1. Funkcje trygonometryczne są funkcjami elementarnymi, których argumentem jest narożnik. Używając funkcje trygonometryczne opisuje relacje między stronami i ostre rogi w trójkącie prostokątnym. Obszary zastosowań funkcji trygonometrycznych są niezwykle zróżnicowane. Na przykład dowolne procesy okresowe można przedstawić jako sumę funkcji trygonometrycznych (szereg Fouriera). Funkcje te często pojawiają się przy rozwiązywaniu równań różniczkowych i funkcyjnych.

2. Funkcje trygonometryczne obejmują 6 następujących funkcji: Zatoka, cosinus, tangens,cotangens, sieczna I współistniejące. Dla każdej z tych funkcji istnieje odwrotna funkcja trygonometryczna.

3. Definicja geometryczna Funkcje trygonometryczne można wygodnie wprowadzać za pomocą okrąg jednostkowy. Poniższy rysunek przedstawia okrąg o promieniu r=1. Na okręgu zaznaczono punkt M(x,y). Kąt pomiędzy wektorem promienia OM a dodatnim kierunkiem osi Ox jest równy α.

4. Zatoka kąt α jest stosunkiem rzędnej y punktu M(x,y) do promienia r:
sinα=y/r.
Ponieważ r=1, to sinus jest równy rzędnej punktu M(x,y).

5. Cosinus kąt α jest stosunkiem odciętej x punktu M(x,y) do promienia r:
cosα=x/r

6. Tangens kąt α jest stosunkiem rzędnej y punktu M(x,y) do jego odciętej x:
tanα=y/x,x≠0

7. Cotangens kąt α jest stosunkiem odciętej x punktu M(x,y) do jego rzędnej y:
łóżeczkoα=x/y,y≠0

8. Sieczna kąt α jest stosunkiem promienia r do odciętej x punktu M(x,y):
secα=r/x=1/x,x≠0

9. Cosekans kąt α jest stosunkiem promienia r do rzędnej y punktu M(x,y):
cscα=r/y=1/y,y≠0

10. W okręgu jednostkowym rzuty x, y, punkty M(x,y) i promień r tworzą trójkąt prostokątny, w którym x,y to nogi, a r to przeciwprostokątna. Dlatego też powyższe definicje funkcji trygonometrycznych znajdują się w załączniku do trójkąt prostokątny są sformułowane w następujący sposób:
Zatoka kąt α jest stosunkiem przeciwnej strony do przeciwprostokątnej.
Cosinus kąt α jest stosunkiem sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej.
Tangens kąt α nazywany jest nogą przeciwną do sąsiedniej.
Cotangens kąt α nazywany jest stroną przylegającą do strony przeciwnej.
Sieczna kąt α jest stosunkiem przeciwprostokątnej do sąsiedniej nogi.
Cosekans kąt α jest stosunkiem przeciwprostokątnej do przeciwnej nogi.

11. Wykres funkcji sinus
y=sinx, dziedzina definicji: x∈R, zakres wartości: −1≤sinx≤1

12. Wykres funkcji cosinus
y=cosx, dziedzina: x∈R, zakres: −1≤cosx≤1

13. Wykres funkcji stycznej
y=tanx, zakres definicji: x∈R,x≠(2k+1)π/2, zakres wartości: −∞

14. Wykres funkcji cotangens
y=cotx, dziedzina: x∈R,x≠kπ, zakres: −∞

15. Wykres funkcji siecznej
y=secx, dziedzina definicji: x∈R,x≠(2k+1)π/2, zakres wartości: secx∈(−∞,−1]∪∪ – powiedziała Helena zwracając się do niej.
„Och, oui, [Och, tak”] odpowiedziała Natasza.

W przerwie w loży Heleny czuć było zimno, drzwi się otworzyły i schylając się, starając się nikogo nie złapać, wszedł Anatole.
„Pozwól, że przedstawię cię mojemu bratu” – powiedziała Helen, nerwowo przenosząc wzrok z Nataszy na Anatola. Natasza odwróciła swoją śliczną głowę przez nagie ramię w stronę przystojnego mężczyzny i uśmiechnęła się. Anatole, który z bliska był równie przystojny, jak z daleka, usiadł obok niej i powiedział, że od dawna chciał mieć tę przyjemność, od Balu Naryszkina, na którym miał przyjemność, której nie miał zapomniałem, że ją widziałem. Kuragin był znacznie mądrzejszy i prostszy w kontaktach z kobietami niż w męskim społeczeństwie. Mówił odważnie i prosto, a Nataszę dziwnie i przyjemnie uderzył fakt, że nie tylko nie było nic strasznego w tym człowieku, o którym tyle mówiono, ale wręcz przeciwnie, miał on najbardziej naiwny, wesoły i dobry... naturalny uśmiech.
Kuragin zapytała o wrażenia z występu i opowiedziała, jak Semenova upadła podczas grania w ostatnim przedstawieniu.
„Wiesz, hrabino”, powiedział, zwracając się do niej nagle, jak do starego znajomego, „mamy karuzelę w kostiumach; warto wziąć w tym udział: będzie świetna zabawa. Wszyscy zbierają się u Karaginów. Proszę, przyjdź, prawda? - powiedział.
Mówiąc to, nie odrywał uśmiechniętych oczu od twarzy, szyi i nagich ramion Nataszy. Natasza niewątpliwie wiedziała, że ​​ją podziwia. Była z tego zadowolona, ​​ale z jakiegoś powodu jego obecność sprawiła, że ​​poczuła się ciasna i ciężka. Kiedy na niego nie patrzyła, czuła, że ​​patrzy na jej ramiona i mimowolnie przechwytywała jego wzrok, aby lepiej patrzył w jej oczy. Ale patrząc mu w oczy, poczuła ze strachem, że między nim a nią nie ma absolutnie żadnej bariery skromności, jaką zawsze czuła między sobą a innymi mężczyznami. Ona, nie wiedząc jak, po pięciu minutach poczuła się strasznie blisko tego mężczyzny. Kiedy się odwróciła, bała się, że weźmie ją od tyłu gołą ręką i pocałuje w szyję. Rozmawiali o najprostszych rzeczach, a ona czuła, że ​​są blisko, jakby nigdy nie była z mężczyzną. Natasza spojrzała na Helenę i jej ojca, jakby pytając, co to oznacza; ale Helena była zajęta rozmową z jakimś generałem i nie reagowała na jej spojrzenie, a spojrzenie ojca nie mówiło jej nic poza tym, co zawsze powtarzał: „Fajnie jest, no cóż, cieszę się”.
W jednej z chwil niezręcznej ciszy, podczas której Anatole spokojnie i uparcie patrzył na nią wyłupiastymi oczami, Natasza, chcąc przerwać tę ciszę, zapytała go, jak podoba mu się Moskwa. Zapytała Natasza i zarumieniła się. Ciągle wydawało jej się, że rozmawiając z nim, robi coś nieprzyzwoitego. Anatole uśmiechnął się, jakby ją zachęcał.
– Na początku niezbyt mi się to podobało, bo co czyni miasto przyjemnym, ce sont les jolies femmes, [ładne kobiety], prawda? Cóż, teraz naprawdę mi się podoba – powiedział, patrząc na nią znacząco. – Pójdziesz na karuzelę, hrabino? „Idź” – powiedział, po czym wyciągając rękę po jej bukiet i zniżając głos, powiedział: „Vous serez la plus jolie”. Venez, chere comtesse, et comme gage donnez moi cette fleur. [Będziesz najpiękniejsza. Idź, droga księżno, i daj mi w zastaw ten kwiat.]
Natasza nie rozumiała, co powiedział, podobnie jak on sam, ale czuła, że ​​w jego niezrozumiałych słowach była nieprzyzwoita intencja. Nie wiedziała, co powiedzieć i odwróciła się, jakby nie słyszała, co powiedział. Ale gdy tylko się odwróciła, pomyślała, że ​​on jest za nią, tak blisko niej.
„Kim on jest teraz? Czy jest zdezorientowany? Zły? Czy powinienem to naprawić? – zapytała siebie. Nie mogła powstrzymać się od spojrzenia wstecz. Spojrzała mu prosto w oczy, a jego bliskość i pewność siebie oraz dobroduszna czułość jego uśmiechu ją pokonały. Uśmiechała się tak samo jak on, patrząc mu prosto w oczy. I znowu z przerażeniem poczuła, że ​​między nim a nią nie ma żadnej bariery.
Kurtyna znów się podniosła. Anatole opuścił pudełko spokojny i wesoły. Natasza wróciła do loży ojca, całkowicie podporządkowana światu, w którym się znalazła. Wszystko, co działo się przed nią, wydawało jej się już całkowicie naturalne; ale z tego powodu wszystkie dotychczasowe myśli o panu młodym, o księżniczce Marii, o życiu na wsi ani razu nie przyszły jej do głowy, jakby to wszystko wydarzyło się dawno, dawno temu.
W czwartym akcie był jakiś diabeł, który śpiewał i machał ręką, dopóki nie wyciągnięto pod niego desek i tam nie usiadł. Natasza widziała to dopiero w czwartym akcie: coś ją martwiło i dręczyło, a przyczyną tego podniecenia był Kuragin, za którym mimowolnie podążała wzrokiem. Gdy wychodzili z teatru, Anatole podszedł do nich, wezwał powóz i odebrał. Sadząc Nataszę, potrząsnął jej dłonią powyżej łokcia. Natasza, podekscytowana i czerwona, spojrzała na niego. Spojrzał na nią, jego oczy błyszczały i uśmiechały się czule.

Dopiero po powrocie do domu Natasza mogła wyraźnie przemyśleć wszystko, co jej się przydarzyło, i nagle, przypominając sobie księcia Andrieja, była przerażona i przy herbacie, do której wszyscy usiedli po teatrze, głośno sapnęła i wybiegła pokoju, zarumieniony. - "Mój Boże! Nie żyję! powiedziała sobie. Jak mogłem na to pozwolić?” pomyślała. Siedziała długo, zakrywając dłonią zarumienioną twarz, próbując sobie jasno zdać sprawę z tego, co jej się przydarzyło, i nie mogła zrozumieć, co się z nią stało, ani co czuła. Wszystko wydawało jej się ciemne, niejasne i przerażające. Tam, w tej ogromnej, oświetlonej sali, gdzie Duport skakał po mokrych deskach do muzyki z gołymi nogami w marynarce z cekinami, i dziewczynami, i staruszkami, a Helena, naga, ze spokojnym i dumnym uśmiechem, krzyczała „brawo” w zachwycie – tam, w cieniu tej Heleny, tam wszystko było jasne i proste; ale teraz sama, ze sobą, było to niezrozumiałe. - "Co to jest? Czym był ten strach, który do niego czułam? Czym są te wyrzuty sumienia, które teraz odczuwam? pomyślała.
Natasza będzie mogła w nocy powiedzieć starej hrabinie samotnie w łóżku wszystko, co myśli. Sonia, wiedziała, że ​​ze swoim surowym i integralnym spojrzeniem albo nic by nie zrozumiała, albo byłaby przerażona jej wyznaniem. Natasza sama ze sobą próbowała rozwiązać to, co ją dręczyło.
„Czy umarłem z miłości do księcia Andrieja, czy nie? zadawała sobie to pytanie i z uspokajającym uśmiechem odpowiedziała sobie: Jakim jestem głupcem, że o to pytam? Co mi się stało? Nic. Nic nie zrobiłem, nie zrobiłem nic, co mogłoby to spowodować. Nikt się nie dowie i nigdy więcej go nie zobaczę, powiedziała sobie. Stało się jasne, że nic się nie stało, że nie ma czego żałować, że książę Andriej może mnie tak pokochać. Ale jakiego rodzaju? O Boże, mój Boże! Dlaczego go tu nie ma? Natasza uspokoiła się na chwilę, ale potem znowu jakiś instynkt podpowiedział jej, że chociaż to wszystko była prawda i chociaż nic się nie wydarzyło, instynkt podpowiedział jej, że cała dawna czystość jej miłości do księcia Andrieja zniknęła. I znowu w wyobraźni powtórzyła całą rozmowę z Kuraginem i wyobraziła sobie twarz, gesty i delikatny uśmiech tego przystojnego i odważnego mężczyzny, gdy ten ściskał jej dłoń.

Anatol Kuragin mieszkał w Moskwie, ponieważ ojciec wysłał go z Petersburga, gdzie żył ponad dwadzieścia tysięcy rocznie w pieniądzach i tyle samo w długach, jakich wierzyciele żądali od jego ojca.
Ojciec oznajmił synowi, że po raz ostatni spłaca połowę długów; ale tylko po to, żeby pojechać do Moskwy na stanowisko adiutanta naczelnego wodza, które dla niego załatwił, i żeby wreszcie spróbować tam dorównać. Wskazał mu księżniczkę Marię i Julię Karaginę.
Anatole zgodził się i udał się do Moskwy, gdzie zatrzymał się u Pierre'a. Pierre początkowo niechętnie przyjął Anatola, ale potem przyzwyczaił się do niego, czasami chodził z nim na jego hulanki i pod pretekstem pożyczki dawał mu pieniądze.
Anatole, jak słusznie powiedział o nim Shinshin, odkąd przybył do Moskwy, doprowadzał do szaleństwa wszystkie moskiewskie damy, zwłaszcza że je zaniedbał i najwyraźniej wolał od nich Cyganki i francuskie aktorki, których głową była Mademoiselle Georges, jak mówili: pozostawał w intymnych stosunkach. Nie opuścił ani jednej biesiady z Daniłowem i innymi wesołymi towarzyszami Moskwy, pił całą noc, wyprzedzając wszystkich i uczęszczał na wszystkie wieczory i bale wyższych sfer. Rozmawiali o kilku jego intrygach z moskiewskimi damami, a na balach zalecał się do niektórych. Ale nie zbliżał się do dziewcząt, zwłaszcza bogatych narzeczonych, które w większości były złe, zwłaszcza że Anatole, którego nie znał nikt poza jego najbliższymi przyjaciółmi, ożenił się dwa lata temu. Dwa lata temu, gdy jego pułk stacjonował w Polsce, biedny polski właściciel ziemski zmusił Anatola do poślubienia jego córki.
Anatole bardzo szybko porzucił żonę i za pieniądze, które zgodził się wysłać teściowi, wynegocjował dla siebie prawo do bycia uważanym za samotnego mężczyznę.
Anatole był zawsze zadowolony ze swojej pozycji, siebie i innych. Instynktownie całym sobą był przekonany, że nie może żyć inaczej niż żył i że nigdy w życiu nie zrobił nic złego. Nie był w stanie myśleć o tym, jak jego działania mogą wpłynąć na innych, ani co może wyniknąć z takiego lub takiego działania. Był przekonany, że tak jak kaczka została stworzona w taki sposób, aby zawsze żyła w wodzie, tak został stworzony przez Boga w taki sposób, aby żył z trzydziestotysięcznym dochodem i zawsze zajmował najwyższą pozycję w społeczeństwie . Wierzył w to tak mocno, że patrząc na niego, inni byli o tym przekonani i nie odmówili mu ani wyższej pozycji w świecie, ani pieniędzy, które oczywiście pożyczał bez zwrotu od tych, których spotkał i tych, którzy go spotkali.
Nie był hazardzistą, przynajmniej nigdy nie chciał wygrywać. Nie był próżny. W ogóle nie obchodziło go, co ludzie o nim myślą. Tym bardziej nie mógł być winny ambicji. Kilka razy dokuczał ojcu, rujnując mu karierę i śmiał się ze wszystkich zaszczytów. Nie był skąpy i nie odmawiał nikomu, kto go prosił. Jedyne co kochał to zabawa i kobiety, a ponieważ według jego koncepcji nie było w tych upodobaniach nic niegodziwego, a on nie mógł myśleć o tym, co wyniknęło z zaspokajania jego upodobań wobec innych ludzi, w głębi duszy uważał się za siebie człowiek nieskazitelny, szczerze gardził łajdakami i złymi ludźmi i ze spokojnym sumieniem niósł głowę wysoko.
Biesiadnicy, ci Magdalenowie płci męskiej, mają sekretne poczucie niewinności, takie samo jak Magdalenki, oparte na tej samej nadziei na przebaczenie. „Wszystko zostanie jej wybaczone, ponieważ bardzo kochała, i wszystko zostanie mu wybaczone, ponieważ świetnie się bawił”.
Dołochow, który w tym roku po wygnaniu i perskich przygodach pojawił się ponownie w Moskwie i prowadził luksusowe życie hazardowe i hulankowe, zbliżył się do swojego starego petersburskiego towarzysza Kuragina i wykorzystał go do własnych celów.
Anatole szczerze kochał Dołochowa za jego inteligencję i odwagę. Dołochow, który potrzebował imienia, szlachty i koneksji Anatolija Kuragina, aby zwabić bogatych młodych ludzi do swojego hazardowego społeczeństwa, nie pozwalając mu tego odczuć, wykorzystywał Kuragina i bawił się nim. Oprócz obliczeń, do których potrzebował Anatola, sam proces kontrolowania czyjejś woli był dla Dołochowa przyjemnością, nawykiem i potrzebą.
Natasza wywarła duże wrażenie na Kuraginie. Podczas kolacji po teatrze, techniką konesera, zbadał przed Dołochowem godność jej rąk, ramion, nóg i włosów i oznajmił, że podjął decyzję o pójściu za nią. Co może wyniknąć z tych zalotów - Anatole nie mógł o tym myśleć i wiedzieć, tak jak nigdy nie wiedział, co wyniknie z każdego jego działania.
„Dobrze, bracie, ale nie o nas” – powiedział mu Dołochow.
„Powiem mojej siostrze, żeby zadzwoniła do niej na obiad” – powiedział Anatole. - A?
- Lepiej poczekaj, aż wyjdzie za mąż...
„Wiesz”, powiedział Anatole, „j”adore les petites filles: [Uwielbiam dziewczyny:] - teraz się zgubi.
„Zakochałeś się już w drobnej dziewczynie” – powiedział Dołochow, który wiedział o małżeństwie Anatola. - Patrzeć!
- No cóż, dwa razy się nie da! A? – powiedział Anatole, śmiejąc się dobrodusznie.

Następnego dnia po teatrze Rostowowie nigdzie nie poszli i nikt do nich nie przyszedł. Marya Dmitrievna, ukrywając coś przed Nataszą, rozmawiała z ojcem. Natasza domyśliła się, że rozmawiają o starym księciu i coś zmyślają, co ją niepokoiło i obrażało. Co minutę czekała na księcia Andrieja, a dwa razy tego dnia wysłała woźnego do Wzdwiżenki, aby dowiedzieć się, czy przybył. Nie przyszedł. Było jej teraz trudniej niż w pierwszych dniach po przybyciu na miejsce. Do jej zniecierpliwienia i smutku z powodu niego dołączyło się nieprzyjemne wspomnienie spotkania z księżniczką Marią i starym księciem oraz strach i niepokój, których przyczyny nie znała. Wydawało jej się, że albo on nigdy nie przyjdzie, albo coś jej się stanie, zanim on przyjedzie. Nie mogła, jak poprzednio, spokojnie i ciągle, sama ze sobą, myśleć o nim. Gdy tylko zaczęła o nim myśleć, do wspomnienia o nim dołączyło wspomnienie starego księcia, księżniczki Marii i ostatniego przedstawienia oraz Kuragina. Znowu zastanawiała się, czy jest winna, czy jej lojalność wobec księcia Andrieja została już naruszona, i znowu przypomniała sobie w najdrobniejszych szczegółach każde słowo, każdy gest, każdy odcień gry wyrazu na twarzy tego mężczyzny, który wiedział, że jak wzbudzić w niej coś dla niej niezrozumiałego i okropnego uczucia. W oczach rodziny Natasza wydawała się bardziej żywa niż zwykle, ale daleko jej było do spokoju i radości jak wcześniej.
W niedzielę rano Marya Dmitrievna zaprosiła swoich gości na mszę w swojej parafii Wniebowzięcia na Mogilcach.
„Nie podobają mi się te modne kościoły” – powiedziała, najwyraźniej dumna ze swojego wolnomyślicielstwa. - Wszędzie jest tylko jeden Bóg. Nasz ksiądz jest wspaniały, przyzwoicie służy, jest taki szlachetny, diakon też. Czy to czyni to tak świętym, że ludzie śpiewają koncerty w chórze? Nie podoba mi się to, to po prostu pobłażanie sobie!
Marya Dmitrievna kochała niedziele i wiedziała, jak je świętować. W sobotę jej dom został umyty i posprzątany; ludzi, a ona nie pracowała, wszyscy byli odświętnie ubrani i wszyscy chodzili na mszę. Do obiadu pana dodawano jedzenie, podawano wódkę i pieczoną gęś lub prosiak. Ale nigdzie w całym domu święto nie było bardziej widoczne niż na szerokiej, surowej twarzy Marii Dmitriewny, która tego dnia przybrała niezmienny wyraz powagi.
Kiedy po mszy wypili kawę w salonie ze zdjętymi kołdrami, poinformowano Marię Dmitriewnę, że powóz jest gotowy, a ona z surowym spojrzeniem, ubrana w uroczysty szal, w którym składała wizyty, wstała i oznajmiła że jedzie do księcia Mikołaja Andriejewicza Bołkońskiego, aby wyjaśnić mu sprawę Nataszy.
Po odejściu Maryi Dmitriewnej do Rostowów przybyła modystka z Madame Chalmet, a Natasza, zamykając drzwi w pokoju obok salonu, bardzo zadowolona z rozrywki, zaczęła przymierzać nowe sukienki. Podczas gdy zakładała jeszcze bez rękawów stanik z kwaśnej śmietany i pochylając głowę, patrząc w lustro na to, jak siedziały plecy, usłyszała w salonie ożywione dźwięki głosu ojca i innego, kobiecego głosu, co sprawiło, że poczuła się rumieniec. To był głos Heleny. Zanim Natasza zdążyła zdjąć stanik, który przymierzała, drzwi się otworzyły i do pokoju weszła hrabina Bezukhaya, promieniująca dobrodusznym i czułym uśmiechem, w ciemnofioletowej aksamitnej sukni z wysokim dekoltem.
- Ach, ma delicieuse! [Och, moja czarująca!] – powiedziała do zarumienionej Nataszy. - Charmante! [Urocze!] Nie, to nie jest nic podobnego, mój drogi hrabio” – powiedziała do Ilji Andreicha, który wszedł za nią. – Jak żyć w Moskwie i nigdzie nie podróżować? Nie, nie zostawię cię samego! Dziś wieczorem M lle Georges będzie recytował i zbierze się kilka osób; a jeśli nie przyprowadzisz swoich piękności, które są lepsze od Mille Georges, to nie chcę cię znać. Mój mąż nie żyje, wyjechał do Tweru, inaczej posłałabym go po ciebie. Koniecznie przyjdź koniecznie o dziewiątej. „Skinęła głową znanej jej modystki, która z szacunkiem usiadła przy niej i usiadła na krześle obok lustra, malowniczo rozkładając fałdy swojej aksamitnej sukni. Nie przestawała rozmawiać dobrodusznie i wesoło, nieustannie podziwiając urodę Nataszy. Oglądała swoje suknie i chwaliła je, chwaląc się nową suknią en gaz metallique [z gazu w kolorze metalu], którą otrzymała z Paryża i poradziła Nataszy to samo.
„Jednak wszystko ci pasuje, kochanie” – powiedziała.
Uśmiech przyjemności ani razu nie schodził z twarzy Nataszy. Poczuła się szczęśliwa i rozkwitła pod pochwałami tej drogiej hrabiny Bezukhovej, która wcześniej wydawała jej się taką nieprzystępną i ważną damą, a teraz była dla niej tak łaskawa. Natasza poczuła się radośnie i niemal zakochała się w tej tak pięknej i dobrodusznej kobiecie. Helen ze swojej strony szczerze podziwiała Nataszę i chciała ją zabawić. Anatole poprosił ją, aby umówiła go z Nataszą i w tym celu przyjechała do Rostowa. Rozbawiła ją myśl o ustawieniu brata z Nataszą.
Mimo że wcześniej była zła na Nataszę za to, że zabrała jej Borysa w Petersburgu, teraz nawet o tym nie myślała i z całej duszy na swój sposób życzyła Nataszy wszystkiego najlepszego. Opuszczając Rostów, odsunęła swojego protegowanego na bok.
- Wczoraj mój brat jadł ze mną obiad - umieraliśmy ze śmiechu - nic nie jadł i wzdychał za tobą, kochanie. Il est fou, mais fou amoureux de vous, ma chere. [On szaleje, ale szaleje z miłości do ciebie, moja droga.]
Natasza zarumieniła się szkarłatem słysząc te słowa.
- Jak ona się rumieni, jak się rumieni, ma delicieuse! [moja droga!] – powiedziała Helena. - Zdecydowanie przyjdź. Si vous aimez quelqu”un, ma delicieuse, ce n”est pas une raison pour se cloitrer. Si meme vous etes obiecuję, je suis Sure que votre promis aurait pragnienie que vous alliez dans le monde en son absencji plutot que de deperir d"ennui. [Tylko dlatego, że kogoś kochasz, kochanie, nie powinnaś żyć jak zakonnica. Nawet jeśli jesteś panną młodą, jestem pewien, że twój pan młody wolałby, żebyś wyszła do towarzystwa pod jego nieobecność, niż umarła z nudów.]
„Więc ona wie, że jestem panną młodą, więc ona i jej mąż, z Pierrem, z tym pięknym Pierrem” - myślała Natasza, mówiła i śmiała się z tego. Więc to nic.” I znowu pod wpływem Heleny to, co wcześniej wydawało się straszne, wydawało się proste i naturalne. „I ona jest taką wielką damą, [ważną damą] taką słodką i oczywiście kocha mnie całym sercem” – pomyślała Natasza. A dlaczego nie dobrze się bawić? pomyślała Natasza, patrząc na Helenę zdziwionymi, szeroko otwartymi oczami.
Marya Dmitrievna wróciła na obiad milcząca i poważna, najwyraźniej pokonana przez starego księcia. Wciąż była zbyt podekscytowana zderzeniem, aby móc spokojnie opowiedzieć tę historię. Na pytanie hrabiego odpowiedziała, że ​​wszystko w porządku i że jutro mu o tym powie. Dowiedziawszy się o wizycie i zaproszeniu hrabiny Bezuchowej na wieczór, Marya Dmitrievna powiedziała:
„Nie lubię spędzać czasu z Bezuchową i nie polecam tego; Cóż, jeśli obiecałeś, idź, będziesz rozproszony” – dodała, zwracając się do Nataszy.

Hrabia Ilya Andreich zabrał swoje dziewczyny do hrabiny Bezukhowej. Wieczorem było dość dużo ludzi. Ale całe społeczeństwo było prawie nieznane Nataszy. Hrabia Ilja Andreich zauważył z niezadowoleniem, że całe to społeczeństwo składało się głównie z mężczyzn i kobiet, znanych ze swobody leczenia. M lle Georges, otoczona młodzieżą, stała w kącie salonu. Było tam kilku Francuzów, a wśród nich Metivier, który był jej współlokatorem od przybycia Heleny. Hrabia Ilya Andreich postanowił nie grać w karty, nie opuszczać córek i wyjechać zaraz po zakończeniu występu Georgesa.
Anatole najwyraźniej czekał przy drzwiach, czekając na wejście Rostowów. Natychmiast przywitał się z hrabią, podszedł do Nataszy i poszedł za nią. Gdy tylko Natasza go zobaczyła, zupełnie jak w teatrze, ogarnęło ją uczucie próżnej przyjemności, że ją lubi i strachu przed brakiem barier moralnych między nią a nim. Helena z radością przyjęła Nataszę i głośno podziwiała jej urodę i strój. Wkrótce po ich przybyciu M-lle Georges opuściła pokój, aby się ubrać. W salonie zaczęli ustawiać krzesła i siadać. Anatole odsunął krzesło dla Nataszy i chciał usiąść obok niej, ale hrabia, który nie odrywał wzroku od Nataszy, usiadł obok niej. Anatole siedział z tyłu.
Mille Georges z nagimi, grubymi ramionami z dołeczkami, w czerwonym szalu przerzuconym przez ramię, wyszła w pozostawioną dla niej pustą przestrzeń między krzesłami i zatrzymała się w nienaturalnej pozie. Słychać entuzjastyczny szept. Mille Georges spojrzała surowo i ponuro na publiczność i zaczęła opowiadać po francusku kilka wierszy, które traktowały o jej zbrodniczej miłości do syna. W niektórych miejscach podnosiła głos, w innych szeptała, uroczyście podnosząc głowę, w innych zatrzymywała się i sapała, przewracając oczami.
- Urocze, boskie, pyszne! [Wspaniałe, boskie, cudowne!] – słychać było ze wszystkich stron. Natasza patrzyła na grubego Georgesa, ale nic nie słyszała, nie widziała i nie rozumiała nic z tego, co działo się przed nią; tylko znów poczuła się zupełnie nieodwołalnie w tym dziwnym, szalonym świecie, tak odległym od poprzedniego, w tym świecie, w którym nie można było wiedzieć, co jest dobre, co złe, co rozsądne, a co szalone. Anatole siedział za nią, a ona, czując jego bliskość, ze strachem na coś czekała.
Po pierwszym monologu całe towarzystwo wstało i otoczyło Mille Georges, wyrażając jej swój zachwyt.
- Jaka ona jest dobra! – Natasza powiedziała do ojca, który wraz z innymi wstał i przeszedł przez tłum w stronę aktorki.
„Nie znajduję tego, patrząc na ciebie” - powiedział Anatole, podążając za Nataszą. Powiedział to w chwili, gdy tylko ona mogła go usłyszeć. „Jesteś cudowna... od chwili, gdy cię zobaczyłam, nie przestawałam…”
„Chodź, chodźmy, Natasza” - powiedział hrabia, wracając po córkę. - Jak dobry!
Natasza nic nie mówiąc podeszła do ojca i spojrzała na niego pytającym, zaskoczonym wzrokiem.
Po kilku przyjęciach recytacyjnych Mille Georges wyszła, a hrabina Bezukhaya poprosiła o towarzystwo w sali.
Hrabia chciał już wyjść, ale Helena błagała go, żeby nie psuł jej zaimprowizowanego balu. Rostowie pozostali. Anatole zaprosił Nataszę do walca i podczas walca, ściskając jej talię i rękę, powiedział jej, że jest ravissante [urocza] i że ją kocha. Podczas eko-sesji, którą ponownie tańczyła z Kuraginem, kiedy zostali sami, Anatole nic do niej nie powiedział, tylko patrzył na nią. Natasza miała wątpliwości, czy widziała we śnie to, co jej powiedział podczas walca. Na koniec pierwszej cyfry ponownie uścisnął jej dłoń. Natasza podniosła na niego przestraszone oczy, ale w jego czułym spojrzeniu i uśmiechu była tak pewna siebie czułość, że nie mogła na niego spojrzeć i powiedzieć, co miała mu do powiedzenia. Spuściła oczy.
„Nie mów mi takich rzeczy, jestem zaręczona i kocham innego” – powiedziała szybko… „Spojrzała na niego. Anatole nie był zawstydzony ani zdenerwowany tym, co powiedziała.
- Nie mów mi o tym. Co mnie to obchodzi? - powiedział. – Mówię, że jestem w tobie szaleńczo, szaleńczo zakochany. Czy to moja wina, że ​​jesteś niesamowity? Zaczynajmy.
Natasza, ożywiona i niespokojna, rozglądała się wokół szeroko otwartymi, przestraszonymi oczami i wydawała się bardziej pogodna niż zwykle. Prawie nic nie pamiętała z tego, co wydarzyło się tego wieczoru. Tańczyli Ecossaise i Gros Vater, ojciec zaprosił ją do wyjazdu, ona poprosiła, aby została. Gdziekolwiek była, bez względu na to, z kim rozmawiała, czuła na sobie jego wzrok. Potem przypomniała sobie, że poprosiła ojca o pozwolenie na pójście do garderoby, żeby poprawił sukienkę, że Helena poszła za nią, śmiejąc się, opowiadała jej o miłości brata i że w małej sofie ponownie spotkała Anatola, że ​​Helena gdzieś zniknęła , zostali sami i Anatole, biorąc ją za rękę, powiedział łagodnym głosem:
- Nie mogę do ciebie iść, ale czy naprawdę nigdy cię nie zobaczę? Szaleńczo cię kocham. Naprawdę nigdy?…”, a on, blokując jej drogę, przybliżył swoją twarz do jej twarzy.
Jego błyszczące, duże, męskie oczy znajdowały się tak blisko jej oczu, że nie widziała nic poza tymi oczami.
- Natalia?! – szepnął pytająco głos i ktoś boleśnie ścisnął jej dłonie.
- Natalia?!
„Nic nie rozumiem, nie mam nic do powiedzenia” – mówiło jej spojrzenie.
Gorące usta dotknęły jej warg i w tym momencie znów poczuła się wolna, a w pomieszczeniu słychać było odgłos kroków i sukienki Heleny. Natasza obejrzała się na Helenę, po czym czerwona i drżąca spojrzała na niego z przerażonym pytającym spojrzeniem i podeszła do drzwi.
„Un mot, un seul, au nom de Dieu [Jedno słowo, tylko jedno, na litość boską” – powiedział Anatole.
Ona zatrzymała. Bardzo potrzebowała, żeby wypowiedział to słowo, które wyjaśni jej, co się stało i na które mu odpowie.
„Nathalie, un mot, un seul” – powtarzał, najwyraźniej nie wiedząc, co powiedzieć, i powtarzał tak długo, aż Helen podeszła do nich.
Helen i Natasza ponownie wyszły do ​​salonu. Nie zostając na kolację, Rostowie wyszli.
Wracając do domu, Natasza nie spała całą noc: dręczyło ją nierozwiązywalne pytanie, kogo kocha, Anatola czy księcia Andrieja. Kochała księcia Andrieja - wyraźnie pamiętała, jak bardzo go kochała. Ale kochała też Anatola, to było pewne. „W przeciwnym razie, jak to wszystko mogłoby się wydarzyć?” pomyślała. „Jeśli potem, gdy się z nim żegnałem, mógłbym odpowiedzieć uśmiechem na jego uśmiech, jeśli mogłem na to pozwolić, to znaczy, że zakochałem się w nim od pierwszej minuty. Oznacza to, że jest miły, szlachetny i piękny i nie sposób go nie kochać. Co mam zrobić, kiedy kocham jego i kocham inną? powiedziała sobie, nie znajdując odpowiedzi na te okropne pytania.

Nadszedł ranek pełen zmartwień i krzątaniny. Wszyscy wstali, poszli, zaczęli rozmawiać, znów przyszły modystki, znów wyszła Marya Dmitrievna i zawołała na herbatę. Natasza szeroko otwartymi oczami, jakby chciała uchwycić każde skierowane na nią spojrzenie, rozglądała się niespokojnie po wszystkich i starała się wyglądać tak samo jak zawsze.
Po śniadaniu Marya Dmitrievna (to był jej najlepszy czas), siadając na krześle, zawołała do niej Nataszę i starego hrabiego.
„No cóż, przyjaciele, przemyślałam całą sprawę i oto moja rada dla was” – zaczęła. – Wczoraj, jak wiecie, byłem z księciem Mikołajem; No cóż, rozmawiałem z nim... Postanowił krzyknąć. Nie możesz mnie krzyczeć! Zaśpiewałem mu wszystko!
- Czym on jest? - zapytał hrabia.
- Czym on jest? szaleniec... nie chce słyszeć; Cóż mogę powiedzieć, więc dręczyliśmy biedną dziewczynę” – powiedziała Marya Dmitrievna. „A moja rada dla ciebie jest taka, abyś zakończył wszystko i wrócił do domu w Otradnoje... i tam poczekał...
- O nie! – krzyknęła Natasza.
„Nie, chodźmy” - powiedziała Marya Dmitrievna. - I poczekaj tam. „Jeśli pan młody tu teraz przyjdzie, nie będzie kłótni, ale tutaj sam wszystko omówi ze starcem, a potem przyjdzie do ciebie”.
Ilya Andreich zatwierdziła tę propozycję, natychmiast rozumiejąc jej zasadność. Jeśli starzec ustąpi, tym lepiej będzie przyjechać do niego później w Moskwie lub w Górach Łysych; jeśli nie, to zawarcie małżeństwa wbrew jego woli będzie możliwe tylko w Otradnoje.
„I prawdziwa prawda” – dodał. „Żałuję, że poszedłem do niego i zabrałem ją” – powiedział stary hrabia.
- Nie, dlaczego żałujesz? Będąc tutaj, nie sposób było nie złożyć wyrazów szacunku. Cóż, jeśli nie chce, to jego sprawa” – powiedziała Marya Dmitrievna, szukając czegoś w torebce. - Tak, a posag gotowy, na co jeszcze musisz czekać? a co nie jest gotowe, to Ci wyślę. Choć bardzo Ci współczuję, lepiej iść z Bogiem. „Znalazwszy w siatce to, czego szukała, podała to Nataszy. Był to list od księżniczki Marii. - Pisze do ciebie. Jak ona cierpi, biedactwo! Boi się, że pomyślisz, że cię nie kocha.
„Tak, ona mnie nie kocha” - powiedziała Natasza.
„Bzdury, nie mów” – krzyknęła Marya Dmitrievna.
- nie zaufam nikomu; „Wiem, że mnie nie kocha” – powiedziała śmiało Natasza, biorąc list, a jej twarz wyrażała suchą i gniewną determinację, co sprawiło, że Marya Dmitrievna przyjrzała się jej uważniej i zmarszczyła brwi.
„Nie odpowiadaj tak, mamo” – powiedziała. – To, co mówię, jest prawdą. Napisz odpowiedź.
Natasza nie odpowiedziała i poszła do swojego pokoju, żeby przeczytać list księżniczki Marii.
Księżniczka Marya napisała, że ​​​​jest zrozpaczona nieporozumieniem, które zaszło między nimi. Niezależnie od uczuć ojca, księżna Marya napisała, poprosiła Nataszę, aby uwierzyła, że ​​nie może powstrzymać się od kochania jej jako tej wybranej przez brata, dla którego szczęścia była gotowa poświęcić wszystko.
„Jednakże” – napisała – „nie myśl, że mój ojciec był do ciebie źle nastawiony. To chory i stary człowiek, którego trzeba wybaczyć; ale jest miły, hojny i będzie kochał tego, kto uszczęśliwi jego syna. Księżniczka Marya poprosiła dalej, aby Natasza wyznaczyła termin, w którym będzie mogła się z nią ponownie zobaczyć.
Po przeczytaniu listu Natasza usiadła przy biurku, aby napisać odpowiedź: „Chere księżniczko” [Kochana księżniczko] – napisała szybko, mechanicznie i zatrzymała się. „Co mogłaby napisać dalej po tym wszystkim, co wydarzyło się wczoraj? Tak, tak, to wszystko się wydarzyło, a teraz wszystko jest inne” – pomyślała, siadając nad rozpoczętym listem. „Mam mu odmówić? Czy to naprawdę konieczne? To okropne!”... I żeby nie myśleć o tych strasznych myślach, poszła do Soni i razem z nią zaczęła porządkować schematy.
Po obiedzie Natasza poszła do swojego pokoju i ponownie wzięła list księżniczki Marii. - „Czy to już naprawdę koniec? pomyślała. Czy to wszystko naprawdę wydarzyło się tak szybko i zniszczyło wszystko, co było wcześniej”! Z całą dawną siłą przypomniała sobie swoją miłość do księcia Andrieja, a jednocześnie poczuła, że ​​kocha Kuragina. Wyraźnie wyobrażała sobie siebie jako żonę księcia Andrieja, wielokrotnie powtarzała w swojej wyobraźni obraz szczęścia z nim, a jednocześnie zarumieniona z podniecenia wyobrażała sobie wszystkie szczegóły jej wczorajszego spotkania z Anatolem.
„Dlaczego nie moglibyśmy być razem? czasami podczas całkowitego zaćmienia, pomyślała. Tylko wtedy byłbym w pełni szczęśliwy, ale teraz muszę wybierać i bez jednego i drugiego nie mogę być szczęśliwy. Jedno, pomyślała, powiedzieć, co miało na myśli księcia Andrieja, lub ukryć to, jest równie niemożliwe. I nic w tym nie jest zepsute. Ale czy naprawdę można rozstać się na zawsze ze szczęściem miłości księcia Andrieja, z którym żyłem tak długo?”
– Młoda damo – powiedziała szeptem dziewczyna o tajemniczym spojrzeniu, wchodząc do pokoju. – Jedna osoba kazała mi to powiedzieć. Dziewczyna podała list. „Tylko na miłość boską” – mówiła wciąż dziewczyna, gdy Natasza bez zastanowienia złamała pieczęć mechanicznym ruchem i przeczytała list miłosny Anatola, z którego nie rozumiejąc ani słowa, zrozumiała tylko jedno - że ten list pochodził go, od tego mężczyzny, którego kocha. „Tak, ona kocha, w przeciwnym razie jak mogłoby się wydarzyć to, co się stało? Czy w jej dłoni może znajdować się list miłosny od niego?

Ujednolicony egzamin państwowy dla 4 osób? Nie pękniesz ze szczęścia?

Pytanie, jak mówią, ciekawe... Można, można zdać na 4! A przy tym nie pękać... Podstawowym warunkiem jest regularna aktywność fizyczna. Oto podstawowe przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki. Ze wszystkimi tajemnicami i tajemnicami egzaminu Unified State Exam, o których nie przeczytasz w podręcznikach... Przestudiuj tę sekcję, rozwiązuj więcej zadań z różnych źródeł - i wszystko się ułoży! Zakłada się, że podstawowa sekcja „A C Ci wystarczy!” nie sprawia ci to żadnych problemów. Ale jeśli nagle... Skorzystaj z linków, nie bądź leniwy!

A zaczniemy od wielkiego i strasznego tematu.

Trygonometria

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy „bardzo…”)

Temat ten sprawia uczniom wiele problemów. Uważany jest za jeden z najcięższych. Co to jest sinus i cosinus? Co to jest tangens i cotangens? Co to jest okrąg liczbowy? Gdy tylko zadasz te nieszkodliwe pytania, osoba blednie i próbuje odwrócić uwagę od rozmowy... Ale na próżno. To są proste pojęcia. A ten temat nie jest trudniejszy niż inne. Musisz tylko od samego początku jasno zrozumieć odpowiedzi na te pytania. To jest bardzo ważne. Jeśli rozumiesz, spodoba ci się trygonometria. Więc,

Co to jest sinus i cosinus? Co to jest tangens i cotangens?

Zacznijmy od czasów starożytnych. Nie martw się, przejdziemy przez wszystkie 20 wieków trygonometrii w około 15 minut i niezauważalnie powtórzymy fragment geometrii z ósmej klasy.

Narysujmy trójkąt prostokątny z bokami a, b, c i kąt X. Oto jest.

Przypomnę, że boki tworzące kąt prosty nazywane są nogami. a i c– nogi. Jest ich dwóch. Pozostała strona nazywana jest przeciwprostokątną. Z– przeciwprostokątna.

Trójkąt i trójkąt, tylko pomyśl! Co z nim zrobić? Ale starożytni ludzie wiedzieli, co robić! Powtórzmy ich działania. Zmierzmy bok V. Na zdjęciu komórki są specjalnie narysowane, tak jak ma to miejsce w zadaniach Unified State Examination. Strona V równa czterem komórkom. OK. Zmierzmy bok A. Trzy komórki.

Teraz podzielmy długość boku A na długość boku V. Lub, jak to mówią, przyjmijmy postawę A Do V. a/w= 3/4.

Wręcz przeciwnie, można dzielić V NA A. Dostajemy 4/3. Móc V dzielić przez Z. Przeciwprostokątna Z Nie da się policzyć według komórek, ale jest to równe 5. Dostajemy wysoka jakość= 4/5. Krótko mówiąc, możesz podzielić długości boków przez siebie i uzyskać pewne liczby.

Więc co? Jaki jest sens tej ciekawej działalności? Jeszcze nic. Bezsensowne ćwiczenie, mówiąc wprost.)

Teraz zróbmy to. Powiększmy trójkąt. Rozciągnijmy boki w i z, ale tak, aby trójkąt pozostał prostokątny. Narożnik X oczywiście się nie zmienia. Aby to zobaczyć, najedź myszką na zdjęcie lub dotknij go (jeśli masz tablet). Strony a, b i c zamieni się w m, n, k, i oczywiście długości boków ulegną zmianie.

Ale ich związek taki nie jest!

Postawa a/w był: a/w= 3/4, stało się m/n= 6/8 = 3/4. Powiązania innych istotnych stron również są nie zmieni się . Możesz dowolnie zmieniać długości boków w trójkącie prostokątnym, zwiększać, zmniejszać, bez zmiany kąta x – relacje między zainteresowanymi stronami nie ulegną zmianie . Możesz to sprawdzić lub zaufać starożytnym ludziom na słowo.

Ale to już jest bardzo ważne! Stosunki boków w trójkącie prostokątnym nie zależą w żaden sposób od długości boków (pod tym samym kątem). Jest to o tyle ważne, że relacja między stronami zyskała swoją szczególną nazwę. Wasze imiona, że ​​tak powiem.) Spotkajmy się.

Jaki jest sinus kąta x ? Jest to stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej:

sinx = a/c

Jaki jest cosinus kąta x ? Jest to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:

Zosx= wysoka jakość

Co to jest tangens x ? Jest to stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej:

tgx =a/w

Jaki jest cotangens kąta x ? Jest to stosunek sąsiedniego boku do przeciwnego:

ctgx = v/a

Wszystko jest bardzo proste. Sinus, cosinus, tangens i cotangens to tylko niektóre liczby. Bezwymiarowy. Tylko liczby. Każdy kąt ma swój własny.

Dlaczego tak nudno wszystko powtarzam? Więc co to jest? muszę pamiętać. Ważne jest, aby pamiętać. Zapamiętywanie może być łatwiejsze. Czy zwrot „Zacznijmy od daleka…” jest znajomy? Zacznij więc z daleka.

Zatoka kąt jest stosunkiem odległy od kąta nogi do przeciwprostokątnej. Cosinus– stosunek sąsiada do przeciwprostokątnej.

Tangens kąt jest stosunkiem odległy od kąta nogi do bliższego. Cotangens- nawzajem.

To łatwiejsze, prawda?

Cóż, jeśli pamiętasz, że w stycznej i cotangensie są tylko nogi, a w sinusie i cosinusie pojawia się przeciwprostokątna, wszystko stanie się całkiem proste.

Nazywana jest także cała ta chwalebna rodzina - sinus, cosinus, tangens i cotangens funkcje trygonometryczne.

A teraz pytanie do rozważenia.

Dlaczego mówimy sinus, cosinus, tangens i cotangens? narożnik? Mówimy o relacji między stronami, jak... Co to ma z tym wspólnego? narożnik?

Spójrzmy na drugie zdjęcie. Dokładnie taki sam jak pierwszy.

Najedź kursorem myszy na zdjęcie. Zmieniłem kąt X. Zwiększono to z x do x. Wszystkie relacje się zmieniły! Postawa a/w wynosił 3/4 i odpowiedni stosunek telewizja stało się 6/4.

I wszystkie inne relacje stały się inne!

Dlatego stosunki boków nie zależą w żaden sposób od ich długości (pod jednym kątem x), ale silnie zależą od tego właśnie kąta! I tylko od niego. Dlatego terminy sinus, cosinus, tangens i cotangens odnoszą się do narożnik. Kąt tutaj jest główny.

Należy jasno zrozumieć, że kąt jest nierozerwalnie związany z jego funkcjami trygonometrycznymi. Każdy kąt ma swój własny sinus i cosinus. I prawie każdy ma swoją własną styczną i cotangens. To jest ważne. Uważa się, że jeśli dany jest nam kąt, to jego sinus, cosinus, tangens i cotangens wiemy ! I wzajemnie. Biorąc pod uwagę sinus lub jakąkolwiek inną funkcję trygonometryczną, oznacza to, że znamy kąt.

Istnieją specjalne tabele, w których dla każdego kąta opisano jego funkcje trygonometryczne. Nazywa się je tabelami Bradisa. Zostały opracowane bardzo dawno temu. Kiedy nie było jeszcze kalkulatorów i komputerów...

Oczywiście nie da się zapamiętać funkcji trygonometrycznych wszystkich kątów. Wymagane jest ich poznanie tylko pod kilkoma kątami, więcej o tym później. Ale zaklęcie Znam kąt, czyli znam jego funkcje trygonometryczne” – zawsze działa!

Powtórzyliśmy więc fragment geometrii z ósmej klasy. Czy potrzebujemy go do egzaminu Unified State Exam? Niezbędny. Oto typowy problem z egzaminu Unified State Exam. Aby rozwiązać ten problem, wystarczy 8 klasa. Dane zdjęcie:

Wszystko. Nie ma więcej danych. Musimy znaleźć długość boku samolotu.

Komórki niewiele pomagają, trójkąt jest jakoś źle ustawiony... Chyba celowo... Z informacji wynika, że ​​jest to długość przeciwprostokątnej. 8 komórek. Z jakiegoś powodu podano kąt.

W tym miejscu należy od razu pamiętać o trygonometrii. Kąt istnieje, co oznacza, że ​​znamy wszystkie jego funkcje trygonometryczne. Której z czterech funkcji powinniśmy użyć? Zobaczmy, co wiemy? Znamy przeciwprostokątną i kąt, ale musimy znaleźć przylegający cewnik do tego rogu! To jasne, cosinus należy zastosować! No to ruszamy. Po prostu piszemy, zgodnie z definicją cosinusa (stosunek przylegający noga do przeciwprostokątnej):

cosC = BC/8

Kąt C ma miarę 60 stopni, a jego cosinus wynosi 1/2. Musisz to wiedzieć, bez żadnych tabel! To jest:

1/2 = BC/8

Elementarne równanie liniowe. Nieznany - Słońce. Dla tych, którzy zapomnieli, jak rozwiązywać równania, kliknij link, reszta rozwiąże:

BC = 4

Kiedy starożytni ludzie zdali sobie sprawę, że każdy kąt ma swój własny zestaw funkcji trygonometrycznych, zadali rozsądne pytanie. Czy sinus, cosinus, tangens i cotangens są ze sobą w jakiś sposób powiązane? Czyli znając jedną funkcję kąta, można znaleźć pozostałe? Bez obliczania samego kąta?

Byli tacy niespokojni...)

Zależność funkcji trygonometrycznych jednego kąta.

Oczywiście sinus, cosinus, tangens i cotangens tego samego kąta są ze sobą powiązane. Wszelkie powiązania między wyrażeniami podaje się w matematyce za pomocą wzorów. W trygonometrii istnieje kolosalna liczba formuł. Ale tutaj przyjrzymy się najbardziej podstawowym. Formuły te nazywane są: podstawowe tożsamości trygonometryczne. Tutaj są:

Musisz dokładnie poznać te formuły. Bez nich w trygonometrii generalnie nie ma nic do roboty. Z tych podstawowych tożsamości wynikają trzy kolejne tożsamości pomocnicze:

Od razu ostrzegam, że trzy ostatnie formuły szybko wypadają z pamięci. Z jakiegoś powodu.) Możesz oczywiście wyprowadzić te wzory z pierwszych trzech. Ale w trudnych czasach... Rozumiesz.)

W przypadku standardowych problemów, takich jak te poniżej, istnieje sposób na uniknięcie tych zapominalnych formuł. I radykalnie zmniejszyć liczbę błędów z powodu zapomnienia, a także w obliczeniach. Praktykę tę opisano w rozdziale 555, lekcja „Relacje między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta”.

W jakich zadaniach i w jaki sposób wykorzystywane są podstawowe tożsamości trygonometryczne? Najpopularniejszym zadaniem jest znalezienie jakiejś funkcji kąta, jeśli podana jest inna. W Unified State Examination takie zadanie pojawia się z roku na rok.) Na przykład:

Znajdź wartość sinx, jeśli x jest kątem ostrym i cosx=0,8.

Zadanie jest niemal elementarne. Szukamy wzoru zawierającego sinus i cosinus. Oto formuła:

grzech 2 x + sałata 2 x = 1

Podstawiamy tutaj znaną wartość, czyli 0,8 zamiast cosinusa:

grzech 2 x + 0,8 2 = 1

Cóż, liczymy jak zwykle:

grzech 2 x + 0,64 = 1

grzech 2 x = 1 - 0,64

To praktycznie wszystko. Obliczyliśmy kwadrat sinusa, pozostaje tylko wyciągnąć pierwiastek kwadratowy i odpowiedź jest gotowa! Pierwiastek z 0,36 wynosi 0,6.

Zadanie jest niemal elementarne. Ale słowo „prawie” pojawiło się nie bez powodu... Faktem jest, że odpowiedź sinx= - 0,6 również jest odpowiednia... (-0,6) 2 również będzie wynosić 0,36.

Istnieją dwie różne odpowiedzi. I potrzebujesz jednego. To drugie jest błędne. Jak być!? Tak, jak zwykle.) Przeczytaj uważnie zadanie. Z jakiegoś powodu mówi:... jeśli x jest kątem ostrym... A w zadaniach każde słowo ma znaczenie, tak... To zdanie jest dodatkową informacją do rozwiązania.

Kąt ostry to kąt mniejszy niż 90°. I na takich zakrętach Wszystko funkcje trygonometryczne — sinus, cosinus i tangens z cotangensem — pozytywny. Te. Po prostu odrzucamy tutaj odpowiedź negatywną. Mamy prawo.

Właściwie ósmoklasiści nie potrzebują takich subtelności. Działają tylko z trójkątami prostokątnymi, gdzie rogi mogą być tylko ostre. I nie wiedzą, szczęśliwi, że istnieją zarówno kąty ujemne, jak i kąty 1000°... A wszystkie te straszne kąty mają swoje własne funkcje trygonometryczne, zarówno plus, jak i minus...

Ale dla uczniów szkół średnich, bez uwzględnienia znaku - nie ma mowy. Duża wiedza mnoży smutki, tak...) A dla prawidłowego rozwiązania w zadaniu koniecznie muszą znajdować się dodatkowe informacje (jeśli jest to konieczne). Można go podać na przykład za pomocą następującego wpisu:

Albo w inny sposób. Zobaczysz w poniższych przykładach.) Aby rozwiązać takie przykłady, musisz wiedzieć W jaką ćwiartkę wpada dany kąt x i jaki znak ma w tej ćwiartce pożądana funkcja trygonometryczna?

Te podstawy trygonometrii omawiane są na lekcjach na temat tego, czym jest okrąg trygonometryczny, pomiar kątów na tym okręgu, radialna miara kąta. Czasami trzeba znać tabelę sinusów, cosinusów stycznych i cotangensów.

Zwróćmy więc uwagę na najważniejsze:

Praktyczne wskazówki:

1. Zapamiętaj definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. To będzie bardzo przydatne.

2. Rozumiemy jasno: sinus, cosinus, tangens i cotangens są ściśle powiązane z kątami. Wiemy jedno, co oznacza, że ​​wiemy co innego.

3. Rozumiemy jasno: sinus, cosinus, tangens i cotangens jednego kąta są ze sobą powiązane podstawowymi tożsamościami trygonometrycznymi. Znamy jedną funkcję, co oznacza, że ​​możemy (jeśli mamy niezbędne dodatkowe informacje) obliczyć wszystkie pozostałe.

A teraz, jak zwykle, podejmijmy decyzję. Najpierw zadania z zakresu klasy 8. Ale uczniowie szkół średnich też mogą to zrobić...)

1. Oblicz wartość tgA jeśli ctgA = 0,4.

2. β jest kątem w trójkącie prostokątnym. Znajdź wartość tanβ, jeśli sinβ = 12/13.

3. Wyznacz sinus kąta ostrego x, jeśli tgх = 4/3.

4. Znajdź znaczenie wyrażenia:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Znajdź znaczenie wyrażenia:

(1-cosx)(1+cosx), jeśli sinx = 0,3

Odpowiedzi (oddzielone średnikami, w nieładzie):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Stało się? Świetnie! Ósmoklasiści mogą już zdobyć piątki.)

Czy nie wszystko się udało? Zadania 2 i 3 jakoś nie są zbyt dobre...? Bez problemu! Jest jedna piękna technika takich zadań. Wszystko da się rozwiązać praktycznie bez żadnych formuł! A zatem bez błędów. Technikę tę opisano w lekcji: „Związki między funkcjami trygonometrycznymi jednego kąta” w rozdziale 555. Tam też załatwiane są wszystkie inne zadania.

Były to problemy w rodzaju Unified State Exam, ale w okrojonej wersji. Egzamin Państwowy Jednolity – lekki). A teraz prawie te same zadania, ale w pełnoprawnym formacie. Dla obciążonych wiedzą uczniów szkół średnich.)

6. Znajdź wartość tanβ, jeśli sinβ = 12/13, oraz

7. Wyznacz sinх, jeśli tgх = 4/3, a x należy do przedziału (- 540°; - 450°).

8. Znajdź wartość wyrażenia sinβ cosβ, jeśli ctgβ = 1.

Odpowiedzi (w nieładzie):

0,8; 0,5; -2,4.

Tutaj, w zadaniu 6, kąt nie jest określony bardzo wyraźnie... Ale w zadaniu 8 nie jest on w ogóle określony! To jest celowe). Dodatkowe informacje są pobierane nie tylko z zadania, ale także z głowy.) Ale jeśli zdecydujesz, gwarantowane jest jedno prawidłowe zadanie!

A co jeśli jeszcze się nie zdecydowałeś? Hmm... Cóż, sekcja 555 będzie tutaj pomocna. Tam szczegółowo opisano rozwiązania wszystkich tych zadań, trudno tego nie zrozumieć.

Ta lekcja zapewnia bardzo ograniczone zrozumienie funkcji trygonometrycznych. W 8 klasie. A starsi wciąż mają pytania...

Na przykład, jeśli kąt X(spójrz na drugie zdjęcie na tej stronie) - czyń to głupim!? Trójkąt całkowicie się rozpadnie! Więc co powinniśmy zrobić? Nie będzie nogi, nie będzie przeciwprostokątnej... Sinus zniknął...

Gdyby starożytni ludzie nie znaleźli wyjścia z tej sytuacji, nie mielibyśmy teraz telefonów komórkowych, telewizji ani elektryczności. Tak tak! Teoretyczną podstawą wszystkich tych rzeczy bez funkcji trygonometrycznych jest zero bez kija. Ale starożytni ludzie nie zawiedli. Jak się wydostali, opowiem w następnej lekcji.

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla Ciebie jeszcze kilka ciekawych stron.)

Możesz poćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzić swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Uczmy się - z zainteresowaniem!)

Można zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Definicje

Definicje funkcji trygonometrycznych podaje się za pomocą koła trygonometrycznego, rozumianego jako okrąg o promieniu jednostkowym ze środkiem w początku układu współrzędnych.

Rozważmy dwa promienie tego okręgu: nieruchomy (w miejscu, w którym znajduje się punkt) i ruchomy (w miejscu, w którym znajduje się punkt). Niech ruchomy promień tworzy kąt z nieruchomym.

Nazywa się liczbę równą rzędnej końca promienia jednostkowego tworzącego kąt o stałym promieniu sinus kąta : .

Nazywa się liczbę równą odciętej końca promienia jednostkowego tworzącego kąt o stałym promieniu cosinus kąta : .

Zatem punkt będący końcem ruchomego promienia tworzącego kąt ma współrzędne.

Tangens kąta Stosunek sinusa tego kąta do jego cosinusa nazywa się: , .

Cotangens kąta Stosunek cosinusa tego kąta do jego sinusa nazywa się: , .

Znaczenie geometryczne funkcji trygonometrycznych

Geometryczne znaczenie sinusa i cosinusa na okręgu trygonometrycznym jest jasne z definicji: jest to odcięta i rzędna punktu przecięcia ruchomego promienia, który tworzy kąt ze stałym promieniem, i okręgu trygonometrycznego. To jest, .

Rozważmy teraz geometryczne znaczenie stycznej i cotangensu. Trójkąty są podobne pod trzema kątami (,), to zależność zachodzi. Z drugiej strony, w związku z tym.

Podobnie pod trzema kątami (,), wówczas zależność zachodzi. Z drugiej strony, w związku z tym.

Biorąc pod uwagę geometryczne znaczenie stycznej i cotangensu, wprowadzono pojęcia osi stycznej i osi cotangensa.

Osie styczne to osie, z których jedna dotyka w jednym punkcie okręgu trygonometrycznego i jest skierowana w górę, druga w punkcie dotyka okręgu i jest skierowana w dół.

Osie cotangensów to osie, z których jedna dotyka w punkcie okręgu trygonometrycznego i jest skierowana w prawo, druga dotyka w punkcie okręgu i jest skierowana w lewo.

Własności funkcji trygonometrycznych

Przyjrzyjmy się niektórym podstawowym właściwościom funkcji trygonometrycznych. Inne właściwości zostaną omówione w części poświęconej wykresom funkcji trygonometrycznych.

Dziedzina i zakres wartości

Jak wspomniano wcześniej, sinus i cosinus istnieją dla dowolnych kątów, tj. dziedziną definicji tych funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Z definicji tangens nie istnieje dla kątów, a cotangens nie istnieje dla kątów, .

Ponieważ sinus i cosinus są rzędnymi i odciętymi punktu na okręgu trygonometrycznym, ich wartości leżą pomiędzy. Zakres wartości tangensów i cotangensów to zbiór liczb rzeczywistych (łatwo to zauważyć patrząc na osie stycznych i cotangensów).

Nawet dziwne

Rozważ funkcje trygonometryczne dwóch kątów (co odpowiada ruchomemu promieniowi) i (co odpowiada ruchomemu promieniowi). Ponieważ to oznacza, że ​​punkt ma współrzędne. Dlatego, tj. sinus jest funkcją nieparzystą; , tj. cosinus - funkcja parzysta; , tj. tangens jest nieparzysty; , tj. Kotangens jest również nieparzysty.

Przedziały stałości znaku

Z definicji tych funkcji wynikają znaki funkcji trygonometrycznych dla różnych ćwiartek współrzędnych. Należy zauważyć, że ponieważ tangens i cotangens są stosunkami sinusa i cosinusa, są one dodatnie, gdy sinus i cosinus kąta mają ten sam znak, oraz ujemne, gdy są różne.

Okresowość

Okresowość sinusa i cosinusa polega na tym, że kąty różniące się całkowitą liczbą pełnych obrotów odpowiadają temu samemu względnemu położeniu promieni ruchomych i nieruchomych. Odpowiednio współrzędne punktu przecięcia ruchomej belki i koła trygonometrycznego będą takie same dla kątów różniących się całkowitą liczbą pełnych obrotów. Zatem okres sinusa i cosinusa to i, gdzie.

Oczywiście jest to również okres dla stycznej i cotangensu. Ale czy istnieje krótszy okres dla tych funkcji? Udowodnijmy, że najmniejszy okres dla stycznej i cotangensu wynosi.

Rozważ dwa kąty i. O geometrycznym znaczeniu stycznej i cotangensu. Boki i sąsiednie kąty trójkątów są równe, a zatem ich boki są równe, co oznacza i. Podobnie możesz udowodnić gdzie. Zatem okres stycznej i cotangensu wynosi.

Funkcje trygonometryczne kątów podstawowych

Wzory trygonometryczne

Aby skutecznie rozwiązywać problemy trygonometryczne, musisz znać wiele wzorów trygonometrycznych. Nie ma jednak potrzeby zapamiętywania wszystkich formuł. Wystarczy znać na pamięć tylko te najbardziej podstawowe, a w razie potrzeby umieć wyprowadzić resztę wzorów.

Podstawowa tożsamość trygonometryczna i konsekwencje z niej wynikające

Wszystkie funkcje trygonometryczne dowolnego kąta są ze sobą powiązane, tj. Znając jedną funkcję, zawsze możesz znaleźć resztę. Połączenie to wynika ze wzorów omówionych w tej sekcji.

Twierdzenie 1 (Podstawowa tożsamość trygonometryczna). Dla każdego tożsamość jest prawdziwa

Dowód polega na zastosowaniu twierdzenia Pitagorasa do trójkąta prostokątnego z nogami i przeciwprostokątną.

Prawdziwe jest również bardziej ogólne twierdzenie.

Twierdzenie 2. Aby dwie liczby można było przyjąć jako cosinus i sinus tego samego kąta rzeczywistego, konieczne i wystarczające jest, aby suma ich kwadratów była równa jeden:

Rozważmy konsekwencje głównej tożsamości trygonometrycznej.

Wyraźmy sinus przez cosinus i cosinus przez sinus:

W tym wzorze znak plus lub minus przed pierwiastkiem jest wybierany w zależności od ćwiartki, w której leży kąt.

Podstawiając otrzymane wzory do wzorów definiujących tangens i cotangens, otrzymujemy:

Dzieląc główny wyraz tożsamości trygonometrycznej przez wyraz lub otrzymujemy odpowiednio:

Relacje te można przepisać jako:

Poniższe wzory przedstawiają zależność między styczną i kotangensem. Ponieważ at i at, wówczas zachodzi równość:

Formuły redukcyjne

Za pomocą wzorów redukcyjnych można wyrazić wartości funkcji trygonometrycznych dowolnych kątów poprzez wartości funkcji kąta ostrego. Wszystkie wzory redukcyjne można uogólnić, korzystając z poniższej reguły.

Każda funkcja trygonometryczna kąta jest równa wartości bezwzględnej tej samej funkcji kąta, jeśli liczba jest parzysta, i współfunkcji kąta, jeśli liczba jest nieparzysta. Co więcej, jeśli funkcja kąta jest dodatnia, gdy jest to kąt ostry dodatni, to znaki obu funkcji są takie same, jeśli jest ujemna, to są różne.

Wzory na sumę i różnicę kątów

Twierdzenie 3 . Dla dowolnego rzeczywistego i następujące wzory są ważne:

Dowód pozostałych wzorów opiera się na wzorach redukcyjnych i parzystych/nieparzystych funkcjach trygonometrycznych.

co było do okazania

Twierdzenie 4. Dla każdego prawdziwego i takiego

1. obowiązują następujące wzory

2. , obowiązują następujące wzory

Dowód. Z definicji tangensa

Ostatnią transformację uzyskuje się dzieląc licznik i mianownik tego ułamka przez.

Podobnie dla cotangensu (licznik i mianownik w tym przypadku dzieli się przez):

co było do okazania

Należy zwrócić uwagę, że prawa i lewa strona ostatnich równości mają różne zakresy dopuszczalnych wartości. Dlatego stosowanie tych wzorów bez ograniczeń dotyczących możliwych wartości kąta może prowadzić do błędnych wyników.

Wzory na kąt podwójny i półkątny

Wzory na podwójny kąt pozwalają wyrazić funkcje trygonometryczne dowolnego kąta w postaci funkcji kąta będącego połową pierwotnego kąta. Wzory te są konsekwencjami wzorów na sumę dwóch kątów, jeśli kąty w nich przyrównamy.

Ostatni wzór można przekształcić wykorzystując podstawową tożsamość trygonometryczną:

Zatem dla cosinusa podwójnego kąta istnieją trzy wzory:

Należy zauważyć, że ta formuła jest ważna tylko wtedy, gdy

Ostatnia formuła obowiązuje dla , .

Podobnie jak w przypadku funkcji podwójnego kąta, można uzyskać funkcje potrójnego kąta. Tutaj te wzory są podane bez dowodu:

Wzory na półkąt są konsekwencją wzorów na podwójny kąt i pozwalają wyrazić funkcje trygonometryczne określonego kąta w postaci funkcji kąta dwukrotnie większego od pierwotnego.