Мэдээжийн хэрэг, вектор бүтээгдэхүүний хувьд векторуудыг авах дараалал чухал бөгөөд үүнээс гадна,
Мөн тодорхойлолтоос шууд үзэхэд аливаа скаляр хүчин зүйлийн k (тоо) нь дараах үнэн байна.
Коллинеар векторуудын хөндлөн үржвэр нь тэг вектортой тэнцүү байна. Түүнээс гадна, вектор бүтээгдэхүүнХоёр векторын тоо нь 0-тэй тэнцүү бөгөөд хэрэв тэдгээр нь зөвхөн коллинеар байвал. (Тэдгээрийн аль нэг нь тэг вектор бол тэг вектор нь тодорхойлолтоор ямар ч вектортой коллинеар гэдгийг санах хэрэгтэй).
Вектор бүтээгдэхүүн байна хуваарилах өмч, тэр нь
Векторын координатаар вектор үржвэрийг илэрхийлэх.
Хоёр вектор өгье
(векторын координатыг түүний эхлэл ба төгсгөлийн координатаас хэрхэн олох вэ - векторын цэгийн үржвэр, цэгийн үржвэрийн өөр тодорхойлолт, эсвэл тэдгээрийн координатаар заасан хоёр векторын цэгийн үржвэрийг тооцоолох нийтлэлийг үзнэ үү.)
Яагаад танд вектор бүтээгдэхүүн хэрэгтэй байна вэ?
Хөндлөн үржвэрийг ашиглах олон арга байдаг, жишээлбэл, дээр бичсэнчлэн хоёр векторын хөндлөн үржвэрийг тооцоолох замаар тэдгээр нь коллинеар байгаа эсэхийг олж мэдэх боломжтой.
Эсвэл эдгээр векторуудаас баригдсан параллелограммын талбайг тооцоолох арга болгон ашиглаж болно. Тодорхойлолт дээр үндэслэн үүссэн векторын урт нь өгөгдсөн параллелограммын талбай юм.
Мөн асар их хэмжээхэрэглээ нь цахилгаан ба соронзонд байдаг.Онлайн вектор бүтээгдэхүүний тооцоолуур.
Энэхүү тооцоолуурыг ашиглан хоёр векторын скаляр үржвэрийг олохын тулд эхний мөрөнд эхний векторын координатыг дарааллаар нь оруулах шаардлагатай. хоёр дахь - хоёр дахь. Векторуудын координатыг тэдгээрийн эхлэл ба төгсгөлийн координатаас тооцоолж болно (өгүүллийг үзнэ үү Векторуудын цэгийн үржвэр, зүйл Цэгэн үржвэрийн өөр тодорхойлолт, эсвэл координатаар нь өгөгдсөн хоёр векторын цэгийн үржвэрийг тооцоолох.)
Өгсөн онлайн тооцоолуурвекторуудын хөндлөн үржвэрийг тооцоолно. Өгсөн нарийвчилсан шийдэл. Векторуудын хөндлөн үржвэрийг тооцоолохын тулд нүднүүдэд векторуудын координатыг оруулаад "Тооцоолох" товчийг дарна уу.
×
Анхааруулга
Бүх нүдийг арилгах уу?
Цэвэр хаах
Өгөгдөл оруулах заавар.Тоонуудыг бүхэл тоо (жишээ нь: 487, 5, -7623 гэх мэт), аравтын бутархай (жишээ нь. 67., 102.54 гэх мэт) эсвэл бутархай хэлбэрээр оруулна. Бутархайг a/b хэлбэрээр оруулах ёстой бөгөөд a ба b (b>0) нь бүхэл тоо эсвэл аравтын тоо юм. Жишээ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 гэх мэт.
Векторуудын вектор бүтээгдэхүүн
Векторуудын вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолт руу шилжихээсээ өмнө ойлголтуудыг авч үзье захиалгат вектор гурвалсан, зүүн вектор гурвалсан, баруун вектор гурвалсан.
Тодорхойлолт 1. Гурван векторыг нэрлэдэг гурав дахин захиалсан(эсвэл гурвалсан), хэрэв эдгээр векторуудын аль нь эхнийх, аль нь хоёрдугаарт, аль нь гурав дахь нь болохыг зааж өгсөн бол.
Бичлэг cba- эхнийх нь вектор гэсэн үг в, хоёр дахь нь вектор юм бгурав дахь нь вектор юм а.
Тодорхойлолт 2. Хавсарсан бус векторуудын гурвалсан тоо abcгэж нэрлэдэг баруун (зүүн) бол, буурсан үед ерөнхий эхлэл, эдгээр векторууд нь баруун (зүүн) гарны том, нугалсан долоовор болон дунд хуруунууд байрладагтай ижил байдлаар байрладаг.
2-р тодорхойлолтыг өөрөөр томъёолж болно.
Тодорхойлолт 2". Хавсарсан бус векторуудын гурвалсан abcХэрэв нийтлэг гарал үүсэлтэй болвол векторыг баруун (зүүн) гэж нэрлэдэг ввекторуудаар тодорхойлогдсон хавтгайн нөгөө талд байрлана аТэгээд б, хамгийн богино эргэлт хаанаас байна аруу бцагийн зүүний эсрэг (цагийн зүүний дагуу) гүйцэтгэнэ.
Гурав вектор abc, Зурагт үзүүлэв. 1 нь зөв, гурав abcЗурагт үзүүлэв. 2 нь зүүн.
 |
Хэрэв хоёр гурвалсан вектор баруун эсвэл зүүн байвал тэдгээрийг ижил чиглэлтэй гэж үзнэ. Үгүй бол эсрэг чиглэлтэй гэж хэлдэг.
Тодорхойлолт 3. Гурван суурь вектор баруун (зүүн) гурвалсан бол декарт буюу аффин координатын системийг баруун (зүүн) гэж нэрлэдэг.
Тодорхой байхын тулд бид зөвхөн баруун гарын координатын системийг авч үзэх болно.
Тодорхойлолт 4. Вектор урлагийн бүтээлвектор авектор руу бвектор гэж нэрлэдэг -тай, тэмдгээр тэмдэглэнэ c=[ab] (эсвэл c=[а,б], эсвэл c=a×b) ба дараах гурван шаардлагыг хангасан байна.
- вектор урт -тайвекторын уртын үржвэртэй тэнцүү байна аТэгээд бөнцгийн синусаар φ тэдгээрийн хооронд:
- вектор -тайвектор тус бүрт ортогональ байна аТэгээд б;
- вектор вчиглүүлсэн тул гурвын abcзөв.
| |в|=|[ab]|=|а||б|sinφ; | (1) |
Векторуудын хөндлөн үржвэр нь дараахь шинж чанартай байдаг.
- [ab]=−[ба] (шилжилтийн эсрэгхүчин зүйлүүд);
- [(λa)б]=λ [ab] (хослолтоон хүчин зүйлтэй харьцуулахад);
- [(a+b)в]=[ав]+[бв] (хуваарилалтвекторуудын нийлбэртэй харьцангуй);
- [аадурын векторын хувьд ]=0 а.
Векторуудын вектор үржвэрийн геометрийн шинж чанарууд
Теорем 1. Хоёр вектор коллинеар байхын тулд тэдгээрийн вектор үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
Баталгаа. Хэрэгцээ. Векторуудыг оруулъя аТэгээд б collinear. Дараа нь тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 0 эсвэл 180 ° ба sinφ=гэм 180=нүгэл 0=0. Тиймээс (1) илэрхийллийг харгалзан векторын урт втэгтэй тэнцүү. Дараа нь втэг вектор.
Хангалттай байдал. Векторуудын вектор үржвэрийг үзье аТэгээд бмэдээж тэг: [ ab]=0. Векторууд гэдгийг баталцгаая аТэгээд б collinear. Хэрэв векторуудын дор хаяж нэг нь байвал аТэгээд бтэг бол эдгээр векторууд коллинеар байна (тэг вектор нь тодорхой бус чиглэлтэй тул дурын вектортой коллинеар гэж үзэж болно).
Хэрэв хоёулаа вектор байвал аТэгээд бтэг биш, дараа нь | а|>0, |б|>0. Дараа нь [-аас ab]=0 ба (1)-ээс дараах нь гарна sinφ=0. Тиймээс векторууд аТэгээд б collinear.
Теорем нь батлагдсан.
Теорем 2. Вектор үржвэрийн урт (модуль) [ ab] талбайтай тэнцүү Снийтлэг гарал үүсэл болгон бууруулсан векторууд дээр баригдсан параллелограмм аТэгээд б.
Баталгаа. Таны мэдэж байгаагаар параллелограммын талбай нь энэ параллелограммын зэргэлдээ талуудын үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синустай тэнцүү байна. Тиймээс:
Дараа нь эдгээр векторуудын вектор үржвэр нь дараах хэлбэртэй байна.
Тодорхойлогчийг эхний эгнээний элементүүд дээр өргөжүүлснээр бид векторын задралыг олж авна a×bүндсэн дээр i, j, k, энэ нь томъёо (3)-тай тэнцүү байна.
Теоремын баталгаа 3. Бүх боломжит хос суурь векторуудыг байгуулъя i, j, kтэдгээрийн вектор үржвэрийг тооцоолох. Суурь векторууд нь харилцан ортогональ, баруун гар гурвалсан, нэгж урттай байдаг (өөрөөр хэлбэл, бид ингэж тооцож болно) гэдгийг анхаарах хэрэгтэй. би={1, 0, 0}, j={0, 1, 0}, к=(0, 0, 1)). Дараа нь бидэнд байна:
Сүүлийн тэгш байдал ба харилцаанаас (4) бид дараахь зүйлийг олж авна.
Эхний эгнээ нь суурь векторууд болох 3х3 матрицыг бүтээцгээе би, ж, к,үлдсэн мөрүүд нь вектор элементүүдээр дүүрсэн байна аТэгээд б:
Тиймээс векторуудын вектор үржвэрийн үр дүн аТэгээд бвектор байх болно:
 .
|
Жишээ 2. Векторуудын вектор үржвэрийг ол [ [ ab], вектор хаана байна ахоёр цэгээр илэрхийлэгдэнэ. a векторын эхлэх цэг: 
, векторын төгсгөлийн цэг а: 
, вектор бшиг харагдаж байна 
.
Шийдэл: Эхний векторыг эх цэг рүү шилжүүлнэ. Үүнийг хийхийн тулд төгсгөлийн цэгийн харгалзах координатаас эхлэх цэгийн координатыг хасна.
Энэ матрицын тодорхойлогчийг эхний эгнээний дагуу тэлэх замаар тооцоолъё. Эдгээр тооцооллын үр дүн нь векторуудын вектор үржвэр юм аТэгээд б.
Вектор урлагийн бүтээлнь гурван хэмжээст Евклидийн орон зай дахь векторууд дээр “вектор үржүүлэх” хоёртын үйлдлийн үр дүн болох хоёр хүчин зүйлээс үүссэн хавтгайд перпендикуляр псевдовектор юм. Векторын үржвэр нь коммутатив ба ассоциатив шинж чанарыг агуулдаггүй (энэ нь антикоммутатив) бөгөөд векторуудын скаляр үржвэрээс ялгаатай нь вектор юм. Инженерийн болон физикийн олон хэрэглээнд өргөн хэрэглэгддэг. Жишээлбэл, өнцгийн импульс ба Лоренцын хүчийг математикийн хувьд вектор үржвэр болгон бичдэг. Хөндлөн үржвэр нь векторуудын перпендикуляр байдлыг "хэмжихэд" ашигтай байдаг - хоёр векторын хөндлөн үржвэрийн модуль нь перпендикуляр байвал тэдгээрийн модулиудын үржвэртэй тэнцүү байх ба векторууд параллель эсвэл эсрэг параллель байвал тэг болж буурдаг.
Векторын үржвэрийг янз бүрийн аргаар тодорхойлж болох ба онолын хувьд ямар ч n хэмжээсийн орон зайд n-1 векторуудын үржвэрийг тооцоолж, улмаар тэдгээрт бүгдэд нь перпендикуляр нэг векторыг гаргаж авах боломжтой. Гэхдээ хэрэв бүтээгдэхүүн нь векторын үр дүн бүхий хоёртын бус хоёртын бүтээгдэхүүнээр хязгаарлагдах юм бол уламжлалт вектор бүтээгдэхүүн нь зөвхөн гурван хэмжээст ба долоон хэмжээст орон зайд тодорхойлогддог. Скаляр үржвэрийн нэгэн адил вектор бүтээгдэхүүний үр дүн нь Евклидийн орон зайн хэмжигдэхүүнээс хамаарна.
Гурван хэмжээст тэгш өнцөгт координатын систем дэх координатаас скаляр үржвэрийн векторуудыг тооцоолох томъёоноос ялгаатай нь хөндлөн үржвэрийн томъёо нь тэгш өнцөгт координатын системийн чиг баримжаа буюу өөрөөр хэлбэл түүний "хираль байдал" -аас хамаардаг.
Тодорхойлолт:
R3 орон зай дахь а ба в векторын вектор үржвэр нь дараах шаардлагыг хангасан в вектор юм.
в векторын урт нь a ба b векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох φ өнцгийн синусын үржвэртэй тэнцүү байна.
|c|=|a||b|sin φ;
в вектор в а ба b вектор тус бүрд ортогональ байна;
вектор в нь abc векторуудын гурвалсан баруун гартай байхаар чиглүүлсэн;
R7 зайны хувьд a, b, c векторуудын гурвалсан ассоциатив байх шаардлагатай.
Зориулалт:
c===a × b
Цагаан будаа. 1. Параллелограммын талбай нь вектор үржвэрийн модультай тэнцүү байна
Хөндлөн бүтээгдэхүүний геометрийн шинж чанарууд:
Хоёр тэгээс өөр векторын харилцан уялдаатай байх зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл бол тэдгээрийн вектор үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байх явдал юм.
Бүтээгдэхүүн хоорондын модуль талбайтай тэнцүү Снийтлэг гарал үүсэл болгон бууруулсан векторууд дээр баригдсан параллелограмм аТэгээд б(1-р зургийг үз).
Хэрэв д- векторуудад ортогональ нэгж вектор аТэгээд бтэгээд гурав сонгосон a,b,e- зөв, мөн Снь тэдгээр дээр баригдсан параллелограммын талбай (нийтлэг гарал үүсэл болгон бууруулсан) бол вектор бүтээгдэхүүний томъёо хүчинтэй байна:
=S e
Зураг 2. Векторуудын вектор ба скаляр үржвэрийг ашиглан параллелепипедийн эзэлхүүн; тасархай шугамууд c векторын a × b дээр, а векторын b × c дээр проекцуудыг үзүүлбэл эхний алхам нь скаляр үржвэрийг олох явдал юм.
Хэрэв в- зарим вектор, π
- энэ векторыг агуулсан аливаа хавтгай, д- хавтгайд хэвтэж буй нэгж вектор π
ба ортогональ в,г- хавтгайд ортогональ нэгж вектор π
ба векторын гурвалсан байхаар чиглүүлсэн экгЭнэ нь зөв, тэгвэл онгоцонд хэвтэж байгаа хүмүүсийн хувьд π
вектор атомъёо зөв:
=Pr e a |c|g
Энд Pr e a нь e векторын а руу хийсэн проекц юм
|c|-векторын модуль c
Вектор ба скаляр бүтээгдэхүүнийг ашиглахдаа нийтлэг гарал үүсэл болгон бууруулсан векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзлэхүүнийг тооцоолж болно. а, бТэгээд в. Гурван векторын ийм үржвэрийг холимог гэж нэрлэдэг.
V=|a (b×c)|
Зураг нь энэ эзлэхүүнийг хоёр аргаар олж болохыг харуулж байна: "скаляр" ба "вектор" бүтээгдэхүүнийг сольсон ч геометрийн үр дүн хадгалагдана.
V=a×b c=a b×c
Хөндлөн үржвэрийн хэмжээ нь анхны векторуудын хоорондох өнцгийн синусаас хамаардаг тул хөндлөн үржвэрийг векторуудын "перпендикуляр байдлын" зэрэг гэж ойлгож болно, яг л скаляр үржвэрийг "параллелизмын" зэрэг гэж үзэж болно. ”. Хоёр нэгж векторын вектор үржвэр нь анхны векторууд перпендикуляр байвал 1 (нэгж вектор), хэрэв векторууд параллель эсвэл эсрэг байвал 0 (тэг вектор) -тай тэнцүү байна.
Декарт координат дахь хөндлөн үржвэрийн илэрхийлэл
Хэрэв хоёр вектор аТэгээд бТэдний тэгш өнцөгт декарт координатаар тодорхойлогддог, эсвэл илүү нарийвчлалтайгаар ортонормаль суурьт дүрслэгдсэн байдаг.
a=(a x, a y, a z)
b=(b x ,b y ,b z)
ба координатын систем нь баруун гартай бол тэдгээрийн вектор үржвэр нь хэлбэртэй байна
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Энэ томъёог санахын тулд:
i =∑ε ijk a j b k
Хаана тийм ээ- Леви-Сивитагийн бэлэг тэмдэг.
Цэг бүтээгдэхүүний шинж чанарууд
Цэгтэй бүтээгдэхүүнвекторууд, тодорхойлолт, шинж чанарууд
Вектор дээрх шугаман үйлдлүүд.
Векторууд, үндсэн ойлголтууд, тодорхойлолтууд, тэдгээрийн шугаман үйлдлүүд
Хавтгай дээрх вектор нь цэгүүдийн дараалсан хос бөгөөд эхний цэгийг векторын эхлэл, хоёр дахь цэгийг векторын төгсгөл гэж нэрлэдэг.
Хоёр векторыг тэнцүү ба хамтран чиглэлтэй бол тэнцүү гэж нэрлэдэг.
Нэг шулуун дээр байрлах векторууд энэ шулуун дээр хэвтэхгүй байгаа ижил векторын заримтай кодиректортой байвал тэдгээрийг кодиректор гэнэ.
Нэг шулуун дээр эсвэл параллель шулуун дээр байрлах векторуудыг коллинеар, харин нэгдмэл биш харин эсрэг чиглэлтэй векторуудыг гэнэ.
Перпендикуляр шулуун дээр байрлах векторуудыг ортогональ гэж нэрлэдэг.
Тодорхойлолт 5.4. Дүн a+b векторууд а Тэгээд б векторын эхнээс ирж буй вектор гэж нэрлэдэг А векторын төгсгөл хүртэл б , хэрэв векторын эхлэл бол б векторын төгсгөлтэй давхцаж байна А .
Тодорхойлолт 5.5. Ялгаагаар а – б векторууд А Тэгээд б ийм вектор гэж нэрлэдэг -тай , энэ нь вектортой нийлдэг б вектор өгдөг А .
Тодорхойлолт 5.6. ажилк а вектор А тоо бүрт квектор гэж нэрлэдэг б , вектортой коллинеар байна А , |-тэй тэнцүү модультай к||а |, мөн чиглэлтэй давхцах чиглэл А цагт к>0 ба эсрэгээр А цагт к<0.
Векторыг тоогоор үржүүлэх шинж чанарууд:
Үл хөдлөх хөрөнгө 1. к(a+b ) = к а+k б.
Үл хөдлөх хөрөнгө 2. (k + м)а = к а+ м а.
Эд хөрөнгө 3. к(м а) = (км)а .
Үр дагавар. Хэрэв тэг биш векторууд А Тэгээд б collinear бол ийм тоо байна к, Юу b = к а.
Тэг биш хоёр векторын скаляр үржвэр аТэгээд бнь эдгээр векторуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох φ өнцгийн косинусын үржвэртэй тэнцүү тоо (скаляр) юм. Цэгийн бүтээгдэхүүнийг янз бүрийн аргаар тэмдэглэж болно, жишээлбэл ab, а · б, (а , б), (а · б). Тиймээс цэгийн бүтээгдэхүүн нь:
а · б = |а| · | б| cos φ
Хэрэв векторуудын ядаж нэг нь тэг байвал скаляр үржвэр нь тэг болно.
· Орлуулах шинж чанар: а · б = б · а(хүчин зүйлүүдийг дахин цэгцлэхээс скаляр үржвэр өөрчлөгдөхгүй);
· Түгээлтийн өмч: а · ( б · в) = (а · б) · в(үр дүн нь үржүүлэх дарааллаас хамаарахгүй);
· Хосолсон шинж чанар (скаляр хүчин зүйлийн хувьд): (λ а) · б = λ ( а · б).
· Ортогональ байдлын шинж чанар (перпендикуляр): вектор бол аТэгээд бтэг биш бол эдгээр векторууд ортогональ (бие биедээ перпендикуляр) байх үед л тэдгээрийн скаляр үржвэр нь тэг болно. а ┴ б;
· Дөрвөлжингийн шинж чанар: а · а = а 2 = |а| 2 (векторын скаляр үржвэр нь түүний модулийн квадраттай тэнцүү);
· Хэрэв векторуудын координат а=(x 1, y 1, z 1) ба б=(x 2 , y 2 , z 2 ), тэгвэл скаляр үржвэр нь тэнцүү байна а · б= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .
Вектор барих векторууд. Тодорхойлолт: Хоёр векторын вектор үржвэр нь вектор бөгөөд үүнд:
Модуль нь эдгээр векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайтай тэнцүү байна, жишээлбэл. , ба векторуудын хоорондох өнцөг хаана байна
Энэ вектор нь үржүүлж буй векторуудад перпендикуляр, өөрөөр хэлбэл.
Хэрэв векторууд нь коллинеар биш бол тэдгээр нь векторуудын баруун талын гурвалсан хэсгийг үүсгэдэг.
Хөндлөн бүтээгдэхүүний шинж чанарууд:
1. Хүчин зүйлсийн дарааллыг өөрчлөх үед вектор бүтээгдэхүүн нь модулийг хадгалж, тэмдэгээ эсрэгээр нь өөрчилдөг, i.e.
2 .Вектор квадрат нь тэг вектортой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.
3 .Скаляр коэффициентийг вектор үржвэрийн тэмдгээс гаргаж авч болно, өөрөөр хэлбэл.
4 .Дурын гурван векторын хувьд тэгш байдал нь үнэн
5 .Хоёр векторын коллинеар байх шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл ба :