Векторуудын холимог бүтээгдэхүүн. Векторуудын хөндлөн үржвэр. Векторуудын холимог үржвэр Өгөгдсөн векторууд параллелепипедийн эзэлхүүнийг ол

20.06.2020

Векторуудын хувьд ба , координатаар өгөгдсөн, , холимог бүтээгдэхүүнийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Холимог хэсэгхэрэглэх: 1) векторууд дээр баригдсан тетраэдр ба параллелепипедийн эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд , ба ирмэг дээрх шиг томъёогоор: ; 2) , ба : векторуудын харилцан уялдаатай байх нөхцөл болгон, мөн ижил хавтгай байна.

Сэдэв 5. Онгоц дээрх шугамууд.

Ердийн шугамын вектор , өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр тэгээс өөр ямар ч вектор гэнэ. Чиглэлийн вектор шулуун байна , өгөгдсөн шулуунтай параллель ямар ч тэг биш вектор гэж нэрлэдэг.

Шулуун онгоцонд Координатын системд дараахь төрлийн аль нэгийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно.

1) - ерөнхий тэгшитгэл шугам, шугамын хэвийн вектор хаана байна;

2) - өгөгдсөн векторт перпендикуляр цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл;

3) - өгөгдсөн вектортой параллель цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл ( каноник тэгшитгэл );

4) - өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл, ;

5) - шугамын тэгшитгэл -тай налуу , шугам өнгөрөх цэг хаана байна; () – шулуун шугамын тэнхлэгтэй хийх өнцөг; - тэнхлэг дээрх шулуун шугамаар таслагдсан сегментийн урт (тэмдэгтэй) (хэрэв сегмент нь тэнхлэгийн эерэг хэсэгт таслагдсан бол “ ” тэмдэг, сөрөг хэсэгт байвал “ ” тэмдэг).

6) - шугамын тэгшитгэл сегментүүдэд, Энд ба сегментүүдийн урт (тэмдэгтэй) нь координатын тэнхлэгүүд дээр шулуун шугамаар таслагдсан ба (хэрэв сегментийг тэнхлэгийн эерэг хэсэгт таслвал “ ” тэмдэг, сөрөг хэсэгт байвал “ ” тэмдэг).

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай Хавтгай дээрх ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөнийг дараах томъёогоор олно.

булан, ( )шулуун шугамын хооронд ерөнхий тэгшитгэл эсвэл өнцгийн коэффициент бүхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн -ийг дараах томъёоны аль нэгийг ашиглан олно.

Хэрэв эсвэл.

Хэрэв эсвэл

Шугамануудын огтлолцох цэгийн координатууд системийн шийдэл болж олддог шугаман тэгшитгэл: эсвэл .

Сэдэв 10. Олон түмэн. Тоон багц. Функцүүд.

Доод олон бие биенээсээ ялгагдах, нэгдмэл байдлаар төсөөлж болох аливаа шинж чанартай объектуудын тодорхой багцыг ойлгох. Олонлогийг бүрдүүлдэг объектуудыг дуудна элементүүд . Олонлог нь хязгааргүй (хязгааргүй тооны элементүүдээс бүрдэнэ), төгсгөлтэй (хязгааргүй тооны элементүүдээс бүрдэнэ), хоосон (нэг элемент агуулаагүй) байж болно. Олонлогуудыг: , тэдгээрийн элементүүдийг: -ээр тэмдэглэнэ. Хоосон олонлогийг -ээр тэмдэглэнэ.

багц гэж нэрлэдэг дэд олонлог олонлогийн бүх элементүүд олонлогт хамаарах бол тохируулж бичнэ.

багц гэж нэрлэдэг тэнцүү , хэрэв тэдгээр нь ижил элементүүдээс бүрдэх ба бичнэ. Хоёр олонлог нь зөвхөн ба тохиолдолд тэнцүү байх болно.

багц гэж нэрлэдэг бүх нийтийн (энэ математикийн онолын хүрээнд) , хэрэв түүний элементүүд нь энэ онолд авч үзсэн бүх объект юм бол.

Багцыг тодорхойлж болно: 1) түүний бүх элементүүдийг жагсаах, жишээлбэл: (зөвхөн хязгаарлагдмал олонлогт); 2) Бүх нийтийн олонлогийн элемент тухайн олонлогт хамаарах эсэхийг тодорхойлох дүрмийг зааж өгснөөр: .

Холбоо

хөндлөн гарах замаар олонлогуудыг олонлог гэж нэрлэдэг

Ялгаагаар олонлогуудыг олонлог гэж нэрлэдэг

Нэмэлт олонлогийг (бүх нийтийн олонлогийн өмнө) олонлог гэж нэрлэдэг.

Хоёр багцыг дууддаг тэнцүү ба эдгээр олонлогийн элементүүдийн хооронд нэг нэгээр нь харилцаж чадвал ~ гэж бичнэ. багц гэж нэрлэдэг тоолох боломжтой , хэрэв энэ нь олонлогтой тэнцүү бол натурал тоонууд: ~ . Тодорхойлолтоор хоосон багцыг тоолж болно.

Хүчинтэй (бодит) тоо хязгааргүй гэж нэрлэдэг аравтын, "+" эсвэл "" тэмдгээр авсан. Бодит тоог тоон шулуун дээрх цэгүүдээр тодорхойлно.

Модуль Бодит тооны (үнэмлэхүй утга) нь сөрөг бус тоо юм:

багц гэж нэрлэдэг тоон , хэрэв түүний элементүүд нь бодит тоо бол. Тоон интервалаар олонлог гэж нэрлэдэг

тоонууд: , , , , , , , , , .

Дурын бага тоо байх нөхцөлийг хангасан тооны шулуун дээрх бүх цэгүүдийн багцыг гэнэ. -хүрээлэн буй орчин (эсвэл зүгээр л хөрш) цэгийн болон тэмдэглэгдсэн байна. Нөхцөлтэй бүх цэгүүдийн багц , энд - дур зоргоороо их тоо, гэж нэрлэдэг - хүрээлэн буй орчин (эсвэл зүгээр л хөрш) хязгааргүй бөгөөд -ээр тэмдэглэгдсэн байдаг.

Ижил тоон утгыг хадгалах хэмжигдэхүүнийг нэрлэнэ тогтмол. Өөр өөр тоон утгыг авдаг хэмжигдэхүүнийг нэрлэдэг хувьсагч. Чиг үүрэг тоо бүр нь маш тодорхой нэг тоотой холбоотой байдаг дүрэм гэж нэрлэдэг бөгөөд тэд бичдэг. багц гэж нэрлэдэг тодорхойлолтын домэйн функцууд, - олон (эсвэл бүс нутаг ) үнэт зүйлс функцууд, - маргаан , - функцийн утга . Функцийг тодорхойлох хамгийн түгээмэл арга бол функцийг томъёогоор тодорхойлдог аналитик арга юм. Тодорхойлолтын байгалийн домэйн функц нь энэ томъёо нь утга учиртай аргументуудын утгуудын багц юм. Функцийн график , тэгш өнцөгт координатын системд, , координат бүхий хавтгайн бүх цэгүүдийн багц юм.

Функцийг дууддаг бүр Дараах нөхцөл бүгд хангагдсан бол цэгийн тэгш хэмтэй олонлог дээр: ба хачин , нөхцөл хангагдсан бол. Үгүй бол - функц ерөнхий үзэлэсвэл тэгш, сондгой ч биш .

