Prostokątny
trójkąty
Geometria, klasa 7
Do podręcznika L.S. Atanasyana
nauczyciel matematyki najwyższej kategorii
Miejska placówka oświatowa „Podstawowa szkoła średnia Upshinskaya”
Rejon Orsza Republiki Mari El
AC, BC – nogi
AB - przeciwprostokątna
Właściwość 1 0 . Suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi 90 0.
Zadanie 1. Znajdź kąt A trójkąta prostokątnego ABC z kątem prostym C jeśli: a) ے B = 32 0; b) ے B jest 2 razy mniejszy od kąta A; c) ے B jest o 20 0 mniejszy od kąta A.
Zadanie 2.
Zadanie 3.
Kąt A:
BC – noga ułożona pod kątem A
AC – noga przylegająca do kąta A
Kąt B:
AC - noga, ...
BC - noga, ...
Nazwij nogi przeciwne do kątów N i K
Nazwij nogi sąsiadujące z kątami N i K
0
Zadanie. Udowodnij to 0 , jest równe połowie przeciwprostokątnej.
Własność 2 0 . Noga trójkąta prostokątnego leżąca naprzeciw kąta 30 0 , jest równe połowie przeciwprostokątnej.
Trójkąt prostokątny o kącie 30 0
Zadanie. Udowodnij to 0 .
Własność 3 0 . Jeśli noga trójkąta prostokątnego jest równa połowie przeciwprostokątnej, to kąt naprzeciwko tej nogi wynosi 30 0 .
Trójkąt prostokątny o kącie 30 0
Problem 4 .
AB = 12 cm Znajdź BC
Zadanie 5.
BC = 7,5 cm Znajdź AB
Zadanie 6.
AB + BC = 15 cm.
Znajdź AB i BC
Trójkąt prostokątny o kącie 30 0
Zadanie 7.
AC = 4 cm Znajdź AB
Zadanie 8.
AB - AC = 15 cm.
Znajdź AB i AC
Trójkąt prostokątny o kącie 30 0
Problem 9 .
Znajdź kąty ostre trójkąta prostokątnego ABC, jeśli AB = 12 cm, BC = 6 cm.
Trójkąt prostokątny o kącie 30 0
Problem 10 .
Znajdź kąty ostre trójkąta prostokątnego, jeśli jest to kąt między dwusieczną a wysokością narysowaną z wierzchołka prosty kąt, jest równe 15 0.
SC - dwusieczna
CM - wysokość
Trójkąt prostokątny o kącie 30 0
Problem 11 .
W trójkącie równoramiennym jeden z kątów ma miarę 120 0, a podstawa ma długość 4 cm. Oblicz wysokość narysowaną na boku.
AM - wzrost
Trójkąt prostokątny o kącie 30 0
Problem 12 .
Wysokość poprowadzona do boku trójkąta równoramiennego dzieli dwusieczną kąt między podstawą a dwusieczną. Znajdź kąty trójkąta równoramiennego.
AK – dwusieczna kąta A
AM - wzrost
Trójkąt prostokątny o kącie 30 0
Problem 14 .
Udowodnij, że jeśli trójkąt jest prostokątny, to środkowa narysowana z wierzchołka kąta prostego jest równa połowie przeciwprostokątnej.
Właściwość 4 0 .
ΔАВС - prostokątny
SM – mediana
Mamy sprzeczność!
Trójkąt prostokątny o kącie 30 0
Problem 13 .
Udowodnij, że jeśli środkowa trójkąta jest równa połowie boku, do którego jest narysowana, to trójkąt jest prostokątny.
VM – mediana
Udowodnij: ΔABC - prostokąt
Własność 5 0 .
Niektóre właściwości trójkątów prostokątnych
Właściwość 1 0 . Suma kątów ostrych w trójkącie prostokątnym wynosi 90 0 .
Własność 2 0 . Noga trójkąta prostokątnego leżąca naprzeciw kąta 30 0 równy połowie przeciwprostokątnej .
Własność 3 0 . Jeśli noga trójkąta prostokątnego jest równa połowie przeciwprostokątnej, to kąt naprzeciwko tej nogi wynosi 30 0 .
Właściwość 4 0 . W trójkącie prostokątnym środkowa narysowana z wierzchołka kąta prostego jest równa połowie przeciwprostokątnej.
Własność 5 0 . Jeżeli środkowa trójkąta jest równa połowie boku, do którego jest narysowana, to trójkąt ten jest prostokątny.
Właściwości trójkąta prostokątnego
Drodzy siódmoklasiści, już wiecie co kształty geometryczne nazywane są trójkątami, wiesz, jak udowodnić znaki ich równości. Znasz także szczególne przypadki trójkątów: równoramienne i kąty proste. Doskonale znasz właściwości trójkątów równoramiennych.
Ale trójkąty prostokątne mają również wiele właściwości. Jedno oczywiste dotyczy twierdzenia o sumie kątów wewnętrznych trójkąta: w trójkącie prostokątnym suma kątów ostrych wynosi 90°. Poznasz najbardziej niesamowitą właściwość trójkąta prostokątnego 8 klasa podczas studiowania słynnego twierdzenia Pitagorasa.
Teraz porozmawiamy o dwóch kolejnych ważnych właściwościach. Jeden dotyczy trójkątów prostokątnych o kącie 30°, a drugi losowych trójkątów prostokątnych. Sformułujmy i udowodnijmy te własności.
Doskonale wiesz, że w geometrii zwyczajowo formułuje się stwierdzenia odwrotne do sprawdzonych, gdy warunek i wniosek w zdaniu zmieniają miejsca. Twierdzenia odwrotne nie zawsze są prawdziwe. W naszym przypadku oba odwrotne stwierdzenia są prawdziwe.
Właściwość 1.1 W trójkącie prostokątnym noga znajdująca się naprzeciw kąta 30° jest równa połowie przeciwprostokątnej.
Dowód: Rozważmy prostokąt ∆ ABC, w którym ÐA=90°, ÐB=30°, następnie ÐC=60°..gif" szerokość="167" wysokość="41">, zatem co należy udowodnić.
Właściwość 1.2 (odwrotność właściwości 1.1) Jeśli w trójkącie prostokątnym noga jest równa połowie przeciwprostokątnej, to kąt leżący naprzeciw niej wynosi 30°.
Właściwość 2.1 W trójkącie prostokątnym środkowa poprowadzona do przeciwprostokątnej jest równa połowie przeciwprostokątnej.
Rozważmy prostokąt ∆ ABC, w którym РВ=90°.
Mediana BD, czyli AD=DC. Udowodnijmy to.
Aby to udowodnić, wykonamy dodatkową konstrukcję: będziemy kontynuować BD poza punktem D tak, aby BD=DN i połączyliśmy N z A i C..gif" szerokość="616" wysokość="372 src=">
Dane: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7cm
1. ÐEBC=30o, ponieważ w prostokącie ∆BCE suma kątów ostrych wynosi 90o
2. BE=14cm (właściwość 1)
3. ÐABE=30o, ponieważ ÐA+ÐABE=ÐBEC (właściwość kąta zewnętrznego trójkąta) zatem ∆AEB jest równoramienne AE=EB=14cm.
BC=2AN=20 cm (własność 2).
Zadanie 3. Udowodnić, że wysokość i środkowa trójkąta prostokątnego poprowadzona do przeciwprostokątnej tworzą kąt równy różnicy między kątami ostrymi trójkąta.
Dane: ∆ ABC, ÐBAC=90°, mediana AM, wysokość AH.
Udowodnij: RMAN=RS-RV.
Dowód:
1)РМАС=РС (według własności 2 ∆ AMC-równoramienne, AM=SM)
2) ÐMAN = ÐMAS-ÐNAS = ÐS-ÐNAS.
Pozostaje udowodnić, że РНАС=РВ. Wynika to z faktu, że ÐB+ÐC=90° (w ∆ ABC) i ÐNAS+ÐC=90° (z ∆ ANS).
Zatem RMAN = RС-РВ i to należało udowodnić.
https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" szerokość="194" height="184">Podane: ∆ABC, ÐBAC=90°, AN-wysokość, .
Znajdź: РВ, РС.
Rozwiązanie: Weźmy medianę AM. Niech AN=x, następnie BC=4x i
VM=MS=AM=2x.
W prostokącie ∆AMN przeciwprostokątna AM jest 2 razy większa od ramienia AN, zatem ÐAMN=30°. Ponieważ VM=AM,
РВ=РВAM100%">
Wydłużmy AC poza punkt A, tak aby AD=AC. Wtedy ∆ABC=∆ABD (na 2 nogach). BD=BC=2AC=CD, zatem ∆DBC-równoboczny, ÐC=60o i ÐABC=30o.
Problem 5
W trójkącie równoramiennym jeden z kątów ma miarę 120°, a podstawa ma długość 10 cm. Oblicz wysokość narysowaną na boku.
Rozwiązanie: na początek zauważamy, że kąt 120° może znajdować się tylko w wierzchołku trójkąta i że wysokość wyciągnięta na bok spadnie na jego kontynuacji.
AB - schody, K - kotek.
W dowolnym położeniu drabiny, aż w końcu spadnie ona na ziemię, ∆ABC jest prostokątne. MC - mediana ∆ABC.
Zgodnie z własnością 2 SC = 1/2AB. Oznacza to, że w dowolnym momencie długość odcinka SK jest stała.
Odpowiedź: punkt K będzie się poruszał po okręgu o środku C i promieniu SC=1/2AB.
Problemy do samodzielnego rozwiązania.
Jeden z kątów trójkąta prostokątnego ma miarę 60°, a różnica między przeciwprostokątną a krótszą odnogą wynosi 4 cm. znajdź długość przeciwprostokątnej. W prostokącie ∆ ABC z przeciwprostokątną BC i kątem B równym 60° rysowana jest wysokość AD. Znajdź DC, jeśli DB=2cm. B ∆ABC ÐC=90o, CD - wysokość, BC=2ВD. Udowodnić, że AD=3ВD. Wysokość trójkąta prostokątnego dzieli przeciwprostokątną na części 3 cm i 9 cm. Znajdź kąty trójkąta i odległość od środka przeciwprostokątnej do dłuższej nogi. Dwusieczna dzieli trójkąt na dwa trójkąty równoramienne. Znajdź kąty pierwotnego trójkąta. Mediana dzieli trójkąt na dwa trójkąty równoramienne. Czy można znaleźć kąty?
Oryginalny trójkąt?
Poziom pośredni
Prawy trójkąt. Kompletny ilustrowany przewodnik (2019)
TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY. POZIOM WSTĘPNY.
W przypadku problemów kąt prosty wcale nie jest konieczny - lewy dolny róg, więc musisz nauczyć się rozpoznawać trójkąt prostokątny w tej formie,
i w tym
i w tym 
Co jest dobrego w trójkącie prostokątnym? Cóż... przede wszystkim są wyjątkowe piękne imiona dla jego stron.
Uwaga na rysunek!
Pamiętaj i nie myl: są dwie nogi i jest tylko jedna przeciwprostokątna(jedyny, niepowtarzalny i najdłuższy)!
Cóż, omówiliśmy nazwy, teraz najważniejsza rzecz: twierdzenie Pitagorasa.
Twierdzenie Pitagorasa.
Twierdzenie to jest kluczem do rozwiązania wielu problemów związanych z trójkątem prostokątnym. Udowodnił to Pitagoras już w zupełnie niepamiętnych czasach i od tego czasu przynosi wiele pożytku tym, którzy ją znają. A najlepsze w tym jest to, że jest proste.
Więc, Twierdzenie Pitagorasa:
Czy pamiętasz dowcip: „Spodnie pitagorejskie są równe ze wszystkich stron!”?
Narysujmy te same spodnie pitagorejskie i spójrzmy na nie. 
Czy to nie wygląda jak jakieś szorty? Cóż, po których stronach i gdzie są równe? Dlaczego i skąd wziął się ten żart? I ten żart wiąże się właśnie z twierdzeniem Pitagorasa, a ściślej ze sposobem, w jaki sam Pitagoras sformułował swoje twierdzenie. A sformułował to w ten sposób:
"Suma obszary kwadratów, zbudowany na nogach, jest równy powierzchnia kwadratowa, zbudowany na przeciwprostokątnej.”
Czy to naprawdę brzmi trochę inaczej? I tak, kiedy Pitagoras przedstawił oświadczenie swojego twierdzenia, powstał dokładnie taki obraz.
Na tym obrazku suma pól małych kwadratów jest równa powierzchni dużego kwadratu. Aby dzieci lepiej pamiętały, że suma kwadratów nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej, ktoś dowcipny wymyślił ten żart o spodniach pitagorejskich.
Dlaczego teraz formułujemy twierdzenie Pitagorasa?
Czy Pitagoras cierpiał i mówił o kwadratach?
Widzisz, w starożytności nie było... algebry! Nie było żadnych znaków i tak dalej. Nie było żadnych napisów. Czy możesz sobie wyobrazić, jak okropne było dla biednych starożytnych uczniów zapamiętywanie wszystkiego słowami?! I możemy się cieszyć, że mamy proste sformułowanie twierdzenia Pitagorasa. Powtórzmy to jeszcze raz, żeby lepiej zapamiętać:
Teraz powinno być łatwo:
| Kwadrat przeciwprostokątnej równa sumie kwadraty nóg. |
Cóż, najważniejsze twierdzenie o trójkątach prostokątnych zostało omówione. Jeśli ciekawi Cię, jak to zostało udowodnione, zapoznaj się z kolejnymi poziomami teorii, a teraz przejdźmy dalej… do ciemny las...trygonometria! Do okropnych słów sinus, cosinus, tangens i cotangens.
Sinus, cosinus, tangens, cotangens w trójkącie prostokątnym.
W rzeczywistości wszystko wcale nie jest takie straszne. Oczywiście w artykule należy przyjrzeć się „prawdziwym” definicjom sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Ale naprawdę nie chcę, prawda? Możemy się radować: aby rozwiązać problemy dotyczące trójkąta prostokątnego, możesz po prostu wypełnić następujące proste rzeczy:
Dlaczego wszystko jest tuż za rogiem? Gdzie jest róg? Aby to zrozumieć, musisz wiedzieć, jak stwierdzenia 1–4 są pisane słownie. Spójrz, zrozum i zapamiętaj!
1.
Właściwie brzmi to tak:
A co z kątem? Czy istnieje noga znajdująca się naprzeciwko rogu, czyli przeciwna (dla kąta) noga? Oczywiście, że tak! To jest noga!
A co z kątem? Przyjrzyj się uważnie. Która noga przylega do rogu? Oczywiście noga. Oznacza to, że dla kąta noga sąsiaduje i
Teraz uważaj! Zobacz, co mamy:
Zobacz jakie to fajne:
Przejdźmy teraz do stycznej i cotangensu.
Jak mam to teraz zapisać słowami? Jaka jest noga w stosunku do kąta? Oczywiście odwrotnie - „leży” naprzeciwko rogu. A co z nogą? Sąsiaduje z rogiem. Co więc mamy?
Widzisz, jak licznik i mianownik zamieniły się miejscami?
A teraz znowu rogi i dokonałem wymiany:
Wznawiać
Zapiszmy krótko wszystko, czego się nauczyliśmy.
 |
Twierdzenie Pitagorasa: |
Głównym twierdzeniem dotyczącym trójkątów prostokątnych jest twierdzenie Pitagorasa.
Twierdzenie Pitagorasa
Swoją drogą, czy dobrze pamiętasz, czym są nogi i przeciwprostokątna? Jeśli nie jest zbyt dobry, spójrz na zdjęcie - odśwież swoją wiedzę
Jest całkiem możliwe, że korzystałeś już z twierdzenia Pitagorasa wiele razy, ale czy zastanawiałeś się kiedyś, dlaczego takie twierdzenie jest prawdziwe? Jak mogę to udowodnić? Postępujmy jak starożytni Grecy. Narysujmy kwadrat z bokiem.
Zobacz jak sprytnie podzieliliśmy jego boki na odcinki o długościach i!
Teraz połączmy zaznaczone kropki
Tutaj jednak zauważyliśmy coś innego, ale sam patrzysz na rysunek i zastanawiasz się, dlaczego tak jest.
Jakie jest pole większego kwadratu? Prawidłowy, . A co z mniejszym obszarem? Z pewnością, . Całkowita powierzchnia czterech rogów pozostaje. Wyobraź sobie, że wzięliśmy ich po dwóch na raz i oparliśmy o siebie przeciwprostokątnymi. Co się stało? Dwa prostokąty. Oznacza to, że powierzchnia „nacięć” jest równa.
Połączmy to teraz w jedną całość.
Przeliczmy:
Odwiedziliśmy więc Pitagorasa - w starożytny sposób udowodniliśmy jego twierdzenie.
Trójkąt prostokątny i trygonometria
Dla trójkąta prostokątnego zachodzą następujące zależności:
Zatoka kąt ostry równy stosunkowi stronę przeciwną do przeciwprostokątnej
Cosinus kąta ostrego jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.
Tangens kąta ostrego jest równy stosunkowi strony przeciwnej do strony sąsiedniej.
Cotangens kąta ostrego jest równy stosunkowi boku sąsiedniego do boku przeciwnego.
I jeszcze raz to wszystko w formie tabletu:
To bardzo wygodne!
Znaki równości trójkątów prostokątnych
I. Z dwóch stron
II. Przez nogę i przeciwprostokątną
III. Według przeciwprostokątnej i kąta ostrego
IV. Wzdłuż nogi i kąta ostrego
A) 
B) 
Uwaga! Bardzo ważne jest tutaj, aby nogi były „odpowiednie”. Na przykład, jeśli to pójdzie tak:
WTEDY TRÓJKĄTY NIE SĄ RÓWNE, mimo że mają jeden identyczny kąt ostry.
Jest to konieczne w obu trójkątach noga sąsiadowała ze sobą lub w obu była przeciwna.
Czy zauważyłeś, jak znaki równości trójkątów prostokątnych różnią się od zwykłych znaków równości trójkątów? Przyjrzyj się tematowi „i zwróć uwagę na fakt, że dla równości „zwykłych” trójkątów muszą być równe trzy ich elementy: dwa boki i kąt między nimi, dwa kąty i bok między nimi, czyli trzy boki. Ale dla równości trójkątów prostokątnych wystarczą tylko dwa odpowiednie elementy. Świetnie, prawda?
Sytuacja jest w przybliżeniu taka sama w przypadku znaków podobieństwa trójkątów prostokątnych.
Znaki podobieństwa trójkątów prostokątnych
I. Pod kątem ostrym
II. Z dwóch stron
III. Przez nogę i przeciwprostokątną
Mediana w trójkącie prostokątnym
Dlaczego tak jest?
Zamiast trójkąta prostokątnego rozważ cały prostokąt.
Narysujmy przekątną i rozważmy punkt - punkt przecięcia przekątnych. Co wiesz o przekątnych prostokąta?
I co z tego wynika?
Okazało się więc, że
- - mediana:
Zapamiętaj ten fakt! Bardzo pomaga!
Jeszcze bardziej zaskakujące jest to, że jest też odwrotnie.
Co dobrego można uzyskać z faktu, że środkowa poprowadzona do przeciwprostokątnej jest równa połowie przeciwprostokątnej? Spójrzmy na zdjęcie
Przyjrzyj się uważnie. Mamy: , czyli odległości od punktu do wszystkich trzech wierzchołków trójkąta okazały się równe. Ale w trójkącie jest tylko jeden punkt, którego odległości od wszystkich trzech wierzchołków trójkąta są równe, i jest to ŚRODEK KOŁA. Co się więc stało?
Zacznijmy więc od tego „oprócz…”.
Spójrzmy na i.
Ale podobne trójkąty mają wszystkie równe kąty!
To samo można powiedzieć o i
Teraz narysujmy to razem:
Jakie korzyści można wyciągnąć z tego „potrójnego” podobieństwa?
Cóż, na przykład - dwa wzory na wysokość trójkąta prostokątnego.
Zapiszmy relacje odpowiednich stron:
Aby znaleźć wysokość, rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy pierwsza formuła „Wysokość w trójkącie prostokątnym”:
Zastosujmy więc podobieństwo: .
Co się teraz stanie?
Ponownie rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy drugą formułę:
Trzeba bardzo dobrze zapamiętać obie te formuły i skorzystać z tej, która jest wygodniejsza. Zapiszmy je jeszcze raz
Twierdzenie Pitagorasa:
W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg: .
Znaki równości trójkątów prostokątnych:
- z dwóch stron:
- przez nogę i przeciwprostokątną: lub
- wzdłuż nogi i przyległego kąta ostrego: lub
- wzdłuż nogi i przeciwległy kąt ostry: lub
- przez przeciwprostokątną i kąt ostry: lub.
Znaki podobieństwa trójkątów prostokątnych:
- jeden ostry róg: lub
- z proporcjonalności dwóch nóg:
- z proporcjonalności nogi i przeciwprostokątnej: lub.
Sinus, cosinus, tangens, cotangens w trójkącie prostokątnym
- Sinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej:
- Cosinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:
- Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek boku przeciwnego do boku sąsiedniego:
- Cotangens kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek boku sąsiedniego do boku przeciwnego: .
Wysokość trójkąta prostokątnego: lub.
W trójkącie prostokątnym środkowa narysowana z wierzchołka kąta prostego jest równa połowie przeciwprostokątnej: .
Pole trójkąta prostokątnego:
- przez nogi:
Poziom pośredni
Prawy trójkąt. Kompletny ilustrowany przewodnik (2019)
TRÓJKĄT PROSTOKĄTNY. POZIOM WSTĘPNY.
W przypadku problemów kąt prosty wcale nie jest konieczny - lewy dolny róg, więc musisz nauczyć się rozpoznawać trójkąt prostokątny w tej formie,
i w tym
i w tym
Co jest dobrego w trójkącie prostokątnym? Cóż... po pierwsze, jego boki mają specjalne piękne nazwy.
Uwaga na rysunek!
Pamiętaj i nie myl: są dwie nogi i jest tylko jedna przeciwprostokątna(jedyny, niepowtarzalny i najdłuższy)!
Cóż, omówiliśmy nazwy, teraz najważniejsza rzecz: twierdzenie Pitagorasa.
Twierdzenie Pitagorasa.
Twierdzenie to jest kluczem do rozwiązania wielu problemów związanych z trójkątem prostokątnym. Udowodnił to Pitagoras już w zupełnie niepamiętnych czasach i od tego czasu przynosi wiele pożytku tym, którzy ją znają. A najlepsze w tym jest to, że jest proste.
Więc, Twierdzenie Pitagorasa:
Czy pamiętasz dowcip: „Spodnie pitagorejskie są równe ze wszystkich stron!”?
Narysujmy te same spodnie pitagorejskie i spójrzmy na nie.
Czy to nie wygląda jak jakieś szorty? Cóż, po których stronach i gdzie są równe? Dlaczego i skąd wziął się ten żart? I ten żart wiąże się właśnie z twierdzeniem Pitagorasa, a ściślej ze sposobem, w jaki sam Pitagoras sformułował swoje twierdzenie. A sformułował to w ten sposób:
"Suma obszary kwadratów, zbudowany na nogach, jest równy powierzchnia kwadratowa, zbudowany na przeciwprostokątnej.”
Czy to naprawdę brzmi trochę inaczej? I tak, kiedy Pitagoras przedstawił oświadczenie swojego twierdzenia, powstał dokładnie taki obraz.
Na tym obrazku suma pól małych kwadratów jest równa powierzchni dużego kwadratu. Aby dzieci lepiej pamiętały, że suma kwadratów nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej, ktoś dowcipny wymyślił ten żart o spodniach pitagorejskich.
Dlaczego teraz formułujemy twierdzenie Pitagorasa?
Czy Pitagoras cierpiał i mówił o kwadratach?
Widzisz, w starożytności nie było... algebry! Nie było żadnych znaków i tak dalej. Nie było żadnych napisów. Czy możesz sobie wyobrazić, jak okropne było dla biednych starożytnych uczniów zapamiętywanie wszystkiego słowami?! I możemy się cieszyć, że mamy proste sformułowanie twierdzenia Pitagorasa. Powtórzmy to jeszcze raz, żeby lepiej zapamiętać:
Teraz powinno być łatwo:
| Kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg. |
Cóż, najważniejsze twierdzenie o trójkątach prostokątnych zostało omówione. Jeśli ciekawi Cię, jak to zostało udowodnione, zapoznaj się z kolejnymi poziomami teorii, a teraz przejdźmy dalej… w ciemny las… trygonometrii! Do okropnych słów sinus, cosinus, tangens i cotangens.
Sinus, cosinus, tangens, cotangens w trójkącie prostokątnym.
W rzeczywistości wszystko wcale nie jest takie straszne. Oczywiście w artykule należy przyjrzeć się „prawdziwym” definicjom sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Ale naprawdę nie chcę, prawda? Możemy się radować: aby rozwiązać problemy dotyczące trójkąta prostokątnego, możesz po prostu wypełnić następujące proste rzeczy:
Dlaczego wszystko jest tuż za rogiem? Gdzie jest róg? Aby to zrozumieć, musisz wiedzieć, jak stwierdzenia 1–4 są pisane słownie. Spójrz, zrozum i zapamiętaj!
1.
Właściwie brzmi to tak:
A co z kątem? Czy istnieje noga znajdująca się naprzeciwko rogu, czyli przeciwna (dla kąta) noga? Oczywiście, że tak! To jest noga!
A co z kątem? Przyjrzyj się uważnie. Która noga przylega do rogu? Oczywiście noga. Oznacza to, że dla kąta noga sąsiaduje i
Teraz uważaj! Zobacz, co mamy:
Zobacz jakie to fajne:
Przejdźmy teraz do stycznej i cotangensu.
Jak mam to teraz zapisać słowami? Jaka jest noga w stosunku do kąta? Oczywiście odwrotnie - „leży” naprzeciwko rogu. A co z nogą? Sąsiaduje z rogiem. Co więc mamy?
Widzisz, jak licznik i mianownik zamieniły się miejscami?
A teraz znowu rogi i dokonałem wymiany:
Wznawiać
Zapiszmy krótko wszystko, czego się nauczyliśmy.
|
Twierdzenie Pitagorasa: |
Głównym twierdzeniem dotyczącym trójkątów prostokątnych jest twierdzenie Pitagorasa.
Twierdzenie Pitagorasa
Swoją drogą, czy dobrze pamiętasz, czym są nogi i przeciwprostokątna? Jeśli nie jest zbyt dobry, spójrz na zdjęcie - odśwież swoją wiedzę
Jest całkiem możliwe, że korzystałeś już z twierdzenia Pitagorasa wiele razy, ale czy zastanawiałeś się kiedyś, dlaczego takie twierdzenie jest prawdziwe? Jak mogę to udowodnić? Postępujmy jak starożytni Grecy. Narysujmy kwadrat z bokiem.
Zobacz jak sprytnie podzieliliśmy jego boki na odcinki o długościach i!
Teraz połączmy zaznaczone kropki
Tutaj jednak zauważyliśmy coś innego, ale sam patrzysz na rysunek i zastanawiasz się, dlaczego tak jest.
Jakie jest pole większego kwadratu? Prawidłowy, . A co z mniejszym obszarem? Z pewnością, . Całkowita powierzchnia czterech rogów pozostaje. Wyobraź sobie, że wzięliśmy ich po dwóch na raz i oparliśmy o siebie przeciwprostokątnymi. Co się stało? Dwa prostokąty. Oznacza to, że powierzchnia „nacięć” jest równa.
Połączmy to teraz w jedną całość.
Przeliczmy:
Odwiedziliśmy więc Pitagorasa - w starożytny sposób udowodniliśmy jego twierdzenie.
Trójkąt prostokątny i trygonometria
Dla trójkąta prostokątnego zachodzą następujące zależności:
Sinus kąta ostrego jest równy stosunkowi przeciwnej strony do przeciwprostokątnej
Cosinus kąta ostrego jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.
Tangens kąta ostrego jest równy stosunkowi strony przeciwnej do strony sąsiedniej.
Cotangens kąta ostrego jest równy stosunkowi boku sąsiedniego do boku przeciwnego.
I jeszcze raz to wszystko w formie tabletu:
To bardzo wygodne!
Znaki równości trójkątów prostokątnych
I. Z dwóch stron
II. Przez nogę i przeciwprostokątną
III. Według przeciwprostokątnej i kąta ostrego
IV. Wzdłuż nogi i kąta ostrego
A)
B)
Uwaga! Bardzo ważne jest tutaj, aby nogi były „odpowiednie”. Na przykład, jeśli to pójdzie tak:
WTEDY TRÓJKĄTY NIE SĄ RÓWNE, mimo że mają jeden identyczny kąt ostry.
Jest to konieczne w obu trójkątach noga sąsiadowała ze sobą lub w obu była przeciwna.
Czy zauważyłeś, jak znaki równości trójkątów prostokątnych różnią się od zwykłych znaków równości trójkątów? Przyjrzyj się tematowi „i zwróć uwagę na fakt, że dla równości „zwykłych” trójkątów muszą być równe trzy ich elementy: dwa boki i kąt między nimi, dwa kąty i bok między nimi, czyli trzy boki. Ale dla równości trójkątów prostokątnych wystarczą tylko dwa odpowiednie elementy. Świetnie, prawda?
Sytuacja jest w przybliżeniu taka sama w przypadku znaków podobieństwa trójkątów prostokątnych.
Znaki podobieństwa trójkątów prostokątnych
I. Pod kątem ostrym
II. Z dwóch stron
III. Przez nogę i przeciwprostokątną
Mediana w trójkącie prostokątnym
Dlaczego tak jest?
Zamiast trójkąta prostokątnego rozważ cały prostokąt.
Narysujmy przekątną i rozważmy punkt - punkt przecięcia przekątnych. Co wiesz o przekątnych prostokąta?
I co z tego wynika?
Okazało się więc, że
- - mediana:
Zapamiętaj ten fakt! Bardzo pomaga!
Jeszcze bardziej zaskakujące jest to, że jest też odwrotnie.
Co dobrego można uzyskać z faktu, że środkowa poprowadzona do przeciwprostokątnej jest równa połowie przeciwprostokątnej? Spójrzmy na zdjęcie
Przyjrzyj się uważnie. Mamy: , czyli odległości od punktu do wszystkich trzech wierzchołków trójkąta okazały się równe. Ale w trójkącie jest tylko jeden punkt, którego odległości od wszystkich trzech wierzchołków trójkąta są równe, i jest to ŚRODEK KOŁA. Co się więc stało?
Zacznijmy więc od tego „oprócz…”.
Spójrzmy na i.
Ale podobne trójkąty mają wszystkie równe kąty!
To samo można powiedzieć o i
Teraz narysujmy to razem:
Jakie korzyści można wyciągnąć z tego „potrójnego” podobieństwa?
Cóż, na przykład - dwa wzory na wysokość trójkąta prostokątnego.
Zapiszmy relacje odpowiednich stron:
Aby znaleźć wysokość, rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy pierwsza formuła „Wysokość w trójkącie prostokątnym”:
Zastosujmy więc podobieństwo: .
Co się teraz stanie?
Ponownie rozwiązujemy proporcję i otrzymujemy drugą formułę:
Trzeba bardzo dobrze zapamiętać obie te formuły i skorzystać z tej, która jest wygodniejsza. Zapiszmy je jeszcze raz
Twierdzenie Pitagorasa:
W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg: .
Znaki równości trójkątów prostokątnych:
- z dwóch stron:
- przez nogę i przeciwprostokątną: lub
- wzdłuż nogi i przyległego kąta ostrego: lub
- wzdłuż nogi i przeciwległy kąt ostry: lub
- przez przeciwprostokątną i kąt ostry: lub.
Znaki podobieństwa trójkątów prostokątnych:
- jeden ostry róg: lub
- z proporcjonalności dwóch nóg:
- z proporcjonalności nogi i przeciwprostokątnej: lub.
Sinus, cosinus, tangens, cotangens w trójkącie prostokątnym
- Sinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej:
- Cosinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:
- Tangens kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek boku przeciwnego do boku sąsiedniego:
- Cotangens kąta ostrego trójkąta prostokątnego to stosunek boku sąsiedniego do boku przeciwnego: .
Wysokość trójkąta prostokątnego: lub.
W trójkącie prostokątnym środkowa narysowana z wierzchołka kąta prostego jest równa połowie przeciwprostokątnej: .
Pole trójkąta prostokątnego:
- przez nogi: