Przez co można zmniejszyć 143? Redukowanie ułamków algebraicznych: zasady, przykłady

Jeśli będziemy musieli podzielić 497 przez 4, to podczas dzielenia zobaczymy, że 497 nie jest równomiernie podzielne przez 4, tj. pozostała część podziału pozostaje. W takich przypadkach mówi się, że jest zakończone dzielenie z resztą, a rozwiązanie jest zapisane w następujący sposób:
497: 4 = 124 (1 reszta).

Składniki dzielenia po lewej stronie równości nazywane są tak samo, jak przy dzieleniu bez reszty: 497 - dywidenda, 4 - rozdzielacz. Nazywa się wynik dzielenia z resztą niepełny prywatny. W naszym przypadku jest to liczba 124. I wreszcie ostatnia składowa, która nie podlega zwykłemu podziałowi, to reszta. W przypadkach, gdy nie ma reszty, mówi się, że jedna liczba jest dzielona przez drugą bez śladu lub całkowicie. Uważa się, że przy takim podziale reszta wynosi zero. W naszym przypadku reszta wynosi 1.

Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.

Dzielenie można sprawdzić mnożąc. Jeśli na przykład istnieje równość 64: 32 = 2, wówczas sprawdzenie można wykonać w następujący sposób: 64 = 32 * 2.

Często w przypadkach, gdy wykonywane jest dzielenie z resztą, wygodnie jest zastosować równość
a = b * n + r,
gdzie a jest dywidendą, b jest dzielnikiem, n jest niepełnym ilorazem, r jest resztą.

Iloraz liczb naturalnych można zapisać w postaci ułamka zwykłego.

Licznik ułamka to dzielna, a mianownik to dzielnik.

Ponieważ licznik ułamka to dzielna, a mianownik to dzielnik, wierzą, że linia ułamka oznacza czynność dzielenia. Czasami wygodnie jest zapisać dzielenie w postaci ułamka zwykłego bez użycia znaku „:”.

Iloraz dzielenia liczb naturalnych m i n można zapisać jako ułamek \(\frac(m)(n) \), gdzie licznik m jest dzielną, a mianownik n jest dzielnikiem:
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Następujące zasady są prawdziwe:

Aby otrzymać ułamek \(\frac(m)(n)\), należy podzielić jednostkę na n równych części (udziałów) i wziąć m takich części.

Aby otrzymać ułamek \(\frac(m)(n)\), należy podzielić liczbę m przez liczbę n.

Aby znaleźć część całości, należy podzielić liczbę odpowiadającą całości przez mianownik i wynik pomnożyć przez licznik ułamka wyrażającego tę część.

Aby znaleźć całość z jej części, należy podzielić liczbę odpowiadającą tej części przez licznik i wynik pomnożyć przez mianownik ułamka wyrażającego tę część.

Jeśli zarówno licznik, jak i mianownik ułamka zostaną pomnożone przez tę samą liczbę (z wyjątkiem zera), wartość ułamka nie ulegnie zmianie:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną podzielone przez tę samą liczbę (z wyjątkiem zera), wartość ułamka nie ulegnie zmianie:
\(\duży \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ta właściwość nazywa się główna właściwość ułamka.

Dwie ostatnie transformacje nazywane są redukując ułamek.

Jeśli ułamki muszą być reprezentowane jako ułamki o tym samym mianowniku, wówczas nazywa się to działanie redukując ułamki do wspólny mianownik .

Ułamki właściwe i niewłaściwe. Liczby mieszane

Wiesz już, że ułamek można uzyskać, dzieląc całość na równe części i biorąc kilka takich części. Na przykład ułamek \(\frac(3)(4)\) oznacza trzy czwarte jednego. W wielu zadaniach opisanych w poprzednim akapicie ułamki były używane do przedstawienia części całości. Zdrowy rozsądek podpowiada, że ​​część powinna być zawsze mniejsza od całości, ale co z ułamkami takimi jak \(\frac(5)(5)\) lub \(\frac(8)(5)\)? Oczywiste jest, że nie jest to już część jednostki. Prawdopodobnie dlatego nazywa się ułamki, których licznik jest większy lub równy mianownikowi ułamki niewłaściwe. Pozostałe ułamki, czyli ułamki, których licznik mniej niż mianownik, zwany poprawne ułamki.

Jak wiadomo, dowolne ułamek wspólny, zarówno poprawne, jak i błędne, można uznać za wynik podzielenia licznika przez mianownik. Dlatego w matematyce, w odróżnieniu od potocznego języka, określenie „ułamek niewłaściwy” nie oznacza, że ​​zrobiliśmy coś złego, a jedynie to, że licznik tego ułamka jest większy lub równy mianownikowi.

Jeśli liczba składa się z części całkowitej i ułamka, to ułamki nazywane są mieszanymi.

Na przykład:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 to część całkowita, a \(\frac(2)(3) \) to część ułamkowa.

Jeżeli licznik ułamka \(\frac(a)(b) \) jest podzielny przez liczbę naturalną n, to aby podzielić ten ułamek przez n, jego licznik należy podzielić przez tę liczbę:
\(\duży \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Jeżeli licznik ułamka \(\frac(a)(b) \) nie jest podzielny przez liczbę naturalną n, to aby podzielić ten ułamek przez n, należy pomnożyć jego mianownik przez tę liczbę:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Zauważ, że druga zasada jest również prawdziwa, gdy licznik jest podzielny przez n. Dlatego możemy go użyć, gdy trudno na pierwszy rzut oka określić, czy licznik ułamka jest podzielny przez n, czy nie.

Działania z ułamkami. Dodawanie ułamków.

Operacje arytmetyczne można wykonywać na liczbach ułamkowych, podobnie jak na liczbach naturalnych. Przyjrzyjmy się najpierw dodawaniu ułamków. Dodawanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach jest łatwe. Znajdźmy na przykład sumę \(\frac(2)(7)\) i \(\frac(3)(7)\). Łatwo zrozumieć, że \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian.

Używając liter, regułę dodawania ułamków o podobnych mianownikach można zapisać w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Jeśli chcesz dodać ułamki za pomocą różne mianowniki, to należy je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika. Na przykład:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

W przypadku ułamków, podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, obowiązują przemienne i łączne właściwości dodawania.

Dodawanie frakcji mieszanych

Wywoływane są takie oznaczenia, jak \(2\frac(2)(3)\). frakcje mieszane. W tym przypadku wywoływana jest liczba 2 cała część ułamek mieszany, a liczba \(\frac(2)(3)\) jest jego liczbą część ułamkowa. Zapis \(2\frac(2)(3)\) czyta się następująco: „dwa i dwie trzecie”.

Dzieląc liczbę 8 przez liczbę 3, możesz otrzymać dwie odpowiedzi: \(\frac(8)(3)\) i \(2\frac(2)(3)\). Wyrażają tę samą liczbę ułamkową, tj. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Zatem ułamek niewłaściwy \(\frac(8)(3)\) jest reprezentowany jako ułamek mieszany \(2\frac(2)(3)\). W takich przypadkach mówią, że z ułamka niewłaściwego podkreślił całą część.

Odejmowanie ułamków zwykłych (liczb ułamkowych)

Odejmowanie liczb ułamkowych, podobnie jak liczb naturalnych, określa się na podstawie działania dodawania: odejmowanie drugiej od jednej liczby oznacza znalezienie takiej liczby, która po dodaniu do drugiej daje pierwszą. Na przykład:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) ponieważ \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

Zasada odejmowania ułamków o podobnych mianownikach jest podobna do zasady dodawania takich ułamków:
Aby znaleźć różnicę między ułamkami o tych samych mianownikach, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian.

Używając liter, reguła ta jest zapisana w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Mnożenie ułamków

Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, należy pomnożyć jego liczniki i mianowniki i zapisać pierwszy iloczyn jako licznik, a drugi jako mianownik.

Używając liter, regułę mnożenia ułamków można zapisać w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

Korzystając ze sformułowanej reguły, możesz pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, przez ułamek mieszany, a także pomnożyć ułamki mieszane. Aby to zrobić, musisz zapisać liczbę naturalną jako ułamek o mianowniku 1, a ułamek mieszany jako ułamek niewłaściwy.

Wynik mnożenia należy uprościć (jeśli to możliwe) poprzez zmniejszenie ułamka i wyodrębnienie całej części ułamka niewłaściwego.

W przypadku ułamków zwykłych, podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, obowiązują przemienne i kombinacyjne właściwości mnożenia, a także rozdzielność mnożenia względem dodawania.

Podział ułamków

Weźmy ułamek \(\frac(2)(3)\) i „odwróćmy go”, zamieniając licznik z mianownikiem. Otrzymujemy ułamek \(\frac(3)(2)\). Ten ułamek nazywa się odwracać ułamki \(\frac(2)(3)\).

Jeśli teraz „odwrócimy” ułamek \(\frac(3)(2)\), otrzymamy pierwotny ułamek \(\frac(2)(3)\). Dlatego ułamki takie jak \(\frac(2)(3)\) i \(\frac(3)(2)\) nazywane są wzajemnie odwrotne.

Na przykład ułamki \(\frac(6)(5) \) i \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) i \(\frac (18 )(7)\).

Używając liter, ułamki odwrotne można zapisać w następujący sposób: \(\frac(a)(b) \) i \(\frac(b)(a) \)

To jasne iloczyn ułamków odwrotnych jest równy 1. Na przykład: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

Używając ułamków odwrotnych, możesz sprowadzić dzielenie ułamków do mnożenia.

Zasada dzielenia ułamka przez ułamek jest następująca:
Aby podzielić ułamek przez drugi, należy pomnożyć dywidendę przez odwrotność dzielnika.

Używając liter, regułę dzielenia ułamków można zapisać w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)

Jeśli dywidenda lub dzielnik jest liczba naturalna lub ułamek mieszany, to aby zastosować regułę dzielenia ułamków, należy najpierw przedstawić go jako ułamek niewłaściwy.

Opiera się to na ich głównej właściwości: jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną podzielone przez ten sam niezerowy wielomian, wówczas uzyskany zostanie równy ułamek.

Możesz jedynie zmniejszyć mnożniki!

Członków wielomianów nie można skracać!

Aby skrócić ułamek algebraiczny, należy najpierw rozłożyć na czynniki wielomiany w liczniku i mianowniku.

Spójrzmy na przykłady redukujących ułamków.

W liczniku i mianowniku ułamka znajdują się jednomiany. Reprezentują praca(liczby, zmienne i ich potęgi), mnożniki możemy zmniejszyć.

Zmniejszamy liczby do największych wspólny dzielnik, czyli na największa liczba, przez który dzieli się każdą z tych liczb. Dla 24 i 36 jest to 12. Po redukcji z 24 zostaje 2, a z 36 3.

Stopnie zmniejszamy o stopień z najniższym indeksem. Skracanie ułamka oznacza podzielenie licznika i mianownika przez ten sam dzielnik i odjęcie wykładników.

a² i a⁷ są zredukowane do a². W tym przypadku jedynka pozostaje w liczniku a² (1 piszemy tylko w przypadku, gdy po redukcji nie ma już innych czynników. Z 24 zostają 2, zatem z a² nie zapisujemy 1). Z a⁷ po redukcji pozostaje a⁵.

b i b są zmniejszane o b; powstałe jednostki nie są zapisywane.

c³º i c⁵ są skracane do c⁵. Z c³º pozostaje c²⁵, z c⁵ jeden (nie piszemy tego). Zatem,

Licznik i mianownik tego ułamka algebraicznego są wielomianami. Nie można anulować wyrazów wielomianów! (nie można zmniejszyć np. 8x² i 2x!). Aby zmniejszyć ten ułamek, potrzebujesz . Licznik ma wspólny dzielnik 4x. Wyjmijmy to z nawiasów:

Zarówno licznik, jak i mianownik mają ten sam współczynnik (2x-3). Zmniejszamy ułamek o ten współczynnik. W liczniku otrzymaliśmy 4x, w mianowniku - 1. Zgodnie z 1 właściwością ułamków algebraicznych ułamek jest równy 4x.

Możesz jedynie redukować współczynniki (nie możesz zmniejszać tego ułamka o 25x²!). Dlatego wielomiany w liczniku i mianowniku ułamka należy rozłożyć na czynniki.

W liczniku - idealny kwadrat sumy, mianownikiem jest różnica kwadratów. Po rozłożeniu za pomocą skróconych wzorów na mnożenie otrzymujemy:

Zmniejszamy ułamek o (5x+1) (w tym celu skreślamy dwa w liczniku jako wykładnik, pozostawiając (5x+1)² (5x+1)):

Licznik ma wspólny dzielnik równy 2, usuńmy go z nawiasów. Mianownik to wzór na różnicę sześcianów:

W wyniku rozwinięcia licznik i mianownik otrzymały ten sam współczynnik (9+3a+a²). Skracamy przez to ułamek:

Wielomian w liczniku składa się z 4 wyrazów. pierwszy wyraz z drugim, trzeci z czwartym i usuń wspólny współczynnik x² z pierwszych nawiasów. Rozkładamy mianownik korzystając ze wzoru na sumę kostek:

W liczniku weźmy wspólny czynnik (x+2) z nawiasów:

Zmniejsz ułamek o (x+2):

Bez umiejętności skracania ułamka zwykłego i stabilnej umiejętności rozwiązywania takich przykładów bardzo trudno jest uczyć się algebry w szkole. Im dalej zajdziesz, tym bardziej koliduje to z twoją podstawową wiedzą na temat zmniejszania ułamków. nowe informacje. Najpierw pojawiają się potęgi, potem czynniki, które później stają się wielomianami.

Jak tu uniknąć zamieszania? Dokładnie utrwalaj umiejętności z poprzednich tematów i stopniowo przygotowuj się do wiedzy o skracaniu ułamka, który z roku na rok staje się coraz bardziej złożony.

Podstawowa wiedza

Bez nich nie poradzisz sobie z zadaniami na żadnym poziomie. Aby zrozumieć, musisz zrozumieć dwa proste punkty. Po pierwsze: można jedynie redukować czynniki. Ten niuans okazuje się bardzo ważny, gdy w liczniku lub mianowniku pojawiają się wielomiany. Następnie musisz wyraźnie rozróżnić, gdzie jest mnożnik, a gdzie dodatek.

Punkt drugi mówi, że dowolną liczbę można przedstawić w postaci czynników. Ponadto wynikiem redukcji jest ułamek, którego licznika i mianownika nie można już zmniejszyć.

Zasady redukcji ułamków zwykłych

Najpierw należy sprawdzić, czy licznik jest podzielny przez mianownik i odwrotnie. W takim razie właśnie tę liczbę należy zmniejszyć. To najprostsza opcja.

Drugi to analiza wygląd takty muzyczne. Jeśli oba kończą się jednym lub większą liczbą zer, można je skrócić o 10, 100 lub tysiąc. Tutaj możesz zauważyć, czy liczby są parzyste. Jeśli tak, możesz bezpiecznie przeciąć go o dwa.

Trzecia zasada skracania ułamka polega na uwzględnieniu go na czynniki czynniki pierwsze licznik i mianownik. W tej chwili musisz aktywnie wykorzystywać całą swoją wiedzę na temat znaków podzielności liczb. Po tym rozkładzie pozostaje tylko znaleźć wszystkie powtarzające się, pomnożyć je i zmniejszyć przez wynikową liczbę.

A co jeśli w ułamku zwykłym znajduje się wyrażenie algebraiczne?

I tu pojawiają się pierwsze trudności. Ponieważ w tym miejscu pojawiają się terminy, które mogą być identyczne z czynnikami. Bardzo chcę je zmniejszyć, ale nie mogę. Zanim będzie można zredukować ułamek algebraiczny, należy go przekonwertować tak, aby zawierał czynniki.

Aby to zrobić, musisz wykonać kilka kroków. Być może będziesz musiał przejrzeć wszystkie, a może pierwsza zapewni odpowiednią opcję.

Sprawdź, czy licznik i mianownik lub dowolne wyrażenie w nich różnią się znakiem. W takim przypadku wystarczy wyjąć minus jeden z nawiasów. Daje to równe czynniki, które można zmniejszyć.

Sprawdź, czy możliwe jest usunięcie wspólnego czynnika z wielomianu z nawiasów. Być może efektem będzie nawias, który również można skrócić, lub będzie to usunięty jednomian.

Spróbuj pogrupować jednomiany, aby następnie dodać do nich wspólny czynnik. Po tym może się okazać, że pojawią się czynniki, które można zredukować, lub ponownie zostanie powtórzone nawiasy wspólnych elementów.

Spróbuj rozważyć skrócone wzory mnożenia na piśmie. Za ich pomocą można łatwo przekształcić wielomiany w czynniki.

Kolejność działań na ułamkach z potęgami

Aby łatwo zrozumieć pytanie, jak zmniejszyć ułamek za pomocą potęg, musisz mocno zapamiętać podstawowe operacje z nimi. Pierwszy z nich związany jest z mnożeniem potęg. W takim przypadku, jeśli podstawy są takie same, należy dodać wskaźniki.

Drugi to podział. Ponownie, w przypadku tych, którzy mają te same powody, wskaźniki będą musiały zostać odjęte. Co więcej, należy odjąć od liczby zawartej w dywidendzie, a nie odwrotnie.

Trzecim jest potęgowanie. W tej sytuacji wskaźniki się mnożą.

Skuteczna redukcja będzie również wymagać możliwości zmniejszenia stopni do na tej samej podstawie. To znaczy zobaczyć, że cztery to dwa do kwadratu. Lub 27 - sześcian trzech. Ponieważ redukcja 9 do kwadratu i 3 do sześcianu jest trudna. Ale jeśli przekształcimy pierwsze wyrażenie jako (3 2) 2, wówczas redukcja zakończy się sukcesem.

Dział oraz licznik i mianownik ułamka na nich wspólny dzielnik, różni się od jednego, nazywa się redukując ułamek.

Aby skrócić ułamek zwykły, należy podzielić jego licznik i mianownik przez tę samą liczbę naturalną.

Liczba ta jest największym wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika danego ułamka.

Możliwe są następujące rozwiązania formularze rejestracyjne decyzji Przykłady redukcji ułamków zwykłych.

Student ma prawo wyboru dowolnej formy nagrania.

Przykłady. Uprość ułamki.

Zmniejsz ułamek o 3 (podziel licznik przez 3;

podzielić mianownik przez 3).

Zmniejsz ułamek o 7.

Wskazane działania wykonujemy w liczniku i mianowniku ułamka.

Otrzymaną frakcję zmniejsza się o 5.

Skróćmy ten ułamek 4) NA 5,7³- największy wspólny dzielnik (NWD) licznika i mianownika, na który składają się wspólne czynniki licznika i mianownika, podane do potęgi o najmniejszym wykładniku.

Rozłóżmy licznik i mianownik tego ułamka na czynniki pierwsze.

Otrzymujemy: 756=2²·3³·7 I 1176=2³·3,7².

Określ GCD (największy wspólny dzielnik) licznika i mianownika ułamka 5) .

Jest to iloczyn wspólnych czynników wziętych z najniższymi wykładnikami.

gcd(756, 1176)= 2²·3·7.

Licznik i mianownik tego ułamka dzielimy przez ich gcd, czyli przez 2²·3·7 otrzymujemy ułamek nieredukowalny 9/14 .

Lub można było zapisać rozkład licznika i mianownika w postaci iloczynu czynników pierwszych, bez korzystania z pojęcia potęgi, a następnie zmniejszyć ułamek, skreślając te same czynniki w liczniku i mianowniku. Gdy nie ma już identycznych czynników, pozostałe czynniki mnożymy osobno w liczniku i osobno w mianowniku i wynikowy ułamek wypisujemy 9/14 .

I wreszcie udało się zmniejszyć tę frakcję 5) stopniowo, stosując znaki dzielenia liczb zarówno do licznika, jak i mianownika ułamka. Pomyślmy tak: liczby 756 I 1176 kończą się liczbą parzystą, co oznacza, że ​​obie liczby są podzielne przez 2 . Zmniejszamy ułamek przez 2 . Licznikiem i mianownikiem nowego ułamka są liczby 378 I 588 również podzielone na 2 . Zmniejszamy ułamek przez 2 . Zauważamy, że liczba 294 - nawet i 189 jest nieparzysta i redukcja o 2 nie jest już możliwa. Sprawdźmy podzielność liczb 189 I 294 NA 3 .

(1+8+9)=18 dzieli się przez 3, a (2+9+4)=15 dzieli się przez 3, stąd same liczby 189 I 294 dzielą się na 3 . Zmniejszamy ułamek przez 3 . Następny, 63 jest podzielna przez 3 i 98 - NIE. Przyjrzyjmy się innym czynnikom pierwszym. Obie liczby są podzielne przez 7 . Zmniejszamy ułamek przez 7 i otrzymujemy ułamek nieredukowalny 9/14 .

Wiemy już, że licznik i mianownik ułamka można pomnożyć i podzielić przez tę samą liczbę, ułamek się nie zmieni. Rozważmy trzy podejścia:

Podejdź do jednego.

Aby dokonać redukcji, podziel licznik i mianownik przez wspólny dzielnik. Spójrzmy na przykłady:

Skróćmy:

Na podanych przykładach od razu widzimy, które dzielniki przyjąć do redukcji. Proces jest prosty – przechodzimy przez 2,3,4,5 i tak dalej. W większości przykładów kursów szkolnych to wystarczy. Ale jeśli to ułamek:

Tutaj proces wybierania dzielników może zająć dużo czasu ;). Oczywiście takie przykłady są poza szkolnym programem nauczania, ale trzeba umieć sobie z nimi poradzić. Poniżej przyjrzymy się, jak to się robi. Na razie wróćmy do procesu downsizingu.

Jak omówiono powyżej, aby zmniejszyć ułamek, podzieliliśmy go przez ustalone wspólne dzielniki. Wszystko się zgadza! Wystarczy dodać znaki podzielności liczb:

- jeśli liczba jest parzysta, to jest podzielna przez 2.

- jeśli liczba z dwóch ostatnich cyfr jest podzielna przez 4, to sama liczba jest podzielna przez 4.

— jeśli suma cyfr tworzących liczbę jest podzielna przez 3, to sama liczba jest podzielna przez 3. Na przykład 125031, 1+2+5+0+3+1=12. Dwanaście jest podzielne przez 3, więc 123031 jest podzielne przez 3.

- jeśli na końcu liczby jest 5 lub 0, to liczba ta jest podzielna przez 5.

— jeśli suma cyfr tworzących liczbę jest podzielna przez 9, to sama liczba jest podzielna przez 9. Przykładowo 625032 =.> 6+2+5+0+3+2=18. Osiemnaście jest podzielne przez 9, co oznacza, że ​​623032 jest podzielne przez 9.

Drugie podejście.

Krótko mówiąc, cała akcja sprowadza się do rozłożenia licznika i mianownika na czynniki, a następnie sprowadzenia równych współczynników w liczniku i mianowniku (podejście to jest konsekwencją podejścia pierwszego):

Wizualnie, aby uniknąć nieporozumień i błędów, równe współczynniki są po prostu przekreślane. Pytanie - jak rozłożyć liczbę na czynniki? Konieczne jest określenie wszystkich dzielników poprzez wyszukiwanie. To osobny temat, nie jest skomplikowany, poszukaj informacji w podręczniku lub w Internecie. Nie napotkasz większych problemów z faktoringiem liczb występujących w ułamkach szkolnych.

Formalnie zasadę redukcji można zapisać w następujący sposób:

Podejdź do trzech.

Oto najciekawsza rzecz dla zaawansowanych i tych, którzy chcą nimi zostać. Skróćmy ułamek 143/273. Spróbuj sam! No właśnie, jak to się szybko stało? Teraz spójrz!

Odwracamy to (zamieniamy miejsca licznika i mianownika). Podziel powstały ułamek narożnikiem i przekonwertuj go na liczba mieszana, czyli wybieramy całą część:

To już jest łatwiejsze. Widzimy, że licznik i mianownik można zmniejszyć o 13:

Teraz nie zapomnij ponownie odwrócić ułamka, zapiszmy cały łańcuch:

Sprawdzone - zajmuje mniej czasu niż przeszukiwanie i sprawdzanie dzielników. Wróćmy do naszych dwóch przykładów:

Pierwszy. Dzielimy narożnikiem (nie na kalkulatorze), otrzymujemy:

Ten ułamek jest oczywiście prostszy, ale redukcja znów stanowi problem. Teraz osobno analizujemy frakcję 1273/1463 i odwracamy ją:

Tutaj jest łatwiej. Możemy rozważyć dzielnik taki jak 19. Reszta się nie nadaje, to jasne: 190:19 = 10, 1273:19 = 67. Hurra! Zapiszmy:

Następny przykład. Skróćmy 88179/2717.

Dzielimy, otrzymujemy:

Osobno analizujemy frakcję 1235/2717 i odwracamy ją:

Możemy rozważyć dzielnik taki jak 13 (do 13 nie jest odpowiednie):

Licznik 247:13=19 Mianownik 1235:13=95

*W trakcie procesu zobaczyliśmy kolejny dzielnik równy 19. Okazuje się, że:

Teraz zapisujemy oryginalną liczbę:

I nie ma znaczenia, co jest większe w ułamku - licznik czy mianownik, jeśli jest to mianownik, wówczas odwracamy go i postępujemy zgodnie z opisem. W ten sposób możemy zredukować dowolny ułamek; trzecie podejście można nazwać uniwersalnym.

Oczywiście dwa omówione powyżej przykłady nie są prostymi przykładami. Wypróbujmy tę technologię na „prostych” ułamkach, które już rozważaliśmy:

Dwie ćwiartki.

Siedemdziesiąt dwa lata sześćdziesiąte. Licznik jest większy od mianownika, nie ma potrzeby go odwracać:

Oczywiście do takich zastosowano trzecie podejście proste przykłady tylko jako alternatywa. Metoda, jak już powiedziano, jest uniwersalna, ale nie wygodna i poprawna dla wszystkich ułamków, zwłaszcza prostych.

Różnorodność ułamków jest ogromna. Ważne jest, abyś rozumiał zasady. Po prostu nie ma ścisłych zasad pracy z ułamkami. Przyjrzeliśmy się, zorientowaliśmy się, jak wygodniej byłoby działać, i ruszyliśmy dalej. Wraz z praktyką przyjdą umiejętności i rozłupiesz je jak nasiona.

Wniosek:

Jeśli widzisz wspólny dzielnik licznika i mianownika, użyj ich do redukcji.

Jeśli wiesz, jak szybko rozłożyć liczbę na czynniki, rozłóż licznik i mianownik, a następnie zmniejsz.

Jeśli nie możesz określić wspólnego dzielnika, zastosuj trzecie podejście.

*Aby redukować ułamki, ważne jest opanowanie zasad redukcji, zrozumienie podstawowych właściwości ułamka, znajomość podejść do rozwiązywania i zachowanie szczególnej ostrożności podczas wykonywania obliczeń.

I pamiętaj! Zwyczajowo redukuje się ułamek aż do zatrzymania, to znaczy zmniejsza się go, o ile istnieje wspólny dzielnik.

Z poważaniem, Aleksander Krutitskikh.