Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli zajdzie taka potrzeba, zgodnie z prawem, postępowanie sądowe, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie zapytań lub żądań opinii publicznej agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.
W matematyce jednym z parametrów opisujących położenie prostej na kartezjańskiej płaszczyźnie współrzędnych jest nachylenie tę linię prostą. Parametr ten charakteryzuje nachylenie prostej do osi odciętej. Aby zrozumieć, jak znaleźć nachylenie, najpierw przypomnij sobie ogólną postać równania linii prostej w układzie współrzędnych XY.
Ogólnie rzecz biorąc, dowolną linię można przedstawić za pomocą wyrażenia ax+by=c, gdzie a, b i c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, ale a 2 + b 2 ≠ 0.
Za pomocą prostych przekształceń równanie takie można sprowadzić do postaci y=kx+d, gdzie k i d są liczbami rzeczywistymi. Liczba k jest nachyleniem, a równanie prostej tego typu nazywa się równaniem z nachyleniem. Okazuje się, że aby znaleźć nachylenie, wystarczy zredukować pierwotne równanie do postaci wskazanej powyżej. Aby uzyskać pełniejsze zrozumienie, rozważ konkretny przykład:
Zadanie: Znajdź nachylenie prostej określonej równaniem 36x - 18y = 108
Rozwiązanie: Przekształćmy pierwotne równanie.
Odpowiedź: Wymagane nachylenie tej linii wynosi 2.
Jeśli podczas transformacji równania otrzymaliśmy wyrażenie typu x = const i w rezultacie nie możemy przedstawić y jako funkcji x, to mamy do czynienia z prostą równoległą do osi X. Współczynnik kątowy takiego linia prosta jest równa nieskończoności.
W przypadku linii wyrażonych równaniem takim jak y = const nachylenie wynosi zero. Jest to typowe dla linii prostych równoległych do osi odciętych. Na przykład:
Zadanie: Znajdź nachylenie prostej podanej równaniem 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4
Rozwiązanie: Doprowadźmy pierwotne równanie do jego ogólnej postaci
24x + 12 lat - 12 lat + 28 = 4
Z powstałego wyrażenia nie można wyrazić y, dlatego współczynnik kątowy tej linii jest równy nieskończoności, a sama linia będzie równoległa do osi Y.
Znaczenie geometryczne
Dla lepsze zrozumienie Spójrzmy na zdjęcie:
Na rysunku widzimy wykres funkcji takiej jak y = kx. Dla uproszczenia przyjmijmy współczynnik c = 0. W trójkącie OAB stosunek boku BA do AO będzie równy współczynnikowi kątowemu k. Jednocześnie stosunek VA/AO jest styczną kąt ostryα w prawy trójkąt OAV. Okazuje się, że współczynnik kątowy prostej jest równy tangensowi kąta, jaki ta prosta tworzy z osią odciętych siatki współrzędnych.
Rozwiązując problem znalezienia współczynnika kątowego linii prostej, znajdujemy tangens kąta między nią a osią X siatki współrzędnych. Przypadki graniczne, gdy rozpatrywana linia jest równoległa do osi współrzędnych, potwierdzają powyższe. Rzeczywiście, dla prostej opisanej równaniem y=const, kąt pomiędzy nią a osią odciętych wynosi zero. Tangens kąta zerowego również wynosi zero i nachylenie również wynosi zero.
Dla prostych prostopadłych do osi x i opisanych równaniem x=const, kąt między nimi a osią X wynosi 90 stopni. Tangens prosty kąt jest równy nieskończoności, a współczynnik kątowy podobnych prostych jest również równy nieskończoności, co potwierdza to, co napisano powyżej.
Styczne nachylenie
Częstym zadaniem często spotykanym w praktyce jest również znalezienie nachylenia stycznej do wykresu funkcji w pewnym punkcie. Styczna jest linią prostą, dlatego też można do niej zastosować pojęcie nachylenia.
Aby dowiedzieć się, jak znaleźć nachylenie stycznej, będziemy musieli przypomnieć sobie pojęcie pochodnej. Pochodna dowolnej funkcji w pewnym punkcie jest stałą liczbową równy tangensowi kąt utworzony pomiędzy styczną w określonym punkcie do wykresu tej funkcji a osią odciętych. Okazuje się, że aby wyznaczyć współczynnik kątowy stycznej w punkcie x 0, musimy obliczyć wartość pochodnej funkcji pierwotnej w tym punkcie k = f”(x 0). Spójrzmy na przykład:
Zadanie: Znajdź nachylenie prostej stycznej do funkcji y = 12x 2 + 2xe x przy x = 0,1.
Rozwiązanie: Znajdź pochodną funkcji pierwotnej w postaci ogólnej
y"(0,1) = 24,0,1 + 2,0,1, e 0,1 + 2, e 0,1
Odpowiedź: Wymagane nachylenie w punkcie x = 0,1 wynosi 4,831
Kontynuując temat, równanie prostej na płaszczyźnie opiera się na badaniu linii prostej z lekcji algebry. Artykuł ten zawiera ogólne informacje na temat równania prostej z nachyleniem. Rozważmy definicje, uzyskajmy samo równanie i zidentyfikujmy powiązania z innymi typami równań. Wszystko zostanie omówione na przykładach rozwiązania problemu.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Przed napisaniem takiego równania należy określić kąt nachylenia prostej do osi Ox wraz z ich współczynnikiem kątowym. Załóżmy, że dany jest kartezjański układ współrzędnych O x na płaszczyźnie.
Definicja 1
Kąt nachylenia prostej do osi Ox, znajdujący się w kartezjańskim układzie współrzędnych O x y na płaszczyźnie, jest to kąt mierzony od kierunku dodatniego O x do prostej w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Gdy linia jest równoległa do O x lub pokrywa się z nią, kąt nachylenia wynosi 0. Następnie kąt nachylenia danej prostej α wyznacza się na przedziale [ 0 , π) .
Definicja 2
Bezpośrednie nachylenie jest tangensem kąta nachylenia danej prostej.
Standardowe oznaczenie to k. Z definicji wynika, że k = t g α . Kiedy linia jest równoległa do Wołu, mówią, że nachylenie nie istnieje, ponieważ zmierza do nieskończoności.
Nachylenie jest dodatnie, gdy wykres funkcji rośnie i odwrotnie. Na rysunku przedstawiono różne warianty położenia kąta prostego względem układu współrzędnych z wartością współczynnika.
Aby znaleźć ten kąt, należy zastosować definicję współczynnika kątowego i obliczyć tangens kąta nachylenia w płaszczyźnie.
Rozwiązanie
Z warunku mamy, że α = 120°. Z definicji nachylenie należy obliczyć. Znajdźmy to ze wzoru k = t g α = 120 = - 3.
Odpowiedź: k = - 3 .
Jeżeli znany jest współczynnik kątowy i konieczne jest znalezienie kąta nachylenia do osi odciętej, należy uwzględnić wartość współczynnika kątowego. Jeżeli k > 0, to kąt prosty jest ostry i można go obliczyć ze wzoru α = a r c t g k. Jeśli k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .
Przykład 2
Określ kąt nachylenia danej prostej do O x ze współczynnikiem kątowym 3.
Rozwiązanie
Z warunku mamy, że współczynnik kątowy jest dodatni, co oznacza, że kąt nachylenia do O x jest mniejszy niż 90 stopni. Obliczenia wykonuje się według wzoru α = a r do t g k = a r do t g 3.
Odpowiedź: α = za r do t sol 3 .
Przykład 3
Znajdź kąt nachylenia prostej do osi O x, jeśli nachylenie = - 1 3.
Rozwiązanie
Jeśli za oznaczenie współczynnika kątowego przyjmiemy literę k, wówczas α jest kątem nachylenia do danej prostej w kierunku dodatnim Ox. Stąd k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:
α = π - za r do t sol - 1 3 = π - za r do t sol 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.
Odpowiedź: 5 π 6 .
Równanie w postaci y = k x + b, gdzie k jest nachyleniem, a b jest liczbą rzeczywistą, nazywa się równaniem prostej o nachyleniu. Równanie jest typowe dla każdej linii prostej, która nie jest równoległa do osi Oy.
Jeśli szczegółowo rozważymy linię prostą na płaszczyźnie w ustalonym układzie współrzędnych, która jest określona równaniem ze współczynnikiem kątowym w postaci y = k x + b. W w tym przypadku oznacza, że równaniu odpowiadają współrzędne dowolnego punktu na prostej. Jeśli podstawiamy współrzędne punktu M, M 1 (x 1, y 1) do równania y = k x + b, to w tym przypadku prosta przejdzie przez ten punkt, w przeciwnym razie punkt nie należy do prostej.
Przykład 4
Dana jest linia prosta o nachyleniu y = 1 3 x - 1. Oblicz, czy punkty M 1 (3, 0) i M 2 (2, - 2) należą do podanej prostej.
Rozwiązanie
Należy podstawić współrzędne punktu M 1 (3, 0) do podanego równania, wtedy otrzymamy 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Równość jest prawdziwa, co oznacza, że punkt należy do prostej.
Jeśli podstawimy współrzędne punktu M 2 (2, - 2), wówczas otrzymamy niepoprawną równość postaci - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Można stwierdzić, że punkt M 2 nie należy do prostej.
Odpowiedź: M 1 należy do linii, ale M 2 nie.
Wiadomo, że prostą definiuje równanie y = k · x + b, przechodzące przez M 1 (0, b), po podstawieniu otrzymaliśmy równość postaci b = k · 0 + b ⇔ b = b. Z tego możemy wywnioskować, że równanie prostej ze współczynnikiem kątowym y = k x + b na płaszczyźnie definiuje linię prostą przechodzącą przez punkt 0, b. Tworzy kąt α z dodatnim kierunkiem osi O x, gdzie k = t g α.
Rozważmy jako przykład linię prostą zdefiniowaną za pomocą współczynnika kątowego określonego w postaci y = 3 x - 1. Otrzymujemy, że prosta przejdzie przez punkt o współrzędnych 0, - 1 o nachyleniu α = a r c t g 3 = π 3 radianów w kierunku dodatnim osi O x. To pokazuje, że współczynnik wynosi 3.
Równanie prostej z nachyleniem przechodzącym przez dany punkt
Należy rozwiązać problem polegający na konieczności uzyskania równania prostej o zadanym nachyleniu przechodzącej przez punkt M 1 (x 1, y 1).
Równość y 1 = k · x + b można uznać za obowiązującą, ponieważ prosta przechodzi przez punkt M 1 (x 1, y 1). Aby usunąć liczbę b, należy odjąć równanie z nachyleniem od lewej i prawej strony. Wynika z tego, że y - y 1 = k · (x - x 1) . Równość tę nazywa się równaniem linii prostej o danym nachyleniu k, przechodzącej przez współrzędne punktu M 1 (x 1, y 1).
Przykład 5
Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt M 1 o współrzędnych (4, - 1), o współczynniku kątowym równym - 2.
Rozwiązanie
Pod warunkiem mamy, że x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Stąd równanie prostej zostanie zapisane w następujący sposób: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .
Odpowiedź: y = - 2 x + 7 .
Przykład 6
Napisz równanie linii prostej o współczynniku kątowym przechodzącym przez punkt M 1 o współrzędnych (3, 5), równolegle do prostej y = 2 x - 2.
Rozwiązanie
Pod warunkiem mamy, że linie równoległe mają identyczne kąty nachylenia, co oznacza, że współczynniki kątowe są równe. Aby znaleźć nachylenie dane równanie, należy pamiętać o jego podstawowym wzorze y = 2 x - 2, z czego wynika, że k = 2. Tworzymy równanie ze współczynnikiem nachylenia i otrzymujemy:
y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1
Odpowiedź: y = 2 x - 1 .
Przejście od równania linii prostej z nachyleniem do innych typów równań linii prostych i odwrotnie
Równanie to nie zawsze ma zastosowanie do rozwiązywania problemów, ponieważ nie jest zbyt wygodnie napisane. Aby to zrobić, musisz przedstawić to w innej formie. Na przykład równanie w postaci y = k x + b nie pozwala na zapisanie współrzędnych wektora kierunkowego linii prostej ani współrzędnych wektora normalnego. Aby to zrobić, musisz nauczyć się reprezentować za pomocą równań innego typu.
Możemy dostać równanie kanoniczne linia na płaszczyźnie przy użyciu równania linii o nachyleniu. Otrzymujemy x - x 1 a x = y - y 1 a y . Konieczne jest przesunięcie terminu b na lewą stronę i podzielenie przez wyrażenie powstałej nierówności. Następnie otrzymujemy równanie postaci y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.
Równanie prostej z nachyleniem stało się równaniem kanonicznym tej prostej.
Przykład 7
Doprowadź równanie prostej o współczynniku kątowym y = - 3 x + 12 do postaci kanonicznej.
Rozwiązanie
Obliczmy to i przedstawmy w postaci równania kanonicznego prostej. Otrzymujemy równanie postaci:
y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3
Odpowiedź: x 1 = y - 12 - 3.
Ogólne równanie prostej najłatwiej uzyskać z y = k · x + b, ale w tym celu konieczne jest dokonanie przekształceń: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Dokonuje się przejścia z równanie ogólne prostą do równań innego typu.
Przykład 8
Biorąc pod uwagę równanie linii prostej w postaci y = 1 7 x - 2 . Dowiedz się, czy wektor o współrzędnych a → = (- 1, 7) jest normalnym wektorem liniowym?
Rozwiązanie
Aby rozwiązać, należy przejść do innej formy tego równania, w tym celu piszemy:
y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0
Współczynniki przed zmiennymi są współrzędnymi wektora normalnego linii. Zapiszmy to tak: n → = 1 7, - 1, stąd 1 7 x - y - 2 = 0. Jasne jest, że wektor a → = (- 1, 7) jest współliniowy z wektorem n → = 1 7, - 1, ponieważ mamy relację uczciwą a → = - 7 · n →. Wynika z tego, że wektor pierwotny a → = - 1, 7 jest wektorem normalnym prostej 1 7 x - y - 2 = 0, co oznacza, że jest uważany za wektor normalny dla prostej y = 1 7 x - 2.
Odpowiedź: Jest
Rozwiążmy problem odwrotny tego.
Trzeba się przenieść widok ogólny równania A x + B y + C = 0, gdzie B ≠ 0, do równania o nachyleniu. Aby to zrobić, rozwiązujemy równanie dla y. Otrzymujemy A x + B y + C = 0 ⇔ - A B x - C B .
Wynikiem jest równanie o nachyleniu równym -A B .
Przykład 9
Dane jest równanie linii prostej w postaci 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Uzyskaj równanie danej linii ze współczynnikiem kątowym.
Rozwiązanie
Na podstawie warunku należy rozwiązać y, wówczas otrzymujemy równanie postaci:
2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .
Odpowiedź: y = 1 6 x + 1 4 .
W podobny sposób rozwiązuje się równanie postaci x a + y b = 1, które nazywa się równaniem prostej w odcinkach, lub typ kanoniczny x - x 1 za x = y - y 1 za y . Musimy to rozwiązać dla y, dopiero wtedy otrzymamy równanie o nachyleniu:
x za + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x za ⇔ y = - b za · x + b.
Równanie kanoniczne można sprowadzić do postaci ze współczynnikiem kątowym. Aby to zrobić:
x - x 1 za x = y - y 1 za y ⇔ za y · (x - x 1) = za x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = za y · x - za y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1
Przykład 10
Jest linia prosta dane równaniem x 2 + y - 3 = 1. Sprowadź do postaci równania ze współczynnikiem kątowym.
Rozwiązanie.
Na podstawie warunku należy dokonać transformacji i wówczas otrzymamy równanie w postaci _formuły_. Obie strony równania należy pomnożyć przez -3, aby otrzymać wymagane równanie nachylenia. Przekształcając otrzymujemy:
y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .
Odpowiedź: y = 3 2 x - 3 .
Przykład 11
Sprowadź równanie prostej postaci x - 2 2 = y + 1 5 do postaci ze współczynnikiem kątowym.
Rozwiązanie
Konieczne jest obliczenie wyrażenia x - 2 2 = y + 1 5 jako proporcji. Otrzymujemy, że 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Teraz musisz to całkowicie włączyć, aby to zrobić:
5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x
Odpowiedź: y = 5 2 x - 6 .
Aby rozwiązać takie problemy, równania parametryczne prostej postaci x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ należy sprowadzić do równania kanonicznego prostej, dopiero po tym można przystąpić do równania z współczynnik nachylenia.
Przykład 12
Znajdź nachylenie prostej, jeśli jest ono dane przez równania parametryczne x = λ y = - 1 + 2 · λ.
Rozwiązanie
Konieczne jest przejście z widoku parametrycznego do nachylenia. Aby to zrobić, znajdujemy równanie kanoniczne z danego równania parametrycznego:
x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .
Teraz należy rozwiązać tę równość względem y, aby otrzymać równanie prostej ze współczynnikiem kątowym. Aby to zrobić, napiszmy to w ten sposób:
x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1
Wynika z tego, że nachylenie prostej wynosi 2. Jest to zapisane jako k = 2.
Odpowiedź: k = 2.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
Temat „Współczynnik kątowy stycznej jako tangens kąta nachylenia” na egzaminie certyfikacyjnym otrzymuje kilka zadań jednocześnie. W zależności od stanu zdrowia absolwent może zostać poproszony o udzielenie pełnej lub krótkiej odpowiedzi. W przygotowaniu zdanie jednolitego egzaminu państwowego Na matematyce student zdecydowanie powinien powtarzać zadania, w których konieczne jest obliczenie współczynnika kątowego stycznej.
Pomoże Ci to zrobić portalu edukacyjnego„Szkołkowo”. Nasi specjaliści przygotowali i przedstawili materiał teoretyczny i praktyczny w możliwie najbardziej przystępny sposób. Po zapoznaniu się z nim absolwenci dowolnego poziomu wykształcenia będą w stanie skutecznie rozwiązywać problemy związane z pochodnymi, w których konieczne jest znalezienie tangensa kąta stycznego.
Przegląd najważniejszych wydarzeń
Aby znaleźć prawidłowe i racjonalne rozwiązanie takich zadań na egzaminie Unified State Exam, należy pamiętać o podstawowej definicji: pochodna reprezentuje szybkość zmian funkcji; jest równy tangensowi kąta stycznego narysowanego do wykresu funkcji w pewnym punkcie. Równie ważne jest uzupełnienie rysunku. Pozwoli Ci to znaleźć słuszna decyzja Problemy z egzaminem jednolitym na pochodnej, w której należy obliczyć tangens kąta stycznego. Dla przejrzystości najlepiej jest wykreślić wykres na płaszczyźnie OXY.
Jeśli zapoznałeś się już z podstawowym materiałem na temat pochodnych i jesteś gotowy, aby przystąpić do rozwiązywania problemów związanych z obliczaniem tangensa kąta stycznego, np. Zadania z egzaminu jednolitego stanu, możesz to zrobić online. Do każdego zadania, na przykład problemów na temat „Zależność pochodnej od prędkości i przyspieszenia ciała”, zapisaliśmy poprawną odpowiedź i algorytm rozwiązania. Jednocześnie studenci mogą ćwiczyć wykonywanie zadań o różnym stopniu złożoności. W razie potrzeby ćwiczenie można zapisać w sekcji „Ulubione”, aby móc później omówić rozwiązanie z nauczycielem.