ӨнцөгОрон зайн шулуун шугамуудын хооронд бид өгөгдөлтэй параллель дурын цэгээр татсан хоёр шулуун шугамаас үүссэн зэргэлдээх өнцгүүдийн аль нэгийг нэрлэх болно.
Орон зайд хоёр мөр өгье.
Шулуун шугамуудын хоорондох φ өнцгийг тэдгээрийн чиглэлийн векторууд ба -ын хоорондох өнцөг гэж авч болох нь ойлгомжтой. -ээс хойш векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын томъёог ашиглан бид олж авна
Хоёр шулууны параллелизм ба перпендикуляр байх нөхцөл нь тэдгээрийн чиглэлийн векторуудын параллелизм ба перпендикуляр байх нөхцөлтэй тэнцүү бөгөөд:
Хоёр шулуун Зэрэгцээхэрэв зөвхөн тэдгээрийн харгалзах коэффициентүүд пропорциональ байвал, өөрөөр хэлбэл. л 1 зэрэгцээ л 2 зөвхөн зэрэгцээ байвал 
.
Хоёр шулуун перпендикулярхаргалзах коэффициентүүдийн үржвэрийн нийлбэр тэгтэй тэнцүү бол зөвхөн: .
У шугам ба хавтгай хоорондын зорилго
Шулуун байг г- θ хавтгайд перпендикуляр биш;
г′− шугамын проекц гθ хавтгай руу;
Шулуун шугамын хоорондох хамгийн бага өнцөг гТэгээд г"Бид залгах болно шулуун ба хавтгай хоорондын өнцөг.
Үүнийг φ=( гэж тэмдэглэе. г,θ)
Хэрэв г⊥θ, дараа нь ( г,θ)=π/2
Өө→j→к→− тэгш өнцөгт координатын систем.
Хавтгай тэгшитгэл:
θ: Сүх+By+Cz+Д=0
Шулуун шугамыг цэг ба чиглэлийн вектороор тодорхойлно гэж бид таамаглаж байна. г[М 0,х→]
Вектор n→(А,Б,C)⊥θ
Дараа нь векторуудын хоорондох өнцгийг олоход л үлддэг n→ ба х→, үүнийг γ=( гэж тэмдэглэе. n→,х→).
Хэрэв өнцөг нь γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .
Хэрэв өнцөг γ>π/2 бол хүссэн өнцөг φ=γ−π/2 болно
sinφ=sin(2π−γ)=cosγ
sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ
Дараа нь, шулуун ба хавтгай хоорондын өнцөгтомъёог ашиглан тооцоолж болно:
sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ап 1+Bp 2+Cp 3∣ ∣ √А 2+Б 2+C 2√х 21+х 22+х 23
Асуулт 29. Квадрат хэлбэрийн тухай ойлголт. Квадрат хэлбэрийн тэмдгийн тодорхой байдал.
Квадрат хэлбэр j (x 1, x 2, …, x n) n бодит хувьсагч x 1, x 2, …, x nхэлбэрийн нийлбэр гэж нэрлэдэг 
, (1)
Хаана a ij – зарим тоонуудыг коэффициент гэж нэрлэдэг. Ерөнхий байдлыг алдалгүйгээр бид үүнийг таамаглаж болно a ij = а жи.
Квадрат хэлбэрийг нэрлэдэг хүчинтэй,Хэрэв a ij
Î GR. Квадрат хэлбэрийн матрицилтгэлцүүрүүдээс бүтсэн матриц гэж нэрлэдэг. Квадрат хэлбэр (1) нь цорын ганц тэгш хэмтэй матрицтай тохирч байна 
Тэр бол A T = A. Тиймээс, квадрат хэлбэр(1) гэж бичиж болно матриц хэлбэр j ( X) = x T Ah, Хаана х Т = (X 1 X 2 … x n). (2)
Мөн эсрэгээр, тэгш хэмтэй матриц (2) бүр хувьсагчийн тэмдэглэгээ хүртэл өвөрмөц квадрат хэлбэртэй тохирч байна.
Квадрат хэлбэрийн зэрэглэлтүүний матрицын зэрэглэл гэж нэрлэдэг. Квадрат хэлбэрийг нэрлэдэг доройтдоггүй,хэрэв түүний матриц нь ганц бие биш бол А. (матриц гэдгийг санаарай Атодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бол доройтдоггүй гэж нэрлэдэг). Үгүй бол квадрат хэлбэр нь доройтдог.
эерэг тодорхой(эсвэл хатуу эерэг) хэрэв
j ( X) > 0 , хэнд ч зориулав X = (X 1 , X 2 , …, x n), бусад X = (0, 0, …, 0).
Матриц Аэерэг тодорхой квадрат хэлбэр j ( X) мөн эерэг тодорхойлогдох гэж нэрлэдэг. Иймд эерэг тодорхой квадрат хэлбэр нь өвөрмөц эерэг тодорхой матрицтай тохирч, эсрэгээрээ.
Квадрат хэлбэрийг (1) гэж нэрлэдэг сөрөг байдлаар тодорхойлсон(эсвэл хатуу сөрөг) хэрэв
j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), бусад X = (0, 0, …, 0).
Дээр дурдсантай адил сөрөг тодорхой квадрат хэлбэрийн матрицыг сөрөг тодорхой гэж нэрлэдэг.
Иймээс эерэг (сөрөг) тодорхой квадрат хэлбэр j ( X) хамгийн бага (хамгийн их) утгад хүрнэ j ( X*) = 0 үед X* = (0, 0, …, 0).
Ихэнх квадрат хэлбэрүүд нь тодорхой тэмдэгт биш, өөрөөр хэлбэл эерэг ч биш, сөрөг ч биш гэдгийг анхаарна уу. Ийм квадрат хэлбэрүүд нь координатын системийн эхэнд төдийгүй бусад цэгүүдэд алга болдог.
