ABC өнцөг нь бичээстэй өнцөг юм. Энэ нь AC нуман дээр тулгуурлаж, түүний хажуугийн хооронд хаалттай байдаг (Зураг 330).
Теорем. Бичсэн өнцгийг түүний орших нумын хагасаар хэмждэг.
Үүнийг ингэж ойлгох хэрэгтэй: бичээстэй өнцөг нь түүний тулгуурласан нумын хагаст нумын градус, минут, секундын тоотой адил олон өнцгийн градус, минут, секундийг агуулна.
Энэ теоремыг батлахдаа гурван тохиолдлыг авч үзэх ёстой.
Эхний тохиолдол. Тойргийн төв нь бичээстэй өнцгийн хажуу талд байрладаг (Зураг 331).
∠ABC нь бичээстэй өнцөг байх ба О тойргийн төв нь ВС талд байна. Энэ нь хувьсах гүйдлийн хагас нумаар хэмжигддэг гэдгийг батлах шаардлагатай.
А цэгийг тойргийн төв рүү холбоно. Бид ижил тойргийн радиусууд болох AO = OB байх ижил өнцөгт \(\Дельта\)AOB-ийг олж авдаг. Тиймээс ∠A = ∠B.
∠AOC нь AOB гурвалжны гаднах тул ∠AOC = ∠A + ∠B байх ба A ба B өнцөг тэнцүү тул ∠B нь 1/2 ∠AOC болно.
Гэхдээ ∠AOC нь AC нумаар хэмжигддэг тул ∠B нь АС нумын хагасаар хэмжигддэг.
Жишээлбэл, хэрэв \(\breve(AC)\) 60°18'-г агуулж байвал ∠B нь 30°9'-г агуулна.
Хоёр дахь тохиолдол. Тойргийн төв нь бичээстэй өнцгийн талуудын хооронд байрладаг (Зураг 332).
∠ABD нь бичээстэй өнцөг гэж үзье. О тойргийн төв нь түүний талуудын хооронд байрладаг. ∠ABD нь AD нумын хагасаар хэмжигддэг гэдгийг бид батлах хэрэгтэй.
Үүнийг батлахын тулд BC диаметрийг зуръя. ABD өнцгийг ∠1 ба ∠2 гэсэн хоёр өнцөгт хуваана.
∠1 нь хагас AC нумаар, ∠2 нь CD нумын хагасаар хэмжигддэг тул ∠ABD-ийг бүхэлд нь 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \(\breve) хэмждэг. (CD)\), өөрөөр хэлбэл хагас нуман AD.
Жишээлбэл, хэрэв \(\breve(AD)\) 124°-г агуулж байвал ∠B нь 62°-г агуулна.
Гурав дахь тохиолдол. Тойргийн төв нь бичээстэй өнцгийн гадна байрладаг (Зураг 333).
∠MAD нь бичээстэй өнцөг байг. О тойргийн төв нь булангийн гадна байна. ∠MAD нь MD нумын хагасаар хэмжигддэг гэдгийг бид батлах хэрэгтэй.
Үүнийг батлахын тулд AB диаметрийг зуръя. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Гэхдээ ∠MAB нь 1/2 \(\breve(MB)\), ∠DAB нь 1/2 \(\breve(DB)\) хэмждэг.
Тиймээс ∠MAD нь 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), өөрөөр хэлбэл 1/2 \(\breve(MD)\)-ийг хэмждэг.
Жишээлбэл, хэрэв \(\breve(MD)\) нь 48° 38" агуулж байвал ∠MAD нь 24° 19' 8"-ыг агуулна.
Үр дагавар
1.
Нэг нумын хагасаар хэмжигддэг тул ижил нумын дагуух бүх бичээстэй өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна.
(Зураг 334, a).
2. Диаметрээр хүрээлэгдсэн бичээстэй өнцөг нь хагас тойргийг хамардаг тул зөв өнцөг юм. Хагас тойрог нь 180 нумын градусыг агуулдаг бөгөөд энэ нь голч дээр тулгуурласан өнцөг нь 90 нумын градусыг агуулдаг гэсэн үг юм (Зураг 334, b).
Дунд түвшний
Дугуй болон бичээстэй өнцөг. Харааны хөтөч (2019)
Үндсэн нэр томъёо.
Та тойрогтой холбоотой бүх нэрийг хэр сайн санаж байна вэ? Ямар ч тохиолдолд бид танд сануулъя - зургуудыг хараарай - мэдлэгээ сэргээгээрэй.
За, юуны түрүүнд - Тойргийн төв нь тойрог дээрх бүх цэгүүдийн хоорондох зай нь ижил цэг юм.
Хоёрдугаарт - радиус - төв ба тойрог дээрх цэгийг холбосон шугамын хэсэг.
Маш олон радиусууд байдаг (тойрог дээр хэдэн цэг байгаа бол), гэхдээ Бүх радиус ижил урттай байна.
Заримдаа богинохон радиустэд үүнийг яг дууддаг сегментийн урт"Төв нь тойрог дээрх цэг бөгөөд сегмент нь өөрөө биш".
Тэгээд юу болох нь энд байна Хэрэв та тойрог дээрх хоёр цэгийг холбовол? Бас сегмент үү?
Тиймээс энэ сегментийг нэрлэдэг "хөвч".
Радиусын хувьд голч нь тойрог дээрх хоёр цэгийг холбож, төвийг дайран өнгөрөх сегментийн урт юм. Дашрамд хэлэхэд диаметр ба радиус хэрхэн хамааралтай вэ? Анхааралтай хар. Мэдээжийн хэрэг радиус нь диаметрийн хагастай тэнцүү байна.
Аккордуудаас гадна бас байдаг секантууд.
Хамгийн энгийн зүйлийг санаж байна уу?
Төвийн өнцөг нь хоёр радиус хоорондын өнцөг юм.
Тэгээд одоо - бичээстэй өнцөг
Бичсэн өнцөг - тойрог дээрх цэг дээр огтлолцох хоёр хөвчний хоорондох өнцөг.
Энэ тохиолдолд тэд бичээстэй өнцөг нь нуман (эсвэл хөвч) дээр тулгуурладаг гэж хэлдэг.
Зургийг харна уу:
Нуман ба өнцгийн хэмжилт.
Тойрог. Нуман ба өнцгийг градус, радианаар хэмждэг. Нэгдүгээрт, градусын тухай. Өнцгийн хувьд ямар ч асуудал байхгүй - та нумыг градусаар хэрхэн хэмжих талаар сурах хэрэгтэй.
Зэрэглэлийн хэмжүүр (нумын хэмжээ) нь харгалзах төв өнцгийн утга (градусаар) юм
Энд "тохиромжтой" гэдэг үг ямар утгатай вэ? Анхааралтай харцгаая:
Та хоёр нум, хоёр төв өнцгийг харж байна уу? За, том нум нь том өнцөгтэй тохирч (мөн энэ нь том байх нь зүгээр юм), жижиг нум нь жижиг өнцөгт тохирно.
Тиймээс бид тохиролцсон: нуман нь харгалзах төвийн өнцөгтэй ижил тооны градусыг агуулна.
Тэгээд одоо аймшигтай зүйлийн тухай - радианы тухай!
Энэ “радиан” ямар араатан бэ?
Төсөөлөөд үз: Радиан бол өнцгийг хэмжих арга юм ... радиус!
Радианыг хэмжих өнцөг нь иймэрхүү байна төв өнцөг, нумын урт нь тойргийн радиустай тэнцүү байна.
Дараа нь асуулт гарч ирнэ - шулуун өнцөгт хэдэн радиан байдаг вэ?
Өөрөөр хэлбэл: хагас тойрогт хэдэн радиус "тохих" вэ? Эсвэл өөр аргаар: хагас тойргийн урт нь радиусаас хэд дахин их вэ?
Эрдэмтэд энэ асуултыг Эртний Грекд дахин тавьжээ.
Тиймээс тэд удаан хайсны эцэст тойргийн радиустай харьцуулсан харьцааг "хүний" тоо гэх мэтээр илэрхийлэхийг хүсэхгүй байгааг олж мэдэв.
Энэ хандлагыг язгуураар илэрхийлэх ч боломжгүй. Өөрөөр хэлбэл, хагас тойрог нь радиусаас дахин эсвэл дахин том гэж хэлэх боломжгүй юм! Хүмүүс үүнийг анх удаа олж мэдсэн нь ямар гайхалтай байсныг та төсөөлж байна уу?! Хагас тойргийн уртыг радиустай харьцуулахын тулд "хэвийн" тоонууд хангалтгүй байв. Би захидал оруулах ёстой байсан.
Тэгэхээр, - энэ нь хагас тойргийн уртыг радиустай харьцуулсан харьцааг илэрхийлсэн тоо юм.
Одоо бид асуултанд хариулж чадна: шулуун өнцөгт хэдэн радиан байдаг вэ? Энэ нь радиан агуулдаг. Учир нь тойргийн тал нь радиусаас хэд дахин том байдаг.
Олон зууны туршид эртний (мөн тийм ч эртний биш) хүмүүс (!) Энэ нууцлаг тоог илүү нарийвчлалтай тооцоолохыг хичээж, үүнийг "ердийн" тоогоор (ядаж ойролцоогоор) илүү сайн илэрхийлэхийг оролдсон. Одоо бид үнэхээр залхуу байна - завгүй өдрийн дараах хоёр шинж тэмдэг бидэнд хангалттай, бид дассан
Бодоод үз дээ, энэ нь жишээлбэл, нэг радиустай тойргийн урт нь ойролцоогоор тэнцүү гэсэн үг боловч яг энэ уртыг "хүний" тоогоор бичих боломжгүй юм - танд үсэг хэрэгтэй. Тэгээд энэ тойрог тэнцүү байх болно. Мэдээжийн хэрэг, радиусын тойрог тэнцүү байна.
Радиан руу буцаж орцгооё.
Шулуун өнцөг нь радиануудыг агуулна гэдгийг бид аль хэдийн олж мэдсэн.
Бидэнд байгаа зүйл:
Энэ нь би баяртай байна, өөрөөр хэлбэл би баяртай байна гэсэн үг юм. Үүнтэй адилаар хамгийн алдартай өнцөг бүхий хавтанг олж авдаг.
Бичсэн болон төв өнцгийн утгуудын хоорондын хамаарал.
Гайхалтай баримт бий:
Бичсэн өнцөг нь харгалзах төв өнцгийн хагастай тэнцүү байна.
Зураг дээр энэ мэдэгдэл хэрхэн харагдаж байгааг хараарай. "Харгалзах" төв өнцөг нь төгсгөлүүд нь бичээстэй өнцгийн төгсгөлүүдтэй давхцаж, орой нь төвд байрладаг өнцөг юм. Үүний зэрэгцээ "харгалзах" төв өнцөг нь бичээстэй өнцөгтэй ижил хөвчийг () "харах" ёстой.
Яагаад ийм байна вэ? Эхлээд үүнийг олж мэдье энгийн тохиолдол. Нэг хөвчийг голоор нь дамжуулаарай. Заримдаа ийм зүйл тохиолддог, тийм ээ?
Энд юу болдог вэ? Ингээд авч үзье. Эцсийн эцэст энэ нь isosceles ба радиус юм. Тиймээс, (тэдгээрийг шошгосон).
Одоо харцгаая. Энэ бол гадна талын булан юм! Гадаад өнцөг нь түүнтэй зэргэлдээгүй хоёр дотоод өнцгийн нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг бид санаж, бичнэ үү.
Энэ нь! Гэнэтийн нөлөө. Гэхдээ бичээсэнд зориулсан төв өнцөг бас байдаг.
Энэ нь энэ тохиолдолд тэд төв өнцөг нь бичээстэй өнцгөөс хоёр дахин их болохыг нотолсон гэсэн үг юм. Гэхдээ энэ бол үнэхээр онцгой тохиолдол юм: хөвч үргэлж голоор дамждаггүй гэдэг нь үнэн биш гэж үү? Гэхдээ зүгээр, одоо энэ онцгой тохиолдол бидэнд маш их тус болно. Хараарай: хоёр дахь тохиолдол: төвийг дотор нь хэвтүүлнэ.
Үүнийг хийцгээе: диаметрийг зур. Тэгээд ... бид эхний тохиолдолд аль хэдийн шинжилсэн хоёр зургийг харж байна. Тиймээс бидэнд энэ нь аль хэдийн бий
Энэ нь (зураг дээр, a) гэсэн үг юм.
За, би үлдсэн сүүлчийн тохиолдол: булангийн гадна төв.
Бид ижил зүйлийг хийдэг: голчийг цэгээр нь зур. Бүх зүйл адилхан, гэхдээ нийлбэрийн оронд ялгаа байдаг.
Ингээд л болоо!
Одоо бичээстэй өнцөг нь төвийн өнцгийн хагас байна гэсэн мэдэгдлээс хоёр үндсэн бөгөөд маш чухал үр дагаврыг бий болгоё.
Дүгнэлт 1
Нэг нуман дээр тулгуурласан бүх бичээстэй өнцөг нь хоорондоо тэнцүү байна.
Бид харуулж байна:
Нэг нуман дээр үндэслэсэн тоо томшгүй олон тооны бичээстэй өнцөгүүд байдаг (бидэнд энэ нум байгаа), тэдгээр нь огт өөр харагдаж магадгүй, гэхдээ бүгд ижил төв өнцөгтэй () бөгөөд энэ нь эдгээр бүх бичээстэй өнцөгүүд хоорондоо тэнцүү гэсэн үг юм.
Дүгнэлт 2
Диаметрт хамаарах өнцөг нь зөв өнцөг юм.
Хараач: аль өнцөгт төвлөрдөг вэ?
Мэдээж, . Гэхдээ тэр тэнцүү! За, тиймээс (түүнчлэн өөр олон бичээстэй өнцөгүүд дээр тулгуурласан) ба тэнцүү байна.
Хоёр хөвч ба секантын хоорондох өнцөг
Гэхдээ бидний сонирхож буй өнцөг нь бичээсгүй, төвлөрсөн биш, жишээ нь дараах байдалтай байвал яах вэ?
эсвэл ийм үү?
Үүнийг ямар нэгэн төв өнцгөөр илэрхийлэх боломжтой юу? Энэ нь боломжтой болох нь харагдаж байна. Хараач: бид сонирхож байна.
a) (гадна булан болгон). Гэхдээ - бичээстэй, нуман дээр тулгуурладаг -. - бичээстэй, нуман дээр тулгуурласан - .
Гоо сайхны хувьд тэд:
Хөвчний хоорондох өнцөг нь энэ өнцөгт бэхлэгдсэн нумын өнцгийн нийлбэрийн хагастай тэнцүү байна.
Тэд үүнийг товчхон бичихийн тулд бичдэг, гэхдээ мэдээжийн хэрэг, энэ томъёог ашиглахдаа төв өнцгүүдийг анхаарч үзэх хэрэгтэй
б) Одоо - "гадаа"! Энэ яаж байж болох вэ? Тийм ээ, бараг адилхан! Зөвхөн одоо (бид гадаад өнцгийн шинж чанарыг дахин ашигладаг). Яг одоо.
Энэ нь ... гэсэн үг юм. Тэмдэглэл, үг хэллэгт гоо үзэсгэлэн, товчлолыг оруулцгаая:
Секантын хоорондох өнцөг нь энэ өнцгөөр бэхлэгдсэн нумануудын өнцгийн утгын зөрүүний хагастай тэнцүү байна.
За, одоо та тойрогтой холбоотой өнцгийн талаархи бүх үндсэн мэдлэгээр зэвсэглэсэн байна. Үргэлжлүүл, сорилтуудыг даван туул!
ТОЙРОГ БОЛОН ИНИНАЛЬДСАН ӨНЦӨГ. ДУНД ТҮВШИН
Таван настай хүүхэд хүртэл тойрог гэж юу байдгийг мэддэг биз дээ? Математикчид үргэлж энэ сэдвээр бүдүүлэг тодорхойлолттой байдаг, гэхдээ бид үүнийг өгөхгүй (харна уу), харин тойрогтой холбоотой цэг, шугам, өнцгийг юу гэж нэрлэдэгийг санацгаая.
Чухал нөхцөлүүд
За, юуны түрүүнд:
| тойргийн төв- тойрог дээрх бүх цэгүүд ижил зайтай байх цэг. |
Хоёрдугаарт:
Өөр нэг хүлээн зөвшөөрөгдсөн илэрхийлэл байдаг: "Хөвч нумыг агшаадаг." Энд зураг дээр, жишээлбэл, хөвч нь нумын дэд хэсэг юм. Хэрэв хөвч гэнэт төвөөр дамжин өнгөрвөл "диаметр" гэсэн тусгай нэртэй болно.
Дашрамд хэлэхэд диаметр ба радиус хэрхэн хамааралтай вэ? Анхааралтай хар. Мэдээжийн хэрэг
Одоо - булангийн нэрс.
Байгалийн, тийм үү? Өнцгийн талууд нь төвөөс сунадаг - энэ нь өнцөг нь төв гэсэн үг юм.
Эндээс заримдаа хүндрэл гардаг. Анхаар - Тойрог дотор ямар ч өнцгийг бичээгүй,гэхдээ зөвхөн орой нь тойрог дээр "сууж" байдаг.
Зурган дээрх ялгааг харцгаая:
Өөр нэг арга бол тэд ингэж хэлдэг:
Энд нэг төвөгтэй зүйл бий. "Харгалзах" эсвэл "өөрийн" төв өнцөг гэж юу вэ? Зөвхөн тойргийн төв хэсэгт оройтой өнцөг, нумын төгсгөлд байгаа төгсгөлүүд үү? Үнэхээр биш. Зургийг хар.
Гэсэн хэдий ч тэдний нэг нь булан шиг харагдахгүй байна - энэ нь илүү том юм. Гэхдээ гурвалжин илүү олон өнцөгтэй байж болохгүй, гэхдээ тойрог нь сайн байж болно! Тиймээс: жижиг AB нум нь жижиг өнцөгт (улбар шар), том нум нь том хэмжээтэй тохирч байна. Яг л тийм биз дээ?
Бичсэн болон төв өнцгийн хэмжээ хоорондын хамаарал
Энэ маш чухал мэдэгдлийг санаарай:
Сурах бичигт тэд энэ баримтыг дараах байдлаар бичих дуртай байдаг.
Төв өнцгөөр найруулга нь илүү хялбар байдаг нь үнэн биш гэж үү?
Гэсэн хэдий ч хоёр томъёоны хоорондох захидал харилцааг олж, зурган дээрээс "харгалзах" төв өнцөг болон бичээстэй өнцөг "байдаг" нумыг олж сурцгаая.
Хараач: энд тойрог ба бичээстэй өнцөг байна:
Түүний "харгалзах" төв өнцөг хаана байна вэ?
Дахин харцгаая:
Дүрэм гэж юу вэ?
Гэхдээ! Энэ тохиолдолд бичээстэй болон төв өнцөг нь нумыг нэг талаас нь "харах" нь чухал юм. Энд жишээ нь:
Хачирхалтай нь, цэнхэр! Учир нь нуман урт, тойргийн хагасаас илүү урт! Тиймээс хэзээ ч бүү андуур!
Бичсэн өнцгийн "хагас" байдлаас ямар үр дагавар гарах вэ?
Гэхдээ жишээ нь:
Диаметрээр багассан өнцөг
Математикчид ижил зүйлийн талаар ярих дуртай байдгийг та аль хэдийн анзаарсан байх. өөр үгээр? Тэдэнд яагаад энэ хэрэгтэй байна вэ? Та харж байна уу, математикийн хэл хэдийгээр албан ёсны боловч амьд байдаг тул энгийн хэл дээрх шиг үүнийг илүү тохиромжтой байдлаар хэлэхийг хүсэх бүртээ. "Нум дээр тулгуурласан өнцөг" гэж юу болохыг бид аль хэдийн үзсэн. Үүнтэй ижил зургийг "өнцөг хөвч дээр тогтдог" гэж төсөөлөөд үз дээ. Аль нь вэ? Тийм ээ, мэдээжийн хэрэг, энэ нумыг чангалж байгаа хүнд!
Хэзээ нумаас илүү хөвч дээр найдах нь илүү тохиромжтой вэ?
За, ялангуяа энэ хөвч нь диаметртэй үед.
Ийм нөхцөл байдалд зориулсан гайхалтай энгийн, үзэсгэлэнтэй, ашигтай мэдэгдэл байдаг!
Хараач: энд тойрог, диаметр, түүн дээр тулгуурласан өнцөг байна.
ТОЙРОГ БА ИНИНАЛЬДСАН ӨНЦӨГ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН
1. Үндсэн ойлголтууд.
3. Нуман ба өнцгийн хэмжилт.
Радианы өнцөг нь нумын урт нь тойргийн радиустай тэнцүү төв өнцөг юм.
Энэ нь хагас тойргийн уртыг түүний радиустай харьцуулсан тоо юм.
Радиусын тойрог нь тэнцүү байна.
4. Бичсэн болон төв өнцгийн утгуудын хоорондын хамаарал.
Төв өнцөгорой нь тойргийн төвд байрлах өнцөг юм.
Бичсэн өнцөг- орой нь тойрог дээр байрладаг, талууд нь огтлолцдог өнцөг.
Зураг дээр төв ба бичээстэй өнцөг, тэдгээрийн хамгийн чухал шинж чанаруудыг харуулав.
Тэгэхээр, төв өнцгийн хэмжээ нь түүний тулгуурласан нумын өнцгийн хэмжээтэй тэнцүү байна. Энэ нь 90 градусын төв өнцөг нь 90 ° -тай тэнцэх нуман, өөрөөр хэлбэл тойрог дээр тулгуурлана гэсэн үг юм. 60 ° -тай тэнцүү төв өнцөг нь 60 градусын нуман дээр, өөрөөр хэлбэл тойргийн зургаа дахь хэсэгт байрладаг.
Бичсэн өнцгийн хэмжээ нь ижил нуман дээр суурилсан төв өнцгөөс хоёр дахин бага байна.
Мөн асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд "хөрч" гэсэн ойлголт хэрэгтэй болно.
Тэнцүү төв өнцгүүд нь ижил хөвчийг агуулдаг.
1. Тойргийн диаметртэй тэнцэх бичээстэй өнцөг хэд вэ? Хариултаа градусаар өгнө үү.
Диаметрээр хүрээлэгдсэн бичээстэй өнцөг нь зөв өнцөг юм.
2. Төвийн өнцөг нь ижил дугуй нумын дагуух хурц бичээстэй өнцгөөс 36° их байна. Бичсэн өнцгийг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.
Төвийн өнцгийг x-тэй тэнцүү, ижил нумаар татсан бичээстэй өнцгийг y-тэй тэнцүү болго.
x = 2y гэдгийг бид мэднэ.
Тиймээс 2y = 36 + y,
y = 36.
3. Тойргийн радиус нь 1. Хөвчний дагуух мохоо бичээстэй өнцгийн хэмжээг -тэй тэнцүү ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.
AB хөвчийг -тэй тэнцүү болго. Энэ хөвчний дагуух мохоо бичээстэй өнцгийг α гэж тэмдэглэнэ.
AOB гурвалжинд AO ба OB талууд нь 1-тэй, AB тал нь -тэй тэнцүү байна. Бид ийм гурвалжинтай аль хэдийн тааралдсан. Мэдээжийн хэрэг, AOB гурвалжин нь тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт хэлбэртэй, өөрөөр хэлбэл AOB өнцөг нь 90 ° байна.
Дараа нь ACB нум нь 90 °, AKB нум нь 360 ° - 90 ° = 270 ° -тай тэнцүү байна.
α бичээстэй өнцөг нь AKB нуман дээр тулгуурласан бөгөөд энэ нумын өнцгийн утгын хагастай тэнцүү буюу 135° байна.
Хариулт: 135.
4. AB хөвч нь тойргийг хоёр хэсэгт хуваадаг бөгөөд градусын утга нь 5:7 харьцаатай байна. Тойргийн жижиг нуманд хамаарах С цэгээс энэ хөвч ямар өнцгөөр харагдах вэ? Хариултаа градусаар өгнө үү.
Энэ даалгаварт гол зүйл бол нөхцөл байдлыг зөв зурах, ойлгох явдал юм. "С цэгээс хөвч ямар өнцгөөр харагдаж байна вэ?" Гэсэн асуултыг та хэрхэн ойлгож байна вэ?
Та C цэг дээр сууж байгаа бөгөөд AB хөвч дээр болж буй бүх зүйлийг харах хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. AB аккорд нь кино театрын дэлгэц юм шиг байна :-)
Мэдээжийн хэрэг та ACB өнцгийг олох хэрэгтэй.
AB хөвч тойргийг хуваах хоёр нумын нийлбэр нь 360°-тай тэнцүү байна.
5х + 7х = 360°
Тиймээс x = 30 °, дараа нь бичээстэй ACB өнцөг нь 210 ° -тай тэнцүү нуман дээр тулгуурладаг.
Бичсэн өнцгийн хэмжээ нь түүний тулгуурласан нумын өнцгийн хагастай тэнцүү бөгөөд энэ нь ACB өнцөг нь 105 ° -тай тэнцүү байна гэсэн үг юм.
Бичсэн өнцөг, асуудлын онол. Найзууд аа! Энэ нийтлэлд бид бичээстэй өнцгийн шинж чанарыг мэдэх шаардлагатай ажлуудын талаар ярих болно. Энэ бол бүхэл бүтэн бүлэг даалгавар бөгөөд тэдгээрийг Улсын нэгдсэн шалгалтанд оруулсан болно. Тэдгээрийн ихэнхийг маш энгийнээр, нэг үйлдлээр шийдэж болно.
Илүү хэцүү асуудлууд байдаг, гэхдээ тэдгээр нь танд тийм ч хэцүү биш байх болно, та бичээстэй өнцгийн шинж чанарыг мэдэх хэрэгтэй. Аажмаар бид даалгаврын бүх загварт дүн шинжилгээ хийх болно, би таныг блогт урьж байна!
Одоо шаардлагатай онол. Эдгээр өнцөгүүд дээр тулгуурласан төв ба бичээстэй өнцөг, хөвч, нум гэж юу болохыг санацгаая.
Тойрог дахь төв өнцөг нь хавтгай өнцөг юмтүүний төв хэсэгт орой.
Хавтгай өнцөг дотор байрлах тойргийн хэсэгтойргийн нум гэж нэрлэдэг.
Тойргийн нумын градусын хэмжүүр гэж нэрлэдэг градусын хэмжүүр харгалзах төв өнцөг.
Хэрэв өнцгийн орой нь хэвтэж байвал түүнийг тойрог дотор бичнэтойрог дээр, өнцгийн талууд нь энэ тойрогтой огтлолцдог.
Тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон сегментийг нэрлэдэгхөвч. Хамгийн том хөвч нь тойргийн төвөөр дамжин өнгөрч, түүнийг дууддагдиаметр.
Тойрог дотор бичээстэй өнцгүүдтэй холбоотой асуудлыг шийдэхийн тулд,Та дараах шинж чанаруудыг мэдэх хэрэгтэй.
1. Бичсэн өнцөг нь ижил нуман дээр тулгуурлан төвийн өнцгийн хагастай тэнцүү байна.
2. Ижил нуманд оршдог бүх бичээстэй өнцөг тэнцүү байна.
3. Нэг хөвч дээр суурилсан, орой нь энэ хөвчний нэг талд байрлах бүх бичээстэй өнцөгүүд тэнцүү байна.
4. Оройнууд нь хөвчний эсрэг талд байрлах нэг хөвч дээр суурилсан дурын хос өнцгийг нийлбэр 180° хүртэл авна.
Дүгнэлт: тойрог дотор бичсэн дөрвөн өнцөгтийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 градус байна.
5. Диаметрээр тусгаарлагдсан бүх бичээстэй өнцөг нь зөв өнцөг юм.
Ерөнхийдөө энэ өмч нь өмчийн үр дагавар юм (1 энэ бол түүний онцгой тохиолдол); Хараач - төвийн өнцөг нь 180 градустай тэнцүү байна (мөн энэ задарсан өнцөг нь диаметрээс өөр зүйл биш юм), энэ нь эхний шинж чанарын дагуу бичээстэй C өнцөг нь түүний хагастай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл 90 градус байна гэсэн үг юм.
Энэ өмчийг мэдэх нь олон асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалдаг бөгөөд ихэвчлэн шаардлагагүй тооцооллоос зайлсхийх боломжийг олгодог. Үүнийг сайн эзэмшсэнээр та энэ төрлийн асуудлын талаас илүү хувийг амаар шийдвэрлэх боломжтой болно. Хоёр дүгнэлт гаргаж болно:
Дүгнэлт 1: Хэрэв гурвалжинг тойрог дотор бичээд түүний нэг тал нь энэ тойргийн диаметртэй давхцаж байвал гурвалжин нь тэгш өнцөгт (орой) байна. зөв өнцөгтойрог дээр хэвтэж байна).
Үр дүн 2: тухай тайлбарласан төв зөв гурвалжинтойрог нь түүний гипотенузын дунд давхцаж байна.
Стереометрийн асуудлын олон прототипийг мөн энэ өмч болон эдгээр үр дагаврыг ашиглан шийддэг. Баримтыг өөрөө санаарай: хэрвээ тойргийн диаметр нь бичээстэй гурвалжны тал юм бол энэ гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна (диаметрийн эсрэг талын өнцөг нь 90 градус). Та бусад бүх дүгнэлт, үр дагаврыг өөрөө гаргаж болно, тэдэнд заах шаардлагагүй.
Дүрмээр бол бичээстэй өнцгүүдийн асуудлын тал хувийг ноорог, гэхдээ тэмдэггүйгээр өгдөг. Асуудлыг шийдвэрлэх үед (өгүүллийн доор) үндэслэлийг ойлгохын тулд оройн (өнцөг) тэмдэглэгээг оруулсан болно. Улсын нэгдсэн шалгалт дээр үүнийг хийх шаардлагагүй.Даалгавруудыг авч үзье:
Тойргийн радиустай тэнцэх хөвчээр бэхлэгдсэн хурц бичээстэй өнцгийн утга хэд вэ? Хариултаа градусаар өгнө үү.
Өгөгдсөн бичээстэй өнцгийн төв өнцгийг байгуулж, оройг нь тэмдэглэе.
Тойрог дотор бичсэн өнцгийн шинж чанарын дагуу:
AOB гурвалжин нь тэгш талт тул AOB өнцөг нь 60 0-тэй тэнцүү байна. тэгш талт гурвалжинбүх өнцөг нь 60 0-тэй тэнцүү байна. Нөхцөл нь хөвч нь радиустай тэнцүү гэж заасан тул гурвалжны талууд тэнцүү байна.
Тиймээс ACB бичээстэй өнцөг нь 30 0-тэй тэнцүү байна.
Хариулт: 30
3 радиустай тойрогт сийлсэн 30 0 өнцгөөр тулгуурласан хөвчийг ол.
Энэ нь үндсэндээ урвуу асуудал юм (өмнөх). Төвийн өнцгийг байгуулъя.
Энэ нь бичээсээс хоёр дахин том, өөрөөр хэлбэл AOB өнцөг нь 60 0-тэй тэнцүү байна. Эндээс бид AOB гурвалжин тэгш талт байна гэж дүгнэж болно. Тиймээс хөвч нь радиустай, өөрөөр хэлбэл гуравтай тэнцүү байна.
Хариулт: 3
Тойргийн радиус нь 1. Хоёрын язгууртай тэнцүү хөвчөөр татсан мохоо бичээстэй өнцгийн хэмжээг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.
Төв өнцгийг байгуулъя:
Радиус ба хөвчийг мэдсэнээр бид ASV-ийн төв өнцгийг олох боломжтой. Үүнийг косинусын теорем ашиглан хийж болно. Төвийн өнцгийг мэдсэнээр бид бичээстэй ACB өнцгийг хялбархан олох боломжтой.
Косинусын теорем: гурвалжны аль ч талыг квадрат нийлбэртэй тэнцүү байнаэдгээр талуудын үржвэрийг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар хоёр дахин нэмэгдүүлэхгүйгээр нөгөө хоёр талын квадратууд.
Тиймээс хоёр дахь төвийн өнцөг нь 360 0 байна – 90 0 = 270 0 .
ACB өнцөг нь бичээстэй өнцгийн шинж чанараараа түүний хагастай тэнцүү буюу 135 градус байна.
Хариулт: 135
Гурван радиустай язгууртай тойрогт сийлсэн 120 градусын өнцгөөр хөрвүүлсэн хөвчийг ол.
А ба В цэгүүдийг тойргийн төв рүү холбоно. Үүнийг O гэж тэмдэглэе:
Бид ASV радиус ба бичээстэй өнцгийг мэднэ. Бид AOB төв өнцгийг (180 градусаас их), дараа нь AOB гурвалжин дахь AOB өнцгийг олно. Дараа нь косинусын теоремыг ашиглан AB-ийг тооцоол.
Бичсэн өнцгийн шинж чанарын дагуу AOB төв өнцөг (энэ нь 180 градусаас их) нь бичээстэй өнцгөөс хоёр дахин их буюу 240 градустай тэнцүү байх болно. Энэ нь AOB гурвалжин дахь AOB өнцөг нь 360 0 – 240 0 = 120 0-тэй тэнцүү гэсэн үг юм.
Косинусын теоремын дагуу:
Хариулт: 3
Тойргийн 20%-тай тэнцэх нумаар татсан бичээстэй өнцгийг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.
Бичсэн өнцгийн шинж чанарын дагуу энэ нь ижил нуман дээр суурилсан төв өнцгийн хагасын хэмжээтэй байна. энэ тохиолдолдБид AB нумын тухай ярьж байна.
AB нум нь тойргийн 20 хувийг эзэлдэг гэдэг. Энэ нь AOB төв өнцөг нь 360 0-ийн 20 хувьтай тэнцүү байна гэсэн үг юм.*Тойрог бол 360 градусын өнцөг юм. гэсэн үг,
Тиймээс ACB бичээстэй өнцөг нь 36 градус байна.
Хариулт: 36
Тойргийн нум А.С., цэг агуулаагүй Б, 200 градус байна. Мөн цэг агуулаагүй МЭӨ тойргийн нум А, 80 градус байна. ACB бичээстэй өнцгийг ол. Хариултаа градусаар өгнө үү.
Тодорхой болгохын тулд өнцгийн хэмжүүрүүд нь өгөгдсөн нумуудыг тэмдэглэе. 200 градустай тохирох нум - цэнхэр, 80 градусын харгалзах нум нь улаан өнгөтэй, тойргийн үлдсэн хэсэг нь байна шар.
Тиймээс AB нумын градусын хэмжүүр (шар), тиймээс AOB төв өнцөг нь: 360 0 байна. – 200 0 – 80 0 = 80 0 .
ACB бичээстэй өнцөг нь AOB төв өнцгийн хагас буюу 40 градустай тэнцүү байна.
Хариулт: 40
Тойргийн диаметртэй тэнцэх бичээстэй өнцөг хэд вэ? Хариултаа градусаар өгнө үү.
Өнөөдөр бид өөр төрлийн 6 асуудлыг авч үзэх болно - энэ удаад тойрог хэлбэрээр. Олон оюутнууд тэдэнд дургүй, хэцүү байдаг. Ийм асуудал шийдэгдсэн тул дэмий хоосон анхан шатны, хэрэв та зарим теоремыг мэддэг бол. Эсвэл та тэднийг мэдэхгүй бол тэд огт зүрхлэхгүй.
Үндсэн шинж чанаруудын талаар ярихаасаа өмнө тодорхойлолтыг сануулъя.
Орой нь тойрог дээр байрладаг бөгөөд талууд нь энэ тойрог дээр хөвчийг тасласан өнцгийг бичээстэй өнцөг гэнэ.
Төвийн өнцөг нь орой нь тойргийн төвд байх аливаа өнцөг юм. Түүний талууд нь мөн энэ тойргийг огтолж, дээр нь хөвч сийлдэг.
Иймд бичээстэй ба төв өнцгийн тухай ойлголтууд нь тойрог, түүний доторх хөвчтэй салшгүй холбоотой байдаг. Одоо гол мэдэгдэл:
Теорем. Төвийн өнцөг нь үргэлж ижил нуман дээр тулгуурлан бичээстэй өнцгөөс хоёр дахин их байдаг.
Энэ мэдэгдэл нь энгийн хэдий ч үүнийг ашиглан шийдэж болох бүхэл бүтэн анги 6 асуудал байдаг - өөр юу ч биш.
Даалгавар. Тойргийн радиустай тэнцэх хөвчээр бэхлэгдсэн хурц бичээстэй өнцгийг ол.
AB нь авч үзэж буй хөвч, O тойргийн төв байг. Нэмэлт бүтэц: OA ба OB нь тойргийн радиус юм. Бид авах:
АВО гурвалжинг авч үзье. Үүнд AB = OA = OB - бүх талууд нь тойргийн радиустай тэнцүү байна. Тиймээс АВО гурвалжин нь тэгш талт бөгөөд бүх өнцөг нь 60 ° байна.
Бичсэн өнцгийн оройг M гэж үзье. О ба М өнцгүүд нь ижил AB нуман дээр тулгуурладаг тул бичээстэй M өнцөг нь төвийн О өнцгөөс 2 дахин бага байна. Бидэнд:
M = O: 2 = 60: 2 = 30
Даалгавар. Төвийн өнцөг нь тойргийн ижил нумаар зураасан өнцгөөс 36° их байна. Бичсэн өнцгийг ол.
Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя.
- AB нь тойргийн хөвч юм;
- O цэг нь тойргийн төв, тиймээс AOB өнцөг нь төв өнцөг;
- С цэг нь ACB бичээстэй өнцгийн орой юм.
Бид бичээстэй ACB өнцгийг хайж байгаа тул үүнийг ACB = x гэж тэмдэглэе. Дараа нь AOB төв өнцөг нь x + 36. Нөгөө талаас төв өнцөг нь бичээстэй өнцгөөс 2 дахин их байна. Бидэнд:
AOB = 2 · ACB ;
x + 36 = 2 x ;
x = 36.
Тиймээс бид бичээстэй AOB өнцгийг олсон - энэ нь 36 ° -тай тэнцүү байна.
Тойрог нь 360 ° өнцөг юм
Хадмал орчуулгыг уншаад мэдлэгтэй уншигчид одоо "Өө!" гэж хэлэх байх. Үнэн хэрэгтээ тойргийг өнцөгтэй харьцуулах нь тийм ч зөв биш юм. Бидний юу яриад байгааг ойлгохын тулд сонгодог тригонометрийн тойргийг харна уу.
Энэ зураг юунд зориулагдсан бэ? Үүнээс гадна бүрэн эргэлт нь 360 градусын өнцөг юм. Хэрэв та үүнийг 20 тэнцүү хэсэгт хуваавал тэдгээрийн хэмжээ 360: 20 = 18 градус болно. Энэ нь В8 асуудлыг шийдвэрлэхэд яг хэрэгтэй зүйл юм.
A, B, C цэгүүд тойрог дээр хэвтэж, гурван нуманд хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн градусын хэмжээ нь 1: 3: 5 харьцаатай байна. ABC гурвалжны том өнцгийг ол.
Эхлээд нуман бүрийн градусын хэмжүүрийг олъё. Жижиг нь x байг. Зураг дээр энэ нумыг AB гэж тодорхойлсон. Дараа нь үлдсэн нумууд - BC ба AC - AB-ээр илэрхийлэгдэж болно: нуман BC = 3x; AC = 5x. Нийтдээ эдгээр нумууд нь 360 градус өгдөг.
AB + BC + AC = 360;
x + 3x + 5x = 360;
9х = 360;
x = 40.
Одоо В цэгийг агуулаагүй том АС нумыг авч үзье. Энэ нум нь харгалзах төв өнцөг AOC шиг 5x = 5 40 = 200 градус байна.
ABC өнцөг нь гурвалжны бүх өнцгүүдийн хамгийн том нь юм. Энэ нь AOC төвийн өнцөгтэй ижил нумаар татагдсан бичээстэй өнцөг юм. Энэ нь ABC өнцөг нь AOC-ээс 2 дахин бага гэсэн үг юм. Бидэнд:
ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100
Энэ нь ABC гурвалжин дахь том өнцгийн градусын хэмжүүр болно.
Тэгш өнцөгт гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойрог
Олон хүмүүс энэ теоремыг мартдаг. Гэхдээ дэмий хоосон, учир нь В8-ийн зарим асуудлыг үүнгүйгээр шийдэх боломжгүй юм. Илүү нарийвчлалтай, тэдгээрийг шийдсэн боловч ийм хэмжээний тооцооллын дагуу та хариултанд хүрэхээс илүү унтахыг илүүд үздэг.
Теорем. Тэгш өнцөгт гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь гипотенузын голд байрладаг.
Энэ теоремоос юу гарах вэ?
- Гипотенузын дунд цэг нь гурвалжны бүх оройноос ижил зайд байрладаг. Энэ нь теоремын шууд үр дагавар юм;
- Гипотенуз руу татсан медиан нь анхны гурвалжинг хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинд хуваана. Энэ нь В8 асуудлыг шийдвэрлэхэд яг хэрэгтэй зүйл юм.
ABC гурвалжинд бид медиан CD-г зурна. C өнцөг нь 90 °, B өнцөг нь 60 ° байна. ACD өнцгийг ол.
C өнцөг нь 90 ° тул ABC гурвалжин нь тэгш өнцөгт гурвалжин болно. Эндээс харахад CD нь гипотенуз руу татсан медиан юм. Энэ нь ADC ба BDC гурвалжнууд нь ижил өнцөгт байна гэсэн үг юм.
Ялангуяа ADC гурвалжинг авч үзье. Үүнд AD = CD. Гэхдээ ижил өнцөгт гурвалжинд суурийн өнцөг нь тэнцүү байна - "Б8 асуудал: Гурвалжин дахь шугамын сегмент ба өнцөг" -ийг үзнэ үү. Тиймээс хүссэн өнцөг ACD = A.
Тэгэхээр А өнцөг ямар хэмжээтэй тэнцүү болохыг олж мэдэх л үлдлээ. Үүнийг хийхийн тулд анхны ABC гурвалжин руу дахин орцгооё. A = x өнцгийг тэмдэглэе. Аливаа гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 ° тул бид дараах байдалтай байна.
A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
x = 30.
Мэдээжийн хэрэг, сүүлчийн асуудлыг өөрөөр шийдэж болно. Жишээлбэл, BCD гурвалжин нь зөвхөн тэгш өнцөгт биш, харин тэгш өнцөгт гэдгийг батлахад хялбар байдаг. Тэгэхээр BCD өнцөг нь 60 градус байна. Тиймээс ACD өнцөг нь 90 - 60 = 30 градус байна. Таны харж байгаагаар та өөр өөр тэгш өнцөгт гурвалжинг ашиглаж болно, гэхдээ хариулт нь үргэлж ижил байх болно.