Opiera się to na ich podstawowej właściwości: jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną podzielone przez ten sam niezerowy wielomian, wówczas otrzymany zostanie ułamek równy.
Możesz jedynie zmniejszyć mnożniki!
Członków wielomianów nie można skracać!
Aby skrócić ułamek algebraiczny, należy najpierw rozłożyć na czynniki wielomiany w liczniku i mianowniku.
Spójrzmy na przykłady redukujących ułamków.
W liczniku i mianowniku ułamka znajdują się jednomiany. Reprezentują praca(liczby, zmienne i ich potęgi), mnożniki możemy zmniejszyć.
Zmniejszamy liczby do największych wspólny dzielnik, czyli na największa liczba, przez który dzieli się każdą z tych liczb. Dla 24 i 36 jest to 12. Po redukcji z 24 zostaje 2, a z 36 3.
Stopnie zmniejszamy o stopień z najniższym indeksem. Skracanie ułamka oznacza podzielenie licznika i mianownika przez ten sam dzielnik i odjęcie wykładników.
a² i a⁷ są zredukowane do a². W tym przypadku jedynka pozostaje w liczniku a² (1 piszemy tylko w przypadku, gdy po redukcji nie ma już innych czynników. Z 24 zostają 2, zatem z a² nie zapisujemy 1). Z a⁷ po redukcji pozostaje a⁵.
b i b są zmniejszane o b; powstałe jednostki nie są zapisywane.
c³º i c⁵ są skracane do c⁵. Z c³º zostaje c²⁵, z c⁵ jest jeden (nie piszemy tego). Zatem,
Licznik i mianownik tego ułamka algebraicznego są wielomianami. Nie można anulować wyrazów wielomianów! (nie można zmniejszyć np. 8x² i 2x!). Aby zmniejszyć ten ułamek, potrzebujesz . Licznik ma wspólny dzielnik 4x. Wyjmijmy to z nawiasów:
Zarówno licznik, jak i mianownik mają ten sam współczynnik (2x-3). Zmniejszamy ułamek o ten współczynnik. W liczniku otrzymaliśmy 4x, w mianowniku - 1. Dla 1 właściwości ułamki algebraiczne, ułamek wynosi 4x.
Możesz jedynie redukować współczynniki (nie możesz zmniejszać tego ułamka o 25x²!). Dlatego wielomiany w liczniku i mianowniku ułamka należy rozłożyć na czynniki.
W liczniku - idealny kwadrat sumy, mianownikiem jest różnica kwadratów. Po rozłożeniu za pomocą skróconych wzorów na mnożenie otrzymujemy:
Zmniejszamy ułamek o (5x+1) (w tym celu skreślamy dwójkę w liczniku jako wykładnik, pozostawiając (5x+1)² (5x+1)):
Licznik ma wspólny dzielnik równy 2, usuńmy go z nawiasów. Mianownik to wzór na różnicę sześcianów:
W wyniku rozwinięcia licznik i mianownik otrzymały ten sam współczynnik (9+3a+a²). Skracamy przez to ułamek:
Wielomian w liczniku składa się z 4 wyrazów. pierwszy wyraz z drugim, trzeci z czwartym i usuń wspólny współczynnik x² z pierwszych nawiasów. Rozkładamy mianownik korzystając ze wzoru na sumę kostek:
W liczniku weźmy wspólny czynnik (x+2) z nawiasów:
Zmniejsz ułamek o (x+2):
Redukcja ułamków jest konieczna, aby zmniejszyć ułamek na więcej prosty widok na przykład w odpowiedzi uzyskanej w wyniku rozwiązania wyrażenia.
Ułamki redukcyjne, definicja i wzór.
Co to jest ułamek redukujący? Co to znaczy skrócić ułamek?
Definicja:
Redukcja ułamków- jest to dzielenie licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę dodatnią, różną od zera i jedynki. W wyniku redukcji otrzymuje się ułamek o mniejszym liczniku i mianowniku, równy ułamkowi poprzedniemu wg.
Wzór na redukcję ułamków podstawowe własności liczb wymiernych.
\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)
Spójrzmy na przykład:
Zmniejsz ułamek \(\frac(9)(15)\)
Rozwiązanie:
Możemy rozwinąć ułamek do czynniki pierwsze i redukować wspólne czynniki.
\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)
Odpowiedź: po redukcji otrzymaliśmy ułamek \(\frac(3)(5)\). Zgodnie z podstawową właściwością liczb wymiernych ułamki pierwotne i wynikowe są równe.
\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)
Jak skrócić ułamki? Sprowadzanie ułamka do jego nieredukowalnej postaci.
Aby w rezultacie uzyskać ułamek nieredukowalny, potrzebujemy znajdź największy wspólny dzielnik (NWD) dla licznika i mianownika ułamka.
Istnieje kilka sposobów znalezienia NWD; w przykładzie wykorzystamy rozkład liczb na czynniki pierwsze.
Znajdź ułamek nieredukowalny \(\frac(48)(136)\).
Rozwiązanie:
Znajdźmy NWD(48, 136). Zapiszmy liczby 48 i 136 na czynniki pierwsze.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
NWD(48, 136)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(48)(136)=\frac(\color(czerwony) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)
Zasada sprowadzania ułamka do postaci nieredukowalnej.
- Musimy znaleźć największy wspólny dzielnik licznika i mianownika.
- Aby w wyniku dzielenia otrzymać ułamek nieredukowalny, należy podzielić licznik i mianownik przez największy wspólny dzielnik.
Przykład:
Skróć ułamek \(\frac(152)(168)\).
Rozwiązanie:
Znajdźmy NWD(152, 168). Zapiszmy liczby 152 i 168 na czynniki pierwsze.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
NWD(152, 168)= 2⋅2⋅2=6
\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)
Odpowiedź: \(\frac(19)(21)\) jest ułamkiem nieredukowalnym.
Redukcja ułamków niewłaściwych.
Jak skrócić ułamek niewłaściwy?
Zasady skracania ułamków zwykłych i niewłaściwych są takie same.
Spójrzmy na przykład:
Skróć ułamek niewłaściwy \(\frac(44)(32)\).
Rozwiązanie:
Zapiszmy licznik i mianownik na proste czynniki. A następnie zredukujemy wspólne czynniki.
\(\frac(44)(32)=\frac(\color(czerwony) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)
Redukcja frakcji mieszanych.
Ułamki mieszane podlegają tym samym zasadom, co ułamki zwykłe. Jedyna różnica jest taka, że możemy nie dotykaj całej części, ale zmniejsz część ułamkową Lub Zamień ułamek mieszany na ułamek niewłaściwy, skróć go i zamień z powrotem na ułamek właściwy.
Spójrzmy na przykład:
Anuluj ułamek mieszany \(2\frac(30)(45)\).
Rozwiązanie:
Rozwiążmy to na dwa sposoby:
Pierwszy sposób:
Zapiszmy część ułamkową na proste czynniki, ale nie będziemy dotykać całej części.
\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)
Drugi sposób:
Najpierw zamieńmy go na ułamek niewłaściwy, a następnie zapiszmy na czynniki pierwsze i skróćmy. Przekształćmy powstały ułamek niewłaściwy na ułamek właściwy.
\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)
Powiązane pytania:
Czy potrafisz skracać ułamki zwykłe podczas dodawania lub odejmowania?
Odpowiedź: nie, musisz najpierw dodać lub odjąć ułamki zgodnie z zasadami, a dopiero potem je zmniejszyć. Spójrzmy na przykład:
Oceń wyrażenie \(\frac(50+20-10)(20)\) .
Rozwiązanie:
Często popełniają błąd, redukując te same liczby w liczniku i mianowniku, w naszym przypadku liczbę 20, ale nie można ich zmniejszyć, dopóki nie zakończy się dodawanie i odejmowanie.
\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)
Przez jakie liczby można skrócić ułamek?
Odpowiedź: Możesz skrócić ułamek przez największy wspólny dzielnik lub wspólny dzielnik licznika i mianownika. Na przykład ułamek \(\frac(100)(150)\).
Zapiszmy liczby 100 i 150 na czynniki pierwsze.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Największym wspólnym dzielnikiem będzie liczba GCD(100, 150)= 2⋅5⋅5=50
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)
Otrzymaliśmy ułamek nieredukowalny \(\frac(2)(3)\).
Ale nie zawsze trzeba dzielić przez gcd; nie zawsze potrzebny jest ułamek nieredukowalny; można go zmniejszyć przez prosty dzielnik licznika i mianownika. Na przykład liczby 100 i 150 mają wspólny dzielnik 2. Zmniejszmy ułamek \(\frac(100)(150)\) o 2.
\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)
Otrzymaliśmy ułamek redukowalny \(\frac(50)(75)\).
Jakie ułamki można skrócić?
Odpowiedź: Można skrócić ułamki zwykłe, w których licznik i mianownik mają wspólny dzielnik. Na przykład ułamek \(\frac(4)(8)\). Liczby 4 i 8 mają liczbę, przez którą są podzielne - liczbę 2. Dlatego taki ułamek można zmniejszyć o liczbę 2.
Przykład:
Porównaj dwa ułamki \(\frac(2)(3)\) i \(\frac(8)(12)\).
Te dwa ułamki są równe. Przyjrzyjmy się bliżej ułamkowi \(\frac(8)(12)\):
\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3)\times 1=\frac(2)(3)\)
Stąd otrzymujemy, \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)
Dwa ułamki są równe wtedy i tylko wtedy, gdy jeden z nich otrzymamy poprzez skrócenie drugiego ułamka przez wspólny współczynnik licznika i mianownika.
Przykład:
Jeśli to możliwe, skróć następujące ułamki: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d) \(\frac(100)(250)\)
Rozwiązanie:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) ułamek nieredukowalny
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ razy 5)=\frac(2)(5)\)
Dział oraz licznik i mianownik ułamka na nich wspólny dzielnik, różni się od jednego, nazywa się redukując ułamek.
Aby skrócić ułamek wspólny, musisz podzielić jego licznik i mianownik przez tę samą liczbę naturalną.
Liczba ta jest największym wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika danego ułamka.
Możliwe są następujące rozwiązania formularze rejestracyjne decyzji Przykłady redukcji ułamków zwykłych.
Student ma prawo wyboru dowolnej formy nagrania.
Przykłady. Uprość ułamki.
Zmniejsz ułamek o 3 (podziel licznik przez 3;
podzielić mianownik przez 3).
Zmniejsz ułamek o 7.
Wskazane działania wykonujemy w liczniku i mianowniku ułamka.
Otrzymaną frakcję zmniejsza się o 5.
Skróćmy ten ułamek 4)
NA 5,7³- największy wspólny dzielnik (NWD) licznika i mianownika, na który składają się wspólne czynniki licznika i mianownika, podane do potęgi o najmniejszym wykładniku.
Rozłóżmy licznik i mianownik tego ułamka na czynniki pierwsze.
Otrzymujemy: 756=2²·3³·7 I 1176=2³·3,7².
Określ GCD (największy wspólny dzielnik) licznika i mianownika ułamka 5) .
Jest to iloczyn wspólnych czynników wziętych z najniższymi wykładnikami.
gcd(756, 1176)= 2²·3·7.
Licznik i mianownik tego ułamka dzielimy przez ich gcd, czyli przez 2²·3·7 otrzymujemy ułamek nieredukowalny 9/14
.
Lub można było zapisać rozkład licznika i mianownika w postaci iloczynu czynników pierwszych, bez korzystania z pojęcia potęgi, a następnie zmniejszyć ułamek, skreślając te same czynniki w liczniku i mianowniku. Gdy nie ma już identycznych czynników, pozostałe czynniki mnożymy osobno w liczniku i osobno w mianowniku i wynikowy ułamek wypisujemy 9/14 .
I wreszcie udało się zmniejszyć tę frakcję 5) stopniowo, stosując znaki dzielenia liczb zarówno do licznika, jak i mianownika ułamka. Pomyślmy tak: liczby 756 I 1176 kończą się liczbą parzystą, co oznacza, że obie liczby są podzielne przez 2 . Zmniejszamy ułamek przez 2 . Licznikiem i mianownikiem nowego ułamka są liczby 378 I 588 również podzielone na 2 . Zmniejszamy ułamek przez 2 . Zauważamy, że liczba 294 - nawet i 189 jest nieparzysta i redukcja o 2 nie jest już możliwa. Sprawdźmy podzielność liczb 189 I 294 NA 3 .
(1+8+9)=18 dzieli się przez 3, a (2+9+4)=15 dzieli się przez 3, stąd same liczby 189 I 294 dzielą się na 3 . Zmniejszamy ułamek przez 3 . Następny, 63 jest podzielna przez 3 i 98 - NIE. Przyjrzyjmy się innym czynnikom pierwszym. Obie liczby są podzielne przez 7 . Zmniejszamy ułamek przez 7 i otrzymujemy ułamek nieredukowalny 9/14 .
Jeśli będziemy musieli podzielić 497 przez 4, to podczas dzielenia zobaczymy, że 497 nie jest równomiernie podzielne przez 4, tj. pozostała część podziału pozostaje. W takich przypadkach mówi się, że jest zakończone dzielenie z resztą, a rozwiązanie jest zapisane w następujący sposób:
497: 4 = 124 (1 reszta).
Składniki dzielenia po lewej stronie równości nazywane są tak samo, jak przy dzieleniu bez reszty: 497 - dywidenda, 4 - rozdzielacz. Nazywa się wynik dzielenia z resztą niepełny prywatny. W naszym przypadku jest to liczba 124. I wreszcie ostatnia składowa, która nie podlega zwykłemu podziałowi, to reszta. W przypadkach, gdy nie ma reszty, mówi się, że jedna liczba jest dzielona przez drugą bez śladu lub całkowicie. Uważa się, że przy takim podziale reszta wynosi zero. W naszym przypadku reszta wynosi 1.
Reszta jest zawsze mniejsza od dzielnika.
Dzielenie można sprawdzić mnożąc. Jeśli na przykład istnieje równość 64: 32 = 2, wówczas sprawdzenie można wykonać w następujący sposób: 64 = 32 * 2.
Często w przypadkach, gdy wykonywane jest dzielenie z resztą, wygodnie jest zastosować równość
a = b * n + r,
gdzie a jest dywidendą, b jest dzielnikiem, n jest niepełnym ilorazem, r jest resztą.
Iloraz liczb naturalnych można zapisać w postaci ułamka zwykłego.
Licznik ułamka to dzielna, a mianownik to dzielnik.
Ponieważ licznik ułamka jest dzielną, a mianownik jest dzielnikiem, wierzą, że linia ułamka oznacza czynność dzielenia. Czasami wygodnie jest zapisać dzielenie w postaci ułamka zwykłego bez użycia znaku „:”.
Iloraz dzielenia liczb naturalnych m i n można zapisać jako ułamek \(\frac(m)(n) \), gdzie licznik m jest dzielną, a mianownik n jest dzielnikiem:
\(m:n = \frac(m)(n)\)
Następujące zasady są prawdziwe:
Aby otrzymać ułamek \(\frac(m)(n)\), należy podzielić jednostkę na n równych części (udziałów) i wziąć m takich części.
Aby otrzymać ułamek \(\frac(m)(n)\), należy podzielić liczbę m przez liczbę n.
Aby znaleźć część całości, należy podzielić liczbę odpowiadającą całości przez mianownik i wynik pomnożyć przez licznik ułamka wyrażającego tę część.
Aby znaleźć całość z jej części, należy podzielić liczbę odpowiadającą tej części przez licznik i wynik pomnożyć przez mianownik ułamka wyrażającego tę część.
Jeśli zarówno licznik, jak i mianownik ułamka zostaną pomnożone przez tę samą liczbę (z wyjątkiem zera), wartość ułamka nie ulegnie zmianie:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)
Jeśli licznik i mianownik ułamka zostaną podzielone przez tę samą liczbę (z wyjątkiem zera), wartość ułamka nie ulegnie zmianie:
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Ta właściwość nazywa się główna właściwość ułamka.
Dwie ostatnie transformacje nazywane są redukując ułamek.
Jeśli ułamki muszą być reprezentowane jako ułamki o tym samym mianowniku, wówczas nazywa się to działanie redukując ułamki do wspólny mianownik .
Ułamki właściwe i niewłaściwe. Liczby mieszane
Wiesz już, że ułamek można uzyskać, dzieląc całość na równe części i biorąc kilka takich części. Na przykład ułamek \(\frac(3)(4)\) oznacza trzy czwarte jednego. W wielu zadaniach opisanych w poprzednim akapicie ułamki były używane do przedstawienia części całości. Zdrowy rozsądek podpowiada, że część powinna być zawsze mniejsza od całości, ale co z ułamkami takimi jak \(\frac(5)(5)\) lub \(\frac(8)(5)\)? Oczywiste jest, że nie jest to już część jednostki. Prawdopodobnie dlatego nazywa się ułamki, których licznik jest większy lub równy mianownikowi ułamki niewłaściwe. Inne ułamki, czyli ułamki, których licznik mniej niż mianownik, zwany poprawne ułamki.
Jak wiadomo, każdy ułamek zwykły, zarówno właściwy, jak i niewłaściwy, można traktować jako wynik podzielenia licznika przez mianownik. Dlatego w matematyce, w odróżnieniu od potocznego języka, określenie „ułamek niewłaściwy” nie oznacza, że zrobiliśmy coś złego, a jedynie to, że licznik tego ułamka jest większy lub równy mianownikowi.
Jeśli liczba składa się z części całkowitej i ułamka, to taka ułamki nazywane są mieszanymi.
Na przykład:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 to część całkowita, a \(\frac(2)(3) \) to część ułamkowa.
Jeżeli licznik ułamka \(\frac(a)(b) \) jest podzielny przez liczbę naturalną n, to aby podzielić ten ułamek przez n, jego licznik należy podzielić przez tę liczbę:
\(\duży \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)
Jeżeli licznik ułamka \(\frac(a)(b)\) nie jest podzielny przez liczbę naturalną n, to aby podzielić ten ułamek przez n, należy pomnożyć jego mianownik przez tę liczbę:
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)
Zauważ, że druga zasada jest również prawdziwa, gdy licznik jest podzielny przez n. Dlatego możemy go użyć, gdy trudno na pierwszy rzut oka określić, czy licznik ułamka jest podzielny przez n, czy nie.
Działania z ułamkami. Dodawanie ułamków.
Operacje arytmetyczne można wykonywać na liczbach ułamkowych, podobnie jak na liczbach naturalnych. Przyjrzyjmy się najpierw dodawaniu ułamków. Dodawanie ułamków zwykłych o podobnych mianownikach jest łatwe. Znajdźmy na przykład sumę \(\frac(2)(7)\) i \(\frac(3)(7)\). Łatwo zrozumieć, że \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)
Aby dodać ułamki o tych samych mianownikach, musisz dodać ich liczniki i pozostawić mianownik bez zmian.
Używając liter, regułę dodawania ułamków o podobnych mianownikach można zapisać w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)
Jeśli chcesz dodać ułamki za pomocą różne mianowniki, to należy je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika. Na przykład:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)
W przypadku ułamków, podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, obowiązują przemienne i łączne właściwości dodawania.
Dodawanie frakcji mieszanych
Wywoływane są takie oznaczenia, jak \(2\frac(2)(3)\). frakcje mieszane. W tym przypadku wywoływana jest liczba 2 cała część ułamek mieszany, a liczba \(\frac(2)(3)\) jest jego liczbą część ułamkowa. Zapis \(2\frac(2)(3)\) czyta się następująco: „dwa i dwie trzecie”.
Dzieląc liczbę 8 przez liczbę 3, możesz otrzymać dwie odpowiedzi: \(\frac(8)(3)\) i \(2\frac(2)(3)\). Wyrażają tę samą liczbę ułamkową, tj. \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)
Zatem ułamek niewłaściwy \(\frac(8)(3)\) jest reprezentowany jako ułamek mieszany \(2\frac(2)(3)\). W takich przypadkach mówią, że z ułamka niewłaściwego podkreślił całą część.
Odejmowanie ułamków zwykłych (liczb ułamkowych)
Odejmowanie liczb ułamkowych, podobnie jak liczb naturalnych, określa się na podstawie działania dodawania: odejmowanie drugiej od jednej liczby oznacza znalezienie takiej liczby, która po dodaniu do drugiej daje pierwszą. Na przykład:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) ponieważ \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)
Zasada odejmowania ułamków o podobnych mianownikach jest podobna do zasady dodawania takich ułamków:
Aby znaleźć różnicę między ułamkami o tych samych mianownikach, należy odjąć licznik drugiego ułamka od licznika pierwszego ułamka i pozostawić mianownik bez zmian.
Używając liter, reguła ta jest zapisana w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)
Mnożenie ułamków
Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, należy pomnożyć jego liczniki i mianowniki i zapisać pierwszy iloczyn jako licznik, a drugi jako mianownik.
Używając liter, regułę mnożenia ułamków można zapisać w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)
Korzystając ze sformułowanej reguły, możesz pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, przez ułamek mieszany, a także pomnożyć ułamki mieszane. Aby to zrobić, musisz zapisać liczbę naturalną jako ułamek o mianowniku 1, a ułamek mieszany jako ułamek niewłaściwy.
Wynik mnożenia należy uprościć (jeśli to możliwe) poprzez zmniejszenie ułamka i wyodrębnienie całej części ułamka niewłaściwego.
W przypadku ułamków zwykłych, podobnie jak w przypadku liczb naturalnych, obowiązują przemienne i kombinacyjne właściwości mnożenia, a także rozdzielność mnożenia względem dodawania.
Podział ułamków
Weźmy ułamek \(\frac(2)(3)\) i „odwróćmy go”, zamieniając licznik z mianownikiem. Otrzymujemy ułamek \(\frac(3)(2)\). Ten ułamek nazywa się odwracać ułamki \(\frac(2)(3)\).
Jeśli teraz „odwrócimy” ułamek \(\frac(3)(2)\), otrzymamy pierwotny ułamek \(\frac(2)(3)\). Dlatego ułamki takie jak \(\frac(2)(3)\) i \(\frac(3)(2)\) nazywane są wzajemnie odwrotne.
Na przykład ułamki \(\frac(6)(5) \) i \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) i \(\frac (18 )(7)\).
Używając liter, ułamki odwrotne można zapisać w następujący sposób: \(\frac(a)(b) \) i \(\frac(b)(a) \)
To jasne iloczyn ułamków odwrotnych jest równy 1. Na przykład: \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)
Używając ułamków odwrotnych, możesz sprowadzić dzielenie ułamków do mnożenia.
Zasada dzielenia ułamka przez ułamek jest następująca:
Aby podzielić ułamek przez drugi, należy pomnożyć dywidendę przez odwrotność dzielnika.
Używając liter, regułę dzielenia ułamków można zapisać w następujący sposób:
\(\large \frac(a)(b) : \frac(c)(d) = \frac(a)(b) \cdot \frac(d)(c) \)
Jeśli dywidenda lub dzielnik jest liczba naturalna Lub frakcja mieszana, to aby zastosować regułę dzielenia ułamków, należy je najpierw przedstawić jako ułamek niewłaściwy.