Тоон ба алгебрийн илэрхийлэл. Илэрхийлэл хөрвүүлэх.

Математикийн илэрхийлэл гэж юу вэ? Бидэнд яагаад илэрхийлэл хувиргалт хэрэгтэй байна вэ?

Асуулт нь тэдний хэлснээр сонирхолтой юм ... Үнэндээ эдгээр ойлголтууд нь бүх математикийн үндэс суурь болдог. Бүх математик нь илэрхийлэл ба тэдгээрийн хувиралаас бүрддэг. Маш тодорхой биш байна уу? Би тайлбарлая.

Таны өмнө муу жишээ байна гэж бодъё. Маш том бөгөөд маш нарийн төвөгтэй. Та математикт сайн, юунаас ч айдаггүй гэж бодъё! Та шууд хариулт өгч чадах уу?

Та хийх хэрэгтэй болно шийдэхэнэ жишээ. Тууштай, алхам алхмаар, энэ жишээ хялбарчлах. Мэдээжийн хэрэг тодорхой дүрмийн дагуу. Тэдгээр. хийх илэрхийлэл хувиргалт. Та эдгээр өөрчлөлтийг хэдий чинээ амжилттай хийх тусам математикт илүү хүчтэй болно. Хэрэв та хэрхэн зөв хувиргалт хийхээ мэдэхгүй бол математикийн хичээл дээр үүнийг хийх боломжгүй болно. Юу ч биш...

Ийм эвгүй ирээдүйгээс (эсвэл одоо ...) зайлсхийхийн тулд энэ сэдвийг ойлгоход гэмгүй.)

Эхлээд олж мэдье математикт илэрхийлэл гэж юу вэ. Юу болов тоон илэрхийлэлмөн юу вэ алгебрийн илэрхийлэл.

Математикийн илэрхийлэл гэж юу вэ?

Математик дахь илэрхийлэл- энэ их өргөн ойлголт. Математикт бидний харьцдаг бараг бүх зүйл бол математик илэрхийллийн багц юм. Аливаа жишээ, томьёо, бутархай, тэгшитгэл гэх мэт - энэ бүгдээс бүрдэнэ математик илэрхийллүүд.

3+2 нь математикийн илэрхийлэл юм. s 2 - d 2- энэ нь бас математикийн илэрхийлэл юм. Эрүүл бутархай, тэр ч байтугай нэг тоо хоёулаа математикийн илэрхийлэл юм. Жишээлбэл, тэгшитгэл нь:

5x + 2 = 12

тэнцүү тэмдгээр холбогдсон хоёр математик илэрхийллээс бүрдэнэ. Нэг илэрхийлэл зүүн талд, нөгөө нь баруун талд байна.

IN ерөнхий үзэлнэр томъёо " математик илэрхийлэл"Гугнахаас зайлсхийхийн тулд ихэвчлэн ашиглагддаг. Тэд танаас жирийн бутархай гэж юу болохыг асуух болно? Тэгээд яаж хариулах вэ?!

Эхний хариулт: "Энэ бол ... мммммм... ийм зүйл ... аль нь ... Би бутархайг илүү сайн бичиж чадах уу? Та алийг нь хүсч байна?"

Хоёр дахь хариулт: " Энгийн бутархай- энэ бол (баяр хөөртэй, баяртай!) математик илэрхийлэл , энэ нь тоологч ба хуваагчаас бүрддэг!"

Хоёр дахь сонголт нь ямар нэгэн байдлаар илүү гайхалтай байх болно, тийм ээ?)

Энэ бол" гэсэн хэллэгийн зорилго юм. математик илэрхийлэл "маш сайн. Аль аль нь зөв, хатуу. Гэхдээ төлөө практик хэрэглээсайн мэддэг байх хэрэгтэй Математик дахь илэрхийллийн тодорхой төрлүүд .

Тодорхой төрөл нь өөр асуудал юм. Энэ шал өөр асуудал!Математик илэрхийллийн төрөл бүрд байдаг минийхшийдвэр гаргахдаа хэрэглэх ёстой дүрэм, арга техник. Бутархайтай ажиллахад - нэг багц. Тригонометрийн илэрхийлэлтэй ажиллахад - хоёр дахь нь. Логарифмтай ажиллахад - гурав дахь нь. гэх мэт. Эдгээр дүрмүүд хаа нэгтээ давхцаж, хаа нэгтээ эрс ялгаатай байдаг. Гэхдээ эдгээрээс бүү ай аймшигтай үгс. Бид зохих хэсгүүдэд логарифм, тригонометр болон бусад нууцлаг зүйлсийг эзэмших болно.

Энд бид үндсэн хоёр төрлийн математик илэрхийллийг эзэмших болно (эсвэл - давтан, хэнээс хамаарч ...). Тоон илэрхийлэл ба алгебрийн илэрхийлэл.

Тоон илэрхийлэл.

Юу болов тоон илэрхийлэл? Энэ бол маш энгийн ойлголт юм. Энэ нэр нь өөрөө тоонуудтай илэрхийлэл гэдгийг сануулж байна. Тийм ээ, ийм л байна. Тоо, хаалт, арифметик тэмдэгтүүдээс бүрдсэн математик илэрхийллийг тоон илэрхийлэл гэнэ.

7-3 нь тоон илэрхийлэл юм.

(8+3.2) 5.4 нь мөн тоон илэрхийлэл юм.

Мөн энэ мангас:

бас тоон илэрхийлэл, тийм ээ...

Энгийн тоо, бутархай, X болон бусад үсэггүй тооцоолох жишээнүүд - энэ бүхэн тоон илэрхийлэл юм.

Гол тэмдэг тоонилэрхийлэл - үүнд үсэг байхгүй. Байхгүй. Зөвхөн тоо, математикийн тэмдэг (шаардлагатай бол). Энэ нь энгийн, тийм үү?

Мөн та тоон илэрхийллээр юу хийж чадах вэ? Тоон илэрхийллийг ихэвчлэн тоолж болно. Үүнийг хийхийн тулд та хаалт нээх, тэмдгүүдийг өөрчлөх, товчлох, нэр томъёог солих шаардлагатай болдог. хийх илэрхийлэл хувиргалт. Гэхдээ энэ талаар доор дэлгэрэнгүй.

Энд бид тоон илэрхийлэлтэй ийм инээдтэй тохиолдлыг авч үзэх болно чи юу ч хийх шаардлагагүй.За, юу ч биш! Энэхүү тааламжтай үйл ажиллагаа - юу ч хийхгүй)- илэрхийлэл байх үед гүйцэтгэгдэнэ утгагүй байна.

Хэзээ тоон илэрхийлэл утгагүй болдог вэ?

Хэрэв бидний өмнө ямар нэгэн төрлийн абракадабра харагдах нь ойлгомжтой

тэгвэл бид юу ч хийхгүй. Учир нь энэ талаар юу хийх нь тодорхойгүй байна. Ямар нэг утгагүй зүйл. Магадгүй олон давуу талыг тоолоорой ...

Гэхдээ гадна талаасаа нэлээд зохистой илэрхийллүүд байдаг. Жишээ нь энэ:

(2+3) : (16 - 2 8)

Гэсэн хэдий ч энэ илэрхийлэл нь бас утгагүй байна! Энгийн шалтгаанаар хоёр дахь хаалтанд - хэрэв та тоолвол тэг болно. Гэхдээ та тэгээр хувааж болохгүй! Энэ бол математикт хориотой үйлдэл юм. Тиймээс, энэ илэрхийлэлтэй юу ч хийх шаардлагагүй. Ийм илэрхийлэлтэй аливаа даалгаврын хувьд хариулт нь үргэлж ижил байх болно. "Илэрхийлэл нь ямар ч утгагүй!"

Ийм хариулт өгөхийн тулд би хаалтанд юу байхыг тооцоолох хэрэгтэй байсан. Заримдаа хаалтанд маш олон зүйл байдаг ... За, энэ талаар та юу ч хийж чадахгүй.

Математикт хориотой үйлдэл тийм ч олон байдаггүй. Энэ сэдэвт ганцхан зүйл бий. Тэгээр хуваах. Үндэс ба логарифмд үүсэх нэмэлт хязгаарлалтуудыг холбогдох сэдвүүдэд авч үзнэ.

Тэгэхээр, энэ нь юу болох тухай санаа тоон илэрхийлэл- хүлээн авсан. Үзэл баримтлал тоон илэрхийлэл нь утгагүй байна- ойлгосон. Үргэлжлүүлье.

Алгебрийн илэрхийллүүд.

Хэрэв тоон илэрхийлэлд үсэг гарч ирвэл энэ илэрхийлэл нь... Илэрхийлэл нь... Тийм! Энэ нь болдог алгебрийн илэрхийлэл. Жишээ нь:

5a 2; 3х-2ж; 3(z-2); 3.4м/н; x 2 +4x-4; (a+b) 2; ...

Ийм хэллэгийг бас нэрлэдэг үг хэллэгүүд.Эсвэл хувьсагчтай илэрхийллүүд.Энэ нь бараг ижил зүйл юм. Илэрхийлэл 5a +cжишээлбэл, үсгийн болон алгебрийн аль аль нь, хувьсагчтай илэрхийлэл.

Үзэл баримтлал алгебрийн илэрхийлэл -тооноос илүү өргөн. Энэ орноболон бүх тоон илэрхийллүүд. Тэдгээр. тоон илэрхийлэл нь зөвхөн үсэггүй алгебрийн илэрхийлэл юм. Сегс бүр нь загас, гэхдээ загас бүр бол загас биш ...)

Яагаад цагаан толгойн үсгээр- Тодорхой байна. За тэгээд үсэг байдаг болохоор... Өгүүлбэр хувьсагчтай илэрхийлэлЭнэ нь бас нэг их ойлгомжгүй зүйл биш юм. Хэрэв та үсэгнүүдийн доор тоо нуугдаж байгааг ойлгож байгаа бол. Үсгийн доор бүх төрлийн тоо нуугдаж болно ... Мөн 5, ба -18, бусад бүх зүйл. Энэ нь захидал байж болно солихдээр өөр өөр тоо. Ийм учраас үсгүүдийг дууддаг хувьсагч.

Илэрхийлэлээр y+5, Жишээ нь, цагт- хувьсах утга. Эсвэл тэд зүгээр л " хувьсагч", "магнитуд" гэсэн үггүйгээр. Тогтмол утга болох таваас ялгаатай. Эсвэл зүгээр л - тогтмол.

Хугацаа алгебрийн илэрхийлэлЭнэ илэрхийлэлтэй ажиллахын тулд хууль, дүрмийг ашиглах хэрэгтэй гэсэн үг юм алгебр. Хэрэв арифметикдараа нь тодорхой тоонуудтай ажилладаг алгебр- бүх тоонуудыг нэг дор. Тодруулга өгөх энгийн жишээ.

Арифметикийн хувьд бид үүнийг бичиж болно

Гэхдээ ийм тэгш байдлыг алгебрийн илэрхийллээр бичвэл:

a + b = b + a

бид шууд шийднэ Бүгдасуултууд. Учир нь бүх тоонэг цохилтоор. Хязгааргүй бүх зүйлийн төлөө. Учир нь үсгийн доор АТэгээд бгэсэн утгатай Бүгдтоо. Зөвхөн тоо төдийгүй бусад математикийн илэрхийлэл. Алгебр ийм байдлаар ажилладаг.

Хэзээ алгебрийн илэрхийлэл утгагүй болох вэ?

Тоон илэрхийллийн тухай бүх зүйл тодорхой байна. Тэнд тэгээр хувааж болохгүй. Мөн үсгээр бид юугаар хуваагдаж байгааг олж мэдэх боломжтой юу?!

Жишээ нь хувьсагчтай энэ илэрхийллийг авч үзье:

2: (А - 5)

Энэ нь утга учиртай юу? Хэн мэдэх вэ? А- ямар ч тоо ...

Ямар ч, аль ч ... Гэхдээ нэг утга байна А, үүний төлөө энэ илэрхийлэл ягутгагүй байна! Тэгээд энэ хэд вэ? Тийм ээ! Энэ бол 5! Хэрэв хувьсагч А(тэд "орлуулах" гэж хэлдэг) 5-ын тоогоор солино, хаалтанд тэг болно. Үүнийг хувааж болохгүй. Тэгэхээр бидний илэрхийлэл болж таарч байна утгагүй байна, Хэрэв a = 5. Гэхдээ бусад үнэт зүйлсийн хувьд Аутга учиртай юу? Та өөр тоонуудыг орлуулж болох уу?

Мэдээж. Ийм тохиолдолд тэд зүгээр л илэрхийлэл гэж хэлдэг

2: (А - 5)

аливаа үнэт зүйлсийн хувьд утга учиртай А, a = 5-аас бусад .

Бүхэл бүтэн тоонууд ЧадахӨгөгдсөн илэрхийлэлд орлуулах гэж нэрлэдэг хүлээн зөвшөөрөгдсөн утгын хүрэээнэ илэрхийлэл.

Таны харж байгаагаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Хувьсагчтай илэрхийллийг харцгаая: хувьсагчийн ямар утгаар хориотой үйлдлийг (тэгээр хуваах) авах вэ?

Дараа нь даалгаврын асуултыг харахаа мартуузай. Тэд юу асууж байна вэ?

утгагүй байна, бидний хориотой утга нь хариулт байх болно.

Хэрэв та ямар нэг хувьсагчийн утгаар илэрхийллийг асуувал утга учиртай(ялгааг мэдэр!), хариулт нь байх болно бусад бүх тоохориотой зүйлээс бусад тохиолдолд.

Яагаад бидэнд илэрхийллийн утга хэрэгтэй байна вэ? Тэр байгаа, тэр байхгүй... Ялгаа нь юу вэ?! Гол нь энэ ойлголт ахлах сургуульд маш чухал болж байгаа юм. Маш чухал! Энэ нь хүлээн зөвшөөрөгдөх утгын домэйн эсвэл функцийн домэйн гэх мэт хатуу ойлголтуудын үндэс суурь юм. Үүнгүйгээр та ноцтой тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг огт шийдэж чадахгүй. Энэ мэт.

Илэрхийлэл хөрвүүлэх. Биеийн өөрчлөлтүүд.

Бид тоон болон алгебрийн илэрхийлэлтэй танилцсан. "Илэрхийлэл ямар ч утгагүй" гэсэн хэллэг ямар утгатай болохыг бид ойлгосон. Одоо бид юу болохыг олж мэдэх хэрэгтэй илэрхийллийн хувиргалт.Хариулт нь энгийн, гутамшигтай.) Энэ бол илэрхийлэлтэй аливаа үйлдэл юм. Ингээд л болоо. Та нэгдүгээр ангиасаа эхлэн эдгээр өөрчлөлтүүдийг хийж байгаа.

3+5 гэсэн гайхалтай тоон илэрхийллийг авч үзье. Үүнийг яаж хувиргах вэ? Тийм ээ, маш энгийн! Тооцоолох:

Энэ тооцоо нь илэрхийллийн хувиргалт болно. Та ижил илэрхийллийг өөрөөр бичиж болно:

Энд бид юу ч тооцсонгүй. Зүгээр л илэрхийлэл бичсэн өөр хэлбэрээр.Энэ нь мөн илэрхийллийн өөрчлөлт байх болно. Та үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

Мөн энэ нь илэрхийллийн өөрчлөлт юм. Та хүссэн хэмжээгээрээ ийм өөрчлөлт хийж болно.

Ямар чилэрхийлэх үйлдэл ямар чүүнийг өөр хэлбэрээр бичихийг илэрхийллийг хувиргах гэж нэрлэдэг. Тэгээд л болоо. Энэ бол маш энгийн. Гэхдээ энд нэг зүйл байна маш чухал дүрэм.Үүнийг аюулгүйгээр дуудаж болох нь маш чухал юм гол дүрэмбүх математик. Энэ дүрмийг зөрчиж байна зайлшгүйалдаа гаргахад хүргэдэг. Бид үүнд орж байна уу?)

Бид өөрсдийн илэрхийлэлийг санамсаргүйгээр өөрчилсөн гэж бодъё.

Хөрвүүлэлт үү? Мэдээж. Бид илэрхийллийг өөр хэлбэрээр бичсэн, энд юу нь буруу байна вэ?

Энэ нь тийм биш юм.) Гол нь өөрчлөлтүүд юм "санамсаргүй байдлаар"Математик огт сонирхдоггүй.) Бүх математик нь хувиргалт дээр суурилдаг гадаад төрх, гэхдээ илэрхийллийн мөн чанар өөрчлөгдөхгүй.Гурав дээр тавыг ямар ч хэлбэрээр бичиж болно, гэхдээ энэ нь найм байх ёстой.

Өөрчлөлт, мөн чанарыг өөрчилдөггүй илэрхийллүүдгэж нэрлэдэг адилхан.

Яг таних тэмдгийн өөрчлөлтүүдмөн биднийг алхам алхмаар өөрчлөх боломжийг олго нарийн төвөгтэй жишэээнгийн илэрхийлэл болгон хадгалах жишээний мөн чанар.Хэрэв бид өөрчлөлтийн гинжин хэлхээнд алдаа гаргавал ижил биш өөрчлөлт хийвэл бид шийднэ. өөржишээ. Зөв хариулттай холбоогүй бусад хариултуудын хамт.)

Энэ бол аливаа ажлыг шийдвэрлэх гол дүрэм юм: өөрчлөлтийн шинж чанарыг хадгалах.

Би тодорхой болгох үүднээс 3+5 тоон илэрхийлэлтэй жишээ өгсөн. IN алгебрийн илэрхийллүүдИжил хувиргалтыг томъёо, дүрмээр өгдөг. Алгебрт дараах томъёо байдаг гэж бодъё.

a(b+c) = ab + ac

Энэ нь ямар ч жишээн дээр бид илэрхийллийн оронд болно гэсэн үг юм a(b+c)илэрхийлэл бичиж болно ab + ac. Мөн эсрэгээр. Энэ ижил хувиргалт.Математик бидэнд энэ хоёр илэрхийллийн аль нэгийг сонгох боломжийг олгодог. Аль нь бичих вэ - тодорхой жишээхамаарна.

Өөр нэг жишээ. Хамгийн чухал бөгөөд зайлшгүй хувиргалтын нэг бол бутархайн үндсэн шинж чанар юм. Та илүү дэлгэрэнгүй мэдээллийг холбоосыг үзэх боломжтой, гэхдээ би энд зөвхөн дүрмийг сануулах болно: Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг ижил тоогоор эсвэл тэгтэй тэнцүү биш илэрхийллээр үржүүлэх (хуваах) тохиолдолд бутархай өөрчлөгдөхгүй.Энэ өмчийг ашиглан таниулах өөрчлөлтүүдийн жишээ энд байна:

Магадгүй та таамаглаж байсанчлан энэ гинжийг хязгааргүй үргэлжлүүлж болно ...) Маш чухал өмч. Энэ нь бүх төрлийн мангасуудыг цагаан, сэвсгэр болгон хувиргах боломжийг олгодог.)

Ижил хувиргалтыг тодорхойлсон олон томьёо байдаг. Гэхдээ хамгийн чухал нь нэлээд боломжийн тоо юм. Үндсэн өөрчлөлтүүдийн нэг нь хүчин зүйлчлэл юм. Үүнийг бүх математикт ашигладаг - анхан шатнаас ахисан түвшний хүртэл. Түүнээс эхэлцгээе. Дараагийн хичээл дээр.)

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, надад танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Илэрхийлэл бол математикийн үндэс юм. Энэ ойлголт нэлээд өргөн хүрээтэй. Математикийн хувьд жишээ, тэгшитгэл, тэр ч байтугай бутархай гэх мэт зүйлсийн ихэнх нь илэрхийлэл юм. Илэрхийллийн өвөрмөц шинж чанар нь математикийн үйлдлүүд байдаг. Энэ нь тодорхой шинж тэмдгээр (үржүүлэх, хуваах, хасах эсвэл нэмэх) илэрхийлэгддэг. Шаардлагатай бол математикийн үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дарааллыг хаалтаар засна. Математик хийнэ гэдэг нь илэрхийллийн утгыг олох гэсэн үг.

Юу нь илэрхийлэл биш юм

Математик тэмдэглэгээ бүрийг илэрхийлэл гэж ангилж болохгүй. Математик үйлдлүүд тэгш байдалд байгаа эсэх нь хамаагүй. Жишээлбэл, a=5 нь илэрхийлэл биш, тэгш байдал, гэхдээ 8+6*2=20 нь үржүүлэх, нэмэх үйлдлийг агуулсан боловч илэрхийлэл гэж үзэж болохгүй. Энэ жишээ нь мөн адил тэгш байдлын ангилалд багтдаг. Тэнцүү тэмдэг нь хоёр илэрхийллийг холбодог:
5+7=24:2Та энэ тэгшитгэлийг хялбарчилж болно:
5+7=12Илэрхийлэл нь түүний илэрхийлж буй математик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх боломжтой гэж үргэлж үздэг. 9+:-7 нь илэрхийлэл биш, гэхдээ энд математик үйлдлүүдийн шинж тэмдэг байдаг, учир нь эдгээр үйлдлүүдийг хийх боломжгүй, учир нь албан ёсны илэрхийлэл боловч ямар ч утгагүй математик жишээнүүд байдаг. Ийм илэрхийллийн жишээ:
46:(5-2-3) 46 тоог хаалтанд хийсэн үйлдлийн үр дүнд хуваах ёстой бөгөөд энэ нь тэгтэй тэнцүү байна. Та тэгээр хувааж болохгүй, ийм үйлдэл нь математикт хориотой гэж тооцогддог.

Тоон ба алгебрийн илэрхийлэл

Хоёр төрлийн математик илэрхийлэл байдаг бол илэрхийлэлд зөвхөн математик үйлдлүүдийн тоо, тэмдэг орсон байвал ийм илэрхийллийг тоон илэрхийлэл гэнэ. Хэрэв тоонуудын хамт илэрхийлэл нь үсгээр тэмдэглэгдсэн хувьсагчдыг агуулсан эсвэл огт тоо байхгүй бол илэрхийлэл нь зөвхөн математикийн үйлдлүүдийн хувьсагч ба тэмдэгтүүдээс бүрддэг бол үүнийг алгебрийн тоон утга ба алгебрийн үндсэн ялгаа гэж нэрлэдэг тоон илэрхийлэл нь зөвхөн нэг утгатай. Жишээлбэл, 56–2*3 тоон илэрхийллийн утга үргэлж 50-тай тэнцүү байх болно. Алгебр илэрхийлэл нь олон утгатай байж болно, учир нь ямар ч тоог үсгээр орлуулж болно. Тэгэхээр b–7 илэрхийлэлд b-ийн оронд 9-ийг орлуулбал илэрхийллийн утга 2, 200 бол 193 болно.

Энэ хичээлээр та “Тоон илэрхийлэл. Тоон илэрхийллийн харьцуулалт." Энэ хичээл нь тоон илэрхийллийг тодорхойлоход танд танилцуулах болно. Та тоон илэрхийллийг уншиж болно гэдгийг мэдэх болно. Мөн та тэдгээрийн утгыг олж, харьцуулж сурах болно. Хэд хэдэн практик жишээ нь сурсан зүйлээ бататгахад тусална.

Хичээл: Тоон илэрхийлэл. Тоон илэрхийллийг харьцуулах

Эдгээр илэрхийлэлийг хараад сондгойг нь олохыг хичээ.

20 + а
s + 7
6 + 8
15 - (10 + 2)
18 > 9

Илүүдэл оруулга нь 18 > 9 (18 нь 9-өөс их). Та яагаад бодож байна вэ?

Зөв хариулт: учир нь энэ нь зөвхөн харьцуулах тэмдгийг ашигладаг. Бусад бүх хүмүүс үйлдлийн тэмдгийг ашигладаг.

Бичсэн хэллэгийг хоёр бүлэгт хувааж болно.

Шууд илэрхийлэл Тоон илэрхийлэл
20 + 6 + 8
c + 7 15 - (10 + 2)

Шууд илэрхийллүүднь латин цагаан толгойн үсгийг ашигладаг илэрхийллүүд юм.

Тоон илэрхийлэл- үйлдлийн тэмдгээр холбогдсон тоонууд. Тоон илэрхийллийг уншиж болно.

6 + 8…(6 ба 8-ын нийлбэр)

15 - (10 + 2)...(15-аас 10 ба 2-ын нийлбэрийг хасна)

Илэрхийллийн утгыг олцгооё:

15 - (10 + 2) = …
Эхлээд бид хаалтанд бичсэн үйлдлийг гүйцэтгэдэг. 2-ыг 10-д нэмнэ.
10 + 2 = 12
Одоо та 15-аас 12-ыг хасах хэрэгтэй.
15 - 12 = 3
15 - (10 + 2) = 3

Одоо даалгавраа гүйцээцгээе:

Тоон илэрхийллийн утгыг олох нь юу гэсэн үг болохыг бид авч үзсэн.

Одоо бид тоон илэрхийллийг харьцуулж сурах ёстой. Тоон илэрхийллийг харьцуулах - илэрхийлэл бүрийн утгыг олж, тэдгээрийг харьцуулах.

Хоёр илэрхийллийн утгыг харьцуулж үзье. Үүнийг хийхийн тулд бид тус бүрийн утгыг олох болно.

15 - 7 < 6 + 3

Одоо өөр хоёр илэрхийллийн утгыг харьцуулж үзье:

3. Сурган хүмүүжүүлэх санааны наадам " Нээлттэй хичээл» (). Гэртээ хий Тоон илэрхийллүүдийг шийдвэрлэх: a) 20 +14 b) 56 - 22 c) 47 - 22 Илэрхийллийг харьцуулах: a) 33 - 12 ба 25 + 7 b) 45 - 5 ба 19 + 21 c) 23 + 5 ба 12 + 6

Томъёо

Нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах - арифметик үйлдлүүд (эсвэл арифметик үйлдлүүд). Эдгээр арифметик үйлдлүүд нь арифметик үйлдлийн шинж тэмдгүүдтэй тохирч байна.

+ (унших" нэмэх") - нэмэх үйлдлийн тэмдэг,

- (унших" хасах") нь хасах үйлдлийн тэмдэг,

∙ (унших" үржүүлэх") нь үржүүлэх үйлдлийн тэмдэг,

: (унших" хуваах") нь хуваах үйл ажиллагааны тэмдэг юм.

Арифметик тэмдгээр хоорондоо холбогдсон тоонуудаас бүрдсэн бичлэгийг дуудна тоон илэрхийлэл.Тоон илэрхийлэл нь мөн хаалт агуулсан байж болно, жишээлбэл, 1290 оруулга : 2 - (3 + 20 ∙ 15) нь тоон илэрхийлэл юм.

Тоон илэрхийлэлд тоон дээр үйлдлүүдийн үр дүнг дуудна тоон илэрхийллийн утга. Эдгээр үйлдлийг гүйцэтгэхийг тоон илэрхийллийн утгыг тооцоолох гэж нэрлэдэг. Тоон илэрхийллийн утгыг бичихийн өмнө тавина тэнцүү тэмдэг"=". Хүснэгт 1-д тоон илэрхийлэл ба тэдгээрийн утгын жишээг үзүүлэв.

Арифметик үйлдлийн шинж тэмдгээр хоорондоо холбогдсон латин цагаан толгойн тоо, жижиг үсгээс бүрдсэн бичлэгийг нэрлэдэг. үгийн илэрхийлэл. Энэ оруулга нь хаалт агуулсан байж болно. Жишээлбэл, бичлэг хийх a+b - 3 ∙вгэдэг нь шууд утгаар илэрхийлэгдэнэ. Үсгийн оронд та орлуулж болно өөр өөр тоо. Энэ тохиолдолд үсгүүдийн утга өөрчлөгдөж болох тул үсгийн илэрхийлэл дэх үсгүүдийг бас нэрлэдэг хувьсагч.

Шууд илэрхийлэлд үсгийн оронд тоог орлуулж, үүссэн тоон илэрхийллийн утгыг тооцоолсноор тэд олдог. өгөгдсөн үсгийн утгын шууд утга илэрхийллийн утга(хувьсагчийн өгөгдсөн утгуудын хувьд). Хүснэгт 2-т үсгийн илэрхийллийн жишээг үзүүлэв.

Хэрэв үсгүүдийн утгыг орлуулахдаа тоон илэрхийлэл гарч ирвэл шууд утга илэрхийлэл нь утгагүй байж болно. натурал тоонуудолж чадсангүй. Энэ тоон илэрхийлэл гэж нэрлэдэг буруунатурал тоонуудын хувьд. Мөн ийм хэллэгийн утга нь “ тодорхойлогдоогүй"натурал тоо болон илэрхийлэл нь өөрөө "утгагүй". Жишээ нь, шууд утгаар илэрхийлэл а-б a = 10 ба b = 17 байх нь хамаагүй. Үнэн хэрэгтээ натурал тоонуудын хувьд хасах утга нь хасахаас бага байж болохгүй. Жишээлбэл, хэрэв танд ердөө 10 алим байгаа бол (a = 10) 17-г нь (b = 17) өгөх боломжгүй!

Хүснэгт 2 (багана 2) нь үгчилсэн илэрхийллийн жишээг үзүүлэв. Үүнтэй адилаар хүснэгтийг бүрэн бөглөнө үү.

Натурал тоонуудын хувьд илэрхийлэл нь 10-17 байна буруу (утгагүй), өөрөөр хэлбэл 10-17-ийн ялгааг натурал тоогоор илэрхийлэх боломжгүй. Өөр нэг жишээ: та тэгээр хувааж болохгүй, тиймээс ямар ч натурал b тооны хувьд хуваалт б: 0 тодорхойлогдоогүй.

Математикийн хуулиуд, шинж чанарууд, зарим дүрэм, харилцаа холбоог ихэвчлэн шууд утгаар (жишээ нь, үгчилсэн илэрхийллийн хэлбэрээр) бичдэг. Эдгээр тохиолдолд шууд утгыг илэрхийлдэг томъёо. Жишээлбэл, долоон өнцөгтийн талууд тэнцүү бол а,б,в,г,э,е,g, дараа нь түүний периметрийг тооцоолох томъёо (үгчилсэн илэрхийлэл). ххэлбэртэй байна:

p =a+б+в +d+e+f+g

a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, долоон өнцөгтийн периметр p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, бусад долоон өнцөгтийн периметр p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Блок 1. Тайлбар толь

Догол хэсгээс шинэ нэр томьёо, тодорхойлолтын толь бичгийг гарга. Үүнийг хийхийн тулд доорх нэр томьёоны жагсаалтаас үгсийг хоосон нүдэнд бичнэ үү. Хүснэгтэнд (блокны төгсгөлд) хүрээнүүдийн тоонуудын дагуу нэр томъёоны тоог зааж өгнө. Толь бичгийн нүдийг бөглөхөөс өмнө догол мөрийг сайтар нягталж үзэхийг зөвлөж байна.

1. Үйлдлүүд: нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах.

2. “+” (нэмэх), “-” (хасах), “∙” (үржүүлэх, “ : "(хуваах).

3. Арифметик үйлдлийн тэмдгээр хоорондоо холбогдсон тоонуудаас бүрдэх бичлэг, мөн хаалт агуулсан байж болно.

4. Тоон илэрхийлэлд тоон дээр үйлдэл хийсний үр дүн.

5. Тоон илэрхийллийн утгын өмнөх тэмдэг.

6. Арифметик үйлдлийн тэмдгээр хоорондоо холбогдсон латин цагаан толгойн тоо, жижиг үсгээс бүрдсэн бичлэг (хаалт ч байж болно).

7. Нийтлэг нэршууд утгаар илэрхийлсэн үсэг.

8. Тоон илэрхийллийн утга, хувьсагчийг үг хэллэг болгон орлуулах замаар олж авдаг.

9. Натурал тоонуудын утгыг олох боломжгүй тоон илэрхийлэл.

10. Натурал тоонуудын утгыг олох боломжтой тоон илэрхийлэл.

11. Үсгийн хэлбэрээр бичсэн математикийн хууль, шинж чанар, зарим дүрэм, хамаарал.

12. Жижиг үсгүүд нь цагаан толгойн илэрхийлэл бичихэд хэрэглэгддэг цагаан толгой.

Блок 2. Тохирох

Зүүн баганад байгаа даалгаврыг баруун талд байгаа шийдэлтэй тааруулна уу. Хариултаа 1а, 2г, 3б... хэлбэрээр бичнэ үү.

Блок 3. Facet test. Тоон болон цагаан толгойн үсгийн илэрхийлэл

Facet test нь математикийн асуудлын цуглуулгыг орлодог боловч тэдгээрийг компьютер дээр шийдэж, шийдлийг шалгаж, ажлын үр дүнг шууд олж мэдэх боломжтой гэдгээрээ тэднээс ялгаатай. Энэхүү тест нь 70 асуудалтай. Гэхдээ та сонголтоор асуудлыг шийдэж болно, үүнд үнэлгээний хүснэгт байдаг энгийн даалгаваруудба илүү хэцүү. Туршилтыг доор харуулав.

1. Хажуу талтай гурвалжин өгөгдсөн в,г,м,см-ээр илэрхийлнэ
2. Хажуу талтай дөрвөлжин өгөгдсөн б,в,г,м, m-ээр илэрхийлсэн
3. Машины хурд нь км / цаг байна б,аялах хугацаа нь цаг г
4. Жуулчны туулсан зай мцаг байна -тайкм
5. Жуулчны хурдтай хөдөлж буй зай мкм/ц байна бкм
6. Хоёр тооны нийлбэр нь хоёр дахь тооноос 15-аар их байна
7. Зөрүү нь 7-оор багассанаас бага байна
8. Зорчигч тээврийн хэрэгсэл нь ижил тооны зорчигчийн суудалтай хоёр тавцантай. Тавцангийн эгнээ бүрт мсуудал, тавцан дээрх эгнээ nдараалсан суудлаас илүү
9. Петя нэг настай, Маша n настай, Катя бол Петя, Маша хоёроос к насаар дүү
10. m = 8, n = 10, k = 5
11. m = 6, n = 8, k = 15
12. t = 121, x = 1458

1. Энэ илэрхийллийн утга
2. Периметрийн шууд илэрхийлэл нь
3. Периметрийг сантиметрээр илэрхийлнэ
4. Машины туулсан зайны томъёо
5. V хурдны томъёо, жуулчны хөдөлгөөн
6. t цаг хугацааны томъёо, жуулчны хөдөлгөөн
7. Машины явсан зайг километрээр илэрхийлнэ
8. Жуулчдын хурд км/цаг
9. Жуулчдын аялах хугацаа цаг
10. Эхний тоо нь ...
11. Хасах нь...
12. -д зориулсан илэрхийлэл хамгийн том тоозорчигчид, нь доторлогооны тээвэрлэж болно книслэг
13. Онгоц тээвэрлэж чадах хамгийн олон зорчигч книслэг
14. Катягийн насны захидлын илэрхийлэл
15. Катягийн нас
16. С цэгийн координат бол В цэгийн координат т
17. С цэгийн координат бол D цэгийн координат т
18. С цэгийн координат бол А цэгийн координат т
19. Тооны шулуун дээрх BD сегментийн урт
20. Тооны шулуун дээрх CA сегментийн урт
21. Тооны шулуун дээрх DA сегментийн урт

Бага сургуульд заадаг математик илэрхийлэл (эсвэл зүгээр л илэрхийлэл) гэсэн ойлголт чухал. Тиймээс энэхүү үзэл баримтлал нь оюутнуудад тооцоолох чадварыг эзэмшихэд тусалдаг. Үнэн хэрэгтээ тооцооллын алдаа нь ихэвчлэн илэрхийллийн бүтцийн талаар ойлголт дутмаг, илэрхийлэлд үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дарааллын талаархи тодорхой бус мэдлэгтэй холбоотой байдаг. Илэрхийлэх ойлголтыг эзэмшсэнээр тэгш байдал, тэгш бус байдал, тэгшитгэл зэрэг математикийн чухал ойлголтуудыг бий болгодог. Бодлогын илэрхийлэл зохиох чадвар нь асуудлыг алгебрийн аргаар шийдвэрлэх чадварыг эзэмшихэд зайлшгүй шаардлагатай, жишээлбэл. тэгшитгэл бичих замаар.

Хүүхдүүд "Арав" төвлөрөл дэх нэмэх, хасах үйлдлийг судлахдаа эхний илэрхийлэл болох нийлбэр ба зөрүүтэй танилцдаг. Тусгай нэр томъёо ашиглахгүйгээр нэгдүгээр ангийн сурагчид тооцоолол хийж, илэрхийлэл бичиж, уншиж, тоог нийлбэрээр сольж, харааны дүрслэлд үндэслэнэ. Энэ тохиолдолд тэд 4+3 илэрхийллийг дараах байдлаар уншина: "дөрөв дээр гурвыг нэмэх" эсвэл "4-ийг 3-аар нэмэгдүүлэх". Нэмэх, хасах тэмдгээр холбогдсон гурван тооноос бүрдэх илэрхийллийн утгыг олсноор оюутнууд үйлдлүүдийн дарааллын дүрмийг далд хэлбэрээр ашиглаж, анхны ижил төстэй илэрхийлэл хувиргалтыг хийдэг.

гэх мэт илэрхийлэлд танил болсон a+c, нэгдүгээр ангийн сурагчид эхлээд "нийлбэр" гэсэн нэр томъёог ашиглан нэмсэний үр дүнд үүссэн тоог тодорхойлох, i.e. дүнг илэрхийллийн утга гэж үзнэ. Дараа нь, гэх мэт илүү төвөгтэй илэрхийлэл бий болсноор (a+c)-c, "хэмжээ" гэсэн нэр томъёоны талаар өөр ойлголттой байх шаардлагатай. Илэрхийлэл a+cнийлбэр, түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэр томъёо гэж нэрлэдэг. гэх мэт илэрхийлэлүүдийг танилцуулахдаа a-c, a·c, a:cадилхан хий. Нэгдүгээрт, ялгаа (бүтээгдэхүүн, quotient) нь илэрхийллийн утга, дараа нь илэрхийлэл юм. Үүний зэрэгцээ оюутнуудад түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нэрийг хэлдэг: хасах, хасах, хүчин зүйл, ногдол ашиг, хуваагч. Жишээлбэл, 9-4=5 тэгшитгэлд 9 нь хасах, 4 нь хасах, 5 нь зөрүү юм. 9-4 гэсэн оруулгыг мөн ялгаа гэж нэрлэдэг. Та эдгээр нэр томъёог өөр дарааллаар оруулж болно: Суралцагчдаас Жишээ 9-4-ийг бичиж, ялгаа нь бичигдсэн гэдгийг тайлбарлаж, бичгийн зөрүү нь юу болохыг тооцоол. Багш гарч ирсэн тооны нэрийг оруулна: 5 нь мөн ялгаа юм. Хасах үед бусад тоонуудыг дууддаг: 9 - minuend, 4 - хасах.

гэх мэт зурагт хуудаснууд шинэ нэр томьёо цээжлэхийг хөнгөвчилдөг

ХАСАХ ХААСАХ DIFFERENCE DIFFERCE (зөрүү утга)

Эдгээр нэр томъёог нэгтгэхийн тулд дараах дасгалуудыг хий: “Тоонуудын нийлбэрийг тооцоолох; тоонуудын нийлбэрийг бичих; тоонуудын нийлбэрийг харьцуулах (оруулах > тэмдэг,< или = вместо · в запись 4 + 3 · 5 + 1 и прочтите полученную запись); замените число суммой одинаковых (разных) чисел; заполните таблицу; составьте по таблице примеры и решите их». Важно, чтобы дети поняли, что при вычислении суммы производится указанное действие (сложение), а при записи суммы получаем два числа, соединенных знаком плюс.

10-ын дотор нэмэх, хасах үйлдлийг судлахдаа тухайн хэлбэрийн ижил буюу өөр үйлдлийн тэмдгээр холбогдсон гурав ба түүнээс дээш тооноос бүрдэх илэрхийлэлүүдийг оруулна: 3+1+1, 4-1-1, 2+2+2+2, 7 -4+ 2, 6+3-7. Ийм хэллэгийн утгыг илчлэхдээ багш тэдгээрийг хэрхэн уншихыг харуулдаг (жишээлбэл, нэгийг гурав дээр нэмээд гарсан тоонд нэгийг нэмнэ). Эдгээр хэллэгийн утгыг тооцоолсноор хүүхдүүд хаалтгүй илэрхийлэл дэх үйлдлийн дарааллын дүрмийг томьёолдоггүй ч гэсэн практикт эзэмшдэг. Хэсэг хугацааны дараа хүүхдүүдэд тооцооллын явцад илэрхийлэл бэлтгэхийг заадаг, жишээлбэл: 10-7+5=3+5=8. ийм оруулгууд нь таних тэмдэг хувиргалтыг хийх эхний алхам юм. Нэгдүгээр ангийн сурагчдыг 10- (6+2), (7-4)+5 гэх мэт илэрхийлэлтэй танилцуулах. нийлбэрт тоог нэмэх, нийлбэрээс тоог хасах гэх мэт дүрмийг судлах, нийлмэл бодлогын шийдлүүдийг бичихэд бэлтгэх, мөн илэрхийллийн тухай ойлголтыг гүнзгий ойлгоход хувь нэмэр оруулдаг.

Илэрхийллийн тухай ойлголтыг эзэмших дараагийн шатанд оюутнууд хаалт хэрэглэдэг хэллэгүүдтэй танилцдаг: (10-3)+4, (6-2)+5. тэдгээрийг үгийн бодлогоор оруулж болно. Багш 10 ба 3-ын тоонуудын нийлбэр ба ялгааг бичгийн цаасан дээр гаргаж, эдгээр тоонууд болон үйлдлийн тэмдгүүдийг бичсэн картуудыг ашиглахыг санал болгож байна. Дараа нь багш сурагчдын эмхэтгэсэн 10-3-ын зөрүүг энэ зөрүүгээр урьдчилан бэлтгэсэн картаар солино. Дараагийн даалгавар: ялгаа, 4 тоо, + тэмдгийг ашиглан илэрхийлэл үүсгэ (энэ үе шатанд оюутнууд үүнийг жишээ болгон ярьдаг). Үүссэн илэрхийлэлийг уншихдаа түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь ялгаа ба тоо байдагт анхаарлаа хандуулдаг. "Ялгаа нь нэр томьёо гэдгийг ойлгохын тулд" гэж багш хэлэв.

Илэрхийлэлийг бие даан бүтээх замаар хүүхдүүд тэдгээрийн бүтцийг мэддэг болж, унших, бичих, утгыг нь тооцоолох чадварыг эзэмшдэг.

"Математик илэрхийлэл" (эсвэл зүгээр л "илэрхийлэл") ба "илэрхийллийн утга" гэсэн нэр томъёог танилцуулав. Эдгээр нэр томъёо нь тодорхойлогдоогүй байна. Хэд хэдэн энгийн илэрхийлэлүүдийг бичээд: нийлбэр, ялгаа, багш тэдгээрийг математик илэрхийлэл гэж нэрлэдэг. Эдгээр жишээнүүдийг үнэлэхийг санал болгосны дараа тэрээр тооцооллын үр дүнд гарсан тоонуудыг илэрхийллийн утга гэж нэрлэнэ гэж мэдэгдэв. Тоон илэрхийллийн цаашдын ажил нь хүүхдүүдийг унших, диктант бичих, илэрхийлэл зохиох, хүснэгт бөглөх, шинэ нэр томьёог өргөнөөр ашиглах дасгалаас бүрдэнэ.

Үйлдлийн дарааллын дүрэм .

	Онцлог шинж чанарууд тоон илэрхийлэл	гүйцэтгэл үйлдлүүд
	Зөвхөн агуулна + Тэгээд – эсвэл зүгээр л XТэгээд :	Дарааллаар (зүүнээс баруун тийш)	65 - 20 + 5 - 8 = 42 24:4 · 2:3 = 4
	Зөвхөн агуулаагүй + Тэгээд - , гэхдээ бас XТэгээд :	Эхлээд дарааллаар гүйцэтгэнэ (зүүнээс баруун тийш) XТэгээд : , дараа нь + Тэгээд – (зүүнээс баруун тийш)	120 – 20: 4 6 = 90 460 + 40 – 50 4 = 300 1 3 4 2 360: 4 + 10 – 8 5 = 60 180: 2 - 90: 3 = 60
	Нэг буюу хэд хэдэн хос хаалт агуулсан	Эхлээд хаалтанд байгаа илэрхийллийн утгыг олж, дараа нь дүрмийн 1, 2-ын дагуу үйлдлүүдийг гүйцэтгэнэ.	1000- (100 9 + 10) =90 5 (76 – 6 + 10) = 400 80+ (360 - 300) 5 = 380 3 1 4 2 99 · (24-23) –(12-4) =91

Илэрхийллийн утгыг тооцоолохын тулд, ялангуяа илэрхийлэл нь олон тооны үйлдлүүд болон хаалтуудыг агуулж байвал түүнийг хөрвүүлэх шаардлагатай болдог.

Илэрхийлэл хөрвүүлэхөгөгдсөн илэрхийлэлийг утга нь өгөгдсөн илэрхийллийн утгатай тэнцүү өөр илэрхийллээр солихыг хэлнэ. Илэрхийллийн хувиргалтыг арифметик үйлдлүүдийн шинж чанар, түүнээс үүсэх үр дагаварт үндэслэн гүйцэтгэдэг (дүрэм: тоонд нийлбэрийг хэрхэн нэмэх, нийлбэрээс тоог хэрхэн хасах, тоог үржвэрээр хэрхэн үржүүлэх гэх мэт). .). Дүрэм бүрийг судлахдаа оюутнууд тодорхой төрлийн илэрхийлэлд янз бүрийн аргаар үйлдлүүдийг хийж чадна гэдэгт итгэлтэй байдаг боловч илэрхийллийн утга нь өөрчлөгддөггүй.

БА математикийн хичээлд тоонуудын уламжлалт тэмдэглэгээг ашиглах.

Багцууд - хоёр оронтой тооны үүсэх, аравтын бутархай бүтцийг харуулахын тулд хэдэн арван саваа, бие даасан саваа ашигладаг. Үүнтэй ижил зорилгоор та дугуй эсвэл гурвалжин бүхий туузыг ашиглан арав (10 зурагтай 10 тууз) ба нэгийг (1, 2, ..., 9 дүрс бүхий тууз) дүрсэлж болно. Заримдаа судлуудын оронд тоон дүрс (цэг) дүрсэлсэн тэгш өнцөгт картуудыг нэгжийг дүрслэхийн тулд, аравыг дүрсэлсэн гурвалжин картуудыг ашигладаг.

Арав, нэгийг тоолох замаар олж авсан тоонуудыг авч үзнэ. Эхлээд та амьдралынхаа нөхцөл байдалд хандаж болно. Та гурвалжин болон бие даасан цэг хэлбэрээр арав, нэг загваруудыг танилцуулж болно. Дараа нь тэд ижил "дүрэм" -ийн дагуу цэгүүдээр (тойрог) дүүргэсэн гурвалжинг харуулсан бөгөөд энэ нь аравыг илэрхийлнэ. Асаалттай энэ хичээлЭнэхүү гарын авлагыг үзүүлэн болгон ашиглаж болно: хүүхдүүд гурвалжин болон тусдаа цэгээр заасан тоог нэрлэх эсвэл энэ гарын авлагыг ашиглан өөрсдөө дугаараа зааж өгдөг. Ирээдүйд бөөн саваагаар практик ажиллахад хэцүү байх үед гурвалжин, бие даасан цэгийн зураг нь хүүхдүүдэд тоон аравтын бүрэлдэхүүнийг сайн ойлгоход тусална, харин гурвалжнууд нь цэгүүдээр дүүрэхээ больсон тул гурвалжин зурсан гэдэгтэй санал нэг байна. нэг нүдэнд аравыг заадаг ба баруун талд байгаа цэгүүд нь цөөхөн хэд нь байдаг. Энэ аргын тусламжтайгаар хүүхдүүд дэвтэр дээрээ зураг зурахад хялбар байдаг.

Дугаарлалтын судалгаанд зориулагдсан хичээл бүрт асуудал дээр ажилладаг. Энгийн асуудлыг эхлээд шийддэг. Эдгээр нь нийлбэр ба үлдэгдлийг олох, тоог хэд хэдэн нэгжээр нэмэгдүүлэх, багасгах, ялгавартай харьцуулах бодлого юм.

1-3-р ангийн хичээлүүдэд картон, фанер, даавуугаар хийсэн янз бүрийн загвар бүхий зураг зурах нь чухал байр суурийг эзэлдэг. Зураг 4-т загвар бичгийн хэвлэх зураг, 5-р зурагт бие даасан загварыг харуулав.