Дундаж түвшин

Квадрат тэгш бус байдал. Цогц гарын авлага (2019)

Квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхийг ойлгохын тулд энэ нь юу болохыг ойлгох хэрэгтэй квадрат функц, ямар шинж чанартай вэ.

Та яагаад квадрат функц хэрэгтэй байгааг гайхаж байсан байх? Түүний график (парабол) хаана хэрэглэгдэх вэ? Тийм ээ, та зүгээр л эргэн тойрноо харах хэрэгтэй бөгөөд үүнийг өдөр бүр анзаарах болно Өдөр тутмын амьдралчи түүнтэй тааралдана. Биеийн тамирын хичээлд шидсэн бөмбөг хэрхэн нисдэгийг та анзаарсан уу? "Нум дагуу"? Хамгийн зөв хариулт бол "парабола" байх болно! Мөн усан оргилуурт тийрэлтэт онгоц ямар зам дагуу хөдөлдөг вэ? Тийм ээ, бас парабол! Сум эсвэл бүрхүүл яаж нисдэг вэ? Энэ нь бас параболын хувьд зөв! Тиймээс квадрат функцийн шинж чанарыг мэдсэнээр олон практик асуудлыг шийдвэрлэх боломжтой болно. Жишээлбэл, хамгийн их зайг хангахын тулд бөмбөгийг ямар өнцгөөр шидэх ёстой вэ? Эсвэл, хэрэв та тодорхой өнцгөөр харвавал сум хаана дуусах вэ? гэх мэт.

Квадрат функц

Тиймээс, үүнийг олж мэдье.

Жишээлбэл, . Энд ямар тэнцүү вэ? За, мэдээжийн хэрэг!

Яах вэ, өөрөөр хэлбэл. тэгээс бага уу? Мэдээжийн хэрэг, бид "гунигтай" байна, энэ нь мөчрүүд доошоо чиглэнэ гэсэн үг юм! Графикийг харцгаая.

Энэ зураг нь функцийн графикийг харуулж байна. Түүнээс хойш, өөрөөр хэлбэл. тэгээс бага бол параболын мөчрүүд доош чиглэсэн байна. Нэмж дурдахад, та энэ параболын мөчрүүд тэнхлэгийг огтолж байгааг анзаарсан байх, энэ нь тэгшитгэл нь 2 үндэстэй бөгөөд функц нь эерэг ба сөрөг утгыг хоёуланг нь авдаг гэсэн үг юм!

Анх бид квадрат функцийн тодорхойлолтыг өгөхдөө зарим тоо гэж хэлсэн. Тэд тэгтэй тэнцүү байж чадах уу? За, тэд мэдээж чадна! Би бүр илүү том нууцыг илчлэх болно (энэ нь огт нууц биш, гэхдээ дурдах нь зүйтэй): эдгээр тоонд (болон) ямар ч хязгаарлалт байхгүй!

За тэгвэл тэгтэй тэнцүү бол графикууд юу болохыг харцгаая.

Таны харж байгаагаар, авч үзэж буй функцүүдийн (ба) графикууд шилжсэн тул тэдгээрийн орой нь координаттай цэг дээр, өөрөөр хэлбэл тэнхлэгүүдийн огтлолцол дээр байгаа бөгөөд энэ нь салбаруудын чиглэлд ямар ч нөлөө үзүүлэхгүй. . Тиймээс тэд координатын системийн дагуу параболын графикийн "хөдөлгөөнийг" хариуцдаг гэж бид дүгнэж болно.

Функцийн график нь нэг цэгийн тэнхлэгт хүрнэ. Энэ нь тэгшитгэл нь нэг үндэстэй гэсэн үг юм. Тиймээс функц нь тэгээс их буюу тэнцүү утгыг авдаг.

Бид функцийн графиктай ижил логикийг баримталдаг. Энэ нь нэг цэг дээр x тэнхлэгт хүрдэг. Энэ нь тэгшитгэл нь нэг үндэстэй гэсэн үг юм. Тиймээс функц нь тэгээс бага буюу тэнцүү утгыг авдаг, өөрөөр хэлбэл.

Тиймээс илэрхийллийн тэмдгийг тодорхойлохын тулд хамгийн түрүүнд хийх зүйл бол тэгшитгэлийн үндсийг олох явдал юм. Энэ нь бидэнд маш ашигтай байх болно.

Квадрат тэгш бус байдал

Ийм тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ квадрат функц хаана их, бага эсвэл тэгтэй тэнцүү болохыг тодорхойлох чадвар хэрэгтэй болно. Тэр бол:

• Хэрэв бид хэлбэрийн тэгш бус байдал байгаа бол үнэндээ даалгавар нь парабол тэнхлэгээс дээш байрлах утгуудын тоон интервалыг тодорхойлох явдал юм.
• Хэрэв бид хэлбэрийн тэгш бус байдал байгаа бол үнэндээ даалгавар нь парабол тэнхлэгийн доор байрлах х утгын тоон интервалыг тодорхойлох явдал юм.

Хэрэв тэгш бус байдал нь хатуу биш бол язгуурууд (параболын тэнхлэгтэй огтлолцох координатууд) хатуу тэгш бус байдлын үед хүссэн тоон интервалд орно.

Энэ бүхэн албан ёсоор хийгдсэн боловч цөхрөл бүү зов! Одоо жишээнүүдийг харцгаая, тэгвэл бүх зүйл байрандаа орно.

Квадрат тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ бид өгөгдсөн алгоритмыг дагаж мөрдөх бөгөөд гарцаагүй амжилт биднийг хүлээж байна!

Алгоритм	Жишээ:
1) Харгалзах тэгш бус байдлыг бичье квадрат тэгшитгэл(зүгээр л тэгш бус тэмдгийг "=" тэнцүү тэмдэг болгон өөрчилнө үү).
2) Энэ тэгшитгэлийн язгуурыг олъё.
3) Үндэсийг тэнхлэг дээр тэмдэглээд, параболын мөчрүүдийн чиглэлийг бүдүүвчээр харуул ("дээш" эсвэл "доош")
4) Квадрат функцийн тэмдэгт харгалзах тэнхлэг дээр тэмдгүүдийг байрлуулцгаая: парабол тэнхлэгээс дээш байвал бид " ", доор нь - " " тавина.
5) Тэгш бус байдлын тэмдгээс хамаарч “ ” эсвэл “ ” -д тохирох интервал(ууд)-ыг бич. Хэрэв тэгш бус байдал нь хатуу биш бол үндэс нь хатуу бол интервалд ордог;

Авчихсан? Дараа нь үргэлжлүүлээд зүүгээрэй!

Жишээ:

За, бүтсэн үү? Хэрэв танд ямар нэгэн бэрхшээл тулгарвал шийдлийг хайх хэрэгтэй.

Шийдэл:

Тэгш бус байдлын тэмдэг нь " " тул " " тэмдгээр харгалзах интервалуудыг бичье. Тэгш бус байдал нь хатуу биш тул үндсийг интервалд оруулна.

Харгалзах квадрат тэгшитгэлийг бичье.

Энэ квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олъё:

Бид тэнхлэг дээр олж авсан үндсийг схемийн дагуу тэмдэглэж, тэмдгүүдийг цэгцлээрэй.

Тэгш бус байдлын тэмдэг нь " " тул " " тэмдгээр харгалзах интервалуудыг бичье. Тэгш бус байдал нь хатуу тул үндэс нь интервалд ороогүй болно.

Харгалзах квадрат тэгшитгэлийг бичье.

Энэ квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олъё:

Энэ тэгшитгэл нь нэг үндэстэй

Бид тэнхлэг дээр олж авсан үндсийг схемийн дагуу тэмдэглэж, тэмдгүүдийг цэгцлээрэй.

Тэгш бус байдлын тэмдэг нь " " тул " " тэмдгээр харгалзах интервалуудыг бичье. Аль ч тохиолдолд функц нь сөрөг бус утгыг авдаг. Тэгш бус байдал нь хатуу биш учраас хариулт нь байх болно.

Харгалзах квадрат тэгшитгэлийг бичье.

Энэ квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олъё:

Параболагийн графикийг схемийн дагуу зурж, тэмдгүүдийг цэгцэлье.

Тэгш бус байдлын тэмдэг нь " " тул " " тэмдгээр харгалзах интервалуудыг бичье. Аль ч тохиолдолд функц нь эерэг утгыг авдаг тул тэгш бус байдлын шийдэл нь интервал болно.

Квадрат тэгш бус байдал. ДУНДАЖ ТҮВШИН

Квадрат функц.

“Квадрат тэгш бус байдал” сэдвийн талаар ярихаасаа өмнө квадрат функц гэж юу болох, түүний график гэж юу болохыг санацгаая.

Өөрөөр хэлбэл, энэ хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт.

Квадрат функцийн график нь парабол юм (энэ нь юу болохыг санаж байна уу?). Хэрэв "а) функц нь зөвхөн эерэг утгыг авдаг бол хоёр дахь () нь зөвхөн сөрөг утгыг авдаг бол түүний салбарууд дээшээ чиглэнэ.

Тэгшитгэл () нь яг нэг язгууртай бол (жишээлбэл, ялгаварлагч нь тэг бол) энэ нь график тэнхлэгт хүрч байна гэсэн үг юм.

Дараа нь өмнөх тохиолдолтой адил " .

Тиймээс бид саяхан квадрат функц хаана тэгээс их, хаана бага байгааг хэрхэн тодорхойлохыг сурсан.

Хэрэв квадрат тэгш бус байдал нь хатуу биш бол язгуурууд нь хатуу бол тоон интервалд ордог;

Зөвхөн нэг үндэс байвал зүгээр, ижил тэмдэг хаа сайгүй байх болно. Хэрэв үндэс байхгүй бол бүх зүйл зөвхөн коэффициентээс хамаарна: хэрэв "25((x)^(2))-30x+9

Хариултууд:

2) 25((x)^(2))-30x+9>

Үндэс байхгүй тул зүүн талд байгаа бүх илэрхийлэл нь өмнөх коэффициентийн тэмдгийг авна.

• Хэрэв та квадрат гурвалжин тэгээс их байх тоон интервалыг олохыг хүсвэл энэ нь парабол тэнхлэгээс дээш байрлах тоон интервал юм.
• Хэрэв та квадрат гурвалжин тэгээс бага байх тоон интервалыг олохыг хүсвэл энэ нь парабол тэнхлэгийн доор байрлах тоон интервал юм.

Квадрат тэгш бус байдал. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Квадрат функцнь дараах хэлбэрийн функц юм: ,

Квадрат функцийн график нь парабол юм. Түүний мөчрүүд нь дээш, доош чиглэсэн байвал:

Квадрат тэгш бус байдлын төрлүүд:

Бүх квадрат тэгш бус байдлыг дараах дөрвөн төрөл болгон бууруулна.

Шийдлийн алгоритм:

Алгоритм	Жишээ:
1) Тэгш бус байдалд харгалзах квадрат тэгшитгэлийг бичье (зүгээр л тэгш бус байдлын тэмдгийг тэнцүү тэмдэгт " " болгон өөрчилнө үү).
2) Энэ тэгшитгэлийн язгуурыг олъё.
3) Үндэсийг тэнхлэг дээр тэмдэглээд, параболын мөчрүүдийн чиглэлийг бүдүүвчээр харуул ("дээш" эсвэл "доош")
4) Квадрат функцийн тэмдэгт харгалзах тэнхлэг дээр тэмдгүүдийг байрлуулцгаая: парабол тэнхлэгээс дээш байвал бид " ", доор нь - " " тавина.
5) Тэгш бус байдлын тэмдгээс хамаарч “ ” эсвэл “ ” -д тохирох интервал(ууд)-ыг бич. Хэрэв тэгш бус байдал нь хатуу биш бол үндэс нь хатуу бол интервалд ордог;

Квадрат тэгш бус байдал - "FROM ба TO".Энэ өгүүлэлд бид квадрат тэгш бус байдлын шийдлийг авч үзэх болно, үүнийг нарийн ширийн зүйл хүртэл нэрлэдэг. Би нийтлэл дэх материалыг юу ч алдалгүйгээр сайтар судлахыг зөвлөж байна. Та нийтлэлийг шууд эзэмших боломжгүй, би үүнийг хэд хэдэн аргаар хийхийг зөвлөж байна, маш их мэдээлэл байна.

Агуулга:

Оршил. Чухал!

Оршил. Чухал!

Квадрат тэгш бус байдал нь дараах хэлбэрийн тэгш бус байдал юм.

Хэрэв та квадрат тэгшитгэл авч, тэнцүү тэмдгийг дээрхийн аль нэгээр нь орлуулбал квадрат тэгш бус байдал гарна. Тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх нь энэ тэгш бус байдлын x-ийн аль утга үнэн байх вэ гэсэн асуултад хариулна гэсэн үг юм. Жишээ нь:

10 x 2 – 6 x+12 ≤ 0

2 x 2 + 5 x –500 > 0

– 15 x 2 – 2 x+13 > 0

8 x 2 – 15 x+45≠ 0

Квадрат тэгш бус байдлыг далд хэлбэрээр тодорхойлж болно, жишээлбэл:

10 x 2 – 6 x+14 x 2 –5 x +2≤ 56

2 x 2 > 36

8 x 2 <–15 x 2 – 2 x+13

0> – 15 x 2 – 2 x+13

Энэ тохиолдолд алгебрийн хувиргалтыг хийж, стандарт хэлбэрт оруулах шаардлагатай (1).

*Итгэлцүүрүүд нь бутархай, үндэслэлгүй байж болох ч сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт ийм жишээ ховор байдаг бөгөөд Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгаварт огт байдаггүй. Гэхдээ жишээлбэл, та дараах байдалтай тулгарвал бүү сандар.

Энэ нь мөн квадрат тэгш бус байдал юм.

Эхлээд квадрат функц гэж юу болох, түүний график координатын тэнхлэгтэй харьцуулахад координатын хавтгайд хэрхэн харагдахыг ойлгох шаардлагагүй энгийн шийдлийн алгоритмыг авч үзье. Хэрэв та мэдээллийг бат бөх, удаан хугацаанд санаж, түүнийгээ дадлагаар тогтмол бататгаж чадвал алгоритм танд туслах болно. Түүнчлэн, хэрэв та тэдний хэлснээр ийм тэгш бус байдлыг "нэг дор" шийдвэрлэх шаардлагатай бол алгоритм нь танд туслах болно. Үүнийг дагаснаар та шийдлийг хялбархан хэрэгжүүлэх болно.

Хэрэв та сургуульд сурч байгаа бол шийдлийн утгыг бүхэлд нь харуулсан хоёрдугаар хэсгээс өгүүллийг судалж эхлэхийг зөвлөж байна (доороос - цэгээс үзнэ үү). Хэрэв та мөн чанарыг ойлгосон бол заасан алгоритмыг сурах, цээжлэх шаардлагагүй болно, та квадрат тэгш бус байдлыг хурдан шийдэж чадна.

Мэдээжийн хэрэг, би нэн даруй квадрат функцийн график болон утгын тайлбарыг тайлбарлаж эхлэх ёстой байсан ч би өгүүллийг ийм байдлаар "бүтээл" гэж шийдсэн.

Өөр нэг онолын цэг! Квадрат гурвалсан тоог хүчинжүүлэх томъёог харна уу.

Энд x 1 ба x 2 нь тэнхлэг 2 квадрат тэгшитгэлийн үндэс юм+ bx+c=0

*Квадрат тэгш бус байдлыг шийдэхийн тулд квадрат гурвалжийг хүчин зүйлээр тооцох шаардлагатай болно.

Доор үзүүлсэн алгоритмыг мөн интервалын арга гэж нэрлэдэг. Энэ нь хэлбэрийн тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой е(x)>0, е(x)<0 , е(x)≥0 бае(x)≤0 . Хоёроос олон үржүүлэгч байж болохыг анхаарна уу, жишээ нь:

(x–10)(x+5)(x–1)(x+104)(x+6)(x–1)<0

Шийдлийн алгоритм. Интервалын арга. Жишээ.

Өгөгдсөн тэгш бус байдал сүх 2 + bx+ c > 0 (ямар ч тэмдэг).

1. Квадрат тэгшитгэл бич сүх 2 + bx+ c = 0 тэгээд шийднэ. Бид авдаг x 1 ба x 2– квадрат тэгшитгэлийн үндэс.

2. Коэффицентийг (2) томьёонд орлуул. а болон үндэс. :

а(х – x 1 )(x – x 2)>0

3. Тооны шулуун дээрх интервалуудыг тодорхойл (тэгшитгэлийн үндэс нь тоон шулууныг интервалд хуваана):

4. Үүссэн интервал бүрээс дурын “x” утгыг илэрхийлэлд орлуулах замаар (+ эсвэл –) интервал дээрх “тэмдэг”-ийг тодорхойл.

а(х – x 1 )(x – x2)

мөн тэднийг тэмдэглэ.

5. Бидний сонирхсон интервалуудыг бичих л үлдлээ, тэдгээрийг дараах байдлаар тэмдэглэв.

- тэгш бус байдал нь “>0” эсвэл “≥0” байвал “+” тэмдэгтэй.

- тэгш бус байдал орсон бол "-" тэмдэг<0» или «≤0».

АНХААР!!! Тэгш бус байдлын шинж тэмдгүүд нь дараахь байж болно.

хатуу - энэ нь ">", "<» и нестрогими – это «≥», «≤».

Энэ нь шийдвэрийн үр дүнд хэрхэн нөлөөлөх вэ?

Хатуу тэгш бус тэмдгүүдийн хувьд интервалын хил хязгаарыг шийдэлд ОРУУЛАХГҮЙ, харин хариултанд интервал нь өөрөө ( хэлбэрээр) бичигдсэн байдаг. x 1 ; x 2 ) – дугуй хаалт.

Сул тэгш бус байдлын шинж тэмдгүүдийн хувьд интервалын хил хязгаарыг шийдэлд багтаасан бөгөөд хариултыг [ хэлбэрээр бичнэ. x 1 ; x 2 ] – дөрвөлжин хаалт.

*Энэ нь зөвхөн квадрат тэгш бус байдалд хамаарахгүй. Дөрвөлжин хаалт нь интервалын хил нь өөрөө шийдэлд багтсан гэсэн үг юм.

Та үүнийг жишээнүүдээс харах болно. Үүнтэй холбоотой бүх асуултыг тодруулахын тулд хэд хэдэн зүйлийг харцгаая. Онолын хувьд алгоритм нь зарим талаараа төвөгтэй мэт санагдаж болох ч бодит байдал дээр бүх зүйл энгийн байдаг.

ЖИШЭЭ 1: Шийдэх x 2 – 60 x+500 ≤ 0

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх x 2 –60 x+500=0

Д = б 2 –4 ac = (–60) 2 –4∙1∙500 = 3600–2000 = 1600

Үндэс олох нь:

Коэффициентийг орлуулах а

x 2 –60 x+500 = (x–50)(x–10)

Бид тэгш бус байдлыг хэлбэрээр бичнэ (x–50)(x–10) ≤ 0

Тэгшитгэлийн үндэс нь тооны шугамыг интервалд хуваана. Тэдгээрийг тоон мөрөнд харуулъя:

Бид гурван интервал (–∞;10), (10;50) ба (50;+∞) хүлээн авсан.

Бид интервал дахь "тэмдэг"-ийг тодорхойлж, үүссэн интервал бүрийн дурын утгыг (x–50)(x–10) илэрхийллээр орлуулж, гарч ирсэн "тэмдэг"-ийн тэмдэгттэй харьцах байдлыг харна; тэгш бус байдал (x–50)(x–10) ≤ 0:

x=2 (x–50)(x–10) үед = 384 > 0 буруу

x=20 (x–50)(x–10) үед = –300 < 0 верно

x=60 (x–50)(x–10) = 500 > 0 үед буруу

Шийдэл нь интервал байх болно.

Энэ интервалаас х-ийн бүх утгуудын хувьд тэгш бус байдал үнэн байх болно.

* Бид дөрвөлжин хаалт оруулсан болохыг анхаарна уу.

x = 10 ба x = 50-ийн хувьд тэгш бус байдал нь бас үнэн байх болно, өөрөөр хэлбэл хил хязгаарыг шийдэлд оруулсан болно.

Хариулт: x∊

Дахин:

— Нөхцөл нь ≤ эсвэл ≥ (хатуу бус тэгш бус байдал) тэмдгийг агуулсан үед интервалын хилийг тэгш бус байдлын шийдэлд ОРУУЛНА. Энэ тохиолдолд үүссэн үндсийг HASHED тойрог бүхий ноорог хэлбэрээр харуулах заншилтай байдаг.

— Нөхцөл нь тэмдгийг агуулсан тохиолдолд тэгш бус байдлын шийдэлд интервалын хил хязгаарыг ОРУУЛАХГҮЙ.< или >(хатуу тэгш бус байдал). Энэ тохиолдолд зурган дээрх үндсийг UNHASHED тойрог хэлбэрээр харуулах нь заншилтай байдаг.

ЖИШЭЭ 2: Шийдэх x 2 + 4 x–21 > 0

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх x 2 + 4 x–21 = 0

Д = б 2 –4 ac = 4 2 –4∙1∙(–21) =16+84 = 100

Үндэс олох нь:

Коэффициентийг орлуулах а(2) томъёонд үндэслэвэл бид дараахь зүйлийг авна.

x 2 + 4 x–21 = (x–3)(x+7)

Бид тэгш бус байдлыг хэлбэрээр бичнэ (x–3)(x+7) > 0.

Тэгшитгэлийн үндэс нь тоон шугамыг интервалд хуваана. Тэдгээрийг тоон мөрөнд тэмдэглэе.

*Тэгш бус байдал нь хатуу биш тул язгуурын тэмдэглэгээг сүүдэрлэхгүй. Бид гурван интервал (–∞;–7), (–7;3) ба (3;+∞) авсан.

Бид интервал дээрх "тэмдэг" -ийг тодорхойлж, эдгээр интервалуудын дурын утгыг (x–3) (x+7) илэрхийлэлд орлуулж, тэгш бус байдалд нийцэж байгаа эсэхийг хайж байна. (x–3)(x+7)> 0:

x= –10 (–10–3)(–10 +7) = 39 > 0 зөв

x= 0 (0–3)(0 +7) = –21 үед< 0 неверно

x=10 (10–3)(10 +7) = 119 > 0 үед зөв

Шийдэл нь хоёр интервал (–∞;–7) ба (3;+∞) байна. Эдгээр интервалаас х-ийн бүх утгуудын хувьд тэгш бус байдал үнэн байх болно.

*Бид хаалт оруулсан гэдгийг анхаарна уу. x = 3 ба x = –7 үед тэгш бус байдал буруу байх болно - хил хязгаарыг шийдэлд оруулаагүй болно.

Хариулт: x∊(–∞;–7) U (3;+∞)

ЖИШЭЭ 3: Шийдэх – x 2 –9 x–20 > 0

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх – x 2 –9 x–20 = 0.

а = –1 б = –9 в = –20

Д = б 2 –4 ac = (–9) 2 –4∙(–1)∙ (–20) =81–80 = 1.

Үндэс олох нь:

Коэффициентийг орлуулах а(2) томъёонд үндэслэвэл бид дараахь зүйлийг авна.

– x 2 –9 x–20 =–(x–(–5))(x–(–4))= –(x+5)(x+4)

Бид тэгш бус байдлыг хэлбэрээр бичнэ –(x+5)(x+4) > 0.

Тэгшитгэлийн үндэс нь тоон шугамыг интервалд хуваана. Тоон мөрөнд тэмдэглэе:

*Тэгш бус байдал нь хатуу тул язгуурын тэмдэглэгээг сүүдэрлэдэггүй. Бид гурван интервал (–∞;–5), (–5; –4) ба (–4;+∞) авсан.

Бид "тэмдэг"-ийг интервалаар тодорхойлдог бөгөөд үүнийг илэрхийлэлд орлуулах замаар хийдэг –(x+5)(x+4)Эдгээр интервалуудын дурын утгыг авч, тэгш бус байдлын харгалзах байдлыг харна уу –(x+5)(x+4)>0:

үед x= –10 – (–10+5)(–10 +4) = –30< 0 неверно

үед x= –4.5 – (–4.5+5)(–4.5+4) = 0.25 > 0 зөв

x= 0 – (0+5)(0 +4) = –20 үед< 0 неверно

Шийдэл нь интервал (–5,–4) байх болно. Түүнд хамаарах "x"-ийн бүх утгын хувьд тэгш бус байдал үнэн байх болно.

*Хязгаарлалт нь шийдлийн нэг хэсэг биш гэдгийг анхаарна уу. x = –5 ба x = –4-ийн хувьд тэгш бус байдал үнэн болохгүй.

Сэтгэгдэл бичих!

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхдээ бид нэг язгууртай эсвэл огт үндэсгүй байж болох бөгөөд энэ аргыг сохроор ашиглах үед шийдлийг тодорхойлоход бэрхшээл гарч болзошгүй.

Жижиг тойм! Арга нь сайн бөгөөд хэрэглэхэд тохиромжтой, ялангуяа та квадрат функцийг мэддэг бөгөөд түүний графикийн шинж чанарыг мэддэг бол ашиглахад тохиромжтой. Хэрэв үгүй ​​​​бол нэг үзээд дараагийн хэсэг рүү шилжинэ үү.

Квадрат функцийн график ашиглах. Би зөвлөж байна!

Квадратик нь дараах хэлбэрийн функц юм.

Түүний график нь парабола бөгөөд параболын мөчрүүд дээш эсвэл доош чиглэсэн байдаг.

Графикийг дараах байдлаар байрлуулж болно: энэ нь х тэнхлэгийг хоёр цэгээр огтолж болно, нэг цэг дээр (орой) хүрч болно, эсвэл огтлолцож болохгүй. Энэ талаар дараа дэлгэрэнгүй.

Одоо энэ аргыг жишээгээр харцгаая. Шийдвэрлэх бүх үйл явц нь гурван үе шатаас бүрдэнэ. Тэгш бус байдлыг шийдье x 2 +2 x –8 >0.

Эхний шат

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх x 2 +2 x–8=0.

Д = б 2 –4 ac = 2 2 –4∙1∙(–8) = 4+32 = 36

Үндэс олох нь:

Бид x 1 = 2 ба x 2 = – 4-ийг авсан.

Хоёр дахь үе шат

Парабол бүтээх у=x 2 +2 x–8 оноогоор:

4 ба 2-р цэгүүд нь парабол ба x тэнхлэгийн огтлолцох цэгүүд юм. Энэ бол энгийн! Чи юу хийсэн бэ? Бид квадрат тэгшитгэлийг шийдсэн x 2 +2 x–8=0. Түүний бичлэгийг дараах байдлаар үзээрэй.

0 = x 2+2х – 8

Бидний хувьд тэг нь "y"-ийн утга юм. y = 0 үед бид параболын х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийн абсциссыг авна. Тэг утгыг "y" нь x тэнхлэг гэж хэлж болно.

Одоо илэрхийлэл нь x-ийн ямар утгыг хараарай x 2 +2 x – 8 тэгээс их (эсвэл бага) уу? Үүнийг параболын графикаас тодорхойлоход хэцүү биш, бүх зүйл харагдах болно;

1. x үед< – 4 ветвь параболы лежит выше оси ох. То есть при указанных х трёхчлен x 2 +2 x –8 эерэг байх болно.

2. -4 цагт< х < 2 график ниже оси ох. При этих х трёхчлен x 2 +2 x –8 сөрөг байх болно.

3. x > 2 бол параболын салбар х тэнхлэгийн дээгүүр байрлана. Заасан x-ийн хувьд гурвалсан тоо x 2 +2 x –8 эерэг байх болно.

Гурав дахь шат

Параболагаас бид ямар х дээр илэрхийлэл байгааг шууд харж болно x 2 +2 x–8 тэгээс их, тэгтэй тэнцүү, тэгээс бага. Энэ бол шийдлийн гурав дахь шатны мөн чанар, тухайлбал зураг дээрх эерэг ба сөрөг талыг олж харах, тодорхойлох явдал юм. Бид олж авсан үр дүнг анхны тэгш бус байдалтай харьцуулж, хариултыг бичнэ. Бидний жишээн дээр илэрхийлэл байгаа x-ийн бүх утгыг тодорхойлох шаардлагатай x 2 +2 x–8 Тэгээс дээш. Бид үүнийг хоёрдугаар шатанд хийсэн.

Хариултаа бичих л үлдлээ.

Хариулт: x∊(–∞;–4) U (2;∞).

Дүгнэж хэлье: эхний алхамд тэгшитгэлийн үндсийг тооцоолсны дараа бид үүссэн цэгүүдийг x тэнхлэг дээр тэмдэглэж болно (эдгээр нь параболын х тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүд юм). Дараа нь бид параболыг схемийн дагуу барьж, шийдлийг аль хэдийн харж болно. Яагаад схем гэж? Бидэнд математикийн хувьд нарийн хуваарь хэрэггүй. Жишээлбэл, язгуурууд нь 10 ба 1500 байвал ийм утгатай цаасан дээр яг тодорхой график байгуулахыг хичээгээрэй. гэсэн асуулт гарч ирж байна! За, бид үндсийг нь авсан, за, бид тэдгээрийг о тэнхлэг дээр тэмдэглэсэн, гэхдээ бид параболын байршлыг - түүний мөчрүүдийг дээш эсвэл доош нь зурах ёстой юу? Энд бүх зүйл энгийн! x 2-ийн коэффициент нь танд дараахь зүйлийг хэлэх болно.

- хэрэв тэгээс их бол параболын мөчрүүд дээшээ чиглэнэ.

- хэрэв тэгээс бага бол параболын мөчрүүд доошоо чиглэнэ.

Бидний жишээнд энэ нь нэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл эерэг байна.

* Анхаар! Хэрэв тэгш бус байдал нь хатуу бус тэмдэг, өөрөөр хэлбэл ≤ эсвэл ≥ байвал тоон шугам дээрх үндэсийг сүүдэрлэх ёстой бөгөөд энэ нь интервалын хил нь өөрөө тэгш бус байдлын шийдэлд багтсан болохыг нөхцөлт харуулж байна. Энэ тохиолдолд үндэс нь сүүдэрлэдэггүй (цоорсон), учир нь бидний тэгш бус байдал хатуу байдаг (">" тэмдэг байдаг). Түүнээс гадна, энэ тохиолдолд хариулт нь дөрвөлжин биш харин хаалт ашигладаг (шийдвэрт хил хязгаарыг оруулаагүй болно).

Зөндөө юм бичсэн, би хэн нэгнийг андуурсан байх. Гэхдээ хэрэв та парабол ашиглан дор хаяж 5 тэгш бус байдлыг шийдвэл таны бахдал хязгааргүй болно. Энэ бол энгийн!

Тиймээс, товчхондоо:

1. Бид тэгш бус байдлыг бичээд стандарт болгон бууруулна.

2. Квадрат тэгшитгэлийг бичээд шийд.

3. Х тэнхлэгийг зурж, үүссэн үндсийг тэмдэглэж, х 2-ийн коэффициент эерэг байвал салаагаар дээш, сөрөг бол доош салбарласан параболыг схемээр зур.

4. Эерэг эсвэл сөрөг хэсгүүдийг нүдээр тодорхойлж, анхны тэгш бус байдлын хариултыг бич.

Жишээнүүдийг харцгаая.

ЖИШЭЭ 1: Шийдэх x 2 –15 x+50 > 0

Эхний шат.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх x 2 –15 x+50=0

Д = б 2 –4 ac = (–15) 2 –4∙1∙50 = 225–200 = 25

Үндэс олох нь:

Хоёр дахь үе шат.

Бид o тэнхлэгийг барьж байна. Үүссэн үндсийг тэмдэглэе. Бидний тэгш бус байдал хатуу тул бид тэднийг сүүдэрлэхгүй. Бид схемийн дагуу параболыг бүтээдэг, энэ нь салбарууд нь дээшээ байрладаг, учир нь x 2 коэффициент эерэг байна.

Гурав дахь шат.

Бид харааны эерэг ба сөрөг хэсгүүдийг тодорхойлдог, энд тодорхой болгохын тулд тэдгээрийг өөр өөр өнгөөр ​​тэмдэглэсэн тул та үүнийг хийх шаардлагагүй.

Бид хариултаа бичнэ.

Хариулт: x∊(–∞;5) U (10;∞).

*U тэмдэг нь нэгдмэл шийдлийг илэрхийлдэг. Дүрслэн хэлэхэд шийдэл нь "энэ" ба "энэ" интервал юм.

ЖИШЭЭ 2: Шийдэх – x 2 + x+20 ≤ 0

Эхний шат.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх – x 2 + x+20=0

Д = б 2 –4 ac = 1 2 –4∙(–1)∙20 = 1+80 = 81

Үндэс олох нь:

Хоёр дахь үе шат.

Бид o тэнхлэгийг барьж байна. Үүссэн үндсийг тэмдэглэе. Бидний тэгш бус байдал хатуу биш тул бид үндэсийн тэмдэглэгээг сүүдэрлэдэг. Бид параболыг бүдүүвчээр барьж, салбарууд нь доошоо байрладаг, учир нь x 2 коэффициент нь сөрөг (-1-тэй тэнцүү):

Гурав дахь шат.

Бид эерэг ба сөрөг талыг нүдээр тодорхойлдог. Бид үүнийг анхны тэгш бус байдалтай харьцуулдаг (бидний тэмдэг ≤ 0). Тэгш бус байдал нь x ≤ – 4 ба x ≥ 5-ийн хувьд үнэн байх болно.

Бид хариултаа бичнэ.

Хариулт: x∊(–∞;–4] У; С.А.Теляковский найруулсан. - 16-р хэвлэл - М.: Боловсрол, 2008. - 271 х.: өвчтэй. - ISBN 978-5-09 -019243-9.