Хэзээ n> 2, квадрат хэлбэрийн тэмдгийг шалгахын тулд тусгай шалгуур шаардлагатай. Тэднийг харцгаая.
Насанд хүрээгүй томоохон хүүхдүүдквадрат хэлбэрийг насанд хүрээгүй гэж нэрлэдэг:
өөрөөр хэлбэл, эдгээр нь 1, 2, ... зэрэгтэй насанд хүрээгүй хүүхдүүд юм. nматрицууд А, зүүн дээд буланд байрлах бөгөөд тэдгээрийн сүүлчийнх нь матрицын тодорхойлогчтой давхцдаг А.
Эерэг тодорхой байдлын шалгуур (Сильвестерийн шалгуур)
X) = x T Ahэерэг тодорхой байсан бол матрицын бүх гол насанд хүрээгүй байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай Аэерэг байсан, өөрөөр хэлбэл: М 1 > 0, М 2 > 0, …, Mn > 0. Сөрөг баталгааны шалгуур Квадрат хэлбэрийн хувьд j ( X) = x T Ahсөрөг тодорхой байсан бол түүний тэгш эрэмбийн үндсэн багачууд эерэг, сондгой эрэмбэтэй - сөрөг байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм. М 1 < 0, М 2 > 0, М 3 < 0, …, (–1)n
Үүний тусламжтайгаар онлайн тооцоолууршулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох боломжтой. Өгсөн нарийвчилсан шийдэлтайлбартай. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тооцоолохын тулд хэмжээсийг тохируулна (хэрэв хавтгай дээрх шулуун шугамыг авч үзвэл 2, орон зайд шулуун шугам гэж үзвэл 3), тэгшитгэлийн элементүүдийг нүднүүдэд оруулаад "Шийдэх" дээр дарна уу. товч. Доорх онолын хэсгийг үзнэ үү.
×
Анхааруулга
Бүх нүдийг арилгах уу?
Цэвэр хаах
Өгөгдөл оруулах заавар.Тоонуудыг бүхэл тоо (жишээ нь: 487, 5, -7623 гэх мэт), аравтын бутархай (жишээ нь. 67., 102.54 гэх мэт) эсвэл бутархай хэлбэрээр оруулна. Бутархайг a/b хэлбэрээр оруулах ёстой бөгөөд a ба b (b>0) нь бүхэл тоо эсвэл аравтын бутархай болно. Жишээ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 гэх мэт.
1. Хавтгай дээрх шулуунуудын хоорондох өнцөг
Шугамуудыг каноник тэгшитгэлээр тодорхойлно
1.1. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тодорхойлох
Шугамуудыг хоёр хэмжээст орон зайд оруулаарай Л 1 ба Л
Тиймээс (1.4) томъёоноос бид шугамын хоорондох өнцгийг олж болно Л 1 ба Л 2. 1-р зурагнаас харахад огтлолцсон шугамууд нь зэргэлдээ өнцөг үүсгэдэг φ Тэгээд φ 1 . Хэрэв олсон өнцөг нь 90 ° -аас их байвал шулуун шугамын хоорондох хамгийн бага өнцгийг олох боломжтой Л 1 ба Л 2: φ 1 =180-φ .
(1.4) томъёоноос бид хоёр шулууны параллелизм ба перпендикуляр байх нөхцлийг гаргаж болно.
Жишээ 1. Шугаман хоорондын өнцгийг тодорхойл
Хялбарчилж шийдье:
1.2. Зэрэгцээ шугамын нөхцөл
Болъё φ =0. Дараа нь cosφ=1. Энэ тохиолдолд илэрхийлэл (1.4) дараах хэлбэрийг авна.
| , |
| , |
Жишээ 2: Шугамууд параллель байгаа эсэхийг тодорхойлно
Тэгш байдал (1.9) хангагдсан тул (1.10) ба (1.11) шугамууд зэрэгцээ байна.
Хариулах.
(1.10) ба (1.11) шугамууд зэрэгцээ байна.
Болъё φ 1.3. Шугамын перпендикуляр байх нөхцөл cosφ=90°. Дараа нь
=0. Энэ тохиолдолд илэрхийлэл (1.4) дараах хэлбэрийг авна.
Жишээ 3. Шугамууд перпендикуляр эсэхийг тодорхойлно уу
(1.13) нөхцөл хангагдсан тул (1.14) ба (1.15) шугамууд перпендикуляр байна.
Хариулах.
(1.14) ба (1.15) шугамууд перпендикуляр байна.
Шугамууд нь ерөнхий тэгшитгэлээр тодорхойлогддог Л 1 ба Л 1.4. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тодорхойлох
Хоёр шулуун шугам тавь
2 нь ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн
Хоёр векторын скаляр үржвэрийн тодорхойлолтоос бид: А 1 , Б 1 , А 2 , БЖишээ 4. Шугамын хоорондох өнцгийг ол
Орлуулах утгууд
2-д (1.23) бид дараахь зүйлийг авна. Л 1 ба ЛЭнэ өнцөг нь 90 ° -аас их байна. Шулуун шугамын хоорондох хамгийн бага өнцгийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд энэ өнцгийг 180-аас хас. n 1 ба nНөгөө талаас, зэрэгцээ шугамын нөхцөл
2 нь векторуудын коллинеар байх нөхцөлтэй тэнцүү байна
2 бөгөөд дараах байдлаар төлөөлж болно.
Тэгш байдал (1.24) хангагдсан тул (1.26) ба (1.27) шугамууд зэрэгцээ байна.
Хариулах. Л 1 ба Л(1.26) ба (1.27) шугамууд зэрэгцээ байна. 1.6. Шугамын перпендикуляр байх нөхцөл(φ Шугамын перпендикуляр байх нөхцөл n 1 ,n 2-ыг орлуулах замаар (1.20) томъёоноос гаргаж авч болно
cos
)=0. Дараа нь скаляр бүтээгдэхүүн (
2)=0. Хаана
Тэгш байдал (1.28) хангагдсан тул (1.29) ба (1.30) шугамууд перпендикуляр байна.
Хариулах. Л 1 ба Л(1.29) ба (1.30) шугамууд перпендикуляр байна.
2. Орон зайн шулуун шугамын хоорондох өнцөг 2.1. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тодорхойлохОрон зайд шулуун шугамууд байг 2.1. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тодорхойлох 2-ыг каноник тэгшитгэлээр өгөгдсөн 2.1. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тодорхойлох 1 ба 2.1. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тодорхойлоххаана | φ q 2.1. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тодорхойлох 1 ба 2.1. Шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тодорхойлох 2 .
1 | болон |
 .
|
Хялбарчилж шийдье:
 .
|
2 | чиглэлийн вектор модулиуд φ
2 тус тус л-векторуудын хоорондох өнцөг (2.3) илэрхийллээс бид дараахь зүйлийг олж авна.Өнцгийг олъё л 1 Шулуун шугамыг орон зайд өгье-векторуудын хоорондох өнцөг Тэгээд 1 м. Сансар огторгуйн зарим А цэгээр бид шулуун шугам татдаг
|| л л-векторуудын хоорондох өнцөг (2.3) илэрхийллээс бид дараахь зүйлийг олж авна.огтлолцох бол А-г эдгээр шугамын огтлолцлын цэг болгон авч болно ( л 1 = л-векторуудын хоорондох өнцөг Тэгээд 1 = м).
Зэрэгцээ бус шугамуудын хоорондох өнцөг л-векторуудын хоорондох өнцөг (2.3) илэрхийллээс бид дараахь зүйлийг олж авна.огтлолцсон шугамаар үүсгэсэн зэргэлдээх өнцгүүдийн хамгийн бага утга л 1 -векторуудын хоорондох өнцөг Тэгээд 1 (л 1 Шулуун шугамыг орон зайд өгье, Тэгээд 1 м). Зэрэгцээ шугамуудын хоорондох өнцгийг тэгтэй тэнцүү гэж үзнэ.
Шулуун шугамын хоорондох өнцөг л-векторуудын хоорондох өнцөг (2.3) илэрхийллээс бид дараахь зүйлийг олж авна.\(\widehat((l;m))\) гэж тэмдэглэсэн. Тодорхойлолтоос харахад хэрэв градусаар хэмжигдэх юм бол 0 ° байна < \(\widehat((l;m)) \) < 90°, хэрэв радианаар байвал 0 байна < \(\widehat((l;m)) \) < π / 2 .
Даалгавар. ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 шоо өгөгдсөн (Зураг 139).
AB ба DC 1 шулуун шугамуудын хоорондох өнцгийг ол.
Шулуун шугамууд AB ба DC 1 огтлолцол. DC шулуун шугам нь AB шулуунтай параллель байх тул AB ба DC 1 шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг нь тодорхойлолтын дагуу \(\widehat(C_(1)DC)\-тэй тэнцүү байна.
Тиймээс \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.
Шууд л-векторуудын хоорондох өнцөг (2.3) илэрхийллээс бид дараахь зүйлийг олж авна.гэж нэрлэдэг перпендикуляр, хэрэв \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Жишээлбэл, шоо хэлбэрээр
Шулуун шугамын хоорондох өнцгийн тооцоо.
Сансар огторгуй дахь хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийг тооцоолох асуудлыг хавтгайд байгаатай адилаар шийддэг. Шугаман хоорондын өнцгийн хэмжээг φ-ээр тэмдэглэе л 1 -векторуудын хоорондох өнцөг л 2, ψ-ээр дамжуулан - чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцгийн хэмжээ А Тэгээд б эдгээр шулуун шугамууд.
Дараа нь бол
ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90 ° (Зураг 206.6), дараа нь φ = 180 ° - ψ. Мэдээжийн хэрэг, хоёуланд нь cos φ = |cos ψ| тэнцүү байна. Томъёоны дагуу (тэг биш a ба b векторуудын хоорондох өнцгийн косинус нь тэнцүү байна скаляр бүтээгдэхүүнЭдгээр векторуудын уртын үржвэрт хуваагдсан) бидэнд байна
$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$
иймээс,
$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$
Шугамануудыг тэдгээрийн канон тэгшитгэлээр өгье
$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; Мөн \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$
Дараа нь шугамын хоорондох φ өнцгийг томъёогоор тодорхойлно
$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$
Хэрэв шугамуудын аль нэгийг (эсвэл хоёуланг нь) каноник бус тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол өнцгийг тооцоолохын тулд эдгээр шугамын чиглэлийн векторуудын координатыг олж, дараа нь (1) томъёог ашиглана.
Даалгавар 1.Шугамын хоорондох өнцгийг тооцоол
$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;ба\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$
Шулуун шугамын чиглэлийн векторууд координаттай байна:
a = (-√2 ; √2 ; -2), б = (√3 ; √3 ; √6 ).
(1) томъёог ашиглан бид олдог
$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$
Тиймээс эдгээр шугамын хоорондох өнцөг нь 60 ° байна.
Даалгавар 2.Шугамын хоорондох өнцгийг тооцоол
$$ \эхлэх(тохиолдол)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\төгсгөх(тохиолдол) ба \эхлэх(тохиолдол)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\төгсгөл(тохиолдлууд) $$
Хөтөч векторын ард А эхний шулуун шугамыг авна вектор бүтээгдэхүүнхэвийн векторууд n 1 = (3; 0; -12) ба n 2 = (1; 1; -3) энэ шугамыг тодорхойлох хавтгай. \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) томъёог ашиглан бид олж авна.
$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$
Үүний нэгэн адил бид хоёр дахь шулуун шугамын чиглэлийн векторыг олно.
$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$
Гэхдээ (1) томъёог ашиглан бид хүссэн өнцгийн косинусыг тооцоолно.
$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2) ^2+4^2+4^2))=0 $$
Тиймээс эдгээр шугамын хоорондох өнцөг нь 90 ° байна.
Даалгавар 3. IN гурвалжин пирамид MABC ирмэгүүд MA, MB ба MS нь харилцан перпендикуляр (Зураг 207);
тэдгээрийн урт нь тус тус 4, 3, 6. D цэг нь дунд [MA]. CA ба DB шулуунуудын хоорондох φ өнцгийг ол.
CA ба DB нь CA ба DB шулуун шугамын чиглэлийн векторууд байг.
М цэгийг координатын эхлэл гэж үзье. Тэгшитгэлийн нөхцөлөөр бид A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0) байна. Тиймээс \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Томъёо (1) ашиглацгаая:
$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9) )) $$
Косинусын хүснэгтийг ашигласнаар бид CA ба DB шулуун шугамуудын хоорондох өнцөг нь ойролцоогоор 72 ° байна.
ОНГОЦ ХООРОНДЫН ӨНЦӨГ
Тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон α 1 ба α 2 гэсэн хоёр хавтгайг авч үзье.
Доод өнцөгХоёр хавтгайн хооронд бид эдгээр хавтгайнуудаас үүссэн хоёр талт өнцгүүдийн аль нэгийг ойлгох болно. Хэвийн векторууд ба α 1 ба α 2 хавтгайн хоорондох өнцөг нь заасан зэргэлдээ хоёр талт өнцгүүдийн аль нэгтэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой. 
. Тийм ч учраас 
. Учир нь 
Тэгээд 
, Тэр
.
Жишээ.Онгоц хоорондын өнцгийг тодорхойл x+2y-3z+4=0 ба 2 x+3y+z+8=0.
Хоёр хавтгайн зэрэгцээ байх нөхцөл.
α 1 ба α 2 хоёр хавтгай нь тэдгээрийн хэвийн векторууд параллель байх тохиолдолд л зэрэгцээ байна 
.
Тиймээс, харгалзах координатын коэффициентүүд пропорциональ байвал хоёр хавтгай бие биетэйгээ параллель байна.
эсвэл
Хавтгайнуудын перпендикуляр байдлын нөхцөл.
Хоёр хавтгай перпендикуляр байх нь зөвхөн тэдгээрийн хэвийн векторууд нь перпендикуляр, тиймээс, эсвэл .
Ийнхүү, .
Жишээ.
САНСАР ШУУД.
Шугамын Вектор тэгшитгэл.
ПАРАМЕТРИЙН ШУУД ТЭГШИГЧИЛГЭЭ
Шугамын орон зай дахь байрлал нь түүний тогтмол цэгүүдийн аль нэгийг зааж өгснөөр бүрэн тодорхойлогддог М 1 ба энэ шулуунтай параллель вектор.
Шугамантай параллель векторыг нэрлэдэг хөтөчүүдэнэ шугамын вектор.
Тиймээс шулуун шугамыг тавь лцэгээр дамждаг М 1 (x 1 , y 1 , z 1), вектортой параллель шугаман дээр хэвтэж байна.
Дурын цэгийг авч үзье М(x,y,z)шулуун шугам дээр. Зурагнаас харахад энэ нь тодорхой байна 
.
Векторууд ба коллинеар тул ийм тоо байна т, юу , үржүүлэгч хаана байна тцэгийн байрлалаас хамааран ямар ч тоон утгыг авч болно Мшулуун шугам дээр. Хүчин зүйл тпараметр гэж нэрлэдэг. Цэгүүдийн радиус векторуудыг тодорхойлсон М 1 ба Мболон -ээр дамжуулан бид . Энэ тэгшитгэл гэж нэрлэдэг векторшулуун шугамын тэгшитгэл. Энэ нь параметр бүрийн утгыг харуулж байна тзарим цэгийн радиус вектортой тохирч байна М, шулуун шугам дээр хэвтэж байна.
Энэ тэгшитгэлийг координат хэлбэрээр бичье. Анхаарна уу, 
мөн эндээс
Үүссэн тэгшитгэлийг дуудна параметрийншулуун шугамын тэгшитгэл.
Параметрийг өөрчлөх үед ткоординатууд өөрчлөгдөнө x, yТэгээд zба хугацаа Мшулуун шугамаар хөдөлдөг.
ШУУДЫН КАНОНИК тэгшитгэлүүд
Болъё М 1 (x 1 , y 1 , z 1) - шулуун шугам дээр байрлах цэг л, Мөн 
нь түүний чиглэлийн вектор юм. Шугаман дээрх дурын цэгийг дахин авч үзье М(x,y,z)ба векторыг авч үзье.
Векторууд нь бас коллинеар байх нь тодорхой тул тэдгээрийн харгалзах координатууд нь пропорциональ байх ёстой.
– каноникшулуун шугамын тэгшитгэл.
Тайлбар 1.Шугамын каноник тэгшитгэлийг параметрийг хасах замаар параметрийн тэгшитгэлээс олж авч болохыг анхаарна уу. т. Үнэн хэрэгтээ бид параметрийн тэгшитгэлээс олж авдаг 
эсвэл .
Жишээ.Шугамын тэгшитгэлийг бичнэ үү 
параметрийн хэлбэрээр.
гэж тэмдэглэе 
, эндээс x = 2 + 3т, y = –1 + 2т, z = 1 –т.
Тайлбар 2.Шулуун шугамыг координатын тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд, жишээлбэл тэнхлэгт перпендикуляр болго Үхэр. Дараа нь шугамын чиглэлийн вектор перпендикуляр байна Үхэр, тиймээс, (2.3) илэрхийллээс бид дараахь зүйлийг олж авна.=0. Үүний үр дүнд шугамын параметрийн тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна
Тэгшитгэлээс параметрийг оруулаагүй болно т, бид шугамын тэгшитгэлийг хэлбэрээр олж авна
Гэсэн хэдий ч энэ тохиолдолд бид шугамын каноник тэгшитгэлийг хэлбэрээр албан ёсоор бичихийг зөвшөөрч байна 
. Тиймээс аль нэг бутархайн хуваагч тэг байвал шулуун шугам нь харгалзах координатын тэнхлэгт перпендикуляр байна гэсэн үг юм.
Каноник тэгшитгэлтэй төстэй 
тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугамтай тохирч байна ҮхэрТэгээд Өөэсвэл тэнхлэгтэй зэрэгцээ Оз.
Жишээ.
ХОЁР ХАТГАЛТЫН УУЛЗАЛТЫН ШУГАМ ГЭДЭГ Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлүүд
Сансар огторгуйн шулуун шугам бүрээр тоо томшгүй олон онгоц байдаг. Тэдгээрийн аль ч хоёр нь огтлолцож, түүнийг орон зайд тодорхойлдог. Иймээс хоёр ийм хавтгайн тэгшитгэлийг хамтад нь авч үзвэл энэ шугамын тэгшитгэлийг илэрхийлнэ.
Ерөнхийдөө ерөнхий тэгшитгэлээр өгөгдсөн аль ч хоёр зэрэгцээ бус хавтгай
тэдгээрийн огтлолцлын шулуун шугамыг тодорхойлно. Эдгээр тэгшитгэлийг нэрлэдэг ерөнхий тэгшитгэлЧигээрээ.
Жишээ.
Тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугамыг байгуул 
Шулуун шугам барихын тулд түүний дурын хоёр цэгийг олоход хангалттай. Хамгийн хялбар арга бол шугамын огтлолцох цэгүүдийг сонгох явдал юм координатын хавтгайнууд. Жишээлбэл, онгоцтой огтлолцох цэг xOyбид шулуун шугамын тэгшитгэлээс олж авна z= 0:
Энэ системийг шийдсэний дараа бид цэгийг олдог М 1 (1;2;0).
Үүнтэй адилаар таамаглаж байна y= 0, бид шулууны хавтгайтай огтлолцох цэгийг авна xOz:
Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс түүний каноник эсвэл параметрийн тэгшитгэл рүү шилжиж болно. Үүнийг хийхийн тулд та тодорхой цэгийг олох хэрэгтэй МШулуун шугам дээр 1 ба шулуун шугамын чиглэлийн вектор.
Цэгийн координат М 1-ийг бид энэ тэгшитгэлийн системээс олж, координатуудын аль нэгийг дурын утгыг өгдөг. Чиглэлийн векторыг олохын тулд энэ вектор хоёр хэвийн векторт перпендикуляр байх ёстойг анхаарна уу 
Тэгээд 
. Тиймээс шулуун шугамын чиглэлийн вектороос цааш лхэвийн векторуудын вектор үржвэрийг авч болно:
.
Жишээ.Тэргүүлэх ерөнхий тэгшитгэлЧигээрээ 
каноник хэлбэр рүү.
Шулуун дээр хэвтэж буй цэгийг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид координатуудын аль нэгийг дур мэдэн сонгоно, жишээлбэл, y= 0 ба тэгшитгэлийн системийг шийд:
Шугамыг тодорхойлж буй хавтгайнуудын хэвийн векторууд нь координаттай байдаг 
Тиймээс чиглэлийн вектор шулуун байх болно
. Тиймээс, л: 
.
ШУУД ХООРОНДЫН ӨНЦӨГ
ӨнцөгОрон зайн шулуун шугамуудын хооронд бид өгөгдөлтэй параллель дурын цэгээр татсан хоёр шулуун шугамаас үүссэн зэргэлдээх өнцгүүдийн аль нэгийг нэрлэх болно.
Орон зайд хоёр мөр өгье.
Шулуун шугамуудын хоорондох φ өнцгийг тэдгээрийн чиглэлийн векторууд ба -ын хоорондох өнцөг гэж авч болох нь ойлгомжтой. -ээс хойш векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын томъёог ашиглан бид олж авна
Энэ материал нь хоёр огтлолцсон шугамын хоорондох өнцөг гэх мэт ойлголтод зориулагдсан болно. Эхний догол мөрөнд бид энэ нь юу болохыг тайлбарлаж, чимэглэлээр харуулах болно. Дараа нь бид энэ өнцгийн синус, косинус ба өнцгийг өөрөө олох аргуудыг авч үзэх болно (бид хавтгай ба гурван хэмжээст орон зайтай тохиолдлыг тусад нь авч үзэх болно), бид шаардлагатай томьёог өгч, яг жишээгээр харуулах болно. тэдгээрийг практикт хэрхэн ашигладаг.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Хоёр шугам огтлолцох үед үүссэн өнцөг гэж юу болохыг ойлгохын тулд өнцөг, перпендикуляр байдал, огтлолцлын цэгийн тодорхойлолтыг санах хэрэгтэй.
Тодорхойлолт 1
Нэг нийтлэг цэгтэй бол бид огтлолцсон хоёр шулуун гэж нэрлэдэг. Энэ цэгийг хоёр шулууны огтлолцлын цэг гэж нэрлэдэг.
Шулуун шугам бүр огтлолцох цэгээр туяанд хуваагдана. Шулуун шугамууд хоёулаа 4 өнцөг үүсгэдэг бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь босоо, хоёр нь зэргэлдээ байна. Хэрэв бид тэдгээрийн аль нэгнийх нь хэмжүүрийг мэддэг бол үлдсэнийг нь тодорхойлж болно.
Нэг өнцөг нь α-тай тэнцүү гэдгийг бид мэднэ гэж бодъё. Энэ тохиолдолд түүнтэй харьцуулахад босоо өнцөг нь α-тай тэнцүү байх болно. Үлдсэн өнцгийг олохын тулд бид 180 ° - α ялгааг тооцоолох хэрэгтэй. Хэрэв α нь 90 градустай тэнцүү бол бүх өнцөг нь зөв өнцөг болно. Зөв өнцгөөр огтлолцсон шугамыг перпендикуляр гэж нэрлэдэг (перпендикуляр байдлын тухай ойлголтод тусдаа өгүүлэл зориулагдсан).
Зургийг харна уу:
Үндсэн тодорхойлолтыг томъёолох руу шилжье.
Тодорхойлолт 2
Хоёр огтлолцсон шулуунаас үүссэн өнцөг нь эдгээр хоёр шулууныг үүсгэсэн 4 өнцгийн жижиг хэсгийн хэмжүүр юм.
Тодорхойлолтоос чухал дүгнэлт хийх ёстой: энэ тохиолдолд өнцгийн хэмжээг интервал дахь аливаа бодит тоогоор илэрхийлнэ (0, 90). Хэрэв шугамууд перпендикуляр байвал тэдгээрийн хоорондох өнцөг ямар ч тохиолдолд байх болно. 90 градустай тэнцүү.
Хоёр огтлолцсон шугамын өнцгийн хэмжигдэхүүнийг олох чадвар нь олон практик асуудлыг шийдвэрлэхэд тустай. Шийдлийн аргыг хэд хэдэн сонголтоос сонгож болно.
Эхлэхийн тулд бид геометрийн аргуудыг авч болно. Хэрэв бид нэмэлт өнцгүүдийн талаар ямар нэг зүйл мэддэг бол тэнцүү эсвэл ижил төстэй дүрсүүдийн шинж чанарыг ашиглан тэдгээрийг шаардлагатай өнцөгтэй холбож болно. Жишээлбэл, хэрэв бид гурвалжны талуудыг мэддэг бөгөөд эдгээр талууд байрлах шулуунуудын хоорондох өнцгийг тооцоолох шаардлагатай бол косинусын теорем нь бидний шийдэлд тохиромжтой. Хэрэв бидэнд нөхцөл байгаа бол зөв гурвалжин, дараа нь тооцоололд бид мөн өнцгийн синус, косинус, тангенсийн талаархи мэдлэг хэрэгтэй болно.
Координатын арга нь энэ төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд маш тохиромжтой. Үүнийг хэрхэн зөв ашиглах талаар тайлбарлая.
Бид тэгш өнцөгт (декарт) координатын O x y системтэй бөгөөд үүнд хоёр шулуун шугам өгөгдсөн. Тэдгээрийг a, b үсгээр тэмдэглэе. Шулуун шугамыг зарим тэгшитгэл ашиглан дүрсэлж болно. Анхны шугамууд нь M огтлолцох цэгтэй байна. Эдгээр шулуун шугамын хоорондох шаардлагатай өнцгийг (үүнийг α гэж тэмдэглэе) хэрхэн тодорхойлох вэ?
Өгөгдсөн нөхцөлд өнцгийг олох үндсэн зарчмыг томъёолж эхэлье.
Шулуун шугамын тухай ойлголт нь чиглэлийн вектор, хэвийн вектор гэх мэт ойлголтуудтай нягт холбоотой гэдгийг бид мэднэ. Хэрэв бид тодорхой шулууны тэгшитгэлтэй бол тэдгээр векторуудын координатыг түүнээс авч болно. Үүнийг бид хоёр огтлолцсон шугамын хувьд нэгэн зэрэг хийж болно.
Хоёр огтлолцсон шугамаар тусгаарлагдсан өнцгийг дараах байдлаар олж болно.
- чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцөг;
- хэвийн векторуудын хоорондох өнцөг;
- нэг шугамын хэвийн вектор ба нөгөө шугамын чиглэлийн вектор хоорондын өнцөг.
Одоо арга тус бүрийг тусад нь авч үзье.
1. Бид a → = (a x, a y) чиглэлтэй вектор бүхий a шулуун ба b → (b x, b y) чиглэлтэй вектортой b шулуун байна гэж үзье. Одоо огтлолцох цэгээс a → ба b → хоёр векторыг зуръя. Үүний дараа бид тэдгээр нь тус бүр өөрийн шулуун шугам дээр байрлана гэдгийг харах болно. Дараа нь тэдэнд дөрвөн сонголт байна харьцангуй байрлал. Зураг харна уу:
Хэрэв хоёр векторын хоорондох өнцөг нь мохоо биш бол энэ нь огтлолцох a ба b шулуунуудын хоорондох өнцөг болно. Хэрэв энэ нь мохоо байвал хүссэн өнцөг нь a →, b → ^ өнцөгтэй зэргэлдээх өнцөгтэй тэнцүү байна. Тиймээс α = a → , b → ^ хэрэв a → , b → ^ ≤ 90 ° , α = 180 ° - a → , b → ^ хэрэв a →, b → ^ > 90 ° .
Косинусууд гэдгийг үндэслэн тэнцүү өнцөгтэнцүү бол бид үүссэн тэгш байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно: cos α = cos a → , b → ^ , хэрэв a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a →, b → ^ = - cos a →, b → ^, хэрэв a →, b → ^ > 90 °.
Хоёр дахь тохиолдолд багасгах томъёог ашигласан. Тиймээс,
cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^
Сүүлийн томъёог үгээр бичье.
Тодорхойлолт 3
Хоёр огтлолцсон шулуун шугамаас үүссэн өнцгийн косинус нь түүний чиглэлийн векторуудын хоорондох өнцгийн косинусын модультай тэнцүү байна.
a → = (a x, a y) ба b → = (b x, b y) гэсэн хоёр векторын хоорондох өнцгийн косинусын томъёоны ерөнхий хэлбэр дараах байдалтай байна.
cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Үүнээс бид өгөгдсөн хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийн косинусын томъёог гаргаж болно.
cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Дараа нь дараах томъёог ашиглан өнцгийг өөрөө олж болно.
α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
Энд a → = (a x , a y) ба b → = (b x , b y) нь өгөгдсөн шулуунуудын чиглэлийн векторууд юм.
Асуудлыг шийдэх жишээг хэлье.
Жишээ 1
Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт координатын системд a ба b огтлолцох хоёр шулуун өгөгдсөн. Тэдгээрийг x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R ба x 5 = y - 6 - 3 параметрийн тэгшитгэлээр тодорхойлж болно. Эдгээр шугамын хоорондох өнцгийг тооцоол.
Шийдэл
Бидний нөхцөл байдалд параметрийн тэгшитгэл байгаа бөгөөд энэ нь энэ шугамын хувьд бид түүний чиглэлийн векторын координатыг шууд бичиж болно гэсэн үг юм. Үүнийг хийхийн тулд бид параметрийн коэффициентүүдийн утгыг авах хэрэгтэй, жишээлбэл. x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R шулуун шугам нь a → = (4, 1) чиглэлтэй вектортой байна.
Хоёр дахь шулуун шугамыг ашиглан тайлбарлав каноник тэгшитгэл x 5 = y - 6 - 3. Энд бид хуваагчаас координатыг авч болно. Иймээс энэ шугам нь b → = (5 , - 3) чиглэлийн вектортой байна.
Дараа нь бид өнцгийг олоход шууд шилждэг. Үүнийг хийхийн тулд дээрх хоёр векторын одоо байгаа координатыг α = a r c cos a x · b x + a y + b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2 томъёонд орлуулахад л болно. Бид дараахь зүйлийг авна.
α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45 °
Хариулах: Эдгээр шулуун шугамууд нь 45 градусын өнцөг үүсгэдэг.
Бид ердийн векторуудын хоорондох өнцгийг олох замаар ижил төстэй асуудлыг шийдэж чадна. Хэрэв n a → = (n a x, n a y) хэвийн вектортой a шулуун ба n b → = (n b x , n b y) хэвийн вектортой b шулуун байвал тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь n a → ба хоёрын хоорондох өнцөгтэй тэнцүү байх болно. n b → эсвэл n a →, n b → ^-тэй зэргэлдээ байх өнцөг. Энэ аргыг зурагт үзүүлэв:
Энгийн векторуудын координатыг ашиглан огтлолцсон шугам ба энэ өнцгийн косинусыг тооцоолох томъёо дараах байдалтай байна.
cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n b y 2 α = a r c cos n a x n b x + n a y + a xy + n a xy + y 2
Энд n a → ба n b → өгөгдсөн хоёр шулууны хэвийн векторуудыг тэмдэглэнэ.
Жишээ 2
Тэгш өнцөгт координатын системд 3 x + 5 y - 30 = 0 ба x + 4 у - 17 = 0 тэгшитгэлийг ашиглан хоёр шулуун шугамыг тодорхойлно. Тэдний хоорондох өнцгийн синус ба косинус болон энэ өнцгийн өөрийнх нь хэмжээг ол.
Шийдэл
Анхны мөрүүдийг A x + B y + C = 0 хэлбэрийн ердийн шугамын тэгшитгэлийг ашиглан тодорхойлно. Бид хэвийн векторыг n → = (A, B) гэж тэмдэглэнэ. Нэг шулууны эхний хэвийн векторын координатыг олоод бичье: n a → = (3, 5) . Хоёр дахь шугамын хувьд x + 4 y - 17 = 0, хэвийн вектор нь координат n b → = (1, 4) байна. Одоо олж авсан утгыг томъёонд нэмж, нийт дүнг тооцоолъё.
cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34
Хэрэв бид өнцгийн косинусыг мэддэг бол тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг ашиглан түүний синусыг тооцоолж болно. Шулуун шугамаар үүссэн α өнцөг нь мохоо биш тул sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 23 2 34 2 = 7 2 34 болно.
Энэ тохиолдолд α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34.
Хариулт: cos α = 23 2 34, sin α = 7 2 34, α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34
Үүнийг цэгцэлье сүүлчийн тохиолдол– Нэг шулууны чиглэлийн вектор ба нөгөөгийн хэвийн векторын координатыг мэдэж байвал шулуун шугамын хоорондох өнцгийг олох.
Шулуун а шулуун нь a → = (a x , a y) чиглэлийн вектортой, b шулуун нь хэвийн вектор n b → = (n b x , n b y) байна гэж үзье. Бид эдгээр векторуудыг огтлолцох цэгээс хойш тавьж, тэдгээрийн харьцангуй байрлалын бүх хувилбаруудыг авч үзэх хэрэгтэй. Зураг дээр харна уу:
Хэрэв хоорондын өнцөг өгөгдсөн векторууд 90 градусаас ихгүй байвал энэ нь a ба b хоорондох өнцгийг зөв өнцгөөр нөхөх болно.
a → , n b → ^ = 90 ° - α хэрэв a → , n b → ^ ≤ 90 ° .
Хэрэв энэ нь 90 градусаас бага байвал бид дараахь зүйлийг авна.
a → , n b → ^ > 90 ° , дараа нь a → , n b → ^ = 90 ° + α
Ижил өнцгийн косинусын тэгш байдлын дүрмийг ашиглан бид дараахь зүйлийг бичнэ.
cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = a → , n b → ^ ≤ 90 ° -ийн хувьд sin α.
cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - a → , n b → ^ > 90 ° -ийн хувьд sin α.
Тиймээс,
sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^
Дүгнэлтийг томъёолъё.
Тодорхойлолт 4
Хавтгай дээр огтлолцсон хоёр шулууны хоорондох өнцгийн синусыг олохын тулд эхний шугамын чиглэлийн вектор ба хоёр дахь хэвийн векторын хоорондох өнцгийн косинусын модулийг тооцоолох хэрэгтэй.
Шаардлагатай томьёо бичье. Өнцгийн синусыг олох:
sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Өнцгийг өөрөө олох нь:
α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2
Энд a → эхний мөрийн чиглэлийн вектор, n b → хоёр дахь шугамын хэвийн вектор байна.
Жишээ 3
Хоёр огтлолцох шулууныг x - 5 = y - 6 3 ба x + 4 y - 17 = 0 тэгшитгэлээр өгөгдсөн. Уулзварын өнцгийг ол.
Шийдэл
Өгөгдсөн тэгшитгэлээс чиглүүлэгч ба нормаль векторын координатыг авна. Энэ нь a → = (- 5, 3) ба n → b = (1, 4) болж хувирна. Бид α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 томъёог авч тооцоолно.
α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34
Бид өмнөх бодлогын тэгшитгэлийг авч, яг ижил үр дүнг авсан боловч өөр аргаар авсан гэдгийг анхаарна уу.
Хариулт:α = a r c sin 7 2 34
Өгөгдсөн шулуун шугамын өнцгийн коэффициентийг ашиглан хүссэн өнцгийг олох өөр аргыг танилцуулъя.
Бидэнд тэгш өнцөгт координатын системд y = k 1 x + b 1 тэгшитгэлээр тодорхойлогддог a шугам, y = k 2 x + b 2 гэж тодорхойлогдсон b шулуун байна. Эдгээр нь налуутай шугамын тэгшитгэл юм. Уулзварын өнцгийг олохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.
α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1, энд k 1 ба k 2 байна. өнцгийн коэффициентүүдшулуун шугамуудыг өгсөн. Энэ бичлэгийг олж авахын тулд хэвийн векторуудын координатаар өнцгийг тодорхойлох томъёог ашигласан.
Жишээ 4
Хавтгайд огтлолцсон хоёр шулуун шугам байдаг. тэгшитгэлээр өгөгдсөн y = - 3 5 x + 6 ба y = - 1 4 x + 17 4. Уулзварын өнцгийн утгыг тооцоол.
Шийдэл
Манай шугамын өнцгийн коэффициентүүд нь k 1 = - 3 5 ба k 2 = - 1 4-тэй тэнцүү байна. Тэдгээрийг α = a r c cos k 1 · k 2 + 1 k 1 2 + 1 · k 2 2 + 1 томъёонд нэмж тооцоолъё.
α = a r c cos - 3 5 · - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 · - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 · 17 16 = a r c cos 23 2 34
Хариулт:α = a r c cos 23 2 34
Энэ догол мөрийн дүгнэлтэд энд өгсөн өнцгийг олох томъёог цээжээр сурах шаардлагагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Үүнийг хийхийн тулд өгөгдсөн шугамын чиглүүлэгч ба/эсвэл хэвийн векторуудын координатыг мэдэж, тэдгээрийг тодорхойлох чадвартай байхад хангалттай. янз бүрийн төрөлтэгшитгэл. Гэхдээ өнцгийн косинусыг тооцоолох томъёог санаж эсвэл бичих нь дээр.
Орон зайд огтлолцох шугамуудын хоорондох өнцгийг хэрхэн тооцоолох вэ
Ийм өнцгийн тооцоог чиглэлийн векторуудын координатыг тооцоолох, эдгээр векторуудын үүсгэсэн өнцгийн хэмжээг тодорхойлох хүртэл багасгаж болно. Ийм жишээнүүдийн хувьд бидний өмнө нь хэлсэн үндэслэлийг ашигласан болно.
Гурван хэмжээст орон зайд байрлах тэгш өнцөгт координатын систем байна гэж бодъё. Энэ нь M огтлолцох цэгтэй a ба b хоёр шулуун шугамыг агуулна. Чиглэлийн векторуудын координатыг тооцоолохын тулд бид эдгээр шулуунуудын тэгшитгэлийг мэдэх хэрэгтэй. a → = (a x , a y , a z) ба b → = (b x , b y , b z) чиглэлийн векторуудыг тэмдэглэе. Тэдний хоорондох өнцгийн косинусыг тооцоолохын тулд бид дараах томъёог ашиглана.
cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Өнцгийг өөрөө олохын тулд бидэнд дараах томъёо хэрэгтэй.
α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Жишээ 5
Бид x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 тэгшитгэлийг ашиглан гурван хэмжээст орон зайд тодорхойлогдсон шугамтай. Энэ нь O z тэнхлэгтэй огтлолцдог нь мэдэгдэж байна. Таслах өнцөг ба тэр өнцгийн косинусыг тооцоол.
Шийдэл
Тооцоолох шаардлагатай өнцгийг α үсгээр тэмдэглэе. Эхний шулуун шугамын чиглэлийн векторын координатыг бичье – a → = (1, - 3, - 2) . Тэнхлэгийн хэрэглээний хувьд бид авч болно координатын вектор k → = (0, 0, 1) чиглүүлэгч болгон. Бид шаардлагатай өгөгдлийг хүлээн авсан бөгөөд үүнийг хүссэн томъёонд нэмж болно:
cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2
Үүний үр дүнд бидэнд хэрэгтэй өнцөг нь r c cos 1 2 = 45 ° -тай тэнцүү болохыг олж мэдсэн.
Хариулт: cos α = 1 2, α = 45 ° .
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу