Мөн танд бие даан шийдэх асуудлууд гарч ирэх бөгөөд та хариултыг нь харж болно.

Хэрэв асуудалд векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг хоёуланг нь "мөнгөн таваг дээр" харуулсан бол асуудлын нөхцөл ба түүний шийдэл дараах байдалтай байна.

Жишээ 1.Векторууд өгөгдсөн. Векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг дараах утгуудаар илэрхийлсэн бол тэдгээрийн скаляр үржвэрийг ол.

Өөр нэг тодорхойлолт нь бас хүчинтэй бөгөөд 1-р тодорхойлолттой бүрэн тэнцэнэ.

Тодорхойлолт 2. Векторуудын скаляр үржвэр нь эдгээр векторуудын аль нэгнийх нь урт ба өөр векторын эхний вектороор тодорхойлсон тэнхлэг дээрх проекцын үржвэртэй тэнцүү тоо (скаляр) юм. 2-р тодорхойлолтын дагуу томъёо:

Бид дараагийн чухал онолын цэгийн дараа энэ томъёог ашиглан асуудлыг шийдэх болно.

Векторуудын скаляр үржвэрийг координатаар тодорхойлох

Үржүүлж буй векторуудын координатыг өгвөл ижил тоог гаргаж болно.

Тодорхойлолт 3. Цэгтэй бүтээгдэхүүнвекторууд нь тэдгээрийн харгалзах координатын хос үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү тоо юм.

Онгоцонд

Хэрэв хоёр вектор ба хавтгай дээрх хоёр нь тодорхойлогддог Декартын тэгш өнцөгт координатууд

Дараа нь эдгээр векторуудын скаляр үржвэр нь тэдгээрийн харгалзах координатын хос үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

.

Жишээ 2.Вектортой параллель тэнхлэг дээрх векторын проекцын тоон утгыг ол.

Шийдэл. Бид векторуудын координатын хос үржвэрийг нэмснээр скаляр үржвэрийг олно.

Одоо бид үүссэн скаляр үржвэрийг векторын урт ба векторын вектортой параллель тэнхлэг дээрх проекцын үржвэртэй (томъёоны дагуу) тэнцүүлэх хэрэгтэй.

Векторын уртыг дараах байдлаар ол квадрат язгууркоординатын квадратуудын нийлбэрээс:

.

Бид тэгшитгэл үүсгэж, үүнийг шийднэ:

Хариулах. Шаардлагатай тоон утга нь хасах 8 байна.

Сансарт

Хэрэв хоёр вектор ба орон зайд тэдгээрийн гурван декарт тэгш өнцөгт координатаар тодорхойлогдвол

,

Дараа нь эдгээр векторуудын скаляр үржвэр нь тэдгээрийн харгалзах координатын хос үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна, зөвхөн гурван координат байна:

.

Энэ аргыг ашиглан скаляр үржвэрийг олох даалгавар нь скаляр бүтээгдэхүүний шинж чанарыг задлан шинжилсний дараа хийгддэг. Учир нь асуудалд үржүүлсэн векторууд ямар өнцөг үүсгэхийг тодорхойлох шаардлагатай болно.

Векторуудын скаляр үржвэрийн шинж чанарууд

Алгебрийн шинж чанарууд

1. (хувирах өмч: үржүүлсэн векторуудын байрлалыг эргүүлэх нь тэдгээрийн скаляр үржвэрийн утгыг өөрчлөхгүй).

2. (тоон хүчин зүйлийн талаархи ассоциатив өмч: векторын скаляр үржвэрийг зарим хүчин зүйлээр үржүүлсэн ба өөр вектор нь эдгээр векторуудын скаляр үржвэрийг ижил хүчин зүйлээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна).

3. (векторуудын нийлбэртэй харьцуулахад хуваарилах шинж чанар: гурав дахь векторын хоёр векторын нийлбэрийн скаляр үржвэр нь эхний векторын гурав дахь векторын скаляр үржвэрийн нийлбэр ба хоёр дахь векторын гурав дахь векторын скаляр үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна).

4. (тэгээс их векторын скаляр квадрат), if нь тэгээс өөр вектор бөгөөд , if нь тэг вектор юм.

Геометрийн шинж чанарууд

Бидний судалж буй үйлдлийн тодорхойлолтод бид хоёр векторын хоорондох өнцгийн тухай ойлголтыг аль хэдийн хөндсөн. Энэ ойлголтыг тодруулах цаг болжээ.

Дээрх зураг дээр та хоёр векторыг багасгаж байгааг харж болно ерөнхий эхлэл. Таны анхаарах ёстой хамгийн эхний зүйл бол эдгээр векторуудын хооронд хоёр өнцөг байх явдал юм. φ 1 Тэгээд φ 2 . Векторуудын скаляр үржвэрийн тодорхойлолт, шинж чанарт эдгээр өнцгүүдийн аль нь харагдах вэ? Тооцоолсон өнцгүүдийн нийлбэр нь 2 байна π Тиймээс эдгээр өнцгүүдийн косинусууд тэнцүү байна. Цэгийн бүтээгдэхүүний тодорхойлолт нь зөвхөн өнцгийн косинусыг агуулдаг бөгөөд илэрхийллийн утгыг агуулдаггүй. Гэхдээ шинж чанарууд нь зөвхөн нэг өнцгийг авч үздэг. Энэ бол хоёр өнцгөөс хэтрээгүй нэг нь юм π , өөрөөр хэлбэл 180 градус. Зураг дээр энэ өнцгийг дараах байдлаар харуулав φ 1 .

