Түүврийн орон зай дахь бүх үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү байна.Жишээлбэл, хэрэв туршилт нь А үйл явдал = толгой, В үйл явдал = сүүлтэй зоос шидэж байгаа бол A ба B нь бүх түүврийн орон зайг илэрхийлнэ. гэсэн үг, P(A) + P(B) = 0.5 + 0.5 = 1.
Жишээ.Дээлийн халааснаас улаан үзэг гаргах магадлалыг (энэ нь А үйл явдал) тооцоолохын өмнө санал болгож буй жишээнд хоёр цэнхэр, нэг улаан үзэг агуулсан P(A) = 1/3 ≈ 0.33, эсрэг талын магадлал. үйл явдал - цэнхэр үзэг зурах - болно
Үндсэн теорем руу шилжихийн өмнө бид үйл явдлын нийлбэр ба үржвэр гэсэн хоёр илүү төвөгтэй ойлголтыг танилцуулж байна. Эдгээр ойлголтууд нь арифметикийн нийлбэр ба үржвэрийн ердийн ойлголтуудаас ялгаатай. Магадлалын онол дахь нэмэх ба үржүүлэх - бэлгэдлийн үйлдлүүд, тодорхой дүрэм журмыг дагаж мөрдөж, шинжлэх ухааны дүгнэлтийг логикоор бий болгоход тусална.
Дүнхэд хэдэн үйл явдал бол тэдгээрийн дор хаяж нэг нь тохиолдсон үйл явдал юм. Өөрөөр хэлбэл, А ба В хоёр үйл явдлын нийлбэрийг С үйл явдал гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь А үйл явдал, эсвэл В үйл явдал, эсвэл А, В үйл явдлууд хамтдаа тохиолдохоос бүрддэг.
Жишээлбэл, хэрэв зорчигч трамвайны зогсоол дээр хоёр чиглэлийн аль нэгийг хүлээж байгаа бол эхний чиглэлд трамвай гарч ирэх (А үйл явдал), эсвэл хоёр дахь чиглэлд трамвай (B үйл явдал) гарч ирэх явдал юм. эсвэл эхний болон хоёрдугаар чиглэлд трамвайнуудын хамтарсан дүр төрх (WITH үйл явдал). Магадлалын онолын хэлээр энэ нь зорчигчдод шаардлагатай D үйл явдал нь А, В, эсвэл С үйл явдлуудаас бүрдэх бөгөөд үүнийг дараах хэлбэрээр бичнэ гэсэн үг юм.
D=A+B+C
Хоёр үйл явдлын үр дүнАТэгээд INүйл явдлуудын хамтарсан үйл явдлаас бүрдэх үйл явдал юм АТэгээд IN. Хэд хэдэн арга хэмжээний бүтээгдэхүүнэдгээр бүх үйл явдлын хамтарсан тохиолдлыг гэж нэрлэдэг.
Дээрх жишээнд зорчигчтой, үйл явдал ХАМТ(хоёр маршрутын трамвайн хамтарсан дүр төрх) нь хоёр үйл явдлын үр дүн юм АТэгээд IN, энэ нь дараах байдлаар тэмдэглэгдсэн байна.
Тодорхой өвчнийг тодорхойлохын тулд хоёр эмч өвчтөнийг тусад нь шинжилдэг гэж бодъё. Хяналт шалгалтын явцад дараахь үйл явдал тохиолдож болно.
Анхны эмч өвчний нээлт ( А);
Эхний эмч өвчнийг илрүүлээгүй ();
Хоёр дахь эмч өвчнийг илрүүлэх ( IN);
Хоёр дахь эмч өвчнийг илрүүлэхгүй байх ().
Шалгалтын үеэр яг нэг удаа өвчин илрэх үйл явдлыг авч үзье. Энэ үйл явдлыг хоёр аргаар хийж болно:
Өвчнийг анхны эмч илрүүлнэ ( А) мөн хоёр дахь ();
Өвчин эмгэгийг эхний эмч илрүүлэхгүй () хоёр дахь эмч () илрүүлнэ. Б).
Хэлэлцэж буй үйл явдлыг дараах байдлаар тэмдэглэж, бэлгэдлээр бичье.
Шалгалтанд хоёр удаа (эхний болон хоёр дахь эмчийн аль алинд нь) өвчнийг илрүүлэх үйл явдлыг авч үзье. Энэ үйл явдлыг тэмдэглээд: .
Эхний болон хоёр дахь эмч өвчнийг илрүүлээгүй үйл явдлыг бид тэмдэглэж бичнэ: .
Хамтарсан болон хамтарсан бус арга хэмжээ.
Хоёр үйл явдлыг нэрлэдэг хамтарсанөгөгдсөн туршилтанд, хэрэв тэдгээрийн аль нэгнийх нь харагдах байдал нь нөгөөгийнх нь харагдах байдлыг үгүйсгэхгүй. Жишээ : Хоёр өөр сумаар эвдэшгүй байг онож, хоёр шоо дээр ижил тооны оноо авах.
Хоёр үйл явдлыг нэрлэдэг нийцэхгүйнэг туршилтанд хамтдаа тохиолдох боломжгүй бол тухайн туршилтанд (үл нийцэхгүй). Хэд хэдэн үйл явдлыг хосоороо таарахгүй бол нийцэхгүй гэж нэрлэдэг. Тохиромжгүй үйл явдлын жишээ: a) нэг цохилтоор цохих, алдах; б) эд анги бүхий хайрцагнаас хэсгийг санамсаргүй байдлаар авах - "стандарт хэсгийг гаргаж авах", "стандарт бус хэсгийг гаргах" үйл явдлууд в) компанийн сүйрэл, ашиг.
Өөрөөр хэлбэл, үйл явдал АТэгээд INхаргалзах иж бүрдэл байвал таарна АТэгээд INнийтлэг элементүүдтэй бөгөөд харгалзах олонлогууд нь хоорондоо зөрчилддөг АТэгээд INнийтлэг элементүүд байхгүй.
Үйл явдлын магадлалыг тодорхойлохдоо энэ ойлголтыг ихэвчлэн ашигладаг адил боломжтой үйл явдал. Тухайн туршилтын хэд хэдэн үйл явдлыг тэгш хэмийн нөхцлийн дагуу тэдгээрийн аль нь ч бусдаас илүү бодитой боломжгүй гэж үзэх үндэслэл байгаа бол (толгой, сүүлний алдагдал, ямар ч төрлийн карт гарч ирэх) ижил боломжтой гэж нэрлэдэг. костюм, савнаас бөмбөг сонгох гэх мэт)
Туршилт бүр нь ерөнхийдөө нэгэн зэрэг тохиолдож болох хэд хэдэн үйл явдалтай холбоотой байдаг. Жишээлбэл, шоо шидэх үед үйл явдал нь хоёрын өнхрөх, үйл явдал нь тэгш тооны өнхрөх явдал юм. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр үйл явдлууд бие биенээ үгүйсгэхгүй.
Бүх боломжит туршилтын үр дүнг бие биенээсээ үл хамаарах хэд хэдэн өвөрмөц тохиолдлуудад хэрэгжүүлэхийг зөвшөөрнө үү. Дараа нь
ü туршилтын үр дүн бүрийг зөвхөн нэг энгийн үйл явдлаар төлөөлдөг;
ü энэ туршилттай холбоотой үйл явдал бүр нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй тооны энгийн үйл явдлын багц юм;
ü Энэ олонлогт багтсан анхан шатны үйл явдлуудын аль нэг нь биелсэн тохиолдолд л үйл явдал үүснэ.
Энгийн үйл явдлын дурын боловч тогтмол орон зайг хавтгай дээрх тодорхой хэсэг болгон төлөөлж болно. Энэ тохиолдолд энгийн үйл явдлууд нь дотор байрлах онгоцны цэгүүд юм. Үйл явдал нь олонлогоор тодорхойлогддог тул олонлог дээр хийж болох бүх үйлдлийг үйл явдал дээр хийж болно. Олонлогын онолтой зүйрлэснээр бид бүтээдэг үйл явдлын алгебр. Энэ тохиолдолд дараах үйлдлүүд болон үйл явдлуудын хоорондын хамаарлыг тодорхойлж болно.
АÌ Б(тогтоох хамаарал: багц Аолонлогийн дэд олонлог юм IN) – А үйл явдал нь Б үйл явдлыг агуулна. Өөрөөр хэлбэл, үйл явдал INүйл явдал тохиолдох бүрт тохиолддог А. Жишээ - хоёр өнхрүүлснээр тэгш тооны оноо эргэлдэнэ.
(тэнцүү байдлын хамаарлыг тогтоох) – үйл явдал адилханэсвэл тэнцүүүйл явдал. Энэ нь зөвхөн, хэрэв нэгэн зэрэг, өөрөөр хэлбэл, боломжтой. тус бүр нь нөгөө нь тохиолдох бүрт тохиолддог. Жишээ – А үйл явдал – төхөөрөмжийн эвдрэл, В тохиолдол – төхөөрөмжийн дор хаяж нэг блок (хэсэг) эвдэрсэн.
() – үйл явдлын нийлбэр. Энэ нь хоёр үйл явдлын дор хаяж нэг нь буюу (логик "эсвэл") тохиолдсоноос бүрдсэн үйл явдал юм. Ерөнхийдөө хэд хэдэн үйл явдлын нийлбэрийг эдгээр үйл явдлын ядаж нэг нь тохиолдсоноос бүрдсэн үйл явдал гэж ойлгодог. Жишээ - бай эхний зэвсгээр, хоёр дахь эсвэл хоёуланг нь нэгэн зэрэг оносон.
() – үйл явдлын бүтээгдэхүүн. Энэ бол үйл явдал болон (логик "ба") хамтарсан үйл явдлаас бүрдэх үйл явдал юм. Ерөнхийдөө хэд хэдэн үйл явдлыг бүтээх нь эдгээр бүх үйл явдлууд нэгэн зэрэг явагдахаас бүрдсэн үйл явдал гэж ойлгогддог. Тиймээс, хэрэв үйл явдал нь боломжгүй зүйл бол үйл явдал нь үл нийцэх болно, өөрөөр хэлбэл. . Жишээ – А үйл явдал бол тавцангаас очир эрдэнийн хөзрийг зайлуулах, В үйл явдал бол хөзрийн тамга, дараа нь очир эрдэнийн хөзрийн тамга гарч ирээгүй.
Үйл явдал дээрх үйлдлүүдийн геометрийн тайлбар нь ихэвчлэн хэрэгтэй байдаг. Үйлдлүүдийн график дүрслэлийг Венн диаграм гэж нэрлэдэг.
Тодорхойлолт 1. Тэд зарим туршлагаар үйл явдал болсон гэж хэлдэг А агуулдагдараа нь үйл явдал тохиолдсон IN, хэрэв үйл явдал тохиолдсон үед Аүйл явдал ирж байна IN. Энэ тодорхойлолтын тэмдэглэгээ А Ì IN. Энгийн үйл явдлын хувьд энэ нь анхан шатны үйл явдал бүрийг багтаасан гэсэн үг юм А, мөн багтсан болно IN.
Тодорхойлолт 2. Үйл явдал АТэгээд INтэнцүү буюу эквивалент гэж нэрлэдэг (тэмдэглэсэн А= IN), Хэрэв А Ì INТэгээд INÌ A, i.e. АТэгээд INижил энгийн үйл явдлуудаас бүрдэнэ.
Найдвартай үйл явдалтэврэх Ω олонлогоор, боломжгүй үйл явдлыг Æ хоосон дэд олонлогоор илэрхийлнэ. Үйл явдлын үл нийцэх байдал АТэгээд INхаргалзах дэд олонлогууд гэсэн үг АТэгээд INогтолж болохгүй: А∩IN = Æ.
Тодорхойлолт 3. Хоёр үйл явдлын нийлбэр АТэгээд IN(тэмдэглэсэн ХАМТ= А + IN) үйл явдал гэж нэрлэдэг ХАМТ, бүрдэнэ ядаж ирдэгүйл явдлуудын нэг Аэсвэл IN(хэмжээний "эсвэл" холбоос нь түлхүүр үг), i.e. ирдэг эсвэл А, эсвэл IN, эсвэл АТэгээд INхамтдаа.
Жишээ. Хоёр буудагч нэгэн зэрэг бай руу буудаж байг, үйл явдал А 1-р мэргэн буудагч нь бай, үйл явдал онох явдал юм Б- 2-р буудагч байг оносон. Үйл явдал А+ БЭнэ нь бай оносон, өөрөөр хэлбэл, бууддаг хүмүүсийн нэг нь (1-р буудагч эсвэл 2-р буудагч, эсвэл хоёуланг нь) байг оносон гэсэн үг.
Үүнтэй адилаар хязгаарлагдмал тооны үйл явдлын нийлбэр А 1 , А 2 , …, А n (тэмдэглэсэн А= А 1 + А 2 + … + А n) үйл явдлыг дуудна А, бүрдэнэ дор хаяж нэг тохиолдохүйл явдлуудаас Аби ( би = 1, … , n), эсвэл дурын цуглуулга Аби ( би = 1, 2, … , n).
Жишээ. Үйл явдлын нийлбэр A, B, Cдараах үйл явдлуудын аль нэг нь тохиолдсоноос бүрдсэн үйл явдал юм. А, B, C, АТэгээд IN, АТэгээд ХАМТ, INТэгээд ХАМТ, АТэгээд INТэгээд ХАМТ, Аэсвэл IN, Аэсвэл ХАМТ, INэсвэл ХАМТ,Аэсвэл INэсвэл ХАМТ.
Тодорхойлолт 4. Хоёр үйл явдлын үр дүн АТэгээд INүйл явдал гэж нэрлэдэг ХАМТ(тэмдэглэсэн ХАМТ = A ∙ B), туршилтын үр дүнд үйл явдал бас тохиолдсоноос бүрддэг А,болон үйл явдал INнэгэн зэрэг. (Үйл явдал үүсгэх "ба" холбоос нь түлхүүр үг юм).
Хязгаарлагдмал тооны үйл явдлын үржвэртэй төстэй А 1 , А 2 , …, А n (тэмдэглэсэн А = А 1 ∙А 2 ∙…∙ А n) үйл явдлыг дуудна А, туршилтын үр дүнд заасан бүх үйл явдал тохиолдсоноос бүрддэг.
Жишээ. Хэрэв үйл явдлууд А, IN, ХАМТЭхний, хоёр, гурав дахь шүүх хуралдаанд тус тус "сүлд" гарч ирсэн, дараа нь үйл явдал А× IN× ХАМТГурван шүүх хуралд “сүлд” дусал бий.
Тайлбар 1. Тохиромжгүй үйл явдлын хувьд АТэгээд INтэгш байдал үнэн A ∙ B= Æ, энд Æ нь боломжгүй үйл явдал юм.
Тайлбар 2. Үйл явдал А 1 , А 2, … , А n хэрэв .
Тодорхойлолт 5. Эсрэг үйл явдлуудБүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг хосгүй боломжтой үл нийцэх хоёр үйл явдал гэж нэрлэдэг. Үйл явдлын эсрэг үйл явдал А,гэж тэмдэглэсэн. Үйл явдлын эсрэг үйл явдал А, арга хэмжээний нэмэлт юм Атогтоосон Ом хүртэл.
Эсрэг үйл явдлын хувьд хоёр нөхцөл нэгэн зэрэг хангагдана A∙= Æ ба A+= Ω.
Тодорхойлолт 6. Ялгаагаарүйл явдал АТэгээд IN(тэмдэглэсэн А– IN) үйл явдал болохоос бүрдсэн үйл явдал гэж нэрлэдэг Аирэх ба үйл явдал IN -үгүй бөгөөд энэ нь тэнцүү байна А– IN= А× .
Үйл явдал гэдгийг анхаарна уу A + B, A ∙ B, , А - БЭйлер-Венн диаграммыг ашиглан графикаар тайлбарлахад тохиромжтой (Зураг 1.1).
|
Цагаан будаа. 1.1. Үйл явдал дээрх үйлдлүүд: үгүйсгэх, нийлбэр, бүтээгдэхүүн, ялгаа |
Жишээг ингэж томъёолъё: туршлагаа үзье ГΩ талбайд санамсаргүй байдлаар буудахаас бүрдэх ба тэдгээрийн цэгүүд нь ω элементар үйл явдал юм. Ω бүсэд орох нь найдвартай үйл явдал Ω, бүс рүү орохыг зөвшөөрөх АТэгээд IN- тус тусын үйл явдал АТэгээд IN. Дараа нь үйл явдлууд A+B(эсвэл АÈ IN- гэрэл Зураг дээрх талбай), A ∙ B(эсвэл АÇ IN -төвд байрлах газар), А - Б(эсвэл А\IN -хөнгөн дэд бүсүүд) Зураг дээрх дөрвөн зурагтай тохирно. 1.1. Өмнөх жишээний нөхцөлд хоёр буудагч бай руу буудаж байгаа бол үйл явдлын бүтээгдэхүүн АТэгээд INарга хэмжээ болно C = AÇ IN, байг хоёр сумаар онохоос бүрдэнэ.
Тайлбар 3. Хэрэв үйл явдал дээрх үйлдлүүдийг олонлог дээр үйлдлээр, үйл явдлыг зарим Ом олонлогийн дэд олонлогоор дүрсэлсэн бол үйл явдлын нийлбэр болно. A+Bхолбоонд таарч байна АÈ INэдгээр дэд олонлогууд болон үйл явдлын бүтээгдэхүүн A ∙ B- уулзвар А∩INэдгээр дэд олонлогууд.
Тиймээс үйл явдал дээрх үйлдлүүд нь олонлог дээрх үйлдлүүдтэй холбоотой байж болно. Энэ захидал харилцааг хүснэгтэд үзүүлэв. 1.1
Хүснэгт 1.1
|
Тэмдэглэл |
Магадлалын хэл |
Онолын хэл |
|
Сансрын элемент. үйл явдал |
Бүх нийтийн багц |
|
|
Анхан шатны үйл явдал |
Бүх нийтийн багцын элемент |
|
|
Санамсаргүй үйл явдал |
Ω-ээс ω элементүүдийн дэд олонлог |
|
|
Найдвартай үйл явдал |
Бүх ω-ийн олонлог |
|
|
Боломжгүй үйл явдал |
Хоосон багц |
|
|
АМ В |
Аагуулдаг IN |
А- дэд хэсэг IN |
|
A+B(АÈ IN) |
Үйл явдлын нийлбэр АТэгээд IN |
Багцуудын нэгдэл АТэгээд IN |
|
А× В(АÇ IN) |
Үйл явдал үйлдвэрлэх АТэгээд IN |
Олонлогуудын огтлолцол АТэгээд IN |
|
А - Б(А\IN) |
Үйл явдлын ялгаа |
Ялгааг тогтоох |
Үйл явдал дээрх үйлдлүүд нь дараахь шинж чанартай байдаг.
A + B = B + A, A ∙ B = B ∙ A(шилждэг);
(A + B) ∙ C = A× C + B× C, A ∙ B + C =(A+C) × ( B + C) (тараах);
(A + B) + ХАМТ = А + (B + C), (A ∙ B) ∙ ХАМТ= А ∙ (B ∙ C) (холбоо);
A + A = A, A ∙ A = A;
А + Ω = Ω, А∙ Ω = А;
Нэмэх дүрэм- хэрвээ А элементийг n аргаар, В элементийг m янзаар сонгох боломжтой бол А эсвэл В элементийг n + m аргаар сонгож болно.
^ Үржүүлэх дүрэм - хэрвээ А элементийг n янзаар сонгож болох ба А-ийн аль ч сонголтын хувьд В элементийг m янзаар сонгох боломжтой бол (A, B) хосыг n·m аргаар сонгож болно.
Дахин зохион байгуулалт.Элементүүдийн багцыг солих нь элементүүдийг тодорхой дарааллаар байрлуулах явдал юм. Тиймээс гурван элементийн олонлогийн бүх өөр өөр сэлгэлтүүд байна
Элементүүдийн бүх сэлгэлтийн тоог -оор тэмдэглэнэ. Тиймээс бүх өөр өөр орлуулалтын тоог томъёогоор тооцоолно
Байр.Элементүүдийн багцын байршлын тоо нь тэнцүү байна
^ Дахин давталттай байрлуулах. Хэрэв n төрлийн элементийн багц байгаа бөгөөд m газар бүрт ямар нэгэн төрлийн элемент байрлуулах шаардлагатай бол (элементийн төрлүүд өөр өөр газар давхцаж болно), үүний сонголтын тоо n m болно. .
^ Хослол. Тодорхойлолт. -ийн хослолууд дагуу янз бүрийн элементүүдэлементүүдийг өгөгдлөөс бүрдсэн хослолууд гэж нэрлэдэгэлементүүд элементүүд ба дор хаяж нэг элементээр ялгаатай (өөрөөр хэлбэл,-өгөгдсөн олонлогийн элементийн дэд олонлогуудэлементүүд). butback="" onclick="goback(684168)">^
" ALIGN=ДООО ӨРГӨН=230 ӨНДӨР=26 ХИЛ=0>
Энэ багцын элементүүдийг ашиглан бидний сонирхож буй үр дүн бүрийг хоёрдмол утгагүйгээр тайлбарлах боломжтой туршилтын бие биенээ үгүйсгэдэг аливаа багц. Энэ нь хязгаарлагдмал ба хязгааргүй байж болно (тоолж болох ба тоолох боломжгүй)Санамсаргүй үйл явдал -
^ анхан шатны үйл явдлын орон зайн аль нэг дэд олонлог. Найдвартай үйл явдал -
туршилтын үр дүнд гарцаагүй болно.Боломжгүй үйл явдал -
туршилтын үр дүнд үүсэхгүй. Үйл явдал дээрх үйлдлүүд: нийлбэр, үр дүн, үйл явдлын ялгаа. Эсрэг үйл явдал. Хамтарсан болон хамтарсан бус арга хэмжээ.Бүтэн бүлэг
^ хэрэв тэдгээр нь туршилтын үр дүнд нэгэн зэрэг тохиолдож болох юм бол. Тохиромжгүй үйл явдлууд - туршилтын үр дүнд нэгэн зэрэг тохиолдох боломжгүй бол. Тэд хэд хэдэн үл нийцэх үйл явдал үүсдэг гэж хэлдэгүйл явдлын бүрэн бүлэг
, хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь туршилтын үр дүнд гарч ирвэл. Хэрэв эхний үйл явдал нь хоёр дахь үйл явдалд багтсанаас бусад бүх энгийн үр дүнгээс бүрдэх бол ийм үйл явдлуудыг дуудна
эсрэг.А ба В хоёр үйл явдлын нийлбэр нь ^ А эсвэл В үйл явдлын дор хаяж нэгд хамаарах энгийн үйл явдлуудаас бүрдсэн үйл явдал. А ба В хоёр үйл явдлын үржвэр - А ба Б-д нэгэн зэрэг хамаарах энгийн үйл явдлуудаас бүрдсэн үйл явдал.А ба В ялгаа -
В үйл явдалд хамааралгүй А-ийн элементүүдээс бүрдсэн үйл явдал. Сонгодог, статистик багеометрийн тодорхойлолтууд
P(A)= ^ , g - G зургийн хэсэг. 1) 0≤Р(А)≤1, 2) Найдвартай үйл явдлын магадлал 1, 3) Боломжгүй үйл явдлын магадлал 0.
Үл нийцэх үйл явдал, түүнээс гарах үр дагаврын магадлалыг нэмэх теорем.
Нөхцөлт магадлал. Бие даасан үйл явдлууд. Хараат болон бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх.
^ Үржүүлэх магадлал: донтогчдод. Теорем. P(A∙B) = P(A)∙P A (B). Сэтгэгдэл. P(A∙B) = P(A)∙P A (B) = P(B)∙P B (A). Үр дагавар. P(A 1 ∙…∙A k) = P(A 1)∙P A1 (A 2)∙…∙P A1-Ak-1 (A k). Бие даагчдын хувьд. P(A∙B) = P(A)∙P(B).
^Тхамтарсан үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем. Теорем . Хоёр хамтарсан үйл явдлын дор хаяж нэг нь тохиолдох магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн хамтарсан тохиолдлын магадлалыг тооцдоггүй.
Нийт магадлалын томъёо. Бэйсийн томъёо.
H 1, H 2 ...H n - бүрэн бүлэг үүсгэх - таамаглал.
Зөвхөн H 1, H 2 ...H n гарч ирвэл А үйл явдал тохиолдож болно,
Дараа нь P(A)=P(N 1)*P n1 (A)+P(N 2)*P n2 (A)+...P(N n)*P n n (A)
^ Бэйсийн томъёо
Н 1, Н 2 ...Н n таамаглал байг, аль нэг таамаглалын дор А үйл явдал тохиолдож болно.
P(A)= P(N 1)* P n1 (A)+P(N 2)*P n2 (A)+...P(N n)*P n n (A)
А үйл явдал болсон гэж үзье.
А тохиолдсоны улмаас H 1 магадлал хэрхэн өөрчлөгдсөн бэ? Тэдгээр. R A (H 1)
P(A* N 1)=P(A)* P A (N 1)= P(N 1)* P n1 (A) => P A (N 1)= (P(N 1)* P n1 ( A) )/ P(A)
H 2, H 3 ...H n ижил төстэй байдлаар тодорхойлогддог
Ерөнхий үзэл бодол:
P A (N i)= (P (N i)* P n i (A))/ P (A) , энд i=1,2,3…n.
Томъёо нь А үйл явдал үүсэхэд хүргэсэн туршилтын үр дүн тодорхой болсон тул таамаглалын магадлалыг дахин тооцоолох боломжийг олгодог.
Туршилтын "өмнө" - априори магадлал - P(N 1), P(N 2)...P(N n)
Туршилтын "дараа" - арын магадлал - P A (N 1), P A (N 2) ... P A (N n)
Арын магадлал, мөн өмнөх магадлалууд нийлбэр 1 хүртэл байна.
9. Бернулли ба Пуассоны томъёо.
Бернуллигийн томъёо
Үйл явдал бүрт А гарч ирэх эсвэл гарахгүй байж болох n туршилт явуулъя. Хэрэв эдгээр туршилт бүрт А үйл явдлын магадлал тогтмол байвал эдгээр туршилтууд нь А-аас хамааралгүй байна.
А нь p магадлалтайгаар тохиолдож болох n бие даасан туршилтыг авч үзье. Энэхүү туршилтын дарааллыг Бернулли хэлхээ гэж нэрлэдэг.
Теорем: n туршилтанд А үйл явдал яг m удаа тохиолдох магадлал нь дараахтай тэнцүү байна: P n (m)=C n m *p m *q n - m
m 0 тоо - харгалзах магадлал P n (m 0) нь бусад P n (m) -ээс багагүй байвал А үйл явдал тохиолдохыг хамгийн их магадлалтай гэж нэрлэдэг.
P n (m 0)≥ P n (m), m 0 ≠ м
m 0-ийг олохын тулд:
np-q≤ m 0 ≤np+q
^ Пуассоны томъёо
Бернуллигийн тестийг авч үзье.
n нь тестийн тоо, p нь амжилтанд хүрэх магадлал юм
p жижиг (p→0) ба n том (n→∞) байг.
n туршилтын амжилтын тохиолдлын дундаж тоо
Бид Бернуллигийн томъёонд λ=n*p → p= λ-ийг нэмнэ.
P n (m)=C n m *p m *(1-q) n-m ; C n m = n!/((m!*(n-m)!) →
→ P n (m)≈ (λ м /м!)*e - λ (Пуассон)
Хэрэв p≤0.1 ба λ=n*p≤10 бол томъёо нь сайн үр дүнг өгнө.
10. Мойвр-Лапласын локал ба интеграл теоремууд.
Туршилтын тоо n, амжилтанд хүрэх магадлал p, том, хязгааргүй хандлагатай байг. (n->∞)
^ Орон нутгийн теорем
Р n (m)≈(f(x)/(npg)^ 1/2, энд f(x)= (e - x ^2/2)/(2Pi)^ 1/2
Хэрэв npq≥ 20 – сайн үр дүн өгвөл x=(m-np)/(npg)^ 1/2
^ Интеграл теорем
P n (a≤m≤b)≈ȹ(x 2)-ȹ(x 1),
Энд ȹ(x)=1/(2Pi)^ 1/2 * 0 ʃ x e (Pi ^2)/2 dt – Лаплас функц
x 1 =(a-np)/(npq)^ 1/2, x 2 =(b-np)/(npq)^ 1/2
Лаплас функцийн шинж чанарууд
ȹ(x) – сондгой функц: ȹ(-x)=- ȹ(x)
ȹ(x) – нэг хэвийн нэмэгдэнэ
утгууд ȹ(x) (-0.5;0.5), ба lim x →∞ ȹ(x)=0.5; lim x →-∞ ȹ(x)=-0.5
P n (│m-np│≤Ɛ) ≈ 2 ȹ (Ɛ/(npq) 1/2)
P n (ɑ≤m/n≤ƥ) ≈ ȹ(z 2)- ȹ(z 1), энд z 1=(ɑ-p)/(pq/n)^ 1/2 z 2=(ƥ -p) )/(pq/n)^ 1/2
P n (│(m/n) - p│≈ ∆) ≈ 2 ȹ(∆n 1/2 /(pq)^ 1/2)
11. Санамсаргүй хувьсагч. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний төрлүүд. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох аргууд.
SV нь энгийн үйл явдлын багц дээр тодорхойлогдсон функц юм.
X,Y,Z – NE, түүний утга нь x,y,z
СанамсаргүйТуршилтын үр дүнд урьдчилж мэдэгдээгүй, санамсаргүй шалтгаанаас хамааран зөвхөн нэг боломжит утгыг авах хэмжигдэхүүнийг урьдчилан тооцох боломжгүй хэмжигдэхүүн гэж нэрлэдэг.
NE салангид, хэрэв түүний утгуудын багц нь хязгаарлагдмал эсвэл тоолох боломжтой бол (тэдгээрийг дугаарлаж болно). Энэ нь тодорхой магадлал бүхий хувь хүний, тусгаарлагдсан боломжит утгыг авдаг. Дискрет SV-ийн боломжит утгуудын тоо хязгаартай эсвэл хязгааргүй байж болно.
NE тасралтгүй, хэрэв энэ нь тодорхой интервалаас (бүх тэнхлэгт) бүх боломжит утгыг авдаг бол. Үүний утга нь маш бага ялгаатай байж болно.
^ Дискрет SV-ийн тархалтын хууль М.Б. өгсөн:
1.хүснэгт
| X | x 1 | x 2 | … | x n |
| P(X) | х 1 | х 2 | … | p n |
(түгээлтийн цуврал)
X=x 1) нийцэхгүй байна
р 1 + р 2 +… p n =1= ∑p i
2.график
Магадлалын тархалтын полигон
3. аналитик
P=P(X)
12. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц. Түгээлтийн функцийн үндсэн шинж чанарууд.
SV X-ийн тархалтын функц нь F(X) функц бөгөөд SV X нь x-ээс бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл.
x x = хуримтлагдсан тархалтын функц
Тасралтгүй SV нь тасралтгүй, хэсэгчлэн ялгах функцтэй.