Функцийг дууддаг үе үе хэрэв тоо байгаа бол багц дээр ( функцийн хугацаа ), дараах нөхцөл бүгд хангагдсан байхаар: . Хамгийн бага тооүндсэн үе гэж нэрлэдэг.

Функцийг дууддаг монотон нэмэгдэж байна (буурч байна ) багц дээр хэрэв илүү өндөр үнэ цэнэаргумент нь функцийн том (жижиг) утгатай тохирч байна.

Функцийг дууддаг хязгаарлагдмал иж бүрдэл дээр дараах нөхцөл бүгд хангагдсан тоо байвал: . Үгүй бол функц нь байна хязгааргүй .

Урвуу ажиллах , , нь олонлог дээр тодорхойлогддог функц бөгөөд тус бүрд нь . Функцийн урвуу функцийг олох , тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй харьцангуй . Хэрэв функц , дээр хатуу монотон байна, дараа нь энэ нь үргэлж урвуу байх бөгөөд хэрэв функц өсөх (багарах) байвал урвуу функцмөн нэмэгддэг (буурдаг).

Функцийн тодорхойлолтын муж нь функцын утгуудын бүхэл бүтэн багцыг агуулсан зарим функцүүд юм. нарийн төвөгтэй функц бие даасан аргумент. Хувьсагчийг завсрын аргумент гэж нэрлэдэг. Нарийн төвөгтэй функцмөн функцийн бүрдэл гэж нэрлэдэг ба , гэж бичнэ: .

Үндсэн суурь функцуудыг авч үздэг: хүч функц, заалт функц (, ), логарифм функц (, ), тригонометр функцууд , , , , урвуу тригонометр функцууд , , , . Бага анги үндсэнээс олж авсан функц гэж нэрлэдэг үндсэн функцуудтэдгээрийн арифметик үйлдлүүд болон бүтцүүдийн хязгаарлагдмал тоо.

Функцийн график нь цэг дээр оройтой парабол бөгөөд түүний мөчрүүд нь дээш, хэрэв байвал доош чиглэсэн байдаг.

Зарим тохиолдолд функцийн графикийг байгуулахдаа түүний тодорхойлолтын мужийг хэд хэдэн давхцалгүй интервалд хувааж, тус бүр дээр дараалан график байгуулах нь зүйтэй.

Бодит тоонуудын дараалсан багц бүрийг дууддаг цэгийн хэмжээст арифметик (координат) орон зай ба тоонуудыг ee гэж нэрлэдэг бол эсвэл -ээр тэмдэглэнэ координатууд .

Хэд хэдэн цэгийн багц болон байг. Хэрэв цэг бүрт тодорхой дүрмийн дагуу тодорхой тодорхойлогдсон нэг бодит тоо оноогдсон бол олонлог дээр хувьсагчийн тоон функц өгөгдсөн гэж хэлдэг бөгөөд тэд товч эсвэл товч бичдэг. тодорхойлолтын домэйн , - утгын багц , - аргументууд (бие даасан хувьсагч) функцууд.

Хоёр хувьсагчийн функцийг ихэвчлэн -ээр, гурван хувьсагчийн функцийг -ээр тэмдэглэдэг. Функцийн тодорхойлолтын муж нь хавтгай дахь тодорхой цэгүүдийн багц юм.

Сэдэв 7. Тооны дараалал ба цуврал. Тогтвортой байдлын хязгаар. Функц ба тасралтгүй байдлын хязгаар.

Хэрэв зарим дүрмийн дагуу натурал тоо бүр нэг сайн тодорхойлогдсон бодит тоотой холбоотой бол тэд өгөгдсөн гэж хэлдэг. тооны дараалал . Товчхондоо илэрхийлнэ. дугаарыг дуудаж байна дарааллын нийтлэг гишүүн . Дарааллыг мөн байгалийн аргумент функц гэж нэрлэдэг. Дараалал нь үргэлж хязгааргүй олон элементүүдийг агуулдаг бөгөөд тэдгээрийн зарим нь тэнцүү байж болно.

дугаарыг дуудаж байна дарааллын хязгаар , мөн ямар нэгэн тооны хувьд бүх тэгш бус байдлын хувьд ийм тоо байвал бичнэ үү.

Хязгаарлагдмал хязгаартай дарааллыг нэрлэдэг нэгдэх , эс бөгөөс - ялгаатай .

: 1) буурч байна , Хэрэв ; 2) нэмэгдэж байна , Хэрэв ; 3) буурдаггүй , Хэрэв ; 4) өсөхгүй , Хэрэв . Дээрх бүх дарааллыг дуудна нэг хэвийн .

Дараалал гэж нэрлэдэг хязгаарлагдмал , хэрэв дараах нөхцөл бүгд хангагдсан тоо байвал: . Үгүй бол дараалал нь байна хязгааргүй .

Монотон хязгаарлагдмал дараалал бүр хязгаартай ( Вейерштрассын теорем).

Дараалал гэж нэрлэдэг хязгааргүй жижиг , Хэрэв . Дараалал гэж нэрлэдэг хязгааргүй том (хязгааргүйд ойртох) хэрэв .

Тоо дарааллын хязгаар гэж нэрлэдэг, хаана

Тогтмолыг Неперийн тоо гэж нэрлэдэг. Тооны суурь хүртэлх логарифмыг гэнэ байгалийн логарифмтоонууд ба -аар тэмдэглэгдсэн байна.

Тоонуудын дараалал болох хэлбэрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг тооны цуврал мөн томилогдох болно. Цувралын эхний гишүүдийн нийлбэрийг нэрлэнэ - хэсэгчилсэн дүн эгнээ.

Цуврал гэж нэрлэдэг нэгдэх , хязгаарлагдмал хязгаартай бол ба ялгаатай , хэрэв хязгаар байхгүй бол. дугаарыг дуудаж байна нийлсэн цувааны нийлбэр , Үүний зэрэгцээ тэд бичдэг.

Хэрэв цуваа нийлвэл (цувралын ойртох зайлшгүй шинж тэмдэг ) . Урвуу мэдэгдэл нь үнэн биш юм.

Хэрэв , дараа нь цуваа зөрүүтэй байна ( цувралын зөрүүний хангалттай үзүүлэлт ).

Ерөнхий гармоник цуврал-д нийлдэг ба зөрүүтэй цуваа юм.

Геометрийн цуврал -д нийлдэг цуваа, харин нийлбэр нь тэнцүү ба -д хуваагддаг. тоо эсвэл тэмдэг олох.

(зүүн хагас хөрш, баруун хагас хөрш) ба

координатаар нь тодорхойлсон , ба векторуудын хувьд холимог үржвэрийг дараах томъёогоор тооцоолно. 1) векторууд дээр баригдсан тетраэдр ба параллелепипедийн эзэлхүүнийг тооцоолохын тулд , ба ирмэг дээрх шиг томъёогоор: ; 2) , ба : векторуудын харилцан уялдаатай байх нөхцөл болгон, мөн ижил хавтгай байна.

Сэдэв 5. Холимог бүтээгдэхүүнийг дараахь байдлаар ашигладаг.

Шулуун онгоцонд

1) - ерөнхий тэгшитгэл шугам, шугамын хэвийн вектор хаана байна;

2) - өгөгдсөн векторт перпендикуляр цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл;

3) каноник тэгшитгэл );

5) - шугамын тэгшитгэл налуутай , шугам өнгөрөх цэг хаана байна; () – шулуун шугамын тэнхлэгтэй хийх өнцөг; - тэнхлэг дээрх шулуун шугамаар таслагдсан сегментийн урт (тэмдэгтэй) (хэрэв сегмент нь тэнхлэгийн эерэг хэсэгт таслагдсан бол “ ” тэмдэг, сөрөг хэсэгт байвал “ ” тэмдэг).