1. Хоёр векторыг дуудна ортогональ Тэгээд Эдгээр векторуудын хоорондох өнцөг шулуун байна (90 градус буюу π /2 ), хэрэв Эдгээр векторуудын скаляр үржвэр нь тэг байна :

.

Вектор алгебр дахь ортогональ байдал нь хоёр векторын перпендикуляр байдал юм.

2. Тэг биш хоёр вектор бүрдэв хурц өнцөг (0-ээс 90 градус хүртэл, эсвэл ижил - бага π цэгийн бүтээгдэхүүн эерэг байна .

3. Хоёр тэгээс бусад векторууд бүрддэг мохоо өнцөг (90-ээс 180 градус хүртэл, эсвэл ижилхэн - илүү π /2) зөвхөн хэрэв тэд цэгийн бүтээгдэхүүн сөрөг байна .

Жишээ 3.Координатуудыг векторуудаар өгөв:

.

Өгөгдсөн векторын бүх хосын скаляр үржвэрийг тооцоол. Эдгээр хос векторууд ямар өнцөг (хурц, баруун, мохоо) үүсгэдэг вэ?

Шийдэл. Бид харгалзах координатын үржвэрүүдийг нэмж тооцоолно.

Бид сөрөг тоо авсан тул векторууд нь мохоо өнцөг үүсгэдэг.

Бид эерэг тоо авсан тул векторууд нь хурц өнцөг үүсгэдэг.

Бид тэг авсан тул векторууд нь зөв өнцгийг үүсгэдэг.

Бид эерэг тоо авсан тул векторууд нь хурц өнцөг үүсгэдэг.

.

Бид эерэг тоо авсан тул векторууд нь хурц өнцөг үүсгэдэг.

Өөрийгөө шалгахын тулд та ашиглаж болно Онлайн тооцоолуур Векторуудын цэгийн үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинус .

Жишээ 4.Хоёр векторын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг өгөв.

.

Тооны ямар утгад векторууд ортогональ (перпендикуляр) байгааг тодорхойл.

Шийдэл. Олон гишүүнтийг үржүүлэх дүрмийг ашиглан векторуудыг үржүүлье.

Одоо нэр томъёо бүрийг тооцоолъё:

.

Тэгшитгэл бүтээцгээе (бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү), ижил төстэй нэр томъёог нэмж, тэгшитгэлийг шийдье.

Хариулт: Бид үнэ цэнийг нь авсан λ = 1.8, векторууд нь ортогональ байна.

Жишээ 5.вектор гэдгийг батал векторт ортогональ (перпендикуляр).

Шийдэл. Ортогональ байдлыг шалгахын тулд бид векторуудыг олон гишүүнт болгон үржүүлж, асуудлын тайлбарт өгөгдсөн илэрхийлэлийг орлуулна.

.

Үүнийг хийхийн тулд та эхний олон гишүүнтийн гишүүн (нэр) бүрийг хоёр дахь гишүүн бүрээр үржүүлж, үр дүнг нэмэх хэрэгтэй.

.

Үр дүнд нь фракц нь багасна. Дараах үр дүнг олж авна.

Дүгнэлт: үржүүлгийн үр дүнд бид тэгийг авсан тул векторуудын ортогональ байдал (перпендикуляр) батлагдсан.

Асуудлыг өөрөө шийдэж, дараа нь шийдлийг хар

Жишээ 6.Ба векторуудын уртыг өгөгдсөн бөгөөд эдгээр векторуудын хоорондох өнцөг нь байна π /4. Ямар үнээр болохыг тодорхойлох μ векторууд ба харилцан перпендикуляр байна.

Өөрийгөө шалгахын тулд та ашиглаж болно Онлайн тооцоолуур Векторуудын цэгийн үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинус .

Векторуудын цэгийн үржвэр ба n хэмжээст векторуудын үржвэрийн матриц дүрслэл

Заримдаа хоёр үржүүлсэн векторыг матриц хэлбэрээр дүрслэх нь ойлгомжтой байх нь ашигтай байдаг. Дараа нь эхний векторыг мөр матрицаар, хоёр дахь нь баганын матрицаар илэрхийлнэ.

Дараа нь векторуудын скаляр үржвэр болно эдгээр матрицуудын үржвэр :

Үр дүн нь бидний аль хэдийн авч үзсэн арга замаар олж авсан үр дүн юм. Бид нэг тоо авсан бөгөөд мөрийн матрицын баганын матрицын үржвэр нь бас нэг тоо юм.

IN матриц хэлбэрХийсвэр n хэмжээст векторуудын үржвэрийг дүрслэх нь тохиромжтой. Ийнхүү дөрвөн хэмжээст хоёр векторын үржвэр нь дөрвөн элементтэй мөр матрицын үржвэр нь баганын матрицаар мөн дөрвөн элементтэй, хоёр таван хэмжээст векторын үржвэр нь таван элементтэй мөр матрицын үржвэр байх болно. таван элементтэй баганын матриц гэх мэт.

Жишээ 7.Хос векторуудын скаляр үржвэрийг ол

,

матрицын дүрслэлийг ашиглах.

Шийдэл. Эхний хос вектор. Бид эхний векторыг эгнээний матрицаар, хоёр дахь нь баганын матрицаар илэрхийлдэг. Эдгээр векторуудын скаляр үржвэрийг бид мөр матриц ба баганын матрицын үржвэр гэж олно.

