Энэ нь тэдний үндсэн шинж чанарт суурилдаг: хэрвээ бутархайн хуваагч ба хуваагчийг тэгээс өөр олон гишүүнтээр хуваавал тэнцүү бутархай гарна.
Та зөвхөн үржүүлэгчийг багасгаж чадна!
Олон гишүүнтийн гишүүдийг товчилж болохгүй!
Алгебрийн бутархайг багасгахын тулд эхлээд тоологч ба хуваагч дахь олон гишүүнтүүдийг үржүүлэх шаардлагатай.
Бутархайг багасгах жишээг авч үзье.
Бутархайн тоо болон хуваагч нь мономиалуудыг агуулна. Тэд төлөөлдөг ажил(тоо, хувьсагч ба тэдгээрийн хүч), үржүүлэгчидбид багасгаж чадна.
Бид тоог хамгийн их болгон бууруулж байна нийтлэг хуваагч, өөрөөр хэлбэл, дээр хамгийн их тоо, эдгээр тоо тус бүрийг хуваана. 24 ба 36-ын хувьд энэ нь 12. Буурсны дараа 24-өөс 2, 36-аас 3 хэвээр байна.
Бид хамгийн бага индекстэй зэрэглэлийг градусаар бууруулдаг. Бутархайг багасгах гэдэг нь хуваагч болон хуваагчийг ижил хуваагчаар хувааж, илтгэгчийг хасахыг хэлнэ.
a² ба a⁷ нь a² болж буурсан. Энэ тохиолдолд a²-ийн тоологчд нэг үлдэнэ (бид багассаны дараа өөр хүчин зүйл үлдэхгүй тохиолдолд л 1-ийг бичнэ. 24-өөс 2 үлдсэн тул a²-аас 1-ийг бичихгүй). a⁷-аас буурсны дараа a⁵ үлдэнэ.
b ба b үр дүнгийн нэгжийг бичээгүй;
c³º ба c⁵ нь c⁵ болж богиноссон. c³º-ээс c²⁵ үлддэг, c⁵-ээс нэг (бид үүнийг бичдэггүй). Тиймээс,
Энэхүү алгебрийн бутархайн хүртэгч ба хуваагч нь олон гишүүнт юм. Та олон гишүүнтийн нөхцлүүдийг цуцлах боломжгүй! (жишээ нь, 8x² ба 2x-ийг багасгаж болохгүй!). Энэ фракцыг багасгахын тулд танд хэрэгтэй. Тоолуур нь 4x-ийн нийтлэг хүчин зүйлтэй. Үүнийг хаалтнаас гаргаж авцгаая:
Тоолуур ба хуваагч хоёулаа ижил хүчин зүйлтэй (2х-3). Бид энэ хүчин зүйлээр бутархайг багасгадаг. Тоолуур дээр бид 4x, хуваарьт - 1. 1 өмчийн хувьд алгебрийн бутархай, бутархай нь 4x.
Та зөвхөн хүчин зүйлийг багасгаж болно (та энэ хэсгийг 25x²-ээр багасгаж чадахгүй!). Иймд бутархайн хуваагч ба хуваагч дахь олон гишүүнтүүдийг үржүүлэх шаардлагатай.
Тоолуур дээр - төгс дөрвөлжиннийлбэр, хуваагч нь квадратуудын зөрүү юм. Үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан задралын дараа бид дараахь зүйлийг олж авна.
Бид бутархайг (5x+1)-ээр бууруулна (үүнийг хийхийн тулд тоологч дахь хоёрыг илтгэгч болгон хайчилж, (5x+1)² (5x+1) үлдээнэ):
Тоолуур нь 2-ын нийтлэг хүчин зүйлтэй тул үүнийг хаалтнаас гаргая. Хуваагч нь шоо дөрвөлжингийн зөрүүний томъёо юм.
Өргөтгөлийн үр дүнд тоологч ба хуваагч ижил хүчин зүйлийг (9+3a+a²) авсан. Бид түүгээр бутархайг багасгадаг:
Тоолуур дахь олон гишүүнт 4 гишүүнээс бүрдэнэ. эхний гишүүнийг хоёр дахь, гурав дахь нь дөрөв дэх гишүүнтэй хамт, эхний хаалтаас нийтлэг хүчин зүйл x²-г хасна. Бид хуваагчийг кубын нийлбэр томъёогоор задалдаг.
Тоолуур дахь нийтлэг хүчин зүйлийг (x+2) хаалтнаас гаргая.
Бутархайг (x+2)-аар бууруул:
Бутархайг илүү их болгохын тулд бутархайг багасгах шаардлагатай энгийн үзэмжжишээлбэл, илэрхийлэлийг шийдсэний үр дүнд олж авсан хариултанд.
Бутархай тоо, тодорхойлолт, томъёог багасгах.
Бутархайг багасгах гэж юу вэ? Бутархайг багасгах гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?
Тодорхойлолт:
Бутархайг багасгах- энэ нь бутархайн хуваагч ба хуваагчийг тэг ба нэгтэй тэнцүү биш ижил эерэг тоонд хуваах явдал юм. Бууралтын үр дүнд өмнөх бутархайтай тэнцүү, бага тоологч ба хуваагчтай бутархайг олж авна.
Бутархайг багасгах томъёорационал тооны үндсэн шинж чанарууд.
\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)
Нэг жишээг харцгаая:
Бутархайг багасгах \(\frac(9)(15)\)
Шийдэл:
Бид бутархайг өргөтгөж болно үндсэн хүчин зүйлүүднийтлэг хүчин зүйлсийг багасгах.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)
Хариулт: бууруулсны дараа бид \(\frac(3)(5)\) бутархайг авсан. Рационал тооны үндсэн шинж чанарын дагуу эх ба үр дүнгийн бутархай нь тэнцүү байна.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Бутархайг хэрхэн багасгах вэ? Бутархайг бууруулж болшгүй хэлбэрт нь оруулах.
Үр дүнд нь бууруулж болохгүй бутархай авахын тулд бидэнд хэрэгтэй хамгийн том нийтлэг хуваагчийг (GCD) олохбутархайн хуваагч ба хуваарийн хувьд.
Жишээн дээр бид тоонуудыг үндсэн хүчин зүйл болгон задлах аргыг ашиглан GCD-ийг олох хэд хэдэн арга байдаг.
\(\frac(48)(136)\) бууруулж болохгүй бутархайг ол.
Шийдэл:
GCD(48, 136)-г олъё. 48 ба 136 тоонуудыг анхны үржүүлэгч болгон бичье.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
GCD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\өнгө(улаан) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)
Бутархайг бууруулж болохгүй хэлбэрт оруулах дүрэм.
- Та хуваагч болон хуваагчийн хамгийн том нийтлэг хуваагчийг олох хэрэгтэй.
- Та хуваалтын үр дүнд бууршгүй бутархай авахын тулд тоологч ба хуваагчийг хамгийн их нийтлэг хуваагчаар хуваах хэрэгтэй.
Жишээ:
\(\frac(152)(168)\) бутархайг багасга.
Шийдэл:
GCD(152, 168)-ийг олцгооё. 152 ба 168 тоонуудыг анхны үржүүлэгч болгон бичье.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
GCD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\өнгө(улаан) (6) \удаа 19)(\өнгө(улаан) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)
Хариулт: \(\frac(19)(21)\) нь бууруулж болохгүй бутархай.
Зохисгүй фракцуудыг багасгах.
Буруу бутархайг хэрхэн багасгах вэ?
Бутархайг багасгах дүрэм нь зөв ба буруу бутархайн хувьд ижил байна.
Нэг жишээг харцгаая:
Бутархай бутархайг багасгах \(\frac(44)(32)\).
Шийдэл:
Тоолуур ба хуваагчийг энгийн хүчин зүйл болгон бичье. Тэгээд бид нийтлэг хүчин зүйлсийг багасгах болно.
\(\frac(44)(32)=\frac(\өнгө(улаан) (2 \times 2 ) \times 11)(\өнгө(улаан) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)
Холимог фракцуудыг багасгах.
Холимог бутархай нь энгийн бутархайтай ижил дүрмийг баримталдаг. Ганц ялгаа нь бид чадна бүхэлд нь хүрч болохгүй, харин бутархай хэсгийг багасгахэсвэл Холимог бутархайг буруу бутархай болгон хувиргаж, багасгаж, зохих бутархай руу хөрвүүлнэ.
Нэг жишээг харцгаая:
\(2\frac(30)(45)\) холимог бутархайг цуцлах.
Шийдэл:
Үүнийг хоёр аргаар шийдье:
Эхний арга:
Бутархай хэсгийг энгийн хүчин зүйл болгон бичье, гэхдээ бид бүхэлд нь хөндөхгүй.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)
Хоёр дахь арга:
Эхлээд буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь анхны хүчин зүйл болгон бичээд багасгая. Үүссэн буруу бутархайг зөв бутархай болгон хувиргацгаая.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \ times) 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)
Холбогдох асуултууд:
Нэмэх, хасах үед бутархайг багасгаж чадах уу?
Хариулт: Үгүй ээ, та эхлээд дүрмийн дагуу бутархайг нэмэх эсвэл хасах хэрэгтэй бөгөөд зөвхөн дараа нь багасгах хэрэгтэй. Нэг жишээг харцгаая:
\(\frac(50+20-10)(20)\) илэрхийллийг үнэл.
Шийдэл:
Тэд ихэвчлэн хуваагч болон хуваагч дахь ижил тоог, манай тохиолдолд 20-ын тоог багасгах алдаа гаргадаг боловч нэмэх, хасах үйлдлийг хийж дуустал тэдгээрийг багасгах боломжгүй юм.
\(\frac(50+\өнгө(улаан) (20)-10)(\өнгө(улаан) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
Бутархайг ямар тоогоор багасгаж болох вэ?
Хариулт: Та бутархайг хамгийн их нийтлэг хүчин зүйлээр эсвэл тоологч ба хуваагчийн нийтлэг хуваагчаар багасгаж болно. Жишээ нь, бутархай \(\frac(100)(150)\).
100 ба 150 тоонуудыг анхны үржүүлэгч болгон бичье.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Хамгийн том нийтлэг хуваагч нь gcd(100, 150)= 2⋅5⋅5=50 тоо байх болно.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)
Бид \(\frac(2)(3)\) бууруулж болохгүй бутархайг авсан.
Гэхдээ энэ нь үргэлж gcd-д хуваагдах шаардлагагүй; Жишээлбэл, 100 ба 150 тоонуудын нийтлэг хуваагч нь 2. \(\frac(100)(150)\) бутархайг 2-оор бууруулъя.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \\ дахин 50)(2 \\ дахин 75)=\frac(50)(75)\)
Бид багасгаж болох бутархайг авсан \(\frac(50)(75)\).
Ямар фракцуудыг багасгаж болох вэ?
Хариулт: Тоолуур ба хуваагч нь нийтлэг хуваагчтай бутархайг багасгаж болно. Жишээ нь, бутархай \(\frac(4)(8)\). 4 ба 8-ын тоо нь хоёулаа хуваагддаг тоотой байдаг - 2. Тиймээс ийм бутархайг 2-оор багасгаж болно.
Жишээ:
\(\frac(2)(3)\) ба \(\frac(8)(12)\) хоёр бутархайг харьцуул.
Эдгээр хоёр бутархай тэнцүү байна. \(\frac(8)(12)\) бутархайг нарийвчлан авч үзье:
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \ дахин 1 = \ frac (2) (3) \)
Эндээс бид \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\) болно.
Хоёр бутархай нь тэдгээрийн аль нэгийг нь нөгөө бутархайг хуваагч ба хуваагчийн нийтлэг хүчин зүйлээр бууруулж авсан тохиолдолд л тэнцүү байна.
Жишээ:
Боломжтой бол дараах бутархайг багасга: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)
Шийдэл:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
б) \(\frac(27)(63)=\frac(\өнгө(улаан) (3 \удаа 3) \удаа 3)(\өнгө(улаан) (3 \удаа 3) \удаа 7)=\frac (3)(7)\)
в) \(\frac(17)(100)\) бууруулж болохгүй бутархай
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\өнгө(улаан) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ дахин 5)=\frac(2)(5)\)
Хэлтэсмөн бутархайн хуваагч ба тэдгээрийн нийтлэг хуваагч, нэгээс өөр, гэж нэрлэдэг хэсгийг багасгах.
Богино болгохын тулд энгийн бутархай, та түүний хүртэгч ба хуваагчийг ижил натурал тоонд хуваах хэрэгтэй.
Энэ тоо нь өгөгдсөн бутархайн хуваагч ба хуваагчийн хамгийн том нийтлэг хуваагч юм.
Дараахь боломжтой шийдвэрийн бүртгэлийн маягтуудЭнгийн бутархайг багасгах жишээ.
Оюутан бичлэгийн аль ч хэлбэрийг сонгох эрхтэй.
Жишээ. Бутархайг хялбарчлах.
Бутархайг 3-аар багасгах (тоологчийг 3-аар хуваах;
хуваагчийг 3-т хуваана).
Бутархайг 7-оор бууруул.
Бид заасан үйлдлүүдийг бутархайн тоо ба хуваагчаар гүйцэтгэдэг.
Үүссэн бутархай нь 5-аар буурсан байна.
Энэ бутархайг багасгая 4)
дээр 5·7³- хуваагч ба хуваагчийн нийтлэг хүчин зүйлүүдээс бүрдэх хамгийн том нийтлэг хуваагч (GCD) нь хамгийн бага илтгэгчтэй зэрэглэлд авагдсан.
Энэ бутархайн хуваагч ба хуваагчийг анхны үржүүлэгчид болгон авч үзье.
Бид авах: 756=2²·3³·7Тэгээд 1176=2³·3·7².
Бутархайн хуваагч ба хуваагчийн GCD (хамгийн их нийтлэг хуваагч) -ийг тодорхойлно уу. 5) .
Энэ нь хамгийн бага илтгэгчээр авсан нийтлэг хүчин зүйлийн үржвэр юм.
GCD(756, 1176)= 2²·3·7.
Бид энэ бутархайн хуваагч ба хуваагчийг gcd-ээр нь хуваана, өөрөөр хэлбэл 2²·3·7бид бууруулж болохгүй бутархайг авна 9/14
.
Эсвэл хуваагч, хуваагчийн задралыг үндсэн хүчин зүйлийн үржвэр хэлбэрээр бичихдээ чадлын тухай ойлголтыг ашиглахгүйгээр, дараа нь хуваагч, хуваагч дахь ижил үржвэрүүдийг таслан бутархайг багасгах боломжтой байсан. Ижил хүчин зүйл үлдэхгүй бол бид үлдсэн хүчин зүйлсийг тоологч хэсэгт тусад нь, хуваарьт тусад нь үржүүлж, үүссэн бутархайг бичнэ. 9/14 .
Эцэст нь энэ фракцыг багасгах боломжтой болсон 5) аажмаар бутархайн хуваагч болон хуваагчийн аль алинд нь тоо хуваах тэмдгийг хэрэглэнэ. Бид ингэж тайлбарлаж байна: тоо 756 Тэгээд 1176 тэгш тоогоор төгссөн нь хоёулаа хуваагддаг гэсэн үг 2 . Бид бутархайг багасгадаг 2 . Шинэ бутархайн хуваагч ба хуваагч нь тоо юм 378 Тэгээд 588 мөн хуваагдана 2 . Бид бутархайг багасгадаг 2 . тоо гэдгийг бид анзаарч байна 294 - тэгш, ба 189 сондгой, 2-оор бууруулах боломжгүй болсон. Тоонуудын хуваагдлыг шалгая 189 Тэгээд 294 дээр 3 .
(1+8+9)=18 нь 3-т хуваагддаг ба (2+9+4)=15 нь 3-т хуваагддаг тул тоонууд өөрсдөө 189 Тэгээд 294 гэж хуваагддаг 3 . Бид бутархайг багасгадаг 3 . Цаашид, 63 3 болон хуваагддаг 98 - Үгүй. Бусад үндсэн хүчин зүйлсийг авч үзье. Хоёр тоо хоёулаа хуваагддаг 7 . Бид бутархайг багасгадаг 7 мөн бид бууруулж болохгүй бутархайг авна 9/14 .
Хэрэв бид 497-г 4-т хуваах шаардлагатай бол хуваахдаа 497 нь 4-т жигд хуваагддаггүй болохыг харах болно. үлдсэн хэсэг нь үлдсэн. Ийм тохиолдолд дууссан гэж ярьдаг үлдэгдэлтэй хуваах, мөн шийдлийг дараах байдлаар бичнэ.
497: 4 = 124 (1 үлдэгдэл).
Тэгш байдлын зүүн талд байгаа хуваах бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг үлдэгдэлгүй хуваахтай ижил гэж нэрлэдэг: 497 - ногдол ашиг, 4 - хуваагч. Үлдэгдэлтэй хуваах үр дүнг дуудна бүрэн бус хувийн. Манай тохиолдолд энэ нь 124 тоо юм. Эцэст нь энгийн хуваагдалд ороогүй сүүлчийн бүрэлдэхүүн хэсэг нь юм. үлдэгдэл. Үлдэгдэлгүй тохиолдолд нэг тоог нөгөө тоонд хуваана гэж хэлдэг ул мөргүй, эсвэл бүрмөсөн. Ийм хуваах үед үлдэгдэл нь тэг болно гэж үздэг. Манай тохиолдолд үлдэгдэл нь 1 байна.
Үлдэгдэл нь хуваагчаас үргэлж бага байдаг.
Хуваалтыг үржүүлэх замаар шалгаж болно. Жишээлбэл, 64: 32 = 2 тэгш байдал байгаа бол шалгалтыг дараах байдлаар хийж болно: 64 = 32 * 2.
Ихэнхдээ үлдэгдэлтэй хуваах тохиолдолд тэгш байдлыг ашиглах нь тохиромжтой байдаг
a = b * n + r,
Үүнд: a нь ногдол ашиг, b нь хуваагч, n нь хэсэгчилсэн хуваагч, r нь үлдэгдэл юм.
Натурал тоонуудын хуваалтыг бутархай хэлбэрээр бичиж болно.
Бутархайн хуваагч нь ногдол ашиг, хуваагч нь хуваагч юм.
Бутархайн хуваагч нь ногдол ашиг, хуваагч нь хуваагч байдаг тул бутархайн шугам нь хуваах үйлдлийг илэрхийлдэг гэж үздэг. Заримдаа ":" тэмдгийг ашиглахгүйгээр хуваахыг бутархай хэлбэрээр бичих нь тохиромжтой байдаг.
m ба n натурал тоонуудын хуваалтын хэсгийг \(\frac(m)(n) \) хэлбэрээр бичиж болно, энд m тоологч нь ногдол ашиг, n хуваагч нь хуваагч байна:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Дараах дүрмүүд үнэн байна.
\(\frac(m)(n)\) бутархайг авахын тулд нэгжийг n тэнцүү хэсэгт (хувьцаа) хувааж, m ийм хэсгийг авах хэрэгтэй.
\(\frac(m)(n)\) бутархайг авахын тулд m тоог n тоонд хуваах хэрэгтэй.
Бүхэл бүтэн хэсгийг олохын тулд бүхэлд тохирох тоог хуваагчаар хувааж, үр дүнг энэ хэсгийг илэрхийлж буй бутархайн тоогоор үржүүлэх хэрэгтэй.
Түүний хэсгээс бүхэлийг олохын тулд та энэ хэсэгт харгалзах тоог тоологчоор хувааж, үр дүнг энэ хэсгийг илэрхийлж буй бутархайн хуваагчаар үржүүлэх хэрэгтэй.
Бутархайн хуваагч ба хуваагч хоёулаа ижил тоогоор үржүүлбэл (тэгээс бусад тохиолдолд) бутархайн утга өөрчлөгдөхгүй.
\(\том \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Бутархайн хуваагч ба хуваагч хоёулаа ижил тоонд хуваагдвал (тэгээс бусад тохиолдолд) бутархайн утга өөрчлөгдөхгүй.
\(\том \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Энэ өмчийг нэрлэдэг бутархайн үндсэн шинж чанар.
Сүүлийн хоёр хувиргалтыг дуудна хэсгийг багасгах.
Хэрэв бутархайг ижил хуваагчтай бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай бол энэ үйлдлийг дуудна бутархайг багасгах Ерөнхий хуваарь .
Зөв ба буруу бутархай. Холимог тоо
Бүхэл бүтэн хэсгийг тэнцүү хэсгүүдэд хувааж, хэд хэдэн ийм хэсгүүдийг авснаар бутархайг олж авч болно гэдгийг та аль хэдийн мэдэж байсан. Жишээлбэл, \(\frac(3)(4)\) бутархай нь нэгийн дөрөвний гурвыг илэрхийлнэ. Өмнөх догол мөрийн олон асуудалд бутархайг бүхэл хэсгүүдийг илэрхийлэхэд ашигласан. Эрүүл ухаанаар тухайн хэсэг нь бүхэлээс үргэлж бага байх ёстой гэж заадаг ч \(\frac(5)(5)\) эсвэл \(\frac(8)(5)\) гэх мэт бутархайг яах вэ? Энэ нь нэгжийн нэг хэсэг байхаа больсон нь тодорхой байна. Чухам ийм учраас хуваагч нь хуваагчаас их буюу тэнцүү бутархайг дууддаг байх буруу бутархай. Үлдсэн бутархай, өөрөөр хэлбэл тоологч нь бутархай хуваагчаас бага, дуудсан зөв бутархай.
Та бүхний мэдэж байгаагаар аливаа энгийн бутархай, зөв ба буруу аль алиныг нь тоологчийг хуваагчаар хуваасны үр дүн гэж үзэж болно. Иймд математикт энгийн хэлнээс ялгаатай нь “буруу бутархай” гэдэг нэр томъёо нь бид буруу зүйл хийсэн гэсэн үг биш, харин зөвхөн энэ бутархайн хуваагч нь хуваагчаас их буюу тэнцүү байна гэсэн үг юм.
Хэрэв тоо нь бүхэл хэсэг ба бутархай хэсгээс бүрддэг бол ийм бутархайг холимог гэж нэрлэдэг.
Жишээлбэл:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 нь бүхэл тоо, \(\frac(2)(3) \) нь бутархай хэсэг юм.
Хэрэв \(\frac(a)(b) \) бутархайн натурал n тоонд хуваагддаг бол энэ бутархайг n-д хуваахын тулд түүний хүртэгчийг дараах тоонд хуваах шаардлагатай.
\(\том \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Хэрэв \(\frac(a)(b)\) бутархайн натурал n тоонд хуваагдахгүй бол энэ бутархайг n-д хуваахын тулд хуваагчийг энэ тоогоор үржүүлэх хэрэгтэй.
\(\том \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Тоолуур нь n-д хуваагдах үед хоёр дахь дүрэм мөн үнэн болохыг анхаарна уу. Иймд бутархайн хуваагч нь n-д хуваагдах эсэхийг эхлээд харахад хэцүү үед бид үүнийг ашиглаж болно.
Бутархайтай үйлдлүүд. Бутархай нэмэх.
Та натурал тоотой адил бутархай тоогоор арифметик үйлдлүүдийг хийж болно. Эхлээд бутархай нэмэхийг харцгаая. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхэд амархан. Жишээлбэл, \(\frac(2)(7)\) ба \(\frac(3)(7)\) -ийн нийлбэрийг олцгооё. \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \) гэдгийг ойлгоход амархан.
Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй.
Үсэг ашиглан ижил хуваагчтай бутархай нэмэх дүрмийг дараах байдлаар бичиж болно.
\(\том \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Хэрэв та бутархай тоог нэмэх шаардлагатай бол өөр өөр хуваагч, дараа нь тэдгээрийг эхлээд нийтлэг хуваагч руу авчрах ёстой. Жишээлбэл:
\(\том \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
Бутархай тоонуудын хувьд натурал тооны хувьд нэмэхийн солих болон ассоциатив шинж чанарууд хүчинтэй байна.
Холимог бутархай нэмэх
\(2\frac(2)(3)\) гэх мэт тэмдэглэгээг дууддаг холимог бутархай. Энэ тохиолдолд 2 дугаарыг дуудна бүхэл хэсэгхолимог бутархай бөгөөд \(\frac(2)(3)\) тоо нь түүний бутархай хэсэг. \(2\frac(2)(3)\) оруулгыг дараах байдлаар уншина: "хоёр ба гуравны хоёр."
8-ын тоог 3-т хуваахдаа \(\frac(8)(3)\) ба \(2\frac(2)(3)\ гэсэн хоёр хариултыг авч болно. Тэд ижил бутархай тоог илэрхийлдэг, өөрөөр хэлбэл \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Тиймээс, буруу бутархай \(\frac(8)(3)\) холимог бутархай \(2\frac(2)(3)\) хэлбэрээр илэрхийлэгдэнэ. Ийм тохиолдолд тэд буруу бутархайгаас гэж хэлдэг хэсгийг бүхэлд нь онцолсон.
Бутархай тоог хасах (бутархай тоо)
Натурал тоонуудын нэгэн адил бутархай тоог хасах нь нэмэх үйл ажиллагааны үндсэн дээр тодорхойлогддог: нэг тооноос өөр тоог хасах нь хоёр дахь тоог нэмэхэд эхнийхийг өгөх тоог олох гэсэн үг юм. Жишээлбэл:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) оноос хойш \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)
Ижил хуваагчтай бутархайг хасах дүрэм нь ийм бутархай нэмэх дүрэмтэй төстэй.
Ижил хуваагчтай бутархайн ялгааг олохын тулд эхний бутархайн хуваагчаас хоёр дахь хэсгийн тоог хасч, хуваагчийг хэвээр үлдээх хэрэгтэй.
Үсэг ашиглан энэ дүрмийг дараах байдлаар бичнэ.
\(\том \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Бутархайг үржүүлэх
Бутархайг бутархайгаар үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн тоо, хуваагчийг үржүүлж, эхний үржвэрийг тоологч, хоёр дахь үржвэрийг хуваагч гэж бичих хэрэгтэй.
Үсэг ашиглан бутархайг үржүүлэх дүрмийг дараах байдлаар бичиж болно.
\(\том \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Томъёолсон дүрмийг ашиглан бутархайг натурал тоогоор, холимог бутархайгаар үржүүлж, холимог бутархайг үржүүлж болно. Үүнийг хийхийн тулд натурал тоог 1 хуваарьтай бутархай, холимог бутархайг буруу бутархай гэж бичих хэрэгтэй.
Үржүүлгийн үр дүнг (боломжтой бол) бутархай хэсгийг багасгаж, буруу бутархай хэсгийг бүхэлд нь тусгаарлах замаар хялбаршуулах хэрэгтэй.
Бутархай тоонуудын хувьд, натурал тоонуудын хувьд үржүүлэхийн хувирах ба хосолсон шинж чанарууд, түүнчлэн нэмэхтэй харьцуулахад үржүүлэхийн хуваарилах шинж чанарууд хүчинтэй байна.
Бутархайн хуваагдал
\(\frac(2)(3)\) бутархайг авч, тоологч болон хуваагчийг сольж, "эргэцгээе". Бид \(\frac(3)(2)\) бутархайг авна. Энэ фракц гэж нэрлэгддэг урвуубутархай \(\frac(2)(3)\).
Хэрэв бид одоо \(\frac(3)(2)\ бутархайг "урвуу" болговол бид анхны \(\frac(2)(3)\) бутархайг авна. Иймд \(\frac(2)(3)\) ба \(\frac(3)(2)\) зэрэг бутархайг нэрлэнэ. харилцан урвуу.
Жишээлбэл, \(\frac(6)(5) \) ба \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) ба \(\frac (18) бутархай )(7)\).
Үсэг ашиглан эсрэг бутархайг дараах байдлаар бичиж болно: \(\frac(a)(b) \) ба \(\frac(b)(a) \)
Энэ нь ойлгомжтой харилцан бутархайн үржвэр нь 1-тэй тэнцүү байна. Жишээ нь: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Харилцан бутархайг ашигласнаар та бутархайн хуваагдлыг үржүүлэх хүртэл багасгаж болно.
Бутархайг бутархайд хуваах дүрэм нь:
Нэг бутархайг нөгөөд хуваахын тулд ногдол ашгийг хуваагчийн эсрэгээр үржүүлэх хэрэгтэй.
Үсгийг ашиглан бутархай хуваах дүрмийг дараах байдлаар бичиж болно.
\(\том \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Хэрэв ногдол ашиг эсвэл хуваагч бол натурал тооэсвэл холимог фракц, дараа нь бутархайг хуваах дүрмийг ашиглахын тулд эхлээд буруу бутархай хэлбэрээр дүрслэгдэх ёстой.