Тодорхойлолт.Хамгийн агуу натурал тоо, үүгээр a ба b тоог үлдэгдэлгүйгээр хуваахыг нэрлэдэг хамгийн их нийтлэг хуваагч (GCD)эдгээр тоонууд.
Хамгийн томыг нь олъё нийтлэг хуваагч 24 ба 35 дугаар.
24-ийн хуваагч нь 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 35-ын хуваагч нь 1, 5, 7, 35 гэсэн тоонууд юм.
24 ба 35 тоонууд нь зөвхөн нэг нийтлэг хуваагчтай болохыг бид харж байна - 1 тоо. Ийм тоонуудыг нэрлэдэг. харилцан ашигтай.
Тодорхойлолт.Натурал тоонуудыг дууддаг харилцан ашигтай, хэрэв тэдгээрийн хамгийн том нийтлэг хуваагч (GCD) нь 1 бол.
Хамгийн их нийтлэг хуваагч (GCD)өгөгдсөн тооны бүх хуваагчийг бичихгүйгээр олж болно.
48 ба 36 тоонуудыг хасч тооцвол бид дараахь зүйлийг авна.
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Эдгээр тоонуудын эхнийх нь тэлэлтэд багтсан хүчин зүйлсээс бид хоёр дахь тооны өргөтгөлд ороогүй зүйлсийг (жишээ нь, хоёр хоёр) хасдаг.
Үлдсэн хүчин зүйлүүд нь 2 * 2 * 3. Тэдний үржвэр нь 12-той тэнцүү. Энэ тоо нь 48 ба 36 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч юм. Гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн том нийтлэг хуваагч нь мөн олддог.
Олох хамгийн том нийтлэг хуваагч
2) эдгээр тоонуудын аль нэгийг өргөтгөхөд багтсан хүчин зүйлсээс бусад тоонуудын өргөтгөлд ороогүй зүйлийг хасах;
3) үлдсэн хүчин зүйлсийн үржвэрийг ол.
Өгөгдсөн бүх тоо аль нэгэнд нь хуваагддаг бол энэ тоо байна хамгийн том нийтлэг хуваагчөгсөн тоонууд.
Жишээлбэл, 15, 45, 75, 180 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч нь 15 тоо юм, учир нь бусад бүх тоонууд 45, 75, 180-д хуваагддаг.
Хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM)
Тодорхойлолт. Хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM) a ба b натурал тоонууд нь а ба b хоёрын үржвэр болох хамгийн бага натурал тоо юм. 75 ба 60 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) эдгээр тоонуудын үржвэрийг дараалан бичихгүйгээр олж болно. Үүнийг хийхийн тулд 75 ба 60-ыг задалж үзье үндсэн хүчин зүйлүүд: 75 = 3 * 5 * 5, 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Эдгээр тоонуудын эхнийх нь тэлэлтэд багтсан хүчин зүйлсийг бичиж, хоёр дахь тооны тэлэлтээс дутуу байгаа 2 ба 2 хүчин зүйлийг нэмж оруулъя (өөрөөр хэлбэл бид хүчин зүйлсийг нэгтгэдэг).
Бид таван хүчин зүйл авдаг 2 * 2 * 3 * 5 * 5, үржвэр нь 300. Энэ тоо нь 75 ба 60 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм.
Тэд мөн гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олдог.
руу хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олхэд хэдэн натурал тоо, танд хэрэгтэй:
1) тэдгээрийг үндсэн хүчин зүйл болгон тооцох;
2) тоонуудын аль нэгийг өргөтгөхөд орсон хүчин зүйлсийг бичих;
3) үлдсэн тоонуудын өргөтгөлөөс дутуу хүчин зүйлсийг нэмж оруулах;
4) үүсэх хүчин зүйлсийн үржвэрийг ол.
Хэрэв эдгээр тоонуудын аль нэг нь бусад бүх тоонд хуваагддаг бол энэ тоо нь эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр болно гэдгийг анхаарна уу.
Жишээлбэл, 12, 15, 20, 60 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 60 байна, учир нь эдгээр тоонууд бүгд хуваагддаг.
Пифагор (МЭӨ VI зуун) болон түүний шавь нар тоон хуваагдах тухай асуудлыг судалжээ. Тоо, нийлбэртэй тэнцүү байнаТэд түүний бүх хуваагчийг (тоо өөрөөгүйгээр) төгс тоо гэж нэрлэсэн. Жишээлбэл, 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) тоонууд төгс байна. Дараагийн төгс тоо нь 496, 8128, 33,550,336 юм. Пифагорчууд эхний гурван төгс тоог л мэддэг байсан. Дөрөв дэх - 8128 - 1-р зуунд мэдэгдэв. n. д. Тав дахь нь - 33,550,336 - 15-р зуунд олдсон. 1983 он гэхэд 27 төгс тоо аль хэдийн мэдэгдэж байсан. Гэвч эрдэмтэд сондгой төгс тоо байдаг уу, эсвэл хамгийн том төгс тоо байдаг уу гэдгийг мэдэхгүй хэвээр байна.
Эртний математикчдийн анхны тоонуудын сонирхол нь аливаа тоо нь анхны эсвэл үржвэр хэлбэрээр дүрслэгдэх боломжтой байдагтай холбоотой юм. анхны тоонууд, өөрөөр хэлбэл анхны тоонууд нь бусад натурал тоонууд баригдсан тоосго шиг байдаг.
Натурал тоонуудын цуврал дахь анхны тоонууд жигд бус тохиолддогийг та анзаарсан байх - цувралын зарим хэсэгт тэдгээр нь илүү олон, заримд нь бага байдаг. Гэхдээ бид тоон цувааны дагуу урагшлах тусам нийтлэг анхны тоонууд бага байх болно. Асуулт гарч ирнэ: сүүлчийн (хамгийн том) анхны тоо байна уу? Эртний Грекийн математикч Евклид (МЭӨ 3-р зуун) хоёр мянган жилийн турш математикийн үндсэн сурах бичиг болсон "Элементүүд" номондоо хязгааргүй олон анхны тоо байдгийг, өөрөөр хэлбэл анхны тоо бүрийн ард бүр ч том анхны тоо байдгийг нотолсон байдаг. тоо.
Анхны тоог олохын тулд тухайн үеийн Грекийн өөр нэг математикч Эратосфен энэ аргыг гаргажээ. Тэрээр 1-ээс зарим тоо хүртэлх бүх тоог бичээд дараа нь анхны ч биш, нийлмэл тоо ч биш нэгийг нь зураад, 2-оос хойш ирж буй бүх тоог (2-ын үржвэр, өөрөөр хэлбэл 4) нэгээр таслав. 6, 8 гэх мэт). 2-ын дараа үлдсэн эхний тоо нь 3 байсан. Дараа нь хоёрын дараа 3-ын дараа ирж буй бүх тоог (3-ын үржвэр, өөрөөр хэлбэл 6, 9, 12 гэх мэт) зурсан. эцэст нь зөвхөн анхны тоонууд л үлдэв.
Гэхдээ олон натурал тоонууд бусад натурал тоонд хуваагддаг.
Жишээлбэл:
12-ын тоо нь 1-д, 2-т, 3-т, 4-т, 6-д, 12-т хуваагдана;
36 тоо нь 1-д, 2-т, 3-т, 4-т, 6-д, 12-т, 18-д, 36-д хуваагдана.
Тоо нь бүхэл бүтэн хуваагддаг тоонуудыг (12-ын хувьд эдгээр нь 1, 2, 3, 4, 6, 12) гэж нэрлэдэг. тоо хуваагч. Натурал тооны хуваагч а- хуваагддаг натурал тоо юм өгсөн дугаар аул мөргүй. Хоёроос илүү хуваагчтай натурал тоог дуудна нийлмэл .
12 ба 36 тоо нь нийтлэг хүчин зүйлтэй болохыг анхаарна уу. Эдгээр тоонууд нь: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Эдгээр тоонуудын хамгийн том хуваагч нь 12. Энэ хоёр тооны нийтлэг хуваагч нь аТэгээд б- энэ нь өгөгдсөн тоог хоёуланг нь үлдэгдэлгүйгээр хуваах тоо юм аТэгээд б.
Нийтлэг үржвэрүүдхэд хэдэн тоо нь эдгээр тоо бүрт хуваагддаг тоо юм. Жишээлбэл, 9, 18, 45 тоонууд нь 180-ын нийтлэг үржвэртэй. Гэхдээ 90 ба 360 нь мөн тэдний нийтлэг үржвэр юм. Бүх нийтлэг үржвэрүүдийн дунд үргэлж хамгийн жижиг нь байдаг энэ тохиолдолдэнэ бол 90. Энэ тоог дууддаг хамгийн жижигнийтлэг олон (CMM).
LCM нь үргэлж натурал тоо бөгөөд түүний тодорхойлсон тоонуудын хамгийн томоос их байх ёстой.
Хамгийн бага нийтлэг үржвэр (LCM). Үл хөдлөх хөрөнгө.
Солих чадвар:
Нийгэмлэг:
Ялангуяа, хэрэв ба анхны тоонууд бол:
Хоёр бүхэл тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр мТэгээд nнь бусад бүх нийтлэг үржвэрийн хуваагч юм мТэгээд n. Түүнээс гадна нийтлэг үржвэрийн олонлог м, н LCM-ийн үржвэрийн олонлогтой давхцаж байна( м, н).
Асимптотикийг зарим тооны онолын функцээр илэрхийлж болно.
Тэгэхээр, Чебышев функц. Мөн:
Энэ нь Ландау функцийн тодорхойлолт, шинж чанараас үүдэлтэй g(n).
Анхны тооны тархалтын хуулиас юу гарах вэ.
Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) олох.
NOC( а, б) хэд хэдэн аргаар тооцоолж болно:
1. Хэрэв хамгийн том нийтлэг хуваагч нь мэдэгдэж байгаа бол та түүний LCM-тэй холболтыг ашиглаж болно:
2. Хоёр тооны анхдагч хүчин зүйлүүдийн каноник задралыг мэдэгдье.
Хаана p 1 ,...,p k- янз бүрийн анхны тоо, ба d 1 ,...,d kТэгээд e 1 ,...,e k— сөрөг бус бүхэл тоо (харгалзах анхны тоо өргөтгөлд байхгүй бол тэг байж болно).
Дараа нь ҮОХ ( а,б)-ийг дараах томъёогоор тооцоолно.
Өөрөөр хэлбэл, LCM задрал нь тоонуудын хамгийн багадаа нэг задралд багтсан бүх анхны хүчин зүйлийг агуулна. а, б, мөн энэ үржүүлэгчийн хоёр илтгэгчийн хамгийн томыг нь авна.
Жишээ:
Хэд хэдэн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолохдоо хоёр тооны LCM-ийн хэд хэдэн дараалсан тооцоолол болгон бууруулж болно.
Дүрэм.Цуврал тоонуудын LCM-ийг олохын тулд танд дараах зүйлс хэрэгтэй:
- тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон задлах;
- хамгийн том тэлэлтийг (хүссэн бүтээгдэхүүний хүчин зүйлсийн бүтээгдэхүүн) хүссэн бүтээгдэхүүний хүчин зүйл рүү шилжүүлэх их тооөгөгдсөн тооноос), дараа нь эхний тоонд харагдахгүй эсвэл цөөн удаа гарч буй бусад тоонуудын өргөтгөлийн хүчин зүйлийг нэмнэ;
- анхны хүчин зүйлүүдийн үржвэр нь өгөгдсөн тооны LCM болно.
Аль ч хоёр ба түүнээс дээш натурал тоо нь өөрийн LCM-тэй байдаг. Хэрэв тоонууд нь бие биенийхээ үржвэр биш эсвэл тэлэлтийн үед ижил хүчин зүйл байхгүй бол тэдгээрийн LCM нь эдгээр тоонуудын үржвэртэй тэнцүү байна.
28 (2, 2, 7) тооны үндсэн хүчин зүйлсийг 3 (21 тоо) хүчин зүйлээр нэмж, үр дүнд нь (84) үр дүн гарна. хамгийн бага тоо, энэ нь 21 ба 28-д хуваагддаг.
Хамгийн их тооны 30-ын анхны үржвэрүүд нь 25-ын тооны 5-р хүчин зүйлээр нэмэгддэг бөгөөд үр дүнд нь гарсан 150 үржвэр нь хамгийн их тоо 30-аас их бөгөөд өгөгдсөн бүх тоонд үлдэгдэлгүйгээр хуваагдана. Энэ хамгийн бага бүтээгдэхүүнболомжтой тоонуудын (150, 250, 300...), бүх өгөгдсөн тоо нь үржвэр болно.
2,3,11,37 тоонууд нь анхны тоо тул тэдгээрийн LCM нь өгөгдсөн тооны үржвэртэй тэнцүү байна.
Дүрэм. Анхны тоонуудын LCM-ийг тооцоолохын тулд эдгээр бүх тоог хамтад нь үржүүлэх хэрэгтэй.
Өөр нэг сонголт:
Хэд хэдэн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) олохын тулд танд хэрэгтэй:
1) тоо бүрийг анхны хүчин зүйлийн үржвэр болгон төлөөлнө, жишээлбэл:
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) бүх үндсэн хүчин зүйлийн хүчийг бичнэ үү.
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) эдгээр тоо тус бүрийн анхны хуваагч (үржүүлэгч) -ийг бичих;
4) эдгээр тоонуудын бүх өргөтгөлүүдээс олдсон тус бүрийн хамгийн их зэргийг сонгох;
5) эдгээр хүчийг үржүүлэх.
Жишээ. 168, 180, 3024 гэсэн тоонуудын LCM-ийг ол.
Шийдэл. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Бид бичдэг хамгийн их зэрэгбүх анхны хуваагч ба тэдгээрийг үржүүлэх:
NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.
Доор үзүүлсэн материал нь LCM - хамгийн бага нийтлэг үржвэр, тодорхойлолт, жишээ, LCM ба GCD хоорондын холболт гэсэн өгүүллийн онолын логик үргэлжлэл юм. Энд бид ярих болно хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох (LCM), Мөн Онцгой анхааралЖишээнүүдийг шийдвэрлэхэд анхаарлаа хандуулцгаая. Эхлээд бид эдгээр тоонуудын GCD-г ашиглан хоёр тооны LCM-ийг хэрхэн тооцоолохыг харуулах болно. Дараа нь бид тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олохыг үзнэ. Үүний дараа бид гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олоход анхаарлаа төвлөрүүлэхээс гадна сөрөг тоонуудын LCM-ийг тооцоолоход анхаарлаа хандуулах болно.
Хуудасны навигаци.
GCD-ээр дамжуулан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг (LCM) тооцоолох
Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох нэг арга нь LCM болон GCD хоорондын хамаарал дээр суурилдаг. Одоо байгаа холболт LCM болон GCD-ийн хоорондох хамгийн том нийтлэг хуваагчийг ашиглан хоёр эерэг бүхэл тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Холбогдох томъёо нь байна LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Өгөгдсөн томьёог ашиглан LCM-ийг олох жишээг авч үзье.
Жишээ.
126 ба 70 гэсэн хоёр тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.
Шийдэл.
Энэ жишээнд a=126 , b=70 . Томъёогоор илэрхийлсэн LCM ба GCD хоёрын холболтыг ашиглацгаая LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Өөрөөр хэлбэл, эхлээд бид 70 ба 126 тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох хэрэгтэй бөгөөд үүний дараа бид эдгээр тоонуудын LCM-ийг бичсэн томъёогоор тооцоолж болно.
GCD(126, 70)-г Евклидийн алгоритмаар олъё: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, тиймээс GCD(126, 70)=14.
Одоо бид шаардлагатай хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олно: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.
Хариулт:
LCM(126, 70)=630 .
Жишээ.
LCM(68, 34) нь юутай тэнцүү вэ?
Шийдэл.
Учир нь 68 нь 34-т хуваагддаг бол GCD(68, 34)=34. Одоо бид хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг тооцоолно: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.
Хариулт:
LCM(68, 34)=68 .
Өмнөх жишээ нь эерэг бүхэл тоон a ба b-ийн LCM-ийг олох дараах дүрэмд нийцэж байгааг анхаарна уу: хэрэв a тоо b-д хуваагддаг бол эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь a байна.
Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар LCM-ийг олох
Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох өөр нэг арга бол тоог анхны хүчин зүйл болгон хуваах явдал юм. Хэрэв та өгөгдсөн тооны бүх анхны хүчин зүйлээс бүтээгдэхүүн зохиож, өгөгдсөн тоонуудын задралд байгаа бүх нийтлэг анхны хүчин зүйлийг энэ бүтээгдэхүүнээс хасвал үр дүн нь өгөгдсөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү байх болно. .
LCM олох дүрэм нь тэгш байдлаас хамаарна LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Үнэн хэрэгтээ, a ба b тоонуудын үржвэр нь a ба b тоог тэлэх бүх хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна. Хариуд нь GCD(a, b) нь a ба b тоонуудын тэлэлтэд нэгэн зэрэг байгаа бүх анхны хүчин зүйлийн үржвэртэй тэнцүү байна (тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон өргөжүүлэх замаар GCD-ийг олох хэсэгт тайлбарласны дагуу).
Нэг жишээ хэлье. 75=3·5·5 ба 210=2·3·5·7 гэдгийг бидэнд мэдэгдье. Эдгээр тэлэлтийн бүх хүчин зүйлээс үржвэрийг бүтээцгээе: 2·3·3·5·5·5·7 . Одоо энэ бүтээгдэхүүнээс бид 75 тоо болон 210 тоо тэлэх (эдгээр хүчин зүйлүүд нь 3 ба 5) хоёуланд нь байгаа бүх хүчин зүйлийг хасч, дараа нь бүтээгдэхүүн 2 · 3 · 5 · 5 · 7 хэлбэрийг авна. . Энэ бүтээгдэхүүний утга нь 75 ба 210-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү байна. NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.
Жишээ.
441 ба 700 тоонуудыг анхны үржүүлэгч болгон үржүүлж эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.
Шийдэл.
441 ба 700 тоонуудыг анхны үржүүлэгчид болгон авч үзье.
Бид 441=3·3·7·7 ба 700=2·2·5·5·7 болно.
Одоо 2·2·3·3·5·7·7·7 гэсэн тоонуудын тэлэлтэд хамаарах бүх хүчин зүйлсээс бүтээгдэхүүн бүтээцгээе. Энэ бүтээгдэхүүнээс хоёр өргөтгөлд нэгэн зэрэг байгаа бүх хүчин зүйлийг хасъя (зөвхөн нэг ийм хүчин зүйл байдаг - энэ нь 7 тоо): 2·2·3·3·5·5·7·7. Тиймээс, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.
Хариулт:
NOC(441, 700)= 44 100 .
Тоонуудыг анхны хүчин зүйл болгон хуваах замаар LCM-ийг олох дүрмийг арай өөрөөр томъёолж болно. Хэрэв b тооны тэлэлтээс дутуу байгаа хүчин зүйлсийг a тооны тэлэлтийн хүчин зүйлүүд дээр нэмбэл, үүссэн бүтээгдэхүүний утга нь a ба b тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй тэнцүү байх болно..
Жишээлбэл, ижил тооны 75 ба 210 тоонуудыг авч үзье, тэдгээрийн анхны үржүүлэгчид задрал нь дараах байдалтай байна: 75=3·5·5 ба 210=2·3·5·7. 75-ын тооны тэлэлтээс 3, 5, 5-р хүчин зүйлүүд дээр бид 210-ын тоог өргөтгөхөд дутуу байгаа 2, 7-г нэмээд 2·3·5·5·7 үржвэрийг олж авна. LCM(75, 210)-тай тэнцүү.
Жишээ.
84 ба 648-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.
Шийдэл.
Бид эхлээд 84 ба 648 тоонуудын задралыг анхны хүчин зүйл болгон авдаг. Тэдгээр нь 84=2·2·3·7 ба 648=2·2·2·3·3·3·3 шиг харагдаж байна. 84 тооны тэлэлтээс 2, 2, 3, 7-р хүчин зүйлүүд дээр бид 648 тооны тэлэлтээс дутуу байгаа 2, 3, 3, 3 хүчин зүйлийг нэмж, 2 2 2 3 3 3 3 7 үржвэрийг олж авна. Энэ нь 4 536-тай тэнцүү байна. Тиймээс 84 ба 648-ын хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 4536 байна.
Хариулт:
LCM(84, 648)=4,536 .
Гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олох
Гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг хоёр тооны LCM-ийг дараалан олох замаар олж болно. Гурав ба түүнээс дээш тооны LCM-ийг олох боломжийг олгодог харгалзах теоремыг эргэн санацгаая.
Теорем.
a 1 , a 2 , …, a k эерэг бүхэл тоонуудыг өгье. m 2 = LCM(a 1, a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a) -ийг дараалан тооцоолж эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр m k-г олно. 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Дөрвөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох жишээн дээр энэ теоремын хэрэглээг авч үзье.
Жишээ.
140, 9, 54, 250 гэсэн дөрвөн тооны LCM-ийг ол.
Шийдэл.
Энэ жишээнд a 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250 байна.
Эхлээд бид олдог m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Үүнийг хийхийн тулд Евклидийн алгоритмыг ашиглан бид GCD(140, 9)-ийг тодорхойлж, 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, тиймээс GCD(140, 9)=1 , хаанаас GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Энэ нь m 2 =1 260 байна.
Одоо бид олдог m 3 = LOC (m 2, a 3) = LOC (1 260, 54). Үүнийг GCD(1 260, 54)-ээр тооцоолъё, үүнийг бид мөн Евклидийн алгоритмыг ашиглан тодорхойлно: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Дараа нь gcd(1,260, 54)=18, үүнээс gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780 болно. Энэ нь m 3 =3 780 гэсэн үг юм.
Зөвхөн олох л үлдлээ m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Үүний тулд бид GCD(3,780, 250)-ийг Евклидийн алгоритмаар олно: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Тиймээс GCM(3,780, 250)=10, үүнээс GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Энэ нь m 4 =94,500 гэсэн үг юм.
Тэгэхээр анхны дөрвөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 94,500 байна.
Хариулт:
LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.
Ихэнх тохиолдолд өгөгдсөн тоонуудын анхны үржвэрүүдийг ашиглан гурав ба түүнээс дээш тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох нь тохиромжтой байдаг. Энэ тохиолдолд та дараах дүрмийг баримтлах хэрэгтэй. Хэд хэдэн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь үржвэртэй тэнцүү бөгөөд энэ нь дараах байдлаар бүрдэнэ: хоёр дахь тооны тэлэлтээс дутуу хүчин зүйлүүд нь эхний тооны тэлэлтээс бүх хүчин зүйл дээр нэмэгдэнэ. Гурав дахь тоог үр дүнгийн хүчин зүйлс дээр нэмдэг гэх мэт.
Анхны үржвэрлэлтийн аргыг ашиглан хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох жишээг авч үзье.
Жишээ.
84, 6, 48, 7, 143 гэсэн таван тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.
Шийдэл.
Эхлээд бид эдгээр тоонуудын задралыг анхны хүчин зүйл болгон авдаг: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 нь анхны тоо, давхцаж байна) анхны хүчин зүйлүүдэд задралын хамт) ба 143=11·13.
Эдгээр тоонуудын LCM-ийг олохын тулд эхний тооны 84-ийн хүчин зүйлүүд (тэдгээр нь 2, 2, 3, 7) дээр хоёр дахь 6-ын тэлэлтээс дутуу хүчин зүйлсийг нэмэх хэрэгтэй. Эхний тооны 84-ийн задралд 2 ба 3 хоёулаа аль хэдийн байгаа тул 6-ын тооны задралд дутуу хүчин зүйл агуулаагүй болно. Дараа нь 2, 2, 3, 7-р хүчин зүйлүүд дээр бид 48-р гурав дахь тооны тэлэлтээс дутуу байгаа 2, 2-ыг нэмээд 2, 2, 2, 2, 3, 7 гэсэн хүчин зүйлсийн багцыг авна. Дараагийн алхамд энэ багцад 7-г аль хэдийн оруулсан байгаа тул үржүүлэгч нэмэх шаардлагагүй болно. Эцэст нь 2, 2, 2, 2, 3, 7-р хүчин зүйлүүд дээр бид 143-ын тэлэлтээс дутуу байгаа 11, 13-ыг нэмнэ. Бид 2·2·2·2·3·7·11·13 үржвэрийг авдаг бөгөөд энэ нь 48,048-тай тэнцүү байна.
Хоёр дахь тоо: b=
Мянган тусгаарлагчЗай тусгаарлагчгүй "´
Үр дүн:
Хамгийн их нийтлэг хуваагч gcd( а,б)=6
LCM-ийн хамгийн бага нийтлэг үржвэр( а,б)=468
a ба b тоонд үлдэгдэлгүй хуваагдаж болох хамгийн том натурал тоог гэнэ хамгийн том нийтлэг хуваагчЭдгээр тоонуудын (GCD). gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) эсвэл hcf(a,b) гэж тэмдэглэнэ.
Хамгийн бага нийтлэг үржвэр a ба b бүхэл тоонуудын LCM нь а ба b-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг хамгийн бага натурал тоо юм. LCM(a,b) эсвэл lcm(a,b) гэж тэмдэглэсэн.
a ба b бүхэл тоонуудыг дуудна харилцан ашигтай, хэрэв тэдгээрт +1 ба −1-ээс өөр нийтлэг хуваагч байхгүй бол.
Хамгийн том нийтлэг хуваагч
Хоёр эерэг тоог өгье а 1 ба а 2 1). Эдгээр тоонуудын нийтлэг хуваагчийг олох шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл. ийм тоо олоорой λ , энэ нь тоонуудыг хуваадаг а 1 ба а 2 зэрэг. Алгоритмыг тайлбарлая.
1) Энэ өгүүлэлд дугаар гэдэг үгийг бүхэл тоо гэж ойлгох болно.
Болъё а 1 ≥ а 2 ба зөвшөөр
Хаана м 1 , а 3 нь бүхэл тоо, а 3 <а 2 (хуваалтын үлдэгдэл а 1 тутамд а 2 нь бага байх ёстой а 2).
Ингэж жүжиглэе λ хуваадаг а 1 ба а 2 тэгвэл λ хуваадаг м 1 а 2 ба λ хуваадаг а 1 −м 1 а 2 =а 3 ("Тооны хуваагдах чадвар. Хуваагдах чадварыг шалгах" өгүүллийн 2-р мэдэгдэл). Үүнээс үзэхэд бүх нийтлэг хуваагч байдаг а 1 ба а 2 нь нийтлэг хуваагч юм а 2 ба а 3. Хэрэв урвуу нь бас үнэн юм λ нийтлэг хуваагч а 2 ба а 3 тэгвэл м 1 а 2 ба а 1 =м 1 а 2 +а 3 нь мөн хуваагдана λ . Тиймээс нийтлэг хуваагч а 2 ба а 3 нь мөн нийтлэг хуваагч юм а 1 ба а 2. Учир нь а 3 <а 2 ≤а 1, дараа нь бид тоонуудын нийтлэг хуваагчийг олох асуудлын шийдэл гэж хэлж болно а 1 ба а 2-ыг тоонуудын нийтлэг хуваагчийг олох энгийн бодлого болгон бууруулсан а 2 ба а 3 .
Хэрэв а 3 ≠0 бол бид хувааж болно а 2 дээр а 3. Дараа нь
,
Хаана м 1 ба а 4 нь бүхэл тоо, ( ахуваалтаас 4 үлдэгдэл а 2 дээр а 3 (а 4 <а 3)). Үүнтэй төстэй үндэслэлээр бид тооны нийтлэг хуваагч гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна а 3 ба а 4 нь тоонуудын нийтлэг хуваагчтай давхцдаг а 2 ба а 3, мөн нийтлэг хуваагчтай а 1 ба а 2. Учир нь а 1 , а 2 , а 3 , а 4, ... нь байнга буурч байгаа тоонууд бөгөөд тэдгээрийн хооронд хязгаарлагдмал тооны бүхэл тоо байдаг. а 2 ба 0, дараа нь зарим алхамаар n, хэсгийн үлдэгдэл а n дээр а n+1 нь тэгтэй тэнцүү байх болно ( а n+2 =0).
.
Нийтлэг хуваагч бүр λ тоо а 1 ба а 2 нь мөн тооны хуваагч юм а 2 ба а 3 , а 3 ба а 4 , .... а n ба а n+1. Эсрэг заалт нь бас үнэн, тоонуудын нийтлэг хуваагч юм а n ба а n+1 нь мөн тооны хуваагч юм а n−1 ба а n , .... , а 2 ба а 3 , а 1 ба а 2. Гэхдээ тоонуудын нийтлэг хуваагч а n ба а n+1 нь тоо юм а n+1, учир нь а n ба а n+1-д хуваагдана а n+1 (үүнийг санаарай а n+2 =0). Тиймээс а n+1 нь мөн тооны хуваагч юм а 1 ба а 2 .
тоо гэдгийг анхаарна уу а n+1 нь тоонуудын хамгийн том хуваагч юм а n ба а n+1 , хамгийн том хуваагчаас хойш а n+1 нь өөрөө юм а n+1. Хэрэв а n+1-ийг бүхэл тоонуудын үржвэрээр илэрхийлж болно, тэгвэл эдгээр тоонууд нь мөн тооны нийтлэг хуваагч болно. а 1 ба а 2. Тоо а n+1 гэж нэрлэдэг хамгийн том нийтлэг хуваагчтоо а 1 ба а 2 .
Тоонууд а 1 ба а 2 нь эерэг эсвэл сөрөг тоо байж болно. Хэрэв тоонуудын аль нэг нь тэгтэй тэнцүү бол эдгээр тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагч нь нөгөө тооны үнэмлэхүй утгатай тэнцүү байна. Тэг тооны хамгийн том нийтлэг хуваагч нь тодорхойгүй байна.
Дээрх алгоритмыг нэрлэдэг Евклидийн алгоритмхоёр бүхэл тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох.
Хоёр тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох жишээ
630 ба 434 гэсэн хоёр тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг ол.
- Алхам 1. 630 тоог 434-т хуваа. Үлдэгдэл нь 196.
- Алхам 2. 434 тоог 196-д хуваа. Үлдэгдэл нь 42.
- Алхам 3. 196 тоог 42-т хуваа. Үлдэгдэл нь 28.
- Алхам 4. 42-ын тоог 28-д хуваа.Үлдсэн нь 14.
- Алхам 5. 28-ын тоог 14-т хуваа.Үлдсэн нь 0.
5-р алхамд хуваалтын үлдэгдэл нь 0 байна. Тиймээс 630 ба 434 тоонуудын хамгийн их нийтлэг хуваагч нь 14. 2 ба 7 тоо нь 630 ба 434 тоонуудын хуваагч гэдгийг анхаарна уу.
Тоонуудыг харьцуулах
Тодорхойлолт 1. Тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагчийг бичье а 1 ба а 2 нь нэгтэй тэнцүү. Дараа нь эдгээр дугаарууд дуудагдана харьцуулах тоо, нийтлэг хуваагчгүй.
Теорем 1. Хэрэв а 1 ба а 2 анхны тоо, ба λ зарим тоо, дараа нь тооны нийтлэг хуваагч λa 1 ба а 2 нь мөн тооны нийтлэг хуваагч юм λ Тэгээд а 2 .
Баталгаа. Тооны хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох Евклидийн алгоритмыг авч үзье. а 1 ба а 2 (дээрхийг үзнэ үү).
.
Теоремын нөхцлөөс үзэхэд тоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч байна а 1 ба а 2, тиймээс а n ба а n+1 нь 1. Энэ нь а n+1 =1.
Энэ бүх тэгш байдлыг үржүүлье λ , Дараа нь
.
Нийтлэг хуваагчийг үзье а 1 λ Тэгээд а 2 тийм δ . Дараа нь δ -д үржүүлэгч болгон оруулсан болно а 1 λ , м 1 а 2 λ болон дотор а 1 λ -м 1 а 2 λ =а 3 λ ("Тоон хуваагдах чадвар", Мэдэгдэл 2-г үзнэ үү). Цаашид δ -д үржүүлэгч болгон оруулсан болно а 2 λ Тэгээд м 2 а 3 λ , мөн, тиймийн тул, хүчин зүйл юм а 2 λ -м 2 а 3 λ =а 4 λ .
Ийм үндэслэлээр бид үүнд итгэлтэй байна δ -д үржүүлэгч болгон оруулсан болно а n−1 λ Тэгээд м n−1 а n λ , тиймээс in а n−1 λ −м n−1 а n λ =а n+1 λ . Учир нь а n+1 =1, тэгвэл δ -д үржүүлэгч болгон оруулсан болно λ . Тиймээс тоо δ тоонуудын нийтлэг хуваагч юм λ Тэгээд а 2 .
Теорем 1-ийн онцгой тохиолдлуудыг авч үзье.
Үр дагавар 1. Болъё аТэгээд вАнхны тоо харьцангуй б. Дараа нь тэдний бүтээгдэхүүн ac-ын хувьд анхны тоо юм б.
Үнэхээр. Теорем 1-ээс acТэгээд бижил нийтлэг хуваагчтай байна вТэгээд б. Гэхдээ тоонууд вТэгээд бхарьцангуй энгийн, өөрөөр хэлбэл. нэг нийтлэг хуваагчтай 1. Дараа нь acТэгээд бмөн нэг нийтлэг хуваагчтай 1. Тиймээс acТэгээд бхарилцан энгийн.
Үр дагавар 2. Болъё аТэгээд бтоонуудыг харьцуулж, зөвшөөр бхуваадаг ак. Дараа нь бхуваах ба к.
Үнэхээр. Зөвшөөрөх нөхцөлөөс акТэгээд бнийтлэг хуваагчтай б. Теорем 1-ийн дагуу, бнийтлэг хуваагч байх ёстой бТэгээд к. Тиймээс бхуваадаг к.
Дүгнэлт 1-ийг ерөнхийд нь хэлж болно.
Үр дагавар 3. 1. Тоонуудыг оруулъя а 1 , а 2 , а 3 , ..., а m нь тоотой харьцуулахад анхны байна б. Дараа нь а 1 а 2 , а 1 а 2 · а 3 , ..., а 1 а 2 а 3 ··· а m, эдгээр тоонуудын үржвэр нь тооны хувьд анхных юм б.
2. Хоёр эгнээ тоотой болцгооё
Эхний цувралын тоо бүр хоёр дахь цувралын тоо бүрийн харьцаанд анхных байна. Дараа нь бүтээгдэхүүн
Та эдгээр тоо бүрт хуваагдах тоог олох хэрэгтэй.
Хэрэв тоо нь хуваагддаг бол а 1, дараа нь энэ нь хэлбэртэй байна са 1 хаана сзарим тоо. Хэрэв qтоонуудын хамгийн том нийтлэг хуваагч юм а 1 ба а 2, тэгвэл
Хаана с 1 нь бүхэл тоо юм. Дараа нь
байна тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрүүд а 1 ба а 2 .
а 1 ба а 2 нь харьцангуй анхны бөгөөд дараа нь тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм а 1 ба а 2:
Бид эдгээр тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг олох хэрэгтэй.
Дээрхээс үзэхэд дурын олон тооны тоо гарч ирнэ а 1 , а 2 , а 3 нь олон тооны тоо байх ёстой ε Тэгээд а 3 ба буцаж. Тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг үзье ε Тэгээд а 3 тийм ε 1 . Дараа нь олон тооны тоонууд а 1 , а 2 , а 3 , а 4 нь олон тооны тоо байх ёстой ε 1 ба а 4 . Тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг үзье ε 1 ба а 4 тийм ε 2. Тиймээс бид бүх тооны үржвэрийг олж мэдсэн а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m нь тодорхой тооны үржвэртэй давхцдаг ε n, үүнийг өгөгдсөн тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр гэж нэрлэдэг.
Онцгой тохиолдолд тоонууд а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m нь харьцангуй анхны, дараа нь тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм а 1 , а 2 нь дээр үзүүлсэн шиг (3) хэлбэртэй байна. Дараа нь, түүнээс хойш а 3 тоотой холбоотой анхны тоо а 1 , а 2 тэгвэл а 3 анхны тоо а 1 · а 2 (Үндэслэл 1). Тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг илэрхийлнэ а 1 ,а 2 ,а 3 бол тоо а 1 · а 2 · а 3. Үүнтэй адил үндэслэлээр бид дараах мэдэгдлүүдэд хүрч байна.
Мэдэгдэл 1. Харьцуулах тооны хамгийн бага нийтлэг үржвэр а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m нь тэдний бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна а 1 · а 2 · а 3 ··· ам.
Мэдэгдэл 2. Хоёрдахь анхны тоо бүрт хуваагддаг аливаа тоо а 1 , а 2 , а 3 ,...,а m нь мөн тэдгээрийн үржвэрт хуваагдана а 1 · а 2 · а 3 ··· ам.
Хамгийн их нийтлэг хуваагч ба хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь бутархайтай ажиллахад хялбар болгодог арифметикийн гол ойлголтууд юм. LCM ба хэд хэдэн бутархайн нийтлэг хуваагчийг олоход ихэвчлэн ашиглагддаг.
Үндсэн ойлголтууд
Бүхэл тооны хуваагч нь X нь үлдэгдэл үлдээхгүйгээр хуваагддаг өөр бүхэл Y тоо юм. Жишээ нь: 4-ийн хуваагч нь 2, 36 нь 4, 6, 9. Бүхэл X-ийн үржвэр нь X-д үлдэгдэлгүй хуваагдах Y тоо юм. Жишээлбэл, 3 нь 15-ын үржвэр, 6 нь 12-ын үржвэр юм.
Аливаа хос тооны хувьд бид тэдгээрийн нийтлэг хуваагч ба үржвэрийг олох боломжтой. Жишээлбэл, 6 ба 9-ийн хувьд нийтлэг үржвэр нь 18, нийтлэг хуваагч нь 3. Хосууд нь хэд хэдэн хуваагч болон үржвэртэй байж болох тул тооцоололд хамгийн том хуваагч GCD ба хамгийн бага олон тооны LCM-ийг ашигладаг.
Аль ч тооны хувьд энэ нь үргэлж нэг байдаг тул хамгийн бага хуваагч нь утгагүй юм. Үржвэрийн дараалал хязгааргүйд хүрдэг тул хамгийн их үржвэр нь бас утгагүй юм.
gcd хайж байна
Хамгийн их нийтлэг хуваагчийг олох олон арга байдаг бөгөөд эдгээрээс хамгийн алдартай нь:
- хуваагчийг дараалан хайх, нийтлэгийг нь хосоор нь сонгох, тэдгээрийн хамгийн томыг нь хайх;
- тоонуудыг хуваагдашгүй хүчин зүйл болгон задлах;
- Евклидийн алгоритм;
- хоёртын алгоритм.
Өнөөдөр боловсролын байгууллагуудад хамгийн түгээмэл арга бол үндсэн хүчин зүйл болгон задлах, Евклидийн алгоритм юм. Сүүлийнх нь эргээд диофантийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглагддаг: тэгшитгэлийг бүхэл тоогоор шийдвэрлэх боломжийг шалгахын тулд GCD хайх шаардлагатай.
ҮОХ-г хайж байна
Хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг мөн дараалсан хайлт эсвэл хуваагдашгүй хүчин зүйл болгон задлах замаар тодорхойлно. Нэмж хэлэхэд, хамгийн их хуваагч аль хэдийн тодорхойлогдсон бол LCM-ийг олоход хялбар байдаг. X ба Y тоонуудын хувьд LCM болон GCD нь дараах хамаарлаар холбогдоно.
LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).
Жишээлбэл, хэрэв GCM(15,18) = 3 бол LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. LCM ашиглах хамгийн тод жишээ бол нийтлэг хуваагчийг олох явдал бөгөөд энэ нь хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм. өгөгдсөн бутархай.
Тоонуудыг харьцуулах
Хэрэв хос тоо нь нийтлэг хуваагчгүй бол ийм хосыг хос тоо гэж нэрлэдэг. Ийм хосын gcd нь үргэлж нэгтэй тэнцүү байх ба хуваагч болон үржвэрийн хоорондын холболт дээр үндэслэн, хосын хосын gcd нь тэдгээрийн үржвэртэй тэнцүү байна. Жишээлбэл, 25 ба 28 тоонууд нь нийтлэг хуваагчгүй тул харьцангуй анхны тоо бөгөөд LCM(25, 28) = 700 бөгөөд энэ нь тэдний үржвэртэй тохирч байна. Ямар ч хуваагдашгүй хоёр тоо үргэлж харьцангуй анхны байх болно.
Нийтлэг хуваагч ба олон тооны машин
Манай тооны машиныг ашиглан та GCD болон LCM-ийг дурын тооны тооноос сонгох боломжтой. Нийтлэг хуваагч болон үржвэрийг тооцоолох даалгаврууд нь 5, 6-р ангийн арифметикт байдаг боловч GCD болон LCM нь математикийн гол ойлголтууд бөгөөд тооны онол, планиметр, харилцааны алгебрт ашиглагддаг.
Бодит амьдралын жишээнүүд
Бутархайн нийтлэг хуваагч
Хэд хэдэн бутархайн нийтлэг хуваагчийг олохдоо хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ашиглана. Арифметикийн бодлогод та 5 бутархайг нийлгэх хэрэгтэй гэж бодъё.
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Бутархай тоог нэмэхийн тулд илэрхийлэлийг нийтлэг хуваагч болгон багасгах шаардлагатай бөгөөд энэ нь LCM-ийг олох асуудлыг багасгадаг. Үүнийг хийхийн тулд тооцоолуур дээр 5 тоог сонгоод тохирох нүдэнд хуваагчийн утгыг оруулна уу. Хөтөлбөр нь LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Одоо та LCM-ийн хуваарийн харьцаагаар тодорхойлогддог бутархай тус бүрийн нэмэлт хүчин зүйлийг тооцоолох хэрэгтэй. Тиймээс нэмэлт үржүүлэгч нь дараах байдлаар харагдах болно.
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Үүний дараа бид бүх бутархайг харгалзах нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлээд:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Бид ийм бутархайг хялбархан нэгтгэж, үр дүнг 159/360 болгож чадна. Бид бутархайг 3-аар багасгаж, эцсийн хариултыг харна уу - 53/120.
Шугаман диофантийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
Шугаман диофантийн тэгшитгэл нь ax + by = d хэлбэрийн илэрхийлэл юм. Хэрэв d / gcd(a, b) харьцаа нь бүхэл тоо бол тэгшитгэлийг бүхэл тоогоор шийдвэрлэх боломжтой. Бүхэл тоон шийдэлтэй эсэхийг мэдэхийн тулд хэд хэдэн тэгшитгэлийг шалгацгаая. Эхлээд 150x + 8y = 37 тэгшитгэлийг шалгая. Тооцоологч ашиглан бид GCD (150.8) = 2. 37/2 = 18.5-ыг хуваана. Тоо нь бүхэл тоо биш тул тэгшитгэлд бүхэл язгуур байхгүй.
1320x + 1760y = 10120 тэгшитгэлийг шалгацгаая. Тооцоологч ашиглан GCD(1320, 1760) = 440-ийг ол. 10120/440 = 23-ыг хуваа. Үүний үр дүнд бид бүхэл тоог авна, тиймээс диофантийн коэффицентийн inefffektivequables байна. .
Дүгнэлт
GCD болон LCM нь тооны онолд ихээхэн үүрэг гүйцэтгэдэг бөгөөд ойлголтууд нь математикийн өргөн хүрээний салбарт өргөн хэрэглэгддэг. Манай тооны машиныг ашиглан аль ч тооны тооны хамгийн их хуваагч ба хамгийн бага үржвэрийг тооцоолоорой.