Тригонометр нь шинжлэх ухааны хувьд Эртний Дорнодод үүссэн. Анхны тригонометрийн харьцааг одон орон судлаачид оддын зөв хуанли, чиг баримжааг бий болгохын тулд гаргаж авсан. Эдгээр тооцоолол нь бөмбөрцөг тригонометртэй холбоотой байх үед сургуулийн курсхавтгай гурвалжны талууд ба өнцгийн харьцааг судлах.
Тригонометр бол шинж чанаруудыг судалдаг математикийн салбар юм тригонометрийн функцуудгурвалжны талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарал.
МЭ 1-р мянганы соёл, шинжлэх ухааны оргил үед Эртний Дорнодоос Грект мэдлэг дэлгэрчээ. Гэхдээ тригонометрийн гол нээлт бол Арабын Халифатын үеийн хүмүүсийн гавьяа юм. Тодруулбал, туркмены эрдэмтэн аль-Маразви тангенс, котангенс зэрэг функцуудыг нэвтрүүлж, синус, тангенс, котангенсийн утгын анхны хүснэгтийг эмхэтгэсэн. Синус, косинусын тухай ойлголтыг Энэтхэгийн эрдэмтэд нэвтрүүлсэн. Тригонометр нь Евклид, Архимед, Эратосфен зэрэг эртний агуу хүмүүсийн бүтээлүүдэд ихээхэн анхаарал хандуулсан.
Тригонометрийн үндсэн хэмжигдэхүүнүүд
Тоон аргументын үндсэн тригонометрийн функцууд нь синус, косинус, тангенс, котангенс юм. Тэд тус бүр өөрийн гэсэн графиктай: синус, косинус, тангенс, котангенс.
Эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн утгыг тооцоолох томъёо нь Пифагорын теорем дээр үндэслэсэн болно. Сургуулийн сурагчдад "Бүх чиглэлд тэнцүү Пифагор өмд" гэсэн томъёоллыг илүү сайн мэддэг, учир нь ижил өнцөгт тэгш өнцөгт гурвалжны жишээг ашиглан нотолгоог өгсөн болно.
Синус, косинус болон бусад харилцаа нь тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг ба талуудын хоорондын хамаарлыг тогтоодог. А өнцгийн хувьд эдгээр хэмжигдэхүүнийг тооцоолох томъёог танилцуулж, тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарлыг судалъя.
Таны харж байгаагаар tg ба ctg байна урвуу функцууд. Хэрэв бид а хөлийг нүгэл А ба гипотенуз c-ийн үржвэр, b хөлийг cos A * c гэж төсөөлвөл тангенс ба котангенсын дараах томъёог олж авна.
Тригонометрийн тойрог
Графикаар дурдсан хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
Тойрог, д энэ тохиолдолд, α өнцгийн бүх боломжит утгыг илэрхийлнэ - 0 ° -аас 360 ° хүртэл. Зургаас харахад функц бүр өнцгөөс хамааран сөрөг эсвэл эерэг утгыг авдаг. Жишээлбэл, α нь тойргийн 1 ба 2-р дөрөвний нэгд хамаарах, өөрөөр хэлбэл 0 ° -аас 180 ° хооронд байвал sin α нь "+" тэмдэгтэй байх болно. α-ийн хувьд 180°-аас 360° хүртэл (III ба IV улирал) sin α нь зөвхөн сөрөг утгатай байж болно.
Бариулахыг хичээцгээе тригонометрийн хүснэгтүүдтодорхой өнцгүүдийн хувьд хэмжигдэхүүнүүдийн утгыг олоорой.
30°, 45°, 60°, 90°, 180° гэх мэт α-ийн утгыг онцгой тохиолдол гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийн тригонометрийн функцүүдийн утгыг тооцоолж, тусгай хүснэгт хэлбэрээр үзүүлэв.
Эдгээр өнцгийг санамсаргүй байдлаар сонгоогүй. Хүснэгт дэх π тэмдэглэгээ нь радианд зориулагдсан. Rad нь тойргийн нумын урт нь түүний радиустай тохирч байх өнцөг юм. Энэ утгыг радианаар тооцоолохдоо бүх нийтийн хамаарлыг тогтоох зорилгоор оруулсан бөгөөд радиусын бодит урт нь см-ээр хамаагүй.
Тригонометрийн функцүүдийн хүснэгтийн өнцөг нь радиан утгуудтай тохирч байна.
Тэгэхээр 2π нь бүтэн тойрог буюу 360° гэдгийг таахад хэцүү биш юм.
Тригонометрийн функцүүдийн шинж чанарууд: синус ба косинус
Синус ба косинус, тангенс ба котангенсийн үндсэн шинж чанарыг авч үзэх, харьцуулахын тулд тэдгээрийн функцийг зурах шаардлагатай. Үүнийг хоёр хэмжээст координатын системд байрлах муруй хэлбэрээр хийж болно.
Санаж үз харьцуулах хүснэгтСинус ба косинусын шинж чанарууд:
| Синус долгион | Косинус |
|---|---|
| y = sinx | у = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, хувьд x = πk, энд k ϵ Z | cos x = 0, хувьд x = π/2 + πk, энд k ϵ Z |
| sin x = 1, хувьд x = π/2 + 2πk, энд k ϵ Z | cos x = 1, at x = 2πk, энд k ϵ Z |
| sin x = - 1, at x = 3π/2 + 2πk, энд k ϵ Z | cos x = - 1, хувьд x = π + 2πk, энд k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, өөрөөр хэлбэл функц нь сондгой байна | cos (-x) = cos x, өөрөөр хэлбэл функц нь тэгш байна |
| функц нь үечилсэн, хамгийн бага үе нь 2π | |
| sin x › 0, x нь 1 ба 2-р улиралд хамаарах буюу 0°-аас 180° хүртэл (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, x нь I ба IV улиралд хамаарах буюу 270°-аас 90° хүртэл (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, x нь гурав, дөрөвдүгээр улиралд хамаарах буюу 180°-аас 360° хүртэл (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, x нь 2, 3-р улиралд хамаарах буюу 90°-аас 270° хүртэл (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] интервалд нэмэгдэнэ. | [-π + 2πk, 2πk] интервал дээр нэмэгддэг |
| [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] интервалаар буурдаг | интервалаар буурдаг |
| дериватив (нүгэл х)’ = cos x | дериватив (cos x)’ = - sin x |
Функц тэгш эсвэл тэгш биш эсэхийг тодорхойлох нь маш энгийн. Зүгээр л төсөөл тригонометрийн тойрогтригонометрийн хэмжигдэхүүний шинж тэмдгүүдтэй, OX тэнхлэгтэй харьцуулахад графикийг оюун ухаанаар "нугалах". Хэрэв тэмдгүүд давхцаж байвал функц нь тэгш, эс тэгвээс сондгой байна.
Радиануудын танилцуулга, синус ба косинусын долгионы үндсэн шинж чанаруудын жагсаалт нь дараахь хэв маягийг харуулах боломжийг бидэнд олгоно.
Томъёо зөв эсэхийг шалгах нь маш амархан. Жишээлбэл, x = π/2-ийн хувьд синус нь x = 0-ийн косинустай адил 1 байна. Шалгалтыг хүснэгтээс зөвлөгөө авах эсвэл өгөгдсөн утгуудын функцын муруйг мөрдөх замаар хийж болно.
Тангенсоид ба котангенсоидын шинж чанар
Тангенс ба котангенсийн функцүүдийн графикууд нь синус ба котангенсийн функцээс эрс ялгаатай. tg ба ctg утгууд нь бие биенийхээ эсрэг байдаг.
- Y = бор х.
- Шүргэгч нь x = π/2 + πk дахь y-ийн утгууд руу чиглэдэг боловч тэдгээрт хэзээ ч хүрдэггүй.
- Тангентоидын хамгийн бага эерэг үе нь π юм.
- Tg (- x) = - tg x, өөрөөр хэлбэл функц нь сондгой байна.
- Tg x = 0, x = πk-ийн хувьд.
- Функц нэмэгдэж байна.
- Tg x › 0, x ϵ-ийн хувьд (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, x ϵ-ийн хувьд (— π/2 + πk, πk).
- Дериватив (tg x)’ = 1/cos 2 x.
Текст дэх котангентоидын график дүрсийг авч үзье.
Котангентоидын үндсэн шинж чанарууд:
- Y = ор х.
- Синус ба косинусын функцээс ялгаатай нь тангентоид Y нь бүх бодит тоонуудын багцын утгыг авч болно.
- Котангентоид нь x = πk үед y-ийн утгууд руу чиглэдэг боловч хэзээ ч хүрч чаддаггүй.
- Котангентоидын хамгийн бага эерэг үе нь π юм.
- Ctg (- x) = - ctg x, өөрөөр хэлбэл функц нь сондгой байна.
- Ctg x = 0, x = π/2 + πk-ийн хувьд.
- Функц нь буурч байна.
- Ctg x › 0, x ϵ-ийн хувьд (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, x ϵ-ийн хувьд (π/2 + πk, πk).
- Дериватив (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Зөв
Тригонометрийн таних тэмдэг- эдгээр нь нэг өнцгийн синус, косинус, тангенс ба котангенсийн хоорондын хамаарлыг тогтоодог тэгшитгэлүүд бөгөөд эдгээр функцүүдийн аль нэгийг нь олж мэдэх боломжийг олгодог.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Энэ ижил төстэй байдал нь нэг өнцгийн синусын квадрат ба нэг өнцгийн косинусын квадратын нийлбэр нэгтэй тэнцүү гэж хэлдэг бөгөөд энэ нь практикт нэг өнцгийн синусыг косинус нь мэдэгдэж байх үед болон эсрэгээр нь тооцоолох боломжтой болгодог. .
Тригонометрийн илэрхийлэлийг хөрвүүлэхдээ энэ таних тэмдгийг ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд энэ нь нэг өнцгийн косинус ба синусын квадратуудын нийлбэрийг нэгээр сольж, солих үйлдлийг урвуу дарааллаар гүйцэтгэх боломжийг олгодог.
Синус болон косинусыг ашиглан тангенс ба котангенсыг олох
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Эдгээр таних тэмдэг нь синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтоос үүсдэг. Эцсийн эцэст хэрэв та үүнийг харвал ординат у нь синус, абсцисса х нь косинус юм. Дараа нь тангенс нь харьцаатай тэнцүү байх болно \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), болон харьцаа \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- котангенс байх болно.
Зөвхөн тэдгээрт багтсан тригонометрийн функцууд нь утга учиртай \alpha өнцгүүдийн хувьд адилтгалууд хадгалагдана гэдгийг нэмж хэлье. ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Жишээлбэл: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)-аас ялгаатай \alpha өнцөгт хүчинтэй \frac(\pi)(2)+\pi z, А ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z-ээс өөр \alpha өнцгийн хувьд z нь бүхэл тоо юм.
Тангенс ба котангенс хоорондын хамаарал
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Энэ таних нь зөвхөн өөр альфа өнцөгт хүчинтэй \frac(\pi)(2) z. Үгүй бол котангенс эсвэл тангенсыг тодорхойлохгүй.
Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн бид үүнийг олж авна tg \alpha = \frac(y)(x), А ctg \alpha=\frac(x)(y). Үүнийг дагадаг tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Иймд утга учиртай ижил өнцгийн тангенс ба котангенс нь харилцан урвуу тоо юм.
Тангенс ба косинус, котангенс ба синусын хоорондын хамаарал
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- \alpha ба 1 өнцгийн тангенсийн квадратын нийлбэр нь энэ өнцгийн косинусын урвуу квадраттай тэнцүү байна. Энэ таних тэмдэг нь бусад бүх \alpha-д хүчинтэй \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\альфа)- 1-ийн нийлбэр ба \alpha өнцгийн котангенсийн квадрат нь тухайн өнцгийн синусын урвуу квадраттай тэнцүү байна. Энэ таних тэмдэг нь \pi z-ээс өөр ямар ч \alpha-д хүчинтэй.
Тригонометрийн таних тэмдэг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх жишээ
Жишээ 1
\sin \alpha, tg \alpha бол ол \cos \alpha=-\frac12Тэгээд \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Шийдлийг харуулах
Шийдэл
\sin \alpha ба \cos \alpha функцууд нь томъёогоор хамааралтай \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Энэ томъёонд орлуулах \cos \alpha = -\frac12, бид авах:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Энэ тэгшитгэл нь 2 шийдэлтэй:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Нөхцөлөөр \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Хоёрдугаар улиралд синус эерэг байна, тиймээс \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
tan \alpha-г олохын тулд бид томъёог ашигладаг tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Жишээ 2
Хэрэв мөн бол \cos \alpha ба ctg \alpha-г ол \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Шийдлийг харуулах
Шийдэл
Томъёонд орлуулах \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1өгсөн дугаар \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), бид авдаг \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Энэ тэгшитгэл нь хоёр шийдэлтэй \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Нөхцөлөөр \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Хоёрдугаар улиралд косинус сөрөг байна, тиймээс \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
ctg \alpha-г олохын тулд бид томъёог ашиглана ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Бид тохирох утгыг мэддэг.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Бид тригонометрийн судалгаагаа зөв гурвалжингаар эхлүүлнэ. Синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу болохыг тодорхойлъё хурц өнцөг. Энэ бол тригонометрийн үндэс суурь юм.
Үүнийг эргэн санацгаая зөв өнцөгнь 90 градустай тэнцүү өнцөг юм. Өөрөөр хэлбэл хагас эргэх өнцөг.
Хурц булан- 90 градусаас бага.
Мохоо өнцөг- 90 хэмээс дээш. Ийм өнцгийн хувьд "мохоо" гэдэг нь доромжлол биш, харин математикийн хэллэг юм :-)
Зурцгаая зөв гурвалжин. Зөв өнцгийг ихэвчлэн гэж тэмдэглэдэг. Булангийн эсрэг талын талыг ижил үсгээр, зөвхөн жижиг гэж тэмдэглэсэн болохыг анхаарна уу. Тиймээс эсрэг талын А өнцгийг тэмдэглэв.
Өнцгийг харгалзах Грек үсгээр тэмдэглэнэ.
ГипотенузТэгш өнцөгтийн эсрэг тал нь тэгш өнцөгт гурвалжны тал юм.
Хөл- хурц өнцгүүдийн эсрэг байрлах талууд.
Өнцгийн эсрэг талд хэвтэж буй хөлийг нэрлэдэг эсрэг(өнцөгтэй харьцуулахад). Өнцгийн аль нэг талд байрлах нөгөө хөлийг дуудна зэргэлдээ.
СинусТэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцөг нь эсрэг талын гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.
Косинустэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг - зэргэлдээх хөлний гипотенузын харьцаа:
Тангенстэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг - эсрэг талын хажуугийн хажуугийн харьцаа:
Өөр нэг (тэнцүү) тодорхойлолт: хурц өнцгийн тангенс нь өнцгийн синусыг косинустай харьцуулсан харьцаа юм.
Котангенстэгш өнцөгт гурвалжин дахь хурц өнцөг - зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаа (эсвэл косинус ба синустай ижил харьцаа):
Доорх синус, косинус, тангенс, котангенсийн үндсэн хамаарлыг тэмдэглэ. Асуудлыг шийдвэрлэхэд тэд бидэнд ашигтай байх болно.
Тэдний заримыг нь нотолж үзье.
За, бид тодорхойлолт өгч, томьёо бичсэн. Гэхдээ яагаад бидэнд синус, косинус, тангенс, котангенс хэрэгтэй хэвээр байна вэ?
Бид үүнийг мэднэ аливаа гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь тэнцүү байна.
хоорондын харилцааг бид мэднэ намуудзөв гурвалжин. Энэ бол Пифагорын теорем юм: .
Гурвалжин дахь хоёр өнцгийг мэдсэнээр та гурав дахь өнцгийг олох боломжтой болж байна. Тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр талыг мэдсэнээр та гурав дахь хэсгийг нь олох боломжтой. Энэ нь өнцөг нь өөрийн гэсэн харьцаатай, талууд нь өөрийн гэсэн утгатай гэсэн үг юм. Тэгш өнцөгт гурвалжинд нэг өнцөг (зөв өнцгөөс бусад) ба нэг талыг мэддэг ч нөгөө талыг нь олох шаардлагатай бол яах ёстой вэ?
Эрт дээр үед хүмүүс энэ газар нутаг, одтой тэнгэрийн газрын зургийг гаргахдаа ийм зүйлтэй тулгардаг байв. Эцсийн эцэст гурвалжны бүх талыг шууд хэмжих нь үргэлж боломжгүй байдаг.
Синус, косинус ба тангенс - тэдгээрийг бас нэрлэдэг тригонометрийн өнцгийн функцууд- хоорондын харилцааг өгөх намуудТэгээд булангуудгурвалжин. Өнцгийг мэдэхийн тулд та тусгай хүснэгтүүдийг ашиглан түүний бүх тригонометрийн функцийг олох боломжтой. Гурвалжин ба түүний аль нэг талын өнцгүүдийн синус, косинус, шүргэгчийг мэдсэнээр та үлдсэн хэсгийг нь олох боломжтой.
Бид мөн "сайн" өнцгүүдийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгуудын хүснэгтийг зурах болно.
Хүснэгтэнд байгаа хоёр улаан зураасыг анхаарна уу. Тохиромжтой өнцгийн утгуудад тангенс ба котангенс байхгүй.
FIPI Task Bank-аас хэд хэдэн тригонометрийн асуудлыг авч үзье.
1. Гурвалжинд өнцөг нь ,. олох.
Асуудлыг дөрвөн секундын дотор шийддэг.
Учир нь , .
2. Гурвалжинд өнцөг нь , , . олох.
Үүнийг Пифагорын теоремоор олъё.
Асуудал шийдэгдсэн.
Ихэнхдээ асуудалд өнцөгтэй гурвалжин эсвэл өнцөгтэй гурвалжин байдаг. Тэдний үндсэн харьцааг цээжээр санаарай!
Өнцөгтэй гурвалжин ба өнцгийн эсрэг талын хөл нь тэнцүү байна гипотенузын хагас.
Өнцөгтэй гурвалжин ба тэгш өнцөгт. Үүний дотор гипотенуз нь хөлөөс хэд дахин том байдаг.
Бид тэгш өнцөгт гурвалжныг шийдвэрлэх, өөрөөр хэлбэл үл мэдэгдэх талууд эсвэл өнцгийг олох асуудлыг авч үзсэн. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм! IN Улсын нэгдсэн шалгалтын сонголтуудМатематикт гурвалжны гаднах өнцгийн синус, косинус, тангенс эсвэл котангенстай холбоотой олон асуудал байдаг. Энэ талаар дараагийн өгүүллээр дэлгэрэнгүй үзнэ үү.
Эхлээд радиус 1, төв нь (0;0) байх тойргийг авч үзье. Аливаа αЄR-ийн хувьд 0А ба 0х тэнхлэгийн хоорондох өнцгийн радиан хэмжигдэхүүн нь α-тай тэнцүү байхаар 0А радиусыг зурж болно. Цагийн зүүний эсрэг чиглэлийг эерэг гэж үзнэ. А радиусын төгсгөлд координат (a,b) байна.
Синусын тодорхойлолт
Тодорхойлолт: Тодорхойлсон аргаар байгуулсан нэгжийн радиусын ординаттай тэнцүү b тоог sinα гэж тэмдэглэж, α өнцгийн синус гэнэ.
Жишээ нь: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0
Косинусын тодорхойлолт
Тодорхойлолт: Тодорхойлсон аргаар байгуулсан нэгжийн радиусын төгсгөлийн абсциссатай тэнцүү a тоог cosα гэж тэмдэглээд α өнцгийн косинус гэнэ.
Жишээ: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2
Эдгээр жишээнүүдэд өнцгийн синус ба косинусын тодорхойлолтыг нэгжийн радиусын төгсгөлийн координат ба нэгж тойргийн утгаар ашигласан болно. Илүү дүрслэхийн тулд та зурах хэрэгтэй нэгж тойрогүүн дээр харгалзах цэгүүдийг зурж, тэдгээрийн абсциссуудыг тоолж косинусыг, ординатыг нь тоолж синусын тооцоог хийнэ.
Тангенсийн тодорхойлолт
Тодорхойлолт: x≠π/2+πk, kЄZ-ийн tgx=sinx/cosx функцийг x өнцгийн котангенс гэнэ. tgx функцийн тодорхойлолтын муж нь x=π/2+πn, nЄZ-ээс бусад бүх бодит тоонууд юм.
Жишээ нь: tg0 tgπ = 0 0 = 0
Энэ жишээ нь өмнөхтэй төстэй юм. Өнцгийн шүргэгчийг тооцоолохын тулд цэгийн ординатыг абсциссад хуваах хэрэгтэй.
Котангенсийн тодорхойлолт
Тодорхойлолт: x≠πk, kЄZ-ийн хувьд ctgx=cosx/sinx функцийг x өнцгийн котангенс гэнэ. ctgx = функцийн тодорхойлолтын муж нь x=πk, kЄZ цэгүүдээс бусад бүх бодит тоонууд юм.
Энгийн тэгш өнцөгт гурвалжны жишээг авч үзье
Косинус, синус, тангенс, котангенс гэж юу болохыг илүү тодорхой болгохын тулд. y өнцөгтэй, a,b,c талуудтай энгийн тэгш өнцөгт гурвалжны жишээг авч үзье. Гипотенуз c, хөл a, b тус тус. Гипотенуз c ба хөлийн хоорондох өнцөг b y.
Тодорхойлолт: y өнцгийн синус нь эсрэг талын гипотенузын харьцаа юм: siny = a/c
Тодорхойлолт: y өнцгийн косинус нь зэргэлдээх хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм: cosy= in/c
Тодорхойлолт: y өнцгийн тангенс нь эсрэг талын хажуугийн хажуугийн харьцаа юм: tgy = a/b
Тодорхойлолт: y өнцгийн котангенс нь зэргэлдээ талын эсрэг талын харьцаа юм: ctgy= in/a
Синус, косинус, тангенс, котангенсыг мөн тригонометрийн функц гэж нэрлэдэг. Өнцөг бүр өөрийн гэсэн синус ба косинустай. Мөн бараг хүн бүр өөрийн шүргэгч, котангенстай байдаг.
Хэрэв бидэнд өнцөг өгөгдсөн бол түүний синус, косинус, тангенс, котангенс бидэнд мэдэгддэг гэж үздэг! Мөн эсрэгээр. Өгөгдсөн синус эсвэл бусад тригонометрийн функцууд нь бид өнцгийг мэддэг. Бүр өнцөг бүрт тригонометрийн функцуудыг бичсэн тусгай хүснэгтүүд хүртэл бий болсон.
Синус (), косинус (), тангенс (), котангенс () гэсэн ойлголтууд нь өнцгийн тухай ойлголттой салшгүй холбоотой байдаг. Эдгээрийг эхлээд харахад нарийн төвөгтэй ойлголтуудыг (олон сургуулийн сурагчдад айдас төрүүлдэг) сайн ойлгохын тулд "чөтгөр зурсан шигээ аймшигтай биш" гэдэгт итгэлтэй байхын тулд эхлээд эхлэе. маш эхэлж, өнцгийн тухай ойлголтыг ойлгодог.
Өнцгийн тухай ойлголт: радиан, градус
Зургийг харцгаая. Вектор цэгтэй харьцуулахад тодорхой хэмжээгээр "эргэв". Тиймээс анхны байрлалтай харьцуулахад энэ эргэлтийн хэмжүүр нь байх болно булан.
Өнцгийн тухай ойлголтын талаар өөр юу мэдэх хэрэгтэй вэ? Мэдээжийн хэрэг, өнцгийн нэгжүүд!
Геометр ба тригонометрийн аль алинд нь өнцгийг градус, радианаар хэмжиж болно.
(нэг градус) өнцгийг гэж нэрлэдэг төв өнцөгтойргийн хэсэгтэй тэнцэх дугуй нуман дээр тулгуурлан тойрог дотор. Тиймээс бүхэл бүтэн тойрог нь дугуй нумын "хэсэг" -ээс бүрдэх буюу тойргийн дүрсэлсэн өнцөг нь тэнцүү байна.
Өөрөөр хэлбэл, дээрх зураг нь ижил өнцгийг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл энэ өнцөг нь тойргийн хэмжээтэй дугуй нуман дээр тулгуурладаг.
Радиан дахь өнцөг гэдэг нь тойргийн радиустай тэнцүү урттай дугуй нумаар оршдог тойргийн төв өнцөг юм. За, та үүнийг олж мэдсэн үү? Үгүй бол зурган дээрээс олж мэдье.
Тиймээс, зураг нь радиантай тэнцүү өнцгийг харуулж байна, өөрөөр хэлбэл энэ өнцөг нь тойргийн радиустай тэнцүү дугуй нуман дээр байрладаг (урт нь урт эсвэл радиустай тэнцүү). урттай тэнцүүнумууд). Тиймээс нумын уртыг дараах томъёогоор тооцоолно.
Радиан дахь төв өнцөг хаана байна.
За, үүнийг мэдэж байгаа тул тойргийн дүрсэлсэн өнцөгт хэдэн радиан агуулагдаж байгааг хариулж чадах уу? Тийм ээ, үүний тулд та тойргийн томъёог санах хэрэгтэй. Тэр энд байна:
За, одоо эдгээр хоёр томьёог харьцуулж тойргоор дүрсэлсэн өнцөг тэнцүү болохыг олж мэдье. Өөрөөр хэлбэл градус ба радиан дахь утгыг харьцуулж үзвэл бид үүнийг олж авна. Тус тусад нь, . Таны харж байгаагаар хэмжилтийн нэгж нь контекстээс ихэвчлэн тодорхой байдаг тул "градус"-аас ялгаатай нь "радиан" гэдэг үгийг орхигдуулдаг.
Хэдэн радиан байдаг вэ? Яг зөв!
Авчихсан? Дараа нь үргэлжлүүлээд засаарай:
Хэцүү байна уу? Дараа нь хар хариултууд:
Зөв гурвалжин: синус, косинус, тангенс, өнцгийн котангенс
Тиймээс бид өнцгийн тухай ойлголтыг олж мэдсэн. Гэхдээ өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу вэ? Үүнийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжин бидэнд тусална.
Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудыг юу гэж нэрлэдэг вэ? Энэ нь зөв, гипотенуз ба хөл: гипотенуз нь зөв өнцгийн эсрэг талд байрлах тал юм (бидний жишээнд энэ нь тал юм); хөл нь үлдсэн хоёр тал ба (зэргэлдээх зөв өнцөг), мөн хэрэв бид хөлийг өнцгөөр нь авч үзвэл хөл нь зэргэлдээх хөл, харин хөл нь эсрэгээрээ байна. Тэгвэл одоо өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс гэж юу вэ гэсэн асуултад хариулъя.
Өнцгийн синус- энэ нь эсрэг талын (алсын) хөлний гипотенузын харьцаа юм.
Манай гурвалжинд.
Өнцгийн косинус- энэ нь зэргэлдээх (ойр) хөлний гипотенузын харьцаа юм.
Манай гурвалжинд.
Өнцгийн тангенс- энэ нь эсрэг талын (алслагдсан) хажуугийн (ойр) харьцаа юм.
Манай гурвалжинд.
Өнцгийн котангенс- энэ нь зэргэлдээх (ойр) хөлийн эсрэг талын (хол) харьцаа юм.
Манай гурвалжинд.
Эдгээр тодорхойлолтууд зайлшгүй шаардлагатай санаж байна! Аль хөлийг юунд хуваахыг санахад хялбар болгохын тулд та үүнийг тодорхой ойлгох хэрэгтэй шүргэгчТэгээд котангенсзөвхөн хөл нь сууж, гипотенуз нь зөвхөн дотор гарч ирдэг синусТэгээд косинус. Дараа нь та холбоодын гинжин хэлхээг гаргаж ирж болно. Жишээлбэл, энэ нь:
Косинус→хүрэх→хүрэх→зэргэлдээ;
Котангенс → мэдрэгч → зэргэлдээ.
Юуны өмнө гурвалжны талуудын харьцаа нь эдгээр талуудын уртаас (ижил өнцгөөр) хамаардаггүй тул синус, косинус, тангенс, котангенс гэдгийг санах хэрэгтэй. Итгэхгүй байна? Дараа нь зургийг хараад итгэлтэй байна:
Жишээлбэл, өнцгийн косинусыг авч үзье. Тодорхойлолтоор гурвалжингаас: , гэхдээ бид гурвалжингаас өнцгийн косинусыг тооцоолж болно: . Та харж байна уу, талуудын урт нь өөр боловч нэг өнцгийн косинусын утга ижил байна. Тиймээс синус, косинус, тангенс, котангенсийн утгууд нь зөвхөн өнцгийн хэмжээнээс хамаарна.
Хэрэв та тодорхойлолтыг ойлгож байгаа бол үргэлжлүүлээд нэгтгэж үзээрэй!
Доорх зурагт үзүүлсэн гурвалжны хувьд бид олно.
За, чи авсан уу? Дараа нь өөрөө оролдоод үзээрэй: өнцгийн хувьд адилхан тооцоол.
Нэгж (тригонометрийн) тойрог
Градус ба радиануудын тухай ойлголтыг бид радиустай тэнцүү тойргийг авч үзсэн. Ийм тойрог гэж нэрлэдэг ганц бие. Энэ нь тригонометрийг судлахад маш их хэрэг болно. Тиймээс үүнийг бага зэрэг нарийвчлан авч үзье.
Таны харж байгаагаар энэ тойрог нь декартын координатын системд баригдсан. Тойргийн радиус нь нэгтэй тэнцүү бол тойргийн төв нь координатын эхэнд байрладаг бол радиус векторын анхны байрлал нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу тогтмол байдаг (бидний жишээнд энэ нь радиус юм).
Тойрог дээрх цэг бүр нь тэнхлэгийн координат ба тэнхлэгийн координат гэсэн хоёр тоотой тохирч байна. Эдгээр координатын тоонууд юу вэ? Тэгээд ер нь тэд яригдаж байгаа сэдэвтэй ямар холбоотой вэ? Үүнийг хийхийн тулд бид зөв гурвалжны талаар санаж байх хэрэгтэй. Дээрх зураг дээр та бүхэл бүтэн хоёр гурвалжинг харж болно. Гурвалжинг авч үзье. Энэ нь тэнхлэгт перпендикуляр тул тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.
Гурвалжин хэдтэй тэнцүү вэ? Яг зөв. Нэмж дурдахад энэ нь нэгж тойргийн радиус гэдгийг бид мэднэ, энэ нь . Энэ утгыг косинусын томъёонд орлуулъя. Энд юу болох вэ:
Гурвалжин хэдтэй тэнцүү вэ? За, мэдээжийн хэрэг! Энэ томьёонд радиусын утгыг орлуулаад дараахийг авна.
Тэгэхээр тойрогт хамаарах цэг ямар координаттай болохыг хэлж чадах уу? За яахав дээ? Хэрэв та үүнийг ойлгож, зүгээр л тоо байвал яах вэ? Энэ нь аль координаттай тохирч байна вэ? Мэдээжийн хэрэг, координатууд! Энэ нь ямар координаттай тохирч байна вэ? Энэ нь зөв, координат! Тиймээс, хугацаа.
Тэгвэл юутай тэнцүү вэ? Зөв шүү, шүргэгч ба котангенсийн харгалзах тодорхойлолтыг ашиглаад үүнийг авъя, a.
Хэрэв өнцөг нь том бол яах вэ? Жишээлбэл, энэ зурган дээрх шиг:
Юу өөрчлөгдсөн бэ энэ жишээнд? Үүнийг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд дахин тэгш өнцөгт гурвалжин руу эргэцгээе. Тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье: өнцөг (өнцөгтэй зэргэлдээх). Өнцгийн хувьд синус, косинус, тангенс, котангенс ямар утгатай вэ? Энэ нь зөв, бид тригонометрийн функцүүдийн холбогдох тодорхойлолтыг дагаж мөрддөг.
Таны харж байгаагаар өнцгийн синусын утга нь координаттай тохирч байна; өнцгийн косинусын утга - координат; ба шүргэгч ба котангенсын утгуудыг харгалзах харьцаатай харьцуулна. Тиймээс эдгээр харилцаа нь радиус векторын аль ч эргэлтэнд хамаарна.
Радиус векторын анхны байрлал нь тэнхлэгийн эерэг чиглэлийн дагуу байна гэж аль хэдийн дурдсан. Одоогоор бид энэ векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлсэн боловч цагийн зүүний дагуу эргүүлбэл юу болох вэ? Ер бусын зүйл байхгүй, та тодорхой утгын өнцгийг авах болно, гэхдээ зөвхөн сөрөг байх болно. Тиймээс радиус векторыг цагийн зүүний эсрэг эргүүлэх үед бид олж авна эерэг өнцөг, мөн цагийн зүүний дагуу эргэх үед - сөрөг.
Тэгэхээр, тойрог тойрсон радиус векторын бүхэл бүтэн эргэлт нь эсвэл гэдгийг бид мэднэ. Радиус векторыг эргүүлэх эсвэл эргүүлэх боломжтой юу? За, мэдээжийн хэрэг та чадна! Эхний тохиолдолд радиус вектор нь нэг бүтэн эргэлт хийж, эсвэл байрлал дээр зогсох болно.
Хоёр дахь тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл радиус вектор нь гурван бүтэн эргэлт хийж, эсвэл байрлал дээр зогсох болно.
Тиймээс, дээрх жишээнүүдээс бид (ямар нэг бүхэл тоо) эсвэл өөр өөр өнцөг нь радиус векторын ижил байрлалтай тохирч байна гэж дүгнэж болно.
Доорх зураг нь өнцгийг харуулж байна. Ижил зураг нь буланд таарч байна гэх мэт. Энэ жагсаалтыг тодорхойгүй хугацаагаар үргэлжлүүлж болно. Эдгээр бүх өнцгийг ерөнхий томьёогоор эсвэл (энэ нь бүхэл тоо байна) бичиж болно.
Одоо үндсэн тригонометрийн функцүүдийн тодорхойлолтыг мэдэж, нэгж тойргийг ашиглан утгууд нь юу вэ гэдэгт хариулахыг хичээ.
Энд танд туслах нэгж тойрог байна:
Хэцүү байна уу? Дараа нь ойлгоцгооё. Тиймээс бид үүнийг мэднэ:
Эндээс бид тодорхой өнцгийн хэмжигдэхүүнд тохирох цэгүүдийн координатыг тодорхойлно. За, дарааллаар нь эхэлцгээе: өнцөг нь координаттай цэгтэй тохирч байгаа тул:
Байдаггүй;
Цаашилбал, ижил логикийг баримталснаар бид булангууд нь координаттай цэгүүдтэй тохирч байгааг олж мэдэв. Үүнийг мэдсэнээр тригонометрийн функцүүдийн утгыг харгалзах цэгүүдэд тодорхойлоход хялбар байдаг. Эхлээд өөрөө туршаад дараа нь хариултуудыг шалгаарай.
Хариултууд:
Байдаггүй
Байдаггүй
Байдаггүй
Байдаггүй
Тиймээс бид дараах хүснэгтийг хийж болно.
Энэ бүх үнэт зүйлсийг санах шаардлагагүй. Нэгж тойрог дээрх цэгүүдийн координат ба тригонометрийн функцүүдийн утгуудын хоорондын захидал харилцааг санахад хангалттай.
Гэхдээ доорх хүснэгтэд өгөгдсөн өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгууд, санаж байх ёстой:
Битгий ай, одоо бид танд нэг жишээ үзүүлэх болно харгалзах утгуудыг санах нь маш энгийн:
Энэ аргыг ашиглахын тулд өнцгийн гурван хэмжүүрийн синусын утгыг (), мөн өнцгийн тангенсийн утгыг санах нь чухал юм. Эдгээр утгыг мэдсэнээр хүснэгтийг бүхэлд нь сэргээхэд маш энгийн байдаг - косинусын утгыг сумны дагуу шилжүүлдэг, өөрөөр хэлбэл:
Үүнийг мэдсэнээр та утгыг сэргээх боломжтой. Тоолуур " " таарч, хуваагч " " таарна. Котангентын утгыг зурагт заасан сумны дагуу шилжүүлнэ. Хэрэв та үүнийг ойлгож, сумтай диаграммыг санаж байвал хүснэгтээс бүх утгыг санахад хангалттай байх болно.
Тойрог дээрх цэгийн координатууд
Тойрог дээрх цэгийг (түүний координатыг) олох боломжтой юу? тойргийн төвийн координат, түүний радиус, эргэлтийн өнцгийг мэдэх?
За, мэдээжийн хэрэг та чадна! Үүнийг гаргацгаая цэгийн координатыг олох ерөнхий томъёо.
Жишээлбэл, бидний өмнө тойрог байна:
Цэг нь тойргийн төв гэдгийг бидэнд өгсөн. Тойргийн радиус тэнцүү байна. Цэгийг градусаар эргүүлснээр олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.
Зургаас харахад цэгийн координат нь сегментийн урттай тохирч байна. Сегментийн урт нь тойргийн төвийн координаттай тохирч, өөрөөр хэлбэл тэнцүү байна. Косинусын тодорхойлолтыг ашиглан сегментийн уртыг илэрхийлж болно.
Дараа нь бид цэгийн координатыг авна.
Үүнтэй ижил логикийг ашиглан бид цэгийн y координатын утгыг олно. Тиймээс,
Тэгэхээр, in ерөнхий үзэлЦэгүүдийн координатыг дараахь томъёогоор тодорхойлно.
Тойргийн төвийн координатууд,
Тойргийн радиус,
Векторын радиусын эргэлтийн өнцөг.
Таны харж байгаагаар бидний авч үзэж буй нэгж тойргийн хувьд төвийн координат нь тэг, радиус нь нэгтэй тэнцүү тул эдгээр томьёо нь мэдэгдэхүйц буурсан байна.
За, тойрог дээрх цэгүүдийг олох дасгал хийж эдгээр томъёог туршиж үзье?
1. Цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.
2. Цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.
3. Цэгийг эргүүлснээр олж авсан нэгж тойрог дээрх цэгийн координатыг ол.
4. Цэг нь тойргийн төв юм. Тойргийн радиус тэнцүү байна. Эхний радиус векторыг эргүүлснээр олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.
5. Цэг нь тойргийн төв юм. Тойргийн радиус тэнцүү байна. Эхний радиус векторыг эргүүлснээр олж авсан цэгийн координатыг олох шаардлагатай.
Тойрог дээрх цэгийн координатыг олоход бэрхшээлтэй байна уу?
Эдгээр таван жишээг шийдээрэй (эсвэл сайн шийдэж байгаарай) та тэдгээрийг олж сурах болно!
1.
Та үүнийг анзаарч болно. Гэхдээ бид эхлэлийн цэгийг бүрэн эргүүлэхэд юу тохирохыг бид мэднэ. Тиймээс хүссэн цэг нь эргэх үед ижил байрлалд байх болно. Үүнийг мэдсэнээр бид цэгийн шаардлагатай координатуудыг олдог.
2. Нэгж тойрог нь нэг цэг дээр төвлөрсөн бөгөөд энэ нь бид хялбаршуулсан томъёог ашиглаж болно гэсэн үг юм:
Та үүнийг анзаарч болно. Эхлэлийн цэгийн хоёр бүтэн эргэлтэнд юу тохирохыг бид мэднэ. Тиймээс хүссэн цэг нь эргэх үед ижил байрлалд байх болно. Үүнийг мэдсэнээр бид цэгийн шаардлагатай координатуудыг олдог.
Синус ба косинус нь хүснэгтийн утга юм. Бид тэдгээрийн утгыг санаж, дараахь зүйлийг олж авдаг.
Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.
3. Нэгж тойрог нь нэг цэг дээр төвлөрсөн бөгөөд энэ нь бид хялбаршуулсан томъёог ашиглаж болно гэсэн үг юм:
Та үүнийг анзаарч болно. Зураг дээрх асуултын жишээг дүрсэлцгээе:
Радиус нь тэнхлэгтэй тэнцүү болон өнцөг үүсгэдэг. Косинус ба синусын хүснэгтийн утгууд тэнцүү гэдгийг мэдэж, энд косинус авдаг болохыг тогтоов сөрөг утгатай, мөн синус эерэг байвал бидэнд:
Сэдвийн тригонометрийн функцийг багасгах томъёог судлахдаа ийм жишээг илүү нарийвчлан авч үзсэн болно.
Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.
4.
Векторын радиусын эргэлтийн өнцөг (нөхцөлөөр)
Синус ба косинусын харгалзах тэмдгүүдийг тодорхойлохын тулд бид нэгж тойрог ба өнцгийг байгуулна.
Таны харж байгаагаар үнэ цэнэ нь эерэг, утга нь сөрөг байна. Харгалзах тригонометрийн функцүүдийн хүснэгтийн утгыг мэдэж, бид дараахь зүйлийг олж авна.
Хүлээн авсан утгыг томъёонд орлуулж, координатыг олцгооё.
Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.
5. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид томъёог ерөнхий хэлбэрээр ашигладаг, хаана
Тойргийн төвийн координатууд (бидний жишээнд,
Тойргийн радиус (нөхцөлөөр)
Векторын радиусын эргэлтийн өнцөг (нөхцөлөөр).
Томъёонд бүх утгыг орлуулаад дараахийг авъя:
ба - хүснэгтийн утгууд. Тэднийг санаж, томъёонд орлъё:
Тиймээс хүссэн цэг нь координаттай байна.
ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН Формулууд
Өнцгийн синус нь эсрэг талын (алс) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.
Өнцгийн косинус нь зэргэлдээх (ойр) хөлийг гипотенузтай харьцуулсан харьцаа юм.
Өнцгийн тангенс нь эсрэг талын (алс) хажуугийн (ойр) талтай харьцуулсан харьцаа юм.
Өнцгийн котангенс нь зэргэлдээ (ойр) талын эсрэг (алс) талтай харьцуулсан харьцаа юм.