Równanie parabole Jest funkcja kwadratowa. Istnieje kilka możliwości skonstruowania tego równania. Wszystko zależy od tego, jakie parametry zostaną przedstawione w opisie problemu.

Instrukcje

Parabola to krzywa przypominająca kształtem łuk i będąca wykresem funkcja mocy. Niezależnie od cech paraboli, ta jest parzysta. Taka funkcja nazywa się parzystą; dla wszystkich wartości argumentu z definicji, gdy zmienia się znak argumentu, wartość się nie zmienia: f (-x) = f (x) Zacznij od najprostszej funkcji: y = x^2. Z jego wyglądu możemy wywnioskować, że jest on zarówno pozytywny, jak i negatywny wartości ujemne argument x. Za punkt uważa się punkt, w którym x=0 i jednocześnie y=0.

Poniżej znajdują się wszystkie główne opcje konstruowania tej funkcji i jej . Jako pierwszy przykład rozważymy poniżej funkcję o postaci: f(x)=x^2+a, gdzie a jest liczbą całkowitą. Aby skonstruować wykres tej funkcji, konieczne jest przesunięcie wykresu funkcja f(x) przez jednostki. Przykładem jest funkcja y=x^2+3, gdzie wzdłuż osi y funkcja jest przesunięta o dwie jednostki. Jeśli podana jest funkcja o przeciwnym znaku, np. y=x^2-3, to jej wykres przesuwa się w dół wzdłuż osi y.

Innym rodzajem funkcji, której można przedstawić parabolę, jest f(x)=(x +a)^2. W takich przypadkach wykres przesuwa się wzdłuż osi odciętej (oś x) o jednostkę. Na przykład możemy rozważyć funkcje: y=(x +4)^2 i y=(x-4)^2. W pierwszym przypadku, gdy występuje funkcja ze znakiem plus, wykres przesuwa się wzdłuż osi x w lewo, a w drugim przypadku - w prawo. Wszystkie te przypadki pokazano na rysunku.

Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt w w tym kierunku. Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty. Kąt pomiędzy dwiema liniami prostymi. Warunek równoległości i prostopadłości dwóch prostych. Wyznaczanie punktu przecięcia dwóch prostych

1. Równanie prostej przechodzącej przez dany punkt A(X 1 , y 1) w danym kierunku określonym przez nachylenie k,

y - y 1 = k(X - X 1). (1)

Równanie to definiuje ołówek linii przechodzących przez punkt A(X 1 , y 1), który nazywany jest środkiem belki.

2. Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty: A(X 1 , y 1) i B(X 2 , y 2), napisane w ten sposób:

Współczynnik kątowy prostej przechodzącej przez dwa dane punkty określa wzór

3. Kąt pomiędzy liniami prostymi A I B jest kątem, o który należy obrócić pierwszą prostą A wokół punktu przecięcia tych linii w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, aż zbiegnie się z drugą linią B. Jeśli dwie linie są dane przez równania o nachyleniu

y = k 1 X + B 1 ,

Niech zostaną podane dwa punkty M 1 (x 1, y 1) I M 2 (x 2, y 2). Zapiszmy równanie prostej w postaci (5), gdzie k wciąż nieznany współczynnik:

Od tego momentu M 2 należy do danej prostej, to jej współrzędne spełniają równanie (5): . Wyrażając stąd i podstawiając je do równania (5), otrzymujemy wymagane równanie:

Jeśli równanie to można przepisać w formie wygodniejszej do zapamiętania:

(6)

Przykład. Zapisz równanie linii prostej przechodzącej przez punkty M 1 (1,2) i M 2 (-2,3)

Rozwiązanie. . Korzystając z właściwości proporcji i wykonując niezbędne przekształcenia, otrzymujemy równanie ogólne bezpośredni:

Kąt między dwiema prostymi

Rozważmy dwie linie proste l 1 I l 2:

l 1: , , I

l 2: , ,

φ jest kątem między nimi (). Z ryc. 4 jasno wynika: .

Stąd , Lub

Korzystając ze wzoru (7) można wyznaczyć jeden z kątów pomiędzy prostymi. Drugi kąt jest równy .

Przykład. Dwie proste wyznaczają równania y=2x+3 i y=-3x+2. znajdź kąt między tymi liniami.

Rozwiązanie. Z równań jasno wynika, że ​​k 1 =2 i k 2 = -3. Podstawiając te wartości do wzoru (7), znajdujemy

. Zatem kąt między tymi liniami jest równy .

Warunki równoległości i prostopadłości dwóch prostych

Jeśli prosto l 1 I l 2 są zatem równoległe φ=0 I tgφ=0. ze wzoru (7) wynika, że ​​, skąd k 2 = k 1. Zatem warunkiem równoległości dwóch prostych jest równość ich współczynników kątowych.

Jeśli prosto l 1 I l 2 są wówczas prostopadłe φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 . . Zatem warunkiem prostopadłości dwóch prostych jest to, że ich współczynniki kątowe są odwrotne co do wielkości i mają przeciwny znak.

Odległość od punktu do linii

Twierdzenie. Jeżeli dany jest punkt M(x 0, y 0), wówczas odległość do prostej Ax + Bу + C = 0 określa się jako

Dowód. Niech punkt M 1 (x 1, y 1) będzie podstawą prostopadłej spuszczonej z punktu M na daną prostą. Następnie odległość między punktami M i M 1:

Współrzędne x 1 i y 1 można znaleźć rozwiązując układ równań:

Drugie równanie układu jest równaniem prostej przechodzącej przez dany punkt M 0 prostopadle do danej prostej.

Jeśli przekształcimy pierwsze równanie układu do postaci:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

następnie rozwiązując otrzymujemy:

Podstawiając te wyrażenia do równania (1), otrzymujemy:

Twierdzenie zostało udowodnione.

Przykład. Określ kąt między liniami: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k1 = -3; k 2 = 2 tanj= ; j = p/4.

Przykład. Pokaż, że proste 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 są prostopadłe.

Znajdujemy: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dlatego linie są prostopadłe.

Przykład. Dane są wierzchołki trójkąta A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Znajdź równanie wysokości narysowanej z wierzchołka C.

Znajdujemy równanie boku AB: ; 4x = 6 lat – 6;

2x – 3 lata + 3 = 0;

Wymagane równanie wysokości ma postać: Ax + By + C = 0 lub y = kx + b.

k= . Wtedy y = . Ponieważ wysokość przechodzi przez punkt C, wówczas jego współrzędne spełniają równanie: skąd b = 17. Razem: .

Odpowiedź: 3x + 2y – 34 = 0.

Odległość punktu od prostej wyznacza się na podstawie długości prostopadłej poprowadzonej od punktu do prostej.

Jeśli linia jest równoległa do płaszczyzny projekcji (h | | P 1), a następnie w celu określenia odległości od punktu A do linii prostej H konieczne jest obniżenie prostopadłości od punktu A do poziomu H.

Rozważmy więcej złożony przykład, kiedy przebiega linia prosta ogólne stanowisko. Niech konieczne będzie określenie odległości od punktu M do linii prostej A ogólne stanowisko.

Zadanie determinacyjne odległości między liniami równoległymi rozwiązuje się podobnie jak poprzednio. Punkt jest brany z jednej linii i prostopadła jest przenoszona z niego na inną linię. Długość prostopadłej jest równa odległości między liniami równoległymi.

Krzywa drugiego rzędu jest linią określoną równaniem drugiego stopnia względem aktualnych współrzędnych kartezjańskich. W ogólnym przypadku Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

gdzie A, B, C, D, E, F są liczbami rzeczywistymi i co najmniej jedną z liczb A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Koło

Centrum koła– jest to miejsce geometryczne punktów płaszczyzny równoodległych od punktu płaszczyzny C(a,b).

Okrąg jest dany za pomocą następującego równania:

Gdzie x,y są współrzędnymi dowolnego punktu na okręgu, R jest promieniem okręgu.

Znak równania okręgu

1. Brakuje wyrazu z x, y

2. Współczynniki dla x 2 i y 2 są równe

Elipsa

Elipsa nazywa się geometrycznym miejscem punktów na płaszczyźnie, suma odległości każdego z nich od dwóch danych punktów tej płaszczyzny nazywa się ogniskami (wartość stała).

Równanie kanoniczne elipsy:

X i y należą do elipsy.

a – półoś wielka elipsy

b – półoś mała elipsy

Elipsa ma 2 osie symetrii OX i OU. Osie symetrii elipsy są jej osiami, a punkt ich przecięcia jest środkiem elipsy. Nazywa się oś, na której znajdują się ogniska oś ogniskowa. Punkt przecięcia elipsy z osiami jest wierzchołkiem elipsy.

Współczynnik ściskania (rozciągania): ε = s/a– mimośród (charakteryzuje kształt elipsy), im jest mniejszy, tym mniej elipsa jest rozciągnięta wzdłuż osi ogniskowej.

Jeżeli środki elipsy nie znajdują się w środku C(α, β)

Hiperbola

Hiperbola nazywa się geometrycznym miejscem punktów na płaszczyźnie, bezwzględną wartością różnicy odległości, z których każdy z dwóch danych punktów tej płaszczyzny, zwanych ogniskami, jest wartością stałą, różną od zera.

Równanie kanoniczne hiperboli

Hiperbola ma 2 osie symetrii:

a – rzeczywista półoś symetrii

b – urojona półoś symetrii

Asymptoty hiperboli:

Parabola

Parabola jest zbiorem punktów na płaszczyźnie równoodległych od danego punktu F, zwanego ogniskiem, i danej linii prostej, zwanej kierownicą.

Równanie kanoniczne paraboli:

У 2 =2рх, gdzie р jest odległością ogniska od kierownicy (parabola paraboli)

Jeżeli wierzchołek paraboli to C (α, β), to równanie paraboli (y-β) 2 = 2р(x-α)

Jeżeli za oś rzędnych przyjmiemy oś ogniskową, wówczas równanie paraboli przyjmie postać: x 2 =2qу

Równanie prostej na płaszczyźnie.
Wektor kierunku jest prosty. Normalny wektor

Linia prosta na płaszczyźnie jest jedną z najprostszych kształty geometryczne, znane Ci od klasy młodsze, a dzisiaj dowiemy się, jak sobie z tym poradzić, korzystając z metod geometrii analitycznej. Aby opanować materiał, musisz umieć zbudować linię prostą; wie, jakie równanie definiuje linię prostą, w szczególności linię prostą przechodzącą przez początek współrzędnych oraz linie proste równoległe do osi współrzędnych. Ta informacja można znaleźć w instrukcji Wykresy i własności funkcji elementarnych, stworzyłem go dla Mathana, ale sekcja dotycząca funkcji liniowej okazała się bardzo udana i szczegółowa. Dlatego drogie czajniki rozgrzejcie się najpierw tam. Poza tym trzeba mieć podstawową wiedzę nt wektory, w przeciwnym razie zrozumienie materiału będzie niepełne.

NA tę lekcję Przyjrzymy się sposobom utworzenia równania linii prostej na płaszczyźnie. Polecam nie zaniedbywać praktycznych przykładów (nawet jeśli wydaje się to bardzo proste), ponieważ przedstawię je elementarne i ważne fakty, metody techniczne, które będą wymagane w przyszłości, także w innych działach matematyki wyższej.

• Jak napisać równanie prostej ze współczynnikiem kąta?
• Jak ?
• Jak znaleźć wektor kierunku, korzystając z ogólnego równania linii prostej?
• Jak napisać równanie prostej, mając punkt i wektor normalny?

i zaczynamy:

Równanie prostej ze spadkiem

Nazywa się dobrze znaną „szkolną” postać równania linii prostej równanie prostej ze spadkiem. Na przykład, jeśli równanie podaje linię prostą, to jest nachylenie: . Rozważmy znaczenie geometryczne tego współczynnika i jak jego wartość wpływa na położenie linii:

Udowodniono to na kursie geometrii nachylenie prostej jest równe tangens kąta pomiędzy dodatnim kierunkiem osii ta linia: , a kąt „odkręca się” w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Aby nie zaśmiecać rysunku, narysowałem kąty tylko dla dwóch prostych. Rozważmy „czerwoną” linię i jej nachylenie. Zgodnie z powyższym: (kąt „alfa” jest oznaczony zielonym łukiem). Dla „niebieskiej” prostej ze współczynnikiem kąta równość jest prawdziwa (kąt „beta” jest oznaczony brązowym łukiem). A jeśli znana jest tangens kąta, w razie potrzeby łatwo ją znaleźć i sam kącik używając funkcja odwrotna– arcustangens. Jak mówią, tabela trygonometryczna lub mikrokalkulator w twoich rękach. Zatem, współczynnik kątowy charakteryzuje stopień nachylenia linii prostej do osi odciętej.

Możliwe są następujące przypadki:

1) Jeśli nachylenie jest ujemne: wówczas linia, z grubsza mówiąc, biegnie od góry do dołu. Przykładami są „niebieskie” i „malinowe” linie proste na rysunku.

2) Jeśli nachylenie jest dodatnie: linia biegnie od dołu do góry. Przykłady - „czarne” i „czerwone” linie proste na rysunku.

3) Jeżeli nachylenie wynosi zero: , to równanie przyjmuje postać , a odpowiadająca mu prosta jest równoległa do osi. Przykładem jest „żółta” linia prosta.

4) Dla rodziny linii równoległych do osi (na rysunku nie ma przykładu poza samą osią) współczynnik kątowy nie istnieje (styczna do 90 stopni nie jest zdefiniowana).

Im większy współczynnik nachylenia w wartości bezwzględnej, tym bardziej stromy jest wykres liniowy..

Rozważmy na przykład dwie linie proste. Tutaj zatem linia prosta ma bardziej strome nachylenie. Przypominam, że moduł pozwala zignorować znak, który nas interesuje wartości bezwzględne współczynniki kątowe.

Z kolei linia prosta jest bardziej stroma niż linie proste .

I odwrotnie: im mniejszy współczynnik nachylenia w wartości bezwzględnej, tym bardziej płaska jest linia prosta.

Dla linii prostych nierówność jest prawdziwa, zatem linia prosta jest bardziej płaska. Zjeżdżalnia dla dzieci, aby nie zrobić sobie siniaków i guzów.

Dlaczego jest to konieczne?

Przedłuż swoją mękę Znajomość powyższych faktów pozwala od razu dostrzec swoje błędy, zwłaszcza błędy przy konstruowaniu wykresów – jeśli na rysunku okaże się „najwyraźniej coś jest nie tak”. Wskazane jest, abyś ty od razu było jasne, że np. linia prosta jest bardzo stroma i biegnie od dołu do góry, a linia prosta jest bardzo płaska, dociśnięta blisko osi i biegnie od góry do dołu.

W problemach geometrycznych często pojawia się kilka linii prostych, dlatego wygodnie jest je w jakiś sposób wyznaczyć.

Oznaczenia: linie proste oznaczono małymi literami łacińskimi: . Popularną opcją jest oznaczanie ich tą samą literą z naturalnymi indeksami dolnymi. Na przykład pięć linii, które właśnie sprawdziliśmy, można oznaczyć przez .

Ponieważ każda linia prosta jest jednoznacznie określona przez dwa punkty, można ją oznaczyć za pomocą tych punktów: itp. Oznaczenie wyraźnie sugeruje, że punkty należą do linii.

Czas się trochę rozgrzać:

Jak napisać równanie prostej ze współczynnikiem kąta?

Jeżeli znany jest punkt należący do danej prostej oraz współczynnik kątowy tej prostej, to równanie tej prostej wyraża się wzorem:

Przykład 1

Napisz równanie prostej o nachyleniu, jeżeli wiadomo, że punkt należy do danej prostej.

Rozwiązanie: Ułóżmy równanie prostej korzystając ze wzoru . W w tym przypadku:

Odpowiedź:

Badanie robi się to prosto. Najpierw patrzymy na wynikowe równanie i upewniamy się, że nasze nachylenie jest na swoim miejscu. Po drugie, współrzędne punktu muszą spełniać to równanie. Podstawmy je do równania:

Otrzymuje się poprawną równość, co oznacza, że ​​punkt spełnia otrzymane równanie.

Wniosek: Równanie zostało znalezione poprawnie.

Bardziej skomplikowany przykład do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 2

Napisz równanie prostej, jeśli wiadomo, że jej kąt nachylenia do dodatniego kierunku osi wynosi , a punkt należy do tej prostej.

W razie trudności przeczytaj ponownie materiał teoretyczny. Dokładniej, bardziej praktycznie, pomijam wiele dowodów.

Zadzwoniło ostatni telefon, impreza maturalna ucichła, a za bramami naszej rodzimej szkoły czeka na nas sama geometria analityczna. Skończyły się żarty... A może dopiero zaczynają =)

Z nostalgią machamy piórem do znajomych i zapoznajemy się z ogólnym równaniem linii prostej. Ponieważ w geometrii analitycznej dokładnie to się stosuje:

Ogólne równanie prostej ma postać: , gdzie są pewne liczby. Jednocześnie współczynniki jednocześnie nie są równe zeru, ponieważ równanie traci sens.

Ubierzmy się w garnitur i powiążmy równanie ze współczynnikiem nachylenia. Najpierw przesuńmy wszystkie terminy na lewą stronę:

Termin z „X” należy umieścić na pierwszym miejscu:

W zasadzie równanie ma już postać , ale zgodnie z zasadami etykiety matematycznej współczynnik pierwszego wyrazu (w tym przypadku) musi być dodatni. Zmiana znaków:

Zapamiętaj tę funkcję techniczną! Sprawiamy, że pierwszy współczynnik (najczęściej) jest dodatni!

W geometrii analitycznej równanie prostej będzie prawie zawsze podane forma ogólna. Cóż, jeśli to konieczne, można to łatwo sprowadzić do postaci „szkolnej” ze współczynnikiem kątowym (z wyjątkiem linii prostych równoległych do osi rzędnych).

Zadajmy sobie pytanie co wystarczająco umiesz konstruować linię prostą? Dwa punkty. Ale o tym incydencie z dzieciństwa później, teraz trzymamy się zasady strzałek. Każda linia prosta ma bardzo specyficzne nachylenie, do którego łatwo się „dostosować”. wektor.

Wektor równoległy do ​​prostej nazywany jest wektorem kierunkowym tej prostej. Jest oczywiste, że każda linia prosta ma nieskończoną liczbę wektorów kierunkowych i wszystkie będą współliniowe (współkierunkowe lub nie – to nie ma znaczenia).

Oznaczę wektor kierunkowy następująco: .

Ale jeden wektor nie wystarczy, aby zbudować linię prostą; wektor jest swobodny i nie jest powiązany z żadnym punktem na płaszczyźnie. Dlatego dodatkowo konieczna jest znajomość jakiegoś punktu należącego do prostej.

Jak napisać równanie prostej za pomocą punktu i wektora kierunku?

Jeżeli znany jest pewien punkt należący do prostej oraz wektor kierunkowy tej prostej, to równanie tej prostej można ułożyć ze wzoru:

Czasem się to nazywa równanie kanoniczne prostej .

Co zrobić, kiedy jedna ze współrzędnych jest równa zeru, zrozumiemy to na praktycznych przykładach poniżej. Swoją drogą, uwaga - oba na raz współrzędne nie mogą być równe zeru, ponieważ wektor zerowy nie określa określonego kierunku.

Przykład 3

Napisz równanie prostej, używając punktu i wektora kierunku

Rozwiązanie: Ułóżmy równanie prostej, korzystając ze wzoru. W tym przypadku:

Korzystając z właściwości proporcji pozbywamy się ułamków:

I doprowadzamy równanie do ogólny wygląd:

Odpowiedź:

Z reguły w takich przykładach nie ma potrzeby rysowania, ale dla zrozumienia:

Na rysunku widzimy punkt początkowy, pierwotny wektor kierunku (można go wykreślić z dowolnego punktu na płaszczyźnie) oraz skonstruowaną linię prostą. Nawiasem mówiąc, w wielu przypadkach najwygodniej jest skonstruować linię prostą za pomocą równania ze współczynnikiem kątowym. Łatwo jest przekształcić nasze równanie w formę i łatwo wybrać inny punkt, aby skonstruować linię prostą.

Jak zauważono na początku akapitu, linia prosta ma nieskończoną liczbę wektorów kierunkowych i wszystkie są współliniowe. Na przykład narysowałem trzy takie wektory: . Niezależnie od tego, jaki wektor kierunkowy wybierzemy, wynikiem zawsze będzie to samo równanie linii prostej.

Utwórzmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku:

Rozwiązanie proporcji:

Podziel obie strony przez –2 i uzyskaj znajome równanie:

Zainteresowani mogą w ten sam sposób testować wektory lub dowolny inny wektor współliniowy.

Teraz rozwiążmy problem odwrotny:

Jak znaleźć wektor kierunku, korzystając z ogólnego równania linii prostej?

Bardzo proste:

Jeżeli prostą wyznacza równanie ogólne w prostokątnym układzie współrzędnych, to wektor jest wektorem kierunkowym tej prostej.

Przykłady znajdowania wektorów kierunkowych linii prostych:

To stwierdzenie pozwala nam znaleźć tylko jeden wektor kierunkowy z nieskończonej liczby, ale nie potrzebujemy więcej. Chociaż w niektórych przypadkach wskazane jest zmniejszenie współrzędnych wektorów kierunkowych:

Zatem równanie określa linię prostą równoległą do osi, a współrzędne powstałego wektora kierunkowego wygodnie dzieli się przez –2, uzyskując dokładnie wektor bazowy jako wektor kierunkowy. Logiczny.

Podobnie równanie określa linię prostą równoległą do osi i dzieląc współrzędne wektora przez 5, otrzymujemy wektor jednostkowy jako wektor kierunkowy.

Teraz zróbmy to sprawdzenie Przykładu 3. Przykład poszedł, więc przypominam, że w nim skompilowaliśmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku

Po pierwsze, korzystając z równania prostej rekonstruujemy jej wektor kierunkowy: – wszystko jest w porządku, otrzymaliśmy wektor pierwotny (w niektórych przypadkach wynikiem może być wektor współliniowy z pierwotnym, co zwykle łatwo zauważyć po proporcjonalności odpowiednich współrzędnych).

Po drugie, współrzędne punktu muszą spełniać równanie. Podstawiamy je do równania:

Uzyskano prawidłową równość, z czego bardzo się cieszymy.

Wniosek: Zadanie zostało wykonane poprawnie.

Przykład 4

Napisz równanie prostej, używając punktu i wektora kierunku

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji. Zdecydowanie zaleca się sprawdzenie przy użyciu właśnie omówionego algorytmu. Staraj się zawsze (jeśli to możliwe) sprawdzać wersję roboczą. Głupotą jest popełnianie błędów, których można w 100% uniknąć.

W przypadku, gdy jedna ze współrzędnych wektora kierunku wynosi zero, należy postępować bardzo prosto:

Przykład 5

Rozwiązanie: Wzór nie jest odpowiedni, ponieważ mianownik po prawej stronie wynosi zero. Jest wyjście! Korzystając z właściwości proporcji, przepisujemy formułę w postaci, a resztę toczymy po głębokiej koleinie:

Odpowiedź:

Badanie:

1) Przywróć wektor kierunkowy linii prostej:
– otrzymany wektor jest współliniowy z pierwotnym wektorem kierunku.

2) Podstaw współrzędne punktu do równania:

Otrzymuje się poprawną równość

Wniosek: zadanie wykonane poprawnie

Powstaje pytanie, po co zawracać sobie głowę formułą, skoro istnieje wersja uniwersalna, która sprawdzi się w każdym przypadku? Są dwa powody. Po pierwsze, formuła ma postać ułamka dużo lepiej zapamiętany. Po drugie, wadą uniwersalnej formuły jest to ryzyko pomyłki znacznie wzrasta podczas zastępowania współrzędnych.

Przykład 6

Napisz równanie prostej, używając punktu i wektora kierunku.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie.

Wróćmy do wszechobecnych dwóch punktów:

Jak napisać równanie prostej wykorzystując dwa punkty?

Jeżeli znane są dwa punkty, to równanie prostej przechodzącej przez te punkty można ułożyć ze wzoru:

W rzeczywistości jest to rodzaj wzoru i oto dlaczego: jeśli znane są dwa punkty, to wektor będzie wektorem kierunku danej prostej. W klasie Wektory dla manekinów rozważaliśmy najprostsze zadanie– jak znaleźć współrzędne wektora z dwóch punktów. Zgodnie z tym problemem współrzędne wektora kierunku to:

Notatka : punkty można „zamienić” i zastosować formułę . Takie rozwiązanie będzie równoważne.

Przykład 7

Napisz równanie prostej, korzystając z dwóch punktów .

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru:

Łączenie mianowników:

I przetasuj talię:

Nadszedł czas, aby pozbyć się liczb ułamkowych. W takim przypadku musisz pomnożyć obie strony przez 6:

Otwórz nawiasy i przypomnij sobie równanie:

Odpowiedź:

Badanie jest oczywiste – współrzędne punktów początkowych muszą spełniać otrzymane równanie:

1) Zastąp współrzędne punktu:

Prawdziwa równość.

2) Zastąp współrzędne punktu:

Prawdziwa równość.

Wniosek: Równanie prostej jest zapisane poprawnie.

Jeśli przynajmniej jeden punktów nie spełnia równania, poszukaj błędu.

Warto zaznaczyć, że weryfikacja graficzna jest w tym przypadku trudna, gdyż skonstruowanie linii prostej i sprawdzenie, czy punkty do niej należą , nie takie proste.

Zwrócę uwagę na jeszcze kilka technicznych aspektów rozwiązania. Być może w tym problemie bardziej opłaca się zastosować formułę lustrzaną i w tych samych punktach zrób równanie:

Mniej frakcji. Jeśli chcesz, możesz przeprowadzić rozwiązanie do końca, wynikiem powinno być to samo równanie.

Drugą kwestią jest spojrzenie na ostateczną odpowiedź i ustalenie, czy można ją jeszcze bardziej uprościć? Na przykład, jeśli otrzymasz równanie, warto je zmniejszyć o dwa: – równanie będzie definiować tę samą prostą. Jednak jest to już temat do rozmów względne położenie linii.

Otrzymawszy odpowiedź w przykładzie 7 na wszelki wypadek sprawdziłem, czy WSZYSTKIE współczynniki równania są podzielne przez 2, 3 lub 7. Chociaż najczęściej takich redukcji dokonuje się w trakcie rozwiązania.

Przykład 8

Napisz równanie prostej przechodzącej przez te punkty .

To przykład samodzielnego rozwiązania, które pozwoli lepiej zrozumieć i przećwiczyć techniki obliczeniowe.

Podobnie jak w poprzednim akapicie: jeśli we wzorze jeden z mianowników (współrzędna wektora kierunku) przyjmuje wartość zero, wówczas zapisujemy to w postaci . Ponownie zwróć uwagę, jak niezręcznie i zdezorientowana wygląda. Nie widzę większego sensu w podawaniu praktycznych przykładów, skoro właściwie już rozwiązaliśmy ten problem (patrz nr 5, 6).

Bezpośredni wektor normalny (wektor normalny)

Co jest normalne? W prostych słowach, normalna jest prostopadła. Oznacza to, że wektor normalny linii jest prostopadły do ​​danej linii. Oczywiście każda linia prosta ma ich nieskończoną liczbę (podobnie jak wektorów kierunkowych), a wszystkie wektory normalne linii prostej będą współliniowe (współkierunkowe lub nie, to nie ma znaczenia).

Radzenie sobie z nimi będzie jeszcze łatwiejsze niż z wektorami prowadzącymi:

Jeżeli prostą wyznacza równanie ogólne w prostokątnym układzie współrzędnych, to wektor jest wektorem normalnym tej prostej.

Jeżeli współrzędne wektora kierunkowego trzeba ostrożnie „wyciągnąć” z równania, wówczas współrzędne wektora normalnego można po prostu „usunąć”.

Wektor normalny jest zawsze prostopadły do ​​wektora kierunku linii. Sprawdźmy ortogonalność tych wektorów za pomocą produkt kropkowy:

Podam przykłady z tymi samymi równaniami, co dla wektora kierunku:

Czy można skonstruować równanie prostej, mając jeden punkt i wektor normalny? Czuję to w brzuchu, to możliwe. Jeśli znany jest wektor normalny, wówczas kierunek samej linii prostej jest jasno określony - jest to „sztywna konstrukcja” o kącie 90 stopni.

Jak napisać równanie prostej, mając punkt i wektor normalny?

Jeżeli znany jest pewien punkt należący do prostej oraz wektor normalny tej prostej, to równanie tej prostej wyraża się wzorem:

Tutaj wszystko udało się bez ułamków i innych niespodzianek. To jest nasz wektor normalny. Kochaj go. I szacunek =)

Przykład 9

Napisz równanie prostej, mając dany punkt i wektor normalny. Znajdź wektor kierunkowy linii.

Rozwiązanie: Korzystamy ze wzoru:

Otrzymaliśmy ogólne równanie prostej, sprawdźmy:

1) „Usuń” współrzędne wektora normalnego z równania: – tak, rzeczywiście z warunku otrzymano wektor pierwotny (lub należy uzyskać wektor współliniowy).

