Элсэлтийн түвшин
Функцийн дериватив. Цогц гарын авлага (2019)
Уул толгодоор дамжин өнгөрөх шулуун замыг төсөөлье. Энэ нь дээш доош явдаг боловч баруун, зүүн тийш эргэхгүй. Хэрэв тэнхлэгийг замын дагуу хэвтээ ба босоо чиглэлд чиглүүлсэн бол замын шугам нь зарим тасралтгүй функцын графиктай маш төстэй байх болно.
Тэнхлэг бол амьдралынхаа туршид бид далайн түвшинг ашигладаг тэг өндөр юм.
Ийм замаар урагшлахдаа бид ч бас дээш доош хөдөлдөг. Бид бас хэлж болно: аргумент өөрчлөгдөхөд (абсцисса тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн), функцийн утга өөрчлөгддөг (ординат тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн). Одоо замынхаа "эгц" байдлыг хэрхэн тодорхойлох талаар бодъё? Энэ ямар үнэ цэнэ байж болох вэ? Энэ нь маш энгийн: тодорхой зайд урагшлахад өндөр нь хэр их өөрчлөгдөх болно. Үнэн хэрэгтээ, замын янз бүрийн хэсгүүдэд (х тэнхлэгийн дагуу) нэг километр урагшлах үед бид далайн түвшнээс (y тэнхлэгийн дагуу) өөр өөр метрээр дээшлэх эсвэл буурах болно.
Ахиц дэвшлийг тэмдэглэе ("дельта x"-ийг уншина уу).
Грек үсгийг (дельта) математикт "өөрчлөх" гэсэн утгатай угтвар болгон ашигладаг. Энэ нь - энэ нь тоо хэмжээний өөрчлөлт, - өөрчлөлт; тэгээд юу вэ? Энэ нь зөв, цар хүрээний өөрчлөлт.
Чухал: илэрхийлэл нь нэг бүхэл, нэг хувьсагч юм. "Дельта"-г "x" эсвэл бусад үсгээс хэзээ ч бүү салга!
Энэ нь жишээлбэл, .
Ингээд бид урагшаа, хэвтээгээр, замаар урагшиллаа. Хэрэв бид замын шугамыг функцийн графиктай харьцуулж үзвэл өсөлтийг хэрхэн тэмдэглэх вэ? Мэдээж, . Энэ нь бид урагшлах тусам улам дээшилдэг.
Утгыг тооцоолоход хялбар байдаг: хэрэв бид эхэндээ өндөрт байсан бол хөдөлсний дараа бид өөрсдийгөө өндөрт олсон бол. Хэрэв төгсгөлийн цэг нь эхлэх цэгээс доогуур байвал энэ нь сөрөг байх болно - энэ нь бид өгсөх биш харин доошилж байна гэсэн үг юм.
"эгц" рүү буцъя: энэ нь нэг нэгж зайд урагшлахад өндөр нь хэр их (эгц) нэмэгдэж байгааг харуулсан утга юм.
Одоо нэг толгодын оройг харцгаая. Хэсгийн эхлэлийг оргилд хүрэхээс хагас километрийн өмнө, төгсгөлийг нь хагас километрийн дараа авбал өндөр нь бараг ижил байгааг харж болно.
Өөрөөр хэлбэл, бидний логикоор бол налуу нь бараг тэгтэй тэнцүү байгаа нь үнэн биш юм. Ердөө километрийн зайд их зүйл өөрчлөгдөж болно. Эгцийг илүү оновчтой, үнэн зөв үнэлэхийн тулд жижиг талбайнуудыг авч үзэх шаардлагатай. Жишээлбэл, хэрэв та нэг метрийг хөдөлгөхөд өндрийн өөрчлөлтийг хэмжих юм бол үр дүн нь илүү нарийвчлалтай байх болно. Гэхдээ энэ нарийвчлал нь бидэнд хангалтгүй байж магадгүй юм - эцэст нь замын голд шон байгаа бол бид зүгээр л өнгөрч болно. Тэгвэл бид ямар зайг сонгох ёстой вэ? Сантиметр? Миллиметр? Бага нь илүү!
IN бодит амьдралХамгийн ойрын миллиметр хүртэлх зайг хэмжих нь хангалттай юм. Гэхдээ математикчид үргэлж төгс төгөлдөрт тэмүүлдэг. Тиймээс энэ үзэл баримтлалыг зохион бүтээсэн хязгааргүй жижиг, өөрөөр хэлбэл үнэмлэхүй утга нь бидний нэрлэж чадах тооноос бага байна. Жишээлбэл, та: нэг их наяд дахь! Хэр бага вэ? Мөн та энэ тоог хуваавал бүр бага байх болно. гэх мэт. Хэрэв бид хэмжигдэхүүнийг хязгааргүй жижиг гэж бичихийг хүсвэл дараах байдлаар бичнэ: (бид "x нь тэг рүү чиглэдэг" гэж уншдаг). Үүнийг ойлгох нь маш чухал юм Энэ тоо тэг биш байна!Гэхдээ маш ойрхон. Энэ нь та үүнийг хувааж болно гэсэн үг юм.
Хязгааргүй жижигийн эсрэг ойлголт нь хязгааргүй том (). Та тэгш бус байдлын талаар ажиллаж байхдаа үүнийг аль хэдийн олж мэдсэн байх: энэ тоо нь таны бодож байгаа бүх тооноос модулиар их байна. Хэрэв та хамгийн их тоог гаргавал хоёроор үржүүлбэл бүр ч их тоо гарах болно. Мөн хязгааргүй байдал нь юу болж байгаагаас ч илүү юм. Үнэн хэрэгтээ, хязгааргүй том, хязгааргүй жижиг нь бие биенийхээ урвуу, өөрөөр хэлбэл at, мөн эсрэгээр: at.
Одоо буцаад замдаа орцгооё. Тохиромжтой тооцоолсон налуу нь замын хязгааргүй жижиг сегментийн хувьд тооцоолсон налуу юм, өөрөөр хэлбэл:
Хязгааргүй бага шилжилтийн үед өндрийн өөрчлөлт нь мөн хязгааргүй бага байх болно гэдгийг би тэмдэглэж байна. Гэхдээ хязгааргүй жижиг гэдэг нь тэгтэй тэнцүү гэсэн үг биш гэдгийг сануулъя. Хязгааргүй цөөн тоонуудыг хооронд нь хуваах юм бол бүрэн энгийн тоог авч болно, жишээлбэл, . Өөрөөр хэлбэл, нэг жижиг утга нөгөөгөөсөө яг дахин их байж болно.
Энэ бүхэн юуны төлөө вэ? Зам, эгц ... Бид автомашины раллид явахгүй, гэхдээ бид математикийн хичээл зааж байна. Мөн математикт бүх зүйл яг адилхан, зөвхөн өөрөөр нэрлэдэг.
Деривативын тухай ойлголт
Функцийн дериватив нь функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа юм.
Аажмаарматематикт тэд өөрчлөлт гэж нэрлэдэг. Аргумент () тэнхлэгийн дагуу шилжихэд хэр зэрэг өөрчлөгдөхийг нэрлэдэг аргументийн өсөлтмөн тэнхлэгийн дагуу урагшлах үед функц (өндөр) хэр их өөрчлөгдсөнийг нэрлэнэ функцийн өсөлтболон томилогдсон.
Тэгэхээр, функцийн дериватив нь хэзээ ба харьцаа юм. Бид деривативыг функцтэй ижил үсгээр тэмдэглэж, зөвхөн баруун дээд талд байгаа анхны тоогоор тэмдэглэнэ: эсвэл энгийн. Тиймээс эдгээр тэмдэглэгээг ашиглан дериватив томъёог бичье.
Замтай зүйрлэвэл энд функц нэмэгдэхэд дериватив эерэг, буурах үед сөрөг байна.
Дериватив нь тэгтэй тэнцүү байж чадах уу? Мэдээж. Жишээлбэл, бид тэгш, хэвтээ замаар явж байгаа бол эгц нь тэг байна. Өндөр нь огт өөрчлөгддөггүй нь үнэн. Деривативын хувьд ийм байна: тогтмол функцийн дериватив (тогтмол) тэгтэй тэнцүү байна:
учир нь ийм функцийн өсөлт нь аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байна.
Уулын жишээг санацгаая. Сегментийн төгсгөлийг оройн эсрэг талд байрлуулж, төгсгөлийн өндөр нь ижил байхаар, өөрөөр хэлбэл сегмент нь тэнхлэгтэй параллель байхаар зохион байгуулах боломжтой болсон.
Гэхдээ том сегментүүд нь буруу хэмжилтийн шинж тэмдэг юм. Бид сегментээ өөртэйгээ зэрэгцүүлэн дээшлүүлж, урт нь багасна.
Эцсийн эцэст бид дээд талдаа хязгааргүй ойртох үед сегментийн урт нь хязгааргүй жижиг болно. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн энэ нь тэнхлэгтэй параллель хэвээр байсан, өөрөөр хэлбэл түүний төгсгөлийн өндрийн зөрүү нь тэгтэй тэнцүү байна (энэ нь хандлагагүй, гэхдээ тэнцүү байна). Тиймээс дериватив
Үүнийг ингэж ойлгож болно: бид хамгийн дээд талд зогсоход зүүн эсвэл баруун тийш бага зэрэг шилжих нь бидний өндрийг үл тоомсорлодог.
Мөн цэвэр алгебрийн тайлбар байдаг: оройн зүүн талд функц нэмэгдэж, баруун талд нь буурдаг. Өмнө нь мэдэж байсанчлан функц нэмэгдэхэд дериватив эерэг, буурах үед сөрөг байна. Гэхдээ энэ нь үсрэлтгүйгээр жигд өөрчлөгддөг (зам нь хаана ч налуугаа огцом өөрчилдөггүй). Тиймээс сөрөг ба эерэг утгын хооронд байх ёстой. Энэ нь функц нь нэмэгдэхгүй, буурахгүй байх болно - оройн цэг дээр.
Тэвшийн хувьд ч мөн адил (зүүн талд байгаа функц буурч, баруун талд нэмэгдэх хэсэг):
Нэмэгдлийн талаар бага зэрэг илүү.
Тиймээс бид аргументыг хэмжээ болгон өөрчилдөг. Бид ямар үнэ цэнээс өөрчлөгддөг вэ? Энэ (маргаан) одоо юу болсон бэ? Бид ямар ч цэгийг сонгож болно, одоо бид үүнээс бүжиглэх болно.
Координаттай цэгийг авч үзье. Түүнд байгаа функцын утга тэнцүү байна. Дараа нь бид ижил өсөлтийг хийдэг: бид координатыг нэмэгдүүлнэ. Одоо ямар маргаан байна вэ? Маш амархан:. Одоо функцийн үнэ цэнэ хэд вэ? Аргумент хаана явна, функц нь мөн адил байна: . Функцийн өсөлтийн талаар юу хэлэх вэ? Шинэ зүйл алга: энэ нь функц өөрчлөгдсөн хэмжээ хэвээр байна:
Өсөлтийг олох дасгал хийх:
- Аргументийн өсөлт нь тэнцүү байх цэг дэх функцийн өсөлтийг ол.
- Тухайн цэг дээрх функцэд мөн адил хамаарна.
Шийдэл:
IN өөр өөр цэгүүдижил аргументийн өсөлттэй бол функцийн өсөлт өөр байх болно. Энэ нь цэг бүрийн дериватив нь өөр байна гэсэн үг (бид энэ талаар хамгийн эхэнд ярилцсан - замын эгц байдал өөр өөр цэгүүдэд өөр өөр байдаг). Тиймээс бид дериватив бичихдээ ямар цэгийг зааж өгөх ёстой:
Эрчим хүчний функц.
Хүчин чадлын функц нь аргумент нь тодорхой хэмжээгээр (логик, тийм үү?) байдаг функц юм.
Түүнээс гадна - ямар ч хэмжээгээр: .
Хамгийн энгийн тохиолдол- энэ нь илтгэгч нь:
Нэг цэгээс түүний деривативыг олъё. Деривативын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая:
Тиймээс аргумент нь -ээс өөрчлөгдөнө. Функцийн өсөлт хэд вэ?
Өсөлт нь энэ. Гэхдээ аль ч цэг дэх функц нь түүний аргументтай тэнцүү байна. Тийм учраас:
Дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.
-ийн дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.
б) Одоо бод квадрат функц (): .
Одоо үүнийг санацгаая. Энэ нь өсөлтийн утгыг үл тоомсорлож болно гэсэн үг юм, учир нь энэ нь хязгааргүй бага тул нөгөө нэр томъёоны дэвсгэр дээр ач холбогдолгүй болно.
Тиймээс бид өөр нэг дүрмийг гаргаж ирэв:
в) Бид логик цувралыг үргэлжлүүлнэ: .
Энэ илэрхийллийг янз бүрийн аргаар хялбарчилж болно: нийлбэрийн кубыг товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан эхний хаалтыг нээх, эсвэл шоо дөрвөлжингийн зөрүүг ашиглан илэрхийллийг бүхэлд нь хүчин зүйл болгон хуваах. Санал болгож буй аргуудын аль нэгийг ашиглан өөрөө хийхийг хичээ.
Тиймээс би дараахь зүйлийг авсан.
Үүнийг дахин санацгаая. Энэ нь бид дараахь зүйлийг агуулсан бүх нэр томъёог үл тоомсорлож болно гэсэн үг юм.
Бид авна: .
г) Том гүрний хувьд ижил төстэй дүрмийг авч болно:
e) Энэ дүрмийг бүхэл тоо ч биш дурын илтгэгчтэй зэрэглэлийн функцийн хувьд ерөнхийлж болох нь харагдаж байна.
| (2) |
Дүрмийг "зэрэглэлийг коэффициент болгон урагшлуулж, дараа нь -ээр бууруулна" гэсэн үгээр томъёолж болно.
Бид энэ дүрмийг дараа нь батлах болно (бараг эцэст нь). Одоо хэд хэдэн жишээг харцгаая. Функцийн деривативыг ол:
- (хоёр аргаар: томъёогоор ба деривативын тодорхойлолтыг ашиглан - функцийн өсөлтийг тооцоолох замаар);
- . Та үүнд итгэхгүй байх болно, гэхдээ энэ эрчим хүчний функц. Хэрэв танд "Энэ яаж байна вэ? Эрдмийн зэрэг хаана байна?", "" сэдвийг санаарай!
Тиймээ, язгуур нь бас зэрэг, зөвхөн бутархай: .
Тэгэхээр манайх квадрат язгуур- энэ бол зүгээр л үзүүлэлттэй зэрэг юм:
.
Бид саяхан сурсан томъёог ашиглан деривативыг хайж байна:Хэрэв энэ үед дахин ойлгомжгүй болвол “” сэдвийг давтана уу!!! (сөрөг илтгэгчтэй зэрэг)
- . Одоо экспонент:
Тэгээд одоо тодорхойлолтоор дамжуулан (та мартаагүй байна уу?):
;
.
Одоо ердийнхөөрөө бид дараахь зүйлийг агуулсан нэр томъёог үл тоомсорлодог.
. - . Өмнөх тохиолдлуудын хослол: .
Тригонометрийн функцууд.
Энд бид дээд математикийн нэг баримтыг ашиглах болно:
Илэрхийлэлээр.
Та институтын эхний жилдээ нотлох баримтыг сурах болно (мөн тэнд очихын тулд та улсын нэгдсэн шалгалтыг сайн өгөх хэрэгтэй). Одоо би үүнийг графикаар харуулах болно:
Функц байхгүй үед график дээрх цэг таслагдахыг бид харж байна. Гэхдээ утгад ойртох тусам функц нь "зорилготой" зүйл юм.
Нэмж дурдахад та тооцоолуур ашиглан энэ дүрмийг шалгаж болно. Тийм ээ, тийм ээ, бүү ич, тооны машин ав, бид улсын нэгдсэн шалгалтанд хараахан ороогүй байна.
Ингээд оролдоод үзье: ;
Тооцоологчоо Радиан горимд шилжүүлэхээ бүү мартаарай!
гэх мэт. Бид бага байх тусам харьцааны утга ойр байгааг харж байна.
a) Функцийг авч үзье. Ердийнх шиг, түүний өсөлтийг олъё:
Синусын зөрүүг бүтээгдэхүүн болгоё. Үүнийг хийхийн тулд бид томъёог ашигладаг ("" сэдвийг санаарай): .
Одоо дериватив:
Сэлгээ хийцгээе: . Тэгвэл хязгааргүй жижигийн хувьд мөн л хязгааргүй жижиг байна: . илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй байна.
Одоо бид үүнийг илэрхийлэлтэйгээр санаж байна. Мөн түүнчлэн, нийлбэрт (өөрөөр хэлбэл, at) хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнийг үл тоомсорлож байвал яах вэ.
Тиймээс бид дараах дүрмийг авна. синусын дериватив нь косинустай тэнцүү байна:
Эдгээр нь үндсэн ("хүснэгт") деривативууд юм. Энд тэд нэг жагсаалтад байна:
Дараа нь бид хэд хэдэн зүйлийг нэмж оруулах болно, гэхдээ эдгээр нь ихэвчлэн ашиглагддаг тул хамгийн чухал нь юм.
Дадлага хийх:
- Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг олох;
- Функцийн деривативыг ол.
Шийдэл:
- Эхлээд деривативыг олъё ерөнхий үзэл, дараа нь түүний утгыг орлуулна уу:
;
. - Энд бид чадлын функцтэй төстэй зүйл байна. Түүнийг авчрахыг хичээцгээе
хэвийн харагдах байдал:
.
Гайхалтай, одоо та томъёог ашиглаж болно:
.
. - . Эээээээ..... Энэ юу вэ????
За, таны зөв, бид ийм деривативуудыг хэрхэн олохыг хараахан мэдэхгүй байна. Энд бид хэд хэдэн төрлийн функцийг хослуулсан болно. Тэдэнтэй ажиллахын тулд та хэд хэдэн дүрмийг сурах хэрэгтэй:
Экспонент ба натурал логарифм.
Математикт аль ч утгын дериватив нь тухайн функцийн өөрийн утгатай нэгэн зэрэг тэнцүү байдаг функц байдаг. Үүнийг "экспонент" гэж нэрлэдэг бөгөөд экспоненциал функц юм
Энэ функцийн үндэс нь тогтмол юм - энэ нь хязгааргүй юм аравтын, өөрөөр хэлбэл, иррационал тоо (жишээ нь). Үүнийг "Эйлерийн тоо" гэж нэрлэдэг тул үсгээр тэмдэглэдэг.
Тиймээс, дүрэм:
Санахад маш амархан.
За, хол явахгүй, шууд харцгаая урвуу функц. Аль функц нь экспоненциал функцийн урвуу функц вэ? Логарифм:
Манай тохиолдолд суурь нь дараах тоо юм.
Ийм логарифмийг (өөрөөр хэлбэл суурьтай логарифм) "байгалийн" гэж нэрлэдэг бөгөөд бид үүнд зориулж тусгай тэмдэглэгээ ашигладаг: бид оронд нь бичдэг.
Энэ нь юутай тэнцүү вэ? Мэдээжийн хэрэг.
Байгалийн логарифмын дериватив нь маш энгийн:
Жишээ нь:
- Функцийн деривативыг ол.
- Функцийн дериватив нь юу вэ?
Хариултууд: Үзэсгэлэнд оролцогч болон байгалийн логарифм- функцууд нь деривативын хувьд онцгой энгийн байдаг. Бусад суурьтай экспоненциал болон логарифм функцууд нь өөр деривативтай байх бөгөөд бид үүнийг ялгах дүрмийн дагуу дараа нь шинжлэх болно.
Ялгах дүрэм
Юуны дүрэм? Ахиад л шинэ нэр томъёо, дахиад?!...
Ялгаварлахдеривативыг олох үйл явц юм.
Ингээд л болоо. Энэ үйл явцыг нэг үгээр өөр юу гэж нэрлэх вэ? Дериватив биш ... Математикчдын дифференциал нь функцийн өсөлттэй ижил байна. Энэ нэр томъёо нь Латин дифференциас - ялгаа гэсэн үгнээс гаралтай. Энд.
Эдгээр бүх дүрмийг гаргахдаа бид хоёр функцийг ашиглана, жишээ нь, ба. Бидэнд мөн тэдгээрийн өсөлтийн томъёо хэрэгтэй болно:
Нийтдээ 5 дүрэм байдаг.
Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна.
Хэрэв - зарим нь тогтмол тоо(тогтмол), тэгвэл.
Мэдээжийн хэрэг, энэ дүрэм нь мөн ялгаад ажилладаг: .
Үүнийг баталъя. Байг, эсвэл илүү энгийн.
Жишээ.
Функцийн деривативуудыг ол:
- нэг цэг дээр;
- нэг цэг дээр;
- нэг цэг дээр;
- цэг дээр.
Шийдэл:
- (шугаман функц учраас дериватив нь бүх цэг дээр ижил байна, санаж байна уу?);
Бүтээгдэхүүний дериватив
Энд бүх зүйл ижил байна: шинэ функцийг нэвтрүүлж, түүний өсөлтийг олцгооё:
Дериватив:
Жишээ нь:
- Функцийн деривативыг олох ба;
- Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг ол.
Шийдэл:
Экспоненциал функцийн дериватив
Одоо таны мэдлэг зөвхөн экспоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурахад хангалттай юм (энэ нь юу болохыг та мартаагүй байна уу?).
Тэгэхээр хэдэн тоо хаана байна.
Бид функцийн деривативыг аль хэдийн мэдэж байгаа тул функцээ шинэ суурь руу оруулахыг хичээцгээе.
Үүнийг хийхийн тулд бид энгийн дүрмийг ашиглах болно: . Дараа нь:
За, бүтсэн. Одоо деривативыг олохыг хичээ, энэ функц нь нарийн төвөгтэй гэдгийг мартаж болохгүй.
Энэ ажилласан уу?
Энд өөрийгөө шалгана уу:
Томъёо нь экспонентийн деривативтай маш төстэй болж хувирав: энэ нь хэвээр үлдэж, зөвхөн нэг хүчин зүйл гарч ирсэн бөгөөд энэ нь зүгээр л тоо боловч хувьсагч биш юм.
Жишээ нь:
Функцийн деривативуудыг ол:
Хариултууд:
Энэ бол зүгээр л тооны машингүйгээр тооцоолох боломжгүй, өөрөөр хэлбэл үүнийг цаашид бичих боломжгүй тоо юм. энгийн хэлбэрээр. Тиймээс бид үүнийг хариултдаа энэ хэлбэрээр үлдээж байна.
Логарифм функцийн дериватив
Энэ нь үүнтэй төстэй: та байгалийн логарифмын деривативыг аль хэдийн мэддэг болсон.
Тиймээс өөр суурьтай дурын логарифмийг олохын тулд, жишээлбэл:
Бид энэ логарифмыг суурь болгон багасгах хэрэгтэй. Логарифмын суурийг хэрхэн өөрчлөх вэ? Та энэ томъёог санаж байна гэж найдаж байна:
Зөвхөн одоо бид оронд нь бичих болно:
Хуваагч нь зүгээр л тогтмол (хувьсагчгүй тогтмол тоо) юм. Деривативыг маш энгийнээр олж авдаг:
Экспоненциал ба логарифм функцүүдийн деривативууд нь Улсын нэгдсэн шалгалтанд бараг хэзээ ч олддоггүй, гэхдээ тэдгээрийг мэдэх нь илүүц байх болно.
Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.
Юу болсон бэ" нарийн төвөгтэй функц"? Үгүй ээ, энэ бол логарифм биш, арктангенс ч биш. Эдгээр функцийг ойлгоход хэцүү байж болох юм (хэдийгээр танд логарифм хийхэд хэцүү гэж үзвэл "Логарифм" гэсэн сэдвийг уншвал зүгээр байх болно), гэхдээ математикийн үүднээс "цогцолбор" гэдэг нь "хэцүү" гэсэн үг биш юм.
Жижиг туузан дамжуулагчийг төсөөлөөд үз дээ: хоёр хүн сууж, зарим объекттой зарим үйлдэл хийж байна. Жишээлбэл, эхнийх нь шоколадны баарыг боодол дээр боож, хоёр дахь нь туузаар холбодог. Үр дүн нь нийлмэл объект юм: шоколадны баар ороож, туузаар холбосон. Шоколадны баар идэхийн тулд урвуу дарааллаар урвуу алхмуудыг хийх хэрэгтэй.
Үүнтэй төстэй математик шугамыг бүтээцгээе: эхлээд бид тооны косинусыг олж, дараа нь гарсан тоог квадрат болгоно. Тиймээс, бидэнд тоо (шоколад) өгөгдсөн, би түүний косинусыг (боодол) олоод, дараа нь та миний авсан зүйлийг дөрвөлжин болго (туузаар уя). Юу болсон бэ? Чиг үүрэг. Энэ бол нарийн төвөгтэй функцийн жишээ юм: утгыг олохын тулд бид эхний үйлдлийг хувьсагчтай шууд хийж, дараа нь эхний үйлдлээс үүссэн хоёр дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг.
Бид урвуу дарааллаар ижил алхмуудыг хялбархан хийж чадна: эхлээд та үүнийг квадрат болго, дараа нь би гарсан тооны косинусыг хайна: . Үр дүн нь бараг үргэлж өөр байх болно гэдгийг таахад хялбар байдаг. Нарийн төвөгтэй функцүүдийн чухал шинж чанар: үйлдлийн дараалал өөрчлөгдөхөд функц өөрчлөгддөг.
Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл функц нь аргумент нь өөр функц болох функц юм: .
Эхний жишээнд, .
Хоёр дахь жишээ: (ижил зүйл). .
Бидний хамгийн сүүлд хийх үйлдлийг дуудах болно "гадаад" функц, мөн эхний гүйцэтгэсэн үйлдэл - үүний дагуу "дотоод" функц(эдгээр нь албан бус нэрс, би зөвхөн материалыг энгийн хэлээр тайлбарлахад ашигладаг).
Аль функц нь гадаад, аль нь дотоод гэдгийг өөрөө тодорхойлохыг хичээ.
Хариултууд:Дотоод болон гадаад функцийг салгах нь хувьсагчийг өөрчлөхтэй маш төстэй: жишээлбэл, функцэд
- Бид хамгийн түрүүнд ямар үйлдэл хийх вэ? Эхлээд синусыг тооцоод дараа нь шоо болгоё. Энэ нь дотоод функц, гэхдээ гадаад функц гэсэн үг юм.
Мөн анхны функц нь тэдний найрлага юм: . - Дотоод: ; гадаад: .
Шалгалт: . - Дотоод: ; гадаад: .
Шалгалт: . - Дотоод: ; гадаад: .
Шалгалт: . - Дотоод: ; гадаад: .
Шалгалт: .
Бид хувьсагчдыг сольж, функцийг авдаг.
За, одоо бид шоколадаа гаргаж аваад деривативыг хайх болно. Процедур нь үргэлж эсрэгээрээ байдаг: эхлээд бид гадаад функцийн деривативыг хайж, дараа нь үр дүнг дотоод функцийн деривативаар үржүүлнэ. Анхны жишээтэй холбоотойгоор дараах байдалтай байна.
Өөр нэг жишээ:
Ингээд эцэст нь албан ёсны дүрмийг томъёолъё:
Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:
Энэ нь энгийн юм шиг санагдаж байна, тийм үү?
Жишээнүүдийг шалгаж үзье:
Шийдэл:
1) Дотоод: ;
Гадаад: ;
2) Дотоод: ;
(Одоогоор таслах гэж бүү оролдоорой! Косинусын доороос юу ч гарахгүй, санаж байна уу?)
3) Дотоод: ;
Гадаад: ;
Энэ нь гурван түвшний нарийн төвөгтэй функц болох нь шууд тодорхой байна: эцэст нь энэ нь өөрөө нарийн төвөгтэй функц бөгөөд бид үүнээс үндсийг нь гаргаж авдаг, өөрөөр хэлбэл бид гурав дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг (шоколадыг боодол дээр хийнэ) мөн цүнхэнд туузтай). Гэхдээ айх шалтгаан байхгүй: бид энэ функцийг ердийнх шигээ дарааллаар нь "тайлах" болно: эцсээс нь.
Өөрөөр хэлбэл, бид эхлээд үндсийг, дараа нь косинусыг, дараа нь хаалтанд байгаа илэрхийлэлийг ялгадаг. Тэгээд бид бүгдийг нь үржүүлнэ.
Ийм тохиолдолд үйлдлүүдийг дугаарлах нь тохиромжтой. Энэ нь юу мэддэгээ төсөөлөөд үз дээ. Энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолох үйлдлийг бид ямар дарааллаар гүйцэтгэх вэ? Нэг жишээг харцгаая:
Үйлдлийг хожим гүйцэтгэх тусам харгалзах функц нь "гадаад" байх болно. Үйлдлүүдийн дараалал нь өмнөхтэй адил байна:
Энд үүрлэх нь ерөнхийдөө 4 түвшинтэй байдаг. Үйл ажиллагааны чиглэлийг тодорхойлъё.
1. Радикал илэрхийлэл. .
2. Үндэс. .
3. Синус. .
4. Дөрвөлжин. .
5. Бүгдийг нэгтгэх нь:
ҮҮСГЭЛ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН
Функцийн дериватив- функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа:
Үндсэн деривативууд:
Ялгах дүрэм:
Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна:
Нийлбэрийн дериватив:
Бүтээгдэхүүний дериватив:
Хэмжилтийн дериватив:
Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив:
Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:
- Бид "дотоод" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
- Бид "гадаад" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
- Бид эхний болон хоёр дахь цэгүүдийн үр дүнг үржүүлдэг.
Тодорхойлолт.\(y = f(x)\) функцийг доторх \(x_0\) цэгийг агуулсан тодорхой интервалаар тодорхойл. Аргументад энэ интервалаас гарахгүй байхаар \(\Delta x \) нэмэгдэл өгье. \(\Delta y \) (\(x_0 \) цэгээс \(x_0 + \Delta x \) цэг рүү шилжих үед) функцийн харгалзах өсөлтийг олж \(\frac(\Delta) хамаарлыг байгуулъя. y)(\Дельта x) \). Хэрэв энэ харьцаа \(\Дельта х \баруун сум 0\) дээр хязгаар байгаа бол заасан хязгаарыг дуудна. функцийн дериватив\(y=f(x) \) цэг дээр \(x_0 \) ба \(f"(x_0) \) гэж тэмдэглэнэ.
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Ү тэмдгийг ихэвчлэн деривативыг илэрхийлэхэд ашигладаг. y" = f(x) нь шинэ функц боловч дээрх хязгаар байгаа бүх x цэгүүдэд тодорхойлогдсон y = f(x) функцтэй угаасаа холбоотой болохыг анхаарна уу. Энэ функцийг ингэж нэрлэдэг: y = f(x) функцийн дериватив.
Деривативын геометрийн утгадараах байдалтай байна. Хэрэв y = f(x) функцийн графикт у тэнхлэгтэй параллель биш абсцисса x=a цэгт шүргэгч зурах боломжтой бол f(a) шүргэлтийн налууг илэрхийлнэ. :
\(k = f"(a)\)
\(k = tg(a) \) тул \(f"(a) = tan(a) \) тэгшитгэл үнэн болно.
Одоо деривативын тодорхойлолтыг ойролцоо тэгш байдлын үүднээс тайлбарлая. \(y = f(x)\) функц тодорхой \(x\) цэг дээр деривативтэй байг:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Энэ нь x цэгийн ойролцоо \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \prox f"(x) \), өөрөөр хэлбэл \(\Delta y \prox f"(x) \cdot\ гэсэн ойролцоо тэнцүү байна гэсэн үг. Delta x\). Үүний үр дүнд үүссэн ойролцоо тэгш байдлын утга учир нь дараах байдалтай байна: функцийн өсөлт нь аргументийн өсөлттэй "бараг пропорциональ" бөгөөд пропорциональ байдлын коэффициент нь деривативын утга юм. өгсөн оноо X. Жишээлбэл, \(y = x^2\) функцийн хувьд ойролцоогоор \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) хүчинтэй байна. Хэрэв бид деривативын тодорхойлолтыг сайтар судалж үзвэл түүнийг олох алгоритмыг агуулсан болохыг олж мэдэх болно.
Үүнийг томъёолъё.
y = f(x) функцийн деривативыг хэрхэн олох вэ?
1. \(x\) утгыг засаад \(f(x)\)-г ол.
2. \(x\) аргументыг \(\Дельта x\) нэмж өгч, шинэ цэг рүү очно \(x+ \Delta x \), \(f(x+ \Delta x) \) олно.
3. Функцийн өсөлтийг ол: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) хамаарлыг үүсгэ.
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$-г тооцоол.
Энэ хязгаар нь х цэг дээрх функцийн дериватив юм.
Хэрэв y = f(x) функц нь x цэг дээр деривативтай бол түүнийг х цэг дээр дифференциалагдах гэж нэрлэдэг. y = f(x) функцийн деривативыг олох процедурыг нэрлэнэ ялгах y = f(x) функцууд.
Дараах асуултын талаар ярилцъя: цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдал ба дифференциал байдал хоорондоо хэрхэн холбоотой вэ?
y = f(x) функцийг x цэг дээр дифференциалагдах гэж үзье. Дараа нь M(x; f(x)) цэг дээрх функцын график руу шүргэгчийг зурж болох ба шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь f "(x) -тэй тэнцүү гэдгийг санаарай. Ийм график "эвдэж" чадахгүй. М цэг дээр, өөрөөр хэлбэл функц нь x цэг дээр тасралтгүй байх ёстой.
Эдгээр нь "гар" аргументууд байсан. Илүү хатуу үндэслэлийг хэлье. Хэрэв y = f(x) функц нь x цэг дээр дифференциалагдах боломжтой бол \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) ойролцоо тэнцүү байна. Хэрэв энэ тэгшитгэлд \(\Delta x) \) тэг рүү чиглэдэг бол \(\Delta y \) нь тэг болох хандлагатай байх ба энэ нь тухайн цэг дэх функцийн тасралтгүй байх нөхцөл юм.
Тэгэхээр, Хэрэв функц нь x цэг дээр дифференциал болох юм бол энэ нь тухайн цэг дээр тасралтгүй байна.
Урвуу мэдэгдэл нь үнэн биш юм. Жишээ нь: функц y = |x| хаа сайгүй, тухайлбал x = 0 цэг дээр үргэлжилдэг боловч “холболтын цэг” (0; 0) дээрх функцийн графикт шүргэгч байхгүй. Хэрэв аль нэг цэгт шүргэгчийг функцийн графикт зурах боломжгүй бол тухайн үед дериватив байхгүй болно.
Өөр нэг жишээ. \(y=\sqrt(x)\) функц нь x = 0 цэгийг оруулаад бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй байна. Мөн функцийн графикт шүргэгч нь x = 0 цэгийг оруулаад аль ч цэгт оршдог. Гэхдээ энэ үед шүргэгч нь у тэнхлэгтэй давхцдаг, өөрөөр хэлбэл абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр, түүний тэгшитгэл нь x = 0 хэлбэртэй байна. Налуугийн коэффициентийм мөр байхгүй, энэ нь \(f"(0) \) ч байхгүй гэсэн үг
Тиймээс бид функцийн шинэ шинж чанар болох дифференциалтай танилцсан. Функцийн графикаас ялгах боломжтой гэж яаж дүгнэх вэ?
Хариултыг үнэндээ дээр өгөв. Хэрэв аль нэг цэгт абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр биш функцийн графикт шүргэгч зурах боломжтой бол энэ үед функц дифференциал болно. Хэрэв аль нэг цэгт функцийн графикт шүргэгч байхгүй эсвэл абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр байвал энэ үед функц ялгах боломжгүй болно.
Ялгах дүрэм
Деривативыг олох үйлдлийг гэнэ ялгах. Энэ үйлдлийг гүйцэтгэхдээ та ихэвчлэн координат, нийлбэр, функцын бүтээгдэхүүнүүд, түүнчлэн "функцийн функцүүд", өөрөөр хэлбэл нарийн төвөгтэй функцүүдтэй ажиллах шаардлагатай болдог. Деривативын тодорхойлолт дээр үндэслэн бид энэ ажлыг хөнгөвчлөх ялгах дүрмийг гаргаж авч болно. Хэрэв C нь тогтмол тоо бөгөөд f=f(x), g=g(x) нь зарим дифференциалагдах функц байвал дараах нь үнэн болно. ялгах дүрэм:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Зарим функцийн деривативын хүснэгт
$$ \left(\frac(1)(x) \баруун) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ долларДеривативыг яаж олох вэ, деривативыг яаж авах вэ?Асаалттай энэ хичээлБид функцийн деривативуудыг олж сурах болно. Гэхдээ энэ хуудсыг судлахаасаа өмнө та бүхэнтэй танилцахыг зөвлөж байна арга зүйн материал Халуун томъёо сургуулийн курсматематикчид. Лавлах гарын авлагыг хуудаснаас нээх эсвэл татаж авах боломжтой Математикийн томъёо, хүснэгт. Мөн тэндээс бидэнд хэрэгтэй болно Деривативын хүснэгт, үүнийг хэвлэх нь илүү дээр юм, та зөвхөн одоо төдийгүй офлайнаар хандах хэрэгтэй болно.
идэх үү? Эхэлцгээе. Би чамд хоёр мэдээ байна: сайн, маш сайн. Сайн мэдээ гэвэл деривативыг хэрхэн олохыг сурахын тулд дериватив гэж юу болохыг мэдэж, ойлгох шаардлагагүй. Түүнчлэн функцийн деривативын тодорхойлолт нь математик, физик, геометрийн утгаМиний бодлоор онолыг өндөр чанартай боловсруулахын тулд бусад олон сэдвийг судлахаас гадна практик туршлага шаарддаг тул деривативыг дараа нь задлах нь илүү тохиромжтой юм.
Одоо бидний даалгавар бол эдгээр деривативуудыг техникийн хувьд эзэмших явдал юм. Маш сайн мэдээ гэвэл деривативыг авч сурах нь тийм ч хэцүү биш, жишээлбэл, интеграл эсвэл хязгаарыг шийдвэрлэх (мөн тайлбарлах) алгоритм байдаг;
Би сэдвийг судлах дараах дарааллыг санал болгож байна.: Нэгдүгээрт, энэ нийтлэл. Дараа нь та хамгийн чухал хичээлийг унших хэрэгтэй Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив. Эдгээр хоёр үндсэн хичээл нь таны ур чадварыг дээшлүүлэх болно бүрэн тэг. Цаашид та нийтлэлээс илүү төвөгтэй деривативуудтай танилцах боломжтой Нарийн төвөгтэй деривативууд. Логарифмын дериватив. Хэрвээ баар хэт өндөр байвал эхлээд зүйлийг уншаарай Деривативтай холбоотой хамгийн энгийн ердийн асуудлууд. Хичээл нь шинэ материалаас гадна бусад энгийн төрлийн деривативуудыг багтаасан бөгөөд ялгах арга техникээ сайжруулах сайхан боломж юм. Үүнээс гадна, онд туршилтуудБараг үргэлж далд эсвэл параметрээр тодорхойлогдсон функцүүдийн деривативуудыг олох даалгавар байдаг. Ийм сургамж бас байдаг: Далд болон параметрийн тодорхойлогдсон функцүүдийн деривативууд.
Би алхам алхмаар хүртээмжтэй хэлбэрээр, функцын деривативыг хэрхэн олохыг заах болно. Бүх мэдээллийг энгийн үгээр дэлгэрэнгүй танилцуулсан.
Үнэндээ, нэн даруй жишээг харцгаая:
Жишээ 1
Функцийн деривативыг ол
Шийдэл: 
Энэ хамгийн энгийн жишээ, үүнийг энгийн функцүүдийн деривативын хүснэгтээс олно уу. Одоо шийдлийг харцгаая, юу болсон талаар дүн шинжилгээ хийцгээе? Дараахь зүйл тохиолдсон: бид шийдлийн үр дүнд функц болж хувирсан функцтэй болсон.
Энгийнээр хэлэхэд, Функцийн деривативыг олохын тулд тодорхой дүрмийн дагуу өөр функц болгон хувиргах хэрэгтэй. Деривативын хүснэгтийг дахин хараарай - тэнд функцууд бусад функцууд болж хувирдаг. Цорын ганц үл хамаарах зүйл бол экспоненциал функц бөгөөд энэ нь өөрөө болж хувирдаг. Деривативыг олох үйлдлийг гэнэ ялгах .
Тэмдэглэлүүд: Деривативыг эсвэл гэж тэмдэглэнэ.
АНХААР, ЧУХАЛ!Цус харвах (шаардлагатай тохиолдолд) эсвэл нэмэлт цус харвалт (шаардлагагүй тохиолдолд) хийхээ мартах - ТОМ АЛДАА!Функц ба түүний дериватив нь хоёр өөр функц юм!
Деривативын хүснэгт рүү буцаж орцгооё. Энэ хүснэгтээс харахад энэ нь зүйтэй юм цээжлэх: зарим энгийн функцүүдийн ялгах дүрэм ба деривативууд, ялангуяа:
тогтмолын дериватив:
, хаана нь тогтмол тоо;
чадлын функцийн дериватив:
, ялангуяа: , , .
Яагаад санаж байна вэ? Энэхүү мэдлэг нь деривативын талаархи үндсэн мэдлэг юм. Хэрэв та багшийн "Тооны дериватив гэж юу вэ?" Гэсэн асуултад хариулж чадахгүй бол таны их сургуульд суралцах хугацаа дуусч магадгүй юм (би хувьдаа хоёрыг мэднэ. бодит тохиолдлуудамьдралаас). Нэмж дурдахад эдгээр нь деривативтай тулгарах бүрт бидний ашиглах ёстой хамгийн түгээмэл томъёо юм.
Бодит байдал дээр энгийн хүснэгтийн жишээнүүд ховор байдаг, ихэвчлэн деривативыг олохдоо эхлээд ялгах дүрмийг, дараа нь үндсэн функцүүдийн деривативын хүснэгтийг ашигладаг.
Үүнтэй холбогдуулан бид үргэлжлүүлэн авч үзэх болно ялгах дүрэм:
1) Тогтмол тоог дериватив тэмдгээс гаргаж авч болно (мөн байх ёстой).
Тогтмол тоо хаана байна (тогтмол)
Жишээ 2
Функцийн деривативыг ол
Деривативын хүснэгтийг харцгаая. Косинусын дериватив байдаг, гэхдээ бидэнд .
Дүрмийг ашиглах цаг боллоо, бид деривативын тэмдгээс тогтмол хүчин зүйлийг гаргаж авдаг.
Одоо бид косинусыг хүснэгтийн дагуу хөрвүүлнэ.
Үр дүнг бага зэрэг "самнахыг" зөвлөж байна - хасах тэмдгийг эхний байранд байрлуулж, хаалтаас сална уу.
2) нийлбэрийн дериватив нь деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна
Жишээ 3
Функцийн деривативыг ол
Ингээд шийдье. Та аль хэдийн анзаарсан байх, дериватив олохын тулд үргэлж хийдэг хамгийн эхний алхам бол илэрхийллийг бүхэлд нь хаалтанд хийж, баруун дээд буланд анхны тоог тавих явдал юм.
Хоёрдахь дүрмийг хэрэгжүүлье:
Ялгахын тулд бүх үндэс, зэрэг нь хэлбэрээр илэрхийлэгдэх ёстой бөгөөд хэрэв тэдгээр нь хуваарьт байгаа бол дээш шилжүүлнэ. Үүнийг хэрхэн хийх талаар миний сургалтын материалд дурдсан болно.
Одоо ялгах эхний дүрмийг санацгаая - бид дериватив тэмдгийн гадна тогтмол хүчин зүйлсийг (тоо) авдаг.
Ихэвчлэн шийдлийн явцад эдгээр хоёр дүрмийг нэгэн зэрэг ашигладаг (удаан илэрхийлэлийг дахин бичихгүйн тулд).
Цус харвалтын дор байрлах бүх функцууд нь хүснэгтийг ашиглан хувиргах ажлыг гүйцэтгэдэг.
Цус харвалт байхгүй, дериватив олдсон тул та бүх зүйлийг хэвээр үлдээж болно. Гэсэн хэдий ч иймэрхүү илэрхийлэл нь ихэвчлэн хялбаршуулдаг:
Энэ төрлийн бүх хүчийг язгуур хэлбэрээр дахин илэрхийлэхийг зөвлөж байна. Хэдийгээр та үүнийг хийх шаардлагагүй ч энэ нь алдаа болохгүй.
Жишээ 4
Функцийн деривативыг ол 
Шийдэхийг хичээ энэ жишээбие даан (хичээлийн төгсгөлд хариулах). Сонирхсон хүмүүс бас ашиглаж болно эрчимжүүлсэн курс pdf форматтай, энэ нь танд маш бага хугацаа байгаа тохиолдолд онцгой ач холбогдолтой юм.
3) Функцийн үржвэрийн дериватив
Энэ зүйрлэл нь .... томьёог санал болгож байгаа юм шиг санагдаж байна, гэхдээ гайхах зүйл нь:
Энэ бол ер бусын дүрэм юм (үнэндээ бусадтай адил)-аас гардаг дериватив тодорхойлолтууд. Гэхдээ бид одоохондоо онолыг хойшлуулах болно - одоо хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах нь илүү чухал юм:
Жишээ 5
Функцийн деривативыг ол
-аас хамааран бид хоёр функцийн үржвэртэй байна.
Эхлээд бид хачирхалтай дүрмээ хэрэглэж, дараа нь үүсмэл хүснэгтийг ашиглан функцүүдийг хувиргана.
Хэцүү үү? Огт тийм биш, цайны аяганд ч хүртээмжтэй.
Жишээ 6
Функцийн деривативыг ол 
Энэ функц нь хоёр функцийн нийлбэр ба үржвэрийг агуулдаг - квадрат гурвалжинба логарифм. Сургуулиас бид үржүүлэх, хуваах нь нэмэх, хасахаас илүү байдаг гэдгийг санаж байна.
Энд ч мөн адил. АНХДААБид бүтээгдэхүүнийг ялгах дүрмийг ашигладаг:
Одоо хаалтанд бид эхний хоёр дүрмийг ашигладаг:
Цус харвалтын дор ялгах дүрмийг хэрэглэсний үр дүнд бид деривативын хүснэгтийг ашиглан зөвхөн энгийн функцүүдтэй үлдэж, бид тэдгээрийг бусад функц болгон хувиргадаг.
Бэлэн.
Дериватив олох талаар тодорхой хэмжээний туршлагатай бол энгийн деривативуудыг ийм дэлгэрэнгүй тайлбарлах шаардлагагүй юм шиг санагддаг. Ер нь бол амаар шийддэг, тэрийг нь шууд л бичдэг 
.
Жишээ 7
Функцийн деривативыг ол 
Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм (хичээлийн төгсгөлд хариулах)
4) Хэмжилтийн функцүүдийн дериватив
Таазанд цоорхой нээгдсэн, бүү ай, энэ бол алдаа юм.
Гэхдээ энэ бол хатуу бодит байдал юм: 
Жишээ 8
Функцийн деривативыг ол
Энд юу дутагдаж байна - нийлбэр, зөрүү, бүтээгдэхүүн, бутархай .... Хаанаас эхлэх вэ?! Эргэлзээтэй, эргэлзээгүй, гэхдээ ЯМАР ч байсанЭхлээд хаалт зураад баруун дээд буланд зураас зурна уу:
Одоо бид хаалтанд байгаа илэрхийлэлийг харвал үүнийг хэрхэн хялбарчлах вэ? IN энэ тохиолдолдЭхний дүрмийн дагуу деривативын тэмдгийг хасах нь зүйтэй гэсэн хүчин зүйлийг бид анзаарч байна.
-ийн деривативыг олох асуудал өгөгдсөн функцматематикийн үндсэн хичээлүүдийн нэг юм ахлах сургуульба түүнээс дээш боловсролын байгууллагууд. Функцийг бүрэн судалж, түүний уламжлалыг авахгүйгээр графикийг нь барих боломжгүй. Хэрэв та ялгах үндсэн дүрэм, мөн үндсэн функцүүдийн деривативын хүснэгтийг мэддэг бол функцийн деривативыг хялбархан олох боломжтой. Функцийн деривативыг хэрхэн олохыг үзье.
Аргументийн нэмэгдэл тэг болох хандлагатай үед функцын нэмэгдлийг аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаарыг функцийн дериватив гэнэ.
Хязгаарын тухай ойлголтыг сургуульд бүрэн судлаагүй тул энэ тодорхойлолтыг ойлгоход нэлээд хэцүү байдаг. Гэхдээ дериватив олохын тулд янз бүрийн функцууд, тодорхойлолтыг ойлгох шаардлагагүй, үүнийг математикчдад үлдээж, деривативыг олоход шууд шилжье.
Деривативыг олох үйл явцыг дифференциал гэж нэрлэдэг. Функцийг ялгах үед бид шинэ функцийг олж авах болно.
Тэдгээрийг тодорхойлохын тулд бид f, g гэх мэт Латин үсгийг ашиглана.
Деривативын хувьд олон янзын тэмдэглэгээ байдаг. Бид цус харвалт хэрэглэх болно. Жишээлбэл, g" гэж бичих нь g функцийн деривативыг олох болно гэсэн үг юм.
Деривативын хүснэгт
Деривативыг хэрхэн олох вэ гэсэн асуултад хариулахын тулд үндсэн функцүүдийн деривативын хүснэгтийг өгөх шаардлагатай. Энгийн функцүүдийн деривативыг тооцоолохын тулд нарийн төвөгтэй тооцоолол хийх шаардлагагүй. Деривативын хүснэгтээс түүний утгыг харахад л хангалттай.
- (нүгэл x)"=cos x
- (cos x)"= –sin x
- (x n)"=n x n-1
- (e x)"=e x
- (ln x)"=1/x
- (a x)"=a x ln a
- (log a x)"=1/x ln a
- (tg x)"=1/cos 2 x
- (ctg x)"= – 1/sin 2 x
- (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
- (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
- (arctg x)"= 1/(1+x 2)
- (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)
Жишээ 1. y=500 функцийн деривативыг ол.
Энэ нь тогтмол гэдгийг бид харж байна. Деривативын хүснэгтээс тогтмолын дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна (томъёо 1).
Жишээ 2. y=x 100 функцийн деривативыг ол.
Энэ бол илтгэгч нь 100 байх чадлын функц бөгөөд түүний деривативыг олохын тулд функцийг илтгэгчээр үржүүлж, 1-ээр багасгах хэрэгтэй (томъёо 3).
(x 100)"=100 x 99
Жишээ 3. y=5 x функцийн деривативыг ол
Энэ экспоненциал функц, 4-р томъёог ашиглан түүний деривативыг тооцоолъё.
Жишээ 4. y= log 4 x функцийн деривативыг ол
Бид 7-р томъёог ашиглан логарифмын деривативыг олно.
(лог 4 x)"=1/x ln 4
Ялгах дүрэм
Хүснэгтэнд байхгүй бол функцийн деривативыг хэрхэн олохыг үзье. Судлагдсан функцүүдийн ихэнх нь энгийн биш боловч энгийн үйлдлүүд (нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, тоогоор үржүүлэх) ашиглан энгийн функцүүдийн хослолууд юм. Тэдний деривативыг олохын тулд ялгах дүрмийг мэдэх хэрэгтэй. Доорх f ба g үсэг нь функцийг илэрхийлэх ба C нь тогтмол юм.
1. Тогтмол коэффициентийг деривативын тэмдгээс гаргаж авч болно
Жишээ 5. y= 6*x 8 функцийн деривативыг ол
Бид 6-ийн тогтмол хүчин зүйлийг гаргаж, зөвхөн x 4-ийг ялгадаг. Энэ бол деривативын хүснэгтийн 3-р томъёог ашиглан деривативыг олдог чадлын функц юм.
(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7
2. Нийлбэрийн дериватив нь деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна
(f + g)"=f" + g"
Жишээ 6. y= x 100 +sin x функцийн деривативыг ол
Функц нь хоёр функцийн нийлбэр бөгөөд тэдгээрийн уламжлалыг хүснэгтээс олж болно. Учир нь (x 100)"=100 x 99 ба (sin x)"=cos x. Нийлбэрийн дериватив нь эдгээр деривативуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.
(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x
3. Зөрүүний дериватив нь деривативуудын зөрүүтэй тэнцүү байна
(f – g)"=f" – g"
Жишээ 7. y= x 100 – cos x функцийн деривативыг ол
Энэ функц нь хоёр функцийн ялгаа бөгөөд тэдгээрийн деривативуудыг бид хүснэгтээс олж болно. Дараа нь ялгаварын дериватив нь деривативуудын зөрүүтэй тэнцүү байх ба (cos x)"= – sin x тул тэмдгийг өөрчлөхөө бүү мартаарай.
(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x
Жишээ 8. y=e x +tg x– x 2 функцийн деривативыг ол.
Энэ функц нь нийлбэр ба зөрүүтэй байна.
(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Тэгвэл анхны функцийн дериватив нь:
(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x
4. Бүтээгдэхүүний дериватив
(f * g)"=f" * g + f * g"
Жишээ 9. y= cos x *e x функцийн деривативыг ол
Үүнийг хийхийн тулд бид эхлээд хүчин зүйл бүрийн деривативыг олно (cos x)"=–sin x ба (e x)"=e x. Одоо бүх зүйлийг бүтээгдэхүүний томъёонд орлъё. Бид эхний функцийн деривативыг хоёр дахь функцээр үржүүлж, эхний функцийн үржвэрийг хоёр дахь функцийн деривативаар нэмнэ.
(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x
5. Хэсгийн дериватив
(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2
Жишээ 10. y= x 50 /sin x функцийн деривативыг ол
Хэсгийн деривативыг олохын тулд эхлээд хуваагч ба хувагчийн деривативыг тус тусад нь олно: (x 50)"=50 x 49 ба (sin x)"= cos x. Хэсгийн деривативыг томъёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.
(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x
Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив
Нарийн төвөгтэй функц гэдэг нь хэд хэдэн функцийн бүрэлдэхүүнээр илэрхийлэгдсэн функц юм. Мөн нийлмэл функцийн деривативыг олох дүрэм байдаг.
(u (v))"=u"(v)*v"
Ийм функцийн деривативыг хэрхэн олохыг үзье. y= u(v(x)) нийлмэл функц байг. Функцийг u гадаад, v - дотоод гэж нэрлэе.
Жишээ нь:
y=sin (x 3) нь нийлмэл функц юм.
Тэгвэл y=sin(t) нь гадаад функц болно
t=x 3 - дотоод.
Энэ функцийн деривативыг тооцоолохыг хичээцгээе. Томъёоны дагуу та дотоод болон гадаад функцүүдийн деривативуудыг үржүүлэх хэрэгтэй.
(sin t)"=cos (t) - гадаад функцийн дериватив (энд t=x 3)
(x 3)"=3x 2 - дотоод функцийн дериватив
Тэгвэл (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 нь нийлмэл функцийн дериватив юм.