Математикийн хувьд декартын координатын хавтгай дээрх шулууны байрлалыг тодорхойлдог параметрүүдийн нэг нь энэ шугамын өнцгийн коэффициент юм. Энэ параметр нь абсцисса тэнхлэг хүртэлх шулуун шугамын налууг тодорхойлдог. Налууг хэрхэн олохыг ойлгохын тулд эхлээд XY координатын систем дэх шулуун шугамын тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэрийг эргэн санах хэрэгтэй.

Ерөнхийдөө дурын шулуун шугамыг ax+by=c илэрхийллээр илэрхийлж болох ба энд a, b, c нь дурын бодит тоо боловч a 2 + b 2 ≠ 0 байна.

Энгийн хувиргалтуудыг ашиглан ийм тэгшитгэлийг y=kx+d хэлбэрт оруулж болно, k ба d нь бодит тоо. k тоо налуу, мөн ийм төрлийн шулуун шугамын тэгшитгэлийг өнцгийн коэффициенттэй тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Налууг олохын тулд анхны тэгшитгэлийг дээр дурдсан хэлбэрт оруулахад л хангалттай. Илүү бүрэн ойлголт авахын тулд тодорхой жишээг авч үзье.

Бодлого: 36x - 18y = 108 тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулууны налууг ол.

Шийдэл: Анхны тэгшитгэлийг өөрчилье.

Хариулт: Энэ шугамын шаардлагатай налуу нь 2 байна.

Хэрэв тэгшитгэлийг хувиргах явцад бид x = const гэх мэт илэрхийлэлийг хүлээн авсан бөгөөд үүний үр дүнд бид y-г x-ийн функцээр илэрхийлж чадахгүй бол бид X тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг авч үзэж байна гэсэн үг шулуун шугам нь хязгааргүйтэй тэнцүү.

y = const гэх мэт тэгшитгэлээр илэрхийлсэн шугамын хувьд налуу нь тэг байна. Энэ нь абсцисса тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамын хувьд ердийн зүйл юм. Жишээ нь:

Бодлого: 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулууны налууг ол.

Шийдэл: Анхны тэгшитгэлийг багасгая ерөнхий дүр төрх

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Үүссэн илэрхийллээс y-г илэрхийлэх боломжгүй тул энэ шугамын өнцгийн коэффициент нь хязгааргүйтэй тэнцүү бөгөөд шугам өөрөө Y тэнхлэгтэй параллель байх болно.

Геометрийн утга

Учир нь илүү сайн ойлгохЗургийг харцгаая:

Зураг дээр бид y = kx функцийн графикийг харж байна. Хялбарчлахын тулд c = 0 коэффициентийг авъя. OAB гурвалжинд BA тал ба AO талын харьцаа k өнцгийн коэффициенттэй тэнцүү байна. Үүний зэрэгцээ VA/AO харьцаа нь шүргэгч юм хурц өнцөгα in зөв гурвалжин OAV. Шулуун шугамын өнцгийн коэффициент нь координатын торны абсцисса тэнхлэгтэй энэ шулуун шугамын хийсэн өнцгийн тангенстай тэнцүү байна.

Шулуун шугамын өнцгийн коэффициентийг хэрхэн олох тухай асуудлыг шийдэж, координатын торны X тэнхлэг ба түүний хоорондох өнцгийн тангенсыг олно. Тухайн шугам нь координатын тэнхлэгүүдтэй параллель байвал дээрх зааврыг баталгаажуулна уу. Үнэн хэрэгтээ y=const тэгшитгэлээр дүрслэгдсэн шулуун шугамын хувьд түүний болон абсцисса тэнхлэгийн хоорондох өнцөг тэг байна. Тэг өнцгийн тангенс мөн тэг, налуу нь мөн тэг байна.

x тэнхлэгт перпендикуляр, x=const тэгшитгэлээр тодорхойлогдсон шулуун шугамын хувьд тэдгээрийн болон X тэнхлэгийн хоорондох өнцөг 90 градус байна. Тангенс зөв өнцөгнь хязгааргүйтэй тэнцүү бөгөөд ижил төстэй шулуун шугамын өнцгийн коэффициент нь мөн хязгааргүйтэй тэнцүү байгаа нь дээр бичсэн зүйлийг баталж байна.

Тангенс налуу

Практикт ихэвчлэн тулгардаг нийтлэг ажил бол тодорхой цэг дэх функцийн графиктай шүргэгчийн налууг олох явдал юм. Шүргэгч нь шулуун шугам тул налуугийн тухай ойлголт түүнд бас хамаатай.

Шүргэгчийн налууг хэрхэн олохыг мэдэхийн тулд дериватив гэсэн ойлголтыг эргэн санах хэрэгтэй. Тодорхой цэг дэх аливаа функцийн дериватив нь энэ функцийн графикт заасан цэгийн шүргэгч ба абсцисса тэнхлэгийн хооронд үүссэн өнцгийн шүргэгчтэй тоон утгаараа тэнцүү тогтмол юм. Эндээс харахад х 0 цэг дээрх шүргэгчийн өнцгийн коэффициентийг тодорхойлохын тулд бид энэ цэг дэх анхны функцийн деривативын утгыг тооцоолох хэрэгтэй k = f "(x 0). Жишээг харцгаая.

Бодлого: x = 0.1 үед y = 12x 2 + 2xe x функцтэй шүргэгч шулууны налууг ол.

Шийдэл: Анхны функцийн деривативыг ерөнхий хэлбэрээр ол

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Хариулт: x = 0.1 цэгт шаардагдах налуу нь 4.831 байна

Хавтгай дээр тодорхой координатын системийг сонгосноор бид чадна гэдгийг өмнөх бүлэгт харуулсан геометрийн шинж чанарууд, авч үзэж буй шугамын цэгүүдийг тодорхойлдог одоогийн координатуудын хоорондох тэгшитгэлээр аналитик байдлаар илэрхийлэгдэнэ. Тиймээс бид шугамын тэгшитгэлийг олж авна. Энэ бүлэгт шулуун шугамын тэгшитгэлийг авч үзэх болно.

Декартын координат дахь шулуун шугамын тэгшитгэлийг бий болгохын тулд координатын тэнхлэгтэй харьцуулахад түүний байрлалыг тодорхойлох нөхцлийг ямар нэгэн байдлаар тохируулах хэрэгтэй.

Эхлээд бид шугамын өнцгийн коэффициент гэсэн ойлголтыг танилцуулах бөгөөд энэ нь хавтгай дээрх шугамын байрлалыг тодорхойлдог хэмжигдэхүүнүүдийн нэг юм.

Шулуун шугамын Ox тэнхлэгт налуу өнцгийг өгөгдсөн шугамтай давхцах (эсвэл үүнтэй параллель болж хувирах) байхаар Ox тэнхлэгийг эргүүлэх шаардлагатай өнцөг гэж нэрлэе. Ердийнх шигээ бид тэмдгийг харгалзан өнцгийг авч үзэх болно (тэмдэг нь эргэлтийн чиглэлд тодорхойлогддог: цагийн зүүний эсрэг эсвэл цагийн зүүний дагуу). Үхрийн тэнхлэгийг 180 ° өнцгөөр нэмэлт эргүүлснээр шулуун шугамтай дахин таарч байгаа тул шулуун шугамын тэнхлэг рүү хазайх өнцгийг хоёрдмол утгагүйгээр сонгох боломжгүй (хүртэл нь ) .

Энэ өнцгийн тангенс нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог (өнцгийг өөрчлөхөд шүргэгч өөрчлөгдөхгүй).

Шулуун шугамын Ox тэнхлэгт налуу өнцгийн тангенсыг шулуун шугамын өнцгийн коэффициент гэнэ.

Өнцгийн коэффициент нь шулуун шугамын чиглэлийг тодорхойлдог (бид шулуун шугамын эсрэг хоёр чиглэлийг энд ялгахгүй). Хэрэв шугамын налуу нь тэг байвал шугам нь x тэнхлэгтэй параллель байна. Эерэг өнцгийн коэффициенттэй бол шулуун шугамын Ox тэнхлэгт налуугийн өнцөг хурц байх болно (бид энд налуу өнцгийн хамгийн бага эерэг утгыг авч үзэж байна) (Зураг 39); Түүнээс гадна, өнцгийн коэффициент их байх тусам түүний Ox тэнхлэгт налуугийн өнцөг их байх болно. Хэрэв өнцгийн коэффициент сөрөг байвал Ох тэнхлэгт шулуун шугамын налуу өнцөг нь мохоо байна (Зураг 40). Ox тэнхлэгт перпендикуляр шулуун шугам нь өнцгийн коэффициентгүй (өнцгийн тангенс байхгүй) гэдгийг анхаарна уу.

Сэдвийн үргэлжлэл, хавтгай дээрх шулууны тэгшитгэл нь алгебрийн хичээлээс шулуун шугамыг судлахад үндэслэсэн болно. Энэ нийтлэлд налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлийн сэдвийн талаархи ерөнхий мэдээллийг өгдөг. Тодорхойлолтуудыг авч үзье, тэгшитгэлийг өөрөө авч, бусад төрлийн тэгшитгэлүүдтэй холбоог тодорхойлъё. Асуудлыг шийдвэрлэх жишээнүүдийг ашиглан бүх зүйлийг хэлэлцэх болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ийм тэгшитгэлийг бичихийн өмнө шулуун шугамын O x тэнхлэгт налуу өнцгийг тэдгээрийн өнцгийн коэффициентээр тодорхойлох шаардлагатай. Хавтгай дээрх O x декартын координатын систем өгөгдсөн гэж үзье.

Тодорхойлолт 1

Шулуун шугамын O x тэнхлэгт налуугийн өнцөг,хавтгай дээрх декартын координатын систем O x y-д байрлах бөгөөд энэ нь O x эерэг чиглэлээс цагийн зүүний эсрэг шулуун шугам хүртэл хэмжигдэх өнцөг юм.

Шугаман нь O x-тэй параллель эсвэл түүнтэй давхцаж байвал налуугийн өнцөг 0 байна. Дараа нь өгөгдсөн шулуун шугамын хазайлтын өнцгийг α [ 0 , π) интервал дээр тодорхойлно.

Тодорхойлолт 2

Шууд налуунь өгөгдсөн шулуун шугамын налуу өнцгийн тангенс юм.

Стандарт тэмдэглэгээ нь k. Тодорхойлолтоос бид k = t g α болохыг олж мэднэ. Шугаман Үхэртэй параллель байвал тэд налуу байхгүй гэж хэлдэг, учир нь энэ нь хязгааргүйд хүрдэг.

Функцийн график өсөхөд налуу эерэг ба эсрэгээр байна. Зураг нь координатын системтэй харьцуулахад зөв өнцгийн байршлын янз бүрийн өөрчлөлтийг коэффициентийн утгатай харуулж байна.

Энэ өнцгийг олохын тулд өнцгийн коэффициентийн тодорхойлолтыг хэрэглэж, хавтгай дахь налуу өнцгийн тангенсыг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл

Нөхцөлөөс харахад α = 120 ° байна. Тодорхойлолтоор налууг тооцоолох ёстой. Үүнийг k = t g α = 120 = - 3 томъёоноос олъё.

Хариулт: k = - 3 .

Хэрэв өнцгийн коэффициент нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд абсцисса тэнхлэгт налуу өнцгийг олох шаардлагатай бол өнцгийн коэффициентийн утгыг харгалзан үзэх шаардлагатай. Хэрэв k > 0 бол тэгш өнцөг нь хурц байх ба α = a r c t g k томъёогоор олно. Хэрэв к< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Жишээ 2

Өгөгдсөн шулуун шугамын налуу өнцгийг 3 өнцгийн коэффициенттэй O x-д тодорхойлно.

Шийдэл

Бидэнд байгаа нөхцлөөс харахад өнцгийн коэффициент эерэг байх бөгөөд энэ нь Ox-ийн налуу өнцөг нь 90 градусаас бага байна гэсэн үг юм. α = a r c t g k = a r c t g 3 томъёог ашиглан тооцооллыг хийнэ.

Хариулт: α = a r c t g 3 .

Жишээ 3

Налуу = - 1 3 бол шулуун шугамын O x тэнхлэгт налуугийн өнцгийг ол.

Шийдэл

Хэрэв бид k үсгийг өнцгийн коэффициентийн тэмдэглэгээ болгон авбал α нь эерэг O x чиглэлд өгөгдсөн шулуун шугам руу налуугийн өнцөг юм. Эндээс k = - 1 3 байна< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

Хариулт: 5 π 6 .

k нь налуу, b нь зарим бодит тоо болох y = k x + b хэлбэрийн тэгшитгэлийг налуутай шулууны тэгшитгэл гэнэ. Тэгшитгэл нь O y тэнхлэгтэй параллель биш аливаа шулуун шугамын хувьд ердийн зүйл юм.

Хэрэв бид y = k x + b хэлбэртэй өнцгийн коэффициент бүхий тэгшитгэлээр тодорхойлогддог тогтмол координатын систем дэх хавтгай дээрх шулуун шугамыг нарийвчлан авч үзвэл. IN энэ тохиолдолдтэгшитгэл нь шулууны аль ч цэгийн координаттай тохирч байна гэсэн үг. Хэрэв бид M, M 1 (x 1, y 1) цэгийн координатыг y = k x + b тэгшитгэлд орлуулах юм бол энэ тохиолдолд шугам энэ цэгийг дайран өнгөрөх бөгөөд өөрөөр хэлбэл цэг нь шулуунд хамаарахгүй.

Жишээ 4

y = 1 3 x - 1 налуутай шулуун шугамыг өгөв. M 1 (3, 0) ба M 2 (2, - 2) цэгүүд өгөгдсөн шулуунд хамаарах эсэхийг тооцоол.

Шийдэл

Өгөгдсөн тэгшитгэлд M 1 (3, 0) цэгийн координатыг орлуулах шаардлагатай бөгөөд дараа нь бид 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0 болно. Тэгш байдал нь үнэн бөгөөд энэ нь цэг нь шугаманд харьяалагддаг гэсэн үг юм.

Хэрэв бид M 2 (2, - 2) цэгийн координатыг орлуулбал - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3 хэлбэрийн буруу тэгшитгэлийг авна. М 2 цэг нь шулуунд хамаарахгүй гэж бид дүгнэж болно.

Хариулт: M 1 нь мөрөнд хамаарах боловч M 2 нь хамаарахгүй.

М 1 (0, b) -ийг дайран өнгөрөх y = k · x + b тэгшитгэлээр тодорхойлогддог шугамыг орлуулснаар бид b = k · 0 + b ⇔ b = b хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авсан нь мэдэгдэж байна. Эндээс бид хавтгай дээрх өнцгийн коэффициент y = k x + b шулуун шугамын тэгшитгэл нь 0, b цэгийг дайран өнгөрөх шулууныг тодорхойлдог гэж дүгнэж болно. Энэ нь O x тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй α өнцөг үүсгэдэг бөгөөд k = t g α байна.

Жишээ болгон y = 3 · x - 1 хэлбэрээр заасан өнцгийн коэффициентийг ашиглан тодорхойлсон шулуун шугамыг авч үзье. О х тэнхлэгийн эерэг чиглэлд α = a r c t g 3 = π 3 радиан налуутай 0, - 1 координаттай цэгээр шулуун шугам өнгөрөх болно гэдгийг бид олж авна. Энэ нь коэффициент 3 гэдгийг харуулж байна.

Өгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх налуу бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл

M 1 (x 1, y 1) цэгийг дайран өнгөрөх өгөгдсөн налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авах шаардлагатай асуудлыг шийдвэрлэх шаардлагатай.

Шугаман M 1 (x 1, y 1) цэгийг дайран өнгөрдөг тул y 1 = k · x + b тэгшитгэлийг хүчинтэй гэж үзэж болно. b тоог арилгахын тулд та зүүн ба баруун талаас налуутай тэгшитгэлийг хасах хэрэгтэй. Үүнээс үзэхэд y - y 1 = k · (x - x 1) . Энэ тэгшитгэлийг M 1 (x 1, y 1) цэгийн координатыг дайран өнгөрөх өгөгдсөн k налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Жишээ 5

М 1 цэгийг дайран өнгөрөх координат (4, - 1), өнцгийн коэффициент нь - 2-той тэнцүү шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Нөхцөлөөр бид x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2 байна. Эндээс шугамын тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичнэ: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Хариулт: y = - 2 x + 7.

Жишээ 6

y = 2 x - 2 шулуунтай параллель координаттай (3, 5) M 1 цэгийг дайран өнгөрөх өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл

Нөхцөлийн дагуу бид зэрэгцээ шугамууд нь налуу өнцөгтэй давхцаж байгаа бөгөөд энэ нь өнцгийн коэффициентүүд тэнцүү гэсэн үг юм. Энэ тэгшитгэлээс налууг олохын тулд та түүний үндсэн томъёог санах хэрэгтэй y = 2 x - 2, үүнээс k = 2 байна. Бид налуугийн коэффициент бүхий тэгшитгэлийг үүсгэж, дараахь зүйлийг авна.

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Хариулт: y = 2 x - 1 .

Налуутай шулуун шугамын тэгшитгэлээс бусад төрлийн шулуун шугамын тэгшитгэл рүү шилжих ба буцах

Энэ тэгшитгэл нь тийм ч тохиромжтой бичигдээгүй тул асуудлыг шийдвэрлэхэд үргэлж тохирохгүй. Үүнийг хийхийн тулд та үүнийг өөр хэлбэрээр танилцуулах хэрэгтэй. Жишээлбэл, y = k · x + b хэлбэрийн тэгшитгэл нь шулуун шугамын чиглэлийн векторын координат эсвэл хэвийн векторын координатыг бичих боломжийг бидэнд олгодоггүй. Үүнийг хийхийн тулд та өөр төрлийн тэгшитгэлээр төлөөлж сурах хэрэгтэй.

Бид өнцгийн коэффициент бүхий шулууны тэгшитгэлийг ашиглан хавтгай дээрх шулууны каноник тэгшитгэлийг олж авч болно. Бид x - x 1 a x = y - y 1 a y болно. b-г зүүн тал руу шилжүүлж, үүссэн тэгш бус байдлын илэрхийллээр хуваах шаардлагатай. Дараа нь бид y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k хэлбэрийн тэгшитгэлийг авна.

Өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэл болсон каноник тэгшитгэлэнэ мөр.

Жишээ 7

y = - 3 x + 12 өнцгийн коэффициенттэй шулуун шугамын тэгшитгэлийг каноник хэлбэрт оруул.

Шийдэл

Үүнийг шулуун шугамын каноник тэгшитгэл хэлбэрээр тооцоолж үзүүлье. Бид дараах хэлбэрийн тэгшитгэлийг авна.

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = у - 12 - 3 ⇔ x 1 = у - 12 - 3

Хариулт: x 1 = y - 12 - 3.

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг y = k · x + b-ээс олж авахад хамгийн хялбар боловч үүний тулд хувиргалт хийх шаардлагатай: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Шугамын ерөнхий тэгшитгэлээс өөр төрлийн тэгшитгэл рүү шилжинэ.

Жишээ 8

y = 1 7 x - 2 хэлбэрийн шулуун шугамын тэгшитгэл өгөгдсөн. a → = (- 1, 7) координаттай вектор хэвийн шулуун вектор мөн эсэхийг олоорой?

Шийдэл

Үүнийг шийдэхийн тулд энэ тэгшитгэлийн өөр хэлбэр рүү шилжих шаардлагатай бөгөөд үүний тулд бид бичнэ.

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Хувьсагчдын өмнөх коэффициентууд нь шугамын хэвийн векторын координатууд юм. Үүнийг ингэж бичье: n → = 1 7, - 1, иймээс 1 7 x - y - 2 = 0. a → = (- 1, 7) вектор нь n → = 1 7, - 1 вектортой коллинеар байх нь ойлгомжтой, учир нь бид a → = - 7 · n → шударга харьцаатай байна. Эндээс үзэхэд анхны вектор a → = - 1, 7 нь 1 7 x - y - 2 = 0 шугамын хэвийн вектор бөгөөд энэ нь y = 1 7 x - 2 шугамын хэвийн вектор гэж тооцогддог гэсэн үг юм.

Хариулт:байна

Үүний урвуу асуудлыг шийдье.

B ≠ 0 байх A x + B y + C = 0 тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэрээс өнцгийн коэффициенттэй тэгшитгэл рүү шилжих шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд бид y-ийн тэгшитгэлийг шийднэ. Бид A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B авна.

Үр дүн нь - A B -тэй тэнцүү налуутай тэгшитгэл юм.

Жишээ 9

2 3 x - 4 y + 1 = 0 хэлбэрийн шулуун шугамын тэгшитгэл өгөгдсөн. Өнцгийн коэффициент бүхий өгөгдсөн шугамын тэгшитгэлийг ол.

Шийдэл

Нөхцөлд үндэслэн y-г шийдэх шаардлагатай бөгөөд дараа нь бид дараах хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авна.

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4.

Хариулт: y = 1 6 x + 1 4 .

x a + y b = 1 хэлбэрийн тэгшитгэлийг ижил төстэй аргаар шийддэг бөгөөд үүнийг сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. каноник төрөл x - x 1 a x = y - y 1 a y . Бид үүнийг y-ийн хувьд шийдэх хэрэгтэй, зөвхөн дараа нь бид налуутай тэгшитгэлийг авна.

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

Каноник тэгшитгэлийг өнцгийн коэффициент бүхий хэлбэр болгон бууруулж болно. Үүнийг хийхийн тулд:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

Жишээ 10

x 2 + y - 3 = 1 тэгшитгэлээр өгөгдсөн шулуун шугам байна. Өнцгийн коэффициент бүхий тэгшитгэлийн хэлбэрт оруул.

Шийдэл.

Нөхцөлд үндэслэн хувиргах шаардлагатай бөгөөд дараа нь бид томьёо хэлбэрийн тэгшитгэлийг олж авна. Шаардлагатай налуу тэгшитгэлийг авахын тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг - 3-аар үржүүлэх шаардлагатай. Хувиргаснаар бид дараахь зүйлийг авна.

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3.

Хариулт: y = 3 2 x - 3 .

Жишээ 11

x - 2 2 = y + 1 5 хэлбэрийн шулуун шугамын тэгшитгэлийг өнцгийн коэффициенттэй хэлбэр болгон бууруул.

Шийдэл

x - 2 2 = y + 1 5 илэрхийлэлийг пропорциональ байдлаар тооцоолох шаардлагатай. Бид 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) болно. Одоо үүнийг хийхийн тулд та үүнийг бүрэн идэвхжүүлэх хэрэгтэй:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 у + 2 ⇔ 2 у = 5 x - 12 ⇔ у = 5 2 х

Хариулт: y = 5 2 x - 6 .

Ийм асуудлыг шийдэхийн тулд x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ хэлбэрийн шугамын параметрийн тэгшитгэлийг шугамын каноник тэгшитгэлд буулгах шаардлагатай бөгөөд үүний дараа л тэгшитгэл рүү шилжиж болно. налуугийн коэффициент.

Жишээ 12

x = λ y = - 1 + 2 · λ параметрт тэгшитгэлээр өгөгдсөн шугамын налууг ол.

Шийдэл

Параметрийн үзэмжээс налуу руу шилжих шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд бид өгөгдсөн параметрээс каноник тэгшитгэлийг олно.

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Одоо өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг олж авахын тулд энэ тэгшитгэлийг y-тэй холбоотой шийдвэрлэх шаардлагатай байна. Үүнийг хийхийн тулд дараах байдлаар бичье.

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Үүнээс үзэхэд шугамын налуу нь 2 байна. Үүнийг k = 2 гэж бичнэ.

Хариулт: k = 2.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Хавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл.
Чиглэлийн вектор шулуун байна. Ердийн вектор

Хавтгай дээрх шулуун шугам бол хамгийн энгийн шугамуудын нэг юм геометрийн хэлбэрүүд, тэр цагаас хойш танд танил болсон бага ангиуд, мөн өнөөдөр бид аналитик геометрийн аргуудыг ашиглан үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно. Материалыг эзэмшихийн тулд та шулуун шугам барих чадвартай байх ёстой; Шулуун шугамыг, ялангуяа координатын эхийг дайран өнгөрөх шулуун ба координатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг ямар тэгшитгэлээр тодорхойлохыг мэдэх. Энэ мэдээлэлгарын авлагаас олж болно График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд, Би үүнийг Матанд зориулж бүтээсэн боловч шугаман функцийн тухай хэсэг нь маш амжилттай, дэлгэрэнгүй болсон. Иймд эрхэм цайны савнуудаа эхлээд тэндээ дулаацаарай. Үүнээс гадна, та үндсэн мэдлэгтэй байх ёстой векторууд, эс бөгөөс материалын талаарх ойлголт бүрэн бус байх болно.

Асаалттай энэ хичээлХавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэлийг үүсгэх аргуудыг бид авч үзэх болно. Би практик жишээг үл тоомсорлохгүй байхыг зөвлөж байна (энэ нь маш энгийн мэт санагдаж байсан ч), учир нь би тэдэнд анхан шатны болон чухал баримтууд, техникийн аргууд, энэ нь ирээдүйд, түүний дотор дээд математикийн бусад хэсгүүдэд шаардагдах болно.

• Өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?
• Яаж ?
• Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг ашиглан чиглэлийн векторыг хэрхэн олох вэ?
• Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

мөн бид эхэлнэ:

Налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл

Шулуун шугамын тэгшитгэлийн алдартай "сургууль" хэлбэрийг нэрлэдэг налуутай шулуун шугамын тэгшитгэл. Жишээлбэл, шулуун шугамыг тэгшитгэлээр өгвөл түүний налуу нь: . Ингээд авч үзье геометрийн утгаЭнэ коэффициент ба түүний утга нь шугамын байршилд хэрхэн нөлөөлдөг вэ:

Энэ нь геометрийн хичээлээр батлагдсан шулуун шугамын налуу нь тэнцүү байна өнцгийн тангенсэерэг тэнхлэгийн чиглэлийн хоорондмөн энэ мөр: , ба өнцөг нь цагийн зүүний эсрэг "эрэг тайлна".

Зургийг эмх замбараагүй болгохгүйн тулд би зөвхөн хоёр шулуун шугамын өнцгийг зурсан. "Улаан" шугам ба түүний налууг авч үзье. Дээр дурдсанчлан: ("альфа" өнцгийг ногоон нумаар заана). Өнцгийн коэффициент бүхий "цэнхэр" шулуун шугамын хувьд тэгш байдал нь үнэн юм ("бета" өнцгийг хүрэн нумаар тэмдэглэсэн). Хэрэв өнцгийн тангенс мэдэгдэж байгаа бол шаардлагатай бол олоход хялбар болно мөн булан өөрөөашиглан урвуу функц- артангенс. Тэдний хэлснээр таны гарт тригонометрийн хүснэгт эсвэл микро тооцоолуур байдаг. Тиймээс, өнцгийн коэффициент нь абсцисса тэнхлэгт шулуун шугамын хазайлтын түвшинг тодорхойлдог..

Дараах тохиолдлууд боломжтой.

1) Хэрэв налуу нь сөрөг байвал: шугам нь дээрээс доошоо явна. Жишээ нь зураг дээрх "цэнхэр", "бөөрөлзгөнө" шулуун шугамууд юм.

2) Хэрэв налуу эерэг байвал: шугам нь доороос дээш гарна. Жишээ нь зураг дээрх "хар", "улаан" шулуун шугамууд.

3) Хэрэв налуу нь тэг бол: , тэгшитгэл нь хэлбэрийг авах ба харгалзах шулуун шугам нь тэнхлэгтэй параллель байна. Жишээ нь "шар" шулуун шугам юм.

4) Тэнхлэгтэй параллель шугамын гэр бүлийн хувьд (зураг дээр тэнхлэгээс бусад жишээ байхгүй) өнцгийн коэффициент байхгүй (90 градусын тангенс тодорхойлогдоогүй).

Налуугийн коэффициент үнэмлэхүй утгаараа их байх тусам шулуун шугамын график илүү эгц болно..

Жишээлбэл, хоёр шулуун шугамыг авч үзье. Тиймээс энд шулуун шугам нь илүү эгц налуутай байна. Модуль нь тэмдгийг үл тоомсорлох боломжийг олгодог гэдгийг танд сануулъя, бид зөвхөн сонирхож байна үнэмлэхүй утгуудөнцгийн коэффициентүүд.

Хариуд нь шулуун шугам нь шулуун шугамаас илүү эгц байдаг .

Эсрэгээр нь: налуугийн коэффициент үнэмлэхүй утгын хувьд бага байх тусам шулуун шугам илүү тэгш болно.

Шулуун шугамын хувьд тэгш бус байдал үнэн тул шулуун шугам илүү тэгш байна. Өөртөө хөхөрсөн, овойлт өгөхгүйн тулд хүүхдийн слайд.

Энэ яагаад хэрэгтэй вэ?

Зовлон зүдгүүрээ уртасга. Дээрх баримтуудын талаархи мэдлэг нь таны алдаа, тухайлбал график байгуулах явцад гарсан алдааг шууд харах боломжийг олгодог - хэрэв зураг нь "мэдээж буруу" байвал. Энэ нь танд зөвлөж байна шууджишээ нь, шулуун шугам нь маш эгц бөгөөд доороос дээш явдаг, шулуун шугам нь маш хавтгай, тэнхлэгт ойрхон дарагдсан, дээрээс доошоо явдаг нь тодорхой байв.

Геометрийн асуудлуудад хэд хэдэн шулуун шугамууд ихэвчлэн гарч ирдэг тул тэдгээрийг ямар нэгэн байдлаар тодорхойлоход тохиромжтой.

Тэмдэглэлүүд: шулуун шугамыг жижиг латин үсгээр тэмдэглэнэ: . Түгээмэл сонголт бол тэдгээрийг байгалийн доод үсэгтэй ижил үсгээр тэмдэглэх явдал юм. Жишээлбэл, бидний сая үзсэн таван мөрийг дараах байдлаар тэмдэглэж болно .

Аливаа шулуун шугам нь хоёр цэгээр тодорхойлогддог тул дараахь цэгүүдээр тэмдэглэж болно. гэх мэт. Тэмдэглэгээ нь цэгүүд нь шугаманд хамаарахыг тодорхой харуулж байна.

Бага зэрэг дулаарах цаг боллоо:

Өнцгийн коэффициент бүхий шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв тодорхой шугамд хамаарах цэг ба энэ шугамын өнцгийн коэффициент нь мэдэгдэж байгаа бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Жишээ 1

Тухайн цэг нь өгөгдсөн шулуунд хамаарах нь мэдэгдэж байгаа бол налуу шугамын тэгшитгэлийг бич.

Шийдэл: Томъёог ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя . Энэ тохиолдолд:

Хариулт:

Шалгалтэнгийн байдлаар хийгддэг. Эхлээд бид үүссэн тэгшитгэлийг хараад бидний налуу байгаа эсэхийг шалгаарай. Хоёрдугаарт, цэгийн координатууд хангагдсан байх ёстой энэ тэгшитгэл. Тэдгээрийг тэгшитгэлд оруулъя:

Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд энэ нь цэг нь үүссэн тэгшитгэлийг хангаж байна гэсэн үг юм.

Дүгнэлт: Тэгшитгэл зөв олдсон.

Өөрөө шийдэх илүү төвөгтэй жишээ:

Жишээ 2

Шулуун шугамын тэнхлэгийн эерэг чиглэлд хазайх өнцөг нь , цэг нь энэ шулуунд хамаарах нь мэдэгдэж байвал түүний тэгшитгэлийг бич.

Хэрэв танд бэрхшээл тулгарвал онолын материалыг дахин уншина уу. Илүү нарийн, илүү практик, би маш олон нотлох баримтыг алгасдаг.

Дуугарлаа сүүлчийн дуудлага, төгсөлтийн үдэшлэг болж, манай төрөлх сургуулийн хаалганы гадна аналитик геометр биднийг хүлээж байна. онигоо дууслаа... Эсвэл тэд дөнгөж эхэлж байгаа байх =)

Бид танил тал руугаа үзгээ даллаж, шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлтэй танилцдаг. Учир нь аналитик геометрт үүнийг яг ашигладаг:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна: , зарим тоо хаана байна. Үүний зэрэгцээ коэффициентүүд нэгэн зэрэгтэгшитгэл утгаа алддаг тул тэгтэй тэнцүү биш байна.

Костюм өмсөж, тэгшитгэлийг налуугийн коэффициенттэй холбоно. Эхлээд бүх нэр томъёог зүүн тал руу шилжүүлье:

"X" бүхий нэр томъёог эхний ээлжинд оруулах ёстой:

Зарчмын хувьд тэгшитгэл нь аль хэдийн хэлбэртэй байна , гэхдээ математикийн ёс зүйн дүрмийн дагуу эхний нэр томъёоны коэффициент (энэ тохиолдолд) эерэг байх ёстой. Өөрчлөгдсөн тэмдгүүд:

Энэ техникийн шинж чанарыг санаарай!Бид эхний коэффициентийг (ихэнхдээ) эерэг болгодог!

Аналитик геометрийн хувьд шулуун шугамын тэгшитгэлийг бараг үргэлж өгдөг ерөнхий хэлбэр. За, шаардлагатай бол өнцгийн коэффициент бүхий "сургууль" хэлбэрт амархан буулгаж болно (ординатын тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамуудаас бусад).

Юу гэж өөрөөсөө асууцгаая хангалттайшулуун шугам барихыг мэдэх үү? Хоёр оноо. Гэхдээ энэ бага насны үйл явдлын талаар одоо сумны дүрмийг баримталж байна. Шулуун шугам бүр нь маш тодорхой налуутай байдаг бөгөөд үүнийг "дасан зохицоход" хялбар байдаг. вектор.

Шугамтай параллель байх векторыг тухайн шугамын чиглэлийн вектор гэнэ. Аливаа шулуун шугамд хязгааргүй тооны чиглэлийн векторууд байдаг бөгөөд тэдгээр нь бүгд хоорондоо уялдаа холбоотой байх нь ойлгомжтой (хамтарсан чиглэлтэй эсэх нь хамаагүй).

Би чиглэлийн векторыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ: .

Гэхдээ нэг вектор нь шулуун шугам барихад хангалтгүй бөгөөд вектор нь чөлөөтэй бөгөөд хавтгайн аль ч цэгтэй холбогддоггүй. Тиймээс шугамд хамаарах зарим цэгийг мэдэх шаардлагатай.

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв шугамд хамаарах тодорхой цэг ба энэ шугамын чиглэлийн векторыг мэддэг бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор эмхэтгэж болно.

Заримдаа үүнийг дууддаг шугамын каноник тэгшитгэл .

Хэзээ юу хийх вэ координатуудын нэгтэгтэй тэнцүү бол бид доорх практик жишээн дээр ойлгох болно. Дашрамд хэлэхэд, анхаарна уу - хоёулаа нэгэн зэрэгТэг вектор нь тодорхой чиглэлийг заагаагүй тул координатууд тэгтэй тэнцүү байж болохгүй.

Жишээ 3

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич

Шийдэл: Томъёог ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя. Энэ тохиолдолд:

Пропорцын шинж чанарыг ашиглан бид бутархай хэсгүүдээс сална.

Мөн бид тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрт нь авчирдаг:

Хариулт:

Дүрмээр бол ийм жишээн дээр зураг зурах шаардлагагүй, гэхдээ ойлгохын тулд:

Зураг дээр бид эхлэлийн цэг, анхны чиглэлийн вектор (үүнийг хавтгайн аль ч цэгээс зурж болно) болон баригдсан шулуун шугамыг харж байна. Дашрамд хэлэхэд, олон тохиолдолд өнцгийн коэффициент бүхий тэгшитгэлийг ашиглан шулуун шугам барих нь хамгийн тохиромжтой байдаг. Бидний тэгшитгэлийг хэлбэрт шилжүүлэхэд хялбар бөгөөд шулуун шугам барих өөр цэгийг сонгоход хялбар байдаг.

Догол мөрний эхэнд дурьдсанчлан шулуун шугам нь хязгааргүй олон чиглэлийн векторуудтай бөгөөд тэдгээр нь бүгд коллинеар байдаг. Жишээлбэл, би ийм гурван вектор зурсан: . Ямар ч чиглэлийн векторыг сонгохоос үл хамааран үр дүн нь үргэлж ижил шулуун шугамын тэгшитгэл байх болно.

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулъя:

Пропорцийг шийдвэрлэх:

Хоёр талыг -2-т хувааж, танил тэгшитгэлийг ол.

Сонирхсон хүмүүс векторуудыг ижил аргаар шалгаж болно эсвэл бусад коллинеар вектор.

Одоо урвуу асуудлыг шийдье:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг ашиглан чиглэлийн векторыг хэрхэн олох вэ?

Маш энгийн:

Тэгш өнцөгт координатын системд шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр өгсөн бол вектор нь энэ шулууны чиглэлийн вектор болно.

Шулуун шугамын чиглэлийн векторуудыг олох жишээ:

Энэхүү мэдэгдэл нь бидэнд хязгааргүй тооноос зөвхөн нэг чиглэлийн векторыг олох боломжийг олгодог боловч бидэнд илүү их зүйл хэрэггүй. Хэдийгээр зарим тохиолдолд чиглэлийн векторуудын координатыг багасгахыг зөвлөж байна.

Тиймээс тэгшитгэл нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зааж өгсөн бөгөөд үүссэн чиглэлийн векторын координатыг -2-т хувааснаар яг үндсэн векторыг чиглэлийн вектор болгон авна. Логик.

Үүний нэгэн адил тэгшитгэл нь тэнхлэгтэй параллель шулуун шугамыг зааж өгөх бөгөөд векторын координатыг 5-д хуваах замаар бид нэгж векторыг чиглэлийн вектор болгон авна.

Одоо хийцгээе Жишээ 3-ыг шалгаж байна. Жишээ нь дээшилсэн тул бид цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг эмхэтгэсэн гэдгийг би танд сануулж байна.

Нэгдүгээрт, шулуун шугамын тэгшитгэлийг ашиглан бид түүний чиглэлийн векторыг сэргээнэ. – бүх зүйл хэвийн байна, бид анхны векторыг хүлээн авлаа (зарим тохиолдолд үр дүн нь анхныхтай коллинеар вектор байж болох бөгөөд үүнийг харгалзах координатуудын пропорциональ байдлаар анзаарахад хялбар байдаг).

Хоёрдугаарт, цэгийн координат нь тэгшитгэлийг хангах ёстой. Бид тэдгээрийг тэгшитгэлд орлуулна:

Зөв тэгш байдлыг олж авсан бөгөөд үүнд бид маш их баяртай байна.

Дүгнэлт: Даалгаврыг зөв гүйцэтгэсэн.

Жишээ 4

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна. Сая ярилцсан алгоритмыг ашиглан шалгахыг зөвлөж байна. Ноорог үргэлж (боломжтой бол) шалгахыг хичээ. 100% зайлсхийх боломжтой алдаа гаргах нь тэнэг хэрэг.

Хэрэв чиглэлийн векторын координатуудын аль нэг нь тэг байвал маш энгийнээр ажиллана уу:

Жишээ 5

Шийдэл: Баруун талын хуваагч нь тэг учраас томьёо тохиромжгүй. Гарах гарц байна! Пропорцын шинж чанарыг ашиглан бид томъёог хэлбэрээр дахин бичиж, үлдсэн хэсэг нь гүн нүхний дагуу эргэлддэг.

Хариулт:

Шалгалт:

1) Шугамын чиглүүлэх векторыг сэргээнэ үү:
– үүссэн вектор нь анхны чиглэлийн вектортой коллинеар байна.

2) Тэгшитгэлд цэгийн координатыг орлуулна.

Зөв тэгш байдлыг олж авна

Дүгнэлт: даалгаврыг зөв гүйцэтгэсэн

Ямар ч тохиолдолд ажиллах бүх нийтийн хувилбар байгаа бол яагаад томьёогоор санаа зовох ёстой вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ. Хоёр шалтгаан бий. Нэгдүгээрт, томъёо нь бутархай хэлбэртэй байна илүү сайн санаж байна. Хоёрдугаарт, бүх нийтийн томъёоны сул тал нь төөрөлдөх эрсдэл ихээхэн нэмэгддэгкоординатыг орлуулах үед.

Жишээ 6

Цэг ба чиглэлийн векторыг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.

Хаа сайгүй байдаг хоёр цэг рүү буцъя:

Хоёр цэгийг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв хоёр цэг мэдэгдэж байгаа бол эдгээр цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор эмхэтгэж болно.

Үнэн хэрэгтээ энэ бол томъёоны нэг төрөл бөгөөд яагаад гэвэл: хэрэв хоёр цэг мэдэгдэж байгаа бол вектор нь өгөгдсөн шугамын чиглэлийн вектор байх болно. Ангид Дамми нарт зориулсан векторуудбид авч үзсэн хамгийн энгийн даалгавар– хоёр цэгээс векторын координатыг хэрхэн олох вэ. Энэ асуудлын дагуу чиглэлийн векторын координатууд нь:

Анхаарна уу : цэгүүдийг "солих" боломжтой бөгөөд томъёог ашиглаж болно . Ийм шийдэл нь тэнцүү байх болно.

Жишээ 7

Хоёр цэгийг ашиглан шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич .

Шийдэл: Бид томъёог ашигладаг:

Хуваарилагчдыг нэгтгэх нь:

Тэгээд тавцангаа холь:

Одоо бутархай тооноос салах цаг болжээ. Энэ тохиолдолд та хоёр талыг 6-аар үржүүлэх хэрэгтэй.

Хаалтуудыг нээгээд тэгшитгэлийг сана:

Хариулт:

ШалгалтЭнэ нь тодорхой байна - эхний цэгүүдийн координатууд нь үүссэн тэгшитгэлийг хангах ёстой.

1) Цэгийн координатыг орлуулна уу:

Жинхэнэ тэгш байдал.

2) Цэгийн координатыг орлуулна уу:

Жинхэнэ тэгш байдал.

Дүгнэлт: Шугамын тэгшитгэл зөв бичигдсэн байна.

Хэрэв ядаж нэгоноо нь тэгшитгэлийг хангахгүй бол алдааг хай.

Шулуун шугам барьж, цэгүүд нь түүнд хамаарах эсэхийг харах тул энэ тохиолдолд график баталгаажуулалт хийхэд хэцүү гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. , тийм ч энгийн биш.

Би шийдлийн хэд хэдэн техникийн талыг тэмдэглэх болно. Магадгүй энэ асуудалд толин тусгал томъёог ашиглах нь илүү ашигтай байж болох юм мөн ижил цэгүүдэд тэгшитгэл хийх:

Цөөн тооны бутархай. Хэрэв та хүсвэл шийдлийг эцэс хүртэл хийж болно, үр дүн нь ижил тэгшитгэлтэй байх ёстой.

Хоёрдахь зүйл бол эцсийн хариултыг харж, үүнийг илүү хялбарчилж болох эсэхийг олж мэдэх явдал юм. Жишээлбэл, хэрэв та тэгшитгэлийг олж авбал үүнийг хоёроор багасгахыг зөвлөж байна: - тэгшитгэл нь ижил шулуун шугамыг тодорхойлно. Гэсэн хэдий ч энэ бол аль хэдийн ярианы сэдэв юм шугамын харьцангуй байрлал.

Хариуг нь хүлээж авлаа Жишээ 7-д, би тэгшитгэлийн БҮХ коэффициентүүд 2, 3 эсвэл 7-д хуваагдах эсэхийг шалгасан. Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ ийм бууралтыг шийдлийн явцад хийдэг.

Жишээ 8

Цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулууны тэгшитгэлийг бич .

Энэ бол тооцооны техникийг илүү сайн ойлгож, дадлага хийх боломжийг танд олгох бие даасан шийдлийн жишээ юм.

Өмнөх догол мөртэй төстэй: хэрэв томъёонд байгаа бол хуваагчдын нэг нь (чиглэлийн векторын координат) тэг болж, бид үүнийг хэлбэрээр дахин бичнэ. Дахин хэлэхэд тэр ямар эвгүй, будлиантай харагдаж байгааг анзаараарай. Бид энэ асуудлыг аль хэдийн шийдэж чадсан тул практик жишээ өгөх нь утгагүй гэж би олж харахгүй байна (№ 5, 6-г үзнэ үү).

Шууд хэвийн вектор (хэвийн вектор)

Ердийн гэж юу вэ? Энгийн үгээр хэлбэл, хэвийн нь перпендикуляр. Өөрөөр хэлбэл, шугамын хэвийн вектор нь өгөгдсөн шулуунд перпендикуляр байна. Мэдээжийн хэрэг, дурын шулуун шугамд хязгааргүй тооны (түүнчлэн чиглэлийн векторууд) байдаг бөгөөд шулуун шугамын бүх хэвийн векторууд нь коллинеар байх болно (хоорондын чиглэлтэй эсэх нь ялгаагүй).

Тэдэнтэй харьцах нь чиглүүлэгч векторуудтай харьцуулахад илүү хялбар байх болно:

Тэгш өнцөгт координатын системд шугамыг ерөнхий тэгшитгэлээр өгсөн бол вектор нь энэ шулууны хэвийн вектор болно.

Хэрэв чиглэлийн векторын координатыг тэгшитгэлээс болгоомжтой "сугалах" шаардлагатай бол хэвийн векторын координатыг зүгээр л "арилгаж" болно.

Хэвийн вектор нь шугамын чиглэлийн вектортой үргэлж ортогональ байна. Эдгээр векторуудын ортогональ байдлыг ашиглан шалгацгаая цэгийн бүтээгдэхүүн:

Би чиглэлийн вектортой ижил тэгшитгэл бүхий жишээг өгөх болно.

Нэг цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг байгуулах боломжтой юу? Би үүнийг гэдэс дотроо мэдэрч байна, энэ нь боломжтой. Хэрэв хэвийн вектор нь мэдэгдэж байгаа бол шулуун шугамын чиглэл өөрөө тодорхой тодорхойлогддог - энэ нь 90 градусын өнцөг бүхий "хатуу бүтэц" юм.

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн бичих вэ?

Хэрэв шугамд хамаарах тодорхой цэг ба энэ шугамын хэвийн векторыг мэддэг бол энэ шугамын тэгшитгэлийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.

Энд бүх зүйл бутархай болон бусад гэнэтийн зүйлгүйгээр бүтсэн. Энэ бол бидний ердийн вектор юм. Түүнийг хайрла. Бас хүндэлдэг =)

Жишээ 9

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич. Шугамын чиглэлийн векторыг ол.

Шийдэл: Бид томъёог ашигладаг:

Шулуун шугамын ерөнхий тэгшитгэлийг олж авлаа, шалгацгаая.

1) Тэгшитгэлээс хэвийн векторын координатыг "хасах": – тийм ээ, үнэхээр анхны векторыг нөхцөлөөс авсан (эсвэл коллинеар векторыг авах ёстой).

2) Цэг нь тэгшитгэлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгацгаая.

Жинхэнэ тэгш байдал.

Тэгшитгэл зөв зохиогдсон гэдэгт итгэлтэй болсны дараа бид даалгаврын хоёр дахь, хялбар хэсгийг дуусгах болно. Бид шулуун шугамын чиглүүлэгч векторыг гаргаж авдаг.

Хариулт:

Зураг дээр нөхцөл байдал дараах байдалтай байна.

Сургалтын зорилгоор бие даан шийдвэрлэх ижил төстэй даалгавар:

Жишээ 10

Цэг ба хэвийн вектор өгөгдсөн шулуун шугамын тэгшитгэлийг бич. Шугамын чиглэлийн векторыг ол.

Хичээлийн эцсийн хэсэг нь бага нийтлэг зүйлд зориулагдсан болно, гэхдээ бас чухал төрөлхавтгай дээрх шулуун шугамын тэгшитгэл

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл.
Параметр хэлбэрийн шугамын тэгшитгэл

Сегмент дэх шулуун шугамын тэгшитгэл нь тэгээс өөр тогтмолууд гэсэн хэлбэртэй байна. Зарим төрлийн тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй, жишээлбэл, шууд пропорциональ (чөлөөт нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд баруун талд нь нэгийг авах арга байхгүй).

Энэ нь дүрслэлээр хэлбэл "техникийн" төрлийн тэгшитгэл юм. Нийтлэг даалгавар бол хийх явдал юм ерөнхий тэгшитгэлшугамыг сегмент дэх шугамын тэгшитгэл хэлбэрээр илэрхийлнэ. Энэ нь хэр тохиромжтой вэ? Сегмент дэх шугамын тэгшитгэл нь шугамын огтлолцох цэгүүдийг хурдан олох боломжийг олгодог координатын тэнхлэгүүд, энэ нь дээд математикийн зарим асуудалд маш чухал байж болох юм.

Шугамын тэнхлэгтэй огтлолцох цэгийг олъё. Бид "y"-г тэг болгож, тэгшитгэл нь хэлбэрийг авна. Хүссэн цэгийг автоматаар авна: .

Тэнхлэгтэй адилхан – шулуун шугамын ординатын тэнхлэгтэй огтлолцох цэг.

Функцийн деривативыг авч сурах.Дериватив нь энэ функцийн график дээр байрлах тодорхой цэг дэх функцийн өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог. Энэ тохиолдолд график нь шулуун эсвэл муруй шугам байж болно. Өөрөөр хэлбэл дериватив нь тодорхой цаг хугацааны функцийн өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог. Санаж байна уу ерөнхий дүрэм, ямар деривативуудыг авч, зөвхөн дараа нь дараагийн алхам руу шилжинэ.

• Нийтлэлийг уншина уу.
• Хамгийн энгийн деривативыг яаж авах вэ, жишээ нь дериватив экспоненциал тэгшитгэл, тайлбарласан. Дараах алхмуудад үзүүлсэн тооцооллыг түүн дээр дурдсан аргууд дээр үндэслэн хийх болно.

Функцийн деривативаар налуугийн коэффициентийг тооцоолох шаардлагатай бодлогуудыг ялгаж сур.Бодлого нь функцийн налуу эсвэл деривативыг олохыг үргэлж шаарддаггүй. Жишээлбэл, А(x,y) цэг дээрх функцийн өөрчлөлтийн хурдыг олохыг танаас асууж болно. Мөн танаас A(x,y) цэг дээрх шүргэгчийн налууг олохыг шаардаж болно. Аль ч тохиолдолд функцийн деривативыг авах шаардлагатай.

Танд өгсөн функцийн деривативыг ав.Энд график байгуулах шаардлагагүй - танд зөвхөн функцийн тэгшитгэл хэрэгтэй. Бидний жишээнд функцийн деривативыг ав. Дээр дурдсан нийтлэлд дурдсан аргуудын дагуу деривативыг авна уу.

• Дериватив:

Налууг тооцоолохдоо олсон деривативт өгсөн цэгийн координатыг орлуулна.Функцийн дериватив нь тодорхой цэг дэх налуутай тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, f"(x) нь аль ч цэг дэх (x,f(x)) функцийн налуу юм. Бидний жишээнд:

• Функцийн налууг ол f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) A(4,2) цэг дээр.
• Функцийн дериватив:
  • f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
• Энэ цэгийн "x" координатын утгыг орлуулна уу.
  • f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
• Налууг ол:
• Налуугийн функц f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) A(4,2) цэг дээр 22-той тэнцүү байна.

Боломжтой бол хариултаа графикаар шалгана уу.Бүх цэг дээр налууг тооцоолох боломжгүй гэдгийг санаарай. Дифференциал тооцоог шалгадаг нарийн төвөгтэй функцуудмөн нарийн төвөгтэй графикууд нь цэг бүрт налууг тооцоолох боломжгүй, зарим тохиолдолд цэгүүд нь графикууд дээр огт хэвтдэггүй. Боломжтой бол график тооцоолуур ашиглан танд өгсөн функцийн налуу зөв эсэхийг шалгаарай. Үгүй бол график дээр өгөгдсөн цэг дээр шүргэгч зурж, таны олсон налуугийн утга график дээр харагдаж буйтай таарч байгаа эсэхийг бодоорой.

• Шүргэх нь тодорхой цэг дэх функцийн графиктай ижил налуутай байна. Өгөгдсөн цэг дээр шүргэгч зурахын тулд X тэнхлэг дээр зүүн/баруун тийш (бидний жишээнд 22 утгыг баруун тийш) хөдөлгөж, дараа нь Y тэнхлэгт нэгийг нь тэмдэглээд дараа нь холбоно танд өгсөн оноо. Бидний жишээн дээр цэгүүдийг (4,2) ба (26,3) координаттай холбоно.