Rozkładanie wielomianów na czynniki to transformacja tożsamości, w wyniku której wielomian przekształca się w iloczyn kilku czynników - wielomianów lub jednomianów.
Istnieje kilka sposobów rozkładania wielomianów na czynniki.
Metoda 1. Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów.
Transformacja ta opiera się na rozdzielnym prawie mnożenia: ac + bc = c(a + b). Istota transformacji polega na wyodrębnieniu wspólnego czynnika w obu rozpatrywanych składnikach i „wyjęciu” go z nawiasów.
Rozłóżmy wielomian na czynniki 28x3 – 35x4.
Rozwiązanie.
1. Znajdź elementy 28x 3 i 35x 4 wspólny dzielnik. Dla 28 i 35 będzie to 7; dla x 3 i x 4 – x 3. Innymi słowy, nasz wspólny dzielnik to 7x3.
2. Każdy z elementów reprezentujemy jako iloczyn czynników, z których jeden
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.
3. Wyjmujemy wspólny czynnik z nawiasów
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).
Metoda 2. Stosowanie skróconych wzorów na mnożenie. „Opanowanie” stosowania tej metody polega na dostrzeżeniu w wyrażeniu jednego ze skróconych wzorów na mnożenie.
Rozłóżmy wielomian na czynniki x 6 – 1.
Rozwiązanie.
1. Do tego wyrażenia możemy zastosować wzór na różnicę kwadratów. Aby to zrobić, wyobraź sobie x 6 jako (x 3) 2 i 1 jako 1 2, tj. 1. Wyrażenie będzie miało postać:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).
2. Do otrzymanego wyrażenia możemy zastosować wzór na sumę i różnicę kostek:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Więc,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Metoda 3. Grupowanie. Metoda grupowania polega na łączeniu składników wielomianu w taki sposób, aby można było na nich łatwo wykonywać operacje (dodawanie, odejmowanie, odejmowanie wspólnego czynnika).
Rozłóżmy wielomian na czynniki x 3 – 3x 2 + 5x – 15.
Rozwiązanie.
1. Pogrupujmy komponenty w ten sposób: 1. z 2., a 3. z 4.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).
2. W otrzymanym wyrażeniu wyjmujemy z nawiasów wspólne czynniki: x 2 w pierwszym przypadku i 5 w drugim.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).
3. Bierzemy z nawiasów wspólny współczynnik x – 3 i otrzymujemy:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).
Więc,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).
Zabezpieczmy materiał.
Rozłóż wielomian na czynniki a 2 – 7ab + 12b 2 .
Rozwiązanie.
1. Przedstawmy jednomian 7ab jako sumę 3ab + 4ab. Wyrażenie będzie miało postać:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2. 
Otwórzmy nawiasy i otrzymajmy:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.
2. Pogrupujmy składniki wielomianu w następujący sposób: 1. z 2. i 3. z 4. Otrzymujemy:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).
3. Wyjmijmy wspólne czynniki z nawiasów:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).
4. Wyjmijmy wspólny czynnik (a – 3b) z nawiasów:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
Więc,
za 2 – 7ab + 12b 2 =
= za 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= za 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.
Rozkładanie wielomianów na czynniki to transformacja tożsamości, w wyniku której wielomian przekształca się w iloczyn kilku czynników - wielomianów lub jednomianów.
Istnieje kilka sposobów rozkładania wielomianów na czynniki.
Metoda 1. Wyjęcie wspólnego czynnika z nawiasów.
Transformacja ta opiera się na rozdzielnym prawie mnożenia: ac + bc = c(a + b). Istota transformacji polega na wyodrębnieniu wspólnego czynnika w obu rozpatrywanych składnikach i „wyjęciu” go z nawiasów.
Rozłóżmy wielomian na czynniki 28x3 – 35x4.
Rozwiązanie.
1. Znajdź wspólny dzielnik dla elementów 28x3 i 35x4. Dla 28 i 35 będzie to 7; dla x 3 i x 4 – x 3. Innymi słowy, nasz wspólny dzielnik to 7x3.
2. Każdy z elementów reprezentujemy jako iloczyn czynników, z których jeden
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.
3. Wyjmujemy wspólny czynnik z nawiasów
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).
Metoda 2. Stosowanie skróconych wzorów na mnożenie. „Opanowanie” stosowania tej metody polega na dostrzeżeniu w wyrażeniu jednego ze skróconych wzorów na mnożenie.
Rozłóżmy wielomian na czynniki x 6 – 1.
Rozwiązanie.
1. Do tego wyrażenia możemy zastosować wzór na różnicę kwadratów. Aby to zrobić, wyobraź sobie x 6 jako (x 3) 2 i 1 jako 1 2, tj. 1. Wyrażenie będzie miało postać:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).
2. Do otrzymanego wyrażenia możemy zastosować wzór na sumę i różnicę kostek:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Więc,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).
Metoda 3. Grupowanie. Metoda grupowania polega na łączeniu składników wielomianu w taki sposób, aby można było na nich łatwo wykonywać operacje (dodawanie, odejmowanie, odejmowanie wspólnego czynnika).
Rozłóżmy wielomian na czynniki x 3 – 3x 2 + 5x – 15.
Rozwiązanie.
1. Pogrupujmy komponenty w ten sposób: 1. z 2., a 3. z 4.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).
2. W otrzymanym wyrażeniu wyjmujemy z nawiasów wspólne czynniki: x 2 w pierwszym przypadku i 5 w drugim.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).
3. Bierzemy z nawiasów wspólny współczynnik x – 3 i otrzymujemy:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).
Więc,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).
Zabezpieczmy materiał.
Rozłóż wielomian na czynniki a 2 – 7ab + 12b 2 .
Rozwiązanie.
1. Przedstawmy jednomian 7ab jako sumę 3ab + 4ab. Wyrażenie będzie miało postać:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.
Otwórzmy nawiasy i otrzymajmy:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.
2. Pogrupujmy składniki wielomianu w następujący sposób: 1. z 2. i 3. z 4. Otrzymujemy:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).
3. Wyjmijmy wspólne czynniki z nawiasów:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).
4. Wyjmijmy wspólny czynnik (a – 3b) z nawiasów:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
Więc,
za 2 – 7ab + 12b 2 =
= za 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= za 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).
stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.
Wielomian to wyrażenie składające się z sumy jednomianów. Te ostatnie są iloczynem stałej (liczby) i pierwiastka (lub pierwiastków) wyrażenia do potęgi k. W tym przypadku mówimy o wielomianu stopnia k. Rozwinięcie wielomianu polega na przekształceniu wyrażenia, w którym wyrazy są zastępowane czynnikami. Rozważmy główne sposoby przeprowadzenia tego rodzaju transformacji.
Metoda rozwinięcia wielomianu poprzez wyodrębnienie wspólnego czynnika
Metoda ta opiera się na prawach prawa dystrybucji. Zatem mn + mk = m * (n + k).
- Przykład: rozwiń 7y 2 + 2uy i 2m 3 – 12m 2 + 4mb.
7y 2 + 2uy = y* (7y + 2u),
2m 3 – 12m 2 + 4mb = 2m(m 2 – 6m + 2l).
Dlatego jednak nie zawsze można znaleźć czynnik, który jest koniecznie obecny w każdym wielomianie Ta metoda nie jest uniwersalny.
Metoda rozwinięcia wielomianu oparta na skróconych wzorach na mnożenie
Skrócone wzory na mnożenie obowiązują dla wielomianów dowolnego stopnia. W ogólna perspektywa Wyrażenie konwersji wygląda następująco:
u k – l k = (u – l)(u k-1 + u k-2 * l + u k-3 *l 2 + … u * l k-2 + l k-1), gdzie k jest przedstawicielem liczby naturalne .
W praktyce najczęściej stosowane wzory dotyczą wielomianów drugiego i trzeciego rzędu:
u 2 – l 2 = (u – l)(u + l),
u 3 – l 3 = (u – l)(u 2 + ul + l 2),
u 3 + l 3 = (u + l)(u 2 – ul + l 2).
- Przykład: rozwiń 25p 2 – 144b 2 i 64m 3 – 8l 3.
25p 2 – 144b 2 = (5p – 12b)(5p + 12b),
64m 3 – 8l 3 = (4m) 3 – (2l) 3 = (4m – 2l)((4m) 2 + 4m * 2l + (2l) 2) = (4m – 2l)(16m 2 + 8ml + 4l 2 ).
Metoda rozwinięcia wielomianu - grupowanie wyrazów wyrażenia
Metoda ta w pewnym sensie ma coś wspólnego z techniką wyprowadzania wspólnego czynnika, ale ma pewne różnice. W szczególności przed wyodrębnieniem wspólnego czynnika należy pogrupować jednomiany. Grupowanie opiera się na zasadach praw kombinacyjnych i przemiennych.
Wszystkie jednomiany przedstawione w wyrażeniu są podzielone na grupy, w każdej z nich Ogólne znaczenie tak, że drugi czynnik będzie taki sam we wszystkich grupach. Ogólnie rzecz biorąc, tę metodę rozkładu można przedstawić jako wyrażenie:
pl + ks + kl + ps = (pl + ps) + (ks + kl) ⇒ pl + ks + kl + ps = p(l + s) + k(l + s),
pl + ks + kl + ps = (p + k)(l + s).
- Przykład: rozłożone 14mn + 16ln – 49m – 56l.
14mn + 16ln – 49m – 56l = (14mn – 49m) + (16ln – 56l) = 7m * (2n – 7) + 8l * (2n – 7) = (7m + 8l)(2n – 7).
Metoda rozwinięcia wielomianu - tworzenie idealnego kwadratu
Metoda ta jest jedną z najskuteczniejszych w rozszerzaniu wielomianu. Na początkowym etapie należy wyznaczyć jednomiany, które można „zwinąć” do kwadratu różnicy lub sumy. Aby to zrobić, użyj jednej z relacji:
(p – b) 2 = p 2 – 2pb + b 2,
- Przykład: rozwiń wyrażenie u 4 + 4u 2 – 1.
Spośród jego jednomianów wybierzmy wyrazy tworzące pełny kwadrat: u 4 + 4u 2 – 1 = u 4 + 2 * 2u 2 + 4 – 4 – 1 =
= (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 4 – 1 = (u 4 + 2 * 2u 2 + 4) – 5.
Dokończ transformację, korzystając ze skróconych zasad mnożenia: (u 2 + 2) 2 – 5 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
To. u 4 + 4u 2 – 1 = (u 2 + 2 – √5)(u 2 + 2 + √5).
Aby dokonać faktoryzacji, konieczne jest uproszczenie wyrażeń. Jest to konieczne, aby można było je jeszcze bardziej zmniejszyć. Rozszerzanie wielomianu ma sens, gdy jego stopień jest nie mniejszy niż dwa. Wielomian pierwszego stopnia nazywa się liniowym.
Yandex.RTB R-A-339285-1
W artykule omówione zostaną wszystkie pojęcia rozkładu, podstawy teoretyczne i metody rozkładu wielomianu na czynniki.
Teoria
Twierdzenie 1Gdy dowolny wielomian o stopniu n, mający postać P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, są reprezentowane jako iloczyn ze stałym współczynnikiem o najwyższym stopniu a n i n współczynników liniowych (x - x i), i = 1, 2, ..., n, następnie P n (x) = za n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 1) , gdzie x i, i = 1, 2, …, n są pierwiastkami wielomianu.
Twierdzenie jest przeznaczone dla pierwiastków typu zespolonego x i, i = 1, 2, …, n oraz dla współczynników zespolonych a k, k = 0, 1, 2, …, n. To jest podstawa każdego rozkładu.
Gdy współczynniki postaci a k, k = 0, 1, 2,…, n są liczbami rzeczywistymi, wówczas pierwiastki zespolone wystąpią w parach sprzężonych. Na przykład pierwiastki x 1 i x 2 odnoszą się do wielomianu postaci P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 uważa się za sprzężenie zespolone, wówczas pozostałe pierwiastki są rzeczywiste, z czego otrzymujemy, że wielomian przyjmuje postać P n (x) = a n (x - x n) (x - x n - 1) · . . . · (x - x 3) x 2 + p x + q, gdzie x 2 + p x + q = (x - x 1) (x - x 2) .
Komentarz
Pierwiastki wielomianu można powtarzać. Rozważmy dowód twierdzenia o algebrze, będący konsekwencją twierdzenia Bezouta.
Podstawowe twierdzenie algebry
Twierdzenie 2Każdy wielomian o stopniu n ma co najmniej jeden pierwiastek.
Twierdzenie Bezouta
Po podzieleniu wielomianu postaci P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 na (x - s), wtedy otrzymujemy resztę, która jest równa wielomianowi w punkcie s, wtedy otrzymujemy
P. n x = za n x n + za n - 1 x n - 1 + . . . + za 1 x + za 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) + P n (s) , gdzie Q n - 1 (x) jest wielomianem o stopniu n - 1.
Wniosek z twierdzenia Bezouta
Gdy pierwiastek wielomianu P n (x) uważa się za s, wówczas P n x = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + za 1 x + za 0 = (x - s) · Q n - 1 (x) . Ten wniosek jest wystarczający, jeśli zostanie użyty do opisania rozwiązania.
Rozkładanie na czynniki trójmianu kwadratowego
Trójmian kwadratowy postaci a x 2 + b x + c można rozłożyć na czynniki liniowe. wtedy otrzymujemy, że a x 2 + b x + c = a (x - x 1) (x - x 2) , gdzie x 1 i x 2 są pierwiastkami (zespolonymi lub rzeczywistymi).
Z tego jasno wynika, że samo rozwinięcie sprowadza się do rozwiązania równanie kwadratowe następnie.
Przykład 1
Uwzględnij trójmian kwadratowy.
Rozwiązanie
Konieczne jest znalezienie pierwiastków równania 4 x 2 - 5 x + 1 = 0. Aby to zrobić, musisz znaleźć wartość dyskryminatora za pomocą wzoru, a następnie otrzymamy D = (- 5) 2 - 4 · 4 · 1 = 9. Stąd mamy to
x 1 = 5 - 9 2 4 = 1 4 x 2 = 5 + 9 2 4 = 1
Z tego otrzymujemy, że 4 x 2 - 5 x + 1 = 4 x - 1 4 x - 1.
Aby przeprowadzić kontrolę, należy otworzyć nawiasy. Otrzymujemy wówczas wyrażenie w postaci:
4 x - 1 4 x - 1 = 4 x 2 - x - 1 4 x + 1 4 = 4 x 2 - 5 x + 1
Po sprawdzeniu dochodzimy do pierwotnego wyrażenia. Oznacza to, że możemy stwierdzić, że rozkład został przeprowadzony prawidłowo.
Przykład 2
Uwzględnij trójmian kwadratowy postaci 3 x 2 - 7 x - 11 .
Rozwiązanie
Uważamy, że konieczne jest obliczenie powstałego równania kwadratowego w postaci 3 x 2 - 7 x - 11 = 0.
Aby znaleźć pierwiastki, musisz określić wartość dyskryminatora. Rozumiemy to
3 x 2 - 7 x - 11 = 0 D = (- 7) 2 - 4 3 (- 11) = 181 x 1 = 7 + D 2 3 = 7 + 181 6 x 2 = 7 - D 2 3 = 7 - 181 6
Z tego otrzymujemy, że 3 x 2 - 7 x - 11 = 3 x - 7 + 181 6 x - 7 - 181 6.
Przykład 3
Rozłóż wielomian na czynniki 2 x 2 + 1.
Rozwiązanie
Teraz musimy rozwiązać równanie kwadratowe 2 x 2 + 1 = 0 i znaleźć jego pierwiastki. Rozumiemy to
2 x 2 + 1 = 0 x 2 = - 1 2 x 1 = - 1 2 = 1 2 ja x 2 = - 1 2 = - 1 2 ja
Pierwiastki te nazywane są koniugatem złożonym, co oznacza, że samo rozwinięcie można przedstawić jako 2 x 2 + 1 = 2 x - 1 2 · i x + 1 2 · i.
Przykład 4
Rozłóż trójmian kwadratowy x 2 + 1 3 x + 1 .
Rozwiązanie
Najpierw musisz rozwiązać równanie kwadratowe w postaci x 2 + 1 3 x + 1 = 0 i znaleźć jego pierwiastki.
x 2 + 1 3 x + 1 = 0 re = 1 3 2 - 4 1 1 = - 35 9 x 1 = - 1 3 + re 2 1 = - 1 3 + 35 3 i 2 = - 1 + 35 · ja 6 = - 1 6 + 35 6 · ja x 2 = - 1 3 - re 2 · 1 = - 1 3 - 35 3 · ja 2 = - 1 - 35 · ja 6 = - 1 6 - 35 6 · ja
Po uzyskaniu korzeni piszemy
x 2 + 1 3 x + 1 = x - - 1 6 + 35 6 i x - - 1 6 - 35 6 ja = = x + 1 6 - 35 6 i x + 1 6 + 35 6 ja
Komentarz
Jeśli wartość wyróżnika jest ujemna, wówczas wielomiany pozostaną wielomianami drugiego rzędu. Wynika z tego, że nie będziemy ich rozszerzać na czynniki liniowe.
Metody rozkładu na czynniki wielomianu stopnia wyższego niż dwa
Podczas rozkładu zakłada się metodę uniwersalną. Większość przypadków opiera się na następstwie twierdzenia Bezouta. Aby to zrobić, musisz wybrać wartość pierwiastka x 1 i zmniejszyć jego stopień, dzieląc przez wielomian przez 1, dzieląc przez (x - x 1). Powstały wielomian musi znaleźć pierwiastek x 2, a proces wyszukiwania jest cykliczny, aż do uzyskania pełnego rozwinięcia.
Jeśli pierwiastek nie zostanie znaleziony, stosuje się inne metody faktoryzacji: grupowanie, terminy dodatkowe. Temat ten dotyczy rozwiązywania równań z wyższe stopnie i współczynniki całkowite.
Wyjmując wspólny czynnik z nawiasów
Rozważmy przypadek, gdy wolny wyraz jest równy zero, wówczas wielomian ma postać P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + 1x .
Można zauważyć, że pierwiastek takiego wielomianu będzie równy x 1 = 0, wówczas wielomian można przedstawić jako wyrażenie P n (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 +. . . + za 1 x = = x (za n x n - 1 + za n - 1 x n - 2 + . . . + za 1)
Uważa się, że metoda ta polega na wyjęciu wspólnego czynnika z nawiasów.
Przykład 5
Rozłóż na czynniki wielomian trzeciego stopnia 4 x 3 + 8 x 2 - x.
Rozwiązanie
Widzimy, że x 1 = 0 jest pierwiastkiem danego wielomianu, wówczas możemy usunąć x z nawiasów całego wyrażenia. Otrzymujemy:
4 x 3 + 8 x 2 - x = x (4 x 2 + 8 x - 1)
Przejdźmy do znalezienia pierwiastków kwadratowego trójmianu 4 x 2 + 8 x - 1. Znajdźmy dyskryminator i pierwiastki:
re = 8 2 - 4 4 (- 1) = 80 x 1 = - 8 + re 2 4 = - 1 + 5 2 x 2 = - 8 - re 2 4 = - 1 - 5 2
Potem to następuje
4 x 3 + 8 x 2 - x = x 4 x 2 + 8 x - 1 = = 4 x x - - 1 + 5 2 x - - 1 - 5 2 = = 4 x x + 1 - 5 2 x + 1 + 5 2
Na początek rozważmy metodę dekompozycji zawierającą współczynniki całkowite postaci P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0, gdzie współczynnik najwyższego stopnia wynosi 1.
Kiedy wielomian ma pierwiastki całkowite, wówczas uważa się je za dzielniki wyrazu wolnego.
Przykład 6
Rozłóż wyrażenie f (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18.
Rozwiązanie
Zastanówmy się, czy istnieją pełne korzenie. Konieczne jest zapisanie dzielników liczby - 18. Otrzymujemy, że ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18. Wynika z tego, że ten wielomian ma pierwiastki całkowite. Można to sprawdzić korzystając ze schematu Hornera. Jest to bardzo wygodne i pozwala szybko uzyskać współczynniki rozszerzalności wielomianu:
Wynika z tego, że x = 2 i x = - 3 są pierwiastkami pierwotnego wielomianu, który można przedstawić jako iloczyn postaci:
fa (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x 3 + 5 x 2 + 9 x + 9) = = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Przystępujemy do rozwinięcia trójmianu kwadratowego postaci x 2 + 2 x + 3.
Ponieważ dyskryminator jest ujemny, oznacza to, że nie ma rzeczywistych pierwiastków.
Odpowiedź: fa (x) = x 4 + 3 x 3 - x 2 - 9 x - 18 = (x - 2) (x + 3) (x 2 + 2 x + 3)
Komentarz
Zamiast schematu Hornera można zastosować selekcję pierwiastkową i dzielenie wielomianu przez wielomian. Przejdźmy do rozważenia rozwinięcia wielomianu zawierającego współczynniki całkowite postaci P n (x) = x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 , z których najwyższy jest równy jeden.
Ten przypadek ma miejsce w przypadku ułamków wymiernych.
Przykład 7
Rozłóż na czynniki f (x) = 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 .
Rozwiązanie
Należy zastąpić zmienną y = 2 x, należy przejść do wielomianu o współczynnikach równych 1 w najwyższym stopniu. Musisz zacząć od pomnożenia wyrażenia przez 4. Rozumiemy to
4 fa (x) = 2 3 x 3 + 19 2 2 x 2 + 82 2 x + 60 = = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 = g (y)
Gdy wynikowa funkcja postaci g (y) = y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60 ma pierwiastki całkowite, wówczas ich położenie należy do dzielników terminu wolnego. Wpis będzie wyglądał następująco:
±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15, ±20, ±30, ±60
Przejdźmy do obliczenia funkcji g (y) w tych punktach, aby w rezultacie otrzymać zero. Rozumiemy to
g (1) = 1 3 + 19 1 2 + 82 1 + 60 = 162 g (- 1) = (- 1) 3 + 19 (- 1) 2 + 82 (- 1) + 60 = - 4 g (2 ) = 2 3 + 19 2 2 + 82 2 + 60 = 308 g (- 2) = (- 2) 3 + 19 (- 2) 2 + 82 (- 2) + 60 = - 36 g (3) = 3 3 + 19 3 2 + 82 3 + 60 = 504 g (- 3) = (- 3) 3 + 19 (- 3) 2 + 82 (- 3) + 60 = - 42 g (4) = 4 3 + 19 · 4 2 + 82 · 4 + 60 = 756 g (- 4) = (- 4) 3 + 19 · (- 4) 2 + 82 · (- 4) + 60 = - 28 g (5) = 5 3 + 19 5 2 + 82 5 + 60 = 1070 g (- 5) = (- 5) 3 + 19 (- 5) 2 + 82 (- 5) + 60
Stwierdzamy, że y = - 5 jest pierwiastkiem równania postaci y 3 + 19 y 2 + 82 y + 60, co oznacza, że x = y 2 = - 5 2 jest pierwiastkiem pierwotnej funkcji.
Przykład 8
Konieczne jest podzielenie kolumną 2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 przez x + 5 2.
Rozwiązanie
Zapiszmy to i otrzymamy:
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = x + 5 2 (2 x 2 + 14 x + 6) = = 2 x + 5 2 (x 2 + 7 x + 3)
Sprawdzanie dzielników zajmie dużo czasu, dlatego bardziej opłaca się rozłożyć na czynniki powstały trójmian kwadratowy postaci x 2 + 7 x + 3. Przyrównując do zera, znajdujemy dyskryminator.
x 2 + 7 x + 3 = 0 re = 7 2 - 4 1 3 = 37 x 1 = - 7 + 37 2 x 2 = - 7 - 37 2 ⇒ x 2 + 7 x + 3 = x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Wynika, że
2 x 3 + 19 x 2 + 41 x + 15 = 2 x + 5 2 x 2 + 7 x + 3 = = 2 x + 5 2 x + 7 2 - 37 2 x + 7 2 + 37 2
Sztuczne techniki rozkładu wielomianu na czynniki
Pierwiastki wymierne nie są nieodłączne dla wszystkich wielomianów. Aby to zrobić, musisz użyć specjalnych metod wyszukiwania czynników. Ale nie wszystkie wielomiany można rozwinąć lub przedstawić jako iloczyn.
Metoda grupowania
W niektórych przypadkach można zgrupować wyrazy wielomianu, aby znaleźć wspólny czynnik i wyjąć go z nawiasów.
Przykład 9
Rozłóż wielomian na czynniki x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2.
Rozwiązanie
Ponieważ współczynniki są liczbami całkowitymi, pierwiastki mogą prawdopodobnie być również liczbami całkowitymi. Aby to sprawdzić, weź wartości 1, - 1, 2 i - 2, aby obliczyć wartość wielomianu w tych punktach. Rozumiemy to
1 4 + 4 1 3 - 1 2 - 8 1 - 2 = - 6 ≠ 0 (- 1) 4 + 4 (- 1) 3 - (- 1) 2 - 8 (- 1) - 2 = 2 ≠ 0 2 4 + 4 2 3 - 2 2 - 8 2 - 2 = 26 ≠ 0 (- 2) 4 + 4 (- 2) 3 - (- 2) 2 - 8 (- 2) - 2 = - 6 ≠ 0
To pokazuje, że nie ma korzeni; konieczne jest zastosowanie innej metody rozwinięcia i rozwiązania.
Należy pogrupować:
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 4 + 4 x 3 - 2 x 2 + x 2 - 8 x - 2 = = (x 4 - 2 x 2) + (4 x 3 - 8 x) + x 2 - 2 = = x 2 (x 2 - 2) + 4 x (x 2 - 2) + x 2 - 2 = = (x 2 - 2) (x 2 + 4 x + 1)
Po zgrupowaniu pierwotnego wielomianu należy go przedstawić jako iloczyn dwóch trójmiany kwadratowe. Aby to zrobić, musimy dokonać faktoryzacji. rozumiemy to
x 2 - 2 = 0 x 2 = 2 x 1 = 2 x 2 = - 2 ⇒ x 2 - 2 = x - 2 x + 2 x 2 + 4 x + 1 = 0 re = 4 2 - 4 1 1 = 12 x 1 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 x 2 = - 4 - D 2 1 = - 2 - 3 ⇒ x 2 + 4 x + 1 = x + 2 - 3 x + 2 + 3
x 4 + 4 x 3 - x 2 - 8 x - 2 = x 2 - 2 x 2 + 4 x + 1 = = x - 2 x + 2 x + 2 - 3 x + 2 + 3
Komentarz
Prostota grupowania nie oznacza, że wybór terminów jest dość łatwy. Nie ma określonej metody rozwiązania, dlatego konieczne jest stosowanie specjalnych twierdzeń i reguł.
Przykład 10
Rozłóż wielomian na czynniki x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 .
Rozwiązanie
Podany wielomian nie ma pierwiastków całkowitych. Terminy należy pogrupować. Rozumiemy to
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = = (x 4 + x 3) + (2 x 3 + 2 x 2) + (- 2 x 2 - 2 x) - x 2 - 2 x + 2 = = x 2 (x 2 + x) + 2 x (x 2 + x) - 2 (x 2 + x) - (x 2 + 2 x - 2) = = (x 2 + x) (x 2 + 2 x - 2) - (x 2 + 2 x - 2) = (x 2 + x - 1) (x 2 + 2 x - 2)
Po faktoryzacji otrzymujemy to
x 4 + 3 x 3 - x 2 - 4 x + 2 = x 2 + x - 1 x 2 + 2 x - 2 = = x + 1 + 3 x + 1 - 3 x + 1 2 + 5 2 x + 1 2 - 5 2
Używanie skróconych wzorów na mnożenie i dwumianu Newtona do rozkładu wielomianu na czynniki
Wygląd często nie zawsze wyjaśnia, jaką metodę należy zastosować podczas rozkładu. Po dokonaniu przekształceń można zbudować prostą składającą się z trójkąta Pascala, w innym przypadku nazywa się je dwumianem Newtona.
Przykład 11
Rozłóż wielomian na czynniki x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2.
Rozwiązanie
Konieczne jest przekształcenie wyrażenia do formy
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3
Kolejność współczynników sumy w nawiasach jest oznaczona wyrażeniem x + 1 4 .
Oznacza to, że mamy x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3.
Po zastosowaniu różnicy kwadratów otrzymujemy
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3
Spójrzmy na wyrażenie znajdujące się w drugim nawiasie. Wiadomo, że tam nie ma rycerzy, zatem należy ponownie zastosować wzór na różnicę kwadratów. Otrzymujemy wyrażenie formy
x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x - 2 = x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 - 3 = x + 1 4 - 3 = = x + 1 4 - 3 = x + 1 2 - 3 x + 1 2 + 3 = = x + 1 - 3 4 x + 1 + 3 4 x 2 + 2 x + 1 + 3
Przykład 12
Rozłóż na czynniki x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 .
Rozwiązanie
Zacznijmy przekształcać wyrażenie. Rozumiemy to
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = x 3 + 3 2 x 2 + 3 2 2 x + 2 3 - 2 = (x + 2) 3 - 2
Konieczne jest zastosowanie wzoru na skrócone pomnożenie różnicy kostek. Otrzymujemy:
x 3 + 6 x 2 + 12 x + 6 = = (x + 2) 3 - 2 = = x + 2 - 2 3 x + 2 2 + 2 3 x + 2 + 4 3 = = x + 2 - 2 3 x 2 + x 2 + 2 3 + 4 + 2 2 3 + 4 3
Metoda zastępowania zmiennej podczas rozkładu wielomianu na czynniki
Podczas zastępowania zmiennej stopień jest zmniejszany, a wielomian jest uwzględniany.
Przykład 13
Rozłóż wielomian w postaci x 6 + 5 x 3 + 6 .
Rozwiązanie
Zgodnie z warunkiem jasne jest, że konieczne jest dokonanie zamiany y = x 3. Otrzymujemy:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6
Zatem pierwiastki powstałego równania kwadratowego wynoszą y = - 2 i y = - 3
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3
Konieczne jest zastosowanie wzoru na skrócone mnożenie sumy kostek. Otrzymujemy wyrażenia postaci:
x 6 + 5 x 3 + 6 = y = x 3 = y 2 + 5 y + 6 = = y + 2 y + 3 = x 3 + 2 x 3 + 3 = = x + 2 3 x 2 - 2 3 x + 4 3 x + 3 3 x 2 - 3 3 x + 9 3
Oznacza to, że uzyskaliśmy pożądany rozkład.
Przypadki omówione powyżej pomogą w rozważaniu i rozkładaniu wielomianu na czynniki na różne sposoby.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli zajdzie taka potrzeba, zgodnie z prawem, postępowanie sądowe, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie zapytań lub żądań opinii publicznej agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.