Хүчин чадлын функцийн деривативын томъёоны гарал үүсэл (х-ийг а-ын зэрэгт). x-ийн үндэсээс үүссэн деривативуудыг авч үзнэ. Дээд зэрэглэлийн чадлын функцийн деривативын томъёо. Деривативыг тооцоолох жишээ.
X-ийн а-ын дериватив нь х-ийг хасах нэгийн хүчинтэй тэнцүү байна.
(1)
.
x-ийн n-р язгуураас m-р зэрэглэлийн дериватив нь:
(2)
.
Хүчин чадлын функцийн деривативын томъёоны гарал үүсэл
Тохиолдол x > 0
a илтгэгчтэй x хувьсагчийн чадлын функцийг авч үзье.
(3)
.
Энд a нь дурын бодит тоо юм. Эхлээд хэргийг авч үзье.
(3) функцийн деривативыг олохын тулд бид чадлын функцийн шинж чанарыг ашиглан дараах хэлбэрт шилжүүлнэ.
.
Одоо бид деривативыг дараах байдлаар олно.
;
.
Энд.
Формула (1) нь батлагдсан.
x-ийн n зэрэгтэй язгуурыг m зэрэгтэй болгох томъёоны гарал үүсэлтэй
Дараах хэлбэрийн үндэс болох функцийг авч үзье.
(4)
.
Деривативыг олохын тулд язгуурыг чадлын функц болгон хувиргана.
.
Томъёо (3)-тай харьцуулбал бид үүнийг харж байна
.
Дараа нь
.
(1) томъёог ашиглан бид деривативыг олно:
(1)
;
;
(2)
.
Практикт томьёо (2) цээжлэх шаардлагагүй. Эхлээд үндсийг чадлын функц болгон хувиргаж, дараа нь томъёо (1) ашиглан тэдгээрийн деривативыг олох нь илүү тохиромжтой (хуудасны төгсгөлд байгаа жишээг үзнэ үү).
Тохиолдол x = 0
Хэрэв бол эрчим хүчний функц x = хувьсагчийн утгын хувьд мөн тодорхойлогддог 0
. 0
(3) функцийн деривативыг x = дээр олъё
.
. 0
:
.
Үүнийг хийхийн тулд бид деривативын тодорхойлолтыг ашигладаг.
x =-г орлуулъя
.
Энэ тохиолдолд дериватив гэж бид баруун талын хязгаарыг хэлнэ.
Тиймээс бид олсон:
Тиймээс бид олсон:
Эндээс харахад , .
(1)
.
-д. 0
.
Энэ үр дүнг томъёо (1) -ээс олж авна.< 0
Иймд (1) томъёо нь x =-д мөн хүчинтэй байна
(3)
.
Тохиолдол x (3) функцийг дахин авч үзье: a тогтмолын тодорхой утгуудын хувьд энэ нь мөн тодорхойлогддог
,
сөрөг утгууд хувьсагч х..
Тухайлбал, a нь рационал тоо байг. Дараа нь үүнийг бууруулж болохгүй бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно: 3
Энд m ба n нь бүхэл тоонууд байна 1
нийтлэг хуваагч
.
Хэрэв n нь сондгой бол х хувьсагчийн сөрөг утгуудын хувьд чадлын функцийг мөн тодорхойлно.
Жишээлбэл, n = үед
.
ба m =
.
Тогтмолыг деривативын тэмдгийн гадна байрлуулж, цогц функцийг ялгах дүрмийг ашиглан деривативыг олно.
.
Энд. Гэхдээ
.
Түүнээс хойш
.
Дараа нь
.
Өөрөөр хэлбэл (1) томъёо нь дараахь тохиолдолд хүчинтэй байна.
(1)
.
Дээд зэрэглэлийн деривативууд
Одоо чадлын функцийн дээд эрэмбийн деривативуудыг олъё
(3)
.
Бид эхний эрэмбийн деривативыг аль хэдийн олсон:
.
Деривативын тэмдгийн гадна а тогтмолыг авбал бид хоёрдугаар эрэмбийн деривативыг олно.
.
Үүний нэгэн адил бид гурав, дөрөв дэх дарааллын деривативуудыг олдог.
;
.
Үүнээс харахад энэ нь тодорхой байна дурын n-р эрэмбийн деривативдараах хэлбэртэй байна:
.
анзаараарай, тэр хэрэв а бол натурал тоо
, тэгвэл n-р дериватив тогтмол байна:
.
Дараа нь бүх деривативууд тэгтэй тэнцүү байна:
,
цагт.
Деривативыг тооцоолох жишээ
Жишээ
Функцийн деривативыг ол:
.
Шийдэл
Үндэсийг хүч болгон хөрвүүлье:
;
.
Дараа нь анхны функц нь дараах хэлбэрийг авна.
.
Хүчин чадлын деривативуудыг олох:
;
.
Тогтмолын дериватив нь тэг байна:
.
Үүний дээр бид хамгийн энгийн деривативуудад дүн шинжилгээ хийж, мөн ялгах дүрэм, заримтай танилцсан. техникийн аргууддериватив олох. Тиймээс, хэрэв та функцийн деривативын талаар тийм ч сайн биш эсвэл энэ нийтлэлийн зарим зүйл бүрэн тодорхойгүй байвал эхлээд дээрх хичээлийг уншина уу. Ноцтой сэтгэл хөдлөлөө аваарай - материал нь тийм ч энгийн биш, гэхдээ би үүнийг энгийн бөгөөд ойлгомжтой байдлаар танилцуулахыг хичээх болно.
Практикт деривативтай нарийн төвөгтэй функцТа дериватив олох даалгавар өгөх үед та маш олон удаа тулгардаг, бараг үргэлж л гэж хэлэх болно.
Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн (№ 5) хүснэгтийг бид харж байна.
Үүнийг олж мэдье. Юуны өмнө оруулгад анхаарлаа хандуулъя. Энд бид хоёр функцтэй - ба , функц нь дүрсээр хэлбэл функц дотор байрласан байна. Ийм төрлийн функцийг (нэг функц нөгөөд нь үүрлэсэн үед) нийлмэл функц гэж нэрлэдэг.
Би функцийг дуудах болно гадаад функц, болон функц – дотоод (эсвэл үүрлэсэн) функц.
! Эдгээр тодорхойлолтууд нь онолын хувьд биш бөгөөд даалгаврын эцсийн загварт тусгагдаагүй байх ёстой. Би зөвхөн материалыг ойлгоход хялбар болгох үүднээс "гадаад функц", "дотоод" функцийг албан бус хэллэгээр ашигладаг.
Нөхцөл байдлыг тодруулахын тулд дараахь зүйлийг анхаарч үзээрэй.
Жишээ 1
Функцийн деривативыг ол
Синусын доор бид зөвхөн "X" үсэг биш, харин бүхэл бүтэн илэрхийлэл байдаг тул үүсмэлийг хүснэгтээс шууд олох нь ажиллахгүй болно. Эхний дөрвөн дүрмийг энд хэрэглэх боломжгүй гэдгийг бид анзаарч байна, ялгаа байгаа юм шиг байгаа юм, гэхдээ синусыг "хэсэг болгон хувааж" болохгүй.
IN энэ жишээндФункц нь нийлмэл функц, олон гишүүнт нь дотоод функц (суулгах), гадаад функц гэдэг нь миний тайлбараас аль хэдийн ойлгомжтой болсон.
Эхний алхамнийлмэл функцийн деривативыг олоход юу хийх хэрэгтэй вэ? аль функц нь дотоод, аль нь гадаад болохыг ойлгох.
Хэзээ энгийн жишээнүүдСинусын дор олон гишүүнт багтсан нь тодорхой юм шиг байна. Гэхдээ бүх зүйл тодорхойгүй байвал яах вэ? Аль функц нь гадаад, аль нь дотоод гэдгийг хэрхэн зөв тодорхойлох вэ? Үүнийг хийхийн тулд оюун ухаанаар эсвэл ноорог хэлбэрээр хийж болох дараах техникийг ашиглахыг санал болгож байна.
Тооны машин дээрх илэрхийллийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ (нэгний оронд ямар ч тоо байж болно).
Бид эхлээд юуг тооцох вэ? Юуны өмнөта дараах үйлдлийг гүйцэтгэх хэрэгтэй болно: , тиймээс олон гишүүнт нь дотоод функц болно: 
Хоёрдугаартолох шаардлагатай тул синус нь гадаад функц болно: 
Бидний дараа ХУДАЛДААдотоод болон гадаад функцтэй бол нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг хэрэглэх цаг болжээ 
.
Шийдвэрлэж эхэлцгээе. Хичээлээс Деривативыг хэрхэн олох вэ?Аливаа деривативын шийдлийн загвар үргэлж ингэж эхэлдэг гэдгийг бид санаж байна - бид илэрхийлэлийг хаалтанд хийж, баруун дээд буланд зураас тавьдаг:
Хамгийн эхэндбид гадаад функцийн деривативыг (синус) олоод, анхан шатны функцүүдийн деривативын хүснэгтийг хараад . Хэрэв "x"-г нийлмэл илэрхийллээр сольсон бол хүснэгтийн бүх томьёо мөн хамаарна, В энэ тохиолдолд:
Дотоод функцийг анхаарна уу өөрчлөгдөөгүй, бид үүнд хүрдэггүй.
За энэ нь ойлгомжтой
Томьёог хэрэглэсний үр дүн 
эцсийн хэлбэрээр нь дараах байдлаар харагдана.
Тогтмол хүчин зүйлийг ихэвчлэн илэрхийллийн эхэнд байрлуулдаг.
Хэрэв үл ойлголцол байвал шийдлийг цаасан дээр бичиж, тайлбарыг дахин уншина уу.
Жишээ 2
Функцийн деривативыг ол
Жишээ 3
Функцийн деривативыг ол
Бид үргэлж бичдэг: 
Бидэнд гаднах функц, дотоод функц хаана байгааг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд бид (сэтгэцийн хувьд эсвэл ноорог хэлбэрээр) илэрхийллийн утгыг тооцоолохыг оролддог. Та эхлээд юу хийх ёстой вэ? Юуны өмнө та суурь нь юутай тэнцүү болохыг тооцоолох хэрэгтэй: тиймээс олон гишүүнт нь дотоод функц юм. 
Зөвхөн дараа нь экспонентацийг гүйцэтгэдэг тул чадлын функц нь гадаад функц болно. 
Томъёоны дагуу 
, эхлээд та гадаад функцийн деривативыг олох хэрэгтэй, энэ тохиолдолд зэрэг. Хүснэгтээс шаардлагатай томьёог хайж байна: . Бид дахин давтана: Хүснэгтийн аливаа томьёо нь зөвхөн "X"-д төдийгүй нийлмэл илэрхийлэлд хүчинтэй байна. Тиймээс нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг хэрэглэсний үр дүн 
дараачийн:
Бид гаднах функцийн деривативыг авах үед бидний дотоод функц өөрчлөгддөггүй гэдгийг би дахин онцолж байна. 
Одоо зөвхөн дотоод функцийн маш энгийн деривативыг олж, үр дүнг бага зэрэг өөрчлөхөд л үлдлээ.
Жишээ 4
Функцийн деривативыг ол
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд хариулах).
Нарийн төвөгтэй функцийн деривативын талаархи ойлголтоо нэгтгэхийн тулд би тайлбаргүйгээр жишээ өгөх болно, үүнийг өөрөө олж мэдэхийг хичээ, гадаад, дотоод функц хаана байгааг, яагаад даалгавруудыг ингэж шийддэг вэ?
Жишээ 5
a) Функцийн деривативыг ол
б) Функцийн деривативыг ол
Жишээ 6
Функцийн деривативыг ол 
Энд бид язгууртай бөгөөд уг үндсийг ялгахын тулд түүнийг хүч гэж төлөөлөх ёстой. Тиймээс бид эхлээд функцийг ялгахад тохиромжтой хэлбэрт оруулна.
Функцийг задлан шинжилж үзэхэд бид гурван гишүүний нийлбэр нь дотоод функц, хүчирхэг болгох нь гадаад функц гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Бид нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг ашигладаг 
:
Бид дахин градусыг радикал (үндэс) болгон төлөөлдөг бөгөөд дотоод функцийн деривативын хувьд бид нийлбэрийг ялгах энгийн дүрмийг ашигладаг.
Бэлэн. Та мөн хаалт доторх илэрхийллийг өгч болно Ерөнхий хуваарьтэгээд бүгдийг нэг бутархай болгон бич. Энэ нь мэдээжийн хэрэг үзэсгэлэнтэй, гэхдээ урт урт деривативуудыг олж авбал үүнийг хийхгүй байх нь дээр (төөрөлдөх, шаардлагагүй алдаа гаргах, багш шалгахад эвгүй байх болно).
Жишээ 7
Функцийн деривативыг ол
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд хариулах).
Заримдаа та нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн оронд хуваалтыг ялгах дүрмийг ашиглаж болно гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. 
, гэхдээ ийм шийдэл нь ер бусын гажуудал мэт харагдах болно. Энд ердийн жишээ байна:
Жишээ 8
Функцийн деривативыг ол
Энд та хуваалтыг ялгах дүрмийг ашиглаж болно 
, гэхдээ нийлмэл функцийг ялгах дүрмээр дамжуулан деривативыг олох нь илүү ашигтай байдаг.
Бид функцийг ялгахад бэлтгэдэг - бид хасах тэмдгийг дериватив тэмдгээс гаргаж, косинусыг тоологч руу өсгөнө.
Косинус нь дотоод функц, экспоненциал нь гадаад функц юм.
Өөрийн дүрмээ ашиглацгаая 
:
Бид дотоод функцийн деривативыг олж, косинусыг дахин тохируулна:
Бэлэн. Үзэж буй жишээн дээр шинж тэмдгүүдэд андуурахгүй байх нь чухал юм. Дашрамд хэлэхэд, дүрмийг ашиглан үүнийг шийдэхийг хичээ 
, хариултууд таарч байх ёстой.
Жишээ 9
Функцийн деривативыг ол
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд хариулах).
Одоогоор бид нарийн төвөгтэй функцэд зөвхөн нэг үүрлэсэн тохиолдлуудыг авч үзсэн. Практик даалгаврын хувьд та үүрлэх хүүхэлдэй гэх мэт 3 эсвэл бүр 4-5 функцийг нэг дор байрлуулдаг деривативуудыг олж болно.
Жишээ 10
Функцийн деривативыг ол
Энэ функцийн хавсралтыг ойлгоцгооё. Туршилтын утгыг ашиглан илэрхийллийг тооцоолохыг оролдъё. Тооны машинд бид яаж тооцох вэ?
Эхлээд та олох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь нумын синус нь хамгийн гүн шигтгээ гэсэн үг юм:
Дараа нь нэгийн нумыг квадрат болгох хэрэгтэй:
Эцэст нь бид долоог хүчирхэг болгож өсгөв: 
Өөрөөр хэлбэл, энэ жишээн дээр бид гурван өөр функц, хоёр оруулгатай байгаа бол хамгийн дотоод функц нь арксинус, хамгийн гадна талын функц нь экспоненциал функц юм.
Шийдвэрлэж эхэлцгээе
Дүрмийн дагуу 
Эхлээд та гадаад функцийн деривативыг авах хэрэгтэй. Бид деривативын хүснэгтийг хараад деривативыг олно экспоненциал функц: Цорын ганц ялгаа нь "x"-ийн оронд бид нийлмэл илэрхийлэлтэй байгаа нь энэ томьёоны хүчинтэй байдлыг үгүйсгэхгүй. Тиймээс нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг хэрэглэсний үр дүн 
дараачийн.
Деривативыг олох үйлдлийг дифференциал гэж нэрлэдэг.
Үүсмэлийг аргументийн өсөлтийн өсөлтийн харьцааны хязгаар гэж тодорхойлох замаар хамгийн энгийн (мөн тийм ч энгийн биш) функцүүдийн деривативыг олох асуудлыг шийдсэний үр дүнд деривативын хүснэгт ба нарийн тодорхойлсон ялгах дүрмүүд гарч ирэв. . Дериватив олох чиглэлээр хамгийн анх ажиллаж байсан хүмүүс бол Исаак Ньютон (1643-1727), Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716) нар юм.
Тиймээс бидний үед аливаа функцийн деривативыг олохын тулд дээр дурдсан функцийн өсөлтийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаарыг тооцох шаардлагагүй бөгөөд зөвхөн хүснэгтийг ашиглахад хангалттай. дериватив ба ялгах дүрэм. Дараах алгоритм нь деривативыг олоход тохиромжтой.
Деривативыг олохын тулд, танд үндсэн тэмдгийн доор илэрхийлэл хэрэгтэй энгийн функцуудыг бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хуваанаямар үйлдэл хийхийг тодорхойлох (бүтээгдэхүүн, нийлбэр, коэффициент)Эдгээр функцүүд нь хоорондоо холбоотой байдаг. Дараа нь бид үндсэн функцүүдийн деривативуудыг деривативын хүснэгтээс, үржвэрийн дериватив, нийлбэр ба хуваалтын томъёог ялгах дүрмээс олно. Дериватив хүснэгт болон ялгах дүрмийг эхний хоёр жишээний дараа өгөв.
Жишээ 1.Функцийн деривативыг ол
Шийдэл. Ялгах дүрмээс бид функцийн нийлбэрийн дериватив нь функцын деривативын нийлбэр болохыг олж мэдсэн, өөрөөр хэлбэл.
Деривативын хүснэгтээс бид "X"-ийн дериватив нь нэгтэй, синусын дериватив нь косинустай тэнцүү болохыг олж мэдэв. Бид эдгээр утгыг деривативын нийлбэрт орлуулж, асуудлын нөхцөлд шаардагдах деривативыг олно.
Жишээ 2.Функцийн деривативыг ол
Шийдэл. Хоёр дахь гишүүн нь тогтмол хүчин зүйлтэй нийлбэрийг деривативын тэмдгээс гаргаж авч болно гэж бид ялгадаг;
Хэрэв ямар нэгэн зүйл хаанаас ирсэн талаар асуултууд гарч ирвэл тэдгээрийг деривативын хүснэгт болон ялгах хамгийн энгийн дүрмүүдтэй танилцсаны дараа ихэвчлэн арилгадаг. Бид яг одоо тэдэн рүү шилжиж байна.
Энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгт
| 1. Тогтмол (тоо)-ын дериватив. Функцийн илэрхийлэлд байгаа дурын тоо (1, 2, 5, 200...). Үргэлж тэгтэй тэнцүү. Үүнийг санах нь маш чухал бөгөөд энэ нь маш олон удаа шаардлагатай байдаг | |
| 2. Бие даасан хувьсагчийн дериватив. Ихэнхдээ "X". Үргэлж нэгтэй тэнцүү. Үүнийг удаан хугацаанд санах нь бас чухал юм | |
| 3. Зэрэглэлийн дериватив. Асуудлыг шийдэхдээ квадрат бус язгуурыг хүч болгон хувиргах хэрэгтэй. | |
| 4. Хувьсагчийн дериватив -1 зэрэглэл | |
| 5. Дериватив квадрат язгуур | |
| 6. Синусын дериватив | |
| 7. Косинусын дериватив |  |
| 8. Шүргэгчийн дериватив |  |
| 9. Котангенсийн дериватив |  |
| 10. Арксинусын дериватив |  |
| 11. Нумын косинусын дериватив |  |
| 12. Арктангенсын дериватив |  |
| 13. Нумын котангенсын дериватив |  |
| 14. Натурал логарифмын дериватив | |
| 15. Логарифм функцийн дериватив |  |
| 16. Экспонентийн дериватив | |
| 17. Экспоненциал функцийн дериватив |
Ялгах дүрэм
| 1. Нийлбэр буюу зөрүүний дериватив |  |
| 2. Бүтээгдэхүүний дериватив |  |
| 2а. Тогтмол хүчин зүйлээр үржүүлсэн илэрхийллийн дериватив | |
| 3. Хэсгийн дериватив |  |
| 4. Комплекс функцийн дериватив |  |
Дүрэм 1.Хэрэв функцууд
аль нэг цэг дээр дифференциалагдах боломжтой, дараа нь функцүүд нэг цэг дээр дифференциал болно
болон
тэдгээр. функцүүдийн алгебрийн нийлбэрийн дериватив нь эдгээр функцүүдийн деривативуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Үр дагавар. Хэрэв дифференциал болох хоёр функц тогтмол гишүүнээр ялгаатай бол тэдгээрийн дериватив нь тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл
Дүрэм 2.Хэрэв функцууд
Хэзээ нэгэн цагт ялгах боломжтой, дараа нь тэдгээрийн бүтээгдэхүүн нь ижил цэг дээр ялгагдах боломжтой
болон
тэдгээр. Хоёр функцийн үржвэрийн дериватив нь эдгээр функц тус бүрийн үржвэрийн нийлбэр ба нөгөө функцийн деривативтай тэнцүү байна.
Дүгнэлт 1. Тогтмол хүчин зүйлийг деривативын тэмдгээс гаргаж авч болно:
Дүгнэлт 2. Хэд хэдэн дифференциалагдах функцүүдийн үржвэрийн дериватив нь хүчин зүйл тус бүрийн болон бусад бүх зүйлийн деривативын үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Жишээлбэл, гурван үржүүлэгчийн хувьд:
Дүрэм 3.Хэрэв функцууд
хэзээ нэгэн цагт ялгах боломжтой Тэгээд , тэгвэл энэ үед тэдгээрийн коэффициент нь бас дифференциал болноu/v , ба
тэдгээр. хоёр функцийн хуваагчийн дериватив нь бутархайтай тэнцүү бөгөөд хуваагч нь хуваагч ба хувагчийн дериватив ба хуваагч болон хуваагчийн деривативын зөрүү, хуваагч нь -ийн квадрат юм. өмнөх тоологч.
Бусад хуудсан дээрх зүйлсийг хаанаас хайх вэ
Бодит бодлогод бүтээгдэхүүний дериватив ба категорийг олохдоо хэд хэдэн ялгах дүрмийг нэг дор хэрэглэх шаардлагатай байдаг тул өгүүлэлд эдгээр деривативуудын талаар илүү олон жишээнүүд байдаг."Үйлдвэрийн дериватив ба функцүүдийн коэффициент".
Сэтгэгдэл.Тогтмолыг (өөрөөр хэлбэл тоо) нийлбэр дэх нэр томъёо, тогтмол хүчин зүйл гэж андуурч болохгүй! Нэр томьёоны хувьд дериватив нь 0-тэй тэнцүү байх ба тогтмол хүчин зүйлийн хувьд деривативуудын тэмдгээс хасагдана. Энэ ердийн алдаа, дээр тохиолддог эхний шатДеривативуудыг судалж байгаа боловч нэг ба хоёр хэсгээс бүрдсэн хэд хэдэн жишээг шийдэж байгаа тул дундаж оюутан ийм алдаа гаргахаа больсон.
Мөн хэрэв бүтээгдэхүүн эсвэл хэсгийг ялгахдаа танд нэр томъёо байгаа бол у"v, аль нь у- тоо, жишээлбэл, 2 эсвэл 5, өөрөөр хэлбэл тогтмол, дараа нь энэ тооны дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх тул бүхэл бүтэн нэр томъёо нь тэгтэй тэнцүү байх болно (энэ хэргийг жишээ 10-д авч үзэх болно).
Бусад нийтлэг алдаа- нийлмэл функцийн деривативын механик шийдлийг энгийн функцийн дериватив гэж үзнэ. Тийм ч учраас нийлмэл функцийн деривативтусдаа өгүүлэл зориулагдсан болно. Гэхдээ эхлээд бид энгийн функцүүдийн деривативуудыг олж сурах болно.
Замдаа та илэрхийлэлийг өөрчлөхгүйгээр хийж чадахгүй. Үүнийг хийхийн тулд та гарын авлагыг шинэ цонхонд нээх хэрэгтэй. Эрх мэдэл, үндэстэй үйлдлүүдТэгээд Бутархайтай үйлдлүүд .
Хэрэв та зэрэглэлийн болон үндэстэй бутархайн деривативын шийдлийг хайж байгаа бол функц нь иймэрхүү харагдах үед. 
, дараа нь "Бутархайн нийлбэрийн дериватив ба үндэстэй" хичээлийг дагана уу.
Хэрэв танд ийм даалгавар байгаа бол 
, дараа нь та "Энгийн тригонометрийн функцын дериватив" хичээлийг авна.
Алхам алхмаар жишээ - деривативыг хэрхэн олох
Жишээ 3.Функцийн деривативыг ол
Шийдэл. Бид функцийн илэрхийлэлийн хэсгүүдийг тодорхойлдог: бүхэл бүтэн илэрхийлэл нь бүтээгдэхүүнийг илэрхийлдэг бөгөөд түүний хүчин зүйлүүд нь нийлбэр бөгөөд хоёр дахь нэр томъёоны нэг нь тогтмол хүчин зүйлийг агуулдаг. Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг бид ашигладаг: хоёр функцийн үржвэрийн дериватив нь эдгээр функц тус бүрийн үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Дараа нь бид нийлбэрийг ялгах дүрмийг хэрэглэнэ: функцүүдийн алгебрийн нийлбэрийн дериватив нь эдгээр функцүүдийн деривативуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Манай тохиолдолд нийлбэр бүрт хоёр дахь гишүүн нь хасах тэмдэгтэй байдаг. Нийлбэр бүрт бид дериватив нь нэгтэй тэнцүү бие даасан хувьсагч ба дериватив нь тэгтэй тэнцүү тогтмол (тоо) хоёуланг нь хардаг. Тиймээс "X" нэг болж, хасах 5 нь тэг болж хувирна. Хоёр дахь илэрхийлэлд "x" нь 2-оор үржигддэг тул бид хоёрыг "x"-ийн деривативтай ижил нэгжээр үржүүлнэ. Бид авдаг дараах утгууддеривативууд:
Бид олдсон деривативуудыг бүтээгдэхүүний нийлбэрт орлуулж, асуудлын нөхцөлд шаардлагатай бүх функцийн деривативыг олж авна.
Жишээ 4.Функцийн деривативыг ол
Шийдэл. Бид хуваалтын деривативыг олох шаардлагатай. Бид хуваагчийг ялгах томъёог ашигладаг: хоёр функцийн хуваалтын дериватив нь бутархайтай тэнцүү бөгөөд хуваагч нь хуваагч ба хуваагч ба хуваагчийн дериватив ба үржвэрийн деривативын зөрүү юм. хуваагч, хуваагч нь өмнөх хуваагчийн квадрат юм. Бид авах:
Бид жишээ 2-т тоологчийн хүчин зүйлсийн деривативыг аль хэдийн олсон. Мөн тоологчийн хоёр дахь хүчин зүйл болох үржвэрийг мартаж болохгүй. одоогийн жишээхасах тэмдгээр авсан:
Хэрэв та үргэлжилсэн үндэс ба хүчнүүдийн овоо байдаг функцийн деривативыг олох шаардлагатай асуудлын шийдлийг хайж байгаа бол жишээ нь: 
, тэгвэл хичээлдээ тавтай морил "Бутархайн нийлбэрийн дериватив ба үндэстэй" .
Хэрэв та синус, косинус, тангенс болон бусад деривативуудын талаар илүү ихийг мэдэх шаардлагатай бол тригонометрийн функцууд, өөрөөр хэлбэл функц нь харагдах үед , тэгвэл танд сургамж "Энгийн тригонометрийн функцүүдийн дериватив" .
Жишээ 5.Функцийн деривативыг ол
Шийдэл. Энэ функцэд бид үржвэрийг харж байна, үүний нэг хүчин зүйл нь бие даасан хувьсагчийн квадрат язгуур бөгөөд деривативын хүснэгтэд бид танилцсан. Бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрэм ба квадрат язгуурын деривативын хүснэгтийн утгыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
Жишээ 6.Функцийн деривативыг ол
Шийдэл. Энэ функцэд бид ногдол ашиг нь бие даасан хувьсагчийн квадрат язгуур болох хуваарийг харж байна. Бид 4-р жишээн дээр давтаж, ашигласан хуваалтыг ялгах дүрэм болон квадрат язгуурын деривативын хүснэгтийн утгыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
Тоолуур дахь бутархайг арилгахын тулд тоо болон хуваагчийг -ээр үржүүлнэ.