Үүнтэй адилаар бид хоёр дахь хосыг төлөөлж, олно:

Таны харж байгаагаар 2-р жишээн дээрх ижил хосуудын үр дүн ижил байна.

Хоёр векторын хоорондох өнцөг

Хоёр векторын хоорондох өнцгийн косинусын томъёог гаргаж авсан нь маш үзэсгэлэнтэй бөгөөд товч юм.

Векторуудын цэгийн үржвэрийг илэрхийлэх

(1)

координатын хэлбэрээр бид эхлээд нэгж векторуудын скаляр үржвэрийг олно. Тодорхойлолтоор векторын скаляр үржвэр:

Дээрх томъёонд бичсэн зүйл нь: векторын өөртэйгөө скаляр үржвэр нь түүний уртын квадраттай тэнцүү байна. Тэгийн косинус нь нэгтэй тэнцүү тул нэгж бүрийн квадрат нь нэгтэй тэнцүү байна.

Векторуудаас хойш

хос перпендикуляр бол нэгж векторуудын хос үржвэрүүд тэгтэй тэнцүү байна:

Одоо вектор олон гишүүнтүүдийг үржүүлэх үйлдлийг хийцгээе.

Бид нэгж векторуудын харгалзах скаляр бүтээгдэхүүний утгыг тэгш байдлын баруун талд орлуулна.

Бид хоёр векторын хоорондох өнцгийн косинусын томъёог олж авна.

Жишээ 8.Гурван оноо өгсөн А(1;1;1), Б(2;2;1), C(2;1;2).

Өнцгийг ол.

Шийдэл. Векторуудын координатыг олох:

,

.

Косинусын өнцгийн томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тиймээс, .

Өөрийгөө шалгахын тулд та ашиглаж болно Онлайн тооцоолуур Векторуудын цэгийн үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинус .

Жишээ 9.Хоёр вектор өгөгдсөн

Тэдний хоорондох нийлбэр, зөрүү, урт, цэгийн үржвэр, өнцгийг ол.

2. Ялгаа

Векторуудын цэгийн үржвэр

Бид векторуудтай үргэлжлүүлэн харьцдаг. Эхний хичээл дээр Дамми нарт зориулсан векторуудБид векторын тухай ойлголт, вектортой үйлдэл, вектор координат, вектортой холбоотой хамгийн энгийн бодлогуудыг авч үзсэн. Хэрэв та хайлтын системээс анх удаа энэ хуудсанд нэвтэрсэн бол дээрх танилцуулга өгүүллийг уншихыг зөвлөж байна, учир нь энэ материалыг эзэмшихийн тулд та миний ашигладаг нэр томъёо, тэмдэглэгээг мэддэг байх, векторуудын талаар анхан шатны мэдлэгтэй байх хэрэгтэй. үндсэн асуудлыг шийдвэрлэх чадвартай байх. Энэ хичээлЭнэ нь сэдвийн логик үргэлжлэл бөгөөд үүн дээр би векторуудын скаляр үржвэрийг ашигладаг ердийн даалгавруудыг нарийвчлан шинжлэх болно. Энэ бол маш чухал үйл ажиллагаа юм.. Эдгээр жишээнүүдийг алгасахгүй байхыг хичээгээрэй, тэдгээр нь ашигтай урамшуулалтай байдаг - дадлага нь танд хамрагдсан материалыг нэгтгэж, аналитик геометрийн нийтлэг асуудлуудыг илүү сайн шийдвэрлэхэд тусална.

Вектор нэмэх, векторыг тоогоор үржүүлэх.... Математикчид өөр юм бодож олоогүй гэж бодох нь гэнэн хэрэг болно. Өмнө нь хэлэлцсэн үйлдлүүдээс гадна векторуудтай өөр хэд хэдэн үйлдлүүд байдаг, тухайлбал: векторуудын цэгэн үржвэр, векторуудын вектор үржвэрТэгээд векторуудын холимог бүтээгдэхүүн. Векторуудын скаляр үржвэр нь бидэнд сургуулиас танил болсон, бусад хоёр бүтээгдэхүүн нь дээд математикийн курст хамаардаг. Сэдвүүд нь энгийн, олон асуудлыг шийдэх алгоритм нь энгийн бөгөөд ойлгомжтой. Цорын ганц зүйл. Тохиромжтой мэдээлэл байгаа тул бүх зүйлийг нэг дор эзэмшиж, шийдэхийг оролдох нь зохисгүй юм. Энэ нь дамми нарын хувьд үнэн юм, надад итгээрэй, зохиолч математикийн Чикатило шиг мэдрэхийг огт хүсэхгүй байна. Яахав, математикаас ч биш, мэдээжийн хэрэг, бас =) Илүү бэлтгэлтэй оюутнууд материалыг сонгон ашиглаж, тодорхой утгаараа дутуу мэдлэгийг "авах" боломжтой, таны хувьд би хор хөнөөлгүй Гүн Дракула болно =)

Эцэст нь хаалгаа онгойлгож, хоёр вектор бие биетэйгээ уулзах үед юу болохыг урам зоригтойгоор харцгаая ...

Векторуудын скаляр үржвэрийн тодорхойлолт.
Скаляр бүтээгдэхүүний шинж чанарууд. Ердийн даалгаварууд

Цэгтэй бүтээгдэхүүний тухай ойлголт

Эхлээд тухай векторуудын хоорондох өнцөг. Хүн бүр векторуудын хоорондох өнцөг гэж юу болохыг зөн совингоор ойлгодог гэж би бодож байна, гэхдээ ямар ч тохиолдолд арай илүү дэлгэрэнгүй. Чөлөөт тэгээс бусад векторуудыг авч үзье. Хэрэв та эдгээр векторуудыг дур зоргоороо цэгээс зурвал олон хүний ​​төсөөлж байсан зураг гарч ирнэ.

Би хүлээн зөвшөөрч байна, би энд нөхцөл байдлыг зөвхөн ойлголтын түвшинд тайлбарласан. Хэрэв танд векторуудын хоорондох өнцгийн нарийн тодорхойлолт хэрэгтэй бол практик асуудлуудыг сурах бичигт хандана уу, зарчмын хувьд бидэнд хэрэггүй. Мөн ЭНД БА ЭНД практик ач холбогдол багатай тул би тэг векторуудыг үл тоомсорлох болно. Би сайтын ахисан түвшний зочдод зориулж тусгайлан захиалга өгсөн тул дараагийн мэдэгдлүүдийн онолын хувьд бүрэн бус байна гэж намайг зэмлэж магадгүй юм.

0-ээс 180 градус хүртэл (0-ээс радиан хүртэл) утгыг авч болно. Аналитик байдлаар энэ баримтдавхар тэгш бус байдлаар бичсэн: эсвэл (радианаар).

Уран зохиолд өнцгийн тэмдгийг орхигдуулж, зүгээр л бичдэг.

Тодорхойлолт:Хоёр векторын скаляр үржвэр нь эдгээр векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү ТООН юм.

Одоо энэ бол нэлээд хатуу тодорхойлолт юм.

Бид чухал мэдээлэлд анхаарлаа хандуулдаг:

Зориулалт:скаляр үржвэрийг эсвэл энгийнээр тэмдэглэнэ.

Үйлдлийн үр дүн нь ДУГААР юм: Векторыг вектороор үржүүлэх ба үр дүн нь тоо юм. Үнэн хэрэгтээ, векторуудын урт нь тоо, өнцгийн косинус нь тоо бол тэдгээрийн үржвэр мөн тоо байх болно.

Халаалтын хэдхэн жишээ:

Жишээ 1

Шийдэл:Бид томъёог ашигладаг . IN энэ тохиолдолд:

Хариулт:

Косинусын утгыг эндээс олж болно тригонометрийн хүснэгт. Би үүнийг хэвлэхийг зөвлөж байна - энэ нь цамхагийн бараг бүх хэсэгт шаардлагатай бөгөөд олон удаа хэрэг болно.

Цэвэр математикийн үүднээс авч үзвэл скаляр үржвэр нь хэмжээсгүй, өөрөөр хэлбэл үр дүн нь энэ тохиолдолд зүгээр л тоо юм. Физикийн асуудлын үүднээс скаляр бүтээгдэхүүн нь үргэлж тодорхой физик утгатай байдаг, өөрөөр хэлбэл үр дүнгийн дараа нэг буюу өөр физик нэгжийг зааж өгөх ёстой. Каноник жишээХүчний ажлыг хэрхэн тооцоолохыг ямар ч сурах бичгээс олж болно (томьёо нь яг скаляр бүтээгдэхүүн). Хүчний ажлыг Joules-ээр хэмждэг тул хариултыг маш тодорхой бичсэн болно, жишээлбэл, .

Жишээ 2

Хэрвээ олоорой , ба векторуудын хоорондох өнцөг нь тэнцүү байна.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ бөгөөд хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Векторуудын хоорондох өнцөг ба цэгийн бүтээгдэхүүний утга

Жишээ 1-д скаляр үржвэр эерэг, 2-р жишээнд сөрөг байна. Скаляр үржвэрийн тэмдэг юунаас хамаардаг болохыг олж мэдье. Бидний томъёог харцгаая: . Тэг биш векторуудын урт нь үргэлж эерэг байдаг: , тиймээс тэмдэг нь зөвхөн косинусын утгаас хамаарна.

Жич: Доорх мэдээллийг илүү сайн ойлгохын тулд гарын авлага дахь косинусын графикийг судлах нь дээр Функцийн график ба шинж чанарууд. Косинус сегмент дээр хэрхэн ажиллахыг харна уу.

Өмнө дурьдсанчлан, векторуудын хоорондох өнцөг нь дотроо янз бүр байж болно , мөн дараах тохиолдлууд боломжтой:

1) Хэрэв буланвекторуудын хооронд халуун ногоотой: (0-ээс 90 градус хүртэл), дараа нь , Мөн цэгийн бүтээгдэхүүн эерэг байх болно хамтран найруулсан, дараа нь тэдгээрийн хоорондох өнцгийг тэг гэж үзэх бөгөөд скаляр үржвэр нь мөн эерэг байх болно. -ээс хойш томьёо нь: .

2) Хэрэв буланвекторуудын хооронд мохоо: (90-ээс 180 градус хүртэл), дараа нь , мөн үүний дагуу, цэгийн бүтээгдэхүүн сөрөг байна: . Онцгой тохиолдол: хэрэв векторууд эсрэг чиглэлүүд, дараа нь тэдгээрийн хоорондох өнцгийг харгалзан үзнэ өргөтгөсөн: (180 градус). Скаляр бүтээгдэхүүн нь мөн сөрөг байна, оноос хойш

Эсрэг заалтууд нь бас үнэн юм:

1) Хэрэв бол эдгээр векторуудын хоорондох өнцөг хурц байна. Эсвэл векторууд нь хамтарсан чиглэлтэй байдаг.

2) Хэрэв бол эдгээр векторуудын хоорондох өнцөг нь мохоо байна. Эсвэл векторууд эсрэг чиглэлд байна.

Гэхдээ гурав дахь тохиолдол нь онцгой анхаарал татаж байна:

3) Хэрэв буланвекторуудын хооронд шууд: (90 градус), дараа нь скаляр үржвэр нь тэг байна: . Эсрэг заалт нь бас үнэн: хэрэв , тэгвэл . Мэдэгдэлийг дараах байдлаар товчхон томъёолж болно. Хоёр векторын скаляр үржвэр нь зөвхөн векторууд ортогональ байвал тэг болно. Богино математикийн тэмдэглэгээ:

! Анхаарна уу : Дахин хэлье математик логикийн үндэс: Хоёр талт логик үр дагаврын дүрс тэмдэг нь ихэвчлэн "хэрэв ба зөвхөн бол", "хэрэв л бол" гэж уншдаг. Таны харж байгаагаар сумнууд нь хоёр чиглэлд чиглэгддэг - "Үүнээс хойш үүнийг дагадаг, эсрэгээр - үүнийг дагадаг." Дашрамд хэлэхэд нэг талын дагах дүрсээс юугаараа ялгаатай вэ? Дүрсэнд заасан байдаг зөвхөн тэр, "Үүнээс үүнтэй холбоотой" гэсэн бөгөөд энэ нь эсрэгээрээ байгаа нь үнэн биш юм. Жишээ нь: , гэхдээ амьтан бүр ирвэс биш, тиймээс энэ тохиолдолд та дүрсийг ашиглах боломжгүй. Үүний зэрэгцээ, дүрсний оронд Чадахнэг талын дүрсийг ашиглах. Жишээлбэл, асуудлыг шийдэж байхдаа векторууд нь ортогональ байна гэж дүгнэсэн. - ийм оруулга нь зөв, бүр илүү тохиромжтой байх болно .

Гурав дахь тохиолдол нь практик ач холбогдолтой юм, учир нь энэ нь векторууд ортогональ эсэхийг шалгах боломжийг олгодог. Бид энэ асуудлыг хичээлийн хоёрдугаар хэсэгт шийдэх болно.

Цэг бүтээгдэхүүний шинж чанарууд

Хоёр вектор байх үеийн нөхцөл байдал руу буцаж орцгооё хамтран найруулсан. Энэ тохиолдолд тэдгээрийн хоорондох өнцөг тэг, , скаляр үржвэрийн томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

Хэрэв векторыг өөрөө үржүүлбэл юу болох вэ? Вектор нь өөртэйгөө таарч байгаа нь ойлгомжтой тул дээрх хялбаршуулсан томъёог ашиглана.

дугаарыг дуудаж байна скаляр квадратвектор бөгөөд гэж тэмдэглэнэ.

Тиймээс, векторын скаляр квадрат нь өгөгдсөн векторын уртын квадраттай тэнцүү байна.

Энэ тэгшитгэлээс бид векторын уртыг тооцоолох томъёог авч болно.

Одоогоор энэ нь тодорхойгүй мэт санагдаж байгаа ч хичээлийн зорилго бүх зүйлийг өөрийн байрандаа тавих болно. Асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд бас хэрэгтэй цэгийн бүтээгдэхүүний шинж чанар.

Дурын векторууд болон дурын тооны хувьд дараах шинж чанарууд үнэн байна.

1) – солигдох буюу хувирахскаляр бүтээгдэхүүний хууль.

2) – хуваарилалт эсвэл түгээхскаляр бүтээгдэхүүний хууль. Энгийнээр та хаалтуудыг нээж болно.

3) – ассоциатив буюу ассоциативскаляр бүтээгдэхүүний хууль. Тогтмолыг скаляр үржвэрээс гаргаж болно.

Ихэнхдээ бүх төрлийн өмч хөрөнгийг (үүнийг бас нотлох шаардлагатай!) оюутнууд шаардлагагүй хог хаягдал гэж ойлгодог бөгөөд үүнийг шалгалтын дараа шууд цээжилж, аюулгүйгээр мартах хэрэгтэй. Энд хамгийн чухал зүйл бол хүчин зүйлсийг дахин тохируулах нь бүтээгдэхүүнийг өөрчлөхгүй гэдгийг хүн бүр нэгдүгээр ангиасаа мэддэг байх шиг байна: . Дээд математикийн хувьд ийм арга барилаар аливаа зүйлийг хутгах нь амархан гэдгийг би танд анхааруулах ёстой. Тиймээс, жишээлбэл, солих шинж чанар нь үнэн биш юм алгебрийн матрицууд. Энэ нь бас үнэн биш юм векторуудын вектор үржвэр. Тиймээс, юу хийж болох, юу хийж болохгүйг ойлгохын тулд хамгийн багадаа математикийн дээд курст тааралдсан шинж чанаруудыг судлах нь дээр.

Жишээ 3

.

Шийдэл:Эхлээд векторын нөхцөл байдлыг тодруулъя. Ямартай ч энэ юу вэ? Векторуудын нийлбэр нь сайн тодорхойлогдсон вектор бөгөөд үүнийг -ээр тэмдэглэнэ. Вектор бүхий үйлдлийн геометрийн тайлбарыг нийтлэлээс олж болно Дамми нарт зориулсан векторууд. Вектортой ижил яншуй нь векторуудын нийлбэр ба .

Тиймээс нөхцөлийн дагуу скаляр үржвэрийг олох шаардлагатай. Онолын хувьд та өргөдөл гаргах хэрэгтэй ажлын томъёо , гэхдээ асуудал нь бид векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг мэдэхгүй байгаа явдал юм. Гэхдээ нөхцөл нь векторуудын хувьд ижил төстэй параметрүүдийг өгдөг тул бид өөр замаар явах болно:

(1) Векторуудын илэрхийлэлийг орлуулна уу.

(2) Бид олон гишүүнтийг үржүүлэх дүрмийн дагуу хаалтуудыг нээдэг бүдүүлэг хэллэгийг нийтлэлээс олж болно Нарийн төвөгтэй тооэсвэл Бутархай-рационал функцийг нэгтгэх. Би өөрийгөө давтахгүй =) Дашрамд хэлэхэд, скаляр бүтээгдэхүүний тархалтын шинж чанар нь хаалт нээх боломжийг бидэнд олгодог. Бидэнд эрх бий.

(3) Эхний болон сүүлчийн нөхцлөөр бид векторуудын скаляр квадратуудыг нягт бичдэг. . Хоёр дахь нэр томъёонд бид скаляр үржвэрийн солигддог байдлыг ашиглана: .

(4) Бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна: .

(5) Эхний нэр томъёонд бид томъёог ашигладаг скаляр квадрат, энэ тухай саяхан дурдагдсан. Сүүлийн үед, үүний дагуу ижил зүйл ажилладаг: . Бид хоёр дахь нэр томъёог стандарт томъёоны дагуу өргөжүүлдэг .

(6) Эдгээр нөхцлийг орлуулна уу , мөн эцсийн тооцоог АНХААРУУЛГА хийх.

Хариулт:

Сөрөг утгаСкаляр үржвэр нь векторуудын хоорондох өнцөг нь мохоо байна гэдгийг харуулж байна.

Асуудал нь ердийн зүйл тул үүнийг өөрөө шийдэх жишээ энд байна.

Жишээ 4

Векторуудын скаляр үржвэрийг олоорой, хэрэв энэ нь мэдэгдэж байвал .

Одоо өөр нэг нийтлэг даалгавар бол векторын уртын шинэ томъёонд зориулагдсан. Энд байгаа тэмдэглэгээ нь бага зэрэг давхцаж байгаа тул тодорхой болгохын тулд би үүнийг өөр үсгээр дахин бичих болно.

Жишээ 5

Хэрэв векторын уртыг ол .

Шийдэлдараах байдалтай байх болно.

(1) Бид векторын илэрхийлэлийг өгдөг.

(2) Бид уртын томъёог ашигладаг: , харин ve илэрхийлэл бүхэлдээ “ve” векторын үүрэг гүйцэтгэдэг.

(3) Бид нийлбэрийн квадратын хувьд сургуулийн томъёог ашигладаг. Энэ нь хэрхэн сониуч байдлаар ажиллаж байгааг анзаараарай: - энэ нь үнэндээ ялгааны квадрат бөгөөд үнэн хэрэгтээ ийм байна. Хүссэн хүмүүс векторуудыг өөрчилж болно: - Нөхцөлүүдийг өөрчлөх хүртэл ижил зүйл тохиолддог.

(4) Дараах нь өмнөх хоёр асуудлаас аль хэдийн танил болсон.

Хариулт:

Бид уртын тухай ярьж байгаа тул хэмжээсийг "нэгж" гэж зааж өгөхөө бүү мартаарай.

Жишээ 6

Хэрэв векторын уртыг ол .

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Бид цэгэн бүтээгдэхүүнээс хэрэгтэй зүйлсийг шахаж гаргасаар байна. Томьёогоо дахин харцгаая . Пропорциональ дүрмийг ашиглан векторуудын уртыг зүүн талын хуваагч руу дахин тохируулна.

Эд ангиудыг сольж үзье:

Энэ томъёоны утга нь юу вэ? Хэрэв хоёр векторын урт ба тэдгээрийн скаляр үржвэр нь мэдэгдэж байгаа бол эдгээр векторуудын хоорондох өнцгийн косинус, улмаар өнцгийг өөрөө тооцоолж болно.

Цэгтэй бүтээгдэхүүн нь тоо мөн үү? Тоо. Векторын урт нь тоо мөн үү? Тоонууд. Энэ нь бутархай нь бас тоо гэсэн үг юм. Хэрэв өнцгийн косинус мэдэгдэж байвал: , дараа нь ашиглана урвуу функцӨнцгийг өөрөө олоход хялбар байдаг: .

Жишээ 7

Хэрэв мэдэгдэж байгаа бол векторуудын хоорондох өнцгийг ол.

Шийдэл:Бид томъёог ашигладаг:

Тооцооллын эцсийн шатанд бид ашигласан техникийн техник– хуваагч дахь үндэслэлгүй байдлыг арилгах. Оновчгүй байдлыг арилгахын тулд тоо, хуваагчийг үржүүлсэн.

Тэгэхээр хэрэв , Тэр нь:

Урвуу утгууд тригонометрийн функцууд-аар олж болно тригонометрийн хүснэгт. Хэдийгээр энэ нь ховор тохиолддог. Аналитик геометрийн асуудалд ихэвчлэн болхи баавгай байдаг бөгөөд өнцгийн утгыг тооцоолуур ашиглан ойролцоогоор олох шаардлагатай болдог. Үнэндээ бид ийм дүр зургийг нэгээс олон удаа харах болно.

Хариулт:

Дахин хэлэхэд хэмжээсийг - радиан ба градусыг зааж өгөхөө бүү мартаарай. Би хувьдаа "бүх асуултыг шийдвэрлэх" тулд хоёуланг нь зааж өгөхийг илүүд үздэг (хэрэв нөхцөл байдал нь хариултыг зөвхөн радианаар эсвэл зөвхөн градусаар өгөхийг шаарддаггүй бол).

Одоо та илүү төвөгтэй ажлыг бие даан даван туулж чадна:

Жишээ 7*

Векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг өгөгдсөн. , векторуудын хоорондох өнцгийг ол.

Даалгавар нь олон үе шаттай тул тийм ч хэцүү биш юм.
Шийдлийн алгоритмыг харцгаая:

1) Нөхцөлийн дагуу та ба векторуудын хоорондох өнцгийг олох шаардлагатай тул томъёог ашиглах хэрэгтэй. .

2) Скаляр үржвэрийг ол (Жишээ No3, 4-ийг үз).

3) Векторын урт ба векторын уртыг ол (Жишээ No5, 6-г үзнэ үү).

4) Шийдлийн төгсгөл нь жишээ № 7-той давхцаж байна - бид тоог мэддэг бөгөөд энэ нь өнцгийг өөрөө олоход хялбар гэсэн үг юм.

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт.

Хичээлийн хоёр дахь хэсэг нь ижил скаляр бүтээгдэхүүнд зориулагдсан болно. Координатууд. Энэ нь эхний хэсгээс илүү хялбар байх болно.

Векторуудын цэгийн үржвэр,
ортонормаль суурь дээр координатаар өгөгдсөн

Хариулт:

Координатуудтай харьцах нь илүү тааламжтай гэдгийг хэлэх шаардлагагүй.

Жишээ 14

Хэрэв векторуудын скаляр үржвэрийг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Энд та үйлдлийн ассоциацийг ашиглаж болно, өөрөөр хэлбэл тоолохгүй, харин скаляр үржвэрийн гаднах гурвыг шууд авч, хамгийн сүүлд үржүүлнэ. Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Хэсгийн төгсгөлд векторын уртыг тооцоолох өдөөн хатгасан жишээ:

Жишээ 15

Векторуудын уртыг ол , Хэрэв

Шийдэл:Өмнөх хэсгийн арга нь дахин санал болгож байна: гэхдээ өөр арга бий:

Векторыг олъё:

Мөн түүний урт нь энгийн томъёоны дагуу :

Цэгтэй бүтээгдэхүүн энд огт хамаагүй!

Энэ нь векторын уртыг тооцоолоход бас ашиггүй:
Зогс. Бид векторын уртын илэрхий шинж чанарыг ашиглах ёстой биш гэж үү? Векторын уртын талаар та юу хэлж чадах вэ? Энэ векторвектороос 5 дахин урт. Чиглэл нь эсрэгээрээ, гэхдээ энэ нь хамаагүй, учир нь бид уртын тухай ярьж байна. Мэдээжийн хэрэг, векторын урт нь бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна модульвекторын уртын тоо:
– модулийн тэмдэг нь тухайн тооны боломжит хасахыг “иддэг”.

Тиймээс:

Хариулт:

Координатаар тодорхойлогдсон векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын томъёо

Одоо бидэнд байна бүрэн мэдээлэл, ингэснээр векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын урьд гаргаж авсан томъёог векторуудын координатаар илэрхийлж болно.

Хавтгай векторуудын хоорондох өнцгийн косинусболон ,-д заасан ортонормаль суурь , томъёогоор илэрхийлнэ:
.

Сансрын векторуудын хоорондох өнцгийн косинус, ортонормаль үндэслэлээр тодорхойлсон, томъёогоор илэрхийлнэ:

Жишээ 16

Гурвалжны гурван орой өгөгдсөн. Ол (орой өнцөг).

Шийдэл:Нөхцөл байдлын дагуу зураг зурах шаардлагагүй, гэхдээ:

Шаардлагатай өнцгийг ногоон нумаар тэмдэглэнэ. Сургуулийн нэрийг өнцгөөр нь нэн даруй санацгаая: - онцгой анхааралдээр дундажүсэг - энэ бол бидэнд хэрэгтэй өнцгийн орой юм. Товчхондоо та энгийнээр бичиж болно.

Зургаас харахад гурвалжны өнцөг нь векторуудын хоорондох өнцөгтэй давхцаж байгаа бөгөөд өөрөөр хэлбэл: .

Шинжилгээг оюун ухаанаараа хийж сурахыг зөвлөж байна.

Векторуудыг олъё:

Скаляр үржвэрийг тооцоолъё:

Мөн векторуудын уртууд:

Өнцгийн косинус:

Энэ бол миний дамми нарт санал болгож буй даалгаврыг гүйцэтгэх дараалал юм. Илүү дэвшилтэт уншигчид тооцооллыг "нэг мөрөнд" бичиж болно.

"Муу" косинусын утгын жишээ энд байна. Үүссэн утга нь эцсийнх биш тул хуваагч дахь үндэслэлгүй байдлаас салах нь утгагүй юм.

Өнцгийг өөрөө олъё:

Хэрэв та зургийг харвал үр дүн нь нэлээд үнэмшилтэй байна. Шалгахын тулд өнцгийг протектороор хэмжиж болно. Мониторын тагийг гэмтээж болохгүй =)

Хариулт:

Хариуд нь бид үүнийг мартдаггүй гурвалжны өнцгийн талаар асуув(мөн векторуудын хоорондох өнцгийн тухай биш), яг хариултыг зааж өгөхөө бүү мартаарай: болон өнцгийн ойролцоо утгыг: , тооцоолуур ашиглан олсон.

Энэ үйл явцад таалагдсан хүмүүс өнцгийг тооцоолж, каноник тэгш байдлын үнэн зөвийг шалгаж болно

Жишээ 17

Гурвалжин нь орон зайд түүний оройн координатаар тодорхойлогддог. ба талуудын хоорондох өнцгийг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт

Богино эцсийн хэсэг нь скаляр бүтээгдэхүүнийг хамарсан төсөөлөлд зориулагдсан болно.

Вектор дээр векторын проекц. Координатын тэнхлэгүүд дээрх векторын проекц.
Векторын чиглэлийн косинусууд

Векторуудыг авч үзье:

Үүнийг хийхийн тулд векторын эхлэл ба төгсгөлөөс эхлэн векторыг оруулъя перпендикулярвектор руу (ногоон тасархай шугамууд). Гэрлийн туяа вектор руу перпендикуляр унадаг гэж төсөөлөөд үз дээ. Дараа нь сегмент (улаан шугам) нь векторын "сүүдэр" болно. Энэ тохиолдолд векторын вектор дээрх проекц нь сегментийн УРТ болно. Өөрөөр хэлбэл ТӨСӨЛ БОЛ ТООН.

Энэ ДУГААР нь дараах байдлаар тэмдэглэгдсэн: , “том вектор” нь векторыг илэрхийлнэ АЛЬтөсөл, "жижиг дэд тэмдэгт вектор" нь векторыг илэрхийлнэ АСААЛТТАЙаль нь төлөвлөж байна.

Энэ оруулга нь "a" векторын "be" вектор руу проекц" гэсэн утгатай.

Хэрэв "be" вектор "хэт богино" байвал яах вэ? Бид "be" векторыг агуулсан шулуун шугамыг зурна. Мөн "a" вектор аль хэдийн төлөвлөгдсөн болно "be" векторын чиглэлд, энгийнээр - “be” векторыг агуулсан шулуун шугам руу. Хэрэв "a" вектор гучин хаант улсад хойшлогдвол ижил зүйл тохиолдох болно - энэ нь "be" векторыг агуулсан шулуун шугам дээр амархан проекцлох болно.

Хэрэв өнцөгвекторуудын хооронд халуун ногоотой(зураг дээрх шиг), дараа нь

Хэрэв векторууд ортогональ, дараа нь (проекц нь хэмжээс нь тэг гэж тооцогддог цэг юм).

Хэрэв өнцөгвекторуудын хооронд мохоо(зураг дээр вектор сумыг оюун санааны хувьд дахин зохион байгуулна), дараа нь (ижил урттай, гэхдээ хасах тэмдгээр авсан).

Эдгээр векторуудыг нэг цэгээс зуръя:

Мэдээжийн хэрэг, вектор хөдлөхөд түүний проекц өөрчлөгдөхгүй

I. Хэрэв векторуудын ядаж нэг нь тэг эсвэл векторууд перпендикуляр байвал скаляр үржвэр алга болно. Үнэн хэрэгтээ хэрэв эсвэл , эсвэл дараа нь .

Эсрэгээр, үржүүлсэн векторууд нь тэг биш бол нөхцөлөөс

дараах үед:

Тэг векторын чиглэл тодорхойгүй тул тэг векторыг дурын вектортой перпендикуляр гэж үзэж болно. Тиймээс скаляр үржвэрийн заасан шинж чанарыг илүү товчоор томъёолж болно: векторууд перпендикуляр байвал скаляр бүтээгдэхүүн алга болно.

II. Скаляр бүтээгдэхүүн нь солих шинж чанартай:

Энэ шинж чанар нь тодорхойлолтоос шууд хамаарна:

Учир нь нэг өнцгийн хувьд өөр өөр тэмдэглэгээ.

III. Хуваарилалтын хууль бол маш чухал. Үүний хэрэглээ нь энгийн арифметик эсвэл алгебрийн нэгэн адил агуу бөгөөд үүнийг дараах байдлаар томъёолсон болно: нийлбэрийг үржүүлэхийн тулд та гишүүн бүрийг үржүүлж, үр дүнг нь нэмэх хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл.

Мэдээжийн хэрэг, үржүүлэх олон оронтой тоонуударифметик эсвэл алгебр дахь олон гишүүнт нь үржүүлэх энэ шинж чанарт суурилдаг.

Энэ хууль нь вектор алгебрийн үндсэн ач холбогдолтой бөгөөд үүний үндсэн дээр бид олон гишүүнтийг векторуудад үржүүлэх ердийн дүрмийг хэрэглэж болно.

А, В, С дурын гурван векторын хувьд дараах тэгшитгэл үнэн болохыг баталцгаая.

Томъёогоор илэрхийлсэн скаляр бүтээгдэхүүний хоёр дахь тодорхойлолтын дагуу бид дараахь зүйлийг авна.

Одоо § 5-аас 2 проекцын шинж чанарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олно.

Q.E.D.

IV. Скаляр бүтээгдэхүүн нь тоон хүчин зүйлийн хувьд хослуулах шинж чанартай байдаг; Энэ өмчийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

өөрөөр хэлбэл векторуудын скаляр үржвэрийг тоогоор үржүүлэхийн тулд нэг хүчин зүйлийг энэ тоогоор үржүүлэхэд хангалттай.