W trakcie szkoły średniej i Liceum Uczniowie zapoznali się z tematem „Ułamki”. Jednak koncepcja ta jest znacznie szersza niż to, co podaje się w procesie uczenia się. Dziś pojęcie ułamka spotyka się dość często i nie każdy może obliczyć dowolne wyrażenie, na przykład mnożąc ułamki.
Co to jest ułamek?
Historycznie rzecz biorąc, liczby ułamkowe powstały z potrzeby pomiaru. Jak pokazuje praktyka, często pojawiają się przykłady określania długości odcinka i objętości prostokątnego prostokąta.
Na początku uczniowie zapoznają się z pojęciem udziału. Na przykład, jeśli podzielisz arbuza na 8 części, każda osoba otrzyma jedną ósmą arbuza. Ta jedna część ośmiu nazywa się udziałem.
Udział równy ½ dowolnej wartości nazywany jest połową; ⅓ - trzeci; ¼ - ćwiartka. Zapisy w postaci 5/8, 4/5, 2/4 nazywane są ułamkami zwykłymi. Ułamek zwykły dzieli się na licznik i mianownik. Pomiędzy nimi znajduje się pasek ułamkowy lub pasek ułamkowy. Linię ułamkową można narysować jako linię poziomą lub ukośną. W w tym przypadku reprezentuje znak podziału.
Mianownik określa, na ile równych części podzielona jest wielkość lub przedmiot; a licznik to liczba identycznych udziałów. Licznik zapisuje się nad linią ułamkową, mianownik pod nim.
Najwygodniej jest pokazać ułamki zwykłe na promieniu współrzędnych. Jeśli pojedynczy segment zostanie podzielony na 4 równe części, każda część jest oznaczona literą łacińską, wówczas można uzyskać wynik materiał wizualny. Zatem punkt A przedstawia udział równy 1/4 całego odcinka jednostkowego, a punkt B oznacza 2/8 danego odcinka.
Rodzaje ułamków
Ułamki zwykłe mogą być liczbami zwykłymi, dziesiętnymi i mieszanymi. Ponadto ułamki dzielimy na właściwe i niewłaściwe. Ta klasyfikacja jest bardziej odpowiednia dla zwykłych frakcji.
Ułamek właściwy to liczba, której licznikiem jest mniej niż mianownik. Zatem ułamek niewłaściwy to liczba, której licznik jest większy od mianownika. Drugi typ jest zwykle zapisywany jako liczba mieszana. Wyrażenie to składa się z liczby całkowitej i części ułamkowej. Na przykład 1½. 1 to część całkowita, ½ to część ułamkowa. Jeśli jednak konieczne jest wykonanie pewnych manipulacji wyrażeniem (dzielenie lub mnożenie ułamków, zmniejszanie ich lub przekształcanie), liczba mieszana jest konwertowana na ułamek niewłaściwy.
Poprawne wyrażenie ułamkowe jest zawsze mniejsze niż jeden, a nieprawidłowe jest zawsze większe lub równe 1.
Jeśli chodzi o to wyrażenie, mamy na myśli zapis, w którym reprezentowana jest dowolna liczba, której mianownik wyrażenia ułamkowego można wyrazić w postaci jednego z kilkoma zerami. Jeśli ułamek jest właściwy, to część całkowita w zapisie dziesiętnym będzie równa zeru.
Aby zapisać ułamek dziesiętny, należy najpierw zapisać całą część, oddzielić ją od ułamka przecinkiem, a następnie wpisać wyrażenie ułamkowe. Należy pamiętać, że po przecinku licznik musi zawierać tyle znaków cyfrowych, ile jest zer w mianowniku.
Przykład. Wyraź ułamek 7 21 / 1000 w zapisie dziesiętnym.
Algorytm zamiany ułamka niewłaściwego na liczbę mieszaną i odwrotnie
Zapisywanie ułamka niewłaściwego w odpowiedzi na zadanie jest nieprawidłowe, dlatego należy go zamienić na liczbę mieszaną:
- podziel licznik przez istniejący mianownik;
- V konkretny przykład iloraz niepełny - całość;
- a reszta to licznik części ułamkowej, przy czym mianownik pozostaje niezmieniony.
Przykład. Zamień ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną: 47/5.
Rozwiązanie. 47: 5. Iloraz częściowy wynosi 9, reszta = 2. Zatem 47/5 = 9 2/5.
Czasami trzeba przedstawić liczbę mieszaną w postaci ułamka niewłaściwego. Następnie musisz użyć następującego algorytmu:
- część całkowitą mnoży się przez mianownik wyrażenia ułamkowego;
- powstały produkt dodaje się do licznika;
- wynik zapisuje się w liczniku, mianownik pozostaje niezmieniony.
Przykład. Przedstaw liczbę w postaci mieszanej jako ułamek niewłaściwy: 9 8 / 10.
Rozwiązanie. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 to licznik.
Odpowiedź: 98 / 10.
Mnożenie ułamków
Na ułamkach zwykłych można wykonywać różne operacje algebraiczne. Aby pomnożyć dwie liczby, należy pomnożyć licznik przez licznik, a mianownik przez mianownik. Co więcej, mnożenie ułamków o różnych mianownikach nie różni się od mnożenia ułamków o tych samych mianownikach.
Zdarza się, że po znalezieniu wyniku trzeba zmniejszyć ułamek. Konieczne jest maksymalne uproszczenie powstałego wyrażenia. Oczywiście nie można powiedzieć, że ułamek niewłaściwy w odpowiedzi jest błędem, ale trudno też nazwać go poprawną odpowiedzią.
Przykład. Znajdź iloczyn dwóch zwykłych ułamków: ½ i 20/18.
Jak widać z przykładu, po znalezieniu iloczynu otrzymuje się redukowalny zapis ułamkowy. Zarówno licznik, jak i mianownik w tym przypadku są dzielone przez 4, a wynikiem jest odpowiedź 5/9.
Mnożenie ułamków dziesiętnych
Iloczyn ułamków dziesiętnych zasadniczo różni się od iloczynu ułamków zwykłych. Zatem mnożenie ułamków zwykłych wygląda następująco:
- dwa ułamki dziesiętne należy wpisać jeden pod drugim, tak aby cyfry znajdujące się najbardziej na prawo znajdowały się jedna pod drugą;
- musisz pomnożyć zapisane liczby pomimo przecinków, czyli jako liczby naturalne;
- policzyć liczbę cyfr po przecinku w każdej liczbie;
- w wyniku otrzymanym po mnożeniu należy policzyć od prawej strony tyle symboli cyfrowych, ile mieści się w sumie w obu czynnikach po przecinku i postawić znak oddzielający;
- jeśli w iloczynie jest mniej liczb, należy przed nimi wpisać tyle zer, aby pokryć tę liczbę, postawić przecinek i dodać całą część równą zero.
Przykład. Oblicz iloczyn dwóch ułamków dziesiętnych: 2,25 i 3,6.
Rozwiązanie.
Mnożenie ułamków mieszanych
Aby obliczyć iloczyn dwóch frakcje mieszane, musisz skorzystać z reguły mnożenia ułamków zwykłych:
- zamieniać liczby mieszane na ułamki niewłaściwe;
- znajdź iloczyn liczników;
- znajdź iloczyn mianowników;
- zapisz wynik;
- uprościć wyrażenie tak bardzo, jak to możliwe.
Przykład. Znajdź iloczyn 4½ i 6 2/5.
Mnożenie liczby przez ułamek (ułamek przez liczbę)
Oprócz znalezienia iloczynu dwóch ułamków zwykłych i liczb mieszanych są zadania, w których trzeba pomnożyć przez ułamek.
Aby znaleźć produkt dziesiętny i liczbę naturalną, potrzebujesz:
- wpisz liczbę pod ułamkiem tak, aby skrajne cyfry na prawo znajdowały się jedna nad drugą;
- znajdź produkt pomimo przecinka;
- w wynikowym wyniku część całkowitą od części ułamkowej oddziel przecinkiem, licząc od prawej strony liczbę cyfr znajdujących się po przecinku ułamka.
Mnożyć ułamek wspólny w przypadku liczby należy znaleźć iloczyn licznika i współczynnika naturalnego. Jeśli w wyniku otrzymamy ułamek, który można zmniejszyć, należy go przeliczyć.
Przykład. Oblicz iloczyn 5/8 i 12.
Rozwiązanie. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Odpowiedź: 7 1 / 2.
Jak widać z poprzedniego przykładu, wynikowy wynik trzeba było zredukować i zamienić wyrażenie ułamka nieregularnego na liczbę mieszaną.
Mnożenie ułamków dotyczy również znajdowania iloczynu liczby w postaci mieszanej i czynnika naturalnego. Aby pomnożyć te dwie liczby, należy pomnożyć całą część współczynnika mieszanego przez liczbę, licznik pomnożyć przez tę samą wartość, a mianownik pozostawić bez zmian. Jeśli to konieczne, musisz maksymalnie uprościć wynikowy wynik.
Przykład. Znajdź iloczyn 9 5/6 i 9.
Rozwiązanie. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
Odpowiedź: 88 1 / 2.
Mnożenie przez współczynniki 10, 100, 1000 lub 0,1; 0,01; 0,001
Następująca zasada wynika z poprzedniego akapitu. Aby pomnożyć ułamek dziesiętny przez 10, 100, 1000, 10000 itd., należy przesunąć przecinek w prawo o tyle cyfr, ile jest zer po jedności we współczynniku.
Przykład 1. Znajdź iloczyn 0,065 i 1000.
Rozwiązanie. 0,065 x 1000 = 0065 = 65.
Odpowiedź: 65.
Przykład 2. Znajdź iloczyn 3,9 i 1000.
Rozwiązanie. 3,9 x 1000 = 3,900 x 1000 = 3900.
Odpowiedź: 3900.
Jeśli chcesz pomnożyć liczbę naturalną i 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 itd., należy w wynikowym iloczynie przesunąć przecinek w lewo o tyle znaków cyfr, ile jest zer przed jedynką. Jeśli to konieczne, wcześniej Liczba naturalna Rejestrowana jest wystarczająca liczba zer.
Przykład 1. Znajdź iloczyn 56 i 0,01.
Rozwiązanie. 56 x 0,01 = 0056 = 0,56.
Odpowiedź: 0,56.
Przykład 2. Znajdź iloczyn 4 i 0,001.
Rozwiązanie. 4 x 0,001 = 0004 = 0,004.
Odpowiedź: 0,004.
Zatem znalezienie iloczynu różnych ułamków nie powinno sprawiać żadnych trudności, z wyjątkiem być może obliczenia wyniku; w tym przypadku po prostu nie można obejść się bez kalkulatora.
Mnożenie i dzielenie ułamków zwykłych.
Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)
Ta operacja jest o wiele przyjemniejsza niż dodawanie-odejmowanie! Ponieważ tak jest łatwiej. Dla przypomnienia, aby pomnożyć ułamek przez ułamek, należy pomnożyć liczniki (będzie to licznik wyniku) i mianowniki (to będzie mianownik). To jest:
Na przykład:
Wszystko jest niezwykle proste. I proszę nie szukać wspólnego mianownika! Nie jest on tu potrzebny...
Aby podzielić ułamek przez ułamek, musisz odwrócić drugi(to ważne!) ułamek i pomnóż, czyli:
Na przykład:
Jeśli natkniesz się na mnożenie lub dzielenie liczb całkowitych i ułamków, nie ma problemu. Podobnie jak w przypadku dodawania, z liczby całkowitej tworzymy ułamek zwykły z jedynką w mianowniku - i dalej! Na przykład:
W szkole średniej często masz do czynienia z ułamkami trzypiętrowymi (a nawet czteropiętrowymi!). Na przykład:
Jak mogę sprawić, aby ta frakcja wyglądała przyzwoicie? Tak, bardzo proste! Użyj podziału dwupunktowego:
Ale nie zapomnij o kolejności dzielenia! W przeciwieństwie do mnożenia, jest to tutaj bardzo ważne! Oczywiście nie będziemy mylić 4:2 z 2:4. Ale łatwo jest popełnić błąd w ułamku trzech pięter. Zwróć uwagę na przykład:
W pierwszym przypadku (wyrażenie po lewej):
W drugim (wyrażenie po prawej):
Czy czujesz różnicę? 4 i 1/9!
Co decyduje o kolejności podziału? Albo w nawiasach, albo (jak tutaj) z długością poziomych linii. Rozwijaj swoje oko. A jeśli nie ma nawiasów ani myślników, np.:
potem dziel i mnóż w kolejności od lewej do prawej!
I kolejna bardzo prosta i ważna technika. W działaniach ze stopniami będzie Ci to bardzo przydatne! Podzielmy jeden przez dowolny ułamek, na przykład przez 13/15:
Strzał się odwrócił! I to zawsze się zdarza. Dzieląc 1 przez dowolny ułamek, otrzymasz ten sam ułamek, tylko odwrócony do góry nogami.
To tyle, jeśli chodzi o operacje na ułamkach. Rzecz jest dość prosta, ale daje więcej niż wystarczającą liczbę błędów. Notatka praktyczne porady, a będzie ich mniej (błędów)!
Praktyczne wskazówki:
1. Najważniejszą rzeczą podczas pracy z wyrażeniami ułamkowymi jest dokładność i uważność! To nie są ogólne słowa, ani dobre życzenia! To pilna konieczność! Wykonuj wszystkie obliczenia na egzaminie Unified State Exam jako pełnoprawne zadanie, skupione i jasne. Lepiej napisać dwie dodatkowe linijki w wersji roboczej, niż zepsuć obliczenia w pamięci.
2. W przykładach z różne rodzaje ułamki - przejdź do ułamków zwykłych.
3. Redukujemy wszystkie ułamki, aż się zatrzymają.
4. Wielokondygnacyjny wyrażenia ułamkowe zredukuj do zwykłych, stosując dzielenie przez dwa punkty (pamiętaj o kolejności dzielenia!).
5. Podziel w głowie jednostkę przez ułamek, po prostu odwracając ułamek.
Oto zadania, które zdecydowanie musisz wykonać. Odpowiedzi podawane są po wszystkich zadaniach. Skorzystaj z materiałów na ten temat i praktycznych wskazówek. Oszacuj, ile przykładów udało Ci się poprawnie rozwiązać. Pierwszy raz! Bez kalkulatora! I wyciągnij właściwe wnioski...
Pamiętaj - prawidłowa odpowiedź to otrzymane za drugim (zwłaszcza trzecim) razem się nie liczy! Takie jest surowe życie.
Więc, rozwiązać w trybie egzaminu ! Nawiasem mówiąc, jest to już przygotowanie do egzaminu Unified State Exam. Rozwiązujemy przykład, sprawdzamy go, rozwiązujemy następny. Zdecydowaliśmy o wszystkim - sprawdziliśmy ponownie od pierwszego do ostatniego. Lecz tylko Następnie spójrz na odpowiedzi.
Oblicz:
Czy zdecydowałeś?
Szukamy odpowiedzi pasujących do Twoich. Celowo spisałem je w nieładzie, z dala od pokus, że tak powiem... Oto odpowiedzi zapisane średnikami.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Teraz wyciągamy wnioski. Jeśli wszystko się udało, cieszę się razem z Tobą! Podstawowe obliczenia na ułamkach to nie Twój problem! Możesz zająć się poważniejszymi rzeczami. Jeśli nie...
Masz więc jeden z dwóch problemów. Lub jedno i drugie na raz.) Brak wiedzy i (lub) nieuwaga. Ale to rozpuszczalny Problemy.
Jeśli podoba Ci się ta strona...
Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)
Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)
Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.
Ostatnim razem nauczyliśmy się dodawać i odejmować ułamki zwykłe (patrz lekcja „ Dodawanie i odejmowanie ułamków„). Najtrudniejszą częścią tych działań było doprowadzenie do ułamków wspólny mianownik.
Teraz czas zająć się mnożeniem i dzieleniem. Dobra wiadomość jest taka, że te operacje są jeszcze prostsze niż dodawanie i odejmowanie. Najpierw spójrzmy najprostszy przypadek, gdy istnieją dwa ułamki dodatnie bez oddzielonej części całkowitej.
Aby pomnożyć dwa ułamki zwykłe, należy pomnożyć ich liczniki i mianowniki osobno. Pierwsza liczba będzie licznikiem nowego ułamka, a druga mianownikiem.
Aby podzielić dwa ułamki, należy pomnożyć pierwszy ułamek przez „odwrócony” drugi ułamek.
Przeznaczenie:
Z definicji wynika, że dzielenie ułamków sprowadza się do mnożenia. Aby „odwrócić” ułamek, po prostu zamień licznik i mianownik. Dlatego podczas całej lekcji będziemy się głównie zastanawiać nad mnożeniem.
W wyniku mnożenia może powstać ułamek redukowalny (i często powstaje) - należy go oczywiście zmniejszyć. Jeśli po wszystkich redukcjach ułamek okaże się nieprawidłowy, należy zaznaczyć całą część. Ale to, co na pewno nie stanie się w przypadku mnożenia, to redukcja do wspólnego mianownika: żadnych metod krzyżowych, największych czynników i najmniejszych wspólnych wielokrotności.
Z definicji mamy:
Mnożenie ułamków zwykłych przez części całkowite i ułamki ujemne
Jeśli ułamki zawierają część całkowitą, należy je zamienić na niewłaściwe - i dopiero wtedy pomnożyć według schematów przedstawionych powyżej.
Jeśli w liczniku ułamka, w mianowniku lub przed nim znajduje się minus, można go usunąć z mnożenia lub całkowicie usunąć, zgodnie z następującymi zasadami:
- Plus przez minus daje minus;
- Dwa minusy dają odpowiedź twierdzącą.
Do tej pory z tymi zasadami spotykano się jedynie przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków ujemnych, gdy konieczne było pozbycie się całej części. W przypadku pracy można je uogólnić, aby „spalić” kilka wad jednocześnie:
- Negatywy przekreślamy parami, aż całkowicie znikną. W skrajnych przypadkach może przetrwać jeden minus - ten, dla którego nie było partnera;
- Jeśli nie ma już minusów, operacja jest zakończona - możesz rozpocząć mnożenie. Jeśli ostatni minus nie zostanie przekreślony, bo nie było dla niego pary, to usuwamy go z granic mnożenia. Wynikiem jest ułamek ujemny.
Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:
Wszystkie ułamki zwykłe zamieniamy na niewłaściwe, a następnie z mnożenia usuwamy minusy. To, co zostaje, mnożymy według zwykłych zasad. Otrzymujemy:
Jeszcze raz przypomnę, że minus występujący przed ułamkiem z zaznaczoną całą częścią odnosi się konkretnie do całego ułamka, a nie tylko do jego całej części (dotyczy to dwóch ostatnich przykładów).
Zwróć także uwagę na liczby ujemne: podczas mnożenia są one ujęte w nawiasy. Odbywa się to w celu oddzielenia minusów od znaków mnożenia i zwiększenia dokładności całego zapisu.
Redukowanie ułamków na bieżąco
Mnożenie jest operacją bardzo pracochłonną. Liczby tutaj okazują się dość duże i aby uprościć problem, możesz spróbować jeszcze bardziej zmniejszyć ułamek przed mnożeniem. Rzeczywiście, liczniki i mianowniki ułamków są zwykłymi czynnikami i dlatego można je zredukować za pomocą podstawowej właściwości ułamka. Spójrz na przykłady:
Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:
Z definicji mamy:
We wszystkich przykładach liczby, które zostały zmniejszone i to, co z nich zostało, zaznaczono na czerwono.
Uwaga: w pierwszym przypadku mnożniki zostały całkowicie zmniejszone. Na ich miejscu pozostają jednostki, których, ogólnie rzecz biorąc, nie trzeba zapisywać. W drugim przykładzie całkowita redukcja Nie udało się tego osiągnąć, ale łączna ilość obliczeń nadal spadała.
Jednak nigdy nie używaj tej techniki podczas dodawania i odejmowania ułamków! Tak, czasami istnieją podobne liczby, które chcesz po prostu zmniejszyć. Spójrz:
Nie możesz tego zrobić!
Błąd występuje, ponieważ podczas dodawania licznik ułamka daje sumę, a nie iloczyn liczb. W związku z tym niemożliwe jest zastosowanie podstawowej właściwości ułamka, ponieważ ta właściwość dotyczy konkretnie mnożenia liczb.
Po prostu nie ma innych powodów, aby redukować ułamki, więc prawidłowe rozwiązanie poprzednie zadanie wygląda tak:
Prawidłowe rozwiązanie:
Jak widać, prawidłowa odpowiedź okazała się nie taka piękna. Ogólnie rzecz biorąc, należy zachować ostrożność.