Przedstawiciele różnych cywilizacji: Starożytny Egipt, Starożytny Babilon, Starożytna Grecja, Starożytne Indie, Starożytne Chiny, Średniowieczny Wschód, Europa opanowała metody rozwiązywania równania kwadratowe.
Po raz pierwszy matematycy starożytnego Egiptu byli w stanie rozwiązać równanie kwadratowe. Jeden z papirusów matematycznych zawiera następujący problem:
„Znajdź boki pola w kształcie prostokąta, jeśli jego pole wynosi 12, a długości są równe jego szerokości”. „Długość pola wynosi 4” – podaje papirus.
Minęły tysiąclecia i liczby ujemne weszły do algebry. Rozwiązując równanie x²= 16, otrzymujemy dwie liczby: 4, –4.
Oczywiście w zagadnieniu egipskim przyjęlibyśmy X = 4, ponieważ długość pola może być tylko wielkością dodatnią.
Źródła, które do nas dotarły, wskazują, że starożytni naukowcy dysponowali pewnymi ogólnymi technikami rozwiązywania problemów z nieznanymi wielkościami. Zasada rozwiązywania równań kwadratowych podana w tekstach babilońskich jest zasadniczo taka sama jak zasada współczesna, nie wiadomo jednak, w jaki sposób Babilończycy „dotarli tak daleko”. Jednak prawie we wszystkich znalezionych tekstach papirusowych i klinowych podane są jedynie problemy z rozwiązaniami. Autorzy jedynie sporadycznie opatrywali swoje obliczenia numeryczne skąpymi komentarzami typu: „Patrz!”, „Zrób to!”, „Znalazłeś właściwy!”
Grecki matematyk Diofantos ułożył i rozwiązał równania kwadratowe. Jego Arytmetyka nie zawiera systematycznego przedstawienia algebry, ale zawiera systematyczny szereg problemów, którym towarzyszą wyjaśnienia i które są rozwiązywane poprzez konstruowanie równań różnego stopnia.
Problemy z układaniem równań kwadratowych można znaleźć już w traktacie astronomicznym „Aria-bhatiam”, opracowanym w 499 r. przez indyjskiego matematyka i astronoma Aryabhattę.
Opisał inny indyjski naukowiec Brahmagupta (VII wiek). ogólna zasada rozwiązywanie równań kwadratowych postaci ax² + bx = c.
W starożytnych Indiach powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. Jedna ze starych indyjskich ksiąg tak mówi o takich konkursach: „Jak słońce swym blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak samo uczony człowiek przyćmić chwałę innych na zgromadzeniach ludowych, proponując i rozwiązując problemy algebraiczne”. Problemy często przedstawiano w formie poetyckiej.
Jest to jeden z problemów słynnego indyjskiego matematyka z XII wieku. Bhaskars:
Stado rozbrykanych małp
Po zjedzeniu do syta dobrze się bawiłem.
Część ósma na placu bawiła się na polanie.
A dwanaście na winorośli... zaczęło skakać, wisieć...
Ile było małp?
Powiedz mi, w tej paczce?
Rozwiązanie Bhaskary pokazuje, że wiedział, że pierwiastki równań kwadratowych mają dwie wartości.
Najstarsze chińskie teksty matematyczne, które do nas dotarły, pochodzą z końca I wieku. PRZED CHRYSTUSEM W II wieku. PRZED CHRYSTUSEM Napisano Matematykę w dziewięciu księgach. Później, w VII wieku, włączono go do zbioru „Dziesięć traktatów klasycznych”, który był studiowany przez wiele stuleci. Traktat „Matematyka w dziewięciu księgach” wyjaśnia, jak wyodrębniać pierwiastek kwadratowy korzystając ze wzoru na kwadrat sumy dwóch liczb.
Metodę tę nazwano „tian-yuan” (dosłownie „element niebiański”) – tak Chińczycy określili nieznaną ilość.
Pierwszym podręcznikiem rozwiązywania problemów, który stał się powszechnie znany, było dzieło naukowca z Bagdadu z IX wieku. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. Słowo „al-jabr” z czasem zamieniło się w dobrze znane słowo „algebra”, a sama praca al-Khorezmi stała się punktem wyjścia w rozwoju nauki o rozwiązywaniu równań. Traktat algebraiczny Al-Khwarizmiego podaje klasyfikację równań liniowych i kwadratowych. Autor wyróżnia sześć rodzajów równań, wyrażając je w następujący sposób:
-kwadraty równe pierwiastki, czyli ach ² = bх;
-kwadraty równej liczbie, czyli ach ² = s;
-pierwiastki są równe liczbie, czyli topór = c;
-kwadraty i liczby są równe pierwiastkom, czyli ach ²+ с = bх;
-kwadraty i pierwiastki są równe liczbie, czyli ach ² + bх = с;
-pierwiastki i liczby są równe kwadratom, czyli bx + c = ax ²;
Traktat Al-Khwarizmi jest pierwszą książką, która do nas dotarła, która systematycznie przedstawia klasyfikację równań kwadratowych i podaje wzory na ich rozwiązanie.
Wzory rozwiązywania równań kwadratowych wzorowane na al-Khwarizmi w Europie zostały po raz pierwszy przedstawione w Księdze liczydła, napisanej w 1202 roku przez włoskiego matematyka Leonarda Fibonacciego. Autor samodzielnie opracował kilka nowych przykłady algebraiczne rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie wprowadził liczby ujemne. Jego książka przyczyniła się do szerzenia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele problemów z „Księgi liczydła” znalazło się w prawie wszystkich europejskich podręcznikach XVI-XVII wieku. i częściowo z XVIII w.
Ogólna zasada rozwiązywania równań kwadratowych zredukowana do jednego równania forma kanoniczna X ² + bх = с, dla wszystkich możliwych kombinacji znaków współczynników b i с sformułował w Europie dopiero w 1544 roku M. Stiefel.
Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego w widok ogólny Viet to ma, ale dostrzegł też tylko pozytywne korzenie. Włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli byli jednymi z pierwszych w XVI wieku. Oprócz korzeni pozytywnych i negatywnych są one brane pod uwagę. Dopiero w XVII wieku, dzięki pracom Girarda, Kartezjusza, Newtona i innych naukowców, metoda rozwiązywania równań kwadratowych nabrała nowoczesnej formy.
Ministerstwo Edukacji Federacji Rosyjskiej
Miejska placówka oświatowa
„Szkoła Gimnazjum nr 22”
Równania kwadratowe i wyższych rzędów
Zakończony:
Uczniowie klasy 8 „B”.
Kuzniecow Jewgienij i Rudi Aleksiej
Kierownik:
Zenina Alewtina Dmitriewna
nauczyciel matematyki
Wstęp
1.1 Równania w starożytnym Babilonie
1.2 Równania arabskie
1.3 Równania w Indiach
Rozdział 2. Teoria równań kwadratowych i równań wyższego rzędu
2.1 Podstawowe pojęcia
2.2 Wzory na współczynnik parzystości przy x
2.3 Twierdzenie Viety
2.4 Równania kwadratowe szczególnego charakteru
2.5 Twierdzenie Viety dla wielomianów (równania) wyższe stopnie
2.6 Równania sprowadzalne do kwadratu (dwukwadratowe)
2.7 Badanie równań dwukwadratowych
2.8 Wzory Cordano
2.9 Równania symetryczne trzeciego stopnia
2.10 Równania odwrotne
2.11 Obwód Hornera
Wniosek
Wykaz używanej literatury
Załącznik 1
Dodatek 2
Dodatek 3
Wstęp
Równania w kurs szkolny zajmują algebry czołowe miejsce. Na ich naukę poświęca się więcej czasu niż na jakikolwiek inny temat. Rzeczywiście, równania mają nie tylko ważne znaczenie teoretyczne, ale służą także celom czysto praktycznym. Przytłaczająca liczba problemów dotyczących form przestrzennych i relacji ilościowych prawdziwy świat sprowadza się do decyzji różne typy równania. Opanowując sposoby ich rozwiązywania, znajdujemy odpowiedzi na różnorodne pytania nauki i techniki (transport, rolnictwo, przemysł, komunikacja itp.).
W tym streszczeniu chciałbym przedstawić wzory i metody rozwiązywania różne równania. W tym celu podano równania, które nie są badane program szkolny. Są to głównie równania szczególnego charakteru oraz równania wyższych stopni. Aby rozwinąć ten temat, podano dowody tych wzorów.
Cele naszego eseju:
Popraw umiejętności rozwiązywania równań
Opracuj nowe sposoby rozwiązywania równań
Poznaj nowe sposoby i wzory rozwiązywania tych równań.
Przedmiotem badań jest algebra elementarna. Przedmiotem badań są równania. Wybór tego tematu podyktowany był faktem, że równania znajdują się zarówno w programie nauczania szkoły podstawowej, jak i w każdej kolejnej klasie szkoły średnie, licea, uczelnie. Wiele problemów geometrycznych, problemów z fizyki, chemii i biologii rozwiązuje się za pomocą równań. Równania zostały rozwiązane dwadzieścia pięć wieków temu. Tworzy się je do dziś – zarówno do wykorzystania w procesie edukacyjnym, jak i do egzaminów konkursowych na uczelniach, na olimpiady na najwyższym poziomie.
Rozdział 1. Historia równań kwadratowych i wyższych rzędów
1.1 Równania w starożytnym Babilonie
Algebra powstała w związku z rozwiązywaniem różnych problemów za pomocą równań. Zazwyczaj problemy polegają na znalezieniu jednej lub większej liczby niewiadomych, przy jednoczesnej znajomości wyników niektórych działań wykonanych na żądanych i zadanych wielkościach. Problemy takie sprowadzają się do rozwiązania jednego lub układu kilku równań, do znalezienia potrzebnych za pomocą operacji algebraicznych na danych wielkościach. Algebra bada ogólne właściwości operacji na wielkościach.
Niektóre techniki algebraiczne rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych były znane 4000 lat temu w starożytnym Babilonie. Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego, ale także drugiego stopnia, już w starożytności, spowodowana była koniecznością rozwiązywania problemów związanych z ustalaniem powierzchni działek i robót ziemnych o charakterze wojskowym, a także wraz z rozwojem astronomii i samej matematyki. Jak wspomniano wcześniej, równania kwadratowe udało się rozwiązać około 2000 roku p.n.e. Babilończykom. Używając współczesnej notacji algebraicznej, możemy powiedzieć, że w ich tekstach klinowych występują zarówno niepełne, jak i pełne równania kwadratowe.
Zasada rozwiązywania tych równań, podana w tekstach babilońskich, zasadniczo pokrywa się z regułami współczesnymi, nie wiadomo jednak, w jaki sposób Babilończycy doszli do tej reguły. Prawie wszystkie odnalezione dotychczas teksty klinowe podają jedynie problemy z rozwiązaniami zawartymi w formie przepisów, bez wskazania, w jaki sposób je odnaleziono.
Pomimo wysoki poziom rozwoju algebry w Babilonie, w tekstach klinowych brakuje pojęcia liczby ujemnej i ogólnych metod rozwiązywania równań kwadratowych.
1.2 Równania arabskie
Arabowie opracowali pewne metody rozwiązywania równań kwadratowych i równań wyższego rzędu. Tak więc słynny arabski matematyk Al-Khorezmi w swojej książce „Al-Jabar” opisał wiele sposobów rozwiązywania różnych równań. Ich osobliwością było to, że używał Al-Khorezmi złożone rodniki znaleźć pierwiastki (rozwiązania) równań. Konieczność rozwiązywania takich równań była potrzebna w pytaniach o dział spadku.
1.3 Równania w Indiach
Równania kwadratowe rozwiązano także w Indiach. Zagadnienia równań kwadratowych można znaleźć już w traktacie astronomicznym „Aryabhattiam”, opracowanym w 499 r. przez indyjskiego matematyka i astronoma Aryabhattę. Inny indyjski naukowiec, Brahmagupta (VII w.), przedstawił ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych zredukowanych do pojedynczej postaci stożkowej:
aх² + bx= c, gdzie a > 0
W tym równaniu współczynniki, z wyjątkiem a, mogą być ujemne. Reguła Brahmagupty jest zasadniczo taka sama jak nasza.
W starożytnych Indiach powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. Jedna ze starych indyjskich ksiąg tak mówi o takich konkursach: „Jak słońce swym blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak uczony przyćmi chwałę drugiego na zgromadzeniach publicznych, proponując i rozwiązując zadania algebraiczne”. Problemy często przedstawiano w formie poetyckiej.
Różne równania, zarówno kwadratowe, jak i równania wyższego stopnia, rozwiązywali nasi odlegli przodkowie. Równania te zostały rozwiązane w bardzo różnych i odległych krajach. Potrzeba równań była ogromna. Równania stosowano w budownictwie, w sprawach wojskowych i w sytuacjach codziennych.
Rozdział 2. Równania kwadratowe i równania wyższego rzędu
2.1 Podstawowe pojęcia
Równanie kwadratowe jest równaniem postaci
gdzie współczynniki a, b, c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, a a ≠ 0.
Równanie kwadratowe nazywa się zredukowanym, jeśli jego współczynnik wiodący wynosi 1.
Przykład :
x 2 + 2 x + 6 = 0.
Równanie kwadratowe nazywa się nieredukowanym, jeśli współczynnik wiodący jest różny od 1.
Przykład :
2x 2 + 8x + 3 = 0.
Pełne równanie kwadratowe to równanie kwadratowe, w którym występują wszystkie trzy wyrazy, innymi słowy jest to równanie, w którym współczynniki b i c są niezerowe.
Przykład :
3x 2 + 4x + 2 = 0.
Niepełne równanie kwadratowe to równanie kwadratowe, w którym co najmniej jeden współczynnik b, c jest równy zero.
Zatem istnieją trzy typy niepełnych równań kwadratowych:
1) ax² = 0 (ma dwa zbieżne pierwiastki x = 0).
2) ax² + bx = 0 (ma dwa pierwiastki x 1 = 0 i x 2 = -)
Przykład :
x 1 = 0, x 2 = -5.
Odpowiedź: x 1 = 0, x 2 = -5.
Jeśli -<0 - уравнение не имеет корней.
Przykład :
Odpowiedź: Równanie nie ma pierwiastków.
Jeśli –> 0, to x 1,2 = ±
Przykład :
Odpowiedź: x 1,2 =±
Każde równanie kwadratowe można rozwiązać za pomocą dyskryminatora (b² - 4ac). Zwykle wyrażenie b² - 4ac jest oznaczone literą D i nazywane jest dyskryminatorem równania kwadratowego ax² + bx + c = 0 (lub dyskryminatorem kwadratowego trzech wyrazów ax² + bx + c)
Przykład :
x 2 +14x – 23 = 0
re = b 2 – 4ac = 144 + 92 = 256
x 2 = 
Odpowiedź: x 1 = 1, x 2 = - 15.
W zależności od dyskryminatora równanie może mieć rozwiązanie lub nie.
1) Jeśli D< 0, то не имеет решения.
2) Jeśli D = 0, to równanie ma dwa zbieżne rozwiązania x 1,2 =
3) Jeżeli D > 0, to ma dwa rozwiązania znalezione według wzoru:
x 1,2 = 
2.2 Wzory na współczynnik parzystości przy x
Jesteśmy przyzwyczajeni do tego, że pierwiastki równania kwadratowego
ax² + bx + c = 0 można znaleźć ze wzoru
x 1,2 =
Ale matematycy nigdy nie przepuszczą okazji, aby ułatwić sobie obliczenia. Ustalili, że wzór ten można uprościć w przypadku, gdy współczynnik b wynosi b = 2k, w szczególności jeśli b jest liczbą parzystą.
W rzeczywistości niech współczynnik b równania kwadratowego ax² + bx + c = 0 będzie wynosić b = 2k. Podstawiając liczbę 2k zamiast b do naszego wzoru, otrzymujemy:
Zatem pierwiastki równania kwadratowego ax² + 2kx + c = 0 można obliczyć za pomocą wzoru:
x 1,2 = 
Przykład :
5x 2 - 2x + 1 = 0
Zaletą tego wzoru jest to, że to nie liczba b jest podnoszona do kwadratu, ale jej połowa; to nie 4ac jest odejmowane od tego kwadratu, ale po prostu ac, i w końcu w mianowniku znajduje się nie 2a, ale po prostu a; .
Jeśli podane zostanie równanie kwadratowe, wówczas nasza formuła będzie wyglądać następująco:
Przykład :
x 2 – 4x + 3 = 0
Odpowiedź: x 1 = 3, x 2 = 1.
2.3 Twierdzenie Viety
Bardzo interesującą właściwość pierwiastków równania kwadratowego odkrył francuski matematyk Francois Viète. Własność tę nazwano twierdzeniem Viety:
Zatem liczby x 1 i x 2 są pierwiastkami równania:
ax² + bx + c = 0
jest to konieczne i wystarczające, aby spełnić równość
x 1 + x 2 = -b/a i x 1 x 2 = c/a
Twierdzenie Viety pozwala nam ocenić znaki i wartość bezwzględną równania kwadratowego
x² + bx + c = 0
1. Jeśli b>0, c>0, to oba pierwiastki są ujemne.
2. Jeśli b<0, c>0, to oba pierwiastki są dodatnie.
3. Jeśli b>0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине больше положительного.
4. Jeśli b<0, c<0 то уравнение имеет корни разных знаков, причём отрицательный корень по абсолютной величине меньше положительного.
2.4 Równania kwadratowe szczególnego charakteru
1) Jeżeli a + b + c = 0 w równaniu ax² + bx + c = 0, to
x 1 = 1 i x 2 = .
Dowód :
W równaniu ax² + bx + c = 0, jego pierwiastki
x 1,2 = (1).
Przedstawmy b z równości a + b + c = 0
Podstawmy to wyrażenie do wzoru (1):
=
Jeśli rozpatrzymy osobno oba pierwiastki równania, otrzymamy:
1) x 1 = 
2) x 2 = 
Wynika stąd: x 1 = 1 i x 2 =.
1. Przykład :
2x² - 3x + 1 = 0
a = 2, b = -3, c = 1.
zatem a + b + c = 0
2. Przykład :
418x² - 1254x + 836 = 0
Przykład ten jest bardzo trudny do rozwiązania za pomocą dyskryminatora, ale znając powyższy wzór można go łatwo rozwiązać.
a = 418, b = -1254, c = 836.
x 1 = 1 x 2 = 2
2) Jeżeli a - b + c = 0, w równaniu ax² + bx + c = 0, to:
x 1 = -1 i x 2 = -.
Dowód :
Rozważmy równanie ax² + bx + c = 0, z którego wynika, że:
x 1,2 = (2).
Przedstawmy b z równości a - b + c = 0
b = a + c, podstawiamy do wzoru (2):
=
Otrzymujemy dwa wyrażenia:
1) x 1 = 
2) x 2 = 
Formuła ta jest podobna do poprzedniej, ale jest również ważna, ponieważ... Przykłady tego typu są powszechne.
1) Przykład :
2x² + 3x + 1 = 0
a = 2, b = 3, c = 1.
zatem a - b + c = 0
2)Przykład :
Odpowiedź: x 1 = -1; x 2 = -
3) Metoda „ transfery ”
Pierwiastki równań kwadratowych y² + by + ac = 0 i ax² + bx + c = 0 powiązane są następującymi zależnościami:
x 1 = i x 2 =
Dowód :
a) Rozważmy równanie ax² + bx + c = 0
x 1,2 = = 
b) Rozważmy równanie y² + by + ac = 0
y 1,2 =
Zauważ, że dyskryminatory obu rozwiązań są równe; porównajmy pierwiastki tych dwóch równań. Różnią się one od siebie czynnikiem wiodącym, pierwiastki pierwszego równania są mniejsze od pierwiastków drugiego o a. Stosując twierdzenie Viety i powyższą regułę, nie jest trudno rozwiązać różne równania.
Przykład :
Mamy dowolne równanie kwadratowe
10x² - 11x + 3 = 0
Przekształćmy to równanie zgodnie z podaną regułą
y² - 11 lat + 30 = 0
Otrzymujemy zredukowane równanie kwadratowe, które można dość łatwo rozwiązać, korzystając z twierdzenia Viety.
Niech y 1 i y 2 będą pierwiastkami równania y² - 11y + 30 = 0
y 1 y 2 = 30 y 1 = 6
r 1 + r 2 = 11 r 2 = 5
Wiedząc, że pierwiastki tych równań różnią się od siebie o a, to
x 1 = 6/10 = 0,6
x 2 = 5/10 = 0,5
W niektórych przypadkach wygodniej jest zdecydować się nie robić tego w pierwszej kolejności dane równanie ax² + bx + c = 0, a zredukowane y² + przez + ac = 0, które otrzymujemy z danego współczynnika „przeniesienia” a, a następnie dzielimy znalezione pierwiastki przez a, aby znaleźć pierwotne równanie.
2.5 Wzór Vieta na wielomiany (równania) wyższych stopni
Wzory wyprowadzone przez Viète'a na równania kwadratowe są prawdziwe także dla wielomianów wyższych stopni.
Niech wielomian
P(x) = za 0 x n + za 1 x n -1 + … + za n
Ma n różnych pierwiastków x 1, x 2..., x n.
W tym przypadku ma faktoryzację postaci:
a 0 x n + za 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)
Podzielmy obie strony tej równości przez 0 ≠ 0 i otwórzmy nawiasy w pierwszej części. Otrzymujemy równość:
x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + … + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n
Ale dwa wielomiany są identycznie równe wtedy i tylko wtedy, gdy współczynniki tych samych potęg są równe. Wynika z tego równość
x 1 + x 2 + … + x n = -
x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =
x 1 x 2 … x n = (-1) n
Na przykład dla wielomianów trzeciego stopnia
a 0 x³ + za 1 x² + za 2 x + za 3
Mamy tożsamości
x 1 + x 2 + x 3 = -
x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =
x 1 x 2 x 3 = -
Jeśli chodzi o równania kwadratowe, wzór ten nazywa się wzorami Viety. Lewe strony tych wzorów są wielomianami symetrycznymi z pierwiastków x 1, x 2 ..., x n tego równania, a prawe strony są wyrażone poprzez współczynnik wielomianu.
2.6 Równania sprowadzalne do kwadratu (dwukwadratowe)
Równania czwartego stopnia sprowadzają się do równań kwadratowych:
topór 4 + bx 2 + c = 0,
nazywany dwukwadratowym i a ≠ 0.
Wystarczy więc wstawić do tego równania x 2 = y
ay² + przez + c = 0
znajdźmy pierwiastki powstałego równania kwadratowego
y 1,2 =
Aby natychmiast znaleźć pierwiastki x 1, x 2, x 3, x 4, zamień y na x i otrzymaj
x² =
x 1,2,3,4 = 
.
Jeśli równanie czwartego stopnia ma x 1, to ma również pierwiastek x 2 = -x 1,
Jeśli ma x 3, to x 4 = - x 3. Suma pierwiastków takiego równania wynosi zero.
Przykład :
2x 4 - 9x² + 4 = 0
Podstawmy równanie do wzoru na pierwiastki równań dwukwadratowych:
x 1,2,3,4 = 
,
wiedząc, że x 1 = -x 2 i x 3 = -x 4, to:
x 3,4 = 
Odpowiedź: x 1,2 = ±2; x 1,2 =
2.7 Badanie równań dwukwadratowych
Weźmy równanie dwukwadratowe
topór 4 + bx 2 + c = 0,
gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi, a a > 0. Wprowadzając niewiadomą pomocniczą y = x², badamy pierwiastki tego równania i wyniki wpisujemy do tabeli (patrz Załącznik nr 1)
2.8 Wzór Cardano
Jeśli zastosujemy współczesną symbolikę, wyprowadzenie wzoru Cardano może wyglądać następująco:
x = 
Wzór ten określa pierwiastki ogólnego równania trzeciego stopnia:
topór 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.
Formuła ta jest bardzo uciążliwa i złożona (zawiera kilka złożonych rodników). Nie zawsze będzie to miało zastosowanie, ponieważ... bardzo trudne do wypełnienia.
2.9 Równania symetryczne trzeciego stopnia
Równania symetryczne trzeciego stopnia są równaniami postaci
ax³ + bx² +bx + a = 0 ( 1 )
ax³ + bx² - bx – a = 0 ( 2 )
gdzie aib to liczby, a a¹0.
Pokażmy, jak równanie ( 1 ).
ax³ + bx² + bx + a = a(x³ + 1) + bx(x + 1) = a(x + 1) (x² - x + 1) + bx(x + 1) = (x + 1) (ax² +(b – a)x + a).
Stwierdzamy, że równanie ( 1 ) jest równoważne równaniu
(x + 1) (ax² +(b – a)x + a) = 0.
Oznacza to, że jego pierwiastki będą pierwiastkami równania
ax² +(b – a)x + a = 0
i liczba x = -1
równanie ( 2 )
ax³ + bx² - bx - a = a(x3 - 1) + bx(x - 1) = a(x - 1) (x² + x + 1) + bx(x - 1) = (x - 1) (ax 2 + topór + a + bx) = (x - 1) (ax² +(b + a)x + a).
1) Przykład :
2x³ + 3x² - 3x – 2 = 0
Jasne jest, że x 1 = 1 i
x 2 i x 3 pierwiastki równania 2x² + 5x + 2 = 0,
Znajdźmy je poprzez dyskryminator:
x 1,2 = 
x 2 = -, x 3 = -2
2) Przykład :
5x3 + 21x2 + 21x + 5 = 0
Oczywiste jest, że x 1 = -1 i
x 2 i x 3 pierwiastki równania 5x² + 26x + 5 = 0,
Znajdźmy je poprzez dyskryminator:
x 1,2 = 
x 2 = -5, x 3 = -0,2.
2.10 Równania odwrotne
Równanie odwrotne – równanie algebraiczne
za 0 x n + za 1 x n – 1 + … + za n – 1 x + za n =0,
w którym a k = a n – k, gdzie k = 0, 1, 2 …n i a ≠ 0.
Problem znalezienia pierwiastków równania odwrotności sprowadza się do problemu znalezienia rozwiązań równania algebraicznego niższego stopnia. Termin równania odwrotne wprowadził L. Euler.
Równanie czwartego stopnia postaci:
topór 4 + bx 3 + cx 2 + bmx + am² = 0, (a ≠ 0).
Sprowadzenie tego równania do postaci
a (x² + m²/x²) + b(x + m/x) + c = 0, oraz y = x + m/x i y² - 2m = x² + m²/x²,
skąd równanie sprowadza się do kwadratu
ay² + o + (c-2 w nocy) = 0.
3x 4 + 5x 3 – 14x 2 – 10x + 12 = 0
Dzielenie go przez x 2 daje równoważne równanie
3x 2 + 5x – 14 – 5 ×, lub
Gdzie i 
3(y 2 - 4) + 5y – 14 = 0, skąd
y 1 = y 2 = -2, zatem
I skąd
Odpowiedź: x 1,2 = x 3,4 = .
Szczególnym przypadkiem równań odwrotnych są równania symetryczne. Mówiliśmy wcześniej o równaniach symetrycznych trzeciego stopnia, ale istnieją równania symetryczne czwartego stopnia.
Równania symetryczne czwartego stopnia.
1) Jeżeli m = 1, to jest to równanie symetryczne pierwszego rodzaju, mające postać
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 i rozwiązane przez nowe podstawienie
2) Jeżeli m = -1, to jest to równanie symetryczne drugiego rodzaju, mające postać
ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 i rozwiązane przez nowe podstawienie
2.11 Obwód Hornera
Do dzielenia wielomianów używa się reguły „dzielenia przez kąt”, czyli schematu Hornera . W tym celu wielomiany układa się w malejącym stopniu X i znajdź wyraz wiodący ilorazu Q(x) z warunku, że po pomnożeniu przez człon wiodący dzielnika D(x) otrzyma się wyraz wiodący dywidendy P(x). Znaleziony wyraz ilorazu jest mnożony, następnie przez dzielnik i odejmowany od dywidendy. Człon wiodący ilorazu wyznacza się na podstawie warunku, że pomnożony przez człon wiodący dzielnika daje człon wiodący wielomianu różnicowego itp. Proces trwa do momentu, aż stopień różnicy będzie mniejszy niż stopień dzielnika (patrz Załącznik nr 2).
W przypadku równań R = 0 algorytm ten zastępuje się schematem Hornera.
Przykład :
x 3 + 4x 2 + x – 6 = 0
Znajdź dzielniki wyrazu wolnego ±1; ± 2; ± 3; ± 6.
Oznaczmy lewą stronę równania przez f(x). Oczywiście f(1) = 0, x1 = 1. Podziel f(x) przez x – 1. (patrz Załącznik nr 3)
x 3 + 4x 2 + x – 6 = (x – 1) (x 2 + 5x + 6)
Ostatni czynnik oznaczamy przez Q(x). Rozwiązujemy równanie Q(x) = 0.
x 2,3 = 
Odpowiedź : 1; -2; -3.
W tym rozdziale podaliśmy kilka wzorów rozwiązywania różnych równań. Większość z tych wzorów do rozwiązywania równań cząstkowych. Własności te są bardzo wygodne, ponieważ znacznie łatwiej jest rozwiązać równania stosując oddzielny wzór na to równanie, niż stosując ogólną zasadę. Dla każdej metody przedstawiliśmy dowód i kilka przykładów.
Wniosek
W pierwszym rozdziale zbadano historię powstania równań kwadratowych i równań wyższego rzędu. Różne równania zostały rozwiązane ponad 25 wieków temu. Wiele metod rozwiązywania takich równań powstało w Babilonie w Indiach. Równania były i będą potrzebne.
W drugim rozdziale przedstawiono różne sposoby rozwiązywania (znajdowania pierwiastków) równań kwadratowych i równań wyższego rzędu. Zasadniczo są to metody rozwiązywania równań o szczególnym charakterze, to znaczy dla każdej grupy równań połączonych pewnymi wspólnymi właściwościami lub typem podana jest specjalna zasada, która ma zastosowanie tylko do tej grupy równań. Ta metoda (wybór własnego wzoru dla każdego równania) jest znacznie łatwiejsza niż znajdowanie pierwiastków za pomocą dyskryminatora.
W tym streszczeniu wszystkie cele zostały osiągnięte, a główne zadania zakończone, sprawdzone i poznane nowe, nieznane wcześniej formuły. Przepracowaliśmy wiele wariantów przykładów, zanim umieściliśmy je w abstrakcie, więc mamy już pomysł, jak rozwiązać niektóre równania. Każde rozwiązanie będzie nam przydatne w dalszych badaniach. Esej ten pomógł sklasyfikować starą wiedzę i nauczyć się nowej.
Referencje
1. Vilenkin N.Ya. „Algebra dla klasy VIII”, M., 1995.
2. Galitsky M.L. „Zbiór problemów algebry”, M. 2002.
3. Daan-Dalmedico D. „Ścieżki i labirynty”, M., 1986.
4. Zvavich L.I. „Algebra klasa 8”, M., 2002.
5. Kushnir I.A. „Równania”, Kijów 1996.
6. Savin Yu.P. „ Słownik encyklopedyczny młody matematyk”, M., 1985.
7. Mordkovich A.G. „Algebra klasa 8”, M., 2003.
8. Khudobin A.I. „Zbiór problemów algebry”, M., 1973.
9. Sharygin I.F. „Dodatkowy kurs algebry”, M., 1989.
Załącznik 1
Badanie równań dwukwadratowych
| C | B | Wnioski | ||
| Na pierwiastkach równania pomocniczego ay² +by+c=0 | O pierwiastkach tego równania a(x²)² +bx² +c=0 | |||
C< 0 |
b – dowolna liczba rzeczywista | y< 0 ; y > 01 2 |
x = ±Öy |
|
| C > 0 | B<0 | D > 0 | x = ±Öy |
|
| D=0 | y > 0 | x = ±Öy |
||
| D< 0 | Żadnych korzeni | Żadnych korzeni | ||
| b ≥ 0 | Żadnych korzeni | |||
| Żadnych korzeni | Żadnych korzeni | |||
y > 0; y< 01 2 |
x = ±Öy |
|||
| C=0 | b > 0 | y = 0 | x = 0 | |
| b = 0 | y = 0 | x = 0 | ||
| B< 0 | y = 0 | x = 0 | ||
Dodatek 2
Dzielenie wielomianu na wielomian za pomocą narożnika
| 0 | 1 | 2 | ... | jakiś | C |
| + | |||||
| b 0 do | b 1 c | … | b n-1 do | ||
| B 0 | b 1 | b 2 | … | b n | = R (reszta) |
Dodatek 3
Schemat Hornera
| Źródło | |||||
| 1 | 4 | 1 | -6 | 1 | |
| x 1 = 1 | |||||
| burzenie | 5 | 6 | 0 | ||
| 1 | 1×1 +4 = 5 | 5×1 + 1 = 6 | 6×1 – 6 = 0 | ||
| źródło | |||||
| x 1 = 1 |
Z historii równań kwadratowych Autor: uczennica IX klasy „A” Swietłana Radczenko Opiekun: Alabugina I.A. nauczyciel matematyki MBOU „Szkoła Średnia nr 5 w Guryevsku” obwód kemerowski Obszar tematyczny prezentacji: matematyka Stworzone, aby pomóc nauczycielowi Razem 20 slajdów Spis treści Wprowadzenie…………………………………………… …………… ……………3 Z historii powstania równań kwadratowych Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie………………………………….4 Równania kwadratowe w Indiach……………… …………………… …….5 Równania kwadratowe w Al-Khwarizmi……………………………………6 Jak Diofantos układał i rozwiązywał równania kwadratowe……………………… ..... 7 Równania kwadratowe w Europie XII – XVIII w.……………………………………...8 3. Równania kwadratowe współcześnie…………………………………… …………………………… .10 Metodologia badania równań kwadratowych……………………………………11 10 sposobów rozwiązywania równań kwadratowych…………………………… .12 Algorytm rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych………… ………………13 Algorytm rozwiązywania pełnych równań kwadratowych……………………..14 Rozwiązywanie zadanych równań kwadratowych……………… …………………15 4. Praktyczne zastosowanie równań kwadratowych do rozwiązywania stosowanych problemów………………………………………………………………………………… .16 5. Podsumowanie. …………………………………………………………………………………18 1. 2. 6. Wykaz wykorzystanej literatury………………… ………………… …………….19 2 Wprowadzenie Za nieszczęśliwy uznaj ten dzień lub tę godzinę, w której nie nauczyłeś się niczego nowego, nie wniosłeś nic do swojej edukacji. Jan Amos Komeński 3 Równania kwadratowe są fundamentem, na którym opiera się majestatyczny gmach algebry. Są szeroko stosowane w rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych, wykładniczych, logarytmicznych, irracjonalnych i przestępnych. Równania kwadratowe zajmują czołowe miejsce w szkolnym kursie algebry. Dużo czasu na szkolnych zajęciach z matematyki poświęca się ich nauce. Zasadniczo równania kwadratowe służą konkretnym celom praktycznym. Większość problemów dotyczących form przestrzennych i zależności ilościowych w świecie rzeczywistym sprowadza się do rozwiązywania różnego rodzaju równań, w tym równań kwadratowych. Opanowując sposoby ich rozwiązywania, ludzie znajdują odpowiedzi na różne pytania z zakresu nauki i technologii. Z historii powstania równań kwadratowych Starożytny Babilon: już około 2000 lat p.n.e. Babilończycy wiedzieli, jak rozwiązywać równania kwadratowe. Znane były metody rozwiązywania zarówno pełnych, jak i niepełnych równań kwadratowych. Na przykład w starożytnym Babilonie rozwiązano następujące równania kwadratowe: 4 Indie Problemy rozwiązywane za pomocą równań kwadratowych można znaleźć w traktacie o astronomii „Aryabhattiam”, napisanym przez indyjskiego astronoma i matematyka Aryabhattę w 499 r. n.e. Inny indyjski naukowiec, Brahmagupta, przedstawił uniwersalną zasadę rozwiązywania równania kwadratowego zredukowanego do postaci kanonicznej: ax2+bx=c; Ponadto założono, że wszystkie znajdujące się w nim współczynniki, z wyjątkiem „a”, mogą być ujemne. Zasada sformułowana przez naukowca w zasadzie pokrywa się z zasadą współczesną. 5 Równania kwadratowe Al-Khorezmiego: W traktacie algebraicznym Al-Khorezmiego podana jest klasyfikacja równań liniowych i kwadratowych. Autor wyróżnia 6 rodzajów równań, wyrażając je w następujący sposób: „Kwadraty są równe pierwiastkom”, tj. ax2 = bx.; „Kwadraty są równe liczbom”, tj. ax2 = c; „Pierwiastki są równe liczbie”, tj. ax = c; „Kwadraty i liczby są równe pierwiastkom”, tj. topór2 + c = bx; „Kwadraty i pierwiastki są równe liczbie”, tj. ax2 + bx = c; „Pierwiastki i liczby są równe kwadratom”, tj. bx + c = ax2. 6 Jak Diofantos układał i rozwiązywał równania kwadratowe: Jednym z najbardziej oryginalnych starożytnych matematyków greckich był Diofantos z Aleksandrii. Ani rok urodzenia, ani data śmierci Diofantusa nie zostały wyjaśnione; Uważa się, że żył w III wieku. OGŁOSZENIE Spośród dzieł Diofantosa najważniejsza jest Arytmetyka, z której do dziś przetrwało 13 ksiąg, tylko 6. Arytmetyka Diofantosa nie zawiera systematycznego przedstawienia algebry, zawiera jednak szereg problemów wraz z wyjaśnieniami i rozwiązywanych poprzez konstruowanie równań różnego stopnia. Układając równania, Diofant umiejętnie wybiera niewiadome, aby uprościć rozwiązanie. 7 Równania kwadratowe w Europie XII-XVII w.: Włoski matematyk Leonard Fibonacci niezależnie opracował kilka nowych algebraicznych przykładów rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie wprowadził liczby ujemne. Ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych sprowadzonych do jednej postaci kanonicznej x2 + bх = с dla wszystkich możliwych kombinacji znaków i współczynników b, c sformułował w Europie w 1544 roku Michael Stiefel. 8 François Viète Francuski matematyk F. Viète (1540-1603) wprowadził system symboli algebraicznych i rozwinął podstawy algebry elementarnej. Jako jeden z pierwszych oznaczył liczby literami, co znacząco rozwinęło teorię równań. Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego w postaci ogólnej jest dostępne u Viète, ale Viète rozpoznał tylko pierwiastki dodatnie. 9 Równania kwadratowe dzisiaj Umiejętność rozwiązywania równań kwadratowych jest podstawą rozwiązywania innych równań i ich układów. Nauka rozwiązywania równań rozpoczyna się od ich najprostszych typów, a program wyznacza stopniową kumulację obu ich typów oraz „fundusz” przekształceń identycznych i równoważnych, za pomocą których można sprowadzić dowolne równanie do najprostszego. W tym kierunku należy również rozwijać proces opracowywania uogólnionych technik rozwiązywania równań na szkolnym kursie algebry. Na kursie matematyki w szkole średniej uczniowie mają do czynienia z nowymi klasami równań, układów lub z dogłębną analizą już znanych równań. 10 Metody badania równań kwadratowych Na początku nauki systematycznego kursu algebry skupia się główna uwaga zwrócono uwagę na metody rozwiązywania równań kwadratowych, które stają się szczególnym przedmiotem badań. Temat ten charakteryzuje się dużą głębią przedstawienia i bogactwem powiązań nawiązanych za jego pomocą w nauczaniu, a także zasadnością logiczną prezentacji. Dlatego zajmuje wyjątkową pozycję w ciągu równań i nierówności. Ważnym punktem w badaniu równań kwadratowych jest rozważenie twierdzenia Viety, które stwierdza istnienie związku między pierwiastkami a współczynnikami zredukowanego równania kwadratowego. Trudność w opanowaniu twierdzenia Viety wynika z kilku okoliczności. Przede wszystkim należy wziąć pod uwagę różnicę między twierdzeniami prostymi i odwrotnymi. 11 10 sposobów rozwiązywania równań kwadratowych: Rozłożenie na czynniki lewej strony równania. Metoda wyboru całego kwadratu. Rozwiązywanie równań kwadratowych za pomocą wzoru. Rozwiązywanie równań z wykorzystaniem twierdzenia Viety. Rozwiązywanie równań metodą „rzucania”. Własności współczynników równania kwadratowego. Graficzne rozwiązanie równania kwadratowego.< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, tj. - = m, gdzie m>0, równanie x2 = m ma dwa pierwiastki Zatem niekompletne równanie kwadratowe może mieć dwa pierwiastki, jeden pierwiastek lub nie mieć pierwiastków. 13 Algorytm rozwiązywania pełnego równania kwadratowego. Są to równania w postaci ax2 + bx + c = 0, gdzie a, b, c są podanymi liczbami, a ≠ 0, x jest niewiadomą. Każde pełne równanie kwadratowe można przekształcić do postaci w celu określenia liczby pierwiastków równania kwadratowego i znalezienia tych pierwiastków. Rozważane są następujące przypadki rozwiązywania pełnych równań kwadratowych: D< 0, D = 0, D >0. 1. Jeśli D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D > 0, wówczas równanie kwadratowe ax2 + bx + c = 0 ma dwa pierwiastki, które można znaleźć za pomocą wzorów: ; 14 Rozwiązanie zredukowanych równań kwadratowych Twierdzenie F. Viety: Suma pierwiastków zredukowanego równania kwadratowego jest równa drugiemu współczynnikowi przyjętemu z przeciwnym znakiem, a iloczyn pierwiastków jest równy członowi swobodnemu. Innymi słowy, jeśli x1 i x2 są pierwiastkami równania x2 +px + q = 0, to x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Viety: Jeżeli wzory (*) obowiązują dla liczb x1, x2, p, q, to x1 i x2 są pierwiastkami równania x2 + px + q = 0. 15 Zastosowania praktyczne równań kwadratowych do rozwiązywania problemów stosowanych Bhaskar (1114-1185) – największy indyjski matematyk i astronom XII wieku. Kierował obserwatorium astronomicznym w Ujjain. Bhaskara napisał traktat „Siddhanta-shiromani” („Korona nauczania”), składający się z czterech części: „Lilavati” poświęcona jest arytmetyce, „Bizhdaganita” algebrze, „Goladhaya” sfery i „Granhaganita” teorii ruchy planet. Bhaskara uzyskał ujemne pierwiastki równań, chociaż wątpił w ich znaczenie. Jest właścicielem jednego z najwcześniejszych projektów maszyny perpetuum mobile. 16 Jeden z problemów słynnego indyjskiego matematyka z XII wieku. Bhaskara: Rozwiązanie Bhaskary pokazuje, że autor wiedział, że pierwiastki równań kwadratowych są dwuwartościowe. 17 Zakończenie Rozwój nauki o rozwiązywaniu równań kwadratowych przeszedł długą i ciernistą drogę. Dopiero po pracach Stiefela, Viety, Tartaglii, Cardano, Bombellego, Girarda, Kartezjusza i Newtona nauka rozwiązywania równań kwadratowych nabrała nowoczesnej formy. Znaczenie równań kwadratowych polega nie tylko na elegancji i zwięzłości rozwiązywania problemów, choć jest to również bardzo ważne. Równie ważne jest, aby w wyniku stosowania równań kwadratowych przy rozwiązywaniu problemów często odkrywano nowe szczegóły, można było dokonać ciekawych uogólnień i dokonać wyjaśnień, co sugeruje analiza otrzymanych wzorów i zależności. Studiując literaturę i zasoby internetowe związane z historią rozwoju równań kwadratowych, zadałem sobie pytanie: „Co motywowało naukowców żyjących w tak trudnych czasach do zajmowania się nauką, nawet pod groźbą śmierci?” Prawdopodobnie kluczem do rozwoju nauki jest przede wszystkim dociekliwość ludzkiego umysłu. Pytania o istotę Świata, o miejsce człowieka w tym świecie nieustannie dręczą myślących, dociekliwych, inteligentnych ludzi. Ludzie zawsze starali się zrozumieć siebie i swoje miejsce w świecie. Spójrz w głąb siebie, może cierpi Twoja naturalna ciekawość, bo poddałaś się codzienności i lenistwu? Losy wielu naukowców to 18 przykładów do naśladowania. Nie wszystkie nazwiska są dobrze znane i popularne. Pomyśl o tym: jaki jestem dla bliskich mi osób? Ale najważniejsze jest to, co o sobie myślę, czy zasługuję na szacunek? Pomyśl o tym... Referencje 1. Zvavich L.I. „Algebra 8. klasa”, M., 2002. 2. Savin Yu.P. „Słownik encyklopedyczny młodego matematyka”, M., 1985. 3. Yu.N. Makarychev „Algebra 8. klasa”, M, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www. ido.rudn.ru/nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index- 2427. html 19 Dziękuję za uwagę 20
Nie ma jeszcze wersji HTML dzieła.
Podobne dokumenty
Historia rozwoju wzorów na pierwiastki równań kwadratowych. Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie. Rozwiązanie równań kwadratowych przez Diofantusa. Równania kwadratowe w Indiach, Chorezmi i Europie w XIII - XVII wieku. Twierdzenie Viety, współczesna notacja algebraiczna.
test, dodano 27.11.2010
Historia równań kwadratowych: równania w starożytnym Babilonie i Indiach. Wzory na parzysty współczynnik x. Równania kwadratowe o szczególnym charakterze. Twierdzenie Viety dla wielomianów wyższych stopni. Badanie równań dwukwadratowych. Esencja formuły Cordano.
streszczenie, dodano 09.05.2009
Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego w historii matematyki. Analiza porównawcza technologie na różne sposoby rozwiązania równań drugiego stopnia, przykłady ich zastosowania. Krótka teoria rozwiązywanie równań kwadratowych, pisanie książki problemowej.
streszczenie, dodano 18.12.2012
Znaczenie matematyki w naszym życiu. Historia konta. Aktualny rozwój metod matematyki obliczeniowej. Zastosowanie matematyki w innych naukach, rola modelowania matematycznego. Stan edukacji matematycznej w Rosji.
artykuł, dodano 01.05.2010
matematyka grecka. Średniowiecze i renesans. Początek współczesnej matematyki. Nowoczesna matematyka. Matematyka nie opiera się na logice, ale na zdrowej intuicji. Problematyka podstaw matematyki ma charakter filozoficzny.
streszczenie, dodano 09.06.2006
Historia rozwoju nauk matematycznych w Europie w VI-XIV wieku, jej przedstawiciele i osiągnięcia. Rozwój matematyki w okresie renesansu. Tworzenie rachunku alfabetycznego, działalność Francois Viety. Udoskonalenia informatyki końca XVI i początku XVI wieku.
prezentacja, dodano 20.09.2015
Przegląd rozwoju matematyki europejskiej w XVII-XVIII wieku. Nierównomierny rozwój nauki europejskiej. Geometria analityczna. Tworzenie analiz matematycznych. Szkoła naukowa Leibniza. Ogólna charakterystyka nauka w XVIII w Kierunki rozwoju matematyki.
prezentacja, dodano 20.09.2015
Okres narodzin matematyki (przed VII-V wiekiem p.n.e.). Czas matematyki wielkości stałych (VII-V wiek p.n.e. – XVII wiek n.e.). Matematyka zmiennych (XVII-XIX w.). Współczesny okres rozwoju matematyki. Cechy matematyki komputerowej.
prezentacja, dodano 20.09.2015
Osiągnięcia starożytnych greckich matematyków żyjących między VI w. p.n.e. i V wiek n.e Cechy początkowego okresu rozwoju matematyki. Rola szkoły pitagorejskiej w rozwoju matematyki: Platon, Eudoksos, Zenon, Demokryt, Euklides, Archimedes, Apoloniusz.
test, dodano 17.09.2010
Historia rozwoju matematyki jako nauki. Okres matematyki elementarnej. Okres powstania matematyki wielkości zmiennych. Tworzenie geometrii analitycznej, rachunku różniczkowego i całkowego. Rozwój matematyki w Rosji w XVIII-XIX wieku.
Wiejska szkoła średnia Kopyevskaya
10 sposobów rozwiązywania równań kwadratowych
Kierownik: Patrikeeva Galina Anatolyevna,
nauczyciel matematyki
wieś Kopewo, 2007
1. Historia rozwoju równań kwadratowych
1.1 Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie
1.2 Jak Diofantos układał i rozwiązywał równania kwadratowe
1.3 Równania kwadratowe w Indiach
1.4 Równania kwadratowe al-Khorezmiego
1.5 Równania kwadratowe w Europie XIII - XVII wiek
1.6 O twierdzeniu Viety
2. Metody rozwiązywania równań kwadratowych
Wniosek
Literatura
1. Historia rozwoju równań kwadratowych
1.1 Równania kwadratowe w starożytnym Babilonie
Konieczność rozwiązywania równań nie tylko pierwszego, ale także drugiego stopnia, już w starożytności, spowodowana była koniecznością rozwiązywania problemów związanych z ustalaniem powierzchni działek oraz pracami wykopaliskowymi o charakterze wojskowym, a także podobnie jak rozwój samej astronomii i matematyki. Równania kwadratowe można było rozwiązać około 2000 roku p.n.e. mi. Babilończycy.
Korzystając ze współczesnej notacji algebraicznej, możemy powiedzieć, że w ich tekstach klinowych oprócz niekompletnych znajdują się na przykład pełne równania kwadratowe:
X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5
Zasada rozwiązywania tych równań, podana w tekstach babilońskich, zasadniczo pokrywa się ze współczesną, nie wiadomo jednak, w jaki sposób Babilończycy doszli do tej reguły. Prawie wszystkie odnalezione dotychczas teksty klinowe podają jedynie problemy z rozwiązaniami zawartymi w formie przepisów, bez wskazania, w jaki sposób je odnaleziono.
Pomimo wysokiego poziomu rozwoju algebry w Babilonie, w tekstach klinowych brakuje pojęcia liczby ujemnej i ogólnych metod rozwiązywania równań kwadratowych.
1.2 Jak Diofantos układał i rozwiązywał równania kwadratowe.
Arytmetyka Diofantosa nie zawiera systematycznego przedstawienia algebry, ale zawiera systematyczny szereg problemów, którym towarzyszą wyjaśnienia i które są rozwiązywane poprzez konstruowanie równań różnego stopnia.
Układając równania, Diofant umiejętnie wybiera niewiadome, aby uprościć rozwiązanie.
Oto na przykład jedno z jego zadań.
Problem 11.„Znajdź dwie liczby, wiedząc, że ich suma wynosi 20, a ich iloczyn wynosi 96”
Diofantus rozumuje w następujący sposób: z warunków problemu wynika, że wymagane liczby nie są równe, ponieważ gdyby były równe, ich iloczyn nie byłby równy 96, ale 100. Zatem jedna z nich będzie większa niż połowę kwoty, tj. 10 + x, drugi jest mniejszy, tj. 10-te. Różnica między nimi 2x .
Stąd równanie:
(10 + x)(10 - x) = 96
100 - x 2 = 96
x 2 - 4 = 0 (1)
Stąd x = 2. Jedna z wymaganych liczb jest równa 12 , Inny 8 . Rozwiązanie x = -2 gdyż Diofantos nie istnieje, gdyż grecka matematyka znała tylko liczby dodatnie.
Jeśli rozwiążemy ten problem, wybierając jedną z wymaganych liczb jako niewiadomą, wówczas dojdziemy do rozwiązania równania
y(20 - y) = 96,
y 2 - 20 lat + 96 = 0. (2)
Oczywiste jest, że wybierając połowę różnicy wymaganych liczb jako niewiadomą, Diofant upraszcza rozwiązanie; udaje mu się sprowadzić problem do rozwiązania niepełnego równania kwadratowego (1).
1.3 Równania kwadratowe w Indiach
Zagadnienia równań kwadratowych można znaleźć już w traktacie astronomicznym „Aryabhattiam”, opracowanym w 499 r. przez indyjskiego matematyka i astronoma Aryabhattę. Inny indyjski uczony, Brahmagupta (VII w.), przedstawił ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych zredukowanych do jednego forma kanoniczna:
aha 2 + B x = c, a > 0. (1)
W równaniu (1) współczynniki, z wyjątkiem A, może być również ujemna. Reguła Brahmagupty jest zasadniczo taka sama jak nasza.
W starożytnych Indiach powszechne były publiczne konkursy w rozwiązywaniu trudnych problemów. Jedna ze starych indyjskich ksiąg tak mówi o takich konkursach: „Jak słońce swym blaskiem przyćmiewa gwiazdy, tak uczony przyćmi chwałę drugiego na zgromadzeniach publicznych, proponując i rozwiązując zadania algebraiczne”. Problemy często przedstawiano w formie poetyckiej.
Jest to jeden z problemów słynnego indyjskiego matematyka z XII wieku. Bhaskars.
Problem 13.
„Stado rozbrykanych małp i dwanaście wzdłuż winorośli...
Władze po zjedzeniu dobrze się bawiły. Zaczęli skakać, wieszać się...
Są ich na placu, część ósma. Ile było małp?
Bawiłem się na polanie. Powiedz mi, w tej paczce?
Rozwiązanie Bhaskary wskazuje, że wiedział on, że pierwiastki równań kwadratowych są dwuwartościowe (ryc. 3).
Równanie odpowiadające problemowi 13 to:
( X /8) 2 + 12 = X
Bhaskara pisze pod przykrywką:
x 2 - 64x = -768
i aby uzupełnić lewą stronę tego równania do kwadratu, dodaje się do obu stron 32 2 , następnie otrzymanie:
x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,
(x - 32) 2 = 256,
x - 32 = ± 16,
x 1 = 16, x 2 = 48.
1.4 Równania kwadratowe w al - Khorezmi
W traktacie algebraicznym al-Khorezmiego podana jest klasyfikacja równań liniowych i kwadratowych. Autor wyróżnia 6 rodzajów równań, wyrażając je w następujący sposób:
1) „Kwadraty są równe pierwiastkom”, tj. topór 2 + c = B X.
2) „Kwadraty są równe liczbom”, tj. topór 2 = ok.
3) „Pierwiastki są równe liczbie”, tj. ah = s.
4) „Kwadraty i liczby są równe pierwiastkom”, tj. topór 2 + c = B X.
5) „Kwadraty i pierwiastki są równe liczbom”, tj. aha 2 + bx = s.
6) „Pierwiastki i liczby są równe kwadratom”, tj. bx + do = topór 2 .
Dla al-Khorezmiego, który unikał stosowania liczb ujemnych, wyrazy każdego z tych równań są dodawane, a nie odejmowane. W tym przypadku równania, które nie mają rozwiązań dodatnich, oczywiście nie są brane pod uwagę. Autor podaje metody rozwiązywania tych równań wykorzystując techniki al-jabra i al-muqabala. Jego decyzje oczywiście nie są całkowicie zbieżne z naszymi. Nie wspominając, że jest to czysto retoryczne, należy zauważyć na przykład, że przy rozwiązywaniu niepełnego równania kwadratowego pierwszego typu
al-Khorezmi, jak wszyscy matematycy przed XVII wiekiem, nie bierze pod uwagę rozwiązania zerowego, prawdopodobnie dlatego, że w konkretnych problemach praktycznych nie ma to znaczenia. Przy rozwiązywaniu pełnych równań kwadratowych al-Khorezmi określa zasady ich rozwiązywania na podstawie konkretnych przykładów numerycznych, a następnie dowodów geometrycznych.
Problem 14.„Kwadrat i liczba 21 są równe 10 pierwiastkom. Znajdź korzeń” (co oznacza pierwiastek równania x 2 + 21 = 10x).
Rozwiązanie autora wygląda mniej więcej tak: podziel liczbę pierwiastków na pół, otrzymasz 5, pomnóż 5 przez siebie, odejmij 21 od iloczynu, zostanie 4. Weź pierwiastek z 4, otrzymasz 2. Odejmij 2 od 5 , otrzymasz 3, będzie to pożądany korzeń. Lub dodaj 2 do 5, co daje 7, to także jest pierwiastek.
Traktat al-Khorezmi jest pierwszą książką, która do nas dotarła, która systematycznie określa klasyfikację równań kwadratowych i podaje wzory na ich rozwiązanie.
1.5 Równania kwadratowe w Europie XIII - XVII nocleg ze śniadaniem
Wzory rozwiązywania równań kwadratowych na wzór al-Khorezmiego w Europie zostały po raz pierwszy przedstawione w Księdze liczydła, napisanej w 1202 roku przez włoskiego matematyka Leonarda Fibonacciego. To obszerne dzieło, odzwierciedlające wpływ matematyki zarówno z krajów islamu, jak i starożytnej Grecji, wyróżnia się zarówno kompletnością, jak i przejrzystością prezentacji. Autor samodzielnie opracował kilka nowych algebraicznych przykładów rozwiązywania problemów i jako pierwszy w Europie podszedł do wprowadzenia liczb ujemnych. Jego książka przyczyniła się do szerzenia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich. Wiele problemów z Księgi liczydła wykorzystano w prawie wszystkich podręcznikach europejskich XVI-XVII wieku. i częściowo XVIII.
Ogólna zasada rozwiązywania równań kwadratowych zredukowana do jednej postaci kanonicznej:
x2+ bx = c,
dla wszystkich możliwych kombinacji znaków współczynników B , Z została sformułowana w Europie dopiero w 1544 roku przez M. Stiefela.
Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego w postaci ogólnej jest dostępne u Viète, ale Viète rozpoznał tylko pierwiastki dodatnie. Włoscy matematycy Tartaglia, Cardano, Bombelli byli jednymi z pierwszych w XVI wieku. Oprócz pozytywnych, brane są pod uwagę również pierwiastki negatywne. Dopiero w XVII w. Dzięki pracom Girarda, Kartezjusza, Newtona i innych naukowców metoda rozwiązywania równań kwadratowych nabiera nowoczesnej formy.
1.6 O twierdzeniu Viety
Twierdzenie wyrażające związek współczynników równania kwadratowego z jego pierwiastkami, nazwane na cześć Viety, zostało przez niego po raz pierwszy sformułowane w 1591 r. w następujący sposób: „Jeśli B + D, pomnożone przez A - A 2 , równa się BD, To A równa się W i równe D ».
Aby zrozumieć Vietę, powinniśmy o tym pamiętać A, jak każda litera samogłoskowa, oznaczało nieznane (nasz X), samogłoski W, D- współczynniki dla niewiadomych. W języku współczesnej algebry powyższe sformułowanie Vieta oznacza: jeśli istnieje
(+ B )x - x 2 = ok ,
x 2 - (a + B )x + a B = 0,
x 1 = a, x 2 = B .
Wyrażając związek pierwiastków i współczynników równań ze wzorami ogólnymi zapisanymi za pomocą symboli, Viète ustalił jednolitość metod rozwiązywania równań. Jednak symbolika Viet jest wciąż daleka od nowoczesny wygląd. Nie rozpoznawał liczb ujemnych, dlatego przy rozwiązywaniu równań brał pod uwagę tylko przypadki, w których wszystkie pierwiastki były dodatnie.
2. Metody rozwiązywania równań kwadratowych
Równania kwadratowe są podstawą, na której opiera się majestatyczny gmach algebry. Równania kwadratowe są szeroko stosowane w rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych, wykładniczych, logarytmicznych, niewymiernych i przestępnych. Wszyscy wiemy, jak rozwiązywać równania kwadratowe od szkoły (8 klasa) aż do ukończenia szkoły.