Нэг цэгээс шугам хүртэлх зай Хавтгай дээрх ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөнийг дараах томъёогоор олно.

Хэрэв эсвэл.

Хэрэв эсвэл

Шугамануудын огтлолцох цэгийн координатууд ба шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл хэлбэрээр олддог: эсвэл .

Онгоцны хэвийн вектор , өгөгдсөн хавтгайд перпендикуляр тэгээс өөр ямар ч вектор гэнэ.

Онгоц Координатын системд дараахь төрлийн аль нэгийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно.

1) - ерөнхий тэгшитгэл хавтгай, онгоцны хэвийн вектор хаана байна;

2) - өгөгдсөн векторт перпендикуляр цэгээр дамжин өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэл;

3) - гурван цэгийг дайран өнгөрөх хавтгайн тэгшитгэл ба ;

4) - хавтгай тэгшитгэл сегментүүдэд, Энд , ба координатын тэнхлэгүүд дээр хавтгайгаар таслагдсан хэрчмүүдийн урт (тэмдэгтэй) ба (хэрэв хэрчмийг тэнхлэгийн эерэг хэсэгт тасалсан бол “ ” тэмдэг, сөрөг хэсэгт байвал “ ” тэмдэг) .

Нэг цэгээс хавтгай хүртэлх зай , ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөнийг дараах томъёогоор олно.

булан,( )онгоц хооронд ба ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөнийг дараах томъёогоор олно.

Шулуун сансарт Координатын системд дараахь төрлийн аль нэгийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно.

1) - ерөнхий тэгшитгэл шулуун хоёр хавтгайн огтлолцлын шугам, энд ба хавтгайнуудын хэвийн векторууд ба ;

2) - өгөгдсөн вектортой параллель цэгээр дамжин өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл ( каноник тэгшитгэл );

3) - өгөгдсөн хоёр цэгийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэл, ;

4) - Өгөгдсөн вектортой параллель цэгээр дамжин өнгөрөх шулууны тэгшитгэл, ( параметрийн тэгшитгэл );

булан, ( ) шулуун шугамын хооронд Тэгээд сансарт Каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөнийг дараах томъёогоор олно.

Шугамын огтлолцох цэгийн координатууд , параметрийн тэгшитгэлээр өгөгдсөн болон онгоцууд , ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөнийг шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл болгон олно: .

булан, ( ) шулуун шугамын хооронд , өгсөн каноник тэгшитгэл болон онгоц , ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөнийг томъёогоор олно: .

Сэдэв 6. Хоёр дахь эрэмбийн муруй.

Хоёрдахь эрэмбийн алгебрийн муруйкоординатын системд муруй гэж нэрлэгддэг, ерөнхий тэгшитгэл хэлбэртэй байна:

Энд тоонууд - нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү биш байна. Хоёрдахь эрэмбийн муруйн дараах ангилал байдаг. 1) Хэрэв бол ерөнхий тэгшитгэл нь муруйг тодорхойлно эллипс төрөл (тойрог (ат), эллипс (ат), хоосон багц, цэг); 2) хэрэв , тэгвэл - муруй гиперболын төрөл (гипербол, огтлолцсон хос шугам); 3) хэрэв , тэгвэл - муруй параболик төрөл(парабол, хоосон багц, шугам, хос зэрэгцээ шугам). Тойрог, эллипс, гипербол, парабол гэж нэрлэдэг хоёр дахь эрэмбийн доройтдоггүй муруй.

Ерөнхий тэгшитгэл, энд , доройтдоггүй муруйг тодорхойлох (тойрог, эллипс, гипербол, парабол), үргэлж (сонгох аргаар) бүрэн квадратууд) дараах төрлүүдийн аль нэгийн тэгшитгэл болгон бууруулж болно.

1а) -цэг дээр төвтэй, радиустай тойргийн тэгшитгэл (Зураг 5).

1б)- цэг дээр төвтэй эллипсийн тэгшитгэл, координатын тэнхлэгтэй параллель тэгш хэмийн тэнхлэгүүд. Тоонууд болон - гэж нэрлэдэг эллипсийн хагас тэнхлэгүүд эллипсийн гол тэгш өнцөгт; эллипсийн оройнууд .

Координатын системд эллипс байгуулахын тулд: 1) эллипсийн төвийг тэмдэглэх; 2) төвөөр дамжин өнгөрөх тасархай шугамэллипсийн тэгш хэмийн тэнхлэг; 3) тэгш хэмийн тэнхлэгтэй параллель төв ба талуудтай эллипсийн гол тэгш өнцөгтийг тасархай шугамаар байгуулна; 4) Бид эллипсийг хатуу шугамаар зурж, гол тэгш өнцөгт рүү зурж, эллипс нь зөвхөн эллипсийн оройн хэсгүүдэд хүрдэг (Зураг 6).

Тойргийг ижил төстэй байдлаар барьсан бөгөөд гол тэгш өнцөгт нь талуудтай (Зураг 5).

Зураг.5 Зураг.6

2) - гиперболын тэгшитгэл (гэж нэрлэдэг коньюгат) цэг дээр төвтэй, координатын тэнхлэгүүдтэй параллель тэгш хэмийн тэнхлэгүүдтэй. Тоонууд болон - гэж нэрлэдэг гиперболын хагас тэнхлэгүүд ; тэгш хэмийн тэнхлэгүүдтэй параллель талуудтай тэгш өнцөгт ба цэгийн төв - гиперболын үндсэн тэгш өнцөгт; үндсэн тэгш өнцөгтийн тэгш хэмийн тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд - гиперболын оройнууд; үндсэн тэгш өнцөгтийн эсрэг талын оройг дайран өнгөрөх шулуун шугамууд - гиперболын асимптотууд .

Координатын системд гипербол байгуулахын тулд: 1) гиперболын төвийг тэмдэглэх; 2) гиперболын тэгш хэмийн тэнхлэгийг дундуур нь тасархай шугамаар зурах; 3) бид тасархай шугамаар гиперболын үндсэн тэгш өнцөгтийг тэгш хэмийн тэнхлэгтэй параллель төв ба талуудтай барина; 4) гол тэгш өнцөгтийн эсрэг талын оройг тасархай шугамаар шулуун шугамыг зурж, тэдгээр нь гиперболын асимптот болох, гиперболын мөчрүүд нь хязгааргүй ойртож, координатын гарал үүслээс хязгааргүй зайд, тэдгээрийг огтлолцохгүйгээр зурах; 5) Бид гиперболын мөчрүүдийг (Зураг 7) эсвэл гиперболын (Зураг 8) хатуу шугамаар дүрсэлдэг.

Зураг.7 Зураг.8

3а)- цэг дээрх оройтой параболын тэгш хэмийн тэнхлэгийн тэгшитгэл координатын тэнхлэг(Зураг 9).

3б)- цэг дээрх оройтой параболын тэгшитгэл ба координатын тэнхлэгтэй параллель тэгш хэмийн тэнхлэг (Зураг 10).

Координатын системд параболыг байгуулахын тулд: 1) параболын оройг тэмдэглэх; 2) параболын тэгш хэмийн тэнхлэгийг оройгоор нь тасархай шугамаар зурах; 3) Бид параболыг параболын параметрийн тэмдгийг харгалзан салбарыг чиглүүлж, хатуу шугамаар дүрсэлдэг: хэзээ - дотор эерэг талпараболын тэгш хэмийн тэнхлэгтэй параллель координатын тэнхлэг (9а ба 10а-р зураг); at - at сөрөг талкоординатын тэнхлэг (Зураг 9б ба 10б).

