Trygonometria jako nauka wywodzi się ze starożytnego Wschodu. Astronomowie wyprowadzili pierwsze stosunki trygonometryczne w celu stworzenia dokładnego kalendarza i orientacji według gwiazd. Obliczenia te dotyczyły trygonometrii sferycznej, natomiast w kurs szkolny badać stosunki boków i kątów w trójkącie płaskim.
Trygonometria to dział matematyki zajmujący się własnościami funkcje trygonometryczne oraz związek między bokami i kątami trójkątów.
W okresie rozkwitu kultury i nauki w I tysiącleciu naszej ery wiedza rozprzestrzeniła się ze starożytnego Wschodu do Grecji. Ale główne odkrycia trygonometrii są zasługą ludzi kalifatu arabskiego. W szczególności turkmeński naukowiec al-Marazi wprowadził funkcje takie jak tangens i cotangens oraz opracował pierwsze tabele wartości sinusów, stycznych i cotangensów. Pojęcia sinusa i cosinusa zostały wprowadzone przez indyjskich naukowców. Trygonometrii poświęcano wiele uwagi w pracach tak wielkich postaci starożytności, jak Euklides, Archimedes i Eratostenes.
Podstawowe wielkości trygonometrii
Podstawowe funkcje trygonometryczne argumentu numerycznego to sinus, cosinus, tangens i cotangens. Każdy z nich ma swój własny wykres: sinus, cosinus, tangens i cotangens.
Wzory do obliczania wartości tych wielkości opierają się na twierdzeniu Pitagorasa. Jest lepiej znany uczniom w sformułowaniu: „Spodnie pitagorejskie, równe we wszystkich kierunkach”, ponieważ dowód przedstawiono na przykładzie trójkąta prostokątnego równoramiennego.
Sinus, cosinus i inne zależności ustalają związek między kątami ostrymi i bokami dowolnego trójkąta prostokątnego. Przedstawmy wzory na obliczenie tych wielkości dla kąta A i prześledźmy zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi:
Jak widać, tg i ctg są funkcje odwrotne. Jeśli wyobrazimy sobie nogę a jako iloczyn grzechu A i przeciwprostokątnej c oraz nogę b jako cos A*c, otrzymamy następujące wzory na styczną i cotangens:
Koło trygonometryczne
Graficznie zależność pomiędzy wymienionymi wielkościami można przedstawić w następujący sposób:
Obwód, w w tym przypadku, reprezentuje wszystkie możliwe wartości kąta α - od 0° do 360°. Jak widać na rysunku, każda funkcja przyjmuje wartość ujemną lub dodatnią w zależności od kąta. Przykładowo sin α będzie miał znak „+”, jeśli α należy do 1. i 2. ćwiartki koła, czyli mieści się w przedziale od 0° do 180°. Dla α od 180° do 360° (III i IV ćwiartka) sin α może mieć tylko wartość ujemną.
Spróbujmy zbudować tablice trygonometryczne dla określonych kątów i znajdź wartość tych wielkości.
Wartości α równe 30°, 45°, 60°, 90°, 180° itd. nazywane są przypadkami specjalnymi. Wartości funkcji trygonometrycznych dla nich są obliczane i prezentowane w formie specjalnych tabel.
Kąty te nie zostały wybrane przypadkowo. Oznaczenie π w tabelach dotyczy radianów. Rad to kąt, pod którym długość łuku koła odpowiada jego promieniowi. Wartość tę wprowadzono w celu ustalenia uniwersalnej zależności; przy obliczaniu w radianach rzeczywista długość promienia w cm nie ma znaczenia.
Kąty w tabelach funkcji trygonometrycznych odpowiadają wartościom radianów:
Nietrudno więc zgadnąć, że 2π to pełny okrąg, czyli 360°.
Własności funkcji trygonometrycznych: sinus i cosinus
Aby rozważyć i porównać podstawowe właściwości sinusa i cosinusa, tangensa i cotangensu, należy narysować ich funkcje. Można tego dokonać w postaci krzywej umiejscowionej w dwuwymiarowym układzie współrzędnych.
Rozważać tabela porównawcza właściwości sinusa i cosinusa:
| Sinusoida | Cosinus |
|---|---|
| y = sinx | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, dla x = πk, gdzie k ϵ Z | cos x = 0, dla x = π/2 + πk, gdzie k ϵ Z |
| sin x = 1, dla x = π/2 + 2πk, gdzie k ϵ Z | cos x = 1, przy x = 2πk, gdzie k ϵ Z |
| sin x = - 1, przy x = 3π/2 + 2πk, gdzie k ϵ Z | cos x = - 1, dla x = π + 2πk, gdzie k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, czyli funkcja jest nieparzysta | cos (-x) = cos x, czyli funkcja jest parzysta |
| funkcja jest okresowa, najmniejszy okres wynosi 2π | |
| sin x › 0, gdzie x należy do I i II ćwiartki lub od 0° do 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, gdzie x należy do ćwiartek I i IV lub od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, gdzie x należy do trzeciej i czwartej ćwiartki lub od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, gdzie x należy do 2. i 3. ćwiartki lub od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| wzrosty w przedziale [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | rośnie na przedziale [-π + 2πk, 2πk] |
| maleje na przedziałach [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | maleje w odstępach czasu |
| pochodna (sin x)’ = cos x | pochodna (cos x)’ = - sin x |
Ustalenie, czy funkcja jest parzysta, czy nie, jest bardzo proste. Wystarczająco, żeby sobie wyobrazić okrąg trygonometryczny ze znakami wielkości trygonometrycznych i w myślach „dodaj” wykres względem osi OX. Jeśli znaki się pokrywają, funkcja jest parzysta, w przeciwnym razie jest nieparzysta.
Wprowadzenie radianów i wyszczególnienie podstawowych własności fal sinusoidalnych i cosinusoidalnych pozwala przedstawić następujący wzór:
Bardzo łatwo jest sprawdzić poprawność wzoru. Na przykład dla x = π/2 sinus wynosi 1, podobnie jak cosinus x = 0. Sprawdzenie można przeprowadzić, korzystając z tabel lub śledząc krzywe funkcji dla danych wartości.
Właściwości tangentsoid i kotangentsoid
Wykresy funkcji stycznej i cotangens różnią się znacznie od funkcji sinus i cosinus. Wartości tg i ctg są względem siebie odwrotne.
- Y = brązowy x.
- Styczna dąży do wartości y przy x = π/2 + πk, ale nigdy ich nie osiąga.
- Najmniejszy dodatni okres tangentoidy to π.
- Tg (- x) = - tg x, czyli funkcja jest nieparzysta.
- Tg x = 0, dla x = πk.
- Funkcja jest rosnąca.
- Tg x › 0, dla x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, dla x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Pochodna (tg x)’ = 1/cos 2 x.
Rozważ graficzną reprezentację kotangentoidy poniżej w tekście.
Główne właściwości kotangentoidów:
- Y = łóżeczko x.
- W przeciwieństwie do funkcji sinus i cosinus, w tangentoidzie Y może przyjmować wartości zbioru wszystkich liczb rzeczywistych.
- Kotangentoida dąży do wartości y przy x = πk, ale nigdy ich nie osiąga.
- Najmniejszy dodatni okres kotangentoidy to π.
- Ctg (- x) = - ctg x, czyli funkcja jest nieparzysta.
- Ctg x = 0, dla x = π/2 + πk.
- Funkcja jest malejąca.
- Ctg x › 0, dla x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, dla x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Pochodna (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Poprawnie
Tożsamości trygonometryczne- są to równości ustalające związek między sinusem, cosinusem, styczną i cotangensem jednego kąta, co pozwala znaleźć dowolną z tych funkcji, pod warunkiem, że znana jest jakakolwiek inna.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alfa \cdot ctg \alfa = 1
Tożsamość ta mówi, że suma kwadratu sinusa jednego kąta i kwadratu cosinusa jednego kąta jest równa jeden, co w praktyce pozwala obliczyć sinus jednego kąta, gdy znany jest jego cosinus i odwrotnie .
Przy konwersji wyrażeń trygonometrycznych bardzo często wykorzystuje się tę tożsamość, co pozwala na zamianę sumy kwadratów cosinusa i sinusa jednego kąta na jeden, a także wykonanie operacji zamiany w odwrotnej kolejności.
Znajdowanie tangensu i cotangensa za pomocą sinusa i cosinusa
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Tożsamości te powstają na podstawie definicji sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensa. W końcu, jeśli na to spojrzysz, to z definicji rzędna y jest sinusem, a odcięta x jest cosinusem. Wtedy tangens będzie równy stosunkowi \frac(y)(x)=\frac(\sin \alfa)(\cos \alfa) i stosunek \frac(x)(y)=\frac(\cos \alfa)(\sin \alfa)- będzie kotangentem.
Dodajmy, że tylko dla takich kątów \alpha, dla których zawarte w nich funkcje trygonometryczne mają sens, tożsamości będą zachowane, ctg \alpha=\frac(\cos \alfa)(\sin \alfa).
Na przykład: tg \alfa = \frac(\sin \alfa)(\cos \alfa) obowiązuje dla kątów \alpha, które są różne od \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alfa)(\sin \alfa)- dla kąta \alfa innego niż \pi z, z jest liczbą całkowitą.
Zależność między styczną i kotangensem
tg \alfa \cdot ctg \alfa=1
Ta tożsamość jest ważna tylko dla kątów \alfa, które są różne \frac(\pi)(2) z. W przeciwnym razie ani kotangens, ani styczna nie zostaną określone.
Opierając się na powyższych punktach, otrzymujemy to tg \alfa = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Wynika z tego tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Zatem tangens i cotangens tego samego kąta, pod którym mają sens, są liczbami wzajemnie odwrotnymi.
Zależności między tangensem i cosinusem, kotangensem i sinusem
tg^(2) \alfa + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alfa)- suma kwadratów tangensa kąta \alfa i 1 jest równa odwrotności kwadratu cosinusa tego kąta. Ta tożsamość jest ważna dla wszystkich \alpha innych niż \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alfa=\frac(1)(\sin^(2)\alfa)- suma 1 i kwadratu cotangensu kąta \alfa jest równa odwrotności kwadratu sinusa danego kąta. Tożsamość ta obowiązuje dla każdego \alfa innego niż \pi z.
Przykłady rozwiązań problemów z wykorzystaniem tożsamości trygonometrycznych
Przykład 1
Znajdź \sin \alpha i tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 I \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Pokaż rozwiązanie
Rozwiązanie
Funkcje \sin \alpha i \cos \alpha są powiązane wzorem \sin^(2)\alfa + \cos^(2) \alfa = 1. Podstawiając do tego wzoru \cos \alfa = -\frac12, otrzymujemy:
\sin^(2)\alfa + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Równanie to ma 2 rozwiązania:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Według warunku \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . W drugim kwartale sinus jest dodatni, tj \sin \alfa = \frac(\sqrt 3)(2).
Aby znaleźć tan \alfa, używamy wzoru tg \alfa = \frac(\sin \alfa)(\cos \alfa)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2): \frac12 = \sqrt 3
Przykład 2
Znajdź \cos \alpha i ctg \alpha jeśli i \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Pokaż rozwiązanie
Rozwiązanie
Podstawienie do wzoru \sin^(2)\alfa + \cos^(2) \alfa = 1 podany numer \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), otrzymujemy \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Równanie to ma dwa rozwiązania \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Według warunku \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . W drugim kwartale cosinus jest ujemny, tzw \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Aby znaleźć ctg \alpha, korzystamy ze wzoru ctg \alfa = \frac(\cos \alfa)(\sin \alfa). Znamy odpowiednie wartości.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Rozpoczniemy naukę trygonometrii od trójkąta prostokątnego. Zdefiniujmy, czym są sinus i cosinus, a także tangens i cotangens kąt ostry. To są podstawy trygonometrii.
Przypomnijmy Ci to prosty kąt jest kątem równym 90 stopni. Innymi słowy, pół obrotu.
Kąt ostry- mniej niż 90 stopni.
Kąt rozwarty- większy niż 90 stopni. W odniesieniu do takiego kąta „tępy” nie jest obelgą, ale terminem matematycznym :-)
Narysujmy prawy trójkąt. Kąt prosty jest zwykle oznaczany przez . Należy pamiętać, że strona przeciwna do rogu jest oznaczona tą samą literą, tylko małą. Zatem strona przeciwna do kąta A jest oznaczona .
Kąt jest oznaczony odpowiednią literą grecką.
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego to bok leżący naprzeciw kąta prostego.
Nogi- boki leżące naprzeciw kątów ostrych.
Nazywa się nogę leżącą naprzeciwko kąta naprzeciwko(w odniesieniu do kąta). Nazywa się drugą nogę, która leży na jednym z boków kąta przylegający.
Zatoka Kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej:
Cosinus kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:
Tangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek boku przeciwnego do boku sąsiedniego:
Inna (równoważna) definicja: tangens kąta ostrego to stosunek sinusa kąta do jego cosinusa:
Cotangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniego boku do przeciwnego (lub, co jest takie samo, stosunek cosinusa do sinusa):
Zwróć uwagę na podstawowe zależności dla sinusa, cosinusa, stycznej i cotangensu poniżej. Przydadzą się nam przy rozwiązywaniu problemów.
Udowodnijmy niektóre z nich.
OK, podaliśmy definicje i spisaliśmy wzory. Ale po co nam jeszcze sinus, cosinus, tangens i cotangens?
Wiemy to suma kątów dowolnego trójkąta jest równa.
Znamy zależności pomiędzy imprezy prawy trójkąt. Jest to twierdzenie Pitagorasa: .
Okazuje się, że znając dwa kąty w trójkącie, można znaleźć trzeci. Znając dwa boki trójkąta prostokątnego, możesz znaleźć trzeci. Oznacza to, że kąty mają swój własny stosunek, a boki mają swój własny. Ale co zrobić, jeśli w trójkącie prostokątnym znasz jeden kąt (z wyjątkiem kąta prostego) i jeden bok, ale musisz znaleźć pozostałe boki?
Z tym właśnie spotykali się ludzie w przeszłości, tworząc mapy okolicy i gwiaździstego nieba. W końcu nie zawsze można bezpośrednio zmierzyć wszystkie boki trójkąta.
Sinus, cosinus i tangens - są również nazywane funkcje kąta trygonometrycznego- podać relacje pomiędzy imprezy I rogi trójkąt. Znając kąt, możesz znaleźć wszystkie jego funkcje trygonometryczne za pomocą specjalnych tabel. A znając sinusy, cosinusy i styczne kątów trójkąta i jednego z jego boków, możesz znaleźć resztę.
Narysujemy także tabelę wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla „dobrych” kątów od do.
Zwróć uwagę na dwie czerwone kreski w tabeli. Przy odpowiednich wartościach kąta tangens i cotangens nie istnieją.
Przyjrzyjmy się kilku problemom trygonometrycznym z banku zadań FIPI.
1. W trójkącie kąt wynosi , . Znajdować .
Problem zostanie rozwiązany w cztery sekundy.
Od , .
2. W trójkącie kąt wynosi , , . Znajdować .
Znajdźmy to za pomocą twierdzenia Pitagorasa.
Problem został rozwiązany.
Często w problemach występują trójkąty z kątami i/lub z kątami i. Zapamiętaj na pamięć podstawowe proporcje dla nich!
Dla trójkąta z kątami i nogą przeciwną kąt przy jest równy połowa przeciwprostokątnej.
Trójkąt mający kąty i jest równoramienny. W nim przeciwprostokątna jest razy większa niż noga.
Przyjrzeliśmy się problemom rozwiązywania trójkątów prostokątnych, czyli znajdowania nieznanych boków i kątów. Ale to nie wszystko! W Opcje ujednoliconego egzaminu stanowego w matematyce istnieje wiele problemów związanych z sinusem, cosinusem, tangensem lub cotangensem kąta zewnętrznego trójkąta. Więcej na ten temat w następnym artykule.
Najpierw rozważ okrąg o promieniu 1 i środku w (0;0). Dla dowolnego αЄR promień 0A można narysować w taki sposób, aby radiacyjna miara kąta pomiędzy 0A a osią 0x była równa α. Kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara jest uważany za dodatni. Niech koniec promienia A ma współrzędne (a,b).
Definicja sinusa
Definicja: Liczbę b, równą rzędnej tak skonstruowanego promienia jednostkowego, oznaczamy przez sinα i nazywamy sinusem kąta α.
Przykład: sin 3π cos3π/2 = 0 0 = 0
Definicja cosinus
Definicja: Liczbę a, równą odciętej końca tak skonstruowanego promienia jednostkowego, oznaczamy przez cosα i nazywamy cosinusem kąta α.
Przykład: cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2
W tych przykładach wykorzystano definicję sinusa i cosinusa kąta w postaci współrzędnych końca promienia jednostkowego i okręgu jednostkowego. Aby uzyskać bardziej wizualną reprezentację, musisz narysować okrąg jednostkowy i narysuj na nim odpowiednie punkty, a następnie policz ich odcięte, aby obliczyć cosinus i rzędną, aby obliczyć sinus.
Definicja styczna
Definicja: Funkcja tgx=sinx/cosx dla x≠π/2+πk, kЄZ nazywana jest kotangensem kąta x. Dziedziną definicji funkcji tgx są wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem x=π/2+πn, nЄZ.
Przykład: tg0 tgπ = 0 0 = 0
Ten przykład jest podobny do poprzedniego. Aby obliczyć tangens kąta, należy podzielić rzędną punktu przez jego odciętą.
Definicja kotangensu
Definicja: Funkcja ctgx=cosx/sinx dla x≠πk, kЄZ nazywana jest cotangensem kąta x. Dziedziną definicji funkcji ctgx = są wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem punktów x=πk, kЄZ.
Spójrzmy na przykład wykorzystujący regularny trójkąt prostokątny
Aby było jaśniejsze, czym są cosinus, sinus, tangens i cotangens. Rozważmy przykład foremnego trójkąta prostokątnego o kącie y i bokach a, b, c. Przeciwprostokątna c, odpowiednio nogi a i b. Kąt między przeciwprostokątną c a nogą b y.
Definicja: Sinus kąta y to stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej: sinus = a/c
Definicja: Cosinus kąta y to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej: cosy= in/c
Definicja: Tangens kąta y to stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej: tgy = a/b
Definicja: Cotangens kąta y to stosunek boku sąsiedniego do boku przeciwnego: ctgy= in/a
Sinus, cosinus, tangens i cotangens nazywane są także funkcjami trygonometrycznymi. Każdy kąt ma swój własny sinus i cosinus. I prawie każdy ma swoją własną styczną i cotangens.
Uważa się, że jeśli dany jest nam kąt, to znamy jego sinus, cosinus, tangens i cotangens! I odwrotnie. Biorąc pod uwagę odpowiednio sinus lub dowolną inną funkcję trygonometryczną, znamy kąt. Stworzono nawet specjalne tabele, w których dla każdego kąta zapisywane są funkcje trygonometryczne.
Pojęcia sinus (), cosinus (), tangens (), cotangens () są nierozerwalnie związane z pojęciem kąta. Aby dobrze zrozumieć te, na pierwszy rzut oka złożone, pojęcia (które u wielu uczniów wywołują przerażenie) i upewnić się, że „diabeł nie jest taki straszny, jak go malują”, zacznijmy od bardzo początku i rozumiem pojęcie kąta.
Pojęcie kąta: radian, stopień
Spójrzmy na zdjęcie. Wektor „obrócił się” względem punktu o określoną wartość. Zatem miara tego obrotu względem pozycji początkowej będzie wynosić narożnik.
Co jeszcze musisz wiedzieć o pojęciu kąta? Cóż, oczywiście, jednostki kąta!
Kąt, zarówno w geometrii, jak i trygonometrii, można mierzyć w stopniach i radianach.
Nazywa się kąt (jeden stopień). kąt środkowy w okręgu, opartym na łuku kołowym równym części koła. Zatem całe koło składa się z „kawałków” łuków kołowych lub kąt opisany przez okrąg jest równy.
Oznacza to, że powyższy rysunek pokazuje kąt równy, to znaczy kąt ten opiera się na łuku kołowym wielkości obwodu.
Kąt w radianach to kąt środkowy okręgu oparty na łuku kołowym, którego długość jest równa promieniowi okręgu. Cóż, wpadłeś na to? Jeśli nie, rozwiążmy to na podstawie rysunku.
Zatem rysunek pokazuje kąt równy radianowi, to znaczy kąt ten opiera się na łuku kołowym, którego długość jest równa promieniowi okręgu (długość jest równa długości lub promieniowi równa długościłuki). Zatem długość łuku oblicza się ze wzoru:
Gdzie jest kąt środkowy w radianach.
Cóż, wiedząc to, czy możesz odpowiedzieć, ile radianów zawiera się w kącie opisanym przez okrąg? Tak, w tym celu musisz pamiętać wzór na obwód. Oto ona:
Cóż, teraz skorelujmy te dwa wzory i przekonajmy się, że kąt opisany przez okrąg jest równy. Oznacza to, że korelując wartość w stopniach i radianach, otrzymamy to. Odpowiednio, . Jak widać, w przeciwieństwie do „stopni”, słowo „radian” zostało pominięte, ponieważ jednostka miary jest zwykle jasna z kontekstu.
Ile jest tam radianów? Zgadza się!
Rozumiem? Następnie napraw to:
Masz trudności? Potem spójrz odpowiedzi:
Trójkąt prostokątny: sinus, cosinus, tangens, cotangens kąta
Opracowaliśmy więc pojęcie kąta. Ale czym jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta? Rozwiążmy to. Aby to zrobić, pomoże nam trójkąt prostokątny.
Jak nazywają się boki trójkąta prostokątnego? Zgadza się, przeciwprostokątna i nogi: przeciwprostokątna to strona leżąca naprzeciwko kąta prostego (w naszym przykładzie jest to bok); nogi to dwa pozostałe boki i (te sąsiadujące z prosty kąt) i jeśli weźmiemy pod uwagę nogi w odniesieniu do kąta, wówczas noga jest nogą sąsiednią, a noga jest przeciwna. A więc teraz odpowiedzmy na pytanie: czym jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta?
Sinus kąta- jest to stosunek przeciwnej (odległej) nogi do przeciwprostokątnej.
W naszym trójkącie.
Cosinus kąta- jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwprostokątnej.
W naszym trójkącie.
Tangens kąta- jest to stosunek strony przeciwnej (odległej) do strony sąsiedniej (bliskiej).
W naszym trójkącie.
Kotansa kąta- jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwnej (dalekiej).
W naszym trójkącie.
Te definicje są konieczne Pamiętać! Aby łatwiej było zapamiętać, na którą nogę podzielić, musisz to jasno zrozumieć tangens I cotangens tylko nogi siedzą, a przeciwprostokątna pojawia się tylko w zatoka I cosinus. A potem możesz wymyślić łańcuch skojarzeń. Na przykład ten:
Cosinus → dotyk → dotyk → sąsiad;
Cotangens → dotyk → dotyk → sąsiad.
Przede wszystkim trzeba pamiętać, że sinus, cosinus, tangens i cotangens, ponieważ stosunki boków trójkąta nie zależą od długości tych boków (pod tym samym kątem). Nie wierzysz mi? Następnie upewnij się, patrząc na zdjęcie:
Rozważmy na przykład cosinus kąta. Z definicji z trójkąta: , ale cosinus kąta możemy obliczyć z trójkąta: . Widzisz, długości boków są różne, ale wartość cosinusa jednego kąta jest taka sama. Zatem wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangens zależą wyłącznie od wielkości kąta.
Jeśli rozumiesz definicje, śmiało je skonsoliduj!
Dla trójkąta pokazanego na poniższym rysunku znajdujemy.
No cóż, zrozumiałeś? Następnie spróbuj sam: oblicz to samo dla kąta.
Okrąg jednostkowy (trygonometryczny).
Rozumiejąc pojęcia stopnia i radianu, rozważaliśmy okrąg o promieniu równym. Taki okrąg nazywa się pojedynczy. Będzie bardzo przydatny podczas nauki trygonometrii. Dlatego przyjrzyjmy się temu nieco bardziej szczegółowo.
Jak widać, okrąg ten jest zbudowany w kartezjańskim układzie współrzędnych. Promień okręgu jest równy jeden, natomiast środek okręgu leży w początku współrzędnych, początkowe położenie wektora promienia jest ustalone wzdłuż dodatniego kierunku osi (w naszym przykładzie jest to promień).
Każdy punkt na okręgu odpowiada dwóm liczbom: współrzędnej osi i współrzędnej osi. Jakie są te numery współrzędnych? I w ogóle, co one mają wspólnego z poruszanym tematem? Aby to zrobić, musimy pamiętać o rozważanym trójkącie prostokątnym. Na powyższym rysunku widać dwa całe trójkąty prostokątne. Rozważmy trójkąt. Jest prostokątny, ponieważ jest prostopadły do osi.
Czemu równy jest trójkąt? Zgadza się. Ponadto wiemy, że jest to promień okręgu jednostkowego, co oznacza . Podstawmy tę wartość do naszego wzoru na cosinus. Oto, co się dzieje:
Czemu równy jest trójkąt? Oczywiście! Zastąp wartość promienia tym wzorem i uzyskaj:
Czy możesz więc powiedzieć, jakie współrzędne ma punkt należący do okręgu? No cóż, nie ma mowy? A co jeśli zdasz sobie z tego sprawę i okażesz się tylko liczbami? Której współrzędnej odpowiada? Cóż, oczywiście, współrzędne! I jakiej współrzędnej to odpowiada? Zgadza się, współrzędne! Zatem kropka.
Czym zatem są i czym się równają? Zgadza się, użyjmy odpowiednich definicji tangensu i cotangensu i otrzymajmy to, a.
A co jeśli kąt będzie większy? Na przykład tak jak na tym obrazku:
Co się zmieniło w w tym przykładzie? Rozwiążmy to. Aby to zrobić, zwróćmy się ponownie do trójkąta prostokątnego. Rozważmy trójkąt prostokątny: kąt (w sąsiedztwie kąta). Jakie są wartości sinusa, cosinusa, tangens i cotangens dla kąta? Zgadza się, stosujemy się do odpowiednich definicji funkcji trygonometrycznych:
Cóż, jak widać, wartość sinusa kąta nadal odpowiada współrzędnej; wartość cosinusa kąta - współrzędna; oraz wartości tangensa i cotangensu do odpowiednich stosunków. Zależności te dotyczą więc dowolnego obrotu wektora promienia.
Wspomniano już, że położenie początkowe wektora promienia leży wzdłuż dodatniego kierunku osi. Do tej pory obracaliśmy ten wektor w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ale co się stanie, jeśli obrócimy go w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara? Nic nadzwyczajnego, również otrzymasz kąt o określonej wartości, ale tylko on będzie ujemny. Zatem obracając wektor promienia w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, otrzymujemy kąty dodatnie, a przy obrocie w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara - negatywny.
Wiemy więc, że cały obrót wektora promienia wokół okręgu wynosi lub. Czy można obrócić wektor promienia do lub do? Oczywiście, że możesz! Zatem w pierwszym przypadku wektor promienia wykona jeden pełny obrót i zatrzyma się w pozycji lub.
W drugim przypadku wektor promienia wykona trzy pełne obroty i zatrzyma się w pozycji lub.
Zatem z powyższych przykładów możemy wywnioskować, że kąty różniące się lub (gdzie jest dowolną liczbą całkowitą) odpowiadają temu samemu położeniu wektora promienia.
Poniższy rysunek przedstawia kąt. Ten sam obraz odpowiada narożnikowi itp. Listę tę można ciągnąć w nieskończoność. Wszystkie te kąty można zapisać za pomocą ogólnego wzoru lub (gdzie jest dowolną liczbą całkowitą)
Teraz znając definicje podstawowych funkcji trygonometrycznych i korzystając z okręgu jednostkowego spróbuj odpowiedzieć jakie to są wartości:
Oto okrąg jednostkowy, który Ci pomoże:
Masz trudności? Więc rozwiążmy to. Wiemy więc, że:
Stąd wyznaczamy współrzędne punktów odpowiadających pewnym miarom kąta. Cóż, zacznijmy po kolei: kąt w odpowiada punktowi o współrzędnych, zatem:
nie istnieje;
Dalej, trzymając się tej samej logiki, dowiadujemy się, że rogi odpowiadają odpowiednio punktom o współrzędnych. Wiedząc o tym, łatwo jest określić wartości funkcji trygonometrycznych w odpowiednich punktach. Najpierw spróbuj sam, a potem sprawdź odpowiedzi.
Odpowiedzi:
Nie istnieje
Nie istnieje
Nie istnieje
Nie istnieje
W ten sposób możemy sporządzić następującą tabelę:
Nie ma potrzeby zapamiętywania wszystkich tych wartości. Wystarczy pamiętać o zgodności współrzędnych punktów na okręgu jednostkowym z wartościami funkcji trygonometrycznych:
Ale wartości funkcji trygonometrycznych kątów w i, podane w poniższej tabeli, trzeba pamiętać:
Nie bój się, teraz pokażemy Ci jeden przykład dość proste do zapamiętania odpowiednich wartości:
Aby skorzystać z tej metody, należy pamiętać o wartościach sinusa dla wszystkich trzech miar kąta (), a także o wartości tangensa kąta. Znając te wartości, dość łatwo jest przywrócić całą tabelę - wartości cosinusów przenoszone są zgodnie ze strzałkami, czyli:
Wiedząc o tym, możesz przywrócić wartości dla. Licznik „ ” będzie zgodny i mianownik „ ” będzie zgodny. Wartości cotangens są przenoszone zgodnie ze strzałkami wskazanymi na rysunku. Jeśli to zrozumiesz i zapamiętasz diagram ze strzałkami, wystarczy zapamiętać wszystkie wartości z tabeli.
Współrzędne punktu na okręgu
Czy można znaleźć punkt (jego współrzędne) na okręgu, znając współrzędne środka okręgu, jego promień i kąt obrotu?
Oczywiście, że możesz! Wyciągnijmy to ogólny wzór na znalezienie współrzędnych punktu.
Na przykład oto okrąg przed nami:
Wiemy, że punkt jest środkiem okręgu. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego poprzez obrót punktu o stopnie.
Jak widać na rysunku, współrzędna punktu odpowiada długości odcinka. Długość odcinka odpowiada współrzędnej środka okręgu, czyli jest równa. Długość odcinka można wyrazić korzystając z definicji cosinusa:
Następnie mamy to dla współrzędnej punktu.
Stosując tę samą logikę, znajdujemy wartość współrzędnej y punktu. Zatem,
Więc w widok ogólny współrzędne punktów wyznaczają wzory:
Współrzędne środka okręgu,
Promień okręgu,
Kąt obrotu promienia wektora.
Jak widać, dla rozważanego okręgu jednostkowego wzory te są znacznie zmniejszone, ponieważ współrzędne środka są równe zeru, a promień jest równy jeden:
Cóż, wypróbujmy te formuły, ćwicząc znajdowanie punktów na okręgu?
1. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym poprzez obrót punktu.
2. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym poprzez obrót punktu.
3. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym poprzez obrót punktu.
4. Punkt jest środkiem okręgu. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego poprzez obrót początkowego wektora promienia o.
5. Punkt jest środkiem okręgu. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego poprzez obrót początkowego wektora promienia o.
Masz problem ze znalezieniem współrzędnych punktu na okręgu?
Rozwiąż te pięć przykładów (lub bądź dobry w ich rozwiązywaniu), a nauczysz się je znajdować!
1.
Możesz to zauważyć. Wiemy jednak, co odpowiada pełnemu obrotowi punktu początkowego. W ten sposób pożądany punkt będzie w tej samej pozycji, co przy skręcie. Wiedząc o tym, znajdujemy wymagane współrzędne punktu:
2. Okrąg jednostkowy jest wyśrodkowany w punkcie, co oznacza, że możemy stosować uproszczone wzory:
Możesz to zauważyć. Wiemy, co odpowiada dwóm pełnym obrotom punktu początkowego. W ten sposób pożądany punkt będzie w tej samej pozycji, co przy skręcie. Wiedząc o tym, znajdujemy wymagane współrzędne punktu:
Sinus i cosinus to wartości tabelaryczne. Przypominamy sobie ich znaczenie i otrzymujemy:
Zatem żądany punkt ma współrzędne.
3. Okrąg jednostkowy jest wyśrodkowany w punkcie, co oznacza, że możemy stosować uproszczone wzory:
Możesz to zauważyć. Przedstawmy dany przykład na rysunku:
Promień tworzy kąty równe i z osią. Wiedząc, że wartości tabeli cosinus i sinus są równe i po ustaleniu, że cosinus tutaj przyjmuje wartość ujemna, a sinus jest dodatni, mamy:
Takie przykłady omówiono bardziej szczegółowo podczas studiowania wzorów na redukcję funkcji trygonometrycznych w tym temacie.
Zatem żądany punkt ma współrzędne.
4.
Kąt obrotu promienia wektora (według warunku)
Aby określić odpowiednie znaki sinusa i cosinusa, konstruujemy okrąg jednostkowy i kąt:
Jak widać, wartość jest dodatnia, a wartość jest ujemna. Znając wartości tabelaryczne odpowiednich funkcji trygonometrycznych, otrzymujemy, że:
Podstawmy otrzymane wartości do naszego wzoru i znajdźmy współrzędne:
Zatem żądany punkt ma współrzędne.
5. Aby rozwiązać ten problem, używamy formuł w postaci ogólnej, gdzie
Współrzędne środka okręgu (w naszym przykładzie
Promień okręgu (według warunku)
Kąt obrotu promienia wektora (według warunku).
Podstawiamy wszystkie wartości do wzoru i otrzymujemy:
i - wartości tabeli. Zapamiętajmy je i podstawmy je do wzoru:
Zatem żądany punkt ma współrzędne.
PODSUMOWANIE I PODSTAWOWE FORMUŁY
Sinus kąta to stosunek przeciwnej (dalekiej) nogi do przeciwprostokątnej.
Cosinus kąta to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwprostokątnej.
Tangens kąta to stosunek strony przeciwnej (dalekiej) do strony sąsiedniej (bliskiej).
Cotangens kąta to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwnej (dalekiej) nogi.