>

Położenie pierwiastków trójmianu kwadratowego

Badanie wielu wzorów fizycznych i geometrycznych często prowadzi do rozwiązania problemów z parametrami. Niektóre uczelnie w arkuszach egzaminacyjnych uwzględniają także równania, nierówności i ich układy, które często są bardzo złożone i wymagają niestandardowego podejścia do rozwiązania. W szkole jest to jeden z najtrudniejszych odcinków. kurs szkolny Algebra jest omawiana tylko na kilku kursach fakultatywnych lub przedmiotowych.
Moim zdaniem funkcjonalna metoda graficzna jest wygodna i w szybki sposób rozwiązywanie równań z parametrem.
Jak wiadomo, w odniesieniu do równań z parametrami istnieją dwa sformułowania problemu.

  1. Rozwiąż równanie (dla każdej wartości parametru znajdź wszystkie rozwiązania równania).
  2. Znajdź wszystkie wartości parametru, dla których rozwiązania równania spełniają podane warunki.

W artykule rozważamy i badamy problem drugiego typu w odniesieniu do korzeni trójmian kwadratowy, znalezienie, które sprowadza się do rozwiązania równania kwadratowego.
Autor ma taką nadzieję tę pracę pomoże nauczycielom w opracowywaniu lekcji i przygotowaniu uczniów do jednolitego egzaminu państwowego.

1. Co to jest parametr

Wyrażenie formy ach 2 + bx + c na szkolnym kursie algebry nazywają się trójmianem kwadratowym ze względu na X, Gdzie a, b, c podano liczby rzeczywiste, oraz A=/= 0. Wartości zmiennej x, przy której wyrażenie osiąga zero, nazywane są pierwiastkami trójmianu kwadratowego. Aby znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego, musisz rozwiązać równanie kwadratowe ach 2 + bх + do = 0.
Przypomnijmy sobie podstawowe równania ze szkolnego kursu algebry topór + b = 0;
aх2 + bх + c = 0. Podczas wyszukiwania ich pierwiastków wartości zmiennych a, b, c, uwzględnione w równaniu są uważane za stałe i dane. Same zmienne nazywane są parametrami. Ponieważ w podręcznikach szkolnych nie ma definicji parametru, proponuję przyjąć za podstawę następującą najprostszą wersję.

Definicja.Parametr to zmienna niezależna, której wartość w zadaniu przyjmuje się jako zadaną stałą lub dowolną liczbę rzeczywistą, albo liczbę należącą do z góry określonego zbioru.

2. Podstawowe typy i metody rozwiązywania problemów parametrycznych

Wśród zadań posiadających parametry można wyróżnić następujące główne typy zadań.

  1. Równania, które należy rozwiązać dla dowolnej wartości parametru (parametrów) lub dla wartości parametrów należących do z góry określonego zestawu. Na przykład. Rozwiąż równania: topór = 1, (A - 2)x = a 2 – 4.
  2. Równania, dla których należy określić liczbę rozwiązań w zależności od wartości parametru (parametrów). Na przykład. Przy jakich wartościach parametrów A równanie 4X 2 – 4topór + 1 = 0 ma jeden korzeń?
  3. Równania, dla których dla wymaganych wartości parametrów zbiór rozwiązań spełnia określone warunki w dziedzinie definicji.

Na przykład znajdź wartości parametrów, przy których pierwiastki równania ( A - 2)X 2 – 2topór + a + 3 = 0 pozytywny.
Główne sposoby rozwiązywania problemów z parametrem: analityczne i graficzne.

Analityczny– jest to metoda tzw bezpośrednie rozwiązanie, powtarzając standardowe procedury znajdowania odpowiedzi w zadaniach bez parametru. Spójrzmy na przykład takiego zadania.

Zadanie nr 1

Przy jakich wartościach parametru a wykonuje się równanie X 2 – 2topór + a 2 – 1 = 0 ma dwa różne pierwiastki należące do przedziału (1; 5)?

Rozwiązanie

X 2 – 2topór + a 2 – 1 = 0.
Zgodnie z warunkami zadania równanie musi mieć dwa różne pierwiastki, a jest to możliwe tylko pod warunkiem: D > 0.
Mamy: D = 4 A 2 – 2(A 2 – 1) = 4. Jak widzimy, dyskryminator nie zależy od a, dlatego równanie ma dwa różne pierwiastki dla dowolnych wartości parametru a. Znajdźmy pierwiastki równania: X 1 = A + 1, X 2 = A – 1
Pierwiastki równania muszą należeć do przedziału (1; 5), tj.
Zatem o godzinie 2<A < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)

Odpowiedź: 2<A < 4.
Takie podejście do rozwiązywania problemów tego typu jest możliwe i racjonalne w przypadkach, gdy dyskryminator równania kwadratowego jest „dobry”, tj. jest dokładnym kwadratem dowolnej liczby lub wyrażenia, lub pierwiastki równania można znaleźć za pomocą odwrotnego twierdzenia Viety. Zatem pierwiastki nie reprezentują wyrażeń irracjonalnych. W przeciwnym razie rozwiązywanie problemów tego typu wymaga dość skomplikowanych procedur z technicznego punktu widzenia. A rozwiązywanie irracjonalnych nierówności wymaga od ucznia nowej wiedzy.

Graficzny- jest to metoda, w której wykorzystuje się wykresy w płaszczyźnie współrzędnych (x; y) lub (x; a). Przejrzystość i piękno tej metody rozwiązania pomaga znaleźć szybki sposób rozwiązania problemu. Rozwiążmy problem nr 1 graficznie.
Jak wiesz z kursu algebry, pierwiastkami równania kwadratowego (trójmianu kwadratowego) są zera odpowiedniej funkcji kwadratowej: Y = X 2 – 2Oh + A 2 – 1. Wykres funkcji jest parabolą, gałęzie skierowane są w górę (pierwszy współczynnik wynosi 1). Model geometryczny spełniający wszystkie wymagania zadania wygląda następująco.

Teraz pozostaje tylko „ustawić” parabolę w żądanej pozycji, stosując niezbędne warunki.

    1. Ponieważ parabola ma dwa punkty przecięcia z osią X, wówczas D > 0.
    2. Wierzchołek paraboli znajduje się pomiędzy liniami pionowymi X= 1 i X= 5, zatem odcięta wierzchołka paraboli x o należy do przedziału (1; 5), tj.
      1 <X O< 5.
    3. Zauważamy to Na(1) > 0, Na(5) > 0.

Przechodząc więc od modelu geometrycznego problemu do modelu analitycznego, otrzymujemy układ nierówności.

Odpowiedź: 2<A < 4.

Jak widać z przykładu, graficzna metoda rozwiązywania problemów rozważanego typu jest możliwa w przypadku, gdy pierwiastki są „złe”, tj. zawierać parametr pod znakiem pierwiastka (w tym przypadku wyróżnik równania nie jest idealnym kwadratem).
W drugiej metodzie rozwiązania pracowaliśmy ze współczynnikami równania i zakresem funkcji Na = X 2 – 2Oh + A 2 – 1.
Tego sposobu rozwiązania nie można nazwać wyłącznie graficznym, ponieważ tutaj musimy rozwiązać układ nierówności. Raczej ta metoda jest połączona: funkcjonalna i graficzna. Z tych dwóch metod ta druga jest nie tylko elegancka, ale także najważniejsza, ponieważ pokazuje związek między wszystkimi typami modeli matematycznych: słownym opisem problemu, modelem geometrycznym - wykresem trójmianu kwadratowego, modelem analitycznym model - opis modelu geometrycznego za pomocą układu nierówności.
Rozważaliśmy więc problem, w którym pierwiastki trójmianu kwadratowego spełniają dane warunki w dziedzinie definicji dla pożądanych wartości parametrów.

Jakie inne możliwe warunki mogą spełnić pierwiastki trójmianu kwadratowego dla pożądanych wartości parametrów?

Nauczyciel najwyższej kategorii: Minaichenko N.S., gimnazjum nr 24, Sewastopol

Lekcja w klasie 8: „Trójmian kwadratowy i jego pierwiastki”

Typ lekcji : lekcja nowej wiedzy.

Cel lekcji:

    organizować zajęcia studenckie mające na celu utrwalenie i pogłębienie wiedzy na temat rozkładu trójmianu kwadratowego na czynniki liniowe oraz redukcji ułamków zwykłych;

    kształcić umiejętności stosowania wiedzy o wszystkich metodach faktoryzacji: nawiasach, posługiwaniu się skróconymi wzorami na mnożenie i metodach grupowania w celu przygotowania się do zdania egzaminu z algebry;

    stworzyć warunki do rozwoju zainteresowania poznawczego przedmiotem, kształtowania logicznego myślenia i samokontroli podczas korzystania z faktoryzacji.

Sprzęt: rzutnik multimedialny, ekran, prezentacja: „Pierwiastki trójmianu kwadratowego”, krzyżówka, test, materiały informacyjne.

Podstawowe pojęcia . Rozkładanie na czynniki trójmianu kwadratowego.

Samodzielna działalność studentów. Zastosowanie twierdzenia o faktoryzacji trójmianu kwadratowego w rozwiązywaniu problemów.

Plan lekcji

Rozwiązywanie problemów.

Odpowiedzi na pytania uczniów

IV. Podstawowy test nabywania wiedzy. Odbicie

Wiadomość nauczyciela.

Wiadomość studencka

V. Praca domowa

Pisanie na tablicy

Komentarz metodologiczny:

Temat ten jest zasadniczy w części „Identyczne przekształcenia wyrażeń algebraicznych”. Dlatego ważne jest, aby uczniowie automatycznie potrafili nie tylko zobaczyć wzory na faktoryzację w przykładach, ale także zastosować je w innych zadaniach: takich jak rozwiązywanie równań, przekształcanie wyrażeń, udowadnianie tożsamości.

W tym temacie skupiono się na rozkładaniu na czynniki trójmianu kwadratowego:

topór+ bx + do = a(x – x)(x – x),

gdzie x i x – pierwiastki równania kwadratowego ax + bx + c = 0.

Pozwala to poszerzyć pole widzenia ucznia, nauczyć go myślenia w niestandardowej sytuacji, wykorzystując studiowany materiał, tj. korzystając ze wzoru na rozkład na czynniki trójmianu kwadratowego:

    umiejętność redukcji ułamków algebraicznych;

    umiejętność upraszczania wyrażeń algebraicznych;

    umiejętność rozwiązywania równań;

    zdolność do potwierdzania tożsamości.

Główna treść lekcji:

a) 3x + 5x – 2;

b) –x + 16x – 15;

c) x – 12x + 24;

d) –5x + 6x – 1.

№2. Zmniejsz ułamek:

№3. Uprość wyrażenie:

№4. Rozwiąż równanie:

B)

Postęp lekcji:

I. Etap aktualizacji wiedzy.

Motywacja do zajęć edukacyjnych.

a) z historii:

B) krzyżówka:

Rozgrzewka – trenuj umysł – krzyżówka:

Poziomy:

1) Pierwiastek drugiego stopnia nazywa się…. (kwadrat)

2) Wartości zmiennej, przy której równanie staje się prawdziwą równością (pierwiastki)

3) Równość zawierająca niewiadomą nazywa się... (równanie)

4) Indyjski naukowiec, który ustalił ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych (Brahmagupta)

5) Współczynniki równania kwadratowego to... (liczby)

6) Starożytny grecki naukowiec, który wynalazł geometryczną metodę rozwiązywania równań (Euklides)

7) Twierdzenie dotyczące współczynników i pierwiastków równania kwadratowego (Vieta)

8) „dyskryminator”, wyznaczanie pierwiastków równania kwadratowego – czyli... (dyskryminator)

Dodatkowo:

    Jeśli D>0, ile pierwiastków? (dwa)

    Jeśli D=0, ile pierwiastków? (jeden)

    Jeśli D<0, сколько корней? (нет действительных корней)

Temat lekcji poziomej i pionowej: „Trójmian kwadratowy”

b) motywacja:

Temat ten jest zasadniczy w części „Identyczne przekształcenia wyrażeń algebraicznych”. Dlatego ważne jest, abyś automatycznie mógł nie tylko zobaczyć wzory na faktoryzację w przykładach, ale także zastosować je w innych zadaniach: takich jak redukowanie ułamków, rozwiązywanie równań, przekształcanie wyrażeń, udowadnianie tożsamości.

Dzisiaj skupimy się na rozłożeniu na czynniki trójmianu kwadratowego:

II. Nauka nowego materiału.

Temat: Trójmian kwadratowy i jego pierwiastki.

Ogólna teoria wielomianów wielu zmiennych wykracza daleko poza zakres zajęć szkolnych. Dlatego ograniczymy się do badania wielomianów jednej zmiennej rzeczywistej i to tylko w najprostszych przypadkach. Rozważmy wielomiany jednej zmiennej sprowadzone do postaci standardowej.



    Pierwiastek wielomianu jest wartością zmiennej, przy której wartość wielomianu jest równa zeru. Oznacza to, że aby znaleźć pierwiastki wielomianu, należy go przyrównać do zera, tj. rozwiązać równanie.

Pierwiastek wielomianu pierwszego stopnia
łatwe do znalezienia
. Badanie:
.

Pierwiastki trójmianu kwadratowego można znaleźć rozwiązując równanie:
.

Korzystając ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego znajdujemy:

;

Twierdzenie (na rozkładaniu na czynniki trójmianu kwadratowego ):

Jeśli I -pierwiastki trójmianu kwadratowego
, Gdzie ≠ 0,

To .

Dowód:

Dokonajmy następujących przekształceń trójmianu kwadratowego:

=
=
=

=
=
=

=
=

Od dyskryminatora
, otrzymujemy:

=
=

Zastosujmy wzór na różnicę kwadratów w nawiasach i otrzymamy:

=
=
,

ponieważ
;
. Twierdzenie zostało udowodnione.

Wynikową formułę nazywa się formułąrozkładanie na czynniki trójmianu kwadratowego.

III. Kształtowanie umiejętności i zdolności.

№1. Rozłóż na czynniki trójmian kwadratowy:

a) 3x + 5x – 2;

Rozwiązanie:

Odpowiedź: 3x+5x–2=3(x+2)(x-)=(x+2)(3x-1)

Na tablicy:

b) –5x + 6x – 1;

Dodatkowo:

c) x – 12x + 24;

d) –x + 16x – 15.

№2. Zmniejsz ułamek:

A)

№4. Rozwiąż równanie:

B)

IV. Podstawowy test nabywania wiedzy.

A) Test.

Opcja 1.

1. Znajdź pierwiastki trójmianu kwadratowego:2x 2 -9x-5

Odpowiedź:

2. Jakim wielomianem należy zastąpić wielomian, aby równość była prawdziwa:

b) Wzajemna weryfikacja opcji (odpowiedzi i parametry oceny są zilustrowane).

c) Refleksja.

V. Praca domowa.


Pierwiastek trójmianu kwadratowego można znaleźć za pomocą dyskryminatora. Dodatkowo dla zredukowanego wielomianu drugiego stopnia obowiązuje twierdzenie Viety oparte na stosunku współczynników.

Instrukcje

  • Równania kwadratowe są dość obszernym tematem algebry szkolnej. Lewa strona takiego równania jest wielomianem drugiego stopnia postaci A x² + B x + C, tj. wyrażenie trzech jednomianów o różnym stopniu nieznanego x. Aby znaleźć pierwiastek trójmianu kwadratowego, musisz obliczyć wartość x, przy której to wyrażenie jest równe zero.
  • Aby rozwiązać równanie kwadratowe, musisz znaleźć dyskryminator. Jego wzór jest konsekwencją wyodrębnienia pełnego kwadratu wielomianu i przedstawia pewien stosunek jego współczynników: D = B² – 4 A C.
  • Wyróżnik może przyjmować różne wartości, w tym być ujemny. A jeśli młodsi uczniowie mogą z ulgą powiedzieć, że takie równanie nie ma pierwiastków, to licealiści już potrafią je wyznaczyć w oparciu o teorię liczb zespolonych. Zatem opcje mogą być trzy: Dyskryminacyjny – liczba dodatnia. Wtedy pierwiastki równania są równe: x1 = (-B + √D)/2 A; x2 = (-B - √D)/2 A;
    Dyskryminator osiągnął zero. Teoretycznie w tym przypadku równanie również ma dwa pierwiastki, ale w praktyce są one takie same: x1 = x2 = -B/2 A;
    Dyskryminator jest mniejszy od zera. Do obliczeń wprowadza się pewną wartość i² = -1, co pozwala napisać rozwiązanie zespolone: ​​x1 = (-B + i √|D|)/2 A; x2 = (-B - i √|D|)/2 A.
  • Metoda dyskryminacyjna obowiązuje dla dowolnego równania kwadratowego, jednak zdarzają się sytuacje, w których wskazane jest zastosowanie szybszej metody, szczególnie w przypadku małych współczynników całkowitych. Metoda ta nazywa się twierdzeniem Viety i składa się z pary zależności pomiędzy współczynnikami w trójmianie zredukowanym: x² + P x + Q
    x1 + x2 = -P;
    x1 x2 = Q. Pozostaje tylko znaleźć pierwiastki.
  • Należy zauważyć, że równanie można sprowadzić do podobnej postaci. Aby to zrobić, musisz podzielić wszystkie wyrazy trójmianu przez współczynnik największej potęgi A: A x² + B x + C |A
    x² + B/A x + C/A
    x1 + x2 = -B/A;
    x1 x2 = C/A.

Temat „Trójmian kwadratowy i jego pierwiastki” jest realizowany na kursie algebry w IX klasie. Jak każda inna lekcja matematyki, lekcja na ten temat wymaga specjalnych narzędzi i metod nauczania. Widoczność jest konieczna. Obejmuje to tę lekcję wideo, która została zaprojektowana specjalnie po to, aby ułatwić pracę nauczyciela.

Ta lekcja trwa 6:36 minut. W tym czasie autorowi udaje się całkowicie odsłonić temat. Nauczyciel będzie musiał jedynie wybrać zadania na dany temat, aby utrwalić materiał.

Lekcja rozpoczyna się od pokazania przykładów wielomianów z jedną zmienną. Następnie na ekranie pojawia się definicja pierwiastka wielomianu. Definicja ta jest poparta przykładem, w którym konieczne jest znalezienie pierwiastków wielomianu. Po rozwiązaniu równania autor otrzymuje pierwiastki wielomianu.

Poniżej uwaga, że ​​do trójmianów kwadratowych zalicza się także te wielomiany drugiego stopnia, w których drugi, trzeci lub oba współczynniki, z wyjątkiem wiodącego, są równe zeru. Informacje te poparte są przykładem, w którym wolny współczynnik wynosi zero.

Następnie autor wyjaśnia, jak znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego. Aby to zrobić, musisz rozwiązać równanie kwadratowe. Autor sugeruje sprawdzenie tego na przykładzie, w którym podany jest trójmian kwadratowy. Musimy znaleźć jego korzenie. Rozwiązanie konstruuje się w oparciu o rozwiązanie równania kwadratowego otrzymanego z danego trójmianu kwadratowego. Rozwiązanie jest szczegółowo zapisane na ekranie, wyraźnie i zrozumiale. Rozwiązując ten przykład, autor pamięta, jak rozwiązać równanie kwadratowe, zapisuje wzory i otrzymuje wynik. Odpowiedź jest rejestrowana na ekranie.

Autor wyjaśnił na przykładzie szukanie pierwiastków trójmianu kwadratowego. Kiedy uczniowie zrozumieją istotę, mogą przejść do kwestii bardziej ogólnych, co robi autor. Dlatego dalej podsumowuje wszystkie powyższe. Ogólnie rzecz biorąc, w języku matematycznym autor zapisuje zasadę znajdowania pierwiastków trójmianu kwadratowego.

Poniżej znajduje się uwaga, że ​​w niektórych problemach wygodniej jest zapisać trójmian kwadratowy nieco inaczej. Wpis ten zostanie wyświetlony na ekranie. Oznacza to, że z trójmianu kwadratowego można wyodrębnić dwumian kwadratowy. Proponuje się rozważyć taką transformację na przykładzie. Rozwiązanie tego przykładu pokazano na ekranie. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, rozwiązanie jest skonstruowane szczegółowo ze wszystkimi niezbędnymi wyjaśnieniami. Następnie autor rozważa problem wykorzystujący podane informacje. Jest to problem dowodu geometrycznego. Rozwiązanie zawiera ilustrację w formie rysunku. Rozwiązanie problemu jest opisane szczegółowo i przejrzyście.

Na tym kończy się lekcja. Nauczyciel może jednak wybrać zadania na podstawie umiejętności uczniów, które będą odpowiadać danemu tematowi.

Tę lekcję wideo można wykorzystać jako objaśnienie nowego materiału na lekcjach algebry. Świetnie sprawdza się w przypadku uczniów, którzy samodzielnie przygotowują się do zajęć.

Znajdowanie pierwiastków trójmianu kwadratowego

Cele: przedstawić pojęcie trójmianu kwadratowego i jego pierwiastki; rozwinąć umiejętność znajdowania pierwiastków trójmianu kwadratowego.

Postęp lekcji

I. Moment organizacyjny.

II. Praca ustna.

Która z liczb: –2; –1; 1; 2 – czy są pierwiastki równań?

a) 8 X+ 16 = 0; V) X 2 + 3X – 4 = 0;

b) 5 X 2 – 5 = 0; G) X 3 – 3X – 2 = 0.

III. Wyjaśnienie nowego materiału.

Objaśnienie nowego materiału należy przeprowadzić według następującego schematu:

1) Wprowadź pojęcie pierwiastka wielomianu.

2) Przedstaw pojęcie trójmianu kwadratowego i jego pierwiastki.

3) Przeanalizuj kwestię możliwej liczby pierwiastków trójmianu kwadratowego.

Kwestię oddzielenia kwadratu dwumianu od kwadratowego trójmianu najlepiej omówić w następnej lekcji.

Na każdym etapie wyjaśniania nowego materiału konieczne jest zaproponowanie uczniom zadania ustnego sprawdzającego ich opanowanie głównych punktów teorii.

Zadanie 1. Która z liczb: –1; 1; ; 0 – są pierwiastkami wielomianu X 4 + 2X 2 – 3?

Zadanie 2. Które z podanych wielomianów są trójmianami kwadratowymi?

1) 2X 2 + 5X – 1; 6) X 2 – X – ;

2) 2X – ; 7) 3 – 4X + X 2 ;

3) 4X 2 + 2X + X 3 ; 8) X + 4X 2 ;

4) 3X 2 – ; 9) + 3X – 6;

5) 5X 2 – 3X; 10) 7X 2 .

Które trójmiany kwadratowe mają pierwiastek 0?

Zadanie 3. Czy trójmian kwadratowy może mieć trzy pierwiastki? Dlaczego? Ile pierwiastków ma trójmian kwadratowy? X 2 + X – 5?

IV. Kształtowanie umiejętności i zdolności.

Ćwiczenia:

1. № 55, № 56, № 58.

2. nr 59 (a, c, d), nr 60 (a, c).

W tym zadaniu nie trzeba szukać pierwiastków trójmianów kwadratowych. Wystarczy znaleźć ich wyróżnik i odpowiedzieć na postawione pytanie.

a) 5 X 2 – 8X + 3 = 0;

D 1 = 16 – 15 = 1;

D 1 0, co oznacza, że ​​ten trójmian kwadratowy ma dwa pierwiastki.

b) 9 X 2 + 6X + 1 = 0;

D 1 = 9 – 9 = 0;

D 1 = 0, co oznacza, że ​​trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek.

c) –7 X 2 + 6X – 2 = 0;

7X 2 – 6X + 2 = 0;

D 1 = 9 – 14 = –5;

Jeśli zostało trochę czasu, możesz wykonać zadanie nr 63.

Rozwiązanie

Pozwalać topór 2 + bx + C jest danym trójmianem kwadratowym. Od A+ B +
+ c= 0, to jeden z pierwiastków tego trójmianu jest równy 1. Zgodnie z twierdzeniem Viety drugi pierwiastek jest równy . Zgodnie z warunkiem, Z = 4A, więc drugi pierwiastek tego trójmianu kwadratowego jest równy
.

ODPOWIEDŹ: 1 i 4.

V. Podsumowanie lekcji.

Często zadawane pytania:

– Jaki jest pierwiastek wielomianu?

– Który wielomian nazywa się trójmianem kwadratowym?

– Jak znaleźć pierwiastki trójmianu kwadratowego?

– Jaki jest wyróżnik trójmianu kwadratowego?

– Ile pierwiastków może mieć trójmian kwadratowy? Od czego to zależy?

Praca domowa: Nr 57, Nr 59 (b, d, f), Nr 60 (b, d), Nr 62.