Цагаан будаа. 9a Зураг. 9б

Цагаан будаа. 10a Зураг. 10б

Сэдэв 7. Олон түмэн. Тоон багц. Чиг үүрэг.

багц гэж нэрлэдэг дэд олонлог олонлогийн бүх элементүүд олонлогт хамаарах бол тохируулж бичнэ. багц гэж нэрлэдэг тэнцүү , хэрэв тэдгээр нь ижил элементүүдээс бүрдэх ба бичнэ. Хоёр олонлог нь зөвхөн ба тохиолдолд тэнцүү байх болно.

Холбоо

хөндлөн гарах замаар олонлогуудыг олонлог гэж нэрлэдэг

Ялгаагаар олонлогуудыг олонлог гэж нэрлэдэг

Нэмэлт олонлогийг (бүх нийтийн олонлогийн өмнө) олонлог гэж нэрлэдэг.

Хоёр багцыг дууддаг тэнцүү ба эдгээр олонлогийн элементүүдийн хооронд нэг нэгээр нь харилцаж чадвал ~ гэж бичнэ. багц гэж нэрлэдэг тоолох боломжтой , хэрэв натурал тооны олонлогтой тэнцүү бол: ~. Тодорхойлолтоор хоосон багцыг тоолж болно.

Олонлогийг агуулагдах элементийн тоогоор нь харьцуулах үед олонлогийн үндсэн байдлын тухай ойлголт үүсдэг. Багцын кардинал байдлыг -ээр тэмдэглэнэ. Хязгаарлагдмал олонлогийн үндсэн чанар нь түүний элементүүдийн тоо юм.

Эквивалент олонлогууд нь ижил кардиналтай байдаг. багц гэж нэрлэдэг тоо томшгүй олон , хэрэв түүний хүч нь багцын хүчнээс их бол.

Хүчинтэй (бодит) тоо "+" эсвэл "" тэмдгээр авсан хязгааргүй аравтын бутархайг нэрлэдэг. Бодит тоог тоон шулуун дээрх цэгүүдээр тодорхойлно. Модуль Бодит тооны (үнэмлэхүй утга) нь сөрөг бус тоо:

багц гэж нэрлэдэг тоон , хэрэв түүний элементүүд нь бодит тоонууд бол интервалаар тооны багцыг: , , , , , , , , гэж нэрлэдэг.

Дурын бага тоо байх нөхцөлийг хангасан тооны шулуун дээрх бүх цэгүүдийн багцыг гэнэ. -хүрээлэн буй орчин (эсвэл зүгээр л хөрш) цэгийн ба -аар тэмдэглэгдсэн байна. Дурын их тоо байх нөхцөлтэй бүх цэгүүдийн олонлогийг - гэж нэрлэдэг. хүрээлэн буй орчин (эсвэл зүгээр л хөрш) хязгааргүй бөгөөд -ээр тэмдэглэгдсэн байдаг.

Функцийг дууддаг бүр Дараах нөхцөл бүгд хангагдсан бол цэгийн тэгш хэмтэй олонлог дээр: ба хачин , нөхцөл хангагдсан бол. Үгүй бол ерөнхий хэлбэрийн функц эсвэл тэгш, сондгой ч биш .

Функцийг дууддаг үе үе хэрэв тоо байгаа бол багц дээр ( функцийн хугацаа ), дараах нөхцөл бүгд хангагдсан байхаар: . Хамгийн бага тоог үндсэн үе гэж нэрлэдэг.

Функцийг дууддаг монотон нэмэгдэж байна (буурч байна ) аргументийн том утга нь функцын том (жижиг) утгатай тохирч байвал олонлог дээр.

Урвуу ажиллах , , нь олонлог болон тус бүр дээр тодорхойлогдсон функц юм

Ийм таарч байна. Функцийн урвуу функцийг олох , тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй харьцангуй . Хэрэв функц , дээр хатуу монотон байна, дараа нь энэ нь үргэлж урвуу байх бөгөөд хэрэв функц өсөх (багарах) байвал урвуу функц нь мөн нэмэгддэг (буурдаг).

Функцийн тодорхойлолтын муж нь функцын утгуудын бүхэл бүтэн багцыг агуулсан зарим функцүүд юм. нарийн төвөгтэй функц бие даасан аргумент. Хувьсагчийг завсрын аргумент гэж нэрлэдэг. Нарийн төвөгтэй функцийг мөн функцүүдийн бүрэлдэхүүн гэж нэрлэдэг ба , гэж бичнэ: .

Үндсэн суурь функцуудыг авч үздэг: хүч функц, заалт функц (, ), логарифм функц (, ), тригонометр функцууд , , , , урвуу тригонометр функцууд , , , . Бага анги нь үндсэн энгийн функцуудаас тэдгээрийн арифметик үйлдлүүд болон бүрдлүүдийн хязгаарлагдмал тоогоор олж авсан функц юм.

Хэрэв функцийн график өгөгдсөн бол функцийн графикийг байгуулах нь графикийг хэд хэдэн хувиргалт (шилжүүлэх, шахах эсвэл сунгах, харуулах) болгон бууруулна.

1) 2) хувиргалт нь тэнхлэгтэй харьцуулахад графикийг тэгш хэмтэй харуулдаг; 3) хувиргалт нь графикийг тэнхлэгийн дагуу нэгжээр шилжүүлдэг ( - баруун тийш, - зүүн тийш); 4) хувиргалт нь графикийг тэнхлэгийн дагуу нэгжээр шилжүүлдэг ( - дээш, - доош); 5) тэнхлэгийн дагуу графикийг хувиргах нь хүчин зүйлээр сунадаг, хэрэв эсвэл хүчин зүйлээр шахагддаг, хэрэв; 6) Графикийг тэнхлэгийн дагуу хөрвүүлэх нь хэрэв хүчин зүйлээр шахагдана, хэрэв .

Функцийн графикийг байгуулахдаа хувиргах дарааллыг дараах байдлаар дүрсэлж болно.

Анхаарна уу. Өөрчлөлтийг хийхдээ тэнхлэгийн дагуух шилжилтийн хэмжээ нь аргумент дээр биш харин аргумент дээр шууд нэмсэн тогтмолоор тодорхойлогддог гэдгийг санаарай.

Функцийн график нь цэг дээр оройтой парабол бөгөөд түүний салбарууд нь дээш, хэрэв байвал доош чиглэсэн байдаг. Шугаман бутархай функцийн график нь цэг дээр төвтэй, асимптотууд нь координатын тэнхлэгүүдтэй параллель төвөөр дамжин өнгөрдөг гипербол юм.

, нөхцөлийг хангаж байна. дуудсан. Векторуудын үржвэрийг авч үзье. Тэгээд
, дараах байдлаар бүрдэнэ.

. Энд эхний хоёр векторыг вектороор үржүүлж, тэдгээрийн үр дүнг гурав дахь вектороор скаляраар үржүүлнэ. Ийм үржвэрийг вектор-скаляр буюу гурван векторын холимог бүтээгдэхүүн гэж нэрлэдэг. Холимог бүтээгдэхүүн нь тоог илэрхийлнэ. Үүнийг олж мэдьегеометрийн утга
.

илэрхийллүүд Теорем

. Гурван векторын холимог үржвэр нь эдгээр векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тэнцүү бөгөөд хэрэв эдгээр векторууд баруун гурвалсан бол нэмэх тэмдгээр, зүүн гурвалсан бол хасах тэмдгээр авна.Баталгаа.. , , Ирмэгүүд нь векторууд болох параллелепипед байгуулъя
.

ба вектор
,
Бидэнд: , Хаана Векторуудын үржвэрийг авч үзье. ,
- векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбай
векторуудын баруун гурвалсан ба
зүүн талд, хаана
- параллелепипедийн өндөр. Бид авах:
Бидэнд: , өөрөөр хэлбэл , Векторуудын үржвэрийг авч үзье. .

- векторуудын үүсгэсэн параллелепипедийн эзэлхүүн

Холимог бүтээгдэхүүний шинж чанар 1. Холимог бүтээгдэхүүн нь хэзээ өөрчлөгдөхгүймөчлөгийн

түүний хүчин зүйлсийг дахин зохион байгуулах, өөрөөр хэлбэл. .

Үнэн хэрэгтээ энэ тохиолдолд параллелепипедийн хэмжээ, түүний ирмэгийн чиглэл өөрчлөгддөггүй.
.

2. Вектор ба скаляр үржүүлгийн тэмдгүүдийг солиход холимог үржвэр өөрчлөгдөхгүй, i.e.
Векторуудын үржвэрийг авч үзье.
Үнэхээр, , , Векторуудын үржвэрийг авч үзье. , , . Гурвалсан векторуудаас хойш бид эдгээр тэгшитгэлийн баруун талд ижил тэмдгийг авдаг

- нэг чиг баримжаа.
Тиймээс,
. Энэ нь векторуудын холимог үржвэрийг бичих боломжийг танд олгоно
хэлбэрээр

векторын шинж тэмдэггүй, скаляр үржүүлэх.
,
,
.

3. Аливаа хоёр хүчин зүйлийн векторууд байраа солих үед холимог бүтээгдэхүүн тэмдэг өөрчлөгддөг, өөрөөр хэлбэл.

Үнэн хэрэгтээ ийм дахин зохион байгуулалт нь вектор бүтээгдэхүүн дэх хүчин зүйлсийг дахин зохион байгуулах, бүтээгдэхүүний тэмдгийг өөрчлөхтэй тэнцүү юм. , Векторуудын үржвэрийг авч үзье. 4. Тэг биш векторуудын холимог үржвэр

Хэрэв тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байвал 0-тэй тэнцүү байна.

2.12. Холимог бүтээгдэхүүний координат хэлбэрээр ортонормаль үндэслэлээр тооцоолох
,
,
Векторуудыг өгье

. (10)

. Вектор ба скаляр бүтээгдэхүүний координат дахь илэрхийлэлүүдийг ашиглан тэдгээрийн холимог үржвэрийг олцгооё.

Үр дүнгийн томъёог илүү товчоор бичиж болно:

Тэгэхээр векторуудын холимог үржвэр нь үржүүлсэн векторуудын координатаас бүрдэх гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчтой тэнцүү байна.

2.13.Холимог бүтээгдэхүүний зарим хэрэглээ

Орон зай дахь векторуудын харьцангуй чиглэлийг тодорхойлох

Векторуудын харьцангуй чиглэлийг тодорхойлох , Векторуудын үржвэрийг авч үзье. дараах бодолд тулгуурлан. Хэрэв
, Тэр , , - баруун гурав; Хэрэв
, Тэр , , - гурав үлдсэн.

Векторуудын харьцуулах нөхцөл

Векторууд , Векторуудын үржвэрийг авч үзье. Холимог бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд л хосолсон байна (
,
,
):

векторууд , , хавтгай.

Параллелепипед ба гурвалжин пирамидын эзэлхүүнийг тодорхойлох

Параллелепипедийн эзэлхүүн нь векторууд дээр баригдсан болохыг харуулахад хялбар байдаг , Векторуудын үржвэрийг авч үзье. гэж тооцсон
, болон эзлэхүүн гурвалжин пирамид, ижил векторууд дээр баригдсан нь тэнцүү байна
.

Жишээ 1.Векторуудыг батал
,
,
хавтгай.

Шийдэл.Эдгээр векторуудын холимог үржвэрийг томъёогоор олъё.

Энэ нь векторууд гэсэн үг юм
хавтгай.

Жишээ 2.Тетраэдрийн оройг өгвөл: (0, -2, 5), (6, 6, 0), (3, -3, 6),
(2, -1, 3). Оройноос доош буулгасан өндрийн уртыг ол .

Шийдэл.Эхлээд тетраэдрийн эзэлхүүнийг олъё
. Томьёог ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тодорхойлогч нь сөрөг тоотой тэнцүү тул in энэ тохиолдолдТомъёоны өмнө хасах тэмдэг тавих хэрэгтэй. Тиймээс,
.

Шаардлагатай тоо хэмжээ hБид томъёогоор тодорхойлно
, Хаана С - суурь талбай. Талбайг тодорхойлъё С:

Хаана

Түүнээс хойш

Томъёонд орлуулах
үнэт зүйлс
Векторуудын үржвэрийг авч үзье.
, бид авдаг h= 3.

Жишээ 3.Вектор үүсгэх
сансарт суурь? Векторыг өргөжүүлэх
векторууд дээр үндэслэсэн.

Шийдэл.Хэрэв векторууд орон зайд суурь болдог бол тэдгээр нь нэг хавтгайд хэвтэхгүй, өөрөөр хэлбэл. харьцуулалтгүй байдаг. Векторуудын холимог үржвэрийг олъё
:
,

Үүний үр дүнд векторууд нь хоорондоо уялдаатай биш бөгөөд орон зайд суурь болдог. Хэрэв векторууд орон зайд суурь болдог бол дурын вектор үндсэн векторуудын шугаман хослолоор төлөөлж болно, тухайлбал
,Хаана
вектор координат вектор суурь дээр
. Тэгшитгэлийн системийг зохиож, шийдвэрлэх замаар эдгээр координатуудыг олъё

Үүнийг Гауссын аргаар шийдэх нь бидэнд байна

Эндээс
. .

Дараа нь
.

Тиймээс,Жишээ 4.
,
,
,
Пирамидын орой нь дараахь цэгүүдэд байрладаг.

. Тооцоолох:
;

a) нүүрний хэсэг
;

б) пирамидын эзэлхүүн
в) вектор проекц
;

векторын чиглэлд
;

г) өнцөг
,
,
хавтгай.

г) векторууд байгаа эсэхийг шалгана

Шийдэл

a) Вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолтоос дараахь зүйлийг мэдэж болно.
Векторуудын үржвэрийг авч үзье.
Векторуудыг олох

,
.

, томъёог ашиглан

Бидэнд:
.

Проекцоор нь тодорхойлсон векторуудын хувьд вектор үржвэрийг томъёогоор олно

Бидний хэргийн хувьд

,
.

Бид үүссэн векторын уртыг томъёогоор олно
тэгээд дараа нь

(кв. нэгж). , , б) Гурван векторын холимог үржвэр нь векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүнтэй үнэмлэхүй утгаараа тэнцүү байна.

хавирга дээрх шиг.

Векторуудыг олцгооё
,
,
, пирамидын ирмэгүүд дээд тал руу нийлж байгаатай давхцаж байна :

Эдгээр векторуудын холимог бүтээгдэхүүн

Пирамидын эзэлхүүн нь векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүний нэг хэсэгтэй тэнцүү тул
,
,
, Тэр
(куб нэгж).

в) Томьёог ашиглах
, векторуудын скаляр үржвэрийг тодорхойлох , , дараах байдлаар бичиж болно.

Хаана
эсвэл
;

эсвэл
.

Векторын проекцийг олох
в) вектор проекц
векторуудын координатыг ол
,
, дараа нь томъёог хэрэглэнэ

бид авдаг

г) өнцгийг олох
векторуудыг тодорхойлох
,
байх ерөнхий эхлэлцэг дээр :

Дараа нь скаляр бүтээгдэхүүний томъёог ашиглана

e) Гурван векторын дарааллаар

,
,

нэгдмэл байсан бол тэдгээрийн холимог бүтээгдэхүүн тэгтэй тэнцүү байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм.

Манай тохиолдолд бидэнд байгаа
.

Тиймээс векторууд нь хоорондоо уялдаатай байдаг.

Энэ хичээлээр бид векторуудтай өөр хоёр үйлдлийг авч үзэх болно. векторуудын вектор үржвэрТэгээд векторуудын холимог бүтээгдэхүүн (хэрэгтэй хүмүүст шууд линк). Зүгээр дээ, заримдаа үүнээс гадна бүрэн аз жаргалын төлөө ийм зүйл тохиолддог векторуудын скаляр үржвэр, илүү ихийг шаарддаг. Энэ бол вектор донтолт юм. Бид аналитик геометрийн ширэнгэн ой руу орж байгаа юм шиг санагдаж магадгүй юм. Энэ бол буруу. Дээд математикийн энэ хэсэгт Пиноккиод хангалттай модыг эс тооцвол ерөнхийдөө бага мод байдаг. Үнэн хэрэгтээ, материал нь маш түгээмэл бөгөөд энгийн байдаг - ижил төстэй зүйлээс илүү төвөгтэй биш юм цэгийн бүтээгдэхүүн, тэр ч байтугай ердийн даалгаварбага байх болно. Аналитик геометрийн гол зүйл бол олон хүн итгэлтэй байх болно, эсвэл аль хэдийн итгэлтэй байсан тул тооцоололд алдаа гаргахгүй байх явдал юм. Шившлэг шиг давтаад та аз жаргалтай байх болно =)

Хэрэв векторууд тэнгэрийн хаяанд цахилгаан цахих мэт хол хаа нэгтээ гялалзаж байвал хамаагүй, хичээлээс эхэл. Дамми нарт зориулсан векторуудвекторуудын талаарх анхан шатны мэдлэгийг сэргээх буюу дахин олж авах. Илүү бэлтгэгдсэн уншигчид мэдээлэлтэй танилцах боломжтой, би практик ажилд ихэвчлэн олддог хамгийн бүрэн жишээ цуглуулахыг хичээсэн

Юу чамайг тэр дор нь баярлуулах вэ? Би багадаа хоёр, бүр гурван бөмбөг жонглёрдог байсан. Энэ нь сайн болсон. Одоо та жонглёр хийх шаардлагагүй болно, учир нь бид авч үзэх болно зөвхөн орон зайн векторууд, А хавтгай векторуудхоёр координаттай бол орхигдоно. Яагаад? Эдгээр үйлдлүүд ингэж төрсөн - векторуудын вектор ба холимог үржвэрийг тодорхойлж, гурван хэмжээст орон зайд ажилладаг. Энэ нь аль хэдийн хялбар болсон!

Энэ үйлдэл нь скаляр үржвэрийн нэгэн адил хамаарна хоёр вектор. Эдгээр нь мөхөшгүй үсэг байх болтугай.

Үйлдэл нь өөрөө гэж тэмдэглэсэндараах байдлаар: . Өөр сонголтууд байдаг, гэхдээ би векторуудын вектор үржвэрийг загалмай бүхий дөрвөлжин хаалтанд ингэж тэмдэглэж дассан.

Тэгээд тэр даруй асуулт: хэрэв байгаа бол векторуудын скаляр үржвэрХоёр вектор оролцож байгаа бөгөөд энд хоёр векторыг мөн үржүүлнэ ямар ялгаа байна? Үүний тод ялгаа нь юуны түрүүнд ҮР ДҮНД байна.

Векторуудын скаляр үржвэрийн үр дүн нь NUMBER:

Векторуудын хөндлөн үржвэрийн үр дүн нь ВЕКТОР юм: , өөрөөр хэлбэл, бид векторуудыг үржүүлээд дахин вектор авна. Хаалттай клуб. Уг нь хагалгааны нэр эндээс гаралтай. Төрөл бүрийн хэлбэрээр боловсролын уран зохиолтэмдэглэгээ нь бас өөр байж болно, би үсгийг ашиглах болно.

Хөндлөн бүтээгдэхүүний тодорхойлолт

Эхлээд зурагтай тодорхойлолт, дараа нь тайлбар байх болно.

Тодорхойлолт: Вектор бүтээгдэхүүн шугаман бусвекторууд, энэ дарааллаар авсан, ВЕКТОР гэж нэрлэгддэг, уртЭнэ нь тоон үзүүлэлт юм параллелограммын талбайтай тэнцүү байна, эдгээр векторууд дээр бүтээгдсэн; вектор векторуудад ортогональ, ба үндэс нь зөв чиг баримжаатай байхаар чиглүүлсэн:

Тодорхойлолтыг задлаад үзье, энд маш олон сонирхолтой зүйл байна!

Тиймээс дараахь чухал зүйлийг онцолж болно.

1) Тодорхойлолтоор улаан сумаар заасан анхны векторууд уялдаа холбоогүй. Хэсэг хугацааны дараа коллинеар векторуудын асуудлыг авч үзэх нь зүйтэй юм.

2) Векторуудыг авсан хатуу тогтоосон дарааллаар: – "a"-г "be"-ээр үржүүлнэ, "a"-тай "байх" биш. Вектор үржүүлгийн үр дүннь ВЕКТОР бөгөөд энэ нь цэнхэр өнгөөр тэмдэглэгдсэн байдаг. Хэрэв векторуудыг урвуу дарааллаар үржүүлбэл бид урттай тэнцүү, чиглэлийн эсрэг (бөөрөлзгөнө өнгө) векторыг авна. Энэ нь тэгш байдал нь үнэн юм .

3) Одоо вектор үржвэрийн геометрийн утгатай танилцацгаая. Энэ бол маш чухал цэг юм! Цэнхэр векторын УРТ (тиймээс час улаан вектор) нь векторууд дээр баригдсан параллелограммын ТАЛБАЙ-тай тэнцүү байна. Зураг дээр энэ параллелограммыг хараар будсан байна.

Анхаарна уу : зураг нь бүдүүвч бөгөөд мэдээжийн хэрэг вектор бүтээгдэхүүний нэрлэсэн урт нь параллелограммын талбайтай тэнцүү биш юм.

Нэгийг нь санацгаая геометрийн томъёо: Параллелограммын талбай нь зэргэлдээ талуудын үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синустай тэнцүү байна.. Тиймээс, дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн вектор бүтээгдэхүүний УРТыг тооцоолох томъёо хүчинтэй байна.

Томъёо нь векторын тухай биш харин векторын УРТ-ын тухай гэдгийг би онцолж байна. Практик утга нь юу вэ? Үүний утга нь аналитик геометрийн асуудлуудад параллелограммын талбайг ихэвчлэн вектор бүтээгдэхүүн гэсэн ойлголтоор олж авдаг.

Хоёр дахь чухал томъёог олж авцгаая. Параллелограммын диагональ (улаан тасархай шугам) нь түүнийг хоёр хуваана тэнцүү гурвалжин. Тиймээс векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг (улаан сүүдэр) дараах томъёогоор олж болно.

4) Бага биш чухал баримтвектор нь векторуудад ортогональ байна, өөрөөр хэлбэл . Мэдээжийн хэрэг, эсрэг чиглэлтэй вектор (бөөрөлзгөнө сум) нь мөн анхны векторуудад ортогональ байна.

5) Вектор нь ийм байдлаар чиглэгддэг суурьбайна зөвчиг баримжаа. тухай хичээл дээр шинэ суурь руу шилжихБи хангалттай дэлгэрэнгүй ярьсан онгоцны чиг баримжаа, одоо бид орон зайн чиг баримжаа гэж юу болохыг олж мэдэх болно. Би хуруугаараа тайлбарлах болно баруун гар . Оюун санааны хувьд нэгтгэх долоовор хуруу вектортой ба дунд хуруувектортой. Бөгжний хуруу, жижиг хурууалган дээрээ дар. Үүний үр дүнд эрхий хуруу – вектор бүтээгдэхүүн дээшээ харагдах болно. Энэ бол баруун тийш чиглэсэн суурь юм (зураг дээрх энэ нь). Одоо векторуудыг өөрчил ( долоовор ба дунд хуруу) зарим газарт үр дүнд нь эрхий хуруугаа эргүүлж, вектор бүтээгдэхүүн аль хэдийн доошоо харах болно. Энэ нь бас зөв хандлагын үндэс юм. Танд асуулт гарч ирж магадгүй: аль үндэс нь чиг баримжаагаа орхисон бэ? Ижил хуруунд "даалгах" зүүн гарвекторууд болон зайны зүүн суурь ба зүүн чиглэлийг авна (энэ тохиолдолд эрхий хуруу нь доод векторын чиглэлд байрлана). Дүрслэлээр хэлбэл, эдгээр суурь нь орон зайг өөр өөр чиглэлд "мушгих" буюу чиглүүлдэг. Мөн энэ ойлголтыг хэт хол эсвэл хийсвэр зүйл гэж үзэх ёсгүй - жишээлбэл, орон зайн чиг баримжаа нь хамгийн энгийн толин тусгалаар өөрчлөгддөг бөгөөд хэрэв та "айсан туссан объектыг харагдах шилнээс гаргаж авбал" ерөнхий тохиолдолд энэ нь үүнийг "эх"-тэй хослуулах боломжгүй болно. Дашрамд хэлэхэд, гурван хуруугаа толинд бариад тусгалыг шинжлээрэй ;-)

... чи одоо мэдэж байгаа нь ямар сайхан юм бэ баруун ба зүүн тийш чиглэсэнҮндэслэл, учир нь зарим багш нарын чиг баримжааны өөрчлөлтийн талаархи мэдэгдэл аймшигтай юм =)

Коллинеар векторуудын хөндлөн үржвэр

Тодорхойлолтыг нарийвчлан авч үзсэн бөгөөд векторууд хоорондоо уялдаатай байх үед юу болохыг харах хэвээр байна. Хэрэв векторууд хоорондоо уялдаатай байвал тэдгээрийг нэг шулуун дээр байрлуулж, бидний параллелограммыг нэг шулуун болгож "нугалж" болно. Математикчдын хэлснээр ийм газар нутаг, доройтохпараллелограмм нь тэгтэй тэнцүү байна. Томьёоноос ижил зүйл гарч ирнэ - тэг буюу 180 градусын синус нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь талбай нь тэг гэсэн үг юм.

Тиймээс хэрэв , тэгвэл Тэгээд . Хөндлөн үржвэр нь өөрөө тэг вектортой тэнцүү гэдгийг анхаарна уу, гэхдээ практик дээр үүнийг ихэвчлэн үл тоомсорлодог бөгөөд үүнийг мөн тэгтэй тэнцүү гэж бичсэн байдаг.

Онцгой тохиолдол бол векторын өөртэйгөө хөндлөн үржвэр юм.

Вектор үржвэрийг ашигласнаар та гурван хэмжээст векторуудын уялдаа холбоог шалгаж болох бөгөөд бид энэ асуудлыг шинжлэх болно.

Практик жишээг шийдэхийн тулд танд хэрэгтэй байж магадгүй юм тригонометрийн хүснэгтүүнээс синусын утгыг олох.

За, гал асаацгаая:

Жишээ 1

a) Хэрэв векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол

b) Хэрэв векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайг ол

г) векторууд байгаа эсэхийг шалгана: Үгүй ээ, энэ бол үсгийн алдаа биш, би заалтын эхний өгөгдлийг зориуд ижил болгосон. Учир нь шийдлүүдийн дизайн өөр байх болно!

a) Нөхцөл байдлын дагуу та олох хэрэгтэй уртвектор (хөндлөн бүтээгдэхүүн). Холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт:

Хэрэв танаас уртын талаар асуусан бол хариултанд бид хэмжээсийг зааж өгсөн болно - нэгж.

б) Нөхцөл байдлын дагуу та олох хэрэгтэй дөрвөлжинвекторууд дээр баригдсан параллелограмм. Энэ параллелограммын талбай нь вектор бүтээгдэхүүний урттай тоогоор тэнцүү байна.

Хариулт:

Хариулт нь биднээс асуусан вектор бүтээгдэхүүний талаар огт яриагүй гэдгийг анхаарна уу зургийн талбай, үүний дагуу хэмжээс нь квадрат нэгж юм.

Нөхцөл байдлын дагуу ЮУ олох ёстойгоо бид үргэлж харж, үүн дээр үндэслэн томъёолдог тодорхойхариулах. Энэ нь үгийн утга зохиол мэт санагдаж болох ч багш нарын дунд маш олон бичиг үсэгт тайлагнасан хүмүүс байдаг тул даалгаврыг дахин хянуулахаар буцааж өгөх магадлал өндөр байна. Хэдийгээр энэ нь тийм ч хол зөрүүтэй асуулт биш юм - хэрэв хариулт буруу байвал тухайн хүн ойлгохгүй байна гэсэн сэтгэгдэл төрдөг. энгийн зүйлсба/эсвэл даалгаврын мөн чанарыг ойлгоогүй. Дээд математик болон бусад хичээлийн аливаа асуудлыг шийдвэрлэхдээ энэ цэгийг үргэлж хянаж байх ёстой.

"en" том үсэг хаашаа явсан бэ? Зарчмын хувьд үүнийг шийдэлд нэмж хавсаргаж болох байсан, гэхдээ оруулгыг богиносгохын тулд би үүнийг хийгээгүй. Хүн бүр үүнийг ойлгож, ижил зүйлд зориулагдсан болно гэж найдаж байна.

Алдартай жишээбие даасан шийдлийн хувьд:

Жишээ 2

Хэрэв векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг ол

Вектор бүтээгдэхүүнээр гурвалжны талбайг олох томъёог тодорхойлолтын тайлбарт өгсөн болно. Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Практикт гурвалжингууд нь таныг ерөнхийд нь зовоож чаддаг.

Бусад асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд хэрэгтэй болно:

Векторуудын вектор үржвэрийн шинж чанарууд

Бид вектор бүтээгдэхүүний зарим шинж чанарыг аль хэдийн авч үзсэн боловч би тэдгээрийг энэ жагсаалтад оруулах болно.

Дурын векторууд болон дурын тооны хувьд дараах шинж чанарууд үнэн байна.

1) Мэдээллийн бусад эх сурвалжид энэ зүйлийг ихэвчлэн шинж чанараар нь тодруулдаггүй боловч практикийн хувьд энэ нь маш чухал юм. Тиймээс байг.

2) – өмчийг мөн дээр дурдсан, заримдаа үүнийг нэрлэдэг антикоммутатив. Өөрөөр хэлбэл векторуудын дараалал чухал.

3) - ассоциатив эсвэл ассоциативвектор бүтээгдэхүүний хууль. Тогтмолыг вектор бүтээгдэхүүнээс гадуур хялбархан зөөж болно. Үнэхээр тэд тэнд юу хийх ёстой вэ?

4) – хуваарилалт эсвэл түгээхвектор бүтээгдэхүүний хууль. Мөн хаалт нээхэд асуудал гардаггүй.

Үүнийг харуулахын тулд товч жишээг харцгаая.

Жишээ 3

Хэрвээ олоорой

Шийдэл:Нөхцөл нь дахин вектор бүтээгдэхүүний уртыг олохыг шаарддаг. Бяцхан зургаа зурцгаая:

(1) Ассоциатив хуулиудын дагуу бид тогтмолуудыг вектор бүтээгдэхүүний хамрах хүрээнээс гадуур авдаг.

(2) Бид тогтмолыг модулийн гадна талд шилжүүлж, модуль нь хасах тэмдгийг "иддэг". Урт нь сөрөг байж болохгүй.

(3) Бусад нь тодорхой байна.

Хариулт:

Гал дээр илүү их мод нэмэх цаг болжээ.

Жишээ 4

Хэрэв векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг тооцоол

г) векторууд байгаа эсэхийг шалгана: Томъёог ашиглан гурвалжны талбайг ол . Хамгийн гол нь "tse" ба "de" векторууд нь векторуудын нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. Энд байгаа алгоритм нь стандарт бөгөөд хичээлийн 3, 4-р жишээнүүдийг санагдуулдаг. Векторуудын цэгийн үржвэр. Тодорхой болгохын тулд бид шийдлийг гурван үе шатанд хуваана.

1) Эхний алхамд бид вектор үржвэрийг вектор бүтээгдэхүүнээр илэрхийлдэг. векторыг вектороор илэрхийлье. Урт хугацааны талаар хараахан хэлээгүй байна!

(1) Векторуудын илэрхийлэлийг орлуулна уу.

(2) Тархалтын хуулиудыг ашиглан бид олон гишүүнтүүдийг үржүүлэх дүрмийн дагуу хаалтыг нээнэ.

(3) Ассоциатив хуулиудыг ашиглан бид бүх тогтмолуудыг вектор үржвэрээс цааш шилжүүлдэг. Бага зэрэг туршлагатай бол 2, 3-р алхамуудыг нэгэн зэрэг хийж болно.

(4) Эхний болон сүүлчийн гишүүн нь тэгтэй тэнцүү байна (тэг вектор) улмаас тааламжтай өмч. Хоёр дахь нэр томъёонд бид вектор бүтээгдэхүүний антикоммутацийн шинж чанарыг ашигладаг.

(5) Бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна.

Үүний үр дүнд вектор нь вектороор илэрхийлэгдэх болсон бөгөөд үүнд хүрэх шаардлагатай байв.

2) Хоёр дахь шатанд бид шаардлагатай вектор бүтээгдэхүүний уртыг олно. Энэ үйлдэл нь 3-р жишээтэй төстэй:

3) Шаардлагатай гурвалжны талбайг ол:

Шийдлийн 2-3 үе шатыг нэг мөрөнд бичиж болно.

Хариулт:

Үзэж буй асуудал нь нэлээд түгээмэл байдаг туршилтууд, энд бие даасан шийдлийн жишээ байна:

Жишээ 5

Хэрвээ олоорой

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт. Өмнөх жишээнүүдийг судлахдаа хэр анхааралтай байсныг харцгаая ;-)

Координат дахь векторуудын хөндлөн үржвэр

,-д заасан ортонормаль суурь , томъёогоор илэрхийлнэ:

Томъёо нь үнэхээр энгийн: тодорхойлогчийн дээд мөрөнд бид координатын векторуудыг бичиж, хоёр ба гурав дахь мөрөнд векторуудын координатыг "тавиж" тавьдаг. хатуу дарааллаар– эхлээд “ve” векторын координатууд, дараа нь “давхар-ve” векторын координатууд. Хэрэв векторуудыг өөр дарааллаар үржүүлэх шаардлагатай бол мөрүүдийг солих хэрэгтэй.

Жишээ 10

Дараах сансрын векторууд хоорондоо уялдаатай эсэхийг шалгана уу.
A)
б)

г) векторууд байгаа эсэхийг шалгана: Баталгаажуулалт нь мэдэгдлийн аль нэг дээр үндэслэсэн болно энэ хичээл: хэрэв векторууд коллинеар байвал тэдгээрийн вектор үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна (тэг вектор): .

a) Вектор үржвэрийг ол:

Тиймээс векторууд нь коллинеар биш юм.

б) вектор үржвэрийг ол:

Хариулт: a) уялдаа холбоогүй, б)

Энд магадгүй векторуудын вектор бүтээгдэхүүний талаархи бүх үндсэн мэдээлэл байна.

Векторуудын холимог үржвэрийг ашиглахад цөөн асуудал гардаг тул энэ хэсэг тийм ч том биш байх болно. Үнэн хэрэгтээ бүх зүйл тодорхойлолт, геометрийн утга, ажлын хэд хэдэн томъёоноос хамаарна.

Векторуудын холимог бүтээгдэхүүн нь бүтээгдэхүүн юм гурван вектор :

Тиймээс тэд галт тэрэг шиг жагсаж, хэн болохыг нь тэсэн ядан хүлээж байна.

Эхлээд дахин тодорхойлолт ба зураг:

Тодорхойлолт: Холимог ажил тэгш бусвекторууд, энэ дарааллаар авсан, дуудсан параллелепипед эзэлхүүн, эдгээр векторууд дээр баригдсан, хэрэв суурь нь зөв бол "+" тэмдгээр, хэрэв суурь нь үлдсэн бол "-" тэмдгээр тоноглогдсон.

Зургаа хийцгээе. Бидэнд үл үзэгдэх шугамуудыг тасархай шугамаар зурсан:

Тодорхойлолт руу орцгооё:

2) Векторуудыг авсан тодорхой дарааллаар, өөрөөр хэлбэл бүтээгдэхүүн дэх векторуудыг дахин зохион байгуулах нь таны таамаглаж байгаагаар үр дагаваргүйгээр явагдахгүй.

3) Геометрийн утгыг тайлбарлахын өмнө би тодорхой баримтыг тэмдэглэх болно. векторуудын холимог үржвэр нь ДУГААР юм: . Боловсролын уран зохиолд загвар нь бага зэрэг ялгаатай байж болно, би холимог бүтээгдэхүүнийг "pe" үсгээр тэмдэглэж, тооцооллын үр дүнг тэмдэглэдэг.

Тодорхойлолтоор холимог бүтээгдэхүүн нь параллелепипедийн эзэлхүүн юм, векторууд дээр бүтээгдсэн (зураг улаан вектор, хар шугамаар зурсан). Өөрөөр хэлбэл, тоо нь өгөгдсөн параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна.

Анхаарна уу : Зураг нь бүдүүвчилсэн байна.

4) Суурь ба орон зайн чиг баримжаа гэсэн ойлголтын талаар дахин санаа зовох хэрэггүй. Эцсийн хэсгийн утга нь эзлэхүүн дээр хасах тэмдэг нэмж болно гэсэн үг юм. Энгийн үгээр хэлбэл, холимог бүтээгдэхүүн нь сөрөг байж болно: .

Тодорхойлолтоос шууд векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүнийг тооцоолох томъёог дагаж мөрддөг.