2) Sprawdźmy, czy punkt spełnia równanie:

Prawdziwa równość.

Po upewnieniu się, że równanie jest poprawnie ułożone, przystąpimy do drugiej, łatwiejszej części zadania. Wyciągamy wektor kierujący linii prostej:

Odpowiedź:

Na rysunku sytuacja wygląda następująco:

W celach szkoleniowych podobne zadanie do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 10

Napisz równanie prostej, mając dany punkt i wektor normalny. Znajdź wektor kierunkowy linii.

Ostatnia część lekcji zostanie poświęcona mniej powszechnym, ale także ważne gatunki równania prostej na płaszczyźnie

Równanie prostej w odcinkach.
Równanie prostej w postaci parametrycznej

Równanie prostej w odcinkach ma postać , gdzie są niezerowe stałe. Niektórych typów równań nie można przedstawić w tej formie, na przykład bezpośredniej proporcjonalności (ponieważ wolny wyraz jest równy zeru i nie ma możliwości uzyskania jedynki po prawej stronie).

Jest to, mówiąc w przenośni, równanie „techniczne”. Typowym zadaniem jest przedstawienie ogólnego równania linii jako równania linii w odcinkach. Jak to jest wygodne? Równanie linii w odcinkach pozwala szybko znaleźć punkty przecięcia linii z osie współrzędnych, co może być bardzo ważne w niektórych problemach matematyki wyższej.

Znajdźmy punkt przecięcia linii z osią. Resetujemy „y” do zera i równanie przyjmuje postać . Pożądany punkt jest uzyskiwany automatycznie: .

To samo z osią – punkt, w którym prosta przecina oś rzędnych.

W tym artykule dowiesz się, jak uzyskać równanie linii prostej przechodzącej przez dwa dane punkty w prostokątnym układzie współrzędnych położonym na płaszczyźnie. Wyprowadźmy równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty w prostokątnym układzie współrzędnych. W przejrzysty sposób pokażemy i rozwiążemy kilka przykładów związanych z omawianym materiałem.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Przed otrzymaniem równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty należy zwrócić uwagę na kilka faktów. Istnieje aksjomat, który mówi, że przez dwa rozbieżne punkty na płaszczyźnie można poprowadzić linię prostą i tylko jedną. Innymi słowy, dwa dane punkty na płaszczyźnie są określone przez linię prostą przechodzącą przez te punkty.

Jeśli płaszczyznę definiuje prostokątny układ współrzędnych Oxy, wówczas każda przedstawiona na niej linia prosta będzie odpowiadać równaniu linii prostej na płaszczyźnie. Istnieje także powiązanie z wektorem kierunkowym prostej. Dane te wystarczą do zestawiania równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty.

Spójrzmy na przykład rozwiązania podobnego problemu. Należy utworzyć równanie dla prostej a przechodzącej przez dwa rozbieżne punkty M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2), znajdujące się w kartezjańskim układzie współrzędnych.

W równaniu kanonicznym linii na płaszczyźnie, mającej postać x - x 1 a x = y - y 1 a y, prostokątny układ współrzędnych O x y jest określony linią, która przecina się z nim w punkcie o współrzędnych M 1 (x 1, y 1) z wektorem prowadzącym a → = (a x , a y) .

Konieczne jest sporządzenie równanie kanoniczne prosta a, która przejdzie przez dwa punkty o współrzędnych M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2).

Prosta a ma wektor kierunkowy M 1 M 2 → ze współrzędnymi (x 2 - x 1, y 2 - y 1), ponieważ przecina punkty M 1 i M 2. Uzyskaliśmy niezbędne dane, aby przekształcić równanie kanoniczne ze współrzędnymi wektora kierunku M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) i współrzędnymi leżących na nich punktów M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2 , y 2) . Otrzymujemy równanie w postaci x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 lub x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Rozważ poniższy rysunek.

Po obliczeniach zapisujemy równania parametryczne prostej na płaszczyźnie przechodzącej przez dwa punkty o współrzędnych M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2). Otrzymujemy równanie postaci x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ lub x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Przyjrzyjmy się bliżej rozwiązaniu kilku przykładów.

Przykład 1

Zapisz równanie prostej przechodzącej przez 2 dane punkty o współrzędnych M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Rozwiązanie

Równanie kanoniczne dla prostej przecinającej się w dwóch punktach o współrzędnych x 1, y 1 i x 2, y 2 ma postać x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Zgodnie z warunkami zadania mamy, że x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Konieczne jest podstawienie wartości liczbowych do równania x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Stąd otrzymujemy, że równanie kanoniczne ma postać x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Odpowiedź: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Jeśli chcesz rozwiązać problem za pomocą równania innego typu, najpierw możesz przejść do równania kanonicznego, ponieważ łatwiej jest z niego przejść do dowolnego innego.

Przykład 2

Ułóż ogólne równanie linii prostej przechodzącej przez punkty o współrzędnych M 1 (1, 1) i M 2 (4, 2) w układzie współrzędnych O x y.

Rozwiązanie

Najpierw należy zapisać równanie kanoniczne danej prostej przechodzącej przez dane dwa punkty. Otrzymujemy równanie postaci x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Doprowadźmy równanie kanoniczne do pożądanej postaci, a następnie otrzymamy:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Odpowiedź: x - 3 y + 2 = 0 .

Przykłady takich zadań omawiane były w podręcznikach szkolnych na lekcjach algebry. Zadania szkolne różniły się tym, że znane było równanie prostej ze współczynnikiem kąta, mające postać y = k x + b. Jeśli chcesz znaleźć wartość nachylenia k i liczbę b, dla której równanie y = k x + b definiuje prostą w układzie O x y przechodzącą przez punkty M 1 (x 1, y 1) i M 2 ( x 2, y 2) , gdzie x 1 ≠ x 2. Kiedy x 1 = x 2 , wówczas współczynnik kątowy przyjmuje wartość nieskończoności, a linię prostą M 1 M 2 definiuje ogólna zasada niekompletne równanie postaci x - x 1 = 0 .

Ponieważ punkty M 1 I M 2 leżą na linii prostej, to ich współrzędne spełniają równanie y 1 = k x 1 + b i y 2 = k x 2 + b. Konieczne jest rozwiązanie układu równań y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b dla k i b.

Aby to zrobić, znajdujemy k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 lub k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Przy tych wartościach k i b równanie linii przechodzącej przez dane dwa punkty przyjmuje postać y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 lub y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Zapamiętaj to od razu ogromna ilość formuły nie będą działać. Aby to zrobić, konieczne jest zwiększenie liczby powtórzeń w rozwiązywaniu problemów.

Przykład 3

Zapisz równanie linii prostej ze współczynnikiem kątowym przechodzącym przez punkty o współrzędnych M 2 (2, 1) i y = k x + b.

Rozwiązanie

Aby rozwiązać problem, używamy wzoru o nachyleniu, który ma postać y = k x + b. Współczynniki k i b muszą przyjmować taką wartość, że dane równanie odpowiadał linii prostej przechodzącej przez dwa punkty o współrzędnych M 1 (- 7, - 5) i M 2 (2, 1).

Zwrotnica M 1 I M 2 leżą na linii prostej, to ich współrzędne muszą sprawić, że równanie y = k x + b będzie prawdziwą równością. Z tego otrzymujemy, że - 5 = k · (- 7) + b i 1 = k · 2 + b. Połączmy równanie w układ - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b i rozwiążmy.

Po podstawieniu otrzymamy to

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Teraz wartości k = 2 3 i b = - 1 3 są podstawione do równania y = k x + b. Stwierdzamy, że wymagane równanie przechodzące przez dane punkty będzie równaniem postaci y = 2 3 x - 1 3 .

Ten sposób rozwiązania z góry określa wydatki duża ilość czas. Istnieje sposób, w jaki zadanie rozwiązuje się dosłownie w dwóch etapach.

Zapiszmy równanie kanoniczne prostej przechodzącej przez M 2 (2, 1) i M 1 (- 7, - 5), mając postać x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Przejdźmy teraz do równania nachylenia. Otrzymujemy, że: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Odpowiedź: y = 2 3 x - 1 3 .

Jeżeli w przestrzeni trójwymiarowej istnieje prostokątny układ współrzędnych O x y z z dwoma danymi, nie pokrywającymi się punktami o współrzędnych M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), to prosta M przechodząca przez nie 1 M 2 , należy otrzymać równanie tej prostej.

Mamy równania kanoniczne w postaci x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z oraz równania parametryczne w postaci x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ potrafią zdefiniować prostą w układzie współrzędnych O x y z, przechodzącą przez punkty posiadające współrzędne (x 1, y 1, z 1) z wektorem kierunku a → = (a x, a y, a z).

Proste M 1 M 2 ma wektor kierunkowy postaci M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), gdzie prosta przechodzi przez punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2 , y 2 , z 2), stąd równanie kanoniczne może mieć postać x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 lub x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, z kolei parametryczne x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ lub x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Rozważmy rysunek przedstawiający 2 dane punkty w przestrzeni i równanie linii prostej.

Przykład 4

Napisz równanie prostej określonej w prostokątnym układzie współrzędnych O x y z przestrzeni trójwymiarowej, przechodzącej przez dane dwa punkty o współrzędnych M 1 (2, - 3, 0) i M 2 (1, - 3, - 5).

Rozwiązanie

Konieczne jest znalezienie równania kanonicznego. Ponieważ mówimy o przestrzeni trójwymiarowej, oznacza to, że gdy prosta przechodzi przez dane punkty, pożądane równanie kanoniczne będzie miało postać x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Pod warunkiem mamy, że x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Wynika z tego, że niezbędne równania zostaną zapisane w następujący sposób:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Odpowiedź: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter