Оюутнуудад зориулсан математикийн асуудлыг шийдвэрлэх нь ихэвчлэн олон бэрхшээл дагалддаг. Оюутнуудад эдгээр бэрхшээлийг даван туулахад нь туслах, мөн "Математик" хичээлийн хичээлийн бүх хэсэгт тодорхой асуудлуудыг шийдвэрлэхдээ одоо байгаа онолын мэдлэгээ ашиглахыг заах нь манай сайтын гол зорилго юм.
Сэдвийн дагуу асуудлыг шийдэж эхлэхдээ оюутнууд хавтгай дээр цэгийг түүний координатаар барьж байгуулахаас гадна тухайн цэгийн координатыг олох чадвартай байх ёстой.
Хавтгай дээр авсан A(x A; y A) ба B(x B; y B) хоёр цэгийн хоорондох зайг томъёогоор тооцоолно. d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2), энд d нь хавтгай дээрх эдгээр цэгүүдийг холбосон сегментийн урт юм.
Хэрвээ сегментийн төгсгөлүүдийн нэг нь координатын эхлэлтэй давхцаж, нөгөө нь M(x M; y M) координаттай бол d-г тооцоолох томъёо нь OM = √(x M 2 + y M 2) хэлбэртэй болно. ).
1. Эдгээр цэгүүдийн өгөгдсөн координатыг үндэслэн хоёр цэгийн хоорондох зайг тооцоолох
Жишээ 1.
Координатын хавтгай дээрх A(2; -5) ба B(-4; 3) цэгүүдийг холбосон хэрчмийн уртыг ол (Зураг 1).
Шийдэл.
Асуудлын мэдэгдэлд: x A = 2; x B = -4; y A = -5 ба y B = 3. d-г ол.
d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) томъёог ашигласнаар бид дараахийг олж авна.
d = AB = √((2 – (-4)) 2 + (-5 – 3) 2) = 10.
2. Өгөгдсөн гурван цэгээс ижил зайд орших цэгийн координатыг тооцоолох
Жишээ 2.
А(7; -1) ба В(-2; 2) ба С(-1; -5) гурван цэгээс ижил зайд орших О 1 цэгийн координатыг ол.
Шийдэл.
Асуудлын нөхцлийн томьёоллоос үзэхэд O 1 A = O 1 B = O 1 C. Хүссэн O 1 цэгийг координаттай болгоё (a; b). d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) томъёог ашиглан бид дараахийг олно.
O 1 A = √((a – 7) 2 + (b + 1) 2);
O 1 B = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2);
O 1 C = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).
Хоёр тэгшитгэлийн системийг байгуулъя:
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√((a – 7) 2 + (b + 1) 2) = √((a + 1) 2 + (b + 5) 2).
Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг квадрат болгосны дараа бид бичнэ.
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 2) 2 + (b – 2) 2,
((a – 7) 2 + (b + 1) 2 = (a + 1) 2 + (b + 5) 2.
Хялбаршуулж бичье
(-3a + b + 7 = 0,
(-2a – b + 3 = 0.
Системийг шийдсэний дараа бид дараахь зүйлийг авна: a = 2; b = -1.
О 1 (2; -1) цэг нь нэг шулуун дээр хэвтэхгүй байх нөхцөлд заасан гурван цэгээс ижил зайд байна. Энэ цэг нь гурвыг дайран өнгөрөх тойргийн төв юм оноо өгсөн (Зураг 2).
3. Абсцисс (ординат) тэнхлэг дээр байрлах ба тухайн цэгээс өгөгдсөн зайд байрлах цэгийн абсцисса (ординат)-ын тооцоо.
Жишээ 3.
B(-5; 6) цэгээс Үхрийн тэнхлэгт байрлах А цэг хүртэлх зай 10. А цэгийг ол.
Шийдэл.
Асуудлын нөхцөлийг томъёолсноор А цэгийн ординат тэгтэй тэнцүү ба AB = 10 байна.
А цэгийн абсциссыг а-аар тэмдэглээд A(a; 0) гэж бичнэ.
AB = √((a + 5) 2 + (0 – 6) 2) = √((a + 5) 2 + 36).
Бид тэгшитгэлийг олж авна √((a + 5) 2 + 36) = 10. Үүнийг хялбарчлахад бид байна.
a 2 + 10a – 39 = 0.
Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь 1 = -13; ба 2 = 3.
Бид A 1 (-13; 0) ба A 2 (3; 0) гэсэн хоёр оноо авдаг.
Шалгалт:
A 1 B = √((-13 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
A 2 B = √((3 + 5) 2 + (0 – 6) 2) = 10.
Олж авсан оноо хоёулаа асуудлын нөхцөлийн дагуу тохиромжтой (Зураг 3).
4. Абсцисса (ординат) тэнхлэг дээр байрлах ба өгөгдсөн хоёр цэгээс ижил зайд байрлах цэгийн абсцисса (ординат)-ын тооцоо.
Жишээ 4.
Ой тэнхлэг дээрх А (6, 12) ба В (-8, 10) цэгүүдээс ижил зайд байгаа цэгийг ол.
Шийдэл.
Бодлогын нөхцлөөр шаардагдах Ой тэнхлэгт байрлах цэгийн координатыг O 1 (0; b) (Ой тэнхлэг дээр байрлах цэгт абсцисса тэг байна) гэж үзье. Энэ нь O 1 A = O 1 B гэсэн нөхцлөөс гарна.
d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) томъёог ашиглан бид дараахийг олно.
O 1 A = √((0 – 6) 2 + (b – 12) 2) = √(36 + (b – 12) 2);
O 1 B = √((a + 8) 2 + (b – 10) 2) = √(64 + (b – 10) 2).
Бид √(36 + (b – 12) 2) = √(64 + (b – 10) 2) эсвэл 36 + (b – 12) 2 = 64 + (b – 10) 2 тэгшитгэлтэй байна.
Хялбаршуулсаны дараа бид дараахийг авна: b – 4 = 0, b = 4.
Бодлогын нөхцлөөр шаардлагатай O 1 (0; 4) цэг (Зураг 4).
5. Координатын тэнхлэгүүд болон өгөгдсөн зарим цэгээс ижил зайд байрлах цэгийн координатыг тооцоолох
Жишээ 5.
Координатын тэнхлэгүүд ба А(-2; 1) цэгээс ижил зайд координатын хавтгай дээр байрлах М цэгийг ол.
Шийдэл.
Шаардлагатай M цэг нь A(-2; 1) цэгтэй адил A, P 1, P 2 цэгүүдээс ижил зайд байрладаг тул хоёр дахь координатын өнцөгт байрладаг. (Зураг 5). М цэгийн координатын тэнхлэгээс хол зай нь ижил тул координат нь (-a; a) байх бөгөөд энд a > 0 байна.
Асуудлын нөхцлөөс MA = MR 1 = MR 2, MR 1 = a; MP 2 = |-a|,
тэдгээр. |-a| = a.
d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) томъёог ашиглан бид дараахийг олно.
MA = √((-a + 2) 2 + (a – 1) 2).
Тэгшитгэл хийцгээе:
√((-а + 2) 2 + (а – 1) 2) = а.
Квадрат болон хялбаршуулсаны дараа бид: a 2 – 6a + 5 = 0. Тэгшитгэлийг шийдэж, 1 = 1-ийг ол; ба 2 = 5.
Бид асуудлын нөхцлийг хангасан M 1 (-1; 1) ба M 2 (-5; 5) хоёр цэгийг олж авдаг. 
6. Абсцисс (ординат) тэнхлэг болон өгөгдсөн цэгээс тодорхой заасан зайд байрлах цэгийн координатыг тооцоолох.
Жишээ 6.
Ординатын тэнхлэгээс А(8; 6) цэгээс зай нь 5-тай тэнцүү байхаар M цэгийг ол.
Шийдэл.
Бодлогын нөхцлөөс харахад MA = 5 ба М цэгийн абсцисса нь 5-тай тэнцүү байна. М цэгийн ординат b-тэй тэнцүү байвал M(5; b) (Зураг 6).
d = √((x A – x B) 2 + (y A – y B) 2) томъёоны дагуу бид дараах байдалтай байна:
MA = √((5 – 8) 2 + (b – 6) 2).
Тэгшитгэл хийцгээе:
√((5 – 8) 2 + (b – 6) 2) = 5. Үүнийг хялбарчилж үзвэл: b 2 – 12b + 20 = 0. Энэ тэгшитгэлийн үндэс нь b 1 = 2; b 2 = 10. Иймээс бодлогын нөхцөлийг хангасан хоёр цэг байна: M 1 (5; 2) ба M 2 (5; 10).
Олон оюутнууд асуудлыг бие даан шийдвэрлэхдээ тэдгээрийг шийдвэрлэх арга техник, аргын талаар байнгын зөвлөгөө авах шаардлагатай байдаг нь мэдэгдэж байна. Ихэнхдээ оюутан багшийн тусламжгүйгээр асуудлыг шийдэх арга замыг олж чадахгүй. Оюутан манай вэбсайтаас асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зөвлөгөөг авах боломжтой.
Асуулт хэвээр байна уу? Та онгоцны хоёр цэгийн хоорондох зайг хэрхэн олохоо мэдэхгүй байна уу?
Багшаас тусламж авахын тулд -.
Эхний хичээл үнэ төлбөргүй!
blog.site, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоосыг оруулах шаардлагатай.
Энэ нийтлэлд бид цэгээс цэг хүртэлх зайг онолын хувьд тодорхойлох арга замыг авч үзэх бөгөөд тодорхой даалгаврын жишээг ашиглах болно. Эхлэхийн тулд зарим тодорхойлолтыг танилцуулъя.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Тодорхойлолт 1
Цэгүүдийн хоорондох зайодоо байгаа масштабаар тэдгээрийг холбосон сегментийн урт юм. Хэмжих уртын нэгжтэй байхын тулд масштабыг тогтоох шаардлагатай. Иймд цэгийн хоорондох зайг олох асуудлыг үндсэндээ координатын шулуун дээр, координатын хавтгайд эсвэл гурван хэмжээст орон зайд координатуудыг ашиглан шийддэг.
Анхны өгөгдөл: О x координатын шугам ба түүн дээр байрлах дурын цэг нь нэг бодит тоо байна: А цэгийн хувьд тодорхой тоо байг x A,Энэ нь мөн А цэгийн координат юм.
Ерөнхийдөө тодорхой сегментийн уртыг тухайн хуваарийн дагуу уртын нэгж болгон авсан сегменттэй харьцуулахад үнэлдэг гэж хэлж болно.
Хэрэв А цэг нь бүхэл тооны бодит тоотой тохирч байвал О цэгээс шулуун шугамын дагуу О А сегментийг дараалан буулгаснаар О А сегментийн уртыг тусгаарласан нэгжийн нийт тооноос тодорхойлж болно.
Жишээлбэл, А цэг нь 3-р тоотой тохирч байна - О цэгээс түүнд хүрэхийн тулд та гурван нэгж сегментийг таслах хэрэгтэй болно. Хэрэв А цэг нь координат - 4 байвал нэгж хэсгүүдийг ижил төстэй байдлаар байрлуулсан боловч өөр, сөрөг чиглэлд байрлуулна. Тиймээс эхний тохиолдолд O A зай нь 3-тай тэнцүү байна; хоёр дахь тохиолдолд O A = 4.
Хэрэв А цэг нь координатын хувьд оновчтой тоотой бол эх үүсвэрээс (О цэг) бүхэл тооны нэгж сегментийг, дараа нь түүний шаардлагатай хэсгийг зурна. Гэхдээ геометрийн хувьд хэмжилт хийх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Жишээлбэл, 4 111-ийн бутархайг координатын шулуун дээр зурахад хэцүү мэт санагдаж байна.
Дээрх аргыг ашигласнаар иррационал тоог шулуун дээр зурах нь огт боломжгүй юм. Жишээлбэл, А цэгийн координат 11 байх үед. Энэ тохиолдолд хийсвэрлэл рүү шилжих боломжтой: хэрэв А цэгийн өгөгдсөн координат тэгээс их байвал O A = x A (тоог зай гэж авна); хэрэв координат тэгээс бага бол O A = - x A . Ерөнхийдөө эдгээр мэдэгдэл нь ямар ч бодит тоо x А-д үнэн юм.
Дүгнэж хэлэхэд: гарал үүслийн цэгээс координатын шулуун дээрх бодит тоотой тохирох цэг хүртэлх зай нь:
- Хэрэв цэг нь гарал үүсэлтэй давхцаж байвал 0;
- x A, хэрэв x A > 0 бол;
- - x A бол x A< 0 .
Энэ тохиолдолд сегментийн урт нь өөрөө сөрөг байж болохгүй нь ойлгомжтой тул модулийн тэмдгийг ашиглан бид О цэгээс А цэг хүртэлх зайг координатаар бичнэ. х А: O A = x A
Дараах мэдэгдэл үнэн байх болно. нэг цэгээс нөгөө цэг хүртэлх зай нь координатын зөрүүний модультай тэнцүү байх болно.Тэдгээр. аль ч байршлын хувьд ижил координатын шулуун дээр байрлах, харгалзах координаттай А ба В цэгүүдийн хувьд х АТэгээд x B: A B = x B - x A.
Анхны өгөгдөл: өгөгдсөн координаттай тэгш өнцөгт координатын систем O x y хавтгай дээр хэвтэж буй A ба B цэгүүд: A (x A, y A) ба B (x B, y B).
А ба В цэгүүдээр дамжуулан О х ба О у координатын тэнхлэгт перпендикуляр зурж, үр дүнд нь A x, A y, B x, B y проекцын цэгүүдийг олж авцгаая. А ба В цэгүүдийн байршилд үндэслэн дараах сонголтуудыг хийх боломжтой.
Хэрэв А ба В цэгүүд давхцаж байвал тэдгээрийн хоорондох зай тэг болно;
Хэрэв A ба В цэгүүд нь O x тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шулуун дээр (абсцисса тэнхлэг) байвал цэгүүд давхцаж, | A B | = | A y B y | . Цэгүүдийн хоорондох зай нь тэдгээрийн координатын зөрүүний модультай тэнцүү тул A y B y = y B - y A, тэгэхээр A B = A y B y = y B - y A болно.
Хэрэв A ба В цэгүүд нь O y тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугам дээр (ординатын тэнхлэг) байвал - өмнөх догол мөртэй адилтгаж үзвэл: A B = A x B x = x B - x A
Хэрэв А ба В цэгүүд аль нэгэнд нь перпендикуляр шулуун дээр хэвтэхгүй бол координатын тэнхлэгүүд, тэдгээрийн хоорондох зайг тооцоолох томъёог гарган олъё:
A B C гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй болохыг бид харж байна. Энэ тохиолдолд A C = A x B x ба B C = A y B y болно. Пифагорын теоремыг ашиглан бид тэгшитгэлийг үүсгэнэ: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2, дараа нь үүнийг хувиргана: A B = A x B x 2 + A y B. y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2
Хүлээн авсан үр дүнгээс дүгнэлт хийцгээе: хавтгай дээрх А цэгээс В цэг хүртэлх зайг эдгээр цэгүүдийн координатыг ашиглан томъёогоор тооцоолно.
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2
Үүссэн томъёо нь тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугам дээр байрлах цэгүүд эсвэл нөхцөл байдлын давхцлын талаар өмнө нь бий болгосон мэдэгдлийг баталгаажуулдаг. Тэгэхээр, хэрэв A ба B цэгүүд давхцвал дараахь тэгшитгэл үнэн болно: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0
А ба В цэгүүд x тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугам дээр байрлах нөхцөл байдлын хувьд:
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A
А ба В цэгүүд ординатын тэнхлэгт перпендикуляр шулуун дээр байрлах тохиолдолд:
A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A
Анхны өгөгдөл: өгөгдсөн координат A (x A, y A, z A) болон B (x B, y B, z B) бүхий дурын цэгүүдтэй тэгш өнцөгт координатын систем O x y z. Эдгээр цэгүүдийн хоорондох зайг тодорхойлох шаардлагатай.
А ба В цэгүүд координатын аль нэг хавтгайтай параллель хавтгайд хэвтэхгүй байх ерөнхий тохиолдлыг авч үзье. А ба В цэгүүдээр дамжуулан координатын тэнхлэгт перпендикуляр хавтгайг зурж, харгалзах проекцын цэгүүдийг олъё: A x, A y, A z, B x, B y, B z.
А ба В цэгүүдийн хоорондох зай нь үүссэн параллелепипедийн диагональ юм. Энэхүү параллелепипедийн хэмжилтийн барилгын дагуу: A x B x , A y B y and A z B z.
Геометрийн хичээлээс параллелепипедийн диагональ квадратыг мэддэг нийлбэртэй тэнцүү байнатүүний хэмжилтийн квадратууд. Энэ мэдэгдэлд үндэслэн бид тэгш байдлыг олж авна: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2
Өмнө нь олж авсан дүгнэлтийг ашиглан бид дараахь зүйлийг бичнэ.
A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A
Илэрхийлэлийг өөрчилье:
A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2
Финал орон зайн цэгүүдийн хоорондох зайг тодорхойлох томъёоиймэрхүү харагдах болно:
A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2
Үүссэн томъёо нь дараахь тохиолдолд хүчинтэй байна.
Цэгүүд давхцаж байна;
Тэдгээр нь нэг координатын тэнхлэг эсвэл координатын аль нэг тэнхлэгтэй параллель шулуун шугам дээр байрладаг.
Цэгүүдийн хоорондох зайг олох асуудлыг шийдвэрлэх жишээ
Жишээ 1Анхны өгөгдөл: координатын шугам ба түүн дээр байрлах цэгүүдийг өгөгдсөн координат A (1 - 2) ба B (11 + 2) өгсөн болно. О цэгээс А цэг хүртэл, А ба В цэгүүдийн хоорондох зайг олох шаардлагатай.
Шийдэл
- Лавлах цэгээс цэг хүртэлх зай нь энэ цэгийн координатын модультай тэнцүү O A = 1 - 2 = 2 - 1 байна.
- Бид A ба B цэгүүдийн хоорондох зайг эдгээр цэгүүдийн координатын зөрүүний модуль гэж тодорхойлдог: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2
Хариулт: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2
Жишээ 2
Анхны өгөгдөл: тэгш өнцөгт координатын систем ба үүн дээр байрлах A (1, - 1) ба B (λ + 1, 3) хоёр цэгийг өгсөн болно. λ нь бодит тоо юм. А В зай нь 5-тай тэнцүү байх энэ тооны бүх утгыг олох шаардлагатай.
Шийдэл
А ба В цэгүүдийн хоорондох зайг олохын тулд A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 томъёог ашиглах ёстой.
Бодит координатын утгыг орлуулснаар бид дараахийг авна: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16
Мөн бид одоо байгаа нөхцөлийг ашигладаг A B = 5, тэгвэл тэгш байдал нь үнэн болно:
λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3
Хариулт: λ = ± 3 бол A B = 5.
Жишээ 3
Анхны өгөгдөл: гурван хэмжээст орон зайг тэгш өнцөгт координатын систем O x y z ба түүн дотор байрлах A (1, 2, 3) ба B - 7, - 2, 4 цэгүүдэд зааж өгсөн болно.
Шийдэл
Асуудлыг шийдэхийн тулд бид A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 томъёог ашиглана.
Бодит утгыг орлуулснаар бид дараахийг авна: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9
Хариулт: | A B | = 9
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
Хавтгай дээрх хоёр цэгийн хоорондох зай.
Координатын системүүд
Хавтгайн А цэг бүр нь координатаараа (x, y) тодорхойлогддог. Тэд координатын гарал үүсэл - 0 цэгээс гарч ирдэг 0А векторын координатуудтай давхцдаг.
А ба В нь координат (x 1 y 1) ба (x 2, y 2) тус тус хавтгайн дурын цэгүүд байг.
Тэгвэл AB вектор координаттай байх нь ойлгомжтой (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Векторын уртын квадрат нь координатын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. Иймээс А ба В цэгүүдийн хоорондох d зай буюу ижил AB векторын уртыг нөхцөлөөс тодорхойлно.
d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.
d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2
Үүссэн томъёо нь зөвхөн эдгээр цэгүүдийн координатыг мэддэг бол хавтгай дээрх хоёр цэгийн хоорондох зайг олох боломжийг олгоно.
Хавтгай дээрх тодорхой цэгийн координатын тухай ярих болгондоо бид нарийн тодорхойлогдсон координатын x0y системийг хэлнэ. Ерөнхийдөө хавтгай дээрх координатын системийг янз бүрийн аргаар сонгож болно. Тиймээс x0y координатын системийн оронд хуучин координатын тэнхлэгүүдийг 0 эхлэлийн цэгийн эргэн тойронд эргүүлснээр олж авсан x"0y" координатын системийг авч үзэж болно. цагийн зүүний эсрэгбуланд байгаа сумнууд α .
Хэрэв x0y координатын систем дэх хавтгайн аль нэг цэг нь координаттай (х, у) байвал шинэ системкоординат x"0y" нь өөр өөр координаттай байх болно (x,y").
Жишээ болгон 0х тэнхлэгт байрлах, 0 цэгээс 1-ийн зайд тусгаарлагдсан М цэгийг авч үзье.
Мэдээжийн хэрэг, x0y координатын системд энэ цэг нь координаттай (cos α , нүгэл α ), x"0y" координатын системд координатууд (1,0) байна.
А ба В хавтгай дээрх дурын хоёр цэгийн координат нь энэ хавтгайд координатын системийг хэрхэн зааж байгаагаас хамаарна. Гэхдээ эдгээр цэгүүдийн хоорондох зай нь координатын системийг тодорхойлох аргаас хамаардаггүй. Бид дараагийн догол мөрөнд энэ чухал нөхцөл байдлыг чухалчлан ашиглах болно.
Дасгал
I. Хавтгайн цэгүүдийн хоорондох зайг координатаар ол:
1) (3.5) ба (3.4); 3) (0.5) ба (5, 0); 5) (-3,4) ба (9, -17);
2) (2, 1) ба (- 5, 1); 4) (0, 7) ба (3,3); 6) (8, 21) ба (1, -3).
II. Талууд нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн гурвалжны периметрийг ол.
x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 ба у = 1.
III. x0y координатын системд M ба N цэгүүд нь (1, 0) ба (0,1) координаттай байна. Хуучин тэнхлэгүүдийг эхлэлийн цэгийг тойрон цагийн зүүний эсрэг 30° өнцгөөр эргүүлснээр олж авсан шинэ координатын систем дэх эдгээр цэгүүдийн координатыг ол.
IV. x0y координатын системд M ба N цэгүүд (2, 0) ба (\) координаттай байна. / 3/2, - 1/2) тус тус. Хуучин тэнхлэгүүдийг цагийн зүүний дагуу 30° өнцгөөр эхлэх цэгийг тойруулан эргүүлснээр олж авсан шинэ координатын систем дэх эдгээр цэгүүдийн координатыг ол.
Нэг цэгээс цэг хүртэлх зайөгөгдсөн масштабаар эдгээр цэгүүдийг холбосон сегментийн урт. Тиймээс, зайг хэмжихийн тулд хэмжилт хийх хуваарийг (уртын нэгж) мэдэх хэрэгтэй. Иймээс цэгээс цэг хүртэлх зайг олох асуудлыг ихэвчлэн координатын шулуун эсвэл хавтгай дээрх тэгш өнцөгт декартын координатын систем эсвэл гурван хэмжээст орон зайд авч үздэг. Өөрөөр хэлбэл, цэгүүдийн хоорондын зайг тэдгээрийн координатыг ашиглан тооцоолох шаардлагатай болдог.
Энэ нийтлэлд бид эхлээд координатын шугам дээрх цэгээс цэг хүртэлх зайг хэрхэн тодорхойлохыг эргэн санах болно. Дараа нь бид хавтгай эсвэл орон зайн хоёр цэгийн хоорондох зайг тооцоолох томъёог олж авна өгөгдсөн координатууд. Дүгнэж хэлэхэд бид ердийн жишээ, асуудлын шийдлүүдийг нарийвчлан авч үзэх болно.
Хуудасны навигаци.
Координатын шулуун дээрх хоёр цэгийн хоорондох зай.
Эхлээд тэмдэглэгээг тодорхойлъё. Бид А цэгээс В цэг хүртэлх зайг гэж тэмдэглэнэ.
Эндээс бид ингэж дүгнэж болно координаттай А цэгээс координаттай В цэг хүртэлх зай нь координатын зөрүүний модультай тэнцүү байна., тэр бол, 
координатын шугам дээрх цэгүүдийн аль ч байршлын хувьд.
Хавтгай дээрх цэгээс цэг хүртэлх зай, томъёо.
Хавтгай дээрх тэгш өнцөгт декартын координатын системд өгсөн цэгүүдийн хоорондох зайг тооцоолох томъёог бид олж авдаг.
А ба В цэгүүдийн байршлаас хамааран дараах сонголтууд боломжтой.
Хэрэв А ба В цэгүүд давхцаж байвал тэдгээрийн хоорондын зай тэг болно.
Хэрэв А ба В цэгүүд абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугам дээр орвол цэгүүд нь давхцаж, зай нь зайтай тэнцүү байна. Өмнөх догол мөрөнд бид координатын шулуун дээрх хоёр цэгийн хоорондох зай нь тэдгээрийн координатын зөрүүний модультай тэнцүү болохыг олж мэдсэн. 
. Тиймээс, .
Үүнтэй адилаар, хэрэв А ба В цэгүүд ординатын тэнхлэгт перпендикуляр шулуун дээр орвол А цэгээс В цэг хүртэлх зай нь .
Энэ тохиолдолд ABC гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна 
Мөн . By Пифагорын теорембид тэгш байдлыг бичиж болно, хаанаас .
Хүлээн авсан бүх үр дүнг нэгтгэн дүгнэж үзье: Нэг цэгээс хавтгай дээрх цэг хүртэлх зайг томъёог ашиглан цэгүүдийн координатаар олно 
.
А ба В цэгүүд координатын тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд перпендикуляр шулуун шугам дээр давхцах эсвэл хэвтэх үед үүссэн цэгүүдийн хоорондох зайг олох томъёог ашиглаж болно. Үнэхээр А ба В давхцаж байвал . Хэрэв А ба В цэгүүд нь Ox тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугам дээр орвол. Хэрэв А ба В нь Ой тэнхлэгт перпендикуляр шулуун дээр орвол .
Орон зайн цэгүүдийн хоорондох зай, томъёо.
Тэгш өнцөгт Oxyz координатын системийг огторгуйд танилцуулъя. Нэг цэгээс зайг олох томьёог авъя 
цэг хүртэл 
.
Ерөнхийдөө А ба В цэгүүд нь координатын аль нэг хавтгайтай параллель хавтгайд оршдоггүй. Ox, Oy, Oz координатын тэнхлэгт перпендикуляр А ба В цэгүүдээр хавтгайг зурцгаая. Эдгээр хавтгайн координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүд нь эдгээр тэнхлэгүүд дээрх А ба В цэгүүдийн проекцийг бидэнд өгнө. Бид төсөөллийг тэмдэглэдэг 
.
А ба В цэгүүдийн хоорондох зай нь зурагт үзүүлсэн тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональ юм. Барилгын хувьд энэ параллелепипедийн хэмжээ тэнцүү байна 
Мөн . Геометрийн хичээл дээр ахлах сургуульТэгш өнцөгт параллелепипедийн диагоналын квадрат нь түүний гурван хэмжээсийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү болох нь батлагдсан тул . Энэ зүйлийн эхний хэсэгт байгаа мэдээлэлд үндэслэн бид дараах тэгшитгэлүүдийг бичиж болно.
бид хаанаас авах вэ орон зайн цэгүүдийн хоорондох зайг олох томъёо .
Энэ томъёо нь А ба В цэгүүдэд хүчинтэй байна
- тааруулах;
- координатын тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд хамаарах эсвэл координатын тэнхлэгүүдийн аль нэгэнд параллель шугамд хамаарах;
- координатын аль нэг хавтгайд эсвэл координатын аль нэгтэй параллель хавтгайд хамаарна.
Цэгээс цэг хүртэлх зайг олох, жишээ, шийдэл.
Тиймээс бид координатын шулуун, хавтгай ба гурван хэмжээст орон зайн хоёр цэгийн хоорондох зайг олох томъёог олж авлаа. Ердийн жишээнүүдийн шийдлүүдийг харах цаг болжээ.
Хоёр цэгийн хоорондох зайг тэдгээрийн координатын дагуу олох эцсийн алхам болох асуудлуудын тоо үнэхээр асар их юм. Бүрэн тоймИйм жишээнүүд энэ өгүүллийн хамрах хүрээнээс хэтэрсэн байна. Энд бид хоёр цэгийн координатыг мэддэг жишээнүүдийг хязгаарлаж, тэдгээрийн хоорондох зайг тооцоолох шаардлагатай болно.