W tej części przypomnimy sobie (lub przestudiujemy, w zależności od tego, kogo wybierzesz) najbardziej elementarne równania. Jakie jest więc równanie? W języku ludzkim jest to pewnego rodzaju wyrażenie matematyczne, w którym występuje znak równości i niewiadoma. Co jest zwykle oznaczone literą "X". Rozwiąż równanie- polega to na znalezieniu takich wartości x, które po podstawieniu do oryginalny wyrażenie da nam poprawną tożsamość. Przypomnę, że tożsamość to wyraz nie budzący wątpliwości nawet dla osoby absolutnie nieobciążonej wiedzą matematyczną. Jak 2=2, 0=0, ab=ab itd. Jak zatem rozwiązywać równania? Rozwiążmy to.
Istnieje wiele rodzajów równań (jestem zaskoczony, prawda?). Ale całą ich nieskończoną różnorodność można podzielić tylko na cztery typy.
4. Wszyscy inni.)
Cała reszta oczywiście przede wszystkim tak...) Obejmuje to sześcienne, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i wszelkiego rodzaju inne. Będziemy z nimi ściśle współpracować w odpowiednich sekcjach.
Od razu powiem, że czasem równania trzech pierwszych typów są tak popierdolone, że nawet ich nie rozpoznacie… Nic. Dowiemy się jak je rozluźnić.
I dlaczego potrzebujemy tych czterech typów? A potem co równania liniowe rozwiązać w jeden sposób kwadrat inni, wymierne ułamkowe - trzecie, A odpoczynek Wcale się nie odważą! Cóż, to nie tak, że w ogóle nie mogą się zdecydować, po prostu myliłem się co do matematyki.) Po prostu mają swoje własne specjalne techniki i metody.
Ale dla każdego (powtarzam - dla każdego!) równania istnieje niezawodna i niezawodna podstawa rozwiązania. Działa wszędzie i zawsze. Ten fundament - Brzmi przerażająco, ale jest bardzo prosty. I bardzo (bardzo!) ważne.
Właściwie rozwiązanie równania składa się z tych właśnie przekształceń. 99% Odpowiedź na pytanie: „ Jak rozwiązywać równania?” leży właśnie w tych przekształceniach. Czy podpowiedź jest jasna?)
Identyczne przekształcenia równań.W dowolne równania Aby znaleźć nieznane, musisz przekształcić i uprościć oryginalny przykład. I tak przy zmianie wygląd istota równania nie uległa zmianie. Takie przekształcenia nazywane są identyczny
lub równoważny.
Zauważam, że te przekształcenia odnoszą się konkretnie do równań. W matematyce istnieją również identyczne przekształcenia wyrażeń.
To jest inny temat. Teraz powtórzymy wszystko, wszystko, wszystko podstawowe równania - liniowe, kwadratowe, ułamkowe, trygonometryczne, wykładnicze, logarytmiczne itp. itp.
Pierwsza transformacja tożsamości: możesz dodawać (odejmować) po obu stronach dowolnego równania każdy(ale jedna i ta sama!) liczba lub wyrażenie (w tym wyrażenie z niewiadomą!). Nie zmienia to istoty równania.
Nawiasem mówiąc, ciągle korzystałeś z tej transformacji, po prostu myślałeś, że przenosisz niektóre wyrazy z jednej części równania do drugiej poprzez zmianę znaku. Typ:
Sprawa jest znana, przesuwamy oba w prawo i otrzymujemy:
Właściwie ty zabrane z obu stron równania wynosi dwa. Wynik jest taki sam:
x+2 - 2 = 3 - 2
Przesuwanie terminów w lewo i w prawo wraz ze zmianą znaku jest po prostu skróconą wersją pierwszej transformacji tożsamości. I po co nam tak głęboka wiedza? – pytasz. Nic w równaniach. Na litość boską, wytrzymaj. Tylko nie zapomnij zmienić znaku. Ale w przypadku nierówności nawyk przenoszenia może prowadzić w ślepy zaułek...
Druga transformacja tożsamości: obie strony równania można pomnożyć (podzielić) przez to samo niezerowy liczba lub wyrażenie. Tutaj pojawia się już zrozumiałe ograniczenie: mnożenie przez zero jest głupie, a dzielenie jest całkowicie niemożliwe. To jest transformacja, której używasz, gdy rozwiązujesz coś fajnego
Oczywiście, X= 2. Jak to znalazłeś? Przez wybór? A może po prostu do ciebie dotarło? Aby nie wybierać i nie czekać na wgląd, musisz zrozumieć, że jesteś sprawiedliwy dzielimy obie strony równania przez 5. Dzieląc lewą stronę (5x), pięć zostało zmniejszone, pozostawiając czyste X. Właśnie tego potrzebowaliśmy. A dzieląc prawą stronę (10) przez pięć, otrzymamy oczywiście dwa.
To wszystko.
To zabawne, ale te dwie (tylko dwie!) identyczne transformacje leżą u podstaw rozwiązania wszystkich równań matematycznych.
Wow! Warto przyjrzeć się przykładom tego, co i jak, prawda?)Przykłady identycznych przekształceń równań. Główne problemy.
Zacznijmy od pierwszej transformacji tożsamości. Przenieś lewo-prawo.
Przykład dla młodszych.)
Załóżmy, że musimy rozwiązać następujące równanie:
3-2x = 5-3x Przypomnijmy zaklęcie:„z X – w lewo, bez X – w prawo!” To zaklęcie jest instrukcją użycia pierwszej transformacji tożsamości.) Jakie jest wyrażenie z X po prawej stronie? 3x ? Odpowiedź jest błędna! Po naszej prawej stronie- 3x
! Minus trzy X! Dlatego podczas przesuwania się w lewo znak zmieni się na plus. Okaże się:
Zatem X zostały zebrane w stos. Przejdźmy do liczb. Po lewej stronie jest trójka. Z jakim znakiem? Odpowiedź „bez żadnego” nie jest akceptowana!) Przed trzema rzeczywiście nic nie jest rysowane. Oznacza to, że przed trójką znajduje się plus.
Więc matematycy zgodzili się. Nic nie jest napisane, więc to plus.
W związku z tym trójka zostanie przeniesiona na prawą stronę z minusem.
Otrzymujemy:
-2x+3x=5-3
Pozostały już tylko drobnostki. Po lewej stronie - przynieś podobne, po prawej - policz. Odpowiedź przychodzi od razu:W tym przykładzie wystarczyła jedna transformacja tożsamości. Drugi nie był już potrzebny. No cóż.)
Przykład dla starszych dzieci.)
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Następnie pozbądź się go, podnosząc obie strony tożsamości do , równego wykładnikowi pierwiastka. Dla powyższego przykładu czynność tę należy wyrazić poprzez przekształcenie do postaci: 36*Y² = X. Czasami wygodniej jest wykonać operację tego kroku przed akcją z kroku poprzedniego.
Przekształć wyrażenie tak, aby wszystkie wyrazy tożsamości zawierające żądaną zmienną znajdowały się po lewej stronie równości. Na przykład, jeśli formuła ma postać 36*Y-X*Y+5=X i interesuje Cię zmienna X, wystarczy zamienić lewą i prawą połowę tożsamości. A jeśli trzeba wyrazić Y, to formuła w wyniku tej akcji powinna przyjąć postać 36*Y-X*Y=X-5.
Uprość wyrażenie po lewej stronie formuły, tak aby szukana zmienna stała się jedną z . Przykładowo dla wzoru z poprzedniego kroku można to zrobić w następujący sposób: Y*(36-X)=X-5.Głównym wskaźnikiem zmiennej jest to, że jest ona zapisana literą. Symbol najczęściej kryje w sobie określone znaczenie. Zmienna ma swoją nazwę, ponieważ jej wartość zmienia się w zależności od równania. Z reguły dowolny może być użyty jako oznaczenie takiego elementu. Na przykład, jeśli wiesz, że masz 5 rubli i chcesz kupić jabłka, które kosztują 35 kopiejek, skończona liczba jabłek, które możesz kupić, wynosi (na przykład „C”).
Przykład użyciaJeśli istnieje zmienna, która została wybrana według własnego uznania, musisz ją skomponować równanie algebraiczne. Połączy znane i nieznane wielkości, a także pokaże związek między nimi. To wyrażenie będzie zawierać liczby, zmienne i jedną operację algebraiczną. Należy pamiętać, że wyrażenie będzie zawierać znak równości.
Pełne równanie zawiera wartość wyrażenia jako całości. Jest on oddzielony od reszty równania znakiem równości. W poprzednim przykładzie dotyczącym jabłek wyrażeniem jest 0,35 lub 35 kopiejek pomnożone przez „C”. Aby utworzyć pełne równanie, musisz napisać, co następuje:
Wyrażenia jednomianoweIstnieją dwie główne klasyfikacje wyrażeń: jednomiany. Jednomiany są zmienną jednostkową, liczbą lub iloczynem zmiennej i liczby. Ponadto wyrażenie kilku zmiennych lub wyrażeń z wykładnikami jest również jednomianem. Na przykład liczba 7, zmienna x i iloczyn 7*x są jednomianami. Wyrażenia z wykładnikami, w tym x^2 lub 3x^2y^3, są również jednomianami.
WielomianyWielomiany to wyrażenia obejmujące kombinację dodawania lub odejmowania dwóch lub więcej. Do wielomianu można włączyć dowolny typ jednomianu, w tym liczby, pojedyncze zmienne lub wyrażenia zawierające liczby i niewiadome. Na przykład wyrażenie x+7 jest wielomianem, który jest dodawany przez jednomian x i jednomian 7. 3x^2 jest także wielomianem. 10x+3xy-2y^2 to wielomian łączący trzy jednomiany za pomocą dodawania i odejmowania.
Zmienne zależne i niezależneZmienne niezależne to niewiadome określające pozostałe części równania. Występują samodzielnie w wyrażeniach i nie zmieniają się wraz z innymi zmiennymi.
Wartości zmiennych zależnych określa się za pomocą zmiennych niezależnych. Ich wartości często ustala się empirycznie.
Zmienne. Aby to zrobić, wprowadź jedną zmienną m tylko dla jednego równania lub dwie zmienne m i n dla obu równań.
Przykład I. Wyraź jedną zmienną przez drugą w równaniach: │x–2y=1,│x²+xy–y²=11. Przekształć pierwsze równanie tego układu: przesuń jednomian (–2y) na prawą stronę równości , zmiana znaku. Stąd otrzymujesz: x=1+2y.
Podstaw 1+2y do równania x²+xy–y²=11 zamiast x. Układ równań będzie miał postać: │(1+2y)²+(1+2y)y–y²=11,│x=1+2y Otrzymany układ jest równoważny pierwotnemu. Wyraziłeś zmienną x w tym układzie równań za pomocą y.
Przykład II. Wyraź jedną zmienną za pomocą drugiej w układzie równań: │x²–y²=5,│xy=6. Przekształć drugie równanie układu: podziel oba równania xy=6 przez x≠0. Stąd: y=6/x.
Podstaw otrzymane wyrażenie do równania x²–y²=5. Otrzymasz układ:│x²–(6/x)²=5,│y=6/x. Ten ostatni system jest odpowiednikiem pierwotnego. Wyraziłeś zmienną y w tym układzie równań za pomocą x.
Przykład III. Wyraź zmienne y i z w postaci nowych zmiennych m i n:│2/(y+z)+9/(2y+z)=2;│4/(y+z)=12/(2y+z) ) –1. Niech 1/(y+z)=m i 1/(2y+z)=n. Wtedy układ równań będzie wyglądał tak: │2/m+9/n=2,│4/m=12/n–1. Zmienne y i z w pierwotnym układzie równań wyraziłeś w kategoriach nowego zmienne m i n.
Uwaga
Do rozwiązania niektórych stosuje się technikę wprowadzania nowej zmiennej równania kwadratowe. Na przykład w równaniu (x²+1)/x+x/(x²+1)=–2,5 wyraź zmienną x w kategoriach nowej zmiennej y. Niech y=(x²+1)/x, wówczas pierwotne równanie przyjmie postać: y+1/y=–2,5.
Wyraziłeś zmienną x w dane równanie przez y.
Źródła:
- Systemy dwójkowe równania liniowe z dwiema niewiadomymi
- jak rozwiązać system z jedną zmienną
Aby zorganizować interaktywną komunikację odwiedzającego ze stroną internetową (a raczej przeglądarką z serwerem WWW), programista musi zapewnić scenariusze wymiany danych między nimi. Przyjrzyjmy się kilku prostym opcjom organizacji przesyłania zmiennych ze skryptu JavaScrip klienta do skryptu PHP serwera i z powrotem.
Będziesz potrzebować
- Podstawowa znajomość języków PHP, JavaScript i HTML
Instrukcje
Na etapie generowania strony przekazanie zmiennej wraz z jej wartością ze skryptu PHP do skryptu JavaScript nie jest trudne. Sam skrypt PHP generuje kod HTML żądanej strony, łącznie ze skryptami, które ona zawiera. Polega to na tym, że może wpisać do kodu JavaScript dowolne zmienne, które należy przekazać wraz z ich wartościami. Na przykład ten skrypt php przekaże zmienną o nazwie „serverTime” do skryptu klienta, zawierającą bieżącą w formacie GODZINA:MINUTA:
Najprostsza opcja przesyłanie nazw i wartości zmiennych w odwrotnym kierunku (ze skryptu JS w kliencie do skryptu PHP na serwerze WWW) może wyglądać tak w kodzie HTML strony:
var teraz = nowa data();
var varName = "czas klienta";
window.location.href = "http://sa/test2.php?" + nazwa_zmiennej + "=" wartość_zmiennej;
Skrypt ten wyśle do skryptu o nazwie test2.php nazwę zmiennej „clientTime” i jej wartość zawierającą bieżący czas w tym samym formacie GODZINA:MINUTA. Ten sposób przesyłania danych nazywa się „synchronicznym” – powoduje natychmiastowe przeładowanie strony. Dokładniej, zamiast bieżącej strony zostanie załadowany wynik skryptu test2.php. Kod tego skryptu php może wyglądać następująco:
Możesz połączyć wszystkie trzy rozważane części kodu do przesyłania zmiennych z przeglądarki i z powrotem do jednego pliku PHP w następujący sposób:
funkcja sendData() (
var teraz = nowa data();
var varName = "czas klienta";
var varValue = teraz.getHours() + „:” + teraz.getMinutes();
window.location.href = "http://sa/test2.php?" + nazwa_zmiennej + "=" +Wartośćzmiennej;
zwróć fałsz;
}
Wyślij dane na serwer W tym połączonym skrypcie (PHP + JavaScript) kod php wygeneruje kod JavaScript, „przekazując” mu zmienną o nazwie „serverTime” i wartość zawierającą bieżący czas serwera. Po załadowaniu strony do przeglądarki skrypt JavaScript wyświetli komunikat z tą godziną. Następnie kliknij
Jak wstawić wzory matematyczne na stronę internetową?
Jeśli kiedykolwiek będziesz musiał dodać jedną lub dwie formuły matematyczne do strony internetowej, najłatwiej to zrobić w sposób opisany w artykule: formuły matematyczne można łatwo wstawić na stronę w postaci obrazów, które są automatycznie generowane przez Wolfram Alpha . Oprócz prostoty, ta uniwersalna metoda pomoże poprawić widoczność witryny w wyszukiwarkach. Działa od dawna (i myślę, że będzie działać wiecznie), ale jest już moralnie przestarzały.
Jeśli regularnie korzystasz z formuł matematycznych na swojej stronie, to polecam skorzystać z MathJax – specjalnej biblioteki JavaScript, która wyświetla notację matematyczną w przeglądarkach internetowych przy użyciu znaczników MathML, LaTeX lub ASCIIMathML.
Istnieją dwa sposoby rozpoczęcia korzystania z MathJax: (1) użycie prosty kod możesz szybko podłączyć do swojej witryny skrypt MathJax, który zostanie automatycznie załadowany ze zdalnego serwera w odpowiednim czasie (lista serwerów); (2) pobierz skrypt MathJax ze zdalnego serwera na swój serwer i podłącz go do wszystkich stron swojej witryny. Druga metoda - bardziej złożona i czasochłonna - przyspieszy ładowanie stron Twojej witryny, a jeśli z jakiegoś powodu nadrzędny serwer MathJax stanie się chwilowo niedostępny, nie będzie to miało żadnego wpływu na Twoją witrynę. Pomimo tych zalet wybrałem pierwszą metodę, ponieważ jest prostsza, szybsza i nie wymaga umiejętności technicznych. Podążaj za moim przykładem, a już za 5 minut będziesz mógł korzystać ze wszystkich funkcji MathJax na swojej stronie.
Możesz połączyć skrypt biblioteki MathJax ze zdalnym serwerem, korzystając z dwóch opcji kodu pobranych z głównej witryny MathJax lub ze strony dokumentacji:
Jedną z tych opcji kodu należy skopiować i wkleić do kodu swojej strony internetowej, najlepiej pomiędzy tagami i/lub bezpośrednio po tagu. Według pierwszej opcji MathJax ładuje się szybciej i mniej spowalnia stronę. Ale druga opcja automatycznie monitoruje i ładuje najnowsze wersje MathJax. Jeśli wstawisz pierwszy kod, będzie on wymagał okresowej aktualizacji. Jeśli wstawisz drugi kod, strony będą ładować się wolniej, ale nie będziesz musiał stale monitorować aktualizacji MathJax.
Najłatwiej połączyć się z MathJax w Bloggerze lub WordPressie: w panelu sterowania witryny dodaj widżet przeznaczony do wstawiania kodu JavaScript innej firmy, skopiuj do niego pierwszą lub drugą wersję kodu pobierania przedstawionego powyżej i umieść widżet bliżej na początek szablonu (nawiasem mówiąc, nie jest to wcale konieczne, ponieważ skrypt MathJax jest ładowany asynchronicznie). To wszystko. Teraz poznaj składnię znaczników MathML, LaTeX i ASCIIMathML, a będziesz gotowy do wstawiania formuł matematycznych na stronach internetowych swojej witryny.
Każdy fraktal jest skonstruowany według pewnej reguły, którą konsekwentnie stosuje się nieograniczoną liczbę razy. Każdy taki moment nazywany jest iteracją.
Iteracyjny algorytm konstruowania gąbki Mengera jest dość prosty: oryginalny sześcian o boku 1 jest podzielony płaszczyznami równoległymi do jego ścian na 27 równych sześcianów. Usuwa się z niego jedną środkową kostkę i 6 sąsiadujących z nią kostek. Rezultatem jest zestaw składający się z pozostałych 20 mniejszych kostek. Robiąc to samo z każdą z tych kostek, otrzymamy zestaw składający się z 400 mniejszych kostek. Kontynuując ten proces w nieskończoność, otrzymujemy gąbkę Mengera.