Числовые и алгебраические выражения. Преобразование выражений.

Что такое выражение в математике? Зачем нужны преобразования выражений?

Вопрос, как говорится, интересный... Дело в том, что эти понятия - основа всей математики. Вся математика состоит из выражений и их преобразований. Не очень понятно? Поясню.

Допустим, перед вами злой пример. Очень большой и очень сложный. Допустим, вы сильны в математике и ничего не боитесь! Сможете сразу дать ответ?

Вам придётся решать этот пример. Последовательно, шаг за шагом, этот пример упрощать . По определённым правилам, естественно. Т.е. делать преобразование выражений . Насколько успешно вы проведёте эти преобразования, настолько вы и сильны в математике. Если вы не умеете делать правильные преобразования, в математике вы не сможете сделать ни-че-го ...

Во избежание такого неуютного будущего (или настоящего...), не мешает разобраться в этой теме.)

Для начала выясним, что такое выражение в математике . Что такое числовое выражение и что такое алгебраическое выражение.

Что такое выражение в математике?

Выражение в математике - это очень широкое понятие. Практически всё то, с чем мы имеем дело в математике - это набор математических выражений. Любые примеры, формулы, дроби, уравнения и так далее - это всё состоит из математических выражений .

3+2 - это математическое выражение. с 2 - d 2 - это тоже математическое выражение. И здоровущая дробь, и даже одно число - это всё математические выражения. Уравнение, например, вот такое:

5х + 2 = 12

состоит из двух математических выражений, соединённых знаком равенства. Одно выражение - слева, другое - справа.

В общем виде термин "математическое выражение " применяется, чаще всего, чтобы не мычать. Спросят вас, что такое обыкновенная дробь, например? И как ответить?!

Первый вариант ответа: "Это... м-м-м-м... такая штука... в которой... А можно я лучше напишу дробь? Вам какую?"

Второй вариант ответа: "Обыкновенная дробь - это (бодро и радостно!) математическое выражение , которое состоит из числителя и знаменателя!"

Второй вариант как-то посолидней будет, правда?)

Вот в этих целях фраза "математическое выражение " очень хороша. И правильно, и солидно. Но для практического применения надо хорошо разбираться в конкретных видах выражений в математике .

Конкретный вид- это другое дело. Это совсем другое дело! У каждого вида математических выражений есть свой набор правил и приёмов, который необходимо использовать при решении. Для работы с дробями - один набор. Для работы с тригонометрическими выражениями - второй. Для работы с логарифмами - третий. И так далее. Где-то эти правила совпадают, где-то - резко отличаются. Но не пугайтесь этих страшных слов. Логарифмы, тригонометрию и прочие загадочные вещи мы будем осваивать в соответствующих разделах.

Здесь мы освоим (или - повторим, кому как...) два основных вида математических выражений. Числовые выражения и алгебраические выражения.

Числовые выражения.

Что такое числовое выражение ? Это очень простое понятие. Само название намекает, что это выражение с числами. Да, так оно и есть. Математическое выражение, составленное из чисел, скобок и знаков арифметических действий называется числовым выражением.

7-3 - числовое выражение.

(8+3,2)·5,4 - тоже числовое выражение.

И вот этот монстр:

тоже числовое выражение, да...

Обычное число, дробь, любой пример на вычисление без иксов и прочих букв - всё это числовые выражения.

Главный признак числового выражения - в нём нет букв . Никаких. Только числа и математические значки (если надо). Всё просто, правда?

И что можно делать с числовыми выражениями? Числовые выражения, как правило, можно считать. Для этого приходится, бывает, раскрывать скобки, менять знаки, сокращать, менять местами слагаемые - т.е. делать преобразования выражений . Но об этом чуть ниже.

Здесь же мы разберёмся с таким забавным случаем, когда с числовым выражением ничего делать не надо. Ну вот совсем ничего! Эта приятная операция - ничего не делать) - выполняется, когда выражение не имеет смысла .

Когда числовое выражение не имеет смысла?

Понятное дело, если мы видим перед собой какую-то абракадабру, типа

то делать ничего и не будем. Так как непонятно, что с этим делать. Бессмыслица какая-то. Разве что, посчитать количество плюсиков...

Но бывают внешне вполне благопристойные выражения. Например такое:

(2+3) : (16 - 2·8)

Однако, это выражение тоже не имеет смысла ! По той простой причине, что во вторых скобочках - если посчитать - получается ноль. А на ноль делить нельзя! Это запретная операция в математике. Стало быть, с этим выражением тоже ничего делать не надо. При любом задании с таким выражением, ответ будет всегда один: "Выражение не имеет смысла!"

Чтобы дать такой ответ, пришлось, конечно, посчитать, что в скобочках будет. А иногда в скобочках такого понаворочено... Ну тут уж ничего не поделаешь.

Запретных операций в математике не так уж много. В этой теме - всего одна. Деление на ноль. Дополнительные запреты, возникающие в корнях и логарифмах обсуждаются в соответствующих темах.

Итак, представление о том, что такое числовое выражение - получили. Понятие числовое выражение не имеет смысла - осознали. Едем дальше.

Алгебраические выражения.

Если в числовом выражении появляются буквы - это выражение становится... Выражение становится... Да! Оно становится алгебраическим выражением . Например:

5а 2 ; 3x-2y; 3(z-2); 3,4m/n; x 2 +4x-4; (а+b) 2 ; ...

Ещё такие выражения называют буквенными выражениями. Или выражениями с переменными. Это, практически, одно и то же. Выражение 5а +с , к примеру - и буквенное, и алгебраическое, и выражение с переменными.

Понятие алгебраическое выражение - более широкое, чем числовое. Оно включает в себя и все числовые выражения. Т.е. числовое выражение - это тоже алгебраическое выражение, только без букв. Всякая селёдка - рыба, но не всякая рыба - селёдка...)

Почему буквенное - понятно. Ну, раз буквы есть... Фраза выражение с переменными тоже не сильно озадачивает. Если понимать, что под буквами скрываются числа. Всякие числа могут скрываться под буквами... И 5, и -18, и всё, что угодно. Т.е букву можно заменять на разные числа. Поэтому буквы и называются переменными .

В выражении у+5 , например, у - переменная величина. Или говорят просто "переменная" , без слова "величина". В отличие от пятёрки, которая - величина постоянная. Или просто - постоянная .

Термин алгебраическое выражение означает, что для работы с данным выражением нужно использовать законы и правила алгебры . Если арифметика работает с конкретными числами, то алгебра - со всеми числами разом. Простой пример для пояснения.

В арифметике можно записать, что

А вот если мы подобное равенство запишем через алгебраические выражения:

а + b = b + a

мы сразу решим все вопросы. Для всех чисел махом. Для всего бесконечного количества. Потому, что под буквами а и b подразумеваются все числа. И не только числа, но даже и другие математические выражения. Вот так работает алгебра.

Когда алгебраическое выражение не имеет смысла?

Про числовое выражение всё понятно. Там на ноль делить нельзя. А с буквами, разве можно узнать, на что делим?!

Возьмём для примера вот такое выражение с переменными:

2: (а - 5)

Имеет оно смысл? Да кто ж его знает? а - любое число...

Любое-то любое... Но есть одно значение а , при котором это выражение точно не имеет смысла! И что это за число? Да! Это 5! Если переменную а заменить (говорят - "подставить") на число 5, в скобочках ноль получится. На который делить нельзя. Вот и получается, что наше выражение не имеет смысла , если а = 5 . Но при других-то значениях а смысл имеется? Другие числа подставлять-то можно?

Конечно. Просто в таких случаях говорят, что выражение

2: (а - 5)

имеет смысл для любых значений а , кроме а = 5 .

Весь набор чисел, которые можно подставлять в заданное выражение, называется областью допустимых значений этого выражения.

Как видите, ничего хитрого нет. Смотрим на выражение с переменными, да соображаем: при каком значении переменной получается запретная операция (деление на ноль)?

А потом обязательно смотрим на вопрос задания. Чего спрашивают-то?

не имеет смысла , наше запретное значение и будет ответом.

Если спрашивают, при каком значении переменной выражение имеет смысл (почувствуйте разницу!), ответом будут все остальные числа , кроме запретного.

Зачем нам смысл выражения? Есть он, нет его... Какая разница?! Дело в том, что это понятие становится очень важным в старших классах. Крайне важным! Это основа для таких солидных понятий, как область допустимых значений или область определения функции. Без этого вы вообще не сможете решать серьёзные уравнения или неравенства. Вот так.

Преобразование выражений. Тождественные преобразования.

Мы познакомились с числовыми и алгебраическими выражениями. Поняли, что означает фраза "выражение не имеет смысла". Теперь надо разобраться, что такое преобразование выражений. Ответ прост, до безобразия.) Это любое действие с выражением. И всё. Вы эти преобразования делали с первого класса.

Возьмём крутое числовое выражение 3+5. Как его можно преобразовать? Да очень просто! Посчитать:

Вот этот расчёт и будет преобразованием выражения. Можно записать то же самое выражение по-другому:

Тут мы вообще ничего не считали. Просто записали выражение в другом виде. Это тоже будет преобразованием выражения. Можно записать вот так:

И это тоже - преобразование выражения. Таких преобразований можно понаделать сколько хочешь.

Любое действие над выражением, любая запись его в другом виде называется преобразованием выражения. И все дела. Всё очень просто. Но есть здесь одно очень важное правило. Настолько важное, что его смело можно назвать главным правилом всей математики. Нарушение этого правила неизбежно приводит к ошибкам. Вникаем?)

Предположим, мы преобразовали наше выражение как попало, вот так:

Преобразование? Конечно. Мы же записали выражение в другом виде, что здесь не так?

Всё не так.) Дело в том, что преобразования "как попало" математику не интересуют вообще.) Вся математика построена на преобразованиях, в которых меняется внешний вид, но суть выражения не меняется. Три плюс пять можно записать в каком угодно виде, но это должно быть восемь.

Преобразования, не меняющие сути выражения называются тождественными.

Именно тождественные преобразования и позволяют нам, шаг за шагом, превращать сложный пример в простое выражение, сохраняя суть примера. Если в цепочке преобразований мы ошибёмся, сделаем НЕ тождественное преобразование, дальше мы будем решать уже другой пример. С другими ответами, которые не имеют отношения к правильным.)

Вот оно и главное правило решения любых заданий: соблюдение тождественности преобразований.

Пример с числовыми выражением 3+5 я привёл для наглядности. В алгебраических выражениях тождественные преобразования даются формулами и правилами. Скажем, в алгебре есть формула:

a(b+c) = ab + ac

Значит, мы в любом примере можем вместо выражения a(b+c) смело написать выражение ab + ac . И наоборот. Это тождественное преобразование. Математика предоставляет нам выбор из этих двух выражений. А уж какое из них писать - от конкретного примера зависит.

Ещё пример. Одно из из самых главных и нужных преобразований - это основное свойство дроби. Подробнее можно по ссылке посмотреть, а здесь просто напомню правило: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, или неравное нулю выражение, дробь не изменится. Вот вам пример тождественных преобразований по этому свойству:

Как вы, наверняка, догадались, эту цепочку можно продолжать до бесконечности...) Очень важное свойство. Именно оно позволяет превращать всякие монстры-примеры в белые и пушистые.)

Формул, задающих тождественные преобразования, - много. Но самых главных - вполне разумное количество. Одно из базовых преобразований - разложение на множители. Оно используется во всей математике - от элементарной до высшей. С него и начнём. В следующем уроке.)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Выражения представляют собой основу математики. Понятие это достаточно широко. Большая часть того, с чем приходится иметь дело в математике – и примеры, и уравнения, и даже дроби – являются выражениями. Отличительной особенностью выражения является наличие математических действий. Оно обозначаются определенными знаками (умножения, деления, вычитания или сложения). Последовательность выполнения математических действий при необходимости корректируется скобками. Выполнить математические действия – значит найти значение выражения.

Что не является выражением

Не всякую математическую запись можно отнести к числу выражений.Равенства не являются выражениями. Присутствуют при этом в равенстве математические действия или нет, не имеет значения. Например, a=5 – это равенство, а не выражение, но и 8+6*2=20 тоже нельзя считать выражением, хотя в нем и присутствуют умножение и сложение. Этот пример тоже принадлежит к категории равенств.Понятия выражения и равенства не являются взаимоисключающими, первое входят в состав второго. Знак равенства соединяет два выражения:
5+7=24:2Можно это равенство упростить:
5+7=12Выражение всегда предполагает, что представленные в нем математические действия могут быть выполнены. 9+:-7 – это не выражение, хотя здесь есть знаки математических действий, ведь выполнить эти действия невозможно.Существуют и такие математические примеры, которые формально являются выражениями, но не имеют смысла. Пример такого выражения:
46:(5-2-3)Число 46 необходимо разделить на результат действий в скобках, а он равен нулю. На нуль же делить нельзя, такое действие в математике считается запретным.

Числовые и алгебраические выражения

Существует два вида математических выражений.Если выражение содержит только числа и знаки математических действий, такое выражение называется числовым. Если же в выражении наряду с числами присутствуют переменные, обозначаемые буквами, или чисел нет вообще, выражение состоит только из переменных и знаков математических действий, оно называется алгебраическим.Принципиальное отличие числового значения от алгебраического состоит в том, что у числового выражения значение только одно. Например, значение числового выражения 56–2*3 всегда будет равно 50, ничего изменить нельзя. У алгебраического же выражения значений может быть много, ведь вместо буквы можно подставить любое число. Так, если в выражении b–7 вместо b подставить 9, значение выражения будет равно 2, а если 200 – оно будет составлять 193.

На этом уроке вы рассмотрите тему «Числовые выражения. Сравнение числовых выражений». Данное занятие познакомит вас с определением числовых выражений. Вы узнаете, что числовые выражения можно прочитать. Также вы научитесь находить их значение и сравнивать. Несколько практических примеров помогут закрепить вам изученный материал.

Урок: Числовые выражения. Сравнение числовых выражений

Посмотрите на данные выражения и постарайтесь найти среди них лишнее.

20 + а
с + 7
6 + 8
15 - (10 + 2)
18 > 9

Лишней является запись 18 > 9 (18 больше 9). Как вы думаете почему?

Правильный ответ: потому что только в ней использован знак сравнения. Во всех остальных использованы знаки действия.

Записанные выражения можно разделить на две группы:

Буквенные выражения Числовые выражения
20 + a 6 + 8
c + 7 15 - (10 + 2)

Буквенные выражения - это выражения, в которых используются буквы латинского алфавита.

Числовые выражения - числа, соединенные знаками действия. Числовые выражения можно прочитать.

6 + 8 …(сумма 6 и 8)

15 - (10 + 2)…(из 15 вычесть сумму 10 и 2)

Найдем значения выражений:

15 - (10 + 2) = …
Сначала выполняем действие, записанное в скобках. К 10 прибавляем 2.
10 + 2 = 12
Теперь нужно из 15 вычесть 12.
15 - 12 = 3
15 - (10 + 2) = 3

Теперь выполним задание:

Мы повторили, что значит найти значение числового выражения.

Теперь мы должны научиться сравнивать числовые выражения. Сравнить числовое выражение - найти значение каждого из выражений и их сравнить.

Давайте сравним значения двух выражений. Для этого найдем значения каждого из них.

15 - 7 < 6 + 3

Теперь сравним значения еще двух выражений:

3. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (). Сделай дома Решите числовые выражения: а) 20 +14 б) 56 - 22 в) 47 - 22 Сравните выражения: а) 33 - 12 и 25 + 7 б) 45 - 5 и 19 + 21 в) 23 + 5 и 12 + 6

Формула

Сложение, вычитание, умножение, деление - арифметические действия (или арифметические операции ). Этим арифметическим действиям соответствуют знаки арифметических действий:

+ (читаем "плюс ") - знак операции сложения,

- (читаем "минус ") - знак операции вычитания,

∙ (читаем "умножить ") - знак операции умножения,

: (читаем "разделить ") - знак операции деления.

Запись, состоящая из чисел, связанных между собой знаками арифметических действий, называется числовым выражением. В числовом выражении могут присутствовать также скобки Например, запись 1290 : 2 - (3 + 20 ∙ 15) является числовым выражением.

Результат выполнения действий над числами в числовом выражении называется значением числового выражения . Выполнение этих действий называется вычислением значения числового выражения. Перед записью значения числового выражения ставят знак равенства «=». В таблице 1 приведены примеры числовых выражений и их значений.

Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий называется буквенным выражением . В этой записи могут присутствовать скобки. Например, запись a + b - 3 ∙ c является буквенным выражением. Вместо букв в буквенное выражение можно подставлять различные числа. При этом значение букв может изменяться, поэтому буквы в буквенном выражении называют еще переменными .

Подставив в буквенное выражение числа вместо букв и вычислив значение получившегося числового выражения, находят значение буквенного выражения при данных значениях букв (при данных значениях переменных). В таблице 2 приведены примеры буквенных выражений.

Буквенное выражение может не иметь значения, если при подстановке значений букв получается числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено. Такое числовое выражение называется некорректным для натуральных чисел. Говорят также, что значение такого выражения «не определено» для натуральных чисел, а само выражение «не имеет смысла» . Например, буквенное выражение a - b не имеет значения при a = 10 и b = 17. Действительно, для натуральных чисел, уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого. Например, имея всего 10 яблок (a = 10), нельзя отдать из них 17 (b = 17)!

В таблице 2 (колонка 2) приведён пример буквенного выражения. По аналогии заполните таблицу полностью.

Для натуральных чисел выражение 10 -17 некорректно (не имеет смысла) , т.е. разность 10 -17 не может быть выражена натуральным числом. Другой пример: на ноль делить нельзя, поэтому для любого натурального числа b, частное b: 0 не определено.

Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения часто записывают в буквенном виде (т.е. в виде буквенного выражения). В этих случаях буквенное выражение называют формулой . Например, если стороны семиугольника равны a, b, c, d, e, f, g , то формула (буквенное выражение) для вычисления его периметра p имеет вид:

p = a + b + c + d + e + f + g

При a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, периметр семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

При a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, периметр другого семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Блок 1. Словарь

Составьте словарь новых терминов и определений из параграфа. Для этого в пустые клетки впишите слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице (в конце блока) укажите номера терминов в соответствии с номерами рамок. Рекомендуется перед заполнением клеток словаря еще раз внимательно просмотреть параграф.

1. Операции: сложение, вычитание, умножение, деление.

2.Знаки «+» (плюс), «-» (минус), «∙» (умножить, «: » (разделить).

3.Запись, состоящая из чисел, которые связанны между собой знаками арифметических действий и в которой могут присутствовать также скобки.

4.Результат выполнения действий над числами в числовом выражении.

5. Знак, стоящий перед значением числового выражения.

6. Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий (могут присутствовать также скобки).

7. Общее название букв в буквенном выражении.

8. Значение числового выражения, которое получается при подстановке переменных.в буквенное выражение.

9.Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено.

10. Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел может быть найдено.

11. Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения, записанные в буквенном виде.

12. Алфавит, малые буквы которого используются для записи буквенных выражений.

Блок 2. Установите соответствие

Установите соответствие между заданием в левой колонке и решением в правой. Ответ запишите в виде: 1а, 2г, 3б…

Блок 3. Фасетный тест. Числовые и буквенные выражения

Фасетные тесты заменяют сборники задач по математике, но выгодно отличаются от них тем, что их можно решать на компьютере, проверять решения и сразу узнавать результат работы. В этом тесте содержится 70 задач. Но решать задачи можно по выбору, для этого есть оценочная таблица, где указаны простые задачи и посложнее. Ниже приведён тест.

1. Дан треугольник со сторонами c, d, m, выраженными в см
2. Дан четырехугольник со сторонами b, c, d, m , выраженными в м
3. Скорость автомобиля в км/ч равна b, время движения в часах равно d
4. Расстояние, которое преодолел турист за m часов, составляет с км
5. Расстояние, которое преодолел турист, двигаясь со скоростью m км/ч, составляет b км
6. Сумма двух чисел больше второго числа на 15
7. Разность меньше уменьшаемого на 7
8. Пассажирский лайнер имеет две палубы с одинаковым количеством пассажирских мест. В каждом из рядов палубы m мест, рядов на палубе на n больше, чем мест в ряду
9. Пете m лет Маше n лет, а Кате на k лет меньше, чем Пете и Маше вместе
10. m = 8, n = 10, k = 5
11. m = 6, n = 8, k = 15
12. t = 121, x = 1458

1. Значение данного выражения
2. Буквенное выражение для периметра имеет вид
3. Периметр, выраженный в сантиметрах
4. Формула пути s, пройденного автомобилем
5. Формула скорости v, движения туриста
6. Формула времени t, движения туриста
7. Путь, пройденный автомобилем в километрах
8. Скорость туриста в километрах в час
9. Время движения туриста в часах
10. Первое число равно…
11. Вычитаемое равно….
12. Выражение для наибольшего количества пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
13. Наибольшее количество пассажиров, которое может перевезти лайнер за k рейсов
14. Буквенное выражение для возраста Кати
15. Возраст Кати
16. Координата точки В, если координата точки С равна t
17. Координата точки D, если координата точки С равна t
18. Координата точки А, если координата точки С равна t
19. Длина отрезка BD на числовом луче
20. Длина отрезка CА на числовом луче
21. Длина отрезка DА на числовом луче

Понятие математического выражения (или просто выражения), изучаемое в начальных классах, имеет важное значение. Так, это понятие помогает учащимся овладеть вычислительными навыками. Действительно, часто вычислительные ошибки связаны с непониманием структуры выражений, нетвердым знанием порядка выполнения действий в выражениях. Усвоение понятия выражения обуславливает формирование таких важных математических понятий, как равенство, неравенство, уравнение. Умение составлять выражения по задаче необходимо для овладения умения решать задачи алгебраическим способом, т.е. с помощью составления уравнений.

С первыми выражениями – суммой и разностью – дети знакомятся при изучении сложения и вычитания в концентре «Десяток». Не используя специальных терминов, первоклассники производят вычисления, записывают выражения, читают их, заменяют число суммой, основываясь на наглядных представлениях. При этом выражение 4+3 они читают следующим образом: «к четырем прибавить три» или «4 увеличить на 3». Находя значения выражений, состоящих из трех чисел, которые соединены знаком сложения и вычитания, учащиеся фактически пользуются правилом порядка выполнения действий в неявном виде и выполняют первые тождественные преобразования выражений.

Познакомившись с выражениями вида а+в , первоклассники сначала употребляют термин «сумма» для обозначения числа, получающегося в результате сложения, т.е. сумма, трактуется как значение выражения. Затем с появлением более сложных выражений, например вида (а+в)-с , появляется необходимость иного понимания термина «сумма». Выражение а+в называется суммой, а его компоненты – слагаемыми. При введении выражений вида а-в, а·в, а:в поступают аналогично. Сначала разностью (произведением, частным) называют значение выражения, а затем само выражение. Одновременно учащимся сообщают названия его компонентов: уменьшаемое, вычитаемое, множители, делимое и делитель. Например, в равенстве 9-4=5 9-уменьшаемое, 4-вычитаемое, 5-разность. Запись 9-4 также называется разностью. Можно вводить эти термины в другой последовательности: предложить учащимся записать пример 9-4, пояснив, что записана разность, и вычислить, чему равна записанная разность. Учитель вводит название полученного числа: 5- тоже разность. Другие числа при вычитании называются: 9- уменьшаемое, 4- вычитаемое.

Запоминанию новых терминов способствуют плакаты вида

УМЕНЬШАЕМОЕ ВЫЧИТАЕМОЕ РАЗНОСТЬ РАЗНОСТЬ (значение разности)

Для закрепления этих терминов предлагаются упражнения вида: «Вычислите сумму чисел; запишите сумму чисел; сравните суммы чисел (вставьте знак >,< или = вместо · в запись 4 + 3 · 5 + 1 и прочтите полученную запись); замените число суммой одинаковых (разных) чисел; заполните таблицу; составьте по таблице примеры и решите их». Важно, чтобы дети поняли, что при вычислении суммы производится указанное действие (сложение), а при записи суммы получаем два числа, соединенных знаком плюс.

При изучении сложения и вычитания в пределах 10 включаются выражения, состоящие из трех и более чисел, соединенных одинаковыми или различными знаками действий вида: 3+1+1, 4-1-1, 2+2+2+2, 7-4+2, 6+3-7. раскрывая смысл таких выражений, учитель показывает, как их читают (например, к трем прибавить один и к полученному числу прибавить ещё один). Вычисляя значения этих выражений, дети практически овладевают правилом о порядке действий в выражениях без скобок, хотя и не формулируют его. Несколько позднее детей учат прообразовывать выражения в процессе вычислений, например: 10-7+5=3+5=8. такие записи являются первым шагом в выполнении тождественных преобразований. Знакомство первоклассников с выражениями вида 10- (6+2), (7-4)+5 и т.п. готовит их к изучению правил прибавления числа к сумме, вычитания числа из суммы и др., к записи решения составных задач, а также способствует более глубокому усвоению понятия выражения.

На следующем этапе усвоения понятия выражения учащиеся знакомятся с выражениями, в которых используются скобки: (10-3)+4, (6-2)+5. они могут быть введены посредством текстовых задач. Учитель предлагает составить на наборном полотне суммы и разности чисел 10 и 3, используя карточки, на которых записаны эти числа и знаки действий. Затем составленную учениками разность 10-3 учитель заменяет подготовленной заранее карточкой с этой разностью. Следующее задание: составить выражение (на этом этапе учащиеся говорят о нем как о примере), используя разность, число 4 и знак +. При чтении полученного выражения обращается внимание на то, что его компонентами являются разность и число. «Чтобы было заметно, - говорит учитель,- что разность является слагаемым, её заключают в скобки».

Самостоятельно конструируя выражения, дети осознают их структуру, овладевая умением читать, записывать, вычислять их значения.

Вводятся термины «математическое выражение» (или просто «выражение») и «значение выражения». Определения этих терминов не даются. Записав несколько простейших выражений: сумм, разностей, учитель называет их математическими выражениями. Предложив вычислить эти примеры, он объявляет, что числа, полученные в результате вычисления, называются значением выражения. Дальнейшая работа над числовыми выражениями состоит в том, что дети упражняются в чтении, записи под диктовку, составлении выражений, заполнении таблиц, широко используя при этом новые термины.

Правила порядка выполнения действий .

	Особенности числового выражения	выполнения действий
	Содержит только + и – или только х и :	По порядку (слева направо)	65 - 20 + 5 - 8 = 42 24: 4 · 2: 3 = 4
	Содержит не только + и - , но и х и :	Сначала выполняют по порядку (слева направо) х и : , а потом + и – (слева направо)	120 – 20: 4 · 6 = 90 460 + 40 – 50 · 4 = 300 1 3 4 2 360: 4 + 10 – 8 · 5 = 60 180: 2 - 90: 3 = 60
	Содержит одну или несколько пар скобок	Сначала находят значения выражений в скобках, а затем выполняют действия по правилам 1 и 2	1000- (100 · 9 + 10) =90 5· (76 – 6 + 10) = 400 80+ (360 - 300) ·5 = 380 3 1 4 2 99 · (24-23) –(12-4) =91

Для подсчета значения выражения часто приходится его преобразовывать, особенно, если выражение содержит большое количество действий и скобок.

Преобразование выражения – это замена данного выражения другим, значение которого равно значению заданного выражения. Преобразования выражений выполняются опираясь на свойства арифметических действий и следствия, вытекающие их них (правила: как прибавить сумму к числу, как вычесть число из суммы, как умножить число на произведение и т.д.). При изучении каждого правила, учащиеся убеждаются в том, что в выражениях определенного вида можно выполнять действия по-разному, но значение выражения при этом не изменяется.

Использование условного обозначения чисел при обучении математике.

Пучки - десятки палочек и отдельные палочки используются для демонстрации образования и десятичного состава двузначных чисел. С этой же целью можно использовать полоски с кружками или треугольниками для иллюстрации десятков (10 полосок по 10 фигур) и единиц (полоски с 1, 2, ... , 9 фигурами). Иногда вместо полосок используют карточки-прямоугольники с изображением числовых фигур (точек) для иллюстрации единиц и карточки-треугольники, изображающие десятки.

Рассматриваются числа, полученные в результате счета десятков и единиц. Вначале можно обратиться к жизненной ситуации. Можно ввести модели десятков и единиц в виде треугольников и отдельных точек. Затем показывают треугольник, заполненный точками (кружками) по такому же «правилу», который будет обозначать десяток. На данном уроке это пособие можно использовать как демонстрационное: дети называют число, которое обозначено треугольниками и отдельными точками, или сами обозначают число с помощью этого пособия. В дальнейшем, когда работать практически с пучками палочек будет трудно, рисунки треугольников и отдельных точек помогут детям хорошо усвоить десятичный состав чисел, при этом треугольники уже не заполняют точками, договариваясь о том, что нарисованные в одну клетку треугольники обозначают десятки, а точки справа от них - единицы. При таком способе детям легко выполнять рисунки в тетрадях:

На каждом уроке, отведенном на изучение нумерации, идет работа над задачами. Вначале решаются простые задачи. Это задачи на нахождение суммы и остатка, на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, на разностное сравнение. К задачам дети рисуют «картинки с точками» или работают с фишками, поясняя: мальчиков на 2 больше, чем девочек, значит, берем столько кружков, сколько треугольников, и еще 2; девочек на карусели на 2 меньше, чем мальчиков, значит, их было столько же, сколько мальчиков, но без 2. Схемы к этим задачам выглядят так.

Важное место на уроках в 1-3 классах занимают наборные полотна различной конструкции, изготовляемые из картона, фанеры, ткани. На рисунке 4 изображено демонстрационное наборное полотно, а на рисунке 5 – индивидуальное.