгоход хангалттай.

Нэг бутархайгаас өөр нэгийг хасахын тулд эхний бутархайгаас хоёр дахь бутархайг хасч, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй;
Хэрэв хариулт нь буруу бутархай болж хувирвал та түүний бүх хэсгийг тодруулах хэрэгтэй.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг хасах

Жишээлбэл, бутархай нь ижил хуваагчтай тул бутархайг бутархайгаас хасаж болно. Гэхдээ та бутархайг бутархайгаас хасах боломжгүй, учир нь эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай байдаг. Ийм тохиолдолд бутархайг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон бууруулах ёстой.

Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэхэд ашигладаг ижил зарчмыг ашиглан нийтлэг хуваагчийг олно. Юуны өмнө хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг ол. Дараа нь LCM-ийг эхний бутархайн хуваарьт хувааж, эхний нэмэлт хүчин зүйлийг олж авах бөгөөд энэ нь эхний бутархайн дээр бичигдэнэ. Үүний нэгэн адил LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваарьт хувааж, хоёр дахь бутархайн дээр бичигдсэн хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйлийг олж авна.

Дараа нь бутархайг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлнэ. Эдгээр үйлдлүүдийн үр дүнд өөр өөр хуваагчтай бутархайг ижил хуваарьтай бутархай болгон хувиргадаг. Ийм бутархайг хэрхэн хасахаа бид аль хэдийн мэддэг болсон.

Жишээ 1.Илэрхийллийн утгыг ол:

Эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай тул тэдгээрийг ижил (нийтлэг) хуваагч болгон багасгах хэрэгтэй.

Эхлээд бид хоёр бутархайн хуваагчийн LCM-ийг олно. Эхний бутархайн хуваагч нь 3, хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 4. Эдгээр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 12 байна.

LCM (3 ба 4) = 12

Одоо бутархай ба руу буцъя

Эхний бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд LCM-ийг эхний бутархайн хуваагчаар хуваана. LCM нь 12-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 12-ыг 3-т хуваавал бид 4-ийг авна. Эхний бутархайн дээр дөрөв бичнэ үү.

Бид хоёр дахь бутархайтай ижил зүйлийг хийдэг. LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 12-ын тоо, хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 4. 12-ыг 4-т хуваавал бид 3-ыг авна. Хоёр дахь бутархай дээр гурвыг бичнэ үү.

Одоо бид хасахад бэлэн боллоо. Бутархайг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлэхэд л үлддэг.

Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил хуваарьтай бутархай болж хувирдаг гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Ийм бутархайг хэрхэн хасахаа бид аль хэдийн мэддэг болсон. Энэ жишээг эцэс хүртэл авч үзье:

Бид хариулт авсан

Зургийг ашиглан шийдлээ дүрслэхийг хичээцгээе. Хэрэв та пиццанаас пицца хайчилж авбал та пицца авах болно

Энэ бол шийдлийн нарийвчилсан хувилбар юм. Хэрэв бид сургуульд байсан бол энэ жишээг арай богино хугацаанд шийдэх ёстой байсан. Ийм шийдэл нь иймэрхүү харагдах болно.

Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгахыг мөн зураг ашиглан дүрсэлж болно. Эдгээр бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулснаар бид бутархай ба . Эдгээр фракцууд нь ижил пиццаны зүсмэлүүдээр илэрхийлэгдэх боловч энэ удаад ижил хэсгүүдэд хуваагдах болно (ижил хуваагч хүртэл бууруулсан):

Эхний зураг нь бутархай (арван хоёроос найман хэсэг), хоёр дахь зураг нь бутархай (арван хоёроос гурван хэсэг) харуулж байна. Найман хэсгээс гурван ширхэгийг огтолсноор бид арван хоёроос таван ширхэгийг авдаг. Бутархай нь эдгээр таван хэсгийг дүрсэлдэг.

Жишээ 2.Илэрхийллийн утгыг ол

Эдгээр бутархайнууд өөр өөр хуваагчтай тул эхлээд ижил (нийтлэг) хуваагч болгон багасгах хэрэгтэй.

Эдгээр бутархайн хуваагчдын LCM-ийг олъё.

Бутархайн хуваагч нь 10, 3, 5 гэсэн тоонууд юм. Эдгээр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 30 юм.

LCM(10, 3, 5) = 30

Одоо бид бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг олдог. Үүнийг хийхийн тулд LCM-ийг бутархай тус бүрийн хуваагчаар хуваана.

Эхний бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг олъё. LCM нь 30-ын тоо бөгөөд эхний бутархайн хуваагч нь 10-ын тоо юм. 30-ыг 10-д хуваавал бид эхний нэмэлт хүчин зүйл 3-ыг авна. Бид үүнийг эхний бутархайн дээр бичнэ.

Одоо бид хоёр дахь бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг оллоо. LCM-ийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 30-ын тоо бөгөөд хоёр дахь бутархайн хуваагч нь 3-ын тоо юм. 30-ыг 3-т хуваавал бид хоёр дахь нэмэлт хүчин зүйл 10-ыг авна. Бид үүнийг хоёр дахь бутархайн дээр бичнэ.

Одоо бид гурав дахь бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг оллоо. LCM-ийг гурав дахь бутархайн хуваагчаар хуваа. LCM нь 30-ын тоо бөгөөд гурав дахь бутархайн хуваагч нь 5-ын тоо юм. 30-ыг 5-д хуваавал бид гурав дахь нэмэлт хүчин зүйл 6-г авна. Гурав дахь бутархайн дээр бид үүнийг бичнэ.

Одоо бүх зүйл хасахад бэлэн боллоо. Бутархайг нэмэлт хүчин зүйлээр нь үржүүлэхэд л үлддэг.

Бид өөр хуваарьтай бутархайнууд ижил (нийтлэг) хуваагчтай бутархай болж хувирсан гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Ийм бутархайг хэрхэн хасахаа бид аль хэдийн мэддэг болсон. Энэ жишээг дуусгая.

Жишээний үргэлжлэл нь нэг мөрөнд багтахгүй тул бид үргэлжлэлийг дараагийн мөрөнд шилжүүлнэ. Шинэ мөрөнд тэнцүү (=) тэмдгийн талаар бүү мартаарай:

Хариулт нь ердийн бутархай болж хувирсан бөгөөд бүх зүйл бидэнд тохирсон мэт боловч энэ нь хэтэрхий төвөгтэй, муухай юм. Бид үүнийг илүү хялбар болгох ёстой. Юу хийж болох вэ? Та энэ хэсгийг богиносгож болно.

Бутархайг багасгахын тулд түүний хүртэгч ба хуваагчийг 20 ба 30 тоонуудын (GCD) тоонд хуваах хэрэгтэй.

Тиймээс бид 20 ба 30 тоонуудын gcd-г олно.

Одоо бид жишээ рүүгээ буцаж, бутархайн хуваагч ба хуваагчийг олсон gcd, өөрөөр хэлбэл 10-д хуваана.

Бид хариулт авсан

Бутархайг тоогоор үржүүлэх

Бутархайг тоогоор үржүүлэхийн тулд бутархайн тоог тэр тоогоор үржүүлж, хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй.

Жишээ 1. Бутархайг 1-ээр үржүүл.

Бутархайн тоог 1-ээр үржүүлнэ

Бичлэгийг хагас 1 удаа авдаг гэж ойлгож болно. Жишээлбэл, та нэг удаа пицца авбал пицца авдаг

Үржүүлэх хуулиас бид үржүүлэгч ба хүчин зүйлийг сольсон тохиолдолд үржвэр өөрчлөгдөхгүй гэдгийг бид мэднэ. Хэрэв илэрхийлэл гэж бичсэн бол үржвэр нь -тэй тэнцүү хэвээр байх болно. Дахин хэлэхэд бүхэл тоо ба бутархайг үржүүлэх дүрэм ажиллана.

Энэ тэмдэглэгээ нь нэгийн талыг авсан гэж ойлгож болно. Жишээлбэл, хэрэв 1 бүтэн пицца байгаа бол бид хагасыг нь авбал бид пиццатай болно:

Жишээ 2. Илэрхийллийн утгыг ол

Бутархайн тоог 4-өөр үржүүлнэ

Хариулт нь буруу бутархай байв. Үүний бүх хэсгийг онцолж үзье:

Энэ илэрхийлэл нь дөрөвний хоёрыг 4 удаа авна гэж ойлгож болно. Жишээлбэл, та 4 пицца авбал хоёр бүтэн пицца авах болно

Хэрэв бид үржүүлэгч ба үржүүлэгчийг солих юм бол бид илэрхийлэлийг авна. Энэ нь мөн 2-той тэнцүү байх болно. Энэ илэрхийлэл нь дөрвөн бүх пиццанаас хоёр пицца авах гэж ойлгож болно.

Бутархайг үржүүлэх

Бутархайг үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн тоо болон хуваагчийг үржүүлэх хэрэгтэй. Хэрэв хариулт нь буруу бутархай болж хувирвал та түүний бүх хэсгийг тодруулах хэрэгтэй.

Жишээ 1.Илэрхийллийн утгыг ол.

Бид хариулт авсан. Энэ хэсгийг багасгахыг зөвлөж байна. Бутархайг 2-оор багасгаж болно. Дараа нь эцсийн шийдэл нь дараах хэлбэртэй болно.

Энэ илэрхийлэл нь хагас пиццанаас пицца авах гэж ойлгож болно. Бидэнд хагас пицца байна гэж бодъё:

Энэ хагасаас гуравны хоёрыг яаж авах вэ? Эхлээд та энэ хагасыг гурван тэнцүү хэсэгт хуваах хэрэгтэй.

Мөн эдгээр гурван хэсгээс хоёрыг аваарай:

Бид пицца хийх болно. Гурван хэсэгт хуваагдсан пицца ямар байдгийг санаарай.

Энэхүү пиццаны нэг хэсэг болон бидний авсан хоёр хэсэг ижил хэмжээтэй байна:

Өөрөөр хэлбэл бид ижил хэмжээтэй пиццаны тухай ярьж байна. Тиймээс илэрхийллийн утга нь байна

Жишээ 2. Илэрхийллийн утгыг ол

Эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар, эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайн хуваагчаар үржүүлнэ.

Хариулт нь буруу бутархай байв. Үүний бүх хэсгийг онцолж үзье:

Жишээ 3.Илэрхийллийн утгыг ол

Хариулт нь жирийн бутархай болж таарсан ч богиносговол зүгээр. Энэ бутархайг багасгахын тулд та энэ бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг хамгийн томд хуваах хэрэгтэй нийтлэг хуваагч(GCD) тоо 105 ба 450.

Ингээд 105 ба 450 тоонуудын gcd-г олъё:

Одоо бид хариултынхаа тоологч ба хуваагчийг одоо олсон gcd-д, өөрөөр хэлбэл 15-д хуваана.

Бүхэл тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх

Аливаа бүхэл тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Жишээлбэл, 5-ын тоог . Энэ нь тавын утгыг өөрчлөхгүй, учир нь "тавын тоог нэгээр хуваасан" гэсэн утгатай бөгөөд энэ нь бидний мэдэж байгаагаар тавтай тэнцүү юм.

Харилцан тоо

Одоо бид маш их танилцах болно сонирхолтой сэдэвматематикт. Үүнийг "урвуу тоо" гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Тоо руу буцаха нь үржүүлбэл тоо юма нэгийг өгдөг.

Энэ тодорхойлолтод хувьсагчийн оронд орлуулъя адугаар 5 ба тодорхойлолтыг уншиж үзээрэй:

Тоо руу буцах 5 нь үржүүлбэл тоо юм 5 нэгийг өгдөг.

5-аар үржүүлэхэд нэгийг өгөх тоог олох боломжтой юу? Энэ нь боломжтой болж байна. Тавыг бутархай гэж төсөөлье:

Дараа нь энэ бутархайг өөрөө үржүүлж, зөвхөн тоологч ба хуваагчийг солино. Өөрөөр хэлбэл, бутархайг зөвхөн урвуугаар нь үржүүлье:

Үүний үр дүнд юу болох вэ? Хэрэв бид энэ жишээг үргэлжлүүлэн шийдвэл бид нэгийг авна:

Энэ нь 5-ын урвуу нь тоо гэсэн үг, учир нь 5-аар үржүүлснээр та нэг болно.

Тооны эсрэг тоог бусад бүхэл тоонд мөн олж болно.

Та мөн бусад бутархайн хариуг олж болно. Үүнийг хийхийн тулд зүгээр л эргүүлээрэй.

Бутархайг тоонд хуваах

Бидэнд хагас пицца байна гэж бодъё:

Үүнийг хоёр тэнцүү хуваая. Хүн бүр хэр их пицца авах вэ?

Пиццаны талыг хуваасны дараа хоёр тэнцүү хэсгийг олж авсан нь тус бүр нь пицца болж байгааг харж болно. Тиймээс хүн бүр пицца авдаг.

Бутархай хэсгүүдийг хуваах нь эсрэг заалтыг ашиглан хийгддэг. Харилцан тоонууд нь хуваалтыг үржүүлэх замаар солих боломжийг олгодог.

Бутархайг тоонд хуваахын тулд бутархайг хуваагчийн урвуугаар үржүүлэх хэрэгтэй.

Энэ дүрмийг ашиглан бид пиццаныхаа хагасыг хоёр хэсэгт хуваахыг бичнэ.

Тиймээс та бутархайг 2 тоогоор хуваах хэрэгтэй. Энд ногдол ашиг нь бутархай, хуваагч нь 2-ын тоо юм.

Бутархайг 2-ын тоонд хуваахын тулд энэ бутархайг 2-ын хуваагдлын эсрэгээр үржүүлэх хэрэгтэй. 2-ын хуваагдал нь бутархай юм. Тиймээс та үржүүлэх хэрэгтэй

) ба хуваагчийг хуваах (бид бүтээгдэхүүний хуваагчийг авдаг).

Бутархайг үржүүлэх томъёо:

Жишээлбэл:

Тоолуур ба хуваагчийг үржүүлж эхлэхээсээ өмнө бутархайг багасгах боломжтой эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Хэрэв та бутархайг багасгаж чадвал цаашдын тооцоолол хийхэд хялбар байх болно.

Энгийн бутархайг бутархайд хуваах.

Натурал тоо агуулсан бутархайг хуваах.

Энэ нь харагдаж байгаа шигээ аймшигтай биш юм. Нэмэх үеийн нэгэн адил бид бүхэл тоог хуваарьт нэгтэй бутархай болгон хувиргадаг. Жишээлбэл:

Холимог бутархайг үржүүлэх.

Бутархайг үржүүлэх дүрэм (холимог):

холимог бутархайг буруу бутархай болгон хувиргах;
бутархайн тоо ба хуваагчийг үржүүлэх;
бутархай хэсгийг багасгах;
Хэрэв та буруу бутархай авах юм бол бид буруу бутархайг холимог бутархай болгон хувиргадаг.

Анхаар!Үржүүлэхийн тулд холимог фракцөөр холимог бутархай болгохын тулд эхлээд тэдгээрийг буруу бутархай хэлбэрт шилжүүлж, дараа нь үржүүлэх дүрмийн дагуу үржүүлэх хэрэгтэй. энгийн бутархай.

Бутархайг натурал тоогоор үржүүлэх хоёр дахь арга.

Энгийн бутархайг тоогоор үржүүлэх хоёр дахь аргыг ашиглах нь илүү тохиромжтой байж болох юм.

Анхаар!Бутархайг үржүүлэхийн тулд натурал тооБутархайн хуваагчийг энэ тоонд хувааж, тоологчийг өөрчлөхгүй байх шаардлагатай.

Дээрх жишээнээс харахад бутархайн хуваагчийг үлдэгдэлгүйгээр натурал тоонд хуваахад энэ сонголтыг ашиглахад илүү тохиромжтой болох нь тодорхой байна.

Олон давхар бутархай.

Ахлах сургуульд гурван давхар (эсвэл түүнээс дээш) фракцууд ихэвчлэн тулгардаг. Жишээ:

Ийм бутархайг ердийн хэлбэрт оруулахын тулд 2 цэгээр хуваахыг ашиглана уу.

Анхаар!Бутархайг хуваахдаа хуваах дараалал нь маш чухал юм. Болгоомжтой байгаарай, энд төөрөлдөх нь амархан.

Анхаар, Жишээлбэл:

Нэгийг дурын бутархайд хуваахад үр дүн нь ижил бутархай байх болно, зөвхөн урвуу:

Бутархайг үржүүлэх, хуваах практик зөвлөмжүүд:

1. Бутархай илэрхийлэлтэй ажиллахад хамгийн чухал зүйл бол нарийвчлал, анхааралтай байх явдал юм. Бүх тооцоог анхааралтай, үнэн зөв, төвлөрч, тодорхой хий. Оюуны тооцоонд төөрч байснаас төсөлдөө хэдэн мөр нэмж бичсэн нь дээр.

2. Даалгавруудад янз бүрийн төрөлбутархай - энгийн бутархай хэлбэрт шилжих.

3. Бид бүх бутархайг багасгах боломжгүй болтол нь багасгадаг.

4. Олон давхар бутархай илэрхийллүүдБид тэдгээрийг 2 цэгээр хуваах замаар энгийн хэлбэрт оруулдаг.

5. Нэгжийг толгойдоо бутархайгаар хуваагаад зүгээр л бутархайг эргүүл.

Энэ нийтлэлд бид хэрхэн яаж хийхийг олж мэдэх болно холимог тоонуудын хуваагдал. Эхлээд холимог тоог хуваах дүрмийг тоймлон авч, жишээнүүдийн шийдлүүдийг авч үзье. Дараа нь бид холимог тоог натурал тоонд хувааж, натурал тоог холимог тоонд хуваахад анхаарлаа хандуулах болно. Эцэст нь хэлэхэд, холимог тоог энгийн бутархайд хэрхэн хуваахыг харцгаая.

Хуудасны навигаци.

Холимог тоог холимог тоонд хуваах

Холимог тоонуудын хуваагдалэнгийн бутархайг хуваах хүртэл багасгаж болно. Үүнийг хийхийн тулд холимог тоонуудыг буруу бутархай болгон хувиргахад хангалттай.

Үүнийг бичээд үзье Холимог тоог хуваах дүрэм: холимог тоог холимог тоонд хуваахын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

харгалзах энгийн бутархайг хуваана.

Холимог тоог хуваах жишээг үзэхэд л үлддэг.

Жишээ.

Холимог тоог холимог тоонд хуваахад ямар үр дүн гарах вэ?

Шийдэл.

Холимог тоонуудын хуваагдлыг энгийн бутархай болгон хуваахын тулд бид холимог тоонуудыг буруу бутархай болгон хувиргадаг. Тэгээд .

Тиймээс, . Одоо энгийн бутархайг хуваах дүрмийг ашиглая: . Энэ үе шатанд та бутархайг багасгаж болно: . Энэ нь холимог тоонуудын хуваагдлыг дуусгана.

Хариулт:

Холимог тоог натурал тоонд хуваах

Холимог тоог натурал тоонд хуваахэнгийн бутархайг натурал тоонд хуваахад хүргэдэг. Үүнийг хийхийн тулд хуваагдсан холимог тоог буруу бутархай болгон хувиргахад хангалттай.

Жишээ.

Холимог тоог натурал 75 тоонд хуваа.

Шийдэл.

Эхлээд бид холимог тооноос буруу бутархай руу шилждэг. , Дараа нь . Энгийн бутархайг натурал тоонд хуваахад л үлддэг. . Буурсны дараа бид холимог тоог 75 натурал тоонд хуваах коэффициент болох 1/20 бутархайг авна.

Хариулт:

Натурал тоог холимог тоонд хуваах

Натурал тоог холимог тоонд хуваахХолимог тоог буруу бутархайгаар орлуулсны дараа натурал тоог энгийн бутархайд хуваах хүртэл буурна. Тодорхой болгохын тулд жишээний шийдлийг харцгаая.

Жишээ.

Натурал 40 тоог холимог тоонд хуваа.

Шийдэл.

Эхлээд холимог тоог буруу бутархайгаар илэрхийлье. .

Одоо бид хуваагдал руу шилжиж болно, бид . Үүссэн бутархай нь бууруулж болохгүй (багасгах ба бууруулж болохгүй бутархайг үзнэ үү), гэхдээ зохисгүй, тиймээс та бүхэл бүтэн хэсгийг нь салгах хэрэгтэй, бид . Ингэснээр натурал тоог холимог тоонд хувааж дуусгана.

Хамгийн сүүлд бид бутархайг хэрхэн нэмэх, хасах талаар сурсан ("Бутархай нэмэх, хасах" хичээлийг үзнэ үү). Эдгээр үйлдлүүдийн хамгийн хэцүү хэсэг нь бутархайг нийтлэг хуваарьт хүргэх явдал байв.

Одоо үржүүлэх, хуваах асуудлыг шийдэх цаг болжээ. Сайн мэдээ гэвэл эдгээр үйлдлүүд нь нэмэх, хасахаас ч хялбар байдаг. Эхлээд харцгаая хамгийн энгийн тохиолдол, тусгаарлагдсан бүхэл хэсэггүй хоёр эерэг бутархай байх үед.

Хоёр бутархайг үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн тоо болон хуваагчийг тусад нь үржүүлэх ёстой. Эхний тоо нь шинэ бутархайн хуваагч, хоёр дахь нь хуваагч байх болно.

Хоёр бутархайг хуваахын тулд та эхний бутархайг "урвуу" хоёр дахь бутархайгаар үржүүлэх хэрэгтэй.

Зориулалт:

Тодорхойлолтоос харахад бутархайг хуваах нь үржүүлэхэд хүргэдэг. Бутархайг "эргэх"-ийн тулд тоо болон хуваагчийг солиход л хангалттай. Тиймээс, хичээлийн туршид бид үржүүлэхийг голчлон авч үзэх болно.

Үржүүлгийн үр дүнд бууруулж болох бутархай үүсч болно (мөн ихэвчлэн үүсдэг) - энэ нь мэдээжийн хэрэг буурах ёстой. Хэрэв бүх бууруулсны дараа фракц буруу болвол бүх хэсгийг нь тодруулах хэрэгтэй. Гэхдээ үржүүлэхэд тохиолдохгүй зүйл бол нийтлэг хуваагч руу бууруулах явдал юм: хөндлөн огтлолын арга байхгүй, хамгийн их хүчин зүйл, хамгийн бага нийтлэг үржвэр.

Тодорхойлолтоор бид:

Бутархайг бүхэл хэсэг, сөрөг бутархайгаар үржүүлэх

Хэрэв бутархай нь бүхэл тоон хэсгийг агуулж байвал тэдгээрийг буруу болгон хувиргах ёстой бөгөөд зөвхөн дараа нь дээр дурдсан схемийн дагуу үржүүлнэ.

Бутархайн хуваагч, хуваагч эсвэл урд талд нь хасах тэмдэгтэй байвал дараах дүрмийн дагуу үржүүлгээс хасаж эсвэл бүрмөсөн хасаж болно.

Дээрээс нь хасах нь хасах өгдөг;
Хоёр сөрөг нь эерэг болгодог.

Өнөөг хүртэл эдгээр дүрмүүд сөрөг бутархайг нэмэх, хасах үед л бүхэл хэсгийг арилгах шаардлагатай үед л тааралддаг. Ажлын хувьд хэд хэдэн сул талыг нэгэн зэрэг "шатаах" тулд тэдгээрийг нэгтгэж болно.

Бид сөрөг талуудыг бүрэн алга болтол нь хосоор нь арилгадаг. Онцгой тохиолдолд нэг хасах нь амьд үлдэж чадна - хань ижилгүй байсан;
Хэрэв хасах зүйл байхгүй бол үйл ажиллагаа дууссан - та үржүүлж эхлэх боломжтой. Хэрэв хос байхгүй байсан тул сүүлийн хасахыг хасаагүй бол бид үүнийг үржүүлэх хязгаараас гаргаж авдаг. Үр дүн нь сөрөг бутархай юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Бид бүх бутархайг буруу болгон хувиргаж, дараа нь үржүүлэхээс хасахыг авдаг. Бид ердийн дүрмийн дагуу үлдсэн зүйлийг үржүүлдэг. Бид авах:

Тодруулсан бүхэл хэсэг бүхий бутархайн өмнө гарч ирэх хасах нь зөвхөн түүний бүхэл хэсгийг биш, харин бүхэлд нь бутархайг илэрхийлдэг гэдгийг дахин сануулъя (энэ нь сүүлийн хоёр жишээнд хамаарна).

Мөн сөрөг тоонуудад анхаарлаа хандуулаарай: үржүүлэхдээ тэдгээрийг хаалтанд оруулсан болно. Үүнийг үржүүлэх тэмдгүүдээс хасахыг ялгаж, тэмдэглэгээг бүхэлд нь илүү нарийвчлалтай болгохын тулд хийдэг.

Фракцуудыг хурдан бууруулах

Үржүүлэх нь маш их хөдөлмөр шаарддаг үйл ажиллагаа юм. Энд байгаа тоонууд нэлээд том болсон тул асуудлыг хялбарчлахын тулд та бутархайг цаашид багасгахыг оролдож болно. үржүүлэхээс өмнө. Үнэн хэрэгтээ, бутархайн тоо ба хуваагч нь энгийн хүчин зүйлүүд тул тэдгээрийг бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашиглан багасгаж болно. Жишээнүүдийг харна уу:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Тодорхойлолтоор бид:

Бүх жишээн дээр багассан тоонууд болон тэдгээрийн үлдэгдлийг улаанаар тэмдэглэсэн болно.

Анхаарна уу: эхний тохиолдолд үржүүлэгчийг бүрэн бууруулсан. Тэдний оронд ерөнхийдөө бичих шаардлагагүй нэгжүүд хэвээр байна. Хоёр дахь жишээнд бүрэн бууруулахҮүнд хүрэх боломжгүй байсан ч нийт тооцооны хэмжээ буурсан хэвээр байна.

Гэсэн хэдий ч бутархай нэмэх, хасахдаа энэ аргыг хэзээ ч бүү ашигла! Тийм ээ, заримдаа та зүгээр л багасгахыг хүсдэг ижил төстэй тоонууд байдаг. Эндээс харна уу:

Та үүнийг хийж чадахгүй!

Бутархайн тоог нэмэхэд тоонуудын үржвэр биш харин нийлбэр гарч ирдэг тул алдаа гардаг. Иймээс бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашиглах боломжгүй, учир нь энэ шинж чанар нь тоон үржүүлэхтэй холбоотой байдаг.

Бутархайг багасгах өөр шалтгаан байхгүй, тиймээс зөв шийдэлөмнөх даалгавар дараах байдалтай байна.

Зөв шийдэл:

Таны харж байгаагаар зөв хариулт нь тийм ч үзэсгэлэнтэй биш байв. Ерөнхийдөө болгоомжтой